metnum
-
Upload
muzaroh-khotimah -
Category
Documents
-
view
23 -
download
0
description
Transcript of metnum
BAB 4INTERPOLASI
1. Pendahuluan
Interpolasi merupakan suatu upaya untuk menentukan nilai-nilai antara yang ada
dalam suatu kumpulan data. Hasil atau keluaran yang didapatkan dari proses interpolasi
ada 2 macam yaitu :
a). berupa suatu fungsi yang menghubungkan kesemua titik yang diinterpolasi b). berupa
suatu nilai yang dicari pada suatu nilai variabel bebas.
Metoda-metoda yang termasuk jenis pertama antara lain : Metoda Interpolasi
Polinomial, Metoda Interpolasi Trigonometri dll. Sedangkan metoda-metoda interpolasi
yang termasuk jenis kedua adalah metoda Newton Gregory, Metoda Interpolasi
Lagrange, Metoda Interpolasi Fungsi Bessel dll.
Pernyataan : y=f(x), x0, xn berarti menunjukan bahwa setiap nilai x dalam
interval x0, xn ada satu atau lebih nilai-nilai y. Dengan mengasumsikan bahwa f(x)
bernilai tunggal dan kontinyu serta diketahui secara eksplisit, maka nilai-nilai f(x) yang
bersesuaian dengan nilai x0, x 1, ..., x n, dapat dengan mudah dihitung atau ditabelkan.
Masalah pokok dalam analisa numerik merupakan kebalikan dari fakta yang ada
dalam kenyataan: “Diberikan (x0, y0,), dan (x1, y1,) . . . (xn, yn) yang memenuhi
persamaan f(x) yang secara eksplisit tidak diketahui, dan suatu fungsi yang lebih
sederhana, katakan (x), sehingga f(x) dan (x), memenuhi pada titik-titik yang telah
ditabelkan.
Bila (x) merupakan suatu polinomial, maka prosesnya disebut interpolasi dan
(x) disebut fungsi interpolasi polinomial. Banyak macam fungsi interpolasi misal Deret
Trigonometri, Deret Fungsi Bessel, dll.
Dalam hal ini kita akan membatasi fungsi polinomial interpolasi polinomial
Teori dasar (Weierstrass - 1885)
Jika f(x) kontinyu dalam x0, xn dan diberikan > 0, serta ada suatu polinomial
P(x) sehingga f(x) - P(x) untuk semua x dalam (x0, x n ), maka memungkinkan
untuk mendapatkan suatu polinomial P(x) yang mempunyai
grafik tetap dalam daerah yang dibatasi olah y = f(x) - , dan y = f(x) + , untuk semua x
antara x0, dan x n.
2. Kesalahan dalam Interpolasi Polinomial
Bila fungsi y(x) didefinisikan dalam (n+1), titik-titik (xi, x i ), I = 0, 1, 2, ..., n adalah
kontinyu dan dapat diturunkan sebanyak (n+1) kali, dan bila y(x) didekati dengan suatu
polinomial Pn(x) berderajat tidak lebih dari n maka
Pn(xi)= yi, I = 0, 1, 2, . . ., n ............................................................... (4-1)
Jika kita sekarang menggunakan Pn(x) untuk mendapatkan nilai-nilai dari y(x)
pada beberapa titik lain yang didefinisikan dalam persamaan (4-1). Berapa ketelitian
yang akan terjadi pada metode ini? Karena y(x)-Pn(x) akan habis dibagi, maka nol
nilainya untuk x = x0, xi, ... xn, kita mengambil
y(x) P (x) L (x)n
dimana (x) = (x - x x - x x - x0 1 n)( )...( )
dan L ditentukan sehingga persamaan y(x) P (x) L (x)n sepadan/sama untuk
setiap nilai antara dari x, katakan x=x’, x0, x n, secara nyata
Ly x P x
xn
( ' ) ( )
( ' )
Kita membuat fungsi F (x0) sehingga
F x y x P x L xn( ) ( ) ( ) ( )0 1
F x y x P x L xn( ) ( ) ( ) ( )1 1 dst
Maka F(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n+2
F’(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n+1
F’’(x) akan habis bila diturunkan sebanyak n
dst
Dalam hal khusus
F(n+1)(x) akan habis pada sekali diturunkan
Bila diberikan x = , x0 << xn, pada penurunan ke (n+1) terhadap x dan mengambil x =
kita dapatkan
0 11) y L nn( ( ) ( )!
