Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/...1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep...
Transcript of Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/...1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep...
UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN
ARCHITECTUUR
VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE
PROCESKUNDE (EA11)
Mechanica
van
Materialen
Oefeningensyllabus
Academiejaar 2017-2018
Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM
Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE
Universiteit Gent
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)
Technologiepark-Zwijnaarde 903
9052 Zwijnaarde
Tel. : 09/331.04.32
Fax : 09/264.58.33
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
1
Hoofdstuk 1
Krachten, momenten, spanningen en rekken
§ Statica van constructies
1.1 Bepaal de grootte en de positie van de resultante van volgende krachten:
1.2 Bepaal de reactiekrachten van de eenvoudig opgelegde balk ABCD.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
2
1.3 Bepaal de reactiekrachten van de ingeklemde balk ABC.
1.4 Bepaal de krachten in de vakwerkstaven, als alle individuele staven verbonden zijn
door scharnieren. Er kan dus geen moment worden overgedragen van de ene staaf naar
de andere.
1.5 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op de dwarsdoorsnede in het punt C
van de machine-as werken. De as wordt in A en B ondersteund door lagers die alleen
verticale krachten op de as uitoefenen. De rotatie van de as wordt niet verhinderd.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
3
1.6 Het hijstoestel in onderstaande figuur bestaat uit de balk AB en de daaraan bevestigde
katrollen, de kabel en de motor. Bepaal de resulterende inwendige belastingen die op
de dwarsdoorsnede in het punt C werken als de motor de vracht W van 500 N met
constante snelheid ophijst. Negeer het gewicht van de katrollen en de balk.
1.7 Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt G op de dwarsdoorsnede
van de houten balk werken. Neem aan dat de verbindingen bij A, B, C, D en E met
scharnieren zijn uitgevoerd, zodat geen moment kan overgedragen worden.
1.8 Gegeven is onderstaande auto met aanhangwagen. Het gewicht van de auto FG1 is
25000 N. Het gewicht van de aanhangwagen FG2 is 1200 N en grijpt aan net boven de
wielen van de aanhangwagen. De afmetingen zijn a = 2 m, b = 0.5 m en L = 2 m.
In de aanhangwagen wordt nu een massa geplaatst met gewicht Fm = 1000 N. Bepaal
de uiterste posities (x) ten opzichte van de trekhaak opdat de wagen steeds met vier
wielen op de grond blijft.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
4
1.9 Gegeven is de volgende constructie:
60 60
6 m
2 m
2 m
10 kN
5 kN/m
C
A B
D
E F
G
Gevraagd zijn de snedekrachten en –momenten in het punt G (halverwege de verticale
staaf met lengte 2 m).
(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)
1.10 Gegeven is de volgende constructie. De rechtstaande kolom CF heeft een massa per
lopende meter van 250 kg/m. Ter hoogte van A wordt een horizontale ligger AB
scharnierend verbonden met de kolom. Deze ligger heeft een massa per lopende meter
van 150 kg/m. Vanuit C vertrekken twee trekkabels naar punten B en G.
In F en G wordt de horizontale en verticale verplaatsing van de constructie verhinderd.
Bereken de snedekrachten in E, als het eigengewicht de enige inwerkende belasting is
op de constructie (g = 9,81 m/s2).
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
5
(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 40 minuten)
§ Spanningen
1.11 De onderstaande staaf heeft een constante breedte van 35 mm en een dikte van 10 mm.
Bepaal de maximale gemiddelde trekspanning (= Fn/A) in de staaf voor de
aangegeven belasting. De belastingen van 9 kN en 4 kN werken niet op de volledige
omtrek van de schijven, maar zijn twee afzonderlijke puntlasten op de boven- en
onderzijde van de schijven.
1.12 De onderstaande lamp van 80 kg wordt ondersteund door twee stangen AB en BC. De
stang AB heeft een diameter van 10 mm en de stang BC een diameter van 8 mm.
Bepaal welke stang de grootste gemiddelde trekspanning (= Fn/A) heeft.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
6
1.13 Het onderstaande gietstuk is gemaakt van staal dat een soortelijk massa heeft van
st = 7990 kg/m3. Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) die op de punten A
en B werkt.
1.14 Onderdeel AC in onderstaande figuur wordt belast door een verticale kracht van 3 kN.
Bepaal de positie x van deze kracht, zodanig dat de drukspanning in het punt C gelijk
is aan de trekspanning in de trekstang AB. De stang heeft een dwarsdoorsnede met
oppervlakte 400 mm2, en de contactoppervlakte bij C is 650 mm2. In het punt C is de
balk gewoon opgelegd op de ondergrond.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
7
1.15 De onderstaande staaf heeft een vierkante dwarsdoorsnede waarvan breedte en hoogte
beide 40 mm bedragen. Langs de zwaartepuntsas van de dwarsdoorsnede van de staaf
werkt een axiale kracht van 800 N. Bepaal de gemiddelde normaalspanning (= Fn/A)
en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) op het materiaal langs (i) het
doorsnedevlak a-a en (ii) het doorsnedevlak b-b.
1.16 Het hellende onderdeel in onderstaande figuur ondervindt een drukkracht van 600 N.
Bepaal de gemiddelde drukspanning (= Fn/A) op de contactvlakken die door AB en
BC worden gedefinieerd, en de gemiddelde schuifspanning (= Ft/A) langs het
horizontale vlak dat door EDB wordt gedefinieerd. De wrijving tussen beide houten
balken mag verwaarloosd worden.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
8
1.17 Twee onderdelen zijn in B met een scharnier aan elkaar bevestigd. De figuur toont ook
bovenaanzichten van de penverbindingen bij A en B. Als de pennen een toelaatbare
schuifspanning toel = 125 MPa hebben en de staaf CB een toelaatbare trekspanning
toel = 162 MPa , bepaal dan de kleinste diameter van de pennen A en B en de diameter
van de staaf CB, nodig om de belastingen te ondersteunen, tot op de dichtstbijzijnde
hele millimeter.
