MİMAR SİNAN GÜZEL SANATLAR ÜNİVERSİTESİ

FİZİK 201 DERSİ

Mekanik Laboratuvarı

Hazırlayanlar:Yamaç PehlivanHüseyin BahtiyarBahadır Elmas

Ekim 2012

Deneyler

Öğrencinin

İsmi:

Numarası:

Deney Tarih İmza

Temel Ölçümler

Doğrusal Hareket

Düzlemde Hareket

Basit Sarkaç

Çarpışmalar

Eylemsizlik Momenti

Sabit İvmeli Dönme

Keplerin II. Yasası

İçindekiler

GENEL BİLGİLER

1 Ölçme ve Birimler 7Anlamlı Rakamlar ve Bilimsel Gösterim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Anlamlı Rakamlarla İşlemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Hata Analizi 10Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ortalama Değer ve Standart Sapma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Bir Kez Ölçüm Yapıldığında Hata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Bileşik Büyüklüklerin Hatası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Grafik Analizi 12Grafik Çiziminin Önemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Grafik Çizerken Nelere Dikkat Etmeliyiz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Doğrusal Olmayan Bağıntıların Grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Hava Masası Kullanımı 15Hava Masası Deney Düzeneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Çalışma Prensibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. HAFTA: ORTAK DENEY

5 Temel Ölçümler 19Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2-5. HAFTALAR: BİRİNCİ DÖNGÜ

6 Doğrusal Hareket 23Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Düzlemde Hareket 29Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

8 Basit Sarkaç 34Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Deneyin Yapılısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6-9. HAFTALAR: İKİNCİ DÖNGÜ

9 Çarpışmalar 40Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10 Eylemsizlik Momenti 44Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Temel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Sonuçların Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11 Sabit İvmeli Dönme 50Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Temel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Deneyin Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12 Keplerin II. Yasası 55Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13 Jiroskop 58Amaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Deneyin Yapılışı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

14 Yedek Grafik Kağıtları 62

3

Şekil Listesi

3.1 Örnek bir grafik çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Bir doğrunun eğim grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Kıvılcım osilatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Kompresör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Diskler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Hava masası sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1 Mikrometre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Kompas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1 hava rayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Ortalama hız ve ani hızın incelenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Bir boyutta düzgün ivmeli hareketin incelenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Deneyde kullanacağımız ışık sensörünün doğru şekilde yerleştirimesi . . . . . . . . . . . 25

7.1 Eğimli masa yüzeyinde effektif yerçekimi ivmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Hava masası deneyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3 Eğik atışta menzil ve maksimum yükseklik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8.1 Basit sarkaç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Değişken g sarkacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Deney düzeneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.1 Esnek çarpışma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2 Esnek olmayan tam çarpışma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.3 Çarpışma örneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10.1 Eylemsizlik momenti deney düzeneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.2 Doğrusal yay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.3 Spiral yay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.1 Sabit ivmeli hareket deney düzeneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12.1 Keplerin 2. yasası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.2 Yarıçap vektörünün süpürdüğü alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.3 Kepler deney seti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.4 Kepler’in ikinci yasası için örnek çizim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.1 Deneyde kullancağımız jiroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.2 Jiroskop Deney Düzeneği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4

Tablo Listesi

1.1 Fizikte kullandığımız temel birimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Fizikte kullandığımız türetilmiş birimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Çok büyük ve çok küçük değerleri ifade etmek içın kullandığımız ön ekler . . . . . . . . 8

3.1 Akım ve potansiyel farkı veri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1 Dikdörtgenler prizması için kompas ile elde edilen sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Silindir için mikrometre ile elde edilen sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1 Ortalama hız veri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 İvme veri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.1 Eğik düzlem tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.2 Eğik atış verileri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8.1 Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.2 Periyodun uzunluğa bağlılığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.3 g’nin belirlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.1 Esnek çarpışma verileri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.2 Esnek olmayan çarpışma verileri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.1 Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton’ın ikinci yasasının ifadesi . . . . . . . . 4410.2 Kütlelerin yokluğunda periyot ölçümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.3 m = 25 g’lık kütlelerle periyot ölçümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.4 m = 50 g’lık kütlelerle periyot ölçümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.5 Burulma sabitinin belirlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.6 I-r2 grafiğinin analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11.1 Doğrusal hareket ve dönme hareketini ifade eden denklemlerin benzerliği . . . . . . . . 5011.2 Sabit ivmeli dönme verileri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12.1 Kepler’in ikinci yasası için alan hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.1 Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton’ın ikinci yasasının ifadesi . . . . . . . . 5913.2 Jiroskop veri tablosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5

GENEL BİLGİLER

6

1 Ölçme ve Birimler

Temel bilimin karakteri objektiflik üzerine kuruludur. Bunun temelinde her zaman her yerde tekrarla-nabilir deneylere ve sistematik ölçümlere dayanması yatar ve bu özelliği ile insan zihninin diğer faliyet-lerinden ayrılır. Bir deneycinin verilerini anlaşılabilir bir şekilde kaydetmesi ve sonuçlarını anlamlı birşekilde analiz edebilmesi gerekir. Bu laboratuvar, öğrencilere bu özellikleri kazandırmayı hedeflemek-tedir.

Bir deneyin kaydı yapılırken kullanılan tekniğinin ve incelenen fiziksel büyüklüklerin açıklanma-sının yanında alınan verilerin birimlerinin de belirtilmesi gerekir. Fizikte kullanılan standart birimsistemi, Uluslararası Birim Sistemi ya da Fransızca karşılığından (Système International d’Unités) gelenkısaltması ile SI sistemidir. Bu birim sistemindeki temel ve türetilmiş birimler sırasıyla Tablo (1.1) ve(1.2)’de görülmektedir. Tablo (1.3)’de ise çok küçük ve çok büyük değerleri belirtmek için kullanılanözel ön eklere yer verilmistir.

Temel Fizik Büyüklükleri Birimi Birim sembolü

uzunluk metre m

kütle kilogram kg

zaman saniye s

elektrik akımı amper A

sıcaklık kelvin K

ışık şiddeti kandela cd

madde miktarı mol mol

Tablo 1.1: Fizikte kullandığımız temel birimler

Anlamlı Rakamlar ve Bilimsel Gösterim

Bir ölçüm sonucunun hassasiyeti, onu ifade ederken kullanılan anlamlı rakamların sayısı ile ortaya ko-nulur. Örneğin bir uzunluğu ` = 9.2 mm olarak belirtmemiz, ölçüm aletimizin ancak milimetrenin ondabirini ölçecek hassasiyete sahip olduğunun göstergesidir. Daha hassas bir ölçüm aleti ile bu uzunluğuörneğin ` = 9.2415 mm şeklinde ölçebilirdik ki bu da aletimizin milimetrenin onbinde birini ölçebilecekkadar hassas olması ile mümkündür. İşte bu durumların ilkinde sonucumuzun iki anlamlı rakamı ol-duğunu söylerken ikincisinde beş anlamlı rakamı olduğunu söyleriz.

Bu açıdan bakıldığında, örneğin 2 mm ile 2.0 mm şeklinde ifade edilen iki ölçüm sonucu, her nekadar matematiksel olarak aynı olsalar da bilimsel olarak bize farklı şeyler söylemektedirler. Bu sonuç-lardan ilki bir anlamlı basamağa sahiptir ve ölçen kişinin virgülden sonraki ilk basamağı bilmediğinigöstermektedir. Bilmediğimiz bu basamağı sıfır olarak kabul edemeyiz. Öte yandan ikinci sonuç ikianlamlı basamağa sahiptir ve ölçen kişinin bu basamağın sıfır olduğunu kesin olarak bildiğini bize söy-lemektedir. Bu iki sonuç

Bazen çok büyük ya da çok küçük bir sayıyı ifade ederken, sadece sayının skalasını belirtmek için

7

Temel Fizik Büyüklükler Birim Birim sembolü SI Birimi

Enerji Joule J kgm2s−2

Kuvvet Newton N kgms−2 = Jm−1

Güç Watt W kgms−3 = Js−1

Elektrik Yükü Coulomb C As

Elektriksel Potansiyel Farkı Volt V kgm2s−3A−1 = JA−1s−1

Direnç Ohm Ω kgm2s−3A−2 = VA−1

Kapasitans Farad F A2m2s−3A−2 = VA−1

Manyetik Akı Weber Wb kgm2s−2A−1 = V s

İndüktans Henry H kgm2s−2A−2 = V sA−1

Manyetik Alan Tesla T kgs−2A−1 = V sm−2

Frekans Hertz Hz s−1

Basıç Paskal Pa Nm

Tablo 1.2: Fizikte kullandığımız türetilmiş birimler

Miktar Ad simge Miktar Ad simge

10−1 desi d 10 deka da

10−2 santi c 102 hekto h

10−3 mili m 103 kilo k

10−6 mikro 106 mega M

10−9 nano n 109 giga G

10−12 piko p 1012 tera T

10−15 femto f 1015 peta P

10−18 atto a 1018 ekza E

Tablo 1.3: Çok büyük ve çok küçük değerleri ifade etmek içın kullandığımız ön ekler

8

bazı sıfırlar yazmamız gerekebilir. Örneğin bir ülkenin nüfusunun 14000000 olduğunu okusanız her-halde bu ülkede tamı tamına bu kadar insan yaşadığını düşünmezsiniz. Buradaki altı sıfır aslında sadecesayının milyon skalasında olduğunu göstermek için yazılmıştır ve kastedilen büyük ihtimalle bu ülkede1.4 × 106 kişinin yaşadığıdır. Yani bunu yazan kişi aslında ülkenin nüfusunu sadece iki anlamlı rakamile bilmektedir ve geri kalan sıfırları yer doldurmak için oraya koymuştur.

Bilimsel sonuçları belirtirken benzeri bir belirsizliğe düşmemek için “bilimsel gösterim” dediğimizyazım biçimi kullanırız. Bu gösterimde bütün verileri

x = a× 10n (1.1)

şeklinde ifade ederiz ki burada 1 ≤ a < 10 olup sadece kesin olarak bildiğimiz basamakları içerir. Tanımıgereği a’nın bütün basamakları anlamlı rakamlardan oluşur çünkü böyle bir gösterimde yukarıda ol-duğu gibi sadece sayının skalasını belirtmek için sıfırlar yazılmasına gerek yoktur. Sayının skalasını 10n

çarpanı ifade etmektedir. Örneğin, yukarıdaki ülkenin nüfusu bize 1.40× 106 olarak üç anlamlı rakamile verilmiş ise, bundan nüfus sayımı yapanların sayının sonundaki sıfırdan emin oldukları ama sonra-sını bilmedikleri sonucunu çıkarırız. Bu sıfır artık anlamlı bir rakamdır çünkü sadece yer doldurmakiçin değil, açıkça bilindiği için oradadır.

Anlamlı Rakamlarla İşlemler

Anlamlı rakamlarla işlem yaparken, her zaman en az hassasiyete sahip olan girdimiz sonucumuzunhassasiyetini belirler. Örneğin aşağıdaki gibi bir toplama işleminin sonucunu

21.376 + 0.2148 + 302.6 + 5.334

hesap makinemiz bize 329.5248 şeklinde verse de bunu 329.5 şeklinde ifade etmeliyiz çünkü 302.6sayısının virgülden sonraki ikinci basamağı ve sonrası hakkında fikrimiz yoktur.

Öte yandan çarpma ve bölme yaparken sonucumuz, en az anlamlı rakama sahip olan veriden dahafazla anlamlı rakam içeremez. Örneğin

2.574× 1.5

işleminin sonucunu hesap makinesinin bize verdiği şekliyle 3.7125 değil 3.7 şeklinde ifade etmeliyiz.Yukarıdaki iki örnekte görüldüğü gibi bazı durumlarda işlem sonucumuzu yuvarlamamız gerekir.

