8/20/2019 Méthode de résolution pour déterminer les équations horaires

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Méthode de résolution et de rédaction pour déterminer les équations horaires (ouparamétriques) et l’équation de la trajectoire d’un projectile dans un plan (O,y,z).

On applique la seconde loi de Newton.

ext G G G GF m a P m a m g m a g a= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ =∑

Ainsi, par projection sur Oz, on obtient les coordonnées (ou composantes) du vecteur a G.

0

0G

G G

G

a x

a a y

a z g

=

=

= −

on sait que1

2

3

Gx

GG G Gy

Gz

v k dv

a v v k dt

v gt k

=

= ⇔ =

= − +

On détermine les constantes k n à l’aide des conditions initiales (C.I.) du mouvement.

à t = 0s,

0 0

cos cos

sin sin

Ax Gx

A Ay A G Gy A

Az A Gz A

v v

v v v v v v

v v v gt v

θ θ

θ θ

= =

= ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ = − + ⋅

De plus,4

5

26

cos

1sin

2

G A

A

x k dOG

v OG y v t k dt

z gt v t k

θ

θ

=

= ⇔ = ⋅ ⋅ +

= − + ⋅ ⋅ +

à t = 0s, 02

0 0 (1)

0 cos 0 (2)

1 (3)sin

2

A

A A A

x x

OG OA OA y OG y v t

z z z gt v t z

θ

θ

= =

= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⋅ + =

= − + ⋅ ⋅ +

x, y, et z sont les équations paramétriques (ou horaires) du mouvement. L’équation de latrajectoire, elle, ne dépend pas du temps :

2

22 2

1(1) (3) sin .

cos 2 cos cos

1tan

2 cos

A A A A A

A A

y y yt z g v z

v v v

gdonc z y y z

v

θ θ θ θ

θ θ

⇔ = ⇒ ⇔ = − + ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ + ⋅ +⋅

APPLICATIONS :- exercice 11 page 247 et problème « Le cascadeur » (DM n°4)

θ A

y

z

O

- Système étudié : projectile de centrede gravité G.

- Référentiel : terrestre, dit galiléen

- Forces extérieures appliquées ausystème :

:

appliqué en G

direction verticaleP

sens vers le bas

norme P m g = ⋅

vA