1.18 Een hangende staaf wordt aan het bovenuiteinde ondersteund door een vast bevestigde
schijf. Als de staaf door een gat van 40 mm diameter gaat, bepaal dan de minimaal
vereiste diameter van de staaf en de minimale dikte van de schijf, nodig om de
belasting van 20 kN te ondersteunen. De toelaatbare trekspanning voor de staaf is toel
= 60 MPa en de toelaatbare schuifspanning voor de schijf is toel = 35 MPa.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
9
1.19 Een axiale belasting op de onderstaande as wordt opgevangen door de kraag bij C, die
op de as bevestigd is en zich op de rechterkant van het lager bij B bevindt. Bepaal de
grootste waarde van P voor de twee axiale krachten bij F en E, zodanig dat de spanning
in de kraag niet groter wordt dan de toelaatbare vlaktedruk toel = 75 MPa, en de
trekspanning in de as de toelaatbare waarde van toel = 55 MPa niet overschrijdt.
1.20 De starre, onvervormbare staaf AB wordt ondersteund door een stalen staaf AC met
een diameter van 20 mm en een aluminium blok dat een dwarsdoorsnede heeft met
oppervlakte 1800 mm2. De pennen van 18 mm diameter bij A en C ondervinden een
zuivere afschuiving. Als de bezwijkspanning voor staal st = 680 MPa bedraagt en
voor aluminium alu = 70 MPa, en de bezwijkschuifspanning voor elke pen pen = 900
MPa, bepaal dan de grootste belasting P die op de staaf kan worden uitgeoefend.
Gebruik een veiligheidsfactor VF = 2,0 voor de gegeven materiaaleigenschappen.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
10
§ Hoofdspanningen en hoofdrichtingen
1.21 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:
MPa
1608032
805056
325670
ij
Bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen in dit punt.
1.22 Beschouw de volgende spanningstoestand in een bepaald punt P:
MPa
20060
01200
600180
ij
Bereken de grootste normaalspanning voor de verzameling van alle vlakjes door het
punt P.
§ Rekken
1.23 De dunne staaf in onderstaande figuur ondervindt een temperatuurverhoging die een
functie is van de afstand z en die in de staaf een verlenging veroorzaakt van:
z1040 3
met z in meter.
Bepaal (i) de verplaatsing van uiteinde B van de staaf als gevolg van de
temperatuursverhoging, en (ii) de gemiddelde verlenging van de staaf.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
11
1.24 Een kracht grijpt aan op de handgreep van de hefboom en zorgt ervoor dat de arm van
de hefboom in uurwijzerzin roteert over een hoek van = 0,002 rad. Bepaal de
gemiddelde rek die in de draad BC ontstaat.
1.25 Onderstaande plaat wordt vervormd tot de gestippelde vorm. Als in deze vervormde
toestand horizontale lijnen op de plaat horizontaal zijn gebleven en niet van lengte zijn
veranderd, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de zijde AB, en (ii) de gemiddelde
afschuifhoek in de plaat ten opzichte van de x- en de y-as.
1.26 De getoonde plaat zit aan de bovenzijde AD en onderzijde BC vast aan starre
horizontale geleiders. Als de rechterzijde CD een gelijkmatige horizontale verplaatsing
van 2 mm ondergaat, bepaal dan (i) de gemiddelde rek langs de diagonaal AC, en (ii)
de afschuifhoek bij E t.o.v. de x- en y-as.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
12
§ Wet van Hooke
1.27 Een staaf gemaakt van staal heeft de in onderstaande figuur aangegeven afmetingen.
Als een axiale kracht P = 80 kN op de staaf wordt uitgeoefend, bereken dan de
verandering in lengte en de verandering in de afmetingen van de dwarsdoorsnede nadat
de belasting is aangebracht. Het materiaal gedraagt zich lineair elastisch, met E = 200
GPa en = 0,32.
1.28 Een aluminium proefstaaf heeft een diameter d0 = 25 mm en een meetlengte L0 = 250
mm. Als een kracht van 165 kN de meetlengte vergroot met 1,20 mm, bepaal dan de
elasticiteitsmodulus. Bepaal tevens de dwarscontractie van de proefstaaf ten gevolge
van de kracht. De glijdingsmodulus van aluminium bedraagt Galu = 26 GPa en de
elasticiteitsgrens v = 440 MPa.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
13
1.29 Een samengestelde stalen staaf (E = 200 GPa) bestaat uit twee segmenten AB en BD,
die dwarsdoorsnedes hebben met oppervlakte AAB = 100 mm2, respectievelijk ABD =
200 mm2. In de figuur is te zien dat 5 geïsoleerde puntbelastingen worden uitgeoefend.
Bepaal de verticale verplaatsing van uiteinde A en de verplaatsing van B t.o.v. C.
1.30 De getoonde constructie bestaat uit een holle aluminium buis AB met Ealu = 70 GPa.
De dragende oppervlakte van de holle cilinder bedraagt 400 mm2. Binnenin de buis
bevindt zich een stalen staaf met een diameter van 10 mm en Est = 200 GPa, die aan
een starre kraag in B is bevestigd. De stalen staaf kan horizontaal vrij verplaatsen ter
hoogte van de doorgang in A. Er wordt een trekbelasting van 8 kN op de staaf
uitgeoefend. Bereken de verplaatsing van uiteinde C van de staaf.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
14
1.31 Een onvervormbare balk rust op twee korte palen. De paal AC is van staal (Est = 200
GPa) en heeft een diameter van 20 mm. De paal BD is van aluminium (Ealu = 70 GPa)
en heeft een diameter van 40 mm. Bepaal de verplaatsing van het punt F op de balk
AB als dit punt een verticale belasting van 90 kN ondervindt.