Yuvarlama işlemini yaparken sayıyı istenilen miktarda anlamlı rakam içeren en yakın sayı ile değişti-ririz. Örneğin 312.49 sayısını iki anlamlı rakam içerecek şekilde yuvarlamak istersek elde edeceğimizsonuç 3.1× 102 olacaktır.

9

2 Hata Analizi

Giriş

Fiziksel bir büyüklüğün değerinin deney ile belirlenmesi sırasında, ölçüm aletlerinin duyarlılığının sı-nırlı olması, çevresel faktörler, deneyde izlenen metodun mükemmellikten uzak olması ve diğer ne-denlerle çeşitli hatalar yapılabilir. Bu hatalar daha titiz bir çalışmayla azaltılabilirse de, genel olarakhiçbir zaman sıfıra indirilemez. Bu nedenle iyi bir deney hata analizi dediğimiz çalışmayı da içerme-lidir. Aşağıda bunu nasıl yapacağımızı göreceğiz. Ama önce bir deneydeki hataların iki farklı grubaayrılabileceğini belirtelim.

Bunlardan birincisi sistematik hatalardır. Bu hatalar deney düzeneğindeki bir bozukluk veya izle-nen yöntemin yanlışlığı gibi nedenlerle ortaya çıkarlar ve en karakteristik özellikleri sonuca hep aynıyönde etki etmeleridir. Yani sistematik olarak sonucun hep gerçek değerden daha büyük veya daha küçükçıkmasına neden olurlar. Örneğin siz düz bir masa üzerinde deney yaptığınız varsayımı ile bir cisminüzerine etkiyen kuvveti hesaplamaya çalışırken siz farkında olmadan masanızda bir eğim oluştuysaölçtüğünüz kuvvet daima gerçek kuvvetten daha büyük çıkacaktır çünkü artık yerçekimi kuvveti dedeneye katkıda bulunmaktadır.

Diğer bir hata türü olan istatistiksel hatalar ise deneyde kullanılan aletlerin mükemmelikten uzakolması ve deneycinin kendisinin ve çevresel faktörlerin ölçüm sonucunu etkilemesi gibi nedenlerdenkaynaklanan hatalardır. İstatiktiksel hataların en karakteristik özellikleri genelde küçük olmaları ve so-nucu her iki yönde de etkileyebilmeleridir. Örneğin metal bir cismin uzunluğunu ölçerken cismin tamolarak düzgün olmaması, hava sıcaklığının etkisi ile genleşmesi veya büzüşmesi muhtelif zamanlardamuhtelif noktalardan yaptığımız ölçme işlemlerinin sonuçlarını farklılaştırabilir, Bunun bir sonucu ola-rak da ölçüm sonuçlarımız bir ortalama değerin etrafında istatiksel bir dağılım gösterir.

Ortalama Değer ve Standart Sapma

Sistematik hatalar dikkatli bir deneyci tarafından bertaraf edilebilirler. İstatiktiksel hatalar ise hataanalizi dediğimiz bir işlem sonucunda görünür hale gelirler. Bu tür bir analiz bize sonucumuzu

X = X ±∆X (2.1)

şeklinde ifade etme olanağı verir ki bunun da anlamı X’in gerçek değerinin X −∆X ile X +∆X arasındaolduğudur. Burada X ölçüm sonuçlarımızın ortalamasıdır. Yani X büyüklüğünü çeşitli defalar ölçüpX1,X2,X3, ...,Xn değerlerini bulduysak

X =X1 +X2 +X3 + ...+XN

N=

∑ni=1 XiN

(2.2)

ile verilir.Ölçülen fiziksel büyüklüğün gerçek değeri X ile, ölçülen ortalama değer X değeri arasındaki farka

X’in mutlak hatası denir.Mutlak hata : δX =

∣∣∣X − X∣∣∣ (2.3)

X gerçek değeri tam olarak bilinmediğinden δX’in de değerini tam olarak bilemeyiz. Ancak istatistik-sel yöntemler kullanılarak δX için bir üst sınır değeri olan standart sapma belirlenebilir. Bunun içinöncelikle her bir ölçüm sonucunun ortalamadan sapması olan

∆Xi =∣∣∣Xi − X∣∣∣ (2.4)

10

değerlerini gözönüne almalı ve bunları kullanarak

∆X =

√∑ni=1 (∆Xi)2

N (N − 1)(2.5)

büyüklüğünü hesaplamalıyız. Bu büyüklüğeX’in standart sapması denir ve istatistiksel metodlar kulla-nılarak çok büyük bir olasılıkla δX < ∆X olduğu gösterilebilir. Bu durumda Denklem (2.3) bize Denklem(2.1)’i yazma olanağını verir.

Bir Kez Ölçüm Yapıldığında Hata

Ölçmelerin çok sayıda tekrarlanması mümkün olmayan durumlarda, ölçme hatalarının bulunmasındaen uygun yol, kullanılan ölçü aletlerinin en küçük iki bölme çizgisi arasının yarısını almaktır. Örneğinen küçük bölümü 1 mm olan bir çetvel ile ölçülen uzunluk için en büyük hata ∆X = 0.5 mm alınabilirki bu da mutlak hata için bir üst sınırdır çünkü çetvele baktığımız da ölçüm sonucunun iki milimetreçizgisinin arasında olduğunu zaten görebilmekteyizdir.

Bileşik Büyüklüklerin Hatası

X ve Y gibi iki büyüklüğü ölçtüğümüzü, ortalama değerlerini ve istatistiksel hatalarını

X = X ±∆X Y = Y ±∆Y (2.6)

şeklinde belirlemiş olduğumuzu düşünelim. Diyelim ki bu büyüklüklerden başka bir

Q =Q(X,Y ) (2.7)

niceliğini belirlemek istiyoruz. Bu durumda elde ettiğimiz sonucun da bir hatası olacaktır. Yani Q de-ğerini de

Q = Q ±∆Q (2.8)

şeklinde yazabililiriz. Burada Q değeri X ve Y ortalama değerlerin kullanılarak bulunan sonuçtur, yani

Q =Q(X, Y ) (2.9)

yazılabilir. ∆Q ise genel olarak

∆Q =∣∣∣∣∣dQdX∆X

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣dQdY ∆Y

∣∣∣∣∣ (2.10)

denkleminden bulunabilir ki burada türevlerin değerleri X = X ve Y = Y ’da hesaplanmalıdır. Dahafazla değişkeni işleme soktuğumuz durumlarda bu formülleri genelleştirebiliriz. Denklem (2.10)’u kul-lanarak basit bazı durumlar için aşağıdaki formüleri hemen çıkarsayabiliriz:

Toplama ve çıkarmadaQ = X ±Y =⇒ ∆Q = ∆X +∆Y (2.11)

Çarpma ve bölmede

Q = X.Y veya Q =XY

=⇒ ∆Q = Q(∆X

X+∆Y

Y) (2.12)

Üstel fonksiyonlarda

Q = Xn =⇒ ∆Q = nQ∆X

X(2.13)

11

3 Grafik Analizi

Grafik Çiziminin Önemi

Deney sonucunda elde ettiğimiz verileri bir grafik üzerinde göstermek sonuçları değerlendirmemiz açı-sından oldukça faydalıdır. Veriler grafik kağıdı üzerinde bize sayısal bir tabloda olduğundan çok dahafazla şey söyler. Örneğin bir telden geçen I akımının, telin uçları arasına uygulanan V potansiyel farkıile doğru orantılı olması Ohm yasası olarak bilinir:

V = IR (3.1)

Burada R telin direcini göstermektedir. Telin uçlarına uyguladığımız gerilimi ve bunun sonucunda elde

V (mV) I (mA)

1.50 1.87

2.35 3.29

3.20 4.26

4.85 6.76

7.25 8.86

Tablo 3.1: Akım ve potansiyel farkı veri tablosu

ettiğimiz akımı gösteren deney sonuçlarımızın Tablo (3.1) ile ifade edildiğini düşünelim. Bu tablo bizeakımın potasiyel farkı ile birlikte arttığını söylemekle birlikte bu büyüklüklerin arasındaki ilişkiye dairfazla bir şey söylememektedir. Oysa bu verileri kullanarak çizdiğimiz Şekil (3.1)’deki grafik bize akımile potasiyel farkı arasındaki ilişkinin lineer olduğunu açıkça göstermektedir.

Grafik Çizerken Nelere Dikkat Etmeliyiz?

Gerek Tablo (3.1)’de gerekse Şekil (3.1)’de gözönüne aldığımız büyüklüklerin isimlerinin ve birimlerininaçıkça yazıldığına dikkat ediniz. Bu iyi bir deney tablosunda ve iyi bir grafikte mutlaka bulunmasıgereken bir özelliktir. Bunun dışında aşağıdaki noktalara da dikkat etmeliyiz.

• Grafiğin/veri tablosunun adını belirtmeliyiz.

• Kullandığımız fiziksel niceliklerin birimini belirtmeliyiz.

• Grafikte ölçek seçimini, grafik kağıdında mümkün olan en büyük alanı kullanacak şekilde yap-malıyız. Yatay ve düşey eksenler farklı ölçeklere sahip olabilirler.

• Eksenlerin sıfırdan başlaması gerekli değildir. Burada da grafik kağıdında mümkün olan en büyükalanı kullanacak şekilde seçim yapmalıyız.

12

Akım - potansiyel farkı grafiği

Şekil 3.1: Örnek bir grafik çizimi

• Grafik kağıdına noktalarımızı işaretledikten sonra bu noktaların bize işaret ettiği ilişkiye göre enuygun eğriyi çizmeliyiz. Yukarıdaki örneğimizde bu ilişki doğrusal olduğu için bir doğru çizdik.Bu doğrunun ya da eğrinin veri noktalarından geçmesi zorunlu değildir. Nitekim örneğimizdekidoğru hiç bir veri noktasından tam olarak geçmemektedir. Ancak doğrunun altında ve üstündekalan veri noktaları sayısı yaklaşık olarak eşittir. Grafiğimizi çizerken buna dikkat etmeliyiz.

Örneğimize temel teşkil eden Denklem (3.1) bize Şekil (3.1)’deki doğrunun eğiminin telin direnciolduğunu söylemektedir. Bu grafiğin eğimini, herhangi bir doğrunun eğimini belirlediğimiz şekildebelirleyebiliriz. Yani (x1, y1) ve (x2, y2) Şekil (3.2)’de görüldüğü gibi doğru üzerinde iki nokta olmaküzere

m =y2 − y1

x2 − x1= tanα (3.2)

formülünü kullanabiliriz. Burada kullandığımız (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarının veri noktalarımız olmasısart değildir. Hatta bunların veri noktalarından seçilmesi pek tavsiye edilmez çünkü böyle yapılmasıgrafiğin okunmasını güçleştirecektir.

Şekil 3.2: Bir doğrunun eğim grafiği

13

Doğrusal Olmayan Bağıntıların Grafiği

Yukarıdaki örnekte Denklem (3.1)’de olduğu gibi doğrusal bir ilişkiyi inceledik. Genelde gözönüne al-dığımız büyüklükler arasındaki ilişki doğrusal olmadığı zaman dahi analizimizi doğrusal bir şekle sok-maya çalışırız. Örneğin, sabit bir a ivmesi ile x = 0 noktasından ilk hızı sıfır olacak şekilde hareketebaşlayan bir cismin konumu

x =12at2 (3.3)

formülü ile verilir. Bu durumda zamama karşı pozisyonu ölçerek ivmeyi belirlemek istiyorsak, bununiçin en pratik yol, x’e karşı t2 grafiğini çizmektir. Denklem (3.3) bize bu grafiğin bir doğru şeklindeolacağını, ve bu doğrunun eğiminin de ivmenin yarısına eşit olacağını söylemektedir.