Ly
n
n
( ( )
( )!
1)
1
Dari persamaan yang ada
Ly x P x
x
y
nn
n
( ' ) ( ' )
( ' )
( )
( )!
(
1)
1
y x P xy
nxn
n
( ' ) ( ' )( )
( )!( ' )
(
1)
1
y x P xy
nx x xn
n
n( ) ( )( )
( )!( ),
(
1)
01
Interpolasi 70
Tetapi y(x) umumnya tidak diketahui, maka kita tidak mempunyai informasi mengenai
y(n+1)(x), sehingga formulasi tidak dapat digunakan dalam praktek perhitungan. “Tetapi
rumus dasar tersebut akan digunakan untuk menentukan kesalahan dalam interpolasi
Newton yang akan diberikan kemudian”
3. Interpolasi Dengan Hasil Suatu Nilai.
3.1. Metoda Newton Gregory.
3.1.1. Pengertian Differensial Terbatas (Finite Differences)
Seandainya ada tabel nilai (xi, yi), i = 0,1,2,...,n dari suatu fungsi y = f(x) dan nilai-
nilai x mempunyai interval yang sama sehingga
xi,= x0,+ih, i = 0,1,2,...,n
dan seandainya nilai-nilai f(x) diperlukan dari beberapa nilai x, atau menurunkan f(x) dari
beberapa x dalam interval x0 x xn maka metode pemecahan ini didasarkan pada
konsep differensial dari suatu fungsi yang telah kita proses untuk mendefinisikan
A. Pengertian Differensial ke Arah Kanan
(Forward differences) = Formula Georgy - Newton. Opertaor Defferensial ke kanan
ditulis dengan simbol + dan didefinisikan sebagai
f x f x h f x( ) ( ) ( )
n nf x f x( ) ( ( ))1
Dengan melakukan beberapa kali + pada f(xj)=fj, maka akan terjadi
f f f
f f f
f f f f
f f f f
f f
f f f
f f f
f f f f f f
f
j j j
j j j
j j j j
j j j j
j j
j j j
j j j
j j j j j j
1
2
1
2 1 1
2
2 1
3 2
1 2
1 2
1 2 1 3 2
2
2
2
2
=
=
= - +
=
= j j j jf f f 3 31 2 3
Maka secara umum dapat ditulis
Cn
k n k
f C f j k
nk
nj
n k
k
n
nk
!
( ) !)
( ( ( )
1 (
1 ) 1 )0
Tabel berikut memberikan konstanta untuk 5 turunan pertama
Interpolasi 71
fj (yj) fj+1 fj+2 fj+3 fj+4 fj+5
f j-1 1
2 f j
1 -2 1
3 f j
-1 3 -3 1
4 f j
1 -4 6 -4 1
5 f j
-1 5 -10 -10 -5 1
Dasar suatu interpolasi mempunyai interval konstan
xj-xj-1=h untuk sembarang nilai j
Dasar dari formula yang digunakan, tersusun dengan :
a. Formula Newton, yang dinyatakan dengan bantuan defferensial yang tidak terbagi
b. Operator kecepatan E didefinisikan
Ef(x) = f(x+h)
dimana h adalah interval dari x, dan penggunaan E untuk n kali memberikan Enf(x) =
f(x+nh)
formula progesive dari Newton Gregory
Absis x ditentukan kedudukannya terhadap salah satu titik sembarang x j yang
merupakan dasar dari interpolasi, dan dapat dituliskan sebagai:
x = x j = r h
maka untuk f(x) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
f(x) = f(xj+rh) = Er xj = (1++)rf j
dari rumus binome, dapat ditulis
f xr r r k f
k
k
j
k( )
( )...( )
!