1.32 Een onderdeel is gemaakt van een materiaal dat een soortelijke massa [kg/m3] en een
elasticiteitsmodulus E [N/m2] heeft. Als dit materiaal wordt gevormd tot een kegel met
de in de figuur getoonde afmetingen, bepaal dan hoe ver het uiteinde van de kegel
verplaatst als gevolg van de zwaartekracht, wanneer het in een verticale positie wordt
opgehangen.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
15
1.33 Een rechthoekig rubberblok ondervindt een gelijkmatige druk p = 150 MPa op alle
zijden. Bepaal de volumerek en de lengteverandering van elke zijde. Neem Erub = 4
GPa en rub = 0,45.
1.34 Een ronde proefstaaf met diameter 2,5 cm wordt in zijn langsrichting belast met een
trekkracht van 20 kN. Als het materiaal zich elastisch gedraagt en een E-modulus heeft
van 70 GPa, bereken dan de procentuele verlenging.
1.35 De zuiger van een hydraulische pers heeft een diameter van 40 cm, terwijl de
zuigerstang een diameter heeft van 6 cm. De lengte van de zuigerstang is 1 meter en de
waterdruk bedraagt 1 MPa. Bereken de spanning in de zuigerstang en de verlenging
van de zuigerstang als de waterdruk langs de kant van de zuigerstang aangrijpt. De
elasticiteitsmodulus van de zuiger en zuigerstang is 200 GPa.
1.36 Een stalen transmissiekabel (E = 200 GPa) van 750 m lengte en 0,5 cm diameter wordt
door een lange rechte leiding getrokken. Als het ene uiteinde van de kabel 17,5 cm in
de leiding wordt getrokken, hoeveel verplaatst het andere uiteinde dan als de trekkracht
in de kabel 1,5 kN bedraagt ?
1.37 Een ronde metalen proefstaaf met diameter 1 cm is belast in trek. Als de treklast 5 kN
bedraagt en de meetlengte van 25 cm een verlenging van 0,0227 cm ondergaat,
bereken dan de E-modulus van het materiaal.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
16
1.38 Een rechte staaf met dwarsdoorsnede A, lengte L, soortelijke massa en
elasticiteitsmodulus E draait met een constante hoeksnelheid rond één van zijn
eindpunten om een as die loodrecht staat op zijn lengte-as. Bereken de maximale
trekspanning in de staaf en de verlenging van het vrije eindpunt van de staaf.
1.39 Een horizontale balk met een gewicht van 50 N is opgehangen aan drie kabels, twee
aan de uiteinden van de balk en één in het midden. The twee buitenste kabels met
diameter 0,125 cm zijn vervaardigd uit messing (E = 85 GPa), de middenste kabel met
diameter 0,0625 cm uit staal (E = 200 GPa). Als de horizontale balk onvervormbaar
ondersteld wordt en alle kabels hebben dezelfde lengte, bereken dan de spanningen in
de kabels.
1.40 Een stalen bout met diameter 2,5 cm wordt in een stalen huls gebracht met 5 cm
interne diameter en 6,25 cm externe diameter. De bout wordt via een moer (rechts)
voorgespannen tussen de starre eindblokken van de huls tot de trekkracht in de bout 40
kN bedraagt. Na voorspanning is de lengte van de huls tussen de starre eindblokken 40
cm en de afstand tussen de kop van de bout (links) en de moer (rechts) is 50 cm. Als
nu een externe trekkracht van 30 kN wordt aangebracht op de starre eindblokken,
bereken dan de trekkracht in de bout.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
17
1.41 Een dunne rechthoekige aluminium plaat heeft de onderstaande afmetingen. De
elastische constanten van het materiaal zijn E = 77,5 GPa en G = 29,5 GPa.
Ze is onderworpen aan de spanningstoestand:
MPa
000
011520
020100
ij
Bepaal de lengteverandering van de diagonaal AC.
1.42 Gegeven is de volgende belastingstoestand:
De balk AB is bij A met een pen bevestigd en wordt opgehangen aan twee aluminium
staven, elk met een diameter van 25 mm en een elasticiteitsmodulus Ealu = 70 GPa. Als
de balk AB als onvervormbaar mag beschouwd worden en in het begin horizontaal
staat, bepaal dan de kracht in elke verticale staaf wanneer de belasting van 22 kN
wordt aangebracht.
(Examen 2de zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 40 minuten)
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
18
1.43 Gegeven is het volgende probleem:
A
20 kNm
10 kN
0,5 m 2 m 0,5 m
B C
1 m 1 m
Een starre, onvervormbare balk is opgehangen aan drie vervormbare staven met
volgende dwarsdoorsnede:
25 mm
25 mm
De wanddikte van de kokers is 3 mm.
Bereken de maximale normaalspanning en geef aan in welke verticale staaf ze
optreedt.
(Examen 2de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)
1.44 Een kracht F wordt aangelegd aan een constructie van starre balken, verbonden door
veren met veerconstante ki (i = 1...3), zoals aangegeven in bovenstaande figuur.
Bepaal het verband tussen de aangelegde kracht F en de gerealiseerde verplaatsing u.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
19
1.45 Gegeven is een schematische voorstelling van een drukknop. De veer rechts onderaan
heeft een vrije lengte l0 en is voorgespannen tot lengte a (in P steunt de hefboom
immers tegen de behuizing van de drukknop).