Benzer şekilde, örneğin sığası C olan bir kondansatörün yükünü bir R direci üzerinden boşaltacakolursak, kondansatörün uçları arasındaki potasiyel farkı V zamana göre

V = V0e− tRC (3.4)

denklemine göre değişir. Buna göre zamana karşı potansiyel farkını ölçmek suretiyle RC çarpımını be-lirlemek istiyorsak, bunun için en pratik yol yukarıdaki denklemde her iki tarafın logaritmasını alarak

logV0

V=

1RC

t (3.5)

denklemi üzerinde çalışmaktır. Bu durumda zamana karşı logV0/V büyüklüğünün grafiği doğrusalolacak ve bu doğrunun eğimi bize 1/RC değerinin verecektir.

14

4 Hava Masası Kullanımı

Hava Masası Deney Düzeneği

Hava Masası deneyleri yaparken kullanılacak aletler

• Kıvılcım Osilatörü

• Hava Kompresörü

• Pedal

• Diskler

• Karbon Kağıdı

Kıvılcım Osilatörü Kıvılcım osilatörü, saniye başına belirlenen sayıda elektriksel atmalar üreterek,disklerin karbon kağıdı üzerine iz bırakmasını sağlar. Eğer kıvılcım osilatörü 10 Hertz’e ayarlanırsa,pedala basıldığında karbon kağıdında saniye başına 10 adet nokta olacak şekilde izler oluşur.

Şekil 4.1: Kıvılcım osilatörü

Hava Kompresörü Hava kompresörü, masadaki sürtünmeyi yok etmek amacıyla hava pompalar.

Şekil 4.2: Kompresör

Pedal Pedal sayesinde, kıvılcım osilatöründen gelen atmalar, disklere iletilir. Bu sayede karbon kağı-dında izler oluşur.

15

Şekil 4.3: Pedal

Diskler Hava masası üstünde, karbon kağıdının üzerinde hareket eden parçalardır, kıvılcım osilatö-ründen iletilen elektriksel atmaları, karbon kağıdında iz bırakacak şekilde tasarlanmışlardır. Böylecedisklerin izlediği yol karbon kağıdı üzerinden belirli aralıklarla işaretlemiş olur.

Şekil 4.4: Diskler

Karbon Kağıdı Hava masasının üzerine serilir. Böylece hem masanın zarar gömesi engellenir hem de,disklerin iz bırakması sağlanır.

Çalışma Prensibi

Kıvılcım osilatörü, saniye başına belirlenen sayıda darbeler üretir. Pedal sayesinde bu darbeler kontrollübiçimde üretilir. Darbeler elektrottan çelik disk merkezine, kayıt kağıdının içindeki, karbon kağıdınailetilir böylece kayıt kağıdına iki çelik diskin de yolunu işaretler. Pedala basmadan darbe oluşmayaca-ğından, ayarlamalar güvenlik açısından pedala basmadan yapılmalıdır.

Sistem aşağıda gösterilen şekilde kurulmalıdır.

Kullanımı

• Hava masasının üzerine karbon kağıdı yerleştirin, karbon kağıdın üzerine de kayıt kağıdını yer-leştirin.

• Yüzeyin düzgünlüğünü kontrol edin.

• Masanın ayaklarını kontrol edin düz olduğundan emin olun.

• Kıvılcım Osilatörünün fişini, prize takın. Frekansı 10 Hz olarak ayarlayın. Kompresörün fişiniprize takın.

• Çelik diskler masanın merkezinde sabit durabilmelidir.

• Pedala basmadan birkaç deneme yapılması, sağlıklı veri almak açısından önemlidir.

• Uygun biçimde fırlatmayı başarınca pedala basarak atışı tekrarlayın.

16

Şekil 4.5: Hava masası sistemi

17

1. HaftaORTAK DENEY

18

5 Temel Ölçümler

Amaç

Temel ölçümler, anlamlı rakamlar ve hata hesabı konusunda deneyim kazanmak üzere mikrometre vekompas yardımı ile cisimlerin uzunluklarının ölçülmesi, hacimlerinin ve yoğunluklarının hesaplan-ması.

Genel Bilgiler

İnce bir levhanın kalınlığı, bir telin veya çubuğun kalınlığı, küçük bir bilyanın çapı çok defa mikrometreile ölçülür. Mikrometre bölmeli cetvel şeklindeki bir sabit kısımla kol üzerinde dönebilen bir vidadanoluşur [Şekil (5.1)]. Mikrometrenin yapısındaki vidanın bir tam dönüşü 0.5 mm’ye karşılık gelmektedir.Vida üzerindeki verniye 50 eşit taksimata bölünmüştür. Kalınlığı ölçülecek cisim mikrometrenin uçları

Şekil 5.1: Mikrometre

arasına yerleştirildiğinde, cismin kalınlığı mm cinsinden aşağıdaki bağıntı yardımıyla bulunur. Buradad, cismin ölçülen uzunluğu N, cetvel üzerinden okunan değeri n ise vida üzerindeki sabit cetvelin yatayçizgisi ile çakışan çizgi sayısıdır.

d =N +n

100(5.1)

Cisimlerin kalınlığı, silindir ve kürelerin dış çapı, boruların iç çapı ve bazı cisimlerin (tüp ve şişe gibi)derinliğini ölçmekte sürgülü kompas ile ölçülür. sürgülü kompas, üzerine milimetrik taksimat çizilmişL cetveliyle, bunun hizasında kaydırılabilen verniyeden oluşur [Şekil (5.2)]. Kompasın uçları arasınaiyice yerleştirilen ve şekil değişikliğine uğramayacak biçimde hafifçe sıkıştırılan cismin ölçmek istenenuzunluğunun değeri mm cinsinden;

L =N +n

100(5.2)

ile verilir. L cismin ölçülen uzunluğunu, N cetvelin sıfırından itibaren okunan sayıyı (verniye’nin üze-rindeki 0 değerinin hemen solunda cetvelde karşılık gelen değeri) , n ise verniye üzerinde cetveldekibölmelerden biri ile çakışan ilk çizginin değerini gösterir.

19

Şekil 5.2: Kompas

Deneyin Yapılışı

1. Kompas yardımı ile dikdörtgenler prizmasının uzunluklarını (a,b,c) 5 farklı yerden ölçünüz. Be-lirlediğiniz sonuçları Tablo (5.1)’e yerleştiriniz ve gerekli hata hesaplarını yapınız.

n a(mm) b(mm) c(mm) (a− a)2 (b − b)2 (c − c)2

1

2

3

4

5

a b c∑

(∆ai)2 ∑(∆bi)2 ∑

(∆ci)2

Tablo 5.1: Dikdörtgenler prizması için kompas ile elde edilen sonuçlar

mprizma = . . . . . . . . . . . . . . . . . ± 0.001g (5.3)

Burada ±0.001, hassas terazinin ölçüm hatasınıdır.

2. Dikdörtgenler prizmasını hacim ve yoğunluklunun ortalama değerlerini hesaplayınız.

Vd = abc = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .cm3 (5.4)

φd =mprizma

Vd= . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .

gmm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .

gcm3 (5.5)

20

3. Mikrometre ile silindirin çapını (R) ve yüksekliğini (h) 5 farklı yerinden ölçünüz. Belirlediğinizsonuçları Tablo (5.2)’ye yerleştiriniz ve gerekli hata hesaplarını yapınız.

n R(mm) r(mm) h(mm) (r − r)2 (h− h)2

1

2

3

4

5

r h∑

(∆r)2 ∑(∆h)2

Tablo 5.2: Silindir için mikrometre ile elde edilen sonuçlar

msilindir = . . . . . . . . . . . . . . . . . ± 0.001g (5.6)

4. Silindirin hacim ve yoğunluklunun ortalama değerlerini hesaplayınız.

V = πr2h = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .cm3 (5.7)

φs =msilindir

Vs= . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .

gmm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .

gcm3 (5.8)

5. Kitapçığın birinci bölümünde ifade edilen basit işlemlerde hata hesabı ve standart sapma yönte-mini kullanarak, dikdörtgenler prizması ve silindir için hacim ve yoğunluk değerlerine ait hatabağıntılarını yazınız. Hata bağıntılarına ait hesaplamaları yapınız ve sonucu aşağıdaki şekilde ya-zınız.

Silindir için:

Vs = πr2h =⇒ ∆Vs = Vs(2∆rr

+∆h

h) (5.9)

Vs = Vs ±∆Vs = . . . . . . . . . . . . . . . . .mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .cm3 (5.10)

φs = φs ±∆φs = . . . . . . . . . . . . . . . . .g

mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .g

cm3 (5.11)

Dikdörtgenler prizması için:

Vd = abc =⇒ ∆Vd = Vd(∆aa

+∆b

b+∆cc

) (5.12)

Vd = Vd ±∆Vd = . . . . . . . . . . . . . . . . .mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .cm3 (5.13)

φd = φd ±∆φd = . . . . . . . . . . . . . . . . .g

mm3 = . . . . . . . . . . . . . . . . .g

cm3 (5.14)

21

2-5. HaftalarBİRİNCİ DÖNGÜ DENEYLERİ

22

6 Doğrusal Hareket

Amaç

Ortalama hız ve ani hız kavramlarının çalışılması ve bir boyutta sabit ivmeli hareketin incelenmesi.

Genel Bilgiler

Bir boyutta sabit ivme ile hareket eden bir cismin t anındaki konumunu ve hızını sırasıyla x(t) ve v(t)ile, t = 0 anındaki konumunu ve hızını da sırasıyla x0 ve v0 ile gösterelim. Bu durumda x(t) ve v(t)aşağıdaki denklemlerle ifade edilir.

x(t) = x0 + v0t +12at2 (6.1)

v(t) = v0 + at (6.2)

Ayrıca, bu iki denklem arasında zamanı yok ederek, hız yola bağlı olarak

v2 − v20 = 2a(x − x0) (6.3)

şeklinde ifade edebiliriz. Bu denklemler ivmesini ve başlangıç koşullarını bildiğimiz bir cismin konu-munu ve hızını zamana bağlı olarak bize veren kinematik denklemleridir.

Şekil 6.1: hava rayı

Cismin dış dünya ile etkileşimi sonucunda nasıl bir ivme kazanacağı ise dinamik denklemlerininkonusudur. En önemli dinamik denklemi Newton’ın ikinci kanunudur ki bu kanun bir boyutta cismiharekete zorlayan toplam kuvvet F, sistemin toplam kütlesi m olmak üzere, ivmeyi

a =Fm

(6.4)

şeklinde verir.

23

Deneyde kullanacağımız hava rayı Şekil (6.1)’de görülmektedir. Bu sistem bir ucu kapalı, diğerucundan basınçlı hava üflenen, üçgen kesitli, içi boş bir düzenektir. Rayın üçgen kesitli biçimine tamolarak uyan kızaklar ray üzerine konulup hava pompası çalıştırıldığında, üflenen hava arada ince birhava yastığı meydana getirir ve kızak bu hava yastığı üzerinde ihmal edilebilecek ölçüde küçük birsürtünme ile yüzer. Bu düzenek ile doğrusal harekete dair pek çok deney yapılabilir. Işık kapıları (foto-sensörler) rayın çeşitli yerlerine kızakların hareketi algılamak ve geçiş zamanlarını/sürelerini ölçmeküzere yerleştirilebilir.

