Medan ElektromagnetikAnalisa Vektor dan Sistem Koordinat

Oleh :Janice Jessica Indrayani(1404405018)

UNIVERSITAS UDAYANAFAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK ELEKTRO2015

Analisa Vektor dan Sistem Koordinat

1. PendahuluanVektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam mempelajari medan elektromagnetik analisa vektor sangat diperlukan, karena analisa vektir merupakan dasar dari mata kuliah medan elektromagnetik.Dalam makalah ini akan membahas tentang scalar dan vektor, komponen-komponen vektor, vektor unit, penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian dan pembagian vektor, perkalian titik (dot)dua buah vektor, perkalian silang (cross) dua buah vektor, sistem koordinat kartesia, sistem koordinat tabung, sistem koordinat bola.

2. Skalar dan vektor Besaran skalar adalah besaran fisis yang tidak mempunyai arah dan dapat dinyatakan secara tepat hanya oleh sebuah bilangan. Contohnya adalah jarak, usaha, energi, daya, massa jenis, luas, volume, tekanan, dll.Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya adalah gaya, kecepatan, percepatan, momentum, impuls, momen gaya, kuat medan listrik, dan kuat medan magnet. 3. Komponen-komponen vektorKomponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut ke garis tadi. Gambar dibawah menunjukkan vektor A yang berada pada bidang xy. Vektor ini mempunyai komponen Ax dan Ay. Secara umum komponen-komponen ini dapat bernilai positif atau negatif. Jika adalah sudut antara vektor A dengan sumbu x, maka :

Gambar 1. Komponen Vektor ADimana A adalah besar dari vektor A, sehingga komponen-komponen vektor A dapat diperoleh :Ax = A cos Ay = A sin Tetapi jika kita telah mengetahui komponen Ax dan Ay, serta sudut , maka besar vektor A dapat diperoleh dengan menggunakan teorema Pythagoras :A = 4. Vektor UnitVektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Dalam sistem koordinat terdapat 3 macam vektor satuan yaitu:a. Vektor satuan dalam arah sumbu x diberi simbolb. Vektor satuan dalam arah sumbu y diberi simbolc. Vektor satuan dalam sumbu z diberi simbol k vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

5. Penjumlahan dan Pengurangan VektorBila Vektor A = Axax + Ayay + Azaz dan B = Bxax + Byay + Bzaz , maka :Penjumlahan dan Pengurangan vektorA + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz ) azA - B = (Ax - Bx) ax + (Ay -By) ay + (Az - Bz ) azHukum Asosiatif, distributif, dan komutatifA + (B + C) = (A + B) + Ck (A + B) = kA + kB(k1 + k2)A = k1A + k2AA + B = B + A

6. Perkalian VektorPerkalian vektor dengan skalarContoh perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika : F = ma, p = mv, dsb dimana m : skalar dan a,v : vektor.Bila misal A dan B adalah vektor dan k adalah skalar maka, B = k ABesar vektor B adalah k kali besar vektor A sedangkan arah vektor B sama dengan arah vektor A bila k positip dan berla-wanan bila k negatip. Contoh : F = qE, q adalah muatan listrik dapat bermuatan positip atau negatip sehingga arah F tergantung tanda muatan tersebut.

7. Pembagian vektorRumus pembagiana. Dalam bentuk vektor:

Jika P adalah titik tengan AB maka nilai perbandingan m : n adalah 1:1 sehingga diperoleh p =

b. Dalam bentuk koordinatxp = yp = zp =

8. Perkalian titik (dot) dua buah vektorPerkalian titik dari dua buah vektor A dan B dituliskan sebagai A B (dibaca A titik B). Perkalian titik A B didefinisikan sebagai suatu scalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan kosinus sudut apitnya. Sesuai definisinya makaA B = A B cos danA B = B ABeberapa hal penting dalam perkalian titik Selain hokum komutatif, perkalian titik juga memenuhi hokum distribusiA (B + C) = A B + A C Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, sudut apit = 900, sedangkan cos maka, A B = AB cos = 0 Jika kedua vektor A dan B searah, yaitu = 00, sedangkan cos = 1, maka A B = AB, Jika B = A maka diperoleh, A B = A2 atau B B = B2 Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah, yaitu =1800, sedangkan cos 1800 = -1, maka, A B = AB

9. Perkalian silang (cross) dua buah vektorPerkalian silang dari dua buah vektor A dan B dituliskan sebagai A x B ( dibaca A silang B ). Perkalian silang A x B didefinisikan sebagai suatu vektor yang tegak lurus pada bidang di mana A dan B berada, dan besarnya sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apitnya. Jadi,Jika C = A x B maka C = AB sin Beberapa hal penting dalam perkalian silang1. Nilai 00 1800, sedangkan nilai sin pasti positif, maka nilai C dalam C = A x B sin selalu positif.2. Perkalian silang bersifat anti komutatifA x B = B x A3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit =900 sedangkan sin 900 = 1, maka|A x B|= A B4. Jika vektor A dan B segaris kerja, dapat searah ( = 00) atau berlawanan arah ( = 1800), sedangkan sin 00 = sin 1800 = 0 makaA x B = 010. Sistem Koordonat KartesianKoordinat kartesian digunakan untuk menyatakan suatu benda yang memiliki bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku. Bentuk siku akan mudah digambarkan dalam koordinat kartesius baik 2 dimensi atau 3 dimensi.Koordinat katesius 3 dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu objek baik 1 dimensi, 2 dimensi maupun 3 dimensi. Koordinat kartesius 3 dimensi mempunyai sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, z. unutuk lebih jelasnya silahkan perhatikan gambar berikut:

Gambar 2. koordinat kartesian 3 dimensi

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah. Dalam sistem koordinat kartesian ditulis dala simbol:= x Ax+ y Ay+ z Az

Gambar 3. vektor satuan dalam sistem koordinat

Ax = harga vektor pada sumbu xAy = harga vektor pada sumbu yAz = harga vektor pada sumbu z

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut (panjang) satu, hal itu bisa diperoleh dengan cara membagi vektor itu dengan nilai absolutnya:

A =

A = vektor satuan delam arah = vektor A= nilai (harga absolut vektor tersebut= Dari = x Ax+ y Ay+ z Az dan pengertian vektor satuan, dapat kita lihat bahwa x, y, z masing-masing adalah vektor satuan dalam arah sumbu x, y dan z.11. Sistem Koordinat Tabung

Gambar 4. sistem koordinat tabung

Vektor pada titik P( r1, 1, z1) terdiri dari 3 vektor satuan : Vektor satuan ar yang arahnya menjauhi titik asal, dan normal pada bidang permukaan bidang tabung Vektor satuan a, mempunyai arah yang sama dengan arah bertambahnya . Vekor satuan az dalam koordinat kartesian = vektor satuan dalam koordinat tabung.Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus, karena masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus,Dalam koordinat tabung ada bentuk 3 bentuk diferensial : diferensial garis: l = r , r dan z diferensial luas : A = rr , r z , dan r z diferensial volume : V = rr z. Transformasi dalam koordinat kartesian ke tabung

Gambar 5. Sistem koordinat tabungAndaikan titik dalam koordinat kartesian (x, y,z) dan koordinat tabung (,,z), maka rumus untuk mencari tabung ke kartesian adalah:

Dan rumus untuk mencari kartesian ke tabung adalah:

Apabila vektor A dinyatakan dalam komponen vektor :Koordinat kartesian : A = Ax ax + Ay ay + Azaz Koordinat tabung : A = A a + A a + Az azUntuk mendapatkan komponen vektor dalam koordinat tabung perlu perkalian titik antara kedua vektor satuan.aaaz

axCos -Sin 0

aySin Cos 0

az001

12. Sistem Koordinat BolaKoordinat Bola terdiri dari : r, , dan 1. r : jarak dari titik asal ke titik yang ditinjau ialah r2. : sudut antara sumbu z dan garis yang ditarik dari titik asal ke titik yang ditinjau.3. : sudut antara sumbu x dengan garis proyeksi dari garis yang menghubungkan titik asal dengan titik yang ditinjau pada bidang z = 0. Permukaan dalam koordinat bola :1. Permukaan r = tetapan2. Permukaan = tetapan ialah sebuah kerucut dan setiap titik perpotongan permukaan bola dan kerucut selalu saling tegak lurus3. Permukaan = tetapan ialah sebuah bidang datar yang melalui garis = 0 (atau sumbu z).

Gambar 6. Sistem koordinat Bola

Vektor satuan dalam koordinat bola : Vektor satuan ar memiliki arah ke luar titik asal, normal terhadap permukaan bola Vektor satuan a, normal terhadap permukaan kerucut, terletak pada bidang datar dan menyinggung permukaan bola. Vekor satuan a = vektor satuan dalam koordinat tabung, normal terhadap bidang datar dan menyinggung permukaan kerucut dan permukaan bola.Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus, karena masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus. Elemen volume diferensial dalam koordinat bola memperhatikan pertambahan r, , dengan r, dan . Ketiga bentuk diatas merupakan diferensial garis, untuk diferensial luas dan volume dapat dinyatakan sbb: Diferensial garis: l = r , r dan r sin r Diferensial luas = r r , r sin r dan r2 sin . Diferensial Volume = r2 sin r .Andaikan titik dalam koordinat kartesian (x, y,z) dan koordinat tabung (r,,), maka rumus bola ke kartesian adalah:x = r sin cos y = r sin sin z = r cos

Dan rumus kartesian ke bola adalah:

Apabila vektor A dinyatakan dalam komponen vektor : Koordinat kartesian : A = Ax ax + Ay ay + Az Koordinat Bola : A = Ar ar + A a + A a Memperoleh komponen vektor dalam koordinat bola perlu perkalian titik antara kedua vektor satuan.

araa

axsin cos cos cos -sin

aysin cos cos sin cos

azcos sin 0

13. Daftar Pustaka http://nuttigekennis.blogspot.co.id/2015/01/vektor_3.html http://fisikazone.com/vektor/ https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CBsQFjAAahUKEwiIzOf1i5vIAhUSbY4KHTW6DtE&url=http%3A%2F%2Fdosen.narotama.ac.id%2Fwp-content%2Fuploads%2F2012%2F12%2FBAB-I-ANALISIS-VEKTOR.doc&usg=AFQjCNF8F8lCLxNOaWL6L6YsBeN7zHIofg&sig2=Lwrq0V_DR0AUwlfC0aGXLw http://fisikazone.com/besaran-skalar-besaran-vektor/