Bepaal de kracht F zodat de opening met breedte ‘t’ opgeheven wordt en er dus
elektrisch contact gemaakt wordt om het licht aan te steken. Gezien de beperkte
verplaatsingen, mag men aannemen dat F tijdens belasting verticaal blijft aangrijpen,
en de hefboomsarm gelijk blijft aan de afstand ‘b’.
1.46 Gegeven is het volgende probleem:
Een veer heeft een stijfheid k = 400 kN/m en in ongerekte toestand een lengte van 250
mm. De veer wordt ingedrukt, over het 200 mm lange gedeelte AC van de aluminium
staaf AB geplaatst, en vervolgens losgelaten. Bepaal de kracht die de staaf bij A op de
muur uitoefent. Voordat de belasting wordt aangebracht, is er een ruimte van 0,1 mm
tussen de staaf en de muur bij B. De staaf is bij A in de muur ingeklemd. Verwaarloos
de dikte van de onvervormbare plaat bij C. De stijfheid van het aluminium is 70 GPa.
§ Thermische spanningen
1.47 Gegeven zij een “trimetaal”, dat opgebouwd is uit een centrale strip van staal (1),
waaraan aan beide zijden twee identische aluminium strippen (2a) en (2b) vast zijn
verbonden. De lengte en de breedte van elke strip zijn gelijk.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
20
Verdere gegevens zijn:
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 206E
mm 1000L
mm 6h
mm 30b
6-
1
1
1
1
aluminium:
C/1023,0
0,3
GPa 72E
mm 1000L
mm 8h
mm 30b
6-
2
2
2
2
Het trimetaal, spanningsvrij ondersteld bij 20 C, wordt homogeen opgewarmd tot
100 C. Gevraagd:
a) bereken in elke strip de optredende thermische spanning. Er dient enkel rekening
gehouden te worden met de spanningen xx in de langsrichting,
b) bepaal de uiteindelijke afmetingen van het trimetaal (opnieuw enkel in de
langsrichting).
1.48 Het te analyseren systeem bestaat uit:
- twee starre eindblokken, die vrij kunnen bewegen in de horizontale richting,
- vier stalen buizen A, symmetrisch opgesteld,
- één aluminium strip B.
De buizen én de strip zijn gelast aan beide eindblokken.
De dwarsdoorsnede van de stalen buizen A en de aluminium strip B zijn hieronder
getoond:
De eigenschappen van materialen A en B zijn:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
21
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 200E
mm 400L
mm 10r
mm 7r
6-
a
a
a
u
i
aluminium:
C/1021,0
0,25
GPa 70E
mm 400L
mm 4h
mm 30b
6-
b
b
b
Bereken de thermische spanning in de materialen A en B, als het geheel een
gelijkmatige temperatuurstijging van 100 C ondergaat.
1.49 Een bout met moer steekt in een gat in een blok. Bij omgevingstemperatuur is er een
speling van 0,10 mm tussen de bout en het blok. De bout wordt 100 C afgekoeld,
terwijl het blok geen verandering van temperatuur of lengte ondergaat.
De eigenschappen van het materiaal van bout en moer zijn:
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 200E
6-
Gevraagd:
a) wat is dan de thermische spanning in deze bout ?
b) wat is de verandering van de diameter van de bout ?
1.50 Een stalen staaf (E = 200 GPa) is zodanig gekrompen dat hij precies tussen twee starre
ondersteuningen past als de temperatuur T1 = 15 C. Als de temperatuur wordt
verhoogd tot T2 = 50 C, bepaal dan de gemiddelde thermische drukspanning die in de
staaf ontstaat.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
22
1.51 Een buis van aluminium (Ealu = 73,1 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met een
dwarsdoorsnede-oppervlakte van 600 mm2 wordt gebruikt als bus voor een bout van
staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) met een dwarsdoorsnede-oppervlakte van
400 mm2. Als de temperatuur T1 = 15 C is, houdt de moer de constructie zodanig in
positie dat de axiale kracht in de bout mag worden verwaarloosd. Als de temperatuur
oploopt tot T2 = 80 C, bepaal dan de gemiddelde spanning in de bout en in de bus.
1.52 Een messing plaat (E = 120 GPa, = 0,33 en = 1610-6 m/mC) met afmetingen 20
mm x 30 mm x 2 mm is gevat in een star frame met een verwaarloosbare thermische
uitzettingscoëfficiënt. De vier randen van de plaat zijn star met het frame verbonden.
Als de temperatuur daalt met 100 C, bereken dan de resulterende spanningen in de
plaat.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
23
1.53 Een aluminium bout (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC) met diameter 2,2 cm wordt
in een stalen bus (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC) geplaatst met binnendiameter
2,5 cm en wanddikte 0,3 cm. Beide worden op een temperatuur van 140 C gebracht
en bij deze temperatuur wordt de aluminium bout lichtjes aangeschroefd in de stalen
bus. Als de temperatuur nu met 20 C daalt, bereken dan de spanningen in de
aluminium bout.
§ Arbeid en elastische energie
1.54 Een dunwandig vat heeft de vorm van een bol. De gemiddelde diameter van de bol is
D en de wanddikte e (waarbij e << D). Dit sferisch vat is onderworpen aan een
inwendige druk p.
D
e
p
Een goede benadering voor de spanningstoestand is, in bolcoördinaten:
e4
Dp00
0e4
Dp0
000
][
r
r
rrrr
waarbij:
D = 20 m
e = 8 mm
p = 0,5 MPa
E = 210 GPa
= 0,3
Gevraagd:
a) bereken de elastische energie in de wand van het vat,
b) verifieer het resultaat door de arbeid van de inwendige druk te berekenen.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
24
§ Orthotrope materialen
1.55 Men heeft een multiplex-plaat opgebouwd door achtereenvolgens veel dunne lagen
van eenzelfde houtsoort en dezelfde dikte op elkaar te lijmen, met afwisselend een laag
waarin de vezels volgens de x-as liggen en een laag waarin de vezels volgens de y-as
liggen. De aldus opgebouwde plaat wordt beschouwd als een homogeen materiaal.