Şekil 6.2: Ortalama hız ve ani hızın incelenmesi

Ortalama hız ve ani hız Bu deneyin ilk kısmında, ortalama hız ve ani hız kavramları arasındakiilişkiyi inceleyeceğiz. Bir cismin t ve t +∆t anları arasındaki ortalama hızı, cismin bu süre içinde aldığıyolun geçen zamana oranıdır ve

vort =x(t +∆t)− x(t)

∆t(6.5)

formülü ile verilir. Bu büyüklüğün, ∆t → 0 limitindeki değeri ise t anındaki ani hız olarak tanımlanırve

v(t) = lim∆t→0

x(t +∆t)− x(t)∆t

(6.6)

formülü ile verilir. Biz de bu deneyin ilk kısmında bu kavramları inceleyeceğiz. Bunun için önceliklerava rayının x = 0 tarafında (yani hava üfleme borusu tarafında) kalan ayaklarının altına bir destekyerleştirerek Şekil (6.2)’deki sistemi oluşturacağız. Ardından 20 cm, 10 cm ve 5 cm uzunluğundakiüç adet hız bayrağını kullanarak kızağın giderek küçülen zaman aralıklarındaki ortalama hızlarınabakacağız ve bunları teorik olarak hesaplayacağımız limit hız ile karşılaştıracağız.

Şekil 6.3: Bir boyutta düzgün ivmeli hareketin incelenmesi

Bir boyutta sabit ivmeli hareket Deneyin ikinci kısmında ise bu kez rayın büyük x değerlerine kar-şılık gelen ucunu (yani hava üfleme borusundan uzakta kalan kısmını) yükseltip, kızağa ip ile bağla-dığımız bir ağırlığı da aşağıya sallandırarak oluşturduğumuz Şekil (6.3)’deki gibi bir sistem üzerinde

24

çalışacağız. Böyle bir sistemin ivmesinin

a =m−M sinθm+M

g (6.7)

formülü ile verildiğini kolayca gösterebilirsiniz. Bu durumda belirli bir noktadan ilk hızı sıfır olacakşekilde bıraktığımız kızak, Şekil (6.3)’de görüldüğü gibi sensöre ulaşınca yakadar ∆x yolunu alırsa, bunoktadaki hızı Denklem (6.3)’den

v2 = 2a∆x (6.8)

olarak bulunacaktır. İşte deneyin bu kısmında da kızağın hızını çeşitli ∆x değerleri için ölçüp Denklem(6.8)’i kullanarak ivmeyi bulacağız. Daha sonra bunu Denklem (6.7)’den bulduğumuz teorik sonuç ilekarşılaştıracağız.

Deneyin Yapılışı

1. Hava rayının hava üfleme borusu tarafında kalan ayaklarının altına destekleri yerleştirerek bireğim meydana getiriniz. Kırmızı renkli kızağı ray üzerine yerleştiriniz.

2. Şekil (6.4)’de görülen mavi renkli sensörler uzun ayakların üzerine monte edilmiştir. Bu sensörlerbir kablo ile hassas zaman ölçerlere bağlıdır. Kızak sensörün uçları arasından geçerken normaldesensörün bir ucundan diğerine kadar uzanmakta olan lazer ışığını Şekil (6.4(b))’de görüldüğü gibikesintiye uğratır. Bu şekilde zaman ölçer kızağın tam olarak ne zaman sensörün uçları arasındangeçtiğini ve geçişin kaç milisaniye sürdüğünü ölçebilir. Sensörünüzü yerleştirirken, aletin kızağıdeğil, hız bayrağını algıladığından emin olunuz. Şekil (6.4(b))’de görüldüğü gibi sensör bir cismialgıladığında kenarındaki küçük kırmızı led ışığı yanacaktır. Elinizle deneme yaparak bunu göre-bilirsiniz (Lazer elinize zarar verecek ölçüde güçlü değildir.)

(a) Işık sensörü (b) Sensörün yerleştirilmesi

Şekil 6.4: Deneyde kullanacağımız ışık sensörünün doğru şekilde yerleştirimesi

3. Zaman ölçeri çalıştırınız. Sensör aletin A girişine bağlı olmalı, göstergesi ∆tab kısmıda olmalı vems göstergesinin yanındaki kırmızı led yanıyor olmalıdır. Bu haliyle zaman ölçer, cismin sensörünuçları arasından ne kadar sürede geçtiğini milisaniye cinsinden ölçme modundadır.

4. Zaman ölçerin start düğmesine bastığınızde alet sensörün uçları arasında bir cismin girmesinibekleyecek ve bu olduğunda da cismin ne kadar süre sensörün uçları arasında kaldığını ölçecek-tir. Bir sonraki ölçüm için reset düğmesine basmalısınız. Elinizi sensörün uçları arasından geçire-rek aletin geçiş süresini ölçtüğünden emin olunuz. Eğer sensör ve zaman ölçer beklediğiniz gibiçalışmıyorsa asistanınıza haber veriniz.

5. Hava pompasının düğmesine bastığınızda deliklerden hava üflenmeye başlayacak, böylece kızakray üzerinde sürtünmesiz şekilde kaymaya başlayacaktır. Kızağı uygun bir yerden bırakarak birkaç deneme yapınız ve bütün sistemin doğru çalıştığından emin olunuz. Bundan sonra deneyebaşlayabilirsiniz.

25

Ortalama hız ve limit hız

1. Hava pompasını kapatınız. Hava pompası deneyinizi hazırlarken kapalı olmalı ve sadece veri ala-cağınız zaman açılmalıdır.

2. Deney setinizde 20 cm, 10 cm ve 5 cm uzunluğunda üç adet hız bayrağı bulunmaktadır. Bunlardan20 cm olanını orta noktası kızağın ortasına gelecek şekilde kızağın üzerine yerleştiriniz ve sistemiŞekil (6.3)’de görüldüğü gibi hazırlayınız. Sensörün kızağı değil hız bayrağını algıladığından eminolunuz.

3. Kızağın sensöre ulaşıncaya kadar ne kadar yol alacağını belirleyip aşağıya kaydediniz.

∆x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm (6.9)

4. Şimdi de kızağı serbest bıraktığımızda ivmesinin ne olacağını hesaplayacağız. Bunun için önce-likle θ rayın eğim açısı olmak üzere sinθ’yı belirleyiniz.

sinθ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6.10)

Bu durumda kızağın ivmesi

g sinθ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cms2 (6.11)

olur.

5. Buna göre Denklem (6.3)’den kızağın sensöre ulaştığında sahip olacağı ani hızı hesaplayarak notediniz.

v = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cms

(6.12)

6. Hava pompasını çalıştırınız ve zaman ölçerin start düğmesine basınız. Cismi serberst bıraktı-ğınzda zaman ölçer kızağın sensör civarındaki 20 cm’lik yolu ne kadar zamanda aldığını göste-recektir. Bu sayıyı Tablo (6.1) not ederek buna karşılık gelen ortalama hızı hesaplayınız.

7. Zaman ölçer ∆t süresini milisaniye (ms) cinsinden gösterecektir. Bu süreyi tablonuza kaydederkensaniyeye çevirmeyi unutmayınız.

8. Daha sonra aynı ölçümleri 10 cm’lik ve 5 cm’lik bayraklarla tekrarlayınız. Bu şekilde bulduğunuzortalama hızlar, yukarıda hesapladığınız ani hıza yaklaşıyor mu? Eğer yaklaşmıyorsa nedeni neolabilir?

∆t (s) v (cm/s)

20 cm

10 cm

5 cm

Tablo 6.1: Ortalama hız veri tablosu

26

Bir boyutta sabit ivmeli hareketin incelenmesi

1. Destekleri rayın hava üfleme borusundan uzak olan (büyük x) kısmındaki ayaklarının altına ko-yunuz ve ipin bir ucunu ağırlığın çengeline diğer ucunu da sarı renkli kızağa bağlayınız. Kızağırayın alt kısmında bir yere yerleştirerek Şekil (6.3)’deki gibi sistemi hazırlayınız.

2. Sarı kızağın ortasına 5 cm’lik hız bayrağını yerleştiriniz.

3. Kızağınız her seferinde aynı x0 noktasından harekete başlayacak ve sensörün bulunduğu x nok-tasına kadar giderek hızlanacaktır. Amacımız kızağın x noktasındaki v hızını ölçmektir. Bu hız,kızağın aldığı yol olan ∆x = x−x0’e Denklem (6.8) ile bağlıdır. Biz de ∆x’i ve v’yi ölçerek Denklem(6.8)’den kızağın ivmesinini belirleyeceğiz. ∆x’i belirlemek için, öncelikle kızağınızın hareketebaşlayacağı noktayı seçerek aşağıya not ediniz.

x0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm (6.13)

4. Şimdi sensörü kızağın başlangıç konumuna yakın bir yere yerleştiriniz ve sensörün konumu olanx’i Tablo (6.2)’deki ilk satıra not ediniz. Kızağın sensöre ulaşıncaya kadar alacağı ∆x = x−x0 yolunuda tabloya yazınız.

5. Hava pompasını çalıştırınız ve zaman ölçerin start düğmesine basınız. Cismi serberst bıraktı-ğınzda zaman ölçer kızağın sensör civarındaki 5 cm’lik yolu ne kadar zamanda aldığını göste-recektir. Bu sayıyı Tablo (6.2)’ye not ediniz. Buradan kızağın v hızını hesaplayınız. Kızak 5 cm’likyolu ∆t süresinde aldığı için hızı v = 5cm/∆t formülünden bulunur.

6. Zaman ölçer ∆t süresini milisaniye (ms) cinsinden gösterecektir. Bu süreyi tablonuza kaydederkensaniyeye çevirmeyi unutmayınız.

7. Sensörü biraz ileri götürerek deneyinizi tekrarlayınız ve bu şekilde aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

x ∆x = x − x0 ∆t v =5∆t

v2

(cm) (cm) (s) (cm/s) (cm/s)2

Tablo 6.2: İvme veri tablosu

8. Şimdi aşağıdaki grafik kağıdına ∆x’e karşılık v2 grafiğini çiziniz. Bunun için verilerinizi uygun birölçek seçerek kağıda geçirdikten sonra 3. bölümdeki Grafik Analizi kısmında açıklandığı gibi bunoktalara en iyi uyan doğruyu çizmelisiniz. Denklem (6.8) bize bu doğrunun eğiminin 2a’ya eşitolacağını söylemektedir. Bu doğrunun eğiminden kızağın ivmesini belirleyiniz.

Eğim = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cms2 (6.14)

a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cms2 (6.15)

27

Yerdeğiştirme (∆x) - hız (v) grafiği

9. Bulduğunuz ivmeyi Denklem 6.7’nin bize verdiği değer ile karşılaştıralım. Bunun için önceliklesarı kızağın ve ağırlık olarak kullandığınız cismin kütlelerini ölçünüz.

M = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g (6.16)

m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g (6.17)

10. Rayın eğim açısı olan θ’nın sinüsünü belirleyiniz:

sinθ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6.18)

11. Şimdi de Denklem (6.7)’den kızağın ivmesini hesaplayınız.

a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cms2 (6.19)

12. Hesapladığınız ivme [Denklem (6.19)] ile ölçtüğünüz ivmeyi [Denklem (6.15)] karşılaştırınız. So-nuçlarınız uyuşuyor mu? Eğer uyuşmuyorsa nedeni ne olabilir?

28

7 Düzlemde Hareket

Amaç

Serbest düşme ve eğik atış hareketlerinin incelenmesi.