1 1
0
Sehingga rumus Newton-Gregory progesive (ke arah kanan) dapat ditulis sebagai
berikut:
Contoh :
1. Dari tabel berikut hitung 5 f j
j 1 2 3 4 5 6
f 2 8 4 0 -2 -6
5 f j =-f1 + 5f2 - 10f3 +10f4 + 5f5+f6
= -2 + 5(8) - 10(4) + 10 (0) - 5(-2) - 6
= -2 + 40 - 40 + 0 + 10 - 6 = 2
2. Diketahui f(x) = 3x4 + 2x3 -2x + 2
hitung 3 f j
Interpolasi 72
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 62 293 890 2117
3 f j = -f1 + 3f2 - 3f3 +f4
= - 5 + 3(62) - 3(293) + 890 = 192
B. Differensial Kekiri (Backward Differences)
(Formula Gregory-Newton)
Operator differensial kekiri dilambangkan dengan atau dan didefinisikan oleh
f f j f jj ( ) ( )1
Formula-formula interpolasi Newton-Gregory kearah kiri ditetapkan dengan cara yang
sama seperti pada differensial ke arah kanan : Kita mengekspresikan f(xj+rh)=Erf(xj)
f x f x f x h( ) ( ) ( )
f x fn( ) ( )1
Dengan mengaplikasikan n kali operator pada fj memberikan
nj
knk
j kk
n
f C f( )10
fj fj-1 fj-2 fj-3 fj-4 fj-5
f j1 -1
2 f j
1 -2 1
3 f j
1 -3 3 -1
4 f j
1 -4 6 -4 1
5 f j
-1 -5 10 -10 5 1
f x f x E f x E( ) ( ) ( )1 11 atau
atau
E
Er r r r k
k
Er r r r k
k
r k
k
k
r
k
k
( )
( ) ( )...
!( )( )...( )
!
1
1 11 2
1 2 1
1
10
0
1
1
maka kita mendapatkan F(x)=f(xj+rh) = Er fj
f x f r fr r
fr r r
fj j j j( )( )
!
( )( )
!
1
2
1 2
32 3
C. Differensial ke Pusat
Interpolasi 73
Operator differensial ke pusat : 0 yang didefinisikan
0 2 2f x f x h f x h( )
0 0 0
1n nf x f( )
Sehingga akan didapatkan
0
12
12 E E
Dengan mengaplikasikan operator ini pada fj, kita mendapatkan
0 12
12
f f fj j j
tetapi f j 12 tidak diketahui dan kita mendefinisikannya dari indek genap (bulat)
f f f f fj j j j j j 12 1 1
21
1
2
1
2 dan f
Nilai-nilai ini dimasukkan pada persamaan memberikan
0 1 1 1
1 1
1
2
1
21
2
f f f f f
f f
j j j j j
j j
=
0
2 f j diperoleh dengan mengaplikasikan 0 pada persamaan dasar differensial ke
pusat. Untuk differensial ke - 3
0
3
0 1 1
0 1 0 1
11
2
1
2
1
21
2
1
21
1
2
2
2
2
f f f f
f f f
f f f f f f
j j j j
j j j
j j jj j
j
=
=
=
=
=1
2
=1
2
f f f f f f
f f f f
f f f f f f f f
f f f f
f
j j jj j
j
j jj
j
j j j j j j j j
j j j j
j
11
2
1
2
1
21
2
1
21
1
2
11
2
1
21
21
1
2
2 1 1 1 1 2
2 1 1 2
0
3
2 2
3 3
31
23
1
2
1
21
22 f f f fj j j j 2 1 1 22 2
Sehingga didapatkan persamaan / bentuk tabel sebagai berikut
Interpolasi 74
