müfredatına uyumlu 11. SINIF TİK±… · Ertem Basım Yayın Dağıtım San. Tic. Ltd. Şti....

11. SINIF

‘’SORU BANKASI’’

Rafet Özdemir

MATEMATİK

Akıllı Tahta

Uygulaması

Video

Çözümlü

Kararında

Anlatım

Yeni

MEB

müfredatına

uyumlu

Kafadengi 11. Sınıf Matematik Soru Bankası

KA00-11.01MHK04

978-605-2387-63-4

Rafet ÖZDEMİR

Halil ASLAN

Necmi TOPAL

Mustafa KELEŞ

Buğra KÜÇÜK

Mehmet ESKİN

Ertem Basım Yayın Dağıtım San. Tic. Ltd. Şti.

Başkent Organize Sanayi Bölgesi 22. Cadde No: 6

Maliköy – Sincan / ANKARA tlf: 0 312 640 16 23

0 212 275 00 35 www.eksenyayinlari.com - [email protected]

Gülbahar Mah. Cemal Sururi Sk. No:15 / E Halim Meriç İş Merkezi Kat 9

Mecidiyeköy - İST.

Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre, her hakkı Eksen Yayıncılık

ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ’ye aittir. Eksen Yayıncılık’ın yazılı izni

olmaksızın, kitabın herhangi bir şekilde kısmen veya tamamen

çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde gerekli yasal mevzuat uygulanır.

ürün adı

ürün no

isbn

yazar

redakte

dizgi-mizanpaj

grafik tasarım

editör

yayın yönetmeni

baskı

iletişim

copyright ©

MERHABAÖğretmen ve öğrencilerimize müjde!

Artık size yakın, sizin dünyanızı anlayan, iç dünyanıza seslenen, kısacası sizin dilinizle konuşan bir kitap var elinizde. Yüzü soluk, kuramsal, renksiz ve tekdüze kitaplarla daha fazla uğraşmanıza gerek kalmadı. Evde, okul-da veya serbest zamanlarınızda ders çalışmanın ötesinde, bir bilim dalına yönelik temel verileri zevkle öğreneceğiniz, elinizden bırakamayacağınız kitapları sizler için hazırladık. Severek ve neşeyle öğrenilen bilgilerin ka-

lıcı olduğunu göstermek istedik.

Soru bankasında üniteler öğrenmenin daha kolay gerçekleşmesi için alt başlıklara ayrıldı. Böylece her alt başlıktan ve detaylarından soruların yer alması sağlandı. Ünite sonunda yer alan ve ünitenin tamamını kapsayan testlerin çözümü bu yöntemle daha kolay hâle getirildi.

Testlere başlamadan önce hatırlanması gereken bilgiler “Kısa ve özlü ola-

rak” anlatıldı. Testler konunun ağırlığına ve önemine göre “Birim birim“

oluşturuldu ve isimlendirildi. Her ünitenin sonuna öğrenmede aktif rolü olan “Etkinlik” bölümü, sizleri klasik sınavlara hazırlayacak “Yazılı Sorula-

rım” bölümü ve kendini değerlendirebileceğin “Üniteyi Değerlendirelim”

bölümü konuldu. Bu bölümlerden sonra “Derken...” başlığı altında ünite-

ler sonlandırıldı. Ayrıca zorlandığın soruların sesli ve görüntülü çözümleri-ne ulaşabilmen için her testin üzerinde “Karekod” uygulaması var.

Bu ürünün şimdi akıllı tahta, bilgisayar ortamları ve tabletlerde kulla-

nılmak üzere dijital versiyonları da hazır. akillitahta.eksenyayinlari.com

adresine üye olup ücretsiz indirebilirsiniz.

Esenlik ve başarı dileklerimizle...

4

01

02

03

04

Ünite / Trigonometri

Yönlü Açılar ..................................................................................................................... 8

Trigonometrik Fonkisyonlar ............................................................................................ 18

Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................................................. 42

Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri ................................................... 50

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ..................................................................................... 56

Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 62

Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 64

Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 68

Derken ...................................................................................................................... 70

Ünite / Analitik Geometri

Noktanın Analitik İncelenmesi ........................................................................................ 72

Doğrunun Analitik İncelenmesi ....................................................................................... 78




Derken ...................................................................................................................... 98

Ünite / Fonksiyonlarda Uygulamalar

Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar .................................................................................... 100

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri ................................................................... 106

Fonksiyonların Dönüşümleri ........................................................................................... 124




Derken ...................................................................................................................... 138

Ünite / Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri ............................................................................. 140

İkinci Dereceden Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri ....................................................... 148




Derken ...................................................................................................................... 168