Genel Bilgiler

Dünya yakınlarında yerçekiminin etkisi altında hareket eden bir cisim, sabit ivmeli bir hareket yapar.Bu hareket yerçekimi ivmesi ~g ile cismin ilk hızı v0 tarafından oluşturulan düzlem üzerinde gerçekleşir.Bu nedenle düzlem üzerinde sabit ivmeli hareket, kendi ağırlığının etkisi altında hareket eden bir cis-min genel davranış biçimidir. Ancak bu deneyde Şekil (7.1)’deki gibi eğimli bir masa kullanıldığındanbu sabit ivme, yerçekimi ivmesinin kendisi değil, hava masasına paralel bileşeni olacaktır ki bu bileşende

geff = −g sinθ (7.1)

formülü ile verilir. Bu ivmeye effektif yerçekimi ivmesi diyeceğiz. Bu deneyi sanki Dünya’dan daha küçükbir gezegende (örneğin Ay’da) yapılan bir deney olarak da düşünebilirsiniz. Burada ivmenin işaretinineksi olmasının nedeni Şekil (7.1) ve Şekil (7.2)’de gösterildiği gibi pozitif y yönünü yukarı doğru almışolmamızdır.

Şekil 7.1: Eğimli masa yüzeyinde effektif yerçekimi ivmesi

(a) Hava masasında serbest düşme (b) Hava masasında eğik atış

Şekil 7.2: Hava masası deneyi

29

Masa üzerinde x ve y eksenlerini Şekil (7.2)’de gösterildiği gibi alacağımız için ivmeyi

~geff = −geffj (7.2)

şeklinde yazabiliriz. Böyle bir ~geff ivmesi ile hareket eden cismin ~r koordinatı

~r = ~r0 + ~v0t +12~gefft

2 (7.3)

ile verilir. Burada ~r0 ve ~v0 cismin t = 0 anındaki konumunu ve hızını göstermektedir. Bunu x ve ykoordinatları cinsinden ~r0 = x0 i + y0j ve ~v0 = v0x i + v0y j olmak üzere

x = x0 + v0xt (7.4)

y = y0 + v0yt −12gefft

2 (7.5)

şeklinde yazabiliriz.

Serbest Düşme Şekil (7.2(a))’daki gibi masa üzerindeki bir noktadan bırakılan cismin ilk hızı sıfırolacaktır. Eğer cismi bıraktığımız noktayı koordinat sistemimizin orijini olarak seçersek x0 = y0 = 0olacağından denklemlerimiz de basitleşir. Cismin x koordinatı sabit kalacak, y koordinatı ise

y = −12gefft

2 (7.6)

şeklinde değişecektir.

Eğik atış Şekil (7.2(b))’da olduğu gibi cismimizi masanın kenarından belirli bir ilk hız ile attığımızıdüşünelim. Cismi fırlattığımız noktayı koordinat sistemimizin orijini olarak seçersek x0 = y0 = 0 olaca-ğından denklemlerimiz yine basitleşecektir. Cismin x ve y koordinatları

x = v0 cos(α)t (7.7)

y = v0 sin(α)t − 12gefft

2 (7.8)

şeklinde verilir. Bu denklemleri yazarken v0x ve v0y ilk hız bileşenlerini yerlerine koyduğumuza dikkatediniz. Burada α ilk hızın yatay eksenle yaptığı açıdır ve Şekil (7.2(b))’de görülmektedir. Denklem (7.7)ve (7.8) arasında zamanı yok ederek cismin yörünge denklemine ulaşırız:

y(x) = −geff

2v20 cos2(α)

x2 + tan(α)x (7.9)

Bu denklem bize cismin yörüngesinin bir parabol olduğunu söylemektedir. Bu yörünge denklemi bizehareketin şekline dair bilmek istediğimiz bütün bilgileri verir. Örneğin cisim ne kadar uzaklıkta yeredüşer? Bunun yanıtı parabolün sıfırdan farklı olan köküne bakılarak bulunabilir (cisim orijinden hare-kete başladığı için parabolün bir kökü sıfırdır). Sıfırdan farklı olan kök Denklem (7.9) sıfıra eşitlenmeksureti ile

R =v2

0geff

2sin(α)cos(α) (7.10)

olarak bulunur. Cisim tam bu menzilin ortasında, yani x = R/2’de maksimum yüksekliğe ulaşır. Bumaksimum yükseklik Denklem (7.9)’da x = R/2 konularak bulunabilir:

H = y(R2

) =v2

0 sin2(α)2geff

(7.11)

şeklinde bulunabilir. Toplam uçuş süresi de, Denklem (7.7)’de x yerine R konularak

T =2v0 sin(α)

geff(7.12)

şeklinde bulunabilir.

30

Deneyin Yapılışı

• Dikkat: Kıvılcım osilatörü açık haldeyken eliniz hava masasında olmamalıdır!

• Hava masasının üzerindeki karbon kağıdın üzerini bir kayıt kağıdı ile kaplayın. Yüzeyin tamamendüzgün olduğundan emin olun.

• Disklerden bir tanesini Şekil (7.2(a))’da görüldüğü gibi üst köşeye sabitleyin.

• Kompresörü çalıştırın.

• Kıvılcım osilatörünü çalıştırın. Çalışma frekansını 20 Hz olarak ayarlayın.

• Pedala basmadan önce, diske ölçmeyi planladığınız hareketi vererek birkaç kez deneme yapın.

• Uygun hareket elde edilince bu kez pedala basarak hareketi tekrar edin ve veri alın.

Sabit İvmeli Hareket

• Şekil (7.2(a))’da görüldüğü gibi izleri elde ettikten sonra bir cetvel yardımıyla noktaları başlangıçnoktasından itibaren ölçüp Tablo (7.1) işleyin.

• Hızı belirlemek için yol ve zaman bilgisi gerekmektedir. Ardışık noktalar arasında ∆t = 1Frekans

kadar zaman bulunduğunu hatırlayın. Buna göre n. nokta için tn = n∆t yazabiliriz.

• tn anındaki hız için yaklaşık bir değer olarak tn−1 ile tn anları arasındaki ortalama hızı kullanabi-liriz. Yani vn

yn−yn−1∆t ,n = 1,2,3...

• İvmeyi bulmak için elde edilen hızların değişimine bakmalıyız. n = 2,3, . . . için her noktadakiivme değerini yaklaşık olarak an = vn−vn−1

∆t şeklinde alabiliriz. Buna göre her noktadaki ivmeyihesaplayın ve bulunan ivmeleri Tablo (7.1)’e işleyin.

• Bulduğunuz ivmeler değişiyor mu? Sebebi nedir?

• Tablo (7.1)’e işlediğiniz verileri kullanarak diskin konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman gra-fiklerini çiziniz.

n tn yn vn an

(s) (cm) (cm/s) (cm/s2)

0 0 0 0 —

1 —

2

3

4

5

6

7

Tablo 7.1: Eğik düzlem tablosu

31

Konum-zaman grafiği

Hız-zaman grafiği

İvme-zaman grafiği

32

Eğik Atış

• Eğik düzlem deneyi verilerinizin olduğu kağıda x ve y eksenlerinizi çizin.

• Atışın yapıldığı açıyı bir üçgen çizerek hesaplayın. sin(α) ve cos(α)’yı hesaplayıp Tablo (7.2)’yeişleyin.

• Denklem (7.10) kullanarak, menzili hesaplayın.

• Atışın menzili cetvel yardımıyla ölçün, bulduğunuz menzil değerini Tablo (7.2)’ye işleyin.

• v0’ı bulup Tablo (7.2)’ye işleyin.

• Bir cetvel yardımıyla, H yüksekliğini ölçün ve Tablo (7.2)’ye işleyin.

• Noktaları sayarak uçuş süresini belirleyin. Ardışık noktalar arasında t = 1Frekans kadar zaman bu-

lunduğunu unutmayın.

• R, T ve H değerlerini bir defa da ön bilgiler kısmında verilen bilgilerden hesaplayın ve tabloyayazın.

• Ölçtüğünüz ve hesapladığınız değerler arasında farklılık var mı? Deneyinizdeki olası hata kay-nakları nelerdir?

Şekil 7.3: Eğik atışta menzil ve maksimum yükseklik

Ölçüm Hesap

v0 -

sin(α) -

cos(α) -

R

H

T

Tablo 7.2: Eğik atış verileri tablosu

33

8 Basit Sarkaç

Amaç

Basit sarkaç yardımıyla yerçekimi ivmesinin bulunması.

Genel Bilgiler

Basit sarkaç, L uzunluğundaki hafif bir çubuğun ucuna asılmıs noktasal bir m kütlesinden olusur. Sar-kaç denge konumundan bir tarafa doğru yükseltilip serbest bırakılıcak olursa, yerçekimi kuvetinin et-kisi ile düsey düzlem içinde Şekil (8.1)’de görüldüğü gibi bir salınım hareketi yapar. Bu bir basit har-monik harekettir. Bu tür harekette eğer sürtünmeler sonucu mekanik enerji kaybı yoksa cisim iki uzaykonumu arasında sonsuza kadar salınır. Ancak gerçekte havanın ve askı noktasındaki sürtünme kuv-vetlerinin etkisi ile sistemin mekanik enerjisi azalacak ve salınım hareketi bir süre sonra duracaktır.

Şekil 8.1: Basit sarkaç

Kütle üzerine etkiyen kuvvetler, ip boyunca etkiyen T gerilmesi ile mg ağırlığıdır. Ağırlığın yörün-geye teğet bileseni mg sinθ olan daima θ = 0 noktasına yönelir ve yerdeğiştirme vektörüne zıt yöndedirki bu nedenle teğetsel kuvvet geri çağırıcı bir kuvvettir. Teğetsel doğrultudaki hareket denklemi, asağı-daki gibi yazılabilir:

F = −mg sinθ =d2x

dt2(8.1)

Buradaki eksi isareti F kuvvetinin denge konumuna yöneldiğini gösterir. Şekil üzerinde görülen s uzun-luğu yay boyunca ölçülen yerdeğistirmedir ki bunu s = Lθ ile verebiliriz. L sabit olduğundan yukarıdakidenklem;

d2θ

dt2= −

g

Lsinθ (8.2)

şeklini alır. Küçük açılar için sinθ θ alınabileceğinden, hareket denklemi

d2θ

dt2= −

g

lθ (8.3)

34

Şekil 8.2: Değişken g sarkacı

haline gelir. Bu hareket denkleminin d2xdt2

= −w2x ile aynı biçime sahip olduğuna dikkat ediniz. Buradanküçük salınımlar için hareketin basit harmonik hareket olduğu sonucuna varırız öyle ki açısal frekans

w =

√g

L(8.4)

ile verilir. Burada açısal frekansın periyoda w = 2π/T şeklinde bağlı olduğunu da hatırsak, periyot için

T = 2π

√Lg

(8.5)

formülüne ulaşırız. Görüldüğü gibi basit bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu yalnızca ipin bo-yuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.

Biz bu deneyde Denklem (8.5)’in doğruluğunu göstereceğiz. Bu amaçla periyodun L uzunluğuna veg yerçekimi ivmesine bağlı olarak grafiğini çizeceğiz. Elbetteki, başka bir gezegene gitmediğimiz sürecefarklı bir yerçekimi ivmesinde çalışmamızın ve dolayısıyla da periyodun yerçekimi ivmesine bağlı de-ğişimini incelememize olanak olmadığını düşünebilirsiniz. Ancak, yerçekimi ivmesini değiştiremesekde, Şekil (8.2)’deki gibi sarkacımızı eğik bir düzlem üzerinde salınmaya zorlayarak yeni bir “effektifyerçekimi ivmesi” yarayabiliriz. Düşey ile α açısı yapan bir düzlemde salınmaya zorlanan sarkaç

geff = g cosα (8.6)

ile verilen effektif bir yerçekimi ivmesi altında salınacaktır. Böylece α açısını değiştirerek periyodunyerçekimi ivmesine bağlılığını inceleyebiliriz.