fj-3 fj-2 fj-1 fj fj+1 fj+2 fj+3
f j-1 0 1
2 f j
1 -2 1
3 f j
-1 2 0 -2 1
4 f j
1 -4 6 -4 1
5 f j
-1 4 -5 0 -5 -4 1
Dengan demikian persamaan umumnya dapat dituliskan sebagai berikut
on
jk
nk
j N kk
n
f C f ( ) ( @ )/1 2
0
Dan harus dibedakan dalam hal n (genap/ganjil) sehingga diperoleh
genap
n = 2p
ganjil
n = 2p + 1
0
2
20
2
0
2
2
0
2 1
2 1 10
2 1
1 1
1
21
p
j
k
p
k
j p k
k
k
p
k
p
p
k
j p k
p
j
k
p
k
j p k j p kk
p
f C f C f
f C f f
( ) ( )
( )
3.2. Bentuk Polinomial Newton
Kita mendefinisikan defferensial terbagi berorde 0, 1, 2,..., n dengan
(xi) f = f(xi) = fi orde 0
x x f
f x f x
x xi j
j i
j i
,
, (i j) orde 1
x x x f
x x f x x f
x xi j k
i k i j
k j
, ,, ,
, (j k) orde 2
x x x f
x x
x x
x x
x x
x xi j kk j
k i
k i
j i
j i
, ,
1 f f f f
x x x f
x x x x x x x x
x x x x x xi j k
j i k i k i j i
k j k i j i
, ,
f f f f
Secara umum
dimana : e = mewakili himpunan dari titik-titik x0, x1, x2, ..., xn-2
Dengan demikian kita mendapatkan, dengan cara terbalik, persamaan f(x) dengan
bantuan differensial terbagi pada orde 1
x x f f x f x x x0 0 0, ( ) ( ) /
Interpolasi 75
f x f x x x x x( ) ( ) , 0 0 0
kemudian,
x x x f x x f x x f x x0 1 0 0 1 1, , , , /
x x f x x f x x x x x f0 0 1 0 1, , , ,
f x f x x x f x x x x x x x x f( ) ( ) , , , 0 0 1 0 1 0 1
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
*
f x f x x x x x f x x x x x x x f
x x x x x x x x x x fn n
( ) ( ) , , ,
... .. , , ... , ,
0 0 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1
Dengan mendekati f(x) dan P(x); data titik-titik x0, x1, ... , xn akan dilalui oleh P(x)
x x f x x fn0 1 0, , .... , , ... , dapat ditentukan dengan rumus yang ada
Persamaan *) di atas dapat didekati dengan P(x) kecuali elemen yang terakhir. Sehingga
didapatkan persamaan berikut :
P x f x x x x x f x x x x x x x f
x x x x x x x x x fn n
( ) ( ) , , ,
... .. , , ... ,
0 0 0 1 0 1 0 1 2
0 1 1 0 1
Sehingga :
f x P x x x x x x x x x fn n( ) ( ) .... , , ... , , 0 0 1
dimana kesalahan interpolasi ditunjukan oleh :
( ) .... , , ... , ,
, , ... , ,
x x x x x x x x x f
S x x x x x
n n
n n
0 0 1
0 1 = ( ) f
dimana :
S x x x x x xn n 0 1 ....
3.2.1. Perhitungan differensial terbagi x x x xn0 1, , ... , , f
Pada dasarnya perhitungan differensial terbagi tidak memerlukan urutan / tidak
tergantung pada penomeran elemennya.