Men heeft in het laboratorium volgende proeven verricht, telkens in vlakspanning (33
= 13 = 23 = 0):
- een trekproef in de x-richting met:
0
0
MPa10
12
22
11
Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:
3
33
3
22
3
11
104,0
102,0
100,1
- een proef in afschuiving met:
MPa10
0
0
12
22
11
Daarbij werden volgende waarden gemeten voor de rek:
3
12 100,5
Bepaal, met behulp van alle beschikbare inlichtingen, zoveel mogelijk
elasticiteitsconstanten en schrijf de gevonden waarden in een matrix [S], zodat
]S[ . Zet een vraagteken voor de onbekende waarden.
1.56 Een plaat is vervaardigd uit boron/epoxy composiet.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
25
Dit transversaal isotroop materiaal telt vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten,
zodat:
GPa
9,500000
014,80000
0014,8000
0004,297,136,24
0007,134,296,24
0006,246,240,209
]C[
De plaat wordt belast in vlakspanning (33 = 13 = 23 = 0), met de spanningen 11 en
22 uniform verdeeld over de randen, zodat 11 = 6,56210-4 en 22 = -59,05510-4.
Gevraagd:
a) bepaal de waarde van de aangelegde spanningen 11 en 22 en de dikteverandering,
b) bereken de rekverhouding 11/22 in twee gevallen:
- de plaat wordt belast met 11 = 75 MPa,
- de plaat wordt belast met 22 = 75 MPa.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
26
Hoofdstuk 2
Structureel gedrag
§ Geometrische eigenschappen
2.1 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede:
a) de juiste ligging van het zwaartepunt O,
b) het traagheidsmoment Iyy om de horizontale as door O.
2.2 Bepaal voor de getekende vlakke doorsnede het traagheidsmoment om een horizontale
as door het zwaartepunt.
2.3 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede van het T-profiel de ligging van het
zwaartepunt en het traagheidsmoment om een horizontale as door het zwaartepunt.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
27
2.4 Bepaal voor de gegeven dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt, de
traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz om de horizontale en verticale as door het
zwaartepunt, de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de
hoofdtraagheidsmomenten.
2.5 Een hoekprofiel met uniforme dikte 0,5 cm heeft twee benen van 6 cm en 4 cm.
Bereken de ligging van de hoofdtraagheidsassen en de waarde van de
hoofdtraagheidsmomenten.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
28
2.6 Een Z-profiel heeft een dwarsdoorsnede zoals aangegeven in onderstaande figuur.
Bereken de traagheidsmomenten om de assen y en z, evenals de ligging van de
hoofdtraagheidsassen en de waarde van de hoofdtraagheidsmomenten.
§ Dwarskracht- en momentenlijnen bepalen
2.7 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:
xy
z
F
CBA
L a
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
29
2.8 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:
xy
z
F
A
L
a
B
2.9 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:
xy
z
A
L
B
K
2.10 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:
xy
z
BA
L
K
2.11 Bepaal de dwarskrachten- en momentenlijn voor de volgende balk:
xy
z
BA
L
q0
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
30
2.12 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 3 m wordt belast met een verdeelde
belasting q(x) = q0(1-x/L), met q0 = 2000 N/m.
Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.
2.13 Een balk op twee steunpunten wordt belast met een verdeelde belasting q(x) =
q0[x/(L1+L2)], met q0 = 700 N/m, L1 = 9 m en L2 = 3 m.
Bereken en teken de V-lijn en M-lijn.
§ Normaalspanningen t.g.v. N
2.14 Een ingeklemde balk met een T-vormige sectie wordt op het uiteinde belast met een
axiale kracht Q.
Bepaal het aangrijpingspunt van Q zodanig dat de spanning in elke sectie gelijkmatig
verdeeld is. Duid het aangrijpingspunt van Q aan op de figuur.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
31
2.15 De balken AB en BC worden gesteund in de scharnieren A en C en zijn onderling
verbonden in B met een scharnier. Het gedeelte AD wordt belast met q(x) = q0(1-x/3),
met x in meter. De balk BC heeft een ronde sectie met diameter 10 mm.
Bepaal q0 zodanig dat de spanning in de staaf BC 150 MPa bedraagt.
§ Normaalspanningen t.g.v. M
2.16 Een balk op twee steunpunten, met lengte 3 m, wordt belast met twee tegengestelde
puntkrachten Q = 10 kN, aangrijpend op x = 1 m en x = 2 m. De pijlen in de figuur
geven de fysische zin van de krachten weer.
Gevraagd:
a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn door het schrijven van de
evenwichtsvergelijkingen voor een afgezonderde moot,
b) zoek een I-profiel (zie tabel in cursus) zó dat de maximale normaalspanning xx
niet meer dan 200 MPa bedraagt,
c) vergelijk het gewicht van het gevonden I-profiel met het gewicht van een balk met
volle rechthoekige sectie, met dezelfde hoogte en dezelfde maximale
normaalspanning onder deze belasting.
2.17 Een éénzijdig ingeklemde balk met lengte L = 2 m wordt belast met een kracht Q =
1000 N, aangrijpend in x = 2 m, en met een koppel K = 500 Nm, aangrijpend op x =
1,3 m.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
32
Gevraagd:
a) bereken en teken de V-lijn en M-lijn,
b) zoek de maximale normaalspanning xx als de balk een volle rechthoekige
doorsnede heeft.