İÇİNDEKİLER

5

05

06

07

Ünite / Çember ve Daire

Çemberin Temel Elemanları ............................................................................................ 170

Çemberde Açılar .............................................................................................................. 174

Çemberde Teğet .............................................................................................................. 186

Dairenin Çevresi ve Alanı ................................................................................................ 194




Derken ...................................................................................................................... 210

Ünite / Uzay Geometri

Katı Cisimler (Silindir) ..................................................................................................... 212

Katı Cisimler (Koni) ......................................................................................................... 218

Katı Cisimler (Küre) ......................................................................................................... 224




Derken ...................................................................................................................... 236

Ünite / Olasılık

Koşullu Olasılık ................................................................................................................ 238

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar ........................................................................................... 242

Deneysel ve Teorik Olasılık ............................................................................................. 248




Derken ...................................................................................................................... 256

Etkinlik Cevapları ve Yazılı Sorularının Çözümleri ................................................................. 258

6

1.

Ünite

TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar ............................................................................................ 8

Trigonometrik Fonksiyonlar ................................................................ 18

Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................... 42

Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri .................... 50

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ...................................................... 56

8

YÖNLÜ AÇILARYÖNLÜ AÇILARBaşlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.A

B

O

Yukarıdaki şekilde O noktası açının köşesi, [OA ve [OB

ışınları da açının kenarlarıdır. Açıyı AOB, BOA veya O

şeklinde gösteririz.Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı, diğerini

bitim kenarı olarak aldığımızda elde ettiğimiz açıya yönlü

açı denir. Saatin dönme yönünde olan açılar negatif yönlü,

saatin dönme yönünün tersi yönde olan açılar pozitif

yönlü açılardır.

Saatin dönme yönünün tersi

A

O

B

+

Pozitif yönlü açıBOA

[OB ışını başlangıç kenarı[OA ışını bitim kenarı

A

O

B

–Saatin dönme yönünde

Negatif yönlü açıAOB

[OA ışını başlangıç kenarı[OB ışını bitim kenarı

Açıları adlandırırken başlangıç kenarı üzerindeki harf,

açının köşesi ve bitim kenarı üzerindeki harf sırasını takip

ederiz.

Açı Ölçü BirimleriKullanılan açı ölçü birimleri derece ve radyandır.

DereceBir tam çember yayının 360'ta birini gören merkez açının

ölçüsüne 1 derece denir ve 1° şeklinde gösterilir.

A

0 B1°

Bir tam çember yayının ölçüsü

360° dir.

1° lik açının 60'da birine 1 dakika denir ve 1 ı ile gösterilir.

Benzer biçimde 1 ı lık açının 60'da birine 1 saniye denir ve

1ıı ile gösterilir.

1° = 60 ı ve 1 ı = 60 ıı

1° = 60 ı = 3600 ıı Kısaca, saniye 60 a bölünürse dakika, dakika 60 a bölünür-

se derece elde edilir.

q Örnek62475 saniyelik açıyı; derece, dakika ve saniye cinsinden

ifade edelim.

q Çözüm1° = 60 ı

= 3600 ıı olduğu için62475600

247 240 75

60 15

60

60

17

1041 60

441 420

21

–

–

–

–

–

62475 ıı = 17°21 ı

15 ıı olur.

RadyanBir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez

açının ölçüsüne 1 radyan denir.

B

r

AO

r

Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.

Dereceyi D, radyanı R ile gösterirsekD

360°R

2π=

veya D

180°Rπ

= olur.

9

YÖNLÜ AÇILAR - 1

1. E 2. C

3. B 4. C

5. C 6. E

1.

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden

hangisi yanlıştır?

A) Açının sembolle gösterimi AB ªC dir.

B) Açının başlangıç kenarı [BA dır.

C) Açının bitim kenarı [BC dir.

D) Açının yönü negatiftir.

E) Açının bitim kenarı [BA dır.

2.

Yukarıdaki şekilde verilen açı için, aşağıdakilerden

kaç tanesi doğrudur?

I. Açının sembolle gösterilişi BO ªA dır.

II. Açının bitiş kenarı [OB dır.

III. Açının başlangıç kenarı [OA dır.

IV. Açının yönü pozitiftir.

A) 0 B) 1

C) 2 D) 3

E) 4

3. Aşağıdaki açılardan hangisinin bitim kenarı [OA dır?

4. Aşağıdaki açılardan hangisinin yönü pozitiftir?

5. Aşağıda verilen açılardan kaç tanesi pozitif yönlü

açıdır?

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

6. Aşağıdaki koordinatları verilen noktalardan hangisi

birim çember üzerinde bulunmaz?