Şekil 8.3: Deney düzeneği

35

Deneyin Yapılısı

1. Önce sarkacın uzunluğunu sabit tutarak α eğim açısını değiştirerek Tablo (8.1)’yi doldurunuz.Bunun için 10 salınım için zamanı ölçünüz ve tabloya yazınız. Daha sonra bu sayıyı 10’a bölerekperiyodu bulunuz. Bu tür bir işlem periyot ölçümündeki hatayı azaltacaktır. Neden? Unutmayı-nız ki işaretli noktadan sarkacın ardı ardına aynı yönde iki geçisi tam bir salınımdır. Periyodunyerçekimi ivmesine bağlı grafiğini çiziniz.

α g cosα(ms−2) 10T (s) T (s)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

85

Tablo 8.1: Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı

Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı

36

2. Şimdi de α eğim açısını rastgele bir değerde sabit tutunuz. Kütleyi kaydırarak sarkacın uzunluğudeğistirmek suretiyle Tablo (8.2)’yi doldurunuz. Periyodun L uzunluğuna bağlı grafiğini çiziniz.

No L(cm) 10T (s) T (s)

1

2

3

4

Tablo 8.2: Periyodun uzunluğa bağlılığı

Periyodun uzunluğa bağlılığı

37

3. Şimdi bilmediğimiz bir gezegende olduğumuzu ve yerçekimi ivmesini belirleyerek gezegen hak-kında bir fikir sahibi olmaya çalıştığımızı düşünelim. Varsayalım ki bir önceki şıktaki verileri bugezegende aldınız ve bu verilerden yerçekimi ivmesini hata sınırları ile birlikte belirlemek istiyor-suz. Bunun için öncelikle Tablo (8.2)’deki her bir veri için g ivmesini hesaplayınız ve Tablo (3)’deyerine yazınız. Buradan gezgenin yerçekimi ivmesini, hata sınırları ile birlikte belirleyiniz.

No g (∆gi)2 = (g − gi)2

1

2

3

4

g∑i(∆gi)

2

Tablo 8.3: g’nin belirlenmesi

g = . . . . . . . . . . . . . . .cms2 = . . . . . . . . . . . . . . .

ms2 (8.7)

∆g = . . . . . . . . . . . . . . .cms2 = . . . . . . . . . . . . . . .

ms2 (8.8)

g = . . . . . . . . . . . . . . . ± . . . . . . . . . . . . . . .cms2 = . . . . . . . . . . . . . . . ± . . . . . . . . . . . . . . .

ms2 (8.9)

38

6-9. HaftalarİKİNCİ DÖNGÜ DENEYLERİ

39

9 Çarpışmalar

Amaç

Eşit kütleli iki çelik diskin esnek ve esnek olmayan çarpışmalarının incelenmesi. Momentumun ve ki-netik enerjinin korunumunun incelenmesi.

Genel Bilgiler

Esnek Çarpışma Toplam mekanik enerjinin (yani kinetik + potansiyel enerjinin) korunduğu çarpışmatürüne esnek çarpışma adı verilir. Genel olarak esnek olmayan bir çarpışmada mekanik enerji cisimlerarasındaki sürtünme veya bir cisimden diğerine madde aktarımı gibi durumlarda ısı enerjisine dönü-şerek sistemden uzaklaşabilir. Esnek çarpışma, bu etkinin söz konusu olmadığı veya ihmal edilebilecekkadar küçük olduğu durumlara verilen isimdir. Tanımı gereği esnek çarpışmanın en karakteristik özel-liği toplam mekanik enerjinin korunumudur ki bu deneyde söz konusu olduğu gibi potansiyel enerjininsabit olduğu durumlarda bu özellik kinetik enerjinin korunumuna indirgenir. Öte yandan sistemin top-lam momentumu esnek olsun olmasın bütün çarpışmalarda korunur.

Şekil 9.1: Esnek çarpışma

Öyleyse esnek çarpışmalarda kullanabileceğimiz temel bağıntıları şu şekilde yazabiliriz:

• Momentum korunumu Cisimlerin çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin toplamı, çarpış-madan sonraki momentum vektörlerinin toplamına eşittir.

~P1 + ~P2 = ~P1′+ ~P2

′(9.1)

m1 ~v1 +m2 ~v2 =m1 ~v1′ +m2 ~v2

′ (9.2)

Bu deneyde eşit kütleli iki cisim kullacağımız için bu denklemi

~v1 + ~v2 = ~v1′ + ~v2

′ (9.3)

şeklinde de yazabiliriz.

• Enerji korunumu Cisimlerin çarpışmadan önceki kinetik enerjilerinin toplamı, çarpışmadan son-raki kinetik enerjilerinin toplamına eşittir.

E1 +E2 = E′1 +E′2 (9.4)

12m1v

21 +

12m2v

22 =

12m1v

′1

2 +12m2v

′2

2 (9.5)

40

Esnek Olmayan Tam Çarpışma Cisimler çarpıştıktan sonra birlikte hareket ettikleri duruma esnekolmayan tam çarpışma denir. Bu tür bir çarpışmada mekanik enerji korunmaz. Ancak yukarıda açık-landığı gibi momentumun korunumu hala geçerlidir:

m1 ~v1 +m2 ~v2 = (m1 +m2)~vortak (9.6)

Bu deneyde eşit kütleli iki cisim kullacağımız için bu denklemi

~v1 + ~v2 = 2~vortak (9.7)

şeklinde yazabiliriz.

Şekil 9.2: Esnek olmayan tam çarpışma

Deneyin Yapılışı

Şekil 9.3: Çarpışma örneği

• Dikkat: Kıvılcım osilatörü açık haldeyken eliniz hava masasında olmamalıdır!

• Hava masasının üzerindeki karbon kağıdın üzerini bir kayıt kağıdı ile kaplayın. Yüzeyin tamamendüzgün olduğundan emin olun.

• Disklerden bir tanesini Şekil (7.2(a))’da görüldüğü gibi üst köşeye sabitleyin.

• Kompresörü çalıştırın. Masa yüzeyi düz ise diskler masanın merkezinde hareket etmeden dura-bilmelidir.

• Kıvılcım osilatörünü çalıştırın. Çalışma frekansını 10 Hz olarak ayarlayın.

• Pedala basıp çarpışmanın izlerini kaydetmeden önce, çelik diskleri birkaç kez çarpıştırın.

• Uygun biçimde fırlatmayı başarınca bir kez de pedala basarak fırlatmayı tekrarlayın.

• Kağıt üzerinde çarpışmanın izi temiz bir şekilde görülebilmelidir.

41

Esnek Çarpışma

• Çarpışma verileri kağıda işaretlendikten sonra, kağıdın üzerine seçtiğiniz koordinat eksenleriniçizin.

• Her disk için çarpışma öncesi ve sonrası olmak üzere, hızı belirleyin. Hızı belirlemek için sececeği-niz iki nokta arasındaki mesafeyi ölçünüz. İki ardışık nokta arasında geçen zamanın ∆t = 1/Frekans

olduğunu gözönünde bulundurarak seçtiğiniz noktalar arasında geçen zamanı, buradan da diskinhızını belirleyin.

• Bulunan bilgileri Tablo (9.1)’e işleyin.

• Denklem (9.3)’in sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederek momentum korunumunu test edin.

• Denklem (9.5)’in sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederek momentum korunumunu test edin.

BilgilerÖnce Sonra

1. Disk 2. Disk Toplam 1. Disk 2. Disk Toplam

t(s) — —

∆x(cm) — —

∆y(cm) — —

Vx(cm/s)

Vy(cm/s)

Kinetikenerji (erg)

Tablo 9.1: Esnek çarpışma verileri tablosu

42

Esnek Olmayan Çarpışma

• Her iki diskin etrafına yapışkan bant geçirilip, çarpışma işlemi esnek çarpışma örneğindeki adım-lar uygulanarak tekrarlanır. Bu çarpışmada diskler ortak hareket edecektir. Hızlar esnek çarpış-mada açıklandığı gibi hesaplanır.

• Bu çarpışmada momentumun korunduğunu, yani Denklem (9.7)’nin sağlandığını, ancak mekanikenerjinin korunmadığını gösteriniz.

BilgilerÖnce Sonra

1. Disk 2. Disk Toplam Ortak

t(s) —

∆x(cm) —

∆y(cm) —

Vx(cm/s)

Vy(cm/s)

Kinetik enerji(erg)

Tablo 9.2: Esnek olmayan çarpışma verileri tablosu

43

10 Eylemsizlik Momenti

Amaç

Uçlarına ağırlıklar eklenmiş bir cubuğun eylemsizlik momentinin, eklenen kütlelerin miktarına ve ek-lenen kütlelerin dönme ekseninden olan uzaklıklarına bağlı olarak ölçülmesi. Spiral bir yayın burulmakatsayısının ölçülmesi.

Temel Bilgiler

Şekil 10.1: Eylemsizlik momenti deney düzeneği

Katı bir cismin eylemsizlik momenti, onundönme hareketinde değişim yaratmaya çalışanetkenlere (yani torka) karşı gösterdiği diren-cin bir ölçüsüdür (τ = Iα). Tıpkı bir cisminkütlesinin, onun doğrusal hareketinde deği-şim yaratmaya çalışan etkenlere (yani kuvvete)karşı gösterdiği direncin bir ölçüsü olması gibi(F =ma). Doğrusal hareket ile dönme hareketiarasındaki analojiyi gösteren Tablo (10.1)’i in-celeyiniz.

Deneyimizde kullanacağımız Şekil (10.3)’de görülen sisteminin (m kütleleri olmadan) sahip olduğueylemsizlik momentini I0 ile gösterecek olursak, m kütleleri eklendiğinde sistemin toplam eylemsizlikmomenti

I = I0 + 2mr2 (10.1)

olacaktır. Bu deneydeki amacımız, Denklem (10.1)’in doğru olduğunu göstermektir.

Doğrusal Hareket Dönme Hareketi

Kütle m Eylemsizlik Momenti I

Kuvvet F Tork τ

İvme a Açısal İvme α

F =ma τ = Iα

Tablo 10.1: Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton’ın ikinci yasasının ifadesi

44

Şekil 10.2: Doğrusal yay

T = 2π

√MK

(10.2)

Şekil 10.3: Spiral yay

T = 2π

√ID

(10.3)

Bu deneyi nasıl yapacağımızı anlamak için önce Şekil 10.2’yi gözönüne alalım: Bir cismin kütle-sini (m) belirlemenin bir yolu, onu bir yayın ucuna bağlayıp oluşan sistemin salınım periyodunu (T )ölçmektir. Böylelikle periyod ile kütle arasındaki ilişkiyi gösteren Denklem (10.2)’yi kullanarak küt-leyi hesaplayabiliriz. Benzer şekilde, bir cismin eylemsizlik momentini (I) belirlemek için, onu Şekil(10.3)’de görüldüğü gibi spiral bir yaya bağlayabilir ve oluşan sistemin salınım periyodunu ölçebiliriz.Böylece sistemin eylemsizlik momenti ile periyot arasındaki ilişkiyi gösteren Denklem (10.3) kullanıla-rak eylemsizlik momenti hesaplanabilir.