2.18 De hieronder geschetste balk heeft een volle ronde sectie met diameter 150 mm.
Bepaal het verloop van de normaalspanningen over de sectie in het punt A.
2.19 Een portiek is opgebouwd uit staven met vierkante doorsnede 10 x 10 mm. De grootste
normaalspanning mag niet meer bedragen dan 100 MPa.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
33
Hoeveel mag de kracht Q dan bedragen ?
2.20 Een stalen I-profiel met totale hoogte 10 cm heeft flenzen met een breedte van 5 cm en
een dikte van 0,625 cm. De dikte van de lijfplaat is 0,475 cm.
Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen zijn dan 150 MPa, zowel in
trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment dat men mag aanbrengen op
dit I-profiel.
2.21 Een stalen buis met een externe diameter van 5 cm en een wanddikte van 0,5 cm wordt
gedimensioneerd voor een toelaatbare spanning van 100 MPa.
Bereken het maximaal buigend moment.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
34
2.22 Een stalen T-profiel met totale hoogte 10 cm heeft een flens met een breedte van 10
cm. De dikte is overal 1 cm. Als de normaalspanningen in buiging niet hoger mogen
zijn dan 150 MPa, zowel in trek als in druk, bereken dan het grootste buigend moment
dat men mag aanbrengen op dit T-profiel.
2.23 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):
BA
10 kN
5 kNm
1 m 2 m
x2 m
2 m2 m2 m
2 kN/m
Op de balk grijpt links (x = 0) een neerwaartse puntkracht aan van 10 kN, tussen x = 3 m
en x = 5 m een verdeelde belasting van 2 kN/m en op het rechteruiteinde (x = 9 m) een
koppel van 5 kNm met de getekende zin.
Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:
30 cm
2 cm
25 cmy
z
Het U-profiel heeft een constante wanddikte van 2 cm en wordt geplaatst met de twee
benen naar beneden. Eigenschappen van het profiel worden exact uitgerekend, niet met
het draadmodel.
Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht de
tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.
Waar (welke doorsnede + positie binnen doorsnede) treedt de grootste normaalspanning
xx in de balk op ? Maak een duidelijke tekening van het spanningsverloop in deze
dwarsdoorsnede.
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
35
2.24 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):
BA
2 m
x
1 m1 m3 m
2 kN/m
Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 2 kN/m tussen x = 3 m en x = 4 m.
In het punt B (x = 5 m) is de balk opgehangen aan een verticale staaf van 2 m.
Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:
300 mm 40 mm
150 mmy
z50 mm
80 mm
De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een massieve doorsnede,
waaruit onderaan een rechthoekig stuk is weggenomen. Eigenschappen van het profiel
worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.
Bereken de maximale normaalspanning (in absolute waarde) die optreedt over de
volledige balk. Geef met een figuur duidelijk aan waar deze spanning precies optreedt.
U bent verplicht de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.
(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)
§ Schuifspanningen t.g.v. V (formule Jourawski)
2.25 Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het cirkelvormig profiel:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
36
x y
z
R
2.26 Een balk met ruitvormige sectie wordt in een bepaalde doorsnede belast met de
dwarskracht Vz = -100 kN. Bereken de schuifspanning xz in het punt A (yA = 7,5 mm;
zA = -22,5 mm).
2.27 Een balk die aan één zijde is ingeklemd, wordt belast met een kracht Q = 120 kN op de
top, zoals op de figuur aangeduid. Q ligt in het vlak x-z en is evenwijdig met de z-as.
De doorsnede is een T-profiel. Bereken de grootste schuifspanning die in deze balk
veroorzaakt wordt door de dwarskracht.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
37
§ Samengestelde belastingen
2.28 Op de rand van een kolom wordt een kracht van 150 N uitgeoefend. Verwaarloos het
gewicht van het onderdeel en bepaal de spanningstoestand in de punten B en C.
2.29 Onderstaand constructie-onderdeel heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede. Bepaal de
spanningstoestand die in het punt C door de belasting wordt veroorzaakt.
2.30 Een rechthoekig blok heeft een te verwaarlozen gewicht en ondervindt een verticale
kracht P. Bepaal het waardenbereik voor de excentriciteit ez van de belasting langs de
z-as, zodanig dat deze geen trekspanning in het blok veroorzaakt.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
38
2.31 Een balk met een dwarsdoorsnede 60 mm x 100 mm is onderworpen aan een axiale
trekkracht van 60 kN. Als de vloeigrens van het materiaal in uni-axiale trek 150 MPa
bedraagt, bereken dan de maximale dwarskracht die men bijkomend mag aanbrengen
(parallel met de langste zijde van de rechthoek) vooraleer de balk begint te vloeien.
§ Doorbuigingen
2.32 Bepaal de verplaatsing van het punt C voor de volgende balk:
xy
z
F
A
a
b
B
C
2.33 Een balk op twee steunpunten wordt met drie krachten belast, waarvan er twee bekend
zijn.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
39
Bepaal de grootte van de kracht Q zodanig dat de doorbuiging in het aangrijpingspunt
van Q nul is. Maak gebruik van superpositie van gekende oplossingen.
2.34 Een balk AB is in A ingeklemd. In B zijn de balken AB en CD aan elkaar gelast, zodat
de rechte hoek tussen deze twee balken behouden blijft tijdens de belasting. De
zwaartepunten van alle dwarse doorsneden liggen in het vlak x-z. Dit vlak snijdt alle
dwarse doorsneden volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede van elke balk is een
vierkant met zijde 40 mm. In D werkt een uitwendige kracht Qx = 1,5 kN. De
elasticiteitsmodulus bedraagt 210 GPa.
Bepaal de verplaatsing van het punt C.