A) (–1, 0) B) f3

2,

1

2p C) (0, 1)

D) f3

5,

4

5p E) (1, –1)

Kolaydan zora

aşamalı

testlerin adını ve

numarasını

bildiren başlıklar

Kitabımızda neler var?

Ünite adı ve alt başlıklarınıanlatan sayfalar

Özet bilgilerin yer aldığı sayfalar

68

Soru 1

a) 210° lik bir açının radyan cinsinden değerini bulunuz.b) 5π

4 radyanlık bir açının derece cinsinden değerini bu-

lunuz.

Çözüm

Soru 2

sin3210° – tan(–675°)cos1200° + cos1620°işleminin sonucunu bulunuz.Çözüm

Soru 3

Aşağıdaki trigonometrik değerleri bulunuz.a) tan(41π)

b) cote 13π2

o c) cos17π4

Çözüm

Soru 4

π2

cos– sin(3π + a)

a –

tan(π – a) + cot 3π2

+ aişleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm

YAZILI SORULARIM

261

1. Ünite: Trigonometri

Çözüm 1

a) 180° π radyan ise

210° x

180x = 210π

x = 210π180

= 7π6

radyan

b) π radyan 180° ise

5π4

radyan x

x.π = 180. 5π4

x.π = 225π ⇒ x = 225°

Çözüm 2

3210° ≡ 8.360° + 330° ≡ 330°

–675° ≡ –2.360° + 45° ≡ 45°

1200° ≡ 3.360° + 120° ≡ 120°

1620° ≡ 4.360° + 180° ≡ 180°

sin3210° – tan(–675°)

cos1200° + cos1620° =

sin330° – tan45°

cos120° + cos180°

=

–1

2 – 1

–1

2 – 1

= 1 bulunur.

Çözüm 3

a) 41π ≡ 20.2π + π ≡ π

tan(41π) = tanπ = 0

b) 13π

2 ≡ 3.2π +

π2

≡ π2

cotf13π2p = cotfπ

2p = 0

c) 17π

4 = 2.2π +

π4

= π4

cosf17π4p = cos

π4

= 2

2

Çözüm 4

cosfa – π2p = cosfπ

2 – ap = sina

sin(3π + a) = sin(2π + π + a) = –sina

tan(π – a) = –tana

cotf3π2

+ ap = –tana

cosfa – π2p – sin(3π + a)

tan(π – a) + cotf3π2

+ ap =

sina – (–sina)

–tana – tana

= 2sina–2tana

= –sinasinacosa

= –cosa bulunur.

Çözüm 5

sinx

1 + cotx –

cosx

1 + tanx =

sinx

1 + cosx

sinx

– cosx

1 + sinx

cosx

=

sinx

sinx + cosx

sinx

– cosx

cosx + sinx

cosx

=

sin2x

sinx + cosx –

cos2x

sinx + cosx

=

sin2x – cos

2x

sinx + cosx

=

(sinx – cosx)(sinx + cosx)

sinx + cosx

= sinx – cosx bulunur.

Çözüm 6

Kosinüs teoremine göre,

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 – 2. |AB|. |AC|.cos120°

142 = x

2 + 102 – 2.x.10. f– 1

2p

196 = x2 + 100 + 10x ⇒ x

2 + 10x – 96 = 0

x 16

x –6

(x + 16) (x – 6) = 0

x = 6 br bulunur.

(Uzunluk negatif olamayacağı için x = –16 alınmaz.)

YAZILI SORULARININ ÇÖZÜMLERİ

Konuyu pekiştirmek için yazılı sorularının

bulunduğu sayfalar

Yazılı sorularının

çözümlerinin bulunduğu

sayfalar

1.

Ünite

TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar ............................................................................................ 8

Trigonometrik Fonksiyonlar ................................................................ 18

Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................... 42

Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri .................... 50

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ...................................................... 56

8

YÖNLÜ AÇILAR

YÖNLÜ AÇILARBaşlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

A

BO

Yukarıdaki şekilde O noktası açının köşesi, [OA ve [OB ışınları da açının kenarlarıdır. Açıyı AOB, BOA veya O şeklinde gösteririz.

Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı, diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde ettiğimiz açıya yönlü açı denir. Saatin dönme yönünde olan açılar negatif yönlü, saatin dönme yönünün tersi yönde olan açılar pozitif yönlü açılardır.

Saatin dönme

yönünün tersi

A

OB

+

Pozitif yönlü açıBOA

[OB ışını başlangıç kenarı[OA ışını bitim kenarı

A

OB

–Saatin dönme

yönünde

Negatif yönlü açıAOB

[OA ışını başlangıç kenarı[OB ışını bitim kenarı

Açıları adlandırırken başlangıç kenarı üzerindeki harf, açının köşesi ve bitim kenarı üzerindeki harf sırasını takip ederiz.