Misalnya :
**)
x x x x x x x x x
x x x x f x x x x x f x x
x x x x f x x x f x x
n n n n
n n n n n
n n n n
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
, , ... , , , , ..., , ,
, , ... , , , , ... , , ,
, , ... , , , , ... ,
f = f =
/
/
maka dapat menulis operator berikut
ij i n jf x x x , ,... ,1 1 f
Sehingga persamaan **) dapat ditulis :/ disederhanakan
Interpolasi 76
on n n nf f f x x 1 1 0 1 0, , /
atau lebih umum dapat ditulis
ij
i j j i j
i j ix x
, ,1 1
Dengan demikian differensial terbagi dapat ditabelkan sebagai berikut :
x0 f0 01f 02f 03f ........ 0n-1f 0nf
x1 f1 11f 12f 13f 1n-1f
x2 f2 21f 22f 23f
x3 f3 31f 32f
x4 f4 41f
Sebagai contoh :
13f = (22f - 12f) / (x4 - x1)
Contoh perhitungan
Pada tabel di bawah tentukan susunan differensial terbaginya
Interpolasi 77
j 0 1 2 3 4
xj -2 -1 1 4 6
fj 96 21 -3 186 1512
susunan differensial terbagi:
1 xi i0f=fi i1f i2f i3f i4f
0 -2 96 -75 21 -1 2
1 -1 21 -12 15 15 P0(t) = 0nf
2 1 -3 63 120
3 4 186 663
4 6 1512
misal : 13f = (22f - 12f) / (x4 - x1)
15 = 120 - (+15) / (6-(-1)) = 15
Sehingga didapatkan algoritma sebagai berikut :
i = 0 ke n i0f = f(xi) = fi
i 0 ke n j
j 1 ke n
3.2.2. Penerapan dalam Perhitungan Interpolasi
Persamaan polinomial Pn(x) dapat didekati dengan persamaan :
P x f x x x x f
f x f
n jj
n
j
jj
n
j
( ) ...
0 0 11
0
01
0
=
Maka polinomial berderajat 4 dari tabel di atas dapat ditulis sebagai berikut :
P4(x) = 96 - 75( x + 2) + 21( x + 2 )( x + 1 ) – (-1)( x + 2 )( x + 1 )( x - 1 ) + 2 (x + 2 )( x +
1) ( x - 1 )( x - 4 )
Untuk menghitung P4(2) maka dapat digunakan Algoritma Horner sebagai berikut:
k t t x P t f
P t f
k n k k n k
n
1 1 0
0 0
ke n P ( ) ( )
( )
,
dari contoh di atas
P0 (2) = 2
P1 (2) = (2 - x (4-1)) P1-1 (2) + 0,4-1f
= (2 - 4) 2 - 1 = -5
P2 (2) = (2 - x (4-2)) P2-1 (2) + 0,4-2f
= (2 - 1) (-5) + 21 = 16
P3 (2) = (2 - x (4-3)) P3-1 (2) + 0,4-3f
= (2 +1) 16 - 75 = -27
Interpolasi 78
P4(2) = (2 - x (4-4) P41 (2) + 0,4-4
= (2 - 2)(-27) + 96 = -12
Dalam prakteknya, algoritma di atas sedikit digunakan, karena metode tersebut membuat
kita telah menetapkan derajat dari polinomial interpolasi Pn(x)
Satu dari keuntungan-keuntungan interpolasi Newton adalah tidak diwajibkan
menentukan derajat fungsi polinomial tersebut. “Untuk mengevaluasi f(t), kita memilih x j
yang paling dekat dengan t, dan kita menyebutnya x0, yang memberikan aproksimasi
berorde 0, sehingga :
P0(t) = f0
kemudian titik x1 dipilih sehingga x0 dan x1 mengitari t, sehingga kita mendapatkan
aproksimasi linier yang merupakan suatu nilai baru yang pada prinsipnya lebih teliti.
f(t) f0(t) ( t-x0 ) 01f
dan seterusnya
Contoh :
hitung pada t = 1.2 nilai dari fungsi yang didefinisikan oleh tabel berikut:
x 0 1 2 3 4
f 1 2.7183 7.3891 20.0855 54.5482
Penyelesaian :
kita menyusun tabel differensial terbagi dengan mengambil x0 = 2, x1 = 1, x2 = 3, x3 =
0, x4 = 4.
I xi 01f=ff i1f i2f i3f i4f0 2 7.3897 4.6708 4.0128 0.8455 0.36331 1 2.7183 8.6836 2.3218 1.57202 3 20.0855 6.3618 7.03783 0 1.000 13.39964 4 54.5982
Maka didapatkan secara suksesi sebagai berikut :
P1 = 7.3891 + (1.2 - 2) 4.6708 = 3.6525
P2 = 3.6525 + (1.2 - 2) (1.2 - 2)4.0128 = 3.0105
P3 = 3.0105 + (1.2 - 2) (1.2 - 2) (1.2 - 3)0.8455 = 3.2540
P4 = 3.2540 + (1.2 - 2) (1.2 - 2) (1.2 - 3) (1.2 - 4)0.3633 = 3.3796
Kita dapat melihat bahwa pendekatan orde ke k-1 digunakan untuk mendapatkan
aproksimasi orde ke k adalah cukup dengan mendapatkan 0,k-1 untuk mendapatkan 0k.