2.35 Gegeven is de volgende stalen balk met E = 200 GPa:
xy
z
F
K
De totale lengte van de balk is 3 meter. Op het vrije uiteinde van de balk grijpt een
koppel K aan van 45 kNm met de aangeduide zin.
De balk heeft over zijn volledige lengte het volgende profiel in het y-z vlak (met een
opening met diameter 100 mm):
400 mm
200 mm
y
z
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
40
Gevraagd:
a) bepaal de zin en grootte van de kracht F zodat de totale verticale doorbuiging op het
uiteinde van de balk onder de gezamenlijke belasting van F en K nul is. U bent
verplicht de tekenconventies van Hoofdstuk 2 te gebruiken.
b) bereken de plaats en de waarde van de maximale normaalspanning. De invloed van
de dwarskracht mag verwaarloosd worden.
(Examen 2de zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 60 minuten)
2.36 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):
BA
10 kNm 5 kNm
1 m 4 m 2 m
Op de balk grijpen links en rechts twee externe koppels aan, respectievelijk 10 kNm en
5 kNm groot.
Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:
30 cm
10 cm
10 cm
y
z
15 cm
Bereken en teken de dwarskrachten- en momentenlijn voor deze balk. U bent verplicht
de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.
Bereken en teken op een verzorgde figuur de verdeling van de normaalspanning xx in
de zwaarst belaste doorsnede.
In welke doorsnede is de helling van de balk maximaal ?
(Examen 2de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 60 minuten)
§ Singulariteitsfuncties
2.37 Bepaal de vergelijking van de doorbuigingslijn voor de eenzijdig ingeklemde balk in
onderstaande figuur. De buigstijfheid EI is constant.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
41
2.38 Bepaal de maximale doorbuiging van de balk in onderstaande figuur. De buigstijfheid
EI is constant.
2.39 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):
xy
z
10 kN/m
2 kN
5 m
2 m
10 m
B
Tussen x = 5 m en x = 10 m bevindt zich een verdeelde belasting van 10 kN/m en op
het linkeruiteinde van de onderste ligger bevindt zich een neerwaartse kracht van 2 kN.
Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
42
y
z
25 mm 25 mm
25 mm
500 mm
100 mm
t = 5 mm
Twee kokers met een vierkante sectie en een wanddikte van 5 mm zijn aan weerszijden
van een massieve rechthoek gelast. In elk van de drie balksegmenten van de
constructie bevinden de kokers zich aan de zijde waar de trekspanningen in de balk
optreden.
Welke is de meest beperkende voorwaarde: het feit dat de doorbuiging in het punt B
moet beperkt blijven tot 25 mm, of het feit dat de maximale normaalspanning xx in de
balk 210 MPa mag bedragen ? Bereken ook de effectief optredende waarde van de
doorbuiging in B en de maximale normaalspanning xx in de constructie.
(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)
2.40 Gegeven is de volgende stalen balk (E = 210 GPa, = 0,3):
xy
z
1 kN/m
4 m
2 m
5 m
5 kNm
C
A B
3 m 3 m
Op de balk grijpt een verdeelde belasting aan van 1 kN/m tussen x = 3 m en x = 7 m.
In het punt B (x = 10 m) grijpt een koppel van 5 kNm aan met de getekende zin. Het
punt C bevindt zich aan het uiteinde van het kraagstuk op x = 5 m (horizontaal
gemeten vanaf de linkerkant).
Bovendien is de volgende dwarsdoorsnede van de balk gegeven:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
43
y
z
t = 10 mm
300 mm
De dwarsdoorsnede bestaat in elk segment van de balk uit een holle zeshoekige koker
met wanddikte 10 mm en binnenhoogte van 300 mm. Eigenschappen van het profiel
worden exact uitgerekend, niet met het draadmodel.
Bereken de totale verplaatsing (in horizontale en verticale richting) van het punt C
(waarbij u mag veronderstellen dat C op de hartlijn van de balk ligt. U bent verplicht
de tekenconventies uit Hoofdstuk 2 te volgen.
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 70 minuten)
2.41 Gegeven zijn de volgende stalen balken ABC en CD (E = 200 GPa, = 0,3). De
linkerbalk ABC steunt in zijn rechtersteunpunt C op het uiteinde van de ingeklemde
balk CD.
Ax B
C
3 kN/m
1 m 1 m1 m 1 m 1 m 1 m
D
Beide balken hebben onderstaande dwarsdoorsnede:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
44
50 mm
80 mm
y
z 10 mm
10 mm
50 mm
10 mm 180 mm 10 mm
Bereken de helling van de balk ABC in het punt B.
2.42 Gegeven zijn de stalen balken AB en DC (E = 200 GPa, = 0,3).
Het uiteinde B van de balk AB is door middel van een veer met veerconstante k = 500
kN/m verbonden met het uiteinde C van de balk DC.
De dwarsdoorsnede van beide balken is een vierkant kokerprofiel met
buitenafmetingen 200 mm x 200 mm en wanddikte 10 mm.
Bereken de verticale verplaatsing van het punt B.
1 m
K = 5 kNm
A
1 m
3 kN
x B
CD
L = 0,5 m
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
45
2.43 Een stalen draagstructuur (E = 210 GPa) is opgebouwd uit twee cilindrische staven.
Beide staven hebben een lengte van 1 m en zijn scharnierend met elkaar verbonden in
het punt S. De structuur wordt aan de rechterkant (punt B) verbonden met een starre
wand door middel van een vaste ondersteuning. Aan de linkerzijde (punt A) wordt de
structuur ondersteund door middel van een rol. Op de linker staaf grijpt centraal een
verdeelde belasting aan van 8000N/m. Op de rechter staaf grijpt centraal een puntlast
aan van 4000N.