Denklem (10.3)’deki D simgesi spiral yayın burulma sabitini göstermektedir ki bu da Denklem(10.2)’de görülen yay sabiti K ile aynı işleve sahiptir. Deneyimizde kullanacağımız spiral yayın burulmasabitini de ölçeceğiz. Bunun için öncelikle Denklem (10.3)’ü

I =D

4π2 T2 (10.4)

şeklinde yazalım. Ek m kütlelerinin yokluğunda eylemsizlik momentinin I0 olduğunu söylemiştik. Budurumda ölçülem periyoda da T0 diyecek olursak

I0 =D

4π2 T20 (10.5)

yazabiliriz. Denklem (10.4) ve (10.5)’i birbirinden çıkarıp Denklem (10.1)’i de kullanacak olursak Diçin aşağıdaki formülü türetebiliriz:

D =8π2mr2

T 2 − T 20

(10.6)

Bu denklem bize şunu söylemektedir: Eğerm kütlelerinin yokluğunda periyodu T0 olarak,m kütlelerinimerkezden r uzaklığına koyduğumuzda da periyodu T olarak ölçüyorsak, bu bilgiler ışığında burulmasabiti D hesaplanabilir. Bütün yapmamız gereken bu ölçüm değerlerini Denklem (10.6)’da yerlerinekoymaktır.

D burulma sabiti bulunduktan sonra artık Denklem (10.3)’e bu D değerini ve deneyde ölçeceğimizT periodunu yazarak I eylemsizlik momentini kolayca hesaplayabiliriz.

45

Deneyin Yapılışı

Kütle Eklemeden

1. Öncelikle denge durumunda diskin üzerinde görülen uzun siyah çizginin mekanizma üzerindegörülen ok ucu ile aynı hizada olduğundan emin olunuz.

2. Diski elinizle yavaşca iterek bir küçük genlikli bir burulma salınımı başlatınız. Unutmayınız kiDenklem (10.3) küçük genlikli salınımlar için geçerlidir.

3. Salınım periyodunu (T0) ölçerek aşağıdaki Tablo (10.2)’de periyot ölçümleri kısmına yazınız.

4. Deneyimizdeki sistematik hataları azaltmak için her bir periyot ölçümünü dört kez gerçekleştire-ceğiz. Bunun için çubuğu durdurup salınımı tekrar başlatarak ölçümünüzü üç kez daha tekrarla-yınız.

5. Bu dört ölçümün ortalamasından periyodu belirleyiniz ve Tablo (10.2)’ye kaydediniz.

6. Sistemin bu şekilde hiç kütle eklemeden sahip olduğu eylemsizlik momentini I0 ile gösterece-ğiz. Tablonun geri kalanını şimdilik boş bırakarak bir sonraki kısma geçiniz. Daha sonra yayın Dburulma sabitini bulduğumuzda buraya geri dönerek sistemin eylemsizlik momentini Denklem(10.4)’den hesaplayacak ve tabloda yerine yazacağız.

Kütle Uzaklık Periyot ölçümleri OrtalamaPeriyot

EylemsizlikMomenti

m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm2)

- -

Tablo 10.2: Kütlelerin yokluğunda periyot ölçümleri

25 g’lık Ek Kütlelerle

1. 25 g’lık kütleleri iki yandan simetrik bir şekilde dönme ekseninden 3.0 cm uzaklığ (yani çubuküzerinde merkeze en yakın deliklere) yerleştiriniz.

2. Diski elinizle yavaşca iterek bir burulma salınımı başlatınız.

3. Salınım periyodunu (T ) ölçerek aşağıdaki tabloya yazınız.

4. Deneyimizdeki sistematik hataları azaltmak için her bir periyot ölçümünü dört kez gerçekleştire-ceğiz. Bunun için çubuğu durdurup salınımı tekrar başlatarak ölçümünüzü üç kez daha tekrarla-yınız.

5. Bu dört ölçümün ortalamasından periyodu belirleyiniz ve Tablo (10.3)’e kaydediniz.

6. Çubuk üzerindeki deliklerin arasındaki mesafeler 2.0 cm’dir. Kütleleri her seferinde iki delik öteyetakarak yani dönme ekseninden olan uzaklıklarını 4.0’er cm arttırarak aynı işlemleri tekrarlayınız.

7. Tablonun geri kalanını şimdilik boş bırakarak bir sonraki kısma geçiniz. Daha sonra yayın Dburulma sabitini bulduğumuzda buraya geri dönerek sistemin eylemsizlik momentini Denklem(10.4)’den hesaplayacak ve tabloda yerine yazacağız.

50 g’lık Ek Kütlelerle Aynı ölçümleri 50 g’lık kütle çifti ile tekrar ediniz ve sonuçlarınızı Tablo(10.4)’e kaydediniz.

46

Kütle Uzaklık Periyot OrtalamaPeriyot

EylemsizlikMomenti

m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm2)

25 3

25 7

25 11

Tablo 10.3: m = 25 g’lık kütlelerle periyot ölçümleri

Kütle Uzaklık Periyot ölçümleri OrtalamaPeriyot

EylemsizlikMomenti

m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm2)

50 3

50 7

50 11

Tablo 10.4: m = 50 g’lık kütlelerle periyot ölçümleri

Sonuçların Analizi

Burulma sabitinin hesaplanması

• Yukarıda m = 50 g’lık ve m = 25 g’lık kütleler ile yaptığınız ölçümlerden rastgele bir tanesiniseçiniz. Bunu Denklem (10.6) de görüldüğü gibi kütleler olmaksızın yaptığınız ve Tablo (10.2)’akaydettiğiniz sonuçlar ile birlikte kullanarak D için bir değer hesaplayınız. Bunu Tablo (10.5)’ekaydediniz.

Kütle Uzaklık Ortalama Periyot D

m/g r/cm T/s (g cm2/s2)

Tablo 10.5: Burulma sabitinin belirlenmesi

• Aynı işlemi m = 50 g’lık ve m = 25 g’lık kütleler ile yaptığınız iki ölçüm için daha tekrar ediniz.

• Bulduğunuz değerlerin ortalamasını alarak D için bir değer belirleyiniz.

47

D = . . . . . . . . . . . . . . .cm2

s2 (10.7)

• Şimdi bu D değerini kullanarak Tablo (10.2), (10.3) ve (10.4)’ye geri dönerek ölçtüğünüz periyotdeğerlerinden eylemsizlik momentlerini her bir durum için hesaplayınız.

• Denklem (10.1)’e bir kez daha göz atınız. Daha önce de söylendiği gibi, bu deneyin amacı Denklem(10.1)’in doğru olduğunu göstermektir.

• Önce 25 g’lık kütlelerle bulduğunuz değerleri kullanarak grafik kağıdına r2’ye karşı I ’nın grafi-ğini çiziniz. Denklem (10.1)’ne göre I ile r2 arasındaki ilişki lineer olduğu için grafinizin doğrusalolmasını beklenir. Doğrunuzun bir köşesine yazacagınız bir m = 25g sembolü bu doğrunun hangiverilere ait olduğunu belirtebilirsiniz.

• Şimdi 25 g’lık kütlelerle bulduğunuz verileri kullanarak aynı grafik kağıdı üzerine ikinci bir doğruçiziniz. Doğrunuzun bir köşesine yazacagınız bir m = 25g sembolü bu doğrunun hangi verilere aitolduğunu belirtebilirsiniz.

• Her bir doğrunun I eksenini kesme noktasını ve eğimini belirleyerek Tablo (10.6)’yı doldurunuz.

• Bu tabloya bakarak, Denklem (10.1)’in doğruluğu hakkında ne söyleyebilirsiniz? Doğrularin Ieksenini kesme noktası ve eğimi fiziksel olarak ne anlama gelmektedir?

Doğru I eksenini kesme nok-tası

Eğim Doğrunun denklemi

b

c

Tablo 10.6: I-r2 grafiğinin analizi

48

11 Sabit İvmeli Dönme

Amaç

Sabit ivmeli dönme hareketinin incelenmesi.

Temel Bilgiler

Eylemsizlik momenti I olan bir cisim, τ torkunun etkisi altında kaldığında α açısal ivmesi ile hareketeder öyle ki bu büyüklükler arasındaki ilişki

τ = Iα (11.1)

şeklindedir. Bu bağıntı, bir m kütlesinin üzerine etki eden ~F kuvvetin ona kazandırdığı ~a ivmesini ifadeeden Newton’un ikinci yasasının yani ~F =m~a denkleminin dönme hareketi için ifade edilmiş halidir. Bunoktada Tablo (11.1)’ye bir göz atınız. Burada gördüğünüz gibi dönme hareketini ifade eden denklemlerbir boyutta doğrusal hareketi ifade eden denklemler arasında oldukça büyük bir benzerlik bulunmak-tadır.

Doğrusal Hareket Dönme Hareketi

Kütle m Eylemsizlik Momenti I

Kuvvet F Tork τ

İvme a Açısal İvme α

F =ma τ = Iα

Pozisyon x Açı θ

Hız v =dxdt

Açısal Hız ω =dθdt

x =12at2 + v0t + x0 θ =

12αt2 +ω0t +θ0

Tablo 11.1: Doğrusal hareket ve dönme hareketini ifade eden denklemlerin benzerliği

Bu deneyde Şekil (11.1)’de görüldüğü gibi 2r çaplı bir şafta ip ile bağlı olan ve bu şekilde düşerken,iki ucuna M kütleleri tutturulmuş olan bir cubuğu döndürebilen bir m kütlesini gözönüne alacağız.İpteki gerilme kuvvetini T ile gösterecek olursak şafta uygulanan torkun değeri

τ = T .r (11.2)

ile verilir. Eğer çubuk ve ucuna tutturulmuş kütlelerden oluşan sistemin eylemsizlik momentini I ilegösterirsek, bu torkun etkisi altında sistemin kazandığı açısal ivme

T r = Iα (11.3)

50

bağıntısından bulunabilir. İki sistemi birbirine bağlayan ip nedeniyle bu açısal ivme, m kütlesinin çiz-gisel ivmesine

a = αr (11.4)

denklemi ile bağlı olmak zorundadır. Öte yandan m kütlesine Newton’ın ikinci kanununu uygularak

Şekil 11.1: Sabit ivmeli hareket deney düzeneği

ma =mg − T (11.5)

denklemini elde ederiz. Bu durumda sistemdeki üç bilinmeyen olan T gerilmesi, a ivmesi ve α açısal iv-mesine karşılık (11.3), (11.4) ve (11.5) ile verilen üç denklem bulunmaktadır. Bunları kullanarak çubuksistemin açısal ivmesini

α =mr

I +mr2 g (11.6)

şeklinde buluruz. Öte yandan M kütleleri olmaksızın çubuğun eylemsizlik momentini I0 ile gösterecekolursak, M kütlelerinin varlığında

I = I0 + 2ML2 (11.7)

yazabiliriz ki burada L kütlelerin merkezden olan uzaklığını göstermektedir.Tablo (11.1)’deki denklemlerden görüleceği gibi, çubuk ve M kütlelerinden oluşan sistem, durgun

halden harekete başladığı taktirde t süresince

θ =12αt2 (11.8)

açısı kadar dönecektir. Bu süre içinde sabit bir a ivmesi ile hareket eden m kütleli cisim

h =12at2 (11.9)

kadar aşağıya iner. Burada m kütleli cismin harekete başladığı noktayı 0 olarak alıyor ve aşağıya doğruolan yönü pozitif yön olarak seçiyoruz.

Deneyin Yapılışı

Önemli Bilgi: Deneye başlamadan önce 11.1 numaralı şekili tekrar inceleyiniz, gösterilmiş olan M vem kütleleri farklı kütleler olduğuna dikkat ediniz.