Açı Ölçü BirimleriKullanılan açı ölçü birimleri derece ve radyandır.

Derece

Bir tam çember yayının 360'ta birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1° şeklinde gösterilir.

A0

B1°

Bir tam çember yayının ölçüsü 360° dir.

1° lik açının 60'da birine 1 dakika denir ve 1ı ile gösterilir. Benzer biçimde 1ı lık açının 60'da birine 1 saniye denir ve 1

ıı ile gösterilir.

1° = 60ı ve 1ı = 60ıı

1° = 60ı = 3600ıı

Kısaca, saniye 60 a bölünürse dakika, dakika 60 a bölünür-se derece elde edilir.

q Örnek

62475 saniyelik açıyı; derece, dakika ve saniye cinsinden ifade edelim.

q Çözüm1° = 60ı = 3600ıı olduğu için

62475600 247 240

75 60 15

6060

171041 60 441 420

21

–

–

–

–

–

62475ıı = 17°21ı15ıı olur.

Radyan

Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

B

r

AO

r

Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.

Dereceyi D, radyanı R ile gösterirsek

D

360°R

2π= veya D

180°Rπ= olur.

9

YÖNLÜ AÇILAR - 1

1. E 2. C 3. B 4. C 5. C 6. E

1.

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Açının sembolle gösterimi AB ªC dir.

B) Açının başlangıç kenarı [BA dır.C) Açının bitim kenarı [BC dir.D) Açının yönü negatiftir.E) Açının bitim kenarı [BA dır.

2.

Yukarıdaki şekilde verilen açı için, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. Açının sembolle gösterilişi BO ªA dır. II. Açının bitiş kenarı [OB dır. III. Açının başlangıç kenarı [OA dır. IV. Açının yönü pozitiftir.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. Aşağıdaki açılardan hangisinin bitim kenarı [OA dır?

4. Aşağıdaki açılardan hangisinin yönü pozitiftir?

5. Aşağıda verilen açılardan kaç tanesi pozitif yönlü açıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Aşağıdaki koordinatları verilen noktalardan hangisi birim çember üzerinde bulunmaz?

A) (–1, 0) B) f32

, 12p C) (0, 1)

D) f 35

, 45p E) (1, –1)

10

YÖNLÜ AÇILAR - 2

1. E 2. C 3. D 4. E 5. B 6. C

1.

Yukarıda verilen açılardan hangileri EOªF yönlü açı-sını göstermektedir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III

2.

I. II.

III.

Yukarıdaki açılardan hangilerinin altında yönlü açı-lar doğru yazılmıştır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

3.

Yukarıdaki şekilde verilen x açısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 92° B) 105° C) 179° D) 185° E) 271°

4.

Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Şekil 1 deki x açısı negatif yönlü olup başlangıç ke-narı [AB, bitim kenarı [AC dir.

B) Şekil 2 deki y açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [EF, bitim kenarı [ED dir.

C) Şekil 1 deki x açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [AC, bitim kenarı [AB dir.

D) Şekil 2 deki y açısı negatif yönlü olup başlangıç ke-narı [EF, bitim kenarı [ED dir.

E) Şekil 1 deki x açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [AB, bitim kenarı [AC dir.

5. Birim çemberin üzerinde ve koordinat sisteminin ikinci bölgesinde bulunan bir noktanın ordinatı 3

2

olduğuna göre, bu noktanın apsisi kaçtır?

A) – 32

B) – 12

C) – 33

D) 12

E) 32

6.

m(AO ªK) =π3

radyan

O merkezli birim çember üzerindeki K noktasının apsisi kaçtır?

A) –3

2 B) –

3

2 C) –

1

2

D) –1

3 E) –

1

4

11

YÖNLÜ AÇILAR - 3

1. C 2. C 3. E 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B

1. 7π6

radyan kaç derecedir?

A) 150 B) 180 C) 210 D) 240 E) 280

2. Ölçüsü 315° olan açı kaç radyandır?

A) 3π4

B) 6π5

C) 7π4

D) 8π5

E) 9π4

3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 4π5

rad = 144° B) π

12rad = 15°

C) π rad = 180° D) π4

rad = 45°

E) 3π2

rad = 315°

4. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?

I. 120° = 2π3

rad

II. 72° = 2π5

rad

III. 80° = 4π9

rad

IV. 250° = 25π36

rad

V. 360° = 2π rad

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. A = 30°

B = 45°

C = 75°

olduğuna göre, A + B + C toplamı kaç radyandır?