Nilai 0,k-1 memerlukan nilai-nilai k-1-j,j untuk j = 0 ke k-1
Maka kita mempunyai algoritma sebagai berikut :
P1(t) = f0 + 0 01f
0 = (t - x0)
Interpolasi 79
kemudian untuk k 2
Pk(t) = Pk-1(t)+ k-1 (t) 0kf
k-1 = (t-xk-1) k-2(t)
0kf diberikan untuk j = 0 ke k
k j jf
k j j k j j
k k j
f
x x
,
,1, 1 1
Contoh di atas menggambarkan keterbatasan type aproksimasi ini. Ketelitian
ditingkatkan dengan mengganti f(x) dengan polinomial berderajat 0,1,2,3,...,k pada
kondisi tetap pada interval yang sama disekitar t sehingga makin banyak mengambil titik-
titik xj. Sebenarnya untuk setiap waktu, titik-titik x j berselang-seling, dan kita mengambil
keuntungan untuk menaikan derajat polinomial interpolasi.
3.3. Bentuk Polinomial Lagrange
3.3.1. Ekspresi dari polinomial interpolasinya
Dengan memperhatikan n+1 polinomial-polinomial Lj(x) berderajat n, dimana
masing-masing terdefinisi untuk derajat j = 0,1,2,...,n
L xx x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x xj
j j n
j j j j j j j n
( )... ...
... ...
0 1 2 1 1
0 1 1 1
maka Lj(x) dapat ditulis dalam bentuk lain
L xx x
x xjkk j
nk
j k
( )
0 ........................................................................................ (4-2)
Dari persamaan (4-2) jika i = 0, 1, 2, . . ., n, maka kita akan mempunyai hubungan
sebagai berikut:
Lj (xi) =
Jadi Lj (xi) adalah identik pada simbol Kronecker ij
Lj (xi) = ij
Polinomial Lj (x) disebut polinomial lagrange yang melewati n+1 titik-titik yaitu x0,x1,...,xn,
maka dapat ditulis :
P x f x L x
P x f x L x f x f x
n j jj
n
n i j j i j ij ij
n
j
n
( ) ( )
( ) ( )
0
00
Contoh:
Suatu hubungan nilai-nilai tertentu antara x dan log10x adalah seperti (300, 2.4771), (304,
2.4829),(305,2.4843),(307, 2.4871)
Hitung log10 301penyelesaian :
Interpolasi 80
P x f x L xn j jj
n
( ) ( )
0
Penggantian pendugaan nilai x dengan y dalam persamaan
P x L x fn j jj
n
( ) ( )
0
, akan menjadikan bentuk persamaannya ,menjadi
P y L y xn j jj
n
( ) ( )