1. Öncelikle çubuktan M kütlelerini ve frenleri çıkarınız. Çubuğun kütlesi mcubuk = 48.0 g ve uzun-luğu da ` = 60.0 cm’dir. Bu durumda

I0 =1

12mcubuk`

2 (11.10)

formülünden çubuğun eylemsizlik momentini hesaplayınız.

I0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g cm2 (11.11)

2. İpin ucuna takacağınız m kütlesini tartınız ve aşağıya not ediniz.

m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g (11.12)

3. Şimdi de bir mikrometre ile şaftın çapını ölçünüz ve burada yarıçapını belirleyiniz.

2r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm r = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (11.13)

4. Bu verileri kullanarak Denklem (11.6)’den, serbest bırakıldığında sistemin sahip olacağı açısalivmeyi hesaplayınız.

α0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−2 (11.14)

5. Şimdi Denklem (11.14)’de hesap ettiğimiz ivmeyi ölceceğiz. Bunun için öncelikle ipin bir ucunum kütleli cismin kancasına takınız ve diğer ucunu sistemin şaftına sarınız. Sarma işlemi sırasındaipin gergin olduğundan emin olunuz. İpi makaradan geçirmek suretiyle m kütleli cismi masanınkenarından aşağıya sallandırınız. Bu sırada dönmemesi için çubuğu tutunuz.

6. Sistemi serbest bırakınız ve kronometre ile çubuğun iki tam tur dönmesi için gereken zamanıölçünüz. Sonucunuzu Tablo (11.2)’ye kaydediniz.

7. Deneyi başa alarak benzer şekilde sistemin 2,4,6,8 ve 10 tur dönmesi için gereken zamanlarıkronometre ile ölçerek tabloya kaydediniz. Deneyin sonunda bu verileri kullanarak α0’ı belirleye-ceğiz.

8. Şimdi 100 g’lık ağırlıkları çubuğun iki ucuna geçiriniz. Frenleri o şekilde ayarlayınız ki, M kütlelicisimlerin kütle merkezleri çubuğun merkezinden 25 cm ötede olsun.

9. Denklem (11.7)’yi kullanarak sistemin yeni eylemsizlik momentini hesaplayınız.

I1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g cm2 (11.15)

10. Şimdi eylemsizlik momenti daha fazladır. Bu durumda sistemin açısal ivmesinin artmasını mıyoksa azalmasını mı beklersiniz? Bu yeni durum için açısal ivmeyi belirleyiniz.

α1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−2 (11.16)

11. Yukarıdaki ölçümleri tekrar ederek sonuçlarınızı Tablo (11.2)’ye yazınız. Deneyin sonunda bu ve-rileri kullanarak α1’i belirleyeceğiz.

12. M = 100 g’lık kütleleri çıkartıp yerlerine M = 200 g’lık kütleleri takınız. Bunların tam kütle mer-kezlerinin çubuğun ortasından 25 cm uzaklıkta olmasında dikkat ediniz. 200 g’lık kütleler 100g’lık kütlelerden daha büyük olduklarından bunun için frenleri tekrar ayarlamanız gerekecektir.

13. Denklem (11.7)’yi kullanarak sistemin yeni eylemsizlik momentini hesaplayınız.

I2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g cm2 (11.17)

14. Bu yeni durum için açısal ivmeyi belirleyiniz.

α2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s−2 (11.18)

15. Yukarıdaki ölçümleri tekrar ederek sonuçlarınızı Tablo (11.2)’ye yazınız.

Deneyin Analizi

1. Yukarıda incelediğiniz her 3 durum için (M = 0, M = 100 g M = 200 g) t2’ye karşılık θ grafiğiniçiziniz.

2. Denklem (11.8) bize t2 − θ grafiğinin eğiminin α/2 olduğunu söylemektedir. Bu grafiklerin eği-minden her bir durum için α açısal ivmesini belirleyerek sonuçlarınızı Tablo (11.2)’e yazınız.

3. Sonuçlarınızı Denklem (11.14), (11.16) ve (11.18)’de bulduğuz değerler ile karşılaştırınız. Eğerölçtüğünüz değerler ile hesapladığınız değerler arasında fark var ise deneydeki olası hata kay-naklarının (örneğin sistemdeki sürtünmelerin, deneyde dönen diğer parçaların, vs . . . ) bu farkıaçıklayıp açıklayamayacağını asistanınız ile tartışınız.

M=0 M=100 g M=200 g

t (s) t2 (s2) t (s) t2 (s2) t (s) t2 (s2)

4π

8π

12π

16π

20π

Eğim α0 Eğim α1 Eğim α2

Tablo 11.2: Sabit ivmeli dönme verileri tablosu

M = 0 için t2 −θ grafiği

M = 100 g için t2 −θ grafiği

M = 200 g için t2 −θ grafiği

12 Keplerin II. Yasası

Amaç

Toz-işaretleme yöntemi ile bir sarkacın eliptik salınımları üzerinden Keplerin ikinci yasasının doğru-lanması.

Genel Bilgiler

Güneş sistemindeki gezegenler, kütle çekiminin etkisi ile Güneş etrafında eliptik yörüngeler üzerindedönerler. Kütle çekimi kuvveti daima Güneş ile gezegeni birleştiren doğru üzerinde etki eder. Bununsonucu olarak gezegen nerede olursa olsun üzerine etki eden kuvvet bir merkeze, yani Güneş’e, doğruyönelmiştir. Bu tür kuvvetlere merkezcil kuvvet adı verilir. Aşağıda verilen yasalar Kepler tarafındanGüneş etrafında dönen bir gezegenin hareketini tarif etmek için formüle edilmişlerdir ancak genel ola-rak merkezcil bir kuvvet etkisi altında hareket eden bütün cisimler için doğrudurlar.

Kepler yasaları şu şekilde ifade edilirler:

1. Gezegen odaklarından birinde Güneşin bulunduğu elips biçimindeki bir yörüngede döner.

2. Gezegeni Güneş’e birleştiren doğru parçası eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Bu nedenlegezegen Güneş’e yaklaştığında hızlı, Güneş’ten uzaklaştığında ise daha yavaş hareket eder.

3. Gezegenin Güneş çevresinde dönüş periyoduna T , yörüngeyi oluşturan elipsin büyük yarı-ekseninede R diyecek olursak T 2/R3 gezegenden bağımsız bir sabittir.

Şekil 12.1: Keplerin 2. yasası

Biz bu deneyde Kepler’in ikinci yasasını, eliptik salınım yapan sarkaçın ucundaki bir cisim için doğ-rulayacağız. Böyle bir cisim de kendi ağırlığı ile ipteki gerilme kuvvetinin toplamı tarafından dönmeyezorlanmaktadır ki bu da merkezcil bir kuvvettir. Siz de bu deneyden önce bir şekil çizerek bu kuvvetinmerkeze doğru yönelmiş olduğunu asistanınıza gösteriniz.

Eliptik bir yörünge üzerinde dönen cismin yarıçap vektörünün taradığı alan Şekil (12.2) yardımı ilebulunabilir. Eğer çok küçük bir ∆t zamanı içinde cisim küçük ∆r yerdeğiştirmesi gerçekleştirdiyse, bu

55

zamanda yarıçap vektörünün taradığı alan yaklaşık olarak Şekil (12.2)’deki taralı üçgenin alanı olarakdüşünülebilir. Bu üçgenin alanı da

∆A =12rh =

12r(t)∆r(t)sinα (12.1)

ile verilir. Bu denklemin her iki tarafını da ∆t’ye bölüp ∆t→ 0 limitini alır ve hız için v = dr/dt tanımınıkullanırsak

dAdt

=12rv sinα (12.2)

buluruz. Cismin açısal momentumu L =m|r× v| =mrv sinα olduğundan birim zamanda taranan alan

dAdt

=L

2m(12.3)

olarak bulunur. Buradan Kepler’in ikinci yasasının açısal momentumun korunumu ilkesinin bir sonucuolduğunu görürüz. Açısal momentumun korunumu ilkesi gereği cisim merkezden uzak olduğunda dahayavaş (r büyük, v küçük, L =mvr sinα sabit), merkeze yakın olduğunda ise daha hızlı (v büyük, r küçük,L =mvr sinα sabit) hareket eder öyle ki cismin yarıçap vektörünün alan tarama hızı sabit kalır.

Şekil 12.2: Yarıçap vektörünün süpürdüğü alan

Bu deneyde merkezcil kuvvetin etkisi altındaki sarkaç topunun eliptik hareketi, tabla üzerindekikumda oluşan izler ile gözlemlenecektir. Bu izler hava masası deneyinde olduğu gibi bize zaman ara-lıkları hakkında da fikir verecek şekilde oluşacağı için eşit zaman aralıklarında taranan alanı belirleye-bileceğiz.

Deneyin Yapılışı

Deney aleti Şekil (12.3(a))’da görüldüğü gibi iki tripod ayak ile sarkacı asmak üzere yatay olarak bun-ların üzerinde duran kısa bir çubuktan ve tabanda kükürt tozu yerleştirdiğimiz bir plakadan oluşmak-tadır. Fırça ile plaka üzerindeki kükürt tozunu ince bir tabaka şeklinde mümkün olduğunca düzgünyayınız. Kablonun birini toz tablasına, diğerini de Şekil (12.3(a))’daki gibi elektrik kontağını sağlayanayağa bağlayınız ve sistemi çalıştırınız. Sarkaca eliptik bir alan içinde salınımını sağlayacak kadar itmeveriniz. Sistemden geçen alternatif akım tozları akımın yönüne göre bir itip bir çekmek suretiyle plakaüzerinde izler oluşturacaktır. Bir elips çizildiğinde sarkaç ve çizim sürecini durdurunuz.

• İlk olarak elipsin merkezini belirleyiniz. Bunun için size verilen çubuğun ucuyla kükürt tozlarınınüzerine küçük bir işaret koyabilirsiniz.

• Daha sonra Şekil (12.4)’de görüldüğü gibi elips üzerinde herbiri 10 aralık içeren (yani cismin, al-ternatif akım döngüsünün 10 katı süre boyunca ilerlediği yola karşılık gelen) yaylar belirleyin. Buyayların uçlarını merkeze birleştirerek Şekil (12.4)’deki gibi yarıçap vektörünün taradığı alanlarıbelirleyin.

• Kepler’in ikinci yasası bize bu alanların eşit olması gerektiğini söylemektedir. Ancak biz bu de-neyde bu alanları ancak yaklaşık olarak belirleyebileceğiz. Yapacağımız şey, yarıçap vektörünün

(a) Düzenek (b) Tabla

Şekil 12.3: Kepler deney seti

Şekil 12.4: Kepler’in ikinci yasası için örnek çizim

taradığı alanları Şekil (12.4)’de görüldüğü gibi her bir bölgede kalan yayı uygun bir kiriş ile değiş-tirmek suretiyle elde edeceğimiz üçgenler ile yaklaşık olarak temsil etmek olacaktır. Size verilençubuğun ucuyla bu üçgenleri kükürt tozları üzerine çiziniz.

• Üçgenlerin taban uzunluklarını ve yüksekliklerini ölçerek alanlarını hesaplayınız.

• Bu şekilde dört üçgen üzerinde çalışarak Tablo (12.1)’i doldurunuz.

• Hesapladığınız alanlar Kepler’in ikinci yasasına ne ölçüde uyuyor? Deneyinizdeki (alan hesabı-nızdaki muğlaklık dışında kalan) diğer hata kaynaklarını da görebiliyor musunuz?

b (mm) h (mm) A =12bh (mm2)

Tablo 12.1: Kepler’in ikinci yasası için alan hesabı

13 Yedek Grafik Kağıtları

58