A) 5π6

B) π C) 7π6

D) 4π3

E) 2π

6. D, O, A doğrusal noktalar,

m(AO ªB) = π4

radyan

m(BO ªC) = 90°

Buna göre, m(CO ªD) = x kaç radyandır?

A) π3

B) π4

C) π2

D) 2π3

E) 4π5

7. Bir ABC üçgeninde;

m(A ª) = π4

radyan

m(B ª) – m(C ª) = 49°

olduğuna göre, m(C ª) kaç derecedir?

A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45

8. Dik açının ölçüsü kaç radyandır?

A) π4

B) π2

C) 2π3

D) π E) 3π2

12

YÖNLÜ AÇILAR - 4

1. E 2. A 3. C 4. A 5. E 6. A 7. D 8. B

1. Tam açının ölçüsü kaç radyandır?

A) π4

B) π2

C) π D) 3π2

E) 2π

2. 12° 14ı 26ıı

açısının saniye cinsinden eşiti aşağıdakilerden han-

gisidir?

A) 44066 B) 42124 C) 41016

D) 40206 E) 39016

3. 28143ıı lik açının derece, dakika ve saniye olarak

eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8° 17ı 43ıı B) 7° 59ı 3ıı C) 7° 49ı 3ıı

D) 6° 49ı 3ıı E) 6° 39ı 33ıı

4. Ölçüsü 64° 27ı 32

ıı olan açının tümlerinin ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 25° 32ı 28ıı B) 25° 32ı 18ıı

C) 25° 33ı 28ıı D) 25° 33ı 18ıı

E) 24° 32ı 18ıı

5. m(A ª) = 27° 14ı 43ıı

m(B ª) = 40° 52ı 19ıı

olduğuna göre,

m(A ª) + m(B ª)

toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 66° 17ı 02ıı B) 67° 17ı 02ıı

C) 67° 17ı 12ıı D) 68° 06ı 02ıı

E) 68° 07ı 02ıı

6. m(A) = 4° 15ı 27ıı

m(B) = 15° 18ı 09ıı

olduğuna göre m(B ª) – 2m(A ª) farkı kaçtır?

A) 6° 47ı 15ıı B) 6° 15ı 47ıı

C) 5° 47ı 15ıı D) 5° 43ı 14ıı

E) 5° 43ı 15ıı

7. Bir ABC üçgeninin iç açıları A, B, C dir.

m(A ª) = 60° 47ı 52ıı

m(B ª) = 29° 49ı 18ıı

olduğuna göre, m(C ª) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 90° 37ı 10ıı B) 90° 27ı 10ıı

C) 89° 37ı 10ıı D) 89° 22ı 50ıı

E) 88° 22ı 50ıı

8.

Yukarıdaki şekilde, ABC üçgeninin dış açılarının ölçü-leri verilmiştir.

Buna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?

A) 152° 18ı 27ıı B) 151° 19ı 27ıı

C) 151° 18ı 27ıı D) 150° 19ı 27ıı

E) 150° 18ı 27ıı

13

YÖNLÜ AÇILAR - 5

1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C

1. Ölçüsü 410° olan açının esas ölçüsü kaç derece-

dir?

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

2. Ölçüsü 2170° olan açının esas ölçüsü kaç derece-

dir?

A) 10 B) 20 C) 80 D) 100 E) 110

3. Ölçüsü –55° olan açının esas ölçüsü kaç derece-

dir?

A) 275 B) 285 C) 300 D) 305 E) 315


dir?

A) 90 B) 150 C) 180 D) 240 E) 270


dir?

A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35


dir?

A) 70 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100


dir?

A) 110 B) 150 C) 180 D) 210 E) 220

8. Ölçüsü 12π5

radyan olan açının esas ölçüsü kaç

radyandır?

A) 4π5

B) 3π5

C) 2π5

D) π5

E) π

10

14

YÖNLÜ AÇILAR - 6

1. D 2. E 3. A 4. B 5. E 6. B 7. C 8. D

1. Ölçüsü 353π radyan olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) π4

B) π3

C) π2

D) π E) 2π

2. Ölçüsü 40π7


radyandır?

A) 4π7

B) 5π7

C) 9π7

D) 10π

7 E)

12π7

3. Ölçüsü – 2π5


radyandır?

A) 8π5

B) 7π5

C) 6π5

D) 3π5

E) 2π5

4. Ölçüsü – 135π7

radyan olan açının esas ölçüsü

kaç radyandır?

A) π7

B) 5π7

C) 16π

7

D) 13π

7 E) 2π

5. Ölçüsü – 238π11

radyan olan açının esas ölçüsü

kaç radyandır?

A) 16π11

B) 15π11

C) 10π11

D) 7π11

E) 4π11

6. –1800° nin esas ölçüsü x ve – 52π9

radyanlık açının ölçüsü y dir.