0
4. Metoda Interpolasi dengan Hasil Suatu Fungsi.
4.1. Metode Pendekatan dari Fungsi Interpolasi g(x)
Metode-metode pendekatan yang dapat menentukan fungsi g(x) ada 4 tipe:
a. Metode Collocation : kita membuat fungsi g(x) berimpit dengan f(x) untuk suatu
jumlah nilai variabel x : g(xj)=f(xj), j = 0,1,2,...,n
b. Kurva Osculatris : membuat fungsi g(x) berhimpit tidak hanya dengan f(x) tetapi juga
dengan turunan-turunan sampai ke n, pada xj
c. Metode “Moindre Carres”: Metode kuadrat terkecil fungsi g(x) tidak harus mendekati
titik (xj, fj) tetapi melalui antara titik-titik tersebut, dengan kondisi jumlah kuadrat jarak
g(xj) dengan f(xj) adalah minimal
d. Metode min-max : Fungsi g(x) melalui juga titik-titik (x j, fj) dengan kondisi yang mana
jarak g(x) dari titik yang paling jauh adalah sekecil mungkin
Kita hanya akan mempelajari tipe yang pertama
4.2. Bentuk-Bentuk Polinomial
Bila diberikan f(x) yang didefinisikan oleh nilai-nilai f j, dan f(x) melalui x0, x1, x2,...,
xj, kita dapat mengganti f(x) dengan polinomial P(x) dengan derajat n, yang mana juga
Interpolasi 81
akan melewati titik (xj, fj) , j = 0,1,2,...,n. Polinomial ini unik, tetapi dapat dituliskan dalam
bentuk-bentuk yang berbeda. Salah satu polinomial tersebut diberikan sebagai berikut:
Polinomial berderajat n ditulis dalam bentuk
P x a a x a x a xn n
n( ) ... 0 1 1
2
4.3. Perhitungan Koefisien Polinomial
Koefisien adalah aj, j= 0,1,2,...,n
Kondisi dari “Collocation” P xj fn j( ) pada n+1 titik-titik xj memberikan persamaan umum
berikut:
a a x a x a x fj j n j
n
j0 1 1
2 1
0
...
( j = ke n)
Dengan matrik dapat dituliskan
1
1
1
0
20
10 0
1
21
11 1
2 1
0
1
0
1
x x x x
x x x x
x x x x
a
a
a
f
f
f
n n
n n
n nn
nn
n n n
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. .
..
.
.
.
.
.
Contoh : Tentukan suatu polinomial berderajat 4 yang melewati titik-titik (xj, fj) berikut
j 0 1 2 3 4
xj -2 -1 1 4 6
fj 96 21 -3 186 1512
Dengan persamaan matrik dapat ditulis
Interpolasi 82
1
1
1
1
1
1 2 2 2 2
1 1 1 1 1
0 0
2
0
3
0
4
1 1
2
1
3
1
4
2 2
2
2
3
2
4
3 3
2
3
3
3
4
4 4
2
4
3
4
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
2 3 4
2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a
a
a
a
a
f
f
f
f
f
1 1 1 1 1
1 4 4 4 4
1 6 6 6 6
96
21
3
186
1512
2 3 4
2 3 4
2 3 4
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
Maka a0 = 6, a1 = -7, a2 = 1, a3 = -5, a4 = 2, sehingga
P4(x)=6 - 7x + x2 - 5x3 + 2x4
4.4. Interpolasi dengan Skema Horrer
Bila fungsi polinomial sudah diketahui, sekarang akan menghitung nilai x = t,
dimana t = xj. Nilai yang dihitung akan dipertimbangkan sebagai nilai yang mendekati
f(x=t). Perhitungan dari Pn ( x=t ) berawal dari penentuan setiap komponen pada
persamaan polinomial Alogaritma Horrer yang lebih ekonomis dengan menuliskan
polinomial dalam bentuk
P x ... a x a x a x a x a x an n n 1 n 2 n 3 1 0
yang memberikan algoritma sebagai berikut:
Po(x) = an, Pk(x) = x Pk-1 (x) + an-k
Pembuktian algoritma Horrer: misal n = 4
k = 0 P0 (x) = an = a4
k = 1 P1(x) = x P0 (x) + a3
k = 2 P2(x) = x P1 (x) + a2
k = 3 P3(x) = x P2 (x) + a1
k = 4 P4(x) = x P4 (x) + a0
P4(x) = x (xP3(x)+a1+a0
P4(x) = x(x(xP1(x)+a2)+a1)+a0
P4(x) = x(x(x(xP0(x)+a3)+a2)+a1)+a0
P4(x) = x(x(x(xa4+a3)+a2)+a1)+a0
misal : diketahui P4(x)= 2x4-5x3+x2-7x+6
hitung P4 (x=2) = ?