Buna göre, x + y toplamı kaç radyandır?

A) π9

B) 2π9

C) π3

D) 4π9

E) 2π3

7. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Ölçüsü 5π2

radyan olan açının esas ölçüsü 90° dir.B) Ölçüsü –π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.

C) Ölçüsü 412π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.

D) Ölçüsü –9π2

radyan olan açının esas ölçüsü 3π2

dir.

E) Ölçüsü 7π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.

8. Esas ölçüsü 150° olan açıların kümesi aşağıdakiler-den hangisine eşittir?

A) {xI x = 150° + k .180°, k ∈ Z}

B) {xI x = 30° + k .180°, k ∈ Z}

C) {xI x = 150° + k .90°, k ∈ Z}

D) {xl x = 150° + k .360°, k ∈ Z}

E) {xI x = 30° + k .360°, k ∈ Z}

15

YÖNLÜ AÇILAR - 7

1. B 2. E 3. B 4. E 5. D 6. D 7. B 8. A

1. 33524 saniyelik açının, derece, dakika ve saniye cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 9° 19ı 44ıı B) 9° 18ı 44ıı

C) 10° 18ı 44ıı D) 9° 28ı 44ıı

E) 10° 28ı 34ıı

2. x = 72° 40ı 25ıı ve y = 25° 62ı 37ıı

olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) 97° 43ı 22ıı B) 98° 33ı 2ıı

C) 97° 44ı 2ıı D) 97° 43ı 12ıı

E) 98° 43ı 2ıı

3. Ölçüsü –44π5

radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 4π5

B) 6π5

C) 7π5

D) π2

E) π3

4. I. Ölçüsü 2545° olan açının esas ölçüsü 25° dir. II. Ölçüsü –100° olan açının esas ölçüsü 260° dir. III. Ölçüsü –3570° olan açının esas ölçüsü 30° dir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

5. Ölçüsü 32π7

radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?

A) π7

B) 2π7

C) 3π7

D) 4π7

E) 5π7

6. Aşağıdaki açılardan hangisinin esas ölçüsü 3π5

rad-

yandır?

A) π5

B) –11π5

C) –53π5

D) –57π5

E) –62π5

7. Ölçüsü –53π radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 0 B) π C) π3

D) π2

E) 3π2

8. A = 23π9

radyan ve B = 1400° olduğuna göre, A + B toplamının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) π3

B) π6

C) 2π9

D) π9

E) π

18

16

YÖNLÜ AÇILAR - 8

1. A 2. D 3. B 4. C 5. E 6. D

1.

A f 14

, 154p

y

x

1

1–1

–1

O B

a

m(BOA) = a

Şekildeki birim çember üzerinde verilen A noktasının

koordinatları f 14

, 15

4p olduğuna göre, cosa.sina çar-

pımının değeri kaçtır?

A) 1516

B) 1515

C) 15 D) 15 + 116

E) 1516

2.

A f– 45

, 35p

y

Bx

1

1–1

–1

O

a

m(BOA) = a


koordinatları f– 4

5, 3

5p olduğuna göre, sina – cota farkı

kaçtır?

A) – 115

B) – 15

C) 75

D) 2915

E) 2720

3.

A f– 32

, – 12p

y

Bx

1

1–1

–1

O

a

m(BOA) = a


koordinatları f– 3

2, – 1

2p olduğuna göre, cosa – tana

farkı kaçtır?

A) – 3 B) –53

6 C) –

32

D) –36

E) 36

4.

A

y

x

1

1B

–1

–1

O60°

Şekildeki birim çemberde m(BOA) = 60° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1, 3) B) f32

, 12p C) f 1

2,

32p

D) (3, 1) E) f22

, 22p

5.

A

y

x

1

1B

–1

–1

O

Şekildeki birim çemberde m(BOA) = 150° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?

A) f– 22

, 22p B) f– 3

2,

32p C) f– 1

2,

12p

D) f– 12

, 32p E) f– 3

2,

12p

6.

A

y

x

1

1B–1

–1

O 45°

Şekildeki birim çemberde m(AOB) = 45° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?

A) f 12

, –12p B) (2, –2) C) f– 2

2,

22p

D) f22

, –22p E) (1, –1)

17

YÖNLÜ AÇILAR - 9

1. A 2. C 3. B 4. D 5. E 6. D 7. E 8. A

1. sin 270° – sin 90°cos 0° – cos 180°

işleminin sonucu kaçtır?