Interpolasi 83
a4 a3 a2 a1 a0
ak (susunan menurun) : 2 -5 1 -7 6
Pk (susunan menaik) : 2 -1 -1 -9 -12
P0(x) P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)
Maka P4(2) =-12 (Perhitungan lebih ekonomis dalam bahasa pemrograman)
4.5. Interpolasi Dengan Pembagian Sintesa
Fungsi polinomial Pn(x)dapat ditulis sebagai
Pn(x) = (x-t) Qn-1(x) + Rn
dimana
Qn-1(x) adalah polinomial dengan derajat n-1 dan Rn suatu konstanta
Qn-1(x) = bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b0
Dengan membuat x=t maka Rn Pn (t)
yang membawa/menjadikan persamaan-persamaan berikut:
Q (x ) b x b x ... b
P (x ) a x a x a ... a x
n 1 n 1n 1
n 2n 2
0
n 0 12
2 nn
a xa x a ... a x0 1
2
2 n
n = ( b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 ) ( x-t ) + Rn
a xa x a ... a x0 1
2
2 n
n = (x b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn-1 xn-1 ) ( x - t ) + Rn
Sehingga didapatkan persamaan:
bn-1 = an
aj = bj-I - tbj { bj-I= aj + tbj ( 1 j n-1 )
a0 = Rn - tb0 Rn = a0 + tb0
Contoh : diberikan polinomial berderajat 4
P4(x) = 2x4 - 5x3 + x2 - 7x + 6 hitung P4(2)
J 4 3 2 1 0
P4 Aj 2 -5 1 -7 6
Q3 bj 2 -1 -1 -9 -12 = R4
maka P4 (2) = -12
Q3(x) = 2x3 - x2 - x - 9
Untuk menguji
P4 (x) = (x-2) Q3(x) +Rn
= (x-2) (2x3 - x2 - x - 9) - 12
= 2x4 - 5x3 + x2 - 7x + 6
Secara umum akan didapatkan Q2 sampai Q0 dan R3 samapi R0 sebagai berikut:
Interpolasi 84
J 4 3 2 1 0
P4 aj 2 -5 1 -7 6
Q3 bj 2 -1 -1 9 -12 = R4
Q2 cj 2 3 5 1 = R3
Q1 dj 2 7 19 = R2
Q0 ej 2 11 = R1
2 = R0
Dari tabel tersebut dapat dituliskan persamaan
P4(x) = Q3 (x) (x-2) - 12
Q3 (x) +(x-2)Q2 + 1
Q2(x) = (x-2) Q1 + 19
Q1(x) = (x-2) Q0 + 11
Q0(x) = 2
Dengan mengembalikan persamaan polinomial P4(x)
P4(x) = -12 + ( x - 2 ) ( 1+ ( x - 2 ) ( 19 + ( x - 2 ) ) ( 11 + ( x - 2 ) 2 )))
5. Keterbatasan Pendekatan dengan Polinomial
Polinomial Pn (x) mewakili pendekatan f(x) dengan memberikan
Sn(x) = (x - x0 ) ( x - x1 ) ... (x - xn )
kita dapat tunjukkan bahwa kesalahan terhadap Collocation berharga :
(x) = f(x) - P(x) = fn+1 ( ) Sn(x) / (n-1)!
Dimana :
fn+1 ( ) : adalah turunan ke n+1 dari f(x) pada x =
(x) : tergantung dari x dan terletak dalam x0 xn
Kesalahan interpolasi akan = 0 jika n
Berarti aproksimasi dengan Pn (x) akan semakin teliti bila jumlah xj, 0 jn
Interpolasi 85
Jika Pn(x) divergen artinya dapat ditunjukan dengan simpangan yang besar
(osilasi yang besar)
Sebagai konsekuensinya, maka tidak disarankan melakukan interpolasi-interpolasi oleh
polinom berderajat tinggi.
Jalan keluar : yang dapat diterima adalah membagi dengan sub-subinterval pada interval
(a,b) dan menginterpolasi f(x) pada setiap bagian dengan polinomial berderajat cukup
rendah
Interpolasi 86
Pn(x)
f(x)