A) –1 B) –12

C) 0 D) 12

E) 1

2. tan 180° + cot 90° + cos 270°


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. sin 120° + sin 240° + cos 135°tan 225° – cot 315°


A) –32

B) –24

C) –14

D) 24

E) 32

4. cos 150° + sin 300°sin 240° + cos 210°


A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3

5. sin π

3 + cos 11π

6

tan 5π6


A) 3 B) 12

C) –12

D) –1 E) –3

6. cos 5π

4 – sin 3π

4

cot 4π3


A) 6 B) 2 C) –2 D) –6 E) –3

7. cot 5π

4 – tan 3π

4

cos 7π4

+ sin π4


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

8. cosπ + sin 3π

2

tan 7π6


A) –23 B) –3 C) 0 D) 3 E) 23

18

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARKosinüs ve Sinüs Fonksiyonları

y (sinüs ekseni)B(0, 1)

P(x, y)D

O C

A(1, 0) xθ

(kosinüs ekseni)

Birim çember üzerindeki P(x, y) noktası ile eşlenen açı m(A0ªP) = θ olsun.

P noktasının apsisine θ açısının kosinüsü denir ve cosθ şeklinde gösterilir.

P noktasının ordinatına da θ açısının sinüsü denir ve sinθ

şeklinde gösterilir. Buna göre,

cosθ = |0C| = x

sinθ = |0D| = y olur.

θ gerçel sayısını, cosθ ya dönüştüren fonksiyona kosinüs

fonksiyonu, sinθ ya dönüştüren fonksiyona da sinüs fonk-

siyonu denir.

Ayrıca, x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs eksenidir.

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarıyla ilgili aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir:

1.

P(x, y)sinθ

cosθOx

y

1

1

1

–1

–1

θ

Birim çember üzerindeki bir P(x, y) noktası için

x2 + y2 = 1 dir. Buradan, x = cosθ ve y = sinθ

olduğundan cos2θ + sin2θ = 1 özdeşliği elde edilir.

Örneğin, • sin220° + cos220° = 1 dir.

• sin2 π5

+ cos2 π5

= 1 dir.

2. yB(0, 1)

A(1, 0)C(–1, 0)

D(0, –1)–1

–1 1

1

x

Yukarıdaki şekilde,

• A(1, 0) olduğundan cos0° = 1

sin0° = 0 dır.

• B(0, 1) olduğundan cos90° = 0

sin90° = 1 dir.

• C(–1, 0) olduğundan cos180° = –1

sin180° = 0 dır.

• D(0, –1) olduğundan cos270° = 0

sin270° = –1 dir.

3. sinüs ekseni

P(x, y)

O–1

1

–1

1θ

kosinüs ekseni

x

y

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının alabileceği en küçük değer –1, en büyük değer 1 dir.

–1 ≤ cosθ ≤ 1–1 ≤ sinθ ≤ 1

Buna göre, kosinüs ve sinüs fonksiyonları cos : R → [–1, 1] ve sin : R → [–1, 1] biçiminde tanımlanır.

asinx + bcosx toplamının alabileceği en büyük değer a

2 + b2, en küçük değer – a2 + b2dir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

YÖNLÜ AÇILAR - 1

19

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

y = 1 (kontanjant ekseni)

x = 1 (tanjant ekseni)

C

BP

Oθ

Ax

ycotθ

tanθ

m(A0P) = θ ve P birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere, B noktasının ordinatına θ açısının tanjantı, C nokta-sının apsisine θ açısının kotanjantı denir.

tan: R – + kπ I k ∈ Z → R, f(x) = tanxπ2

cot: R – {kπ | k ∈ Z} → R, f(x) = cotx

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları bütün ger-çel sayı değerlerini alır.

– ∞ < tanx < ∞ ve –∞ < cotx < ∞

Önemli bir tablo:

Buraya kadar öğrendiklerimizle, 0°, 90°, 180° ve 270° nin trigonometrik oranlarını aşağıdaki tabloda gösterelim.

Açı (x) 0 rad

0 0

0

0

0

tanımsıztanımsız tanımsız

tanımsız tanımsız

1 –1

1 1–10

0

0

0

0

π rad 2π radradFonksiyon

sinx

cosx

tanxcotx

π2

rad3π2

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

K(0, b)y

x

P(x, y)

S(a, 0)

–1

–1 O

1

θ

Birim çember üzerinde P (x, y) noktası ile eşlenen açı θ ol-sun. Çembere P noktasında teğet olan doğrunun x eksenini kestiği noktanın (S noktasının) apsisine θ açısının sekantı denir ve secθ biçiminde gösteriler.

Aynı teğetin y eksenini kestiği noktanın (K noktasının) ordi-natına θ açısının kosekantı denir ve cscθ veya cosecθ bi-çiminde gösterilir.

secθ = a = |0S| = 1

cosθ dır.

cscθ = b = |0K| = 1

sinθ dır.

Trigonometrik Özdeşliklery sinüsekseni

kosinüsekseni

O

1

1

–1

–1

B

F

E

s

P

sx

Acθ

kotanjant ekseni

tanjant ekseni

T(1, t)

K(k,1)

Birim çemberin üzerindeki P noktasının apsisi kosinüs (c), ordinatı sinüs (s) olduğundan

c2 + s2 = 1 ⇒ cos2θ + sin2θ = 1 dir.

Buradan

• cos2θ = 1 – sin2θ

• sin2θ = 1 – cos2θ

eşitliklerini de yazabiliriz.

20

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Şekildeki birim çemberde,

|AT| = t = tanθ ve |BK| = k = cotθ dır.

Şekilden, 0FP ∼ 0AT ∼ KB0 benzerliklerini yazabiliriz. Bu benzerliklerden;

|0F||0A|

= |FP||AT|

⇒ c1

= st

⇒ t = sc

⇒ tanθ = sinθcosθ

|0F||KB|

= |FP||B0|

⇒ ck

= s1

⇒ k = cs

⇒ cotθ = cosθsinθ

Bulduğumuz bu eşitliklerlen

tanθ = 1

cotθ veya tanθ .cotθ = 1

yazabiliriz.

Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleriKoordinat düzlemindeki bölgeler ve bu bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri aşağıdaki birim çember üzerinde gösterilmiştir.

2. Bölge90° < θ < 180°

sinüs ekseni

sinθ(+)cosθ(–)tanθ(–)cotθ(–)

sinθ(+)cosθ(+)tanθ(+)cotθ(+)

sinθ(–)cosθ(+)tanθ(–)cotθ(–)

sinθ(–)cosθ(–)tanθ(+)cotθ(+)

1. Bölge0° < θ < 90°

4. Bölge270° < θ < 360°

3. Bölge180° < θ < 270°

kosinüsekseni0

< θ < 2π3π2

π < θ <3π2

0 < θ <π2

< θ < ππ2

90° c π2m den Büyük Açıların

Trigonometrik Oranları θ açısı d π

2 ± θo veya d 3π

2 ± θo şeklinde yazılmış ise ön-

celikle θ dar açı kabul edilip açının bulunduğu bölge tespit edilerek trigonometrik ifadenin işareti bulunur. Daha son-ra trigonometrik fonksiyonun adı sin ⇔ cos, tan ⇔ cot, sec ⇔ cosec şeklinde değiştirilir.

• cosc π2

– θn = sin θ

• sinc π2

– θn = cos θ

• tanc π2

– θn = cot θ

• cotc π2

– θn = tan θ

• cosc 3π2

– θn = –sin θ

• sinc 3π2

– θn = –cos θ

• tanc 3π2

– θn = cot θ

• cotc 3π2

– θn = tan θ

• cosc 3π2

+ θn = sin θ

• sinc 3π2

+ θn = –cos θ

• tanc 3π2

+ θn = –cot θ

• cotc 3π2

+ θn = –tan θ

• cosc π2

+ θn = –sin θ

• sinc π2

+ θn = cos θ

• tanc π2

+ θn = –cot θ

• cotc π2

+ θn = –tan θ

θ açısı (π ± θ) ve (2π ± θ) şeklinde yazılmış ise θ açısı dar açı kabul edilip bulunduğu bölge tespit edilerek trigonometrik ifadenin işareti bulunur. Trigonometrik fonksiyonun ismi değişmez.

• cos(π – θ) = –cos θ

• sin(π – θ) = sin θ

• tan(π – θ) = –tan θ

• cot(π – θ) = –cot θ

• cos(π + θ) = –cos θ

• sin(π + θ) = –sin θ

• tan(π + θ) = tan θ

• cot(π + θ) = cot θ

• cos(2π – θ) = cos(– θ) = cos θ

• sin(2π – θ) = sin(– θ) = –sin θ

• tan(2π – θ) = tan(– θ) = –tan θ

• cot(2π – θ) = cot(– θ) = –cot θ

cos(–x) = cosx, sin(–x) = –sinx,

tan(–x) = –tanx ve cot(–x) = –cotx

olduğundan cosx fonksiyonu çift fonksiyon, sinx, tanx ve cotx fonksiyonları tek fonksiyondur.

müfredatına uyumlu 11. SINIF TİK±… · Ertem Basım Yayın Dağıtım San. Tic. Ltd. Şti....

Documents

Transcript of müfredatına uyumlu 11. SINIF TİK±… · Ertem Basım Yayın Dağıtım San. Tic. Ltd. Şti....