25cm
4000 N8000 N/m
25cm50cm 50cm 50cm
A BS
De doorsnede van de cylindrische staven waaruit de draagstructuur is opgebouwd, is
getoond in onderstaande figuur. Het aangeduide YZ-assenstelsel ligt in het middelpunt
van de cirkel. De z-as gaat door de middellijn van de gelijkbenige driehoek, de y-as
gaat door het basis van de driehoek.
Het massieve materiaal is gearceerd, de driehoek is de holte in het materiaal.
zz
y
60 mm
20 mm
15 mm
Gevraagd:
1) Bereken en teken de V-lijn, N-lijn en M-lijn.
2) Bepaal de waarde van de grootste normaalspanning en duid de positie aan op
beide bovenstaande figuren.
3) Bepaal de doorbuiging van het scharnierpunt S ten gevolge van de aangelegde
belastingen.
(Examen 1ste zittijd AJ 2014-2015. Voorziene tijd: 60 minuten)
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
46
Hoofdstuk 3
Oplossingsmethodes
Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
47
Hoofdstuk 4
Tweedimensionale elastische problemen
§ Vlakspanning
4.1 In het punt P bestaat de volgende vlakspanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z):
MPa
000
010030
03050
ij
a) stel deze spanningen voor op de cirkel van Mohr,
b) welke waarden nemen deze componenten van de spanning aan in het assenkruis
(x’,y’) dat = 60 in tegenuurwijzerzin gedraaid is t.o.v. (x,y). Stel ook deze
spanningen voor op de cirkel van Mohr,
c) bereken de corresponderende rekken in het assenkruis (x,y) als E = 100 GPa en =
0,3.
4.2 Een dunne rechthoekige schijf in messing (E = 91 GPa, = 1/3) wordt op de onderkant
langs twee zijden gesteund zó dat:
y
0)0,y,100(w
0)0,y,0(w
0)0,0,0(v
0)0,y,0(u
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
48
Deze schijf wordt in zijn vlak belast met spanningen )n(
aangrijpend op de omtrek
van de plaat zó dat de verplaatsingscomponenten in het vlak van de plaat gegeven zijn
door:
yx1048v
z104x1016x108u6
26264
waarin u, v, x, y en z uitgedrukt zijn in millimeter.
Gevraagd:
a) bepaal de verplaatsingscomponent w zó dat in de plaat een vlakspanningstoestand
heerst,
b) bereken en teken het verloop van de componenten )z,y,xi()n(
i van de
spanningsvector )n(
op het randoppervlak van de plaat,
c) controleer het inwendig spanningsevenwicht,
d) onderzoek de spanningstoestand in het punt A(x = 20, y = 30). Bereken de
hoofdspanningen en hoofdrichtingen en teken de cirkel van Mohr.
De plaat wordt nu samen met steunen en belasting op 3 km diepte onder het
wateroppervlak gebracht, zodat een hydrostatische druk gesuperponeerd wordt op de
reeds bestaande belasting.
e) zoek het resulterende verplaatsingsveld,
f) zoek de resulterende spanningstoestand en hoofdspanningen in het punt A.
4.3 De zijden van een vierkante plaat ADBC zijn vastgelijmd aan de vier staven van een
kader ADBC waarvan de eindpunten verbonden zijn door scharnieren. De staven zijn
vervaardigd uit een veel stijver materiaal dan de plaat. De vier scharnierpunten liggen
precies op de vier hoekpunten van de plaat. In de scharnieren A en C wordt een
trekkracht F uitgeoefend volgens de richting AC, waardoor de staven op hun beurt
spanningen )n(
uitoefenen op de plaat. De spanningsvector )n(
is langs elke zijde
rakend aan die rand en is in elk punt ervan even groot. Daardoor is de
spanningstoestand in elk punt van de plaat dezelfde.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
49
De gegevens van de plaat zijn de volgende:
zijde a = 100 mm
dikte t = 10 mm
E = 20 GPa
= 0,3
Bepaal de equivalente veerconstante k, waarbij geldt:
AC verlengingkF
4.4 Een dunne plaat wordt zó belast dat er een homogene vlakspanningstoestand heerst
met hoofdspanningen I = 80 MPa en II = 110 MPa. De materiaalconstanten zijn: E =
130 GPa en = 0,26.
Bepaal de totale volumeverandering van deze plaat onder de vermelde belasting.
4.5 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een
punt weergegeven.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
50
Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven
positie 30 in uurwijzerzin is gekanteld.
4.6 In onderstaande figuur wordt de vlakspanningstoestand in een bepaald punt getoond.
Gevraagd:
a) beschrijf de spanningstoestand in dit punt in functie van de hoofdspanningen,
gebruik makend van de transformatieformules,
b) bepaal de hoofdspanningen en hoofdrichtingen m.b.v. de cirkel van Mohr,
c) beschrijf de spanningstoestand in functie van de maximale schuifspanning en de
gemiddelde normaalspanning.
4.7 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het element in het punt A op de
eenzijdig ingeklemde balk de aangegeven spanningstoestand.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
51
Bepaal de hoofdspanningen in het punt A.
4.8 Bepaal voor de getekende vlakspanningstoestand de hoofdspanningen en de stand van
het element in dat punt.
4.9 Op het onderstaande infinitesimaal element wordt de vlakspanningstoestand in een
punt weergegeven.
Bepaal de spanningstoestand in dit punt voor een element dat t.o.v. de aangegeven
positie 30 in tegenuurwijzerzin is gekanteld.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
52
4.10 Als gevolg van de uitgeoefende belasting ondervindt het punt A op het houten frame
de aangegeven spanningstoestand.
Bepaal de hoofdspanningen in het punt A en de maximale schuifspanning.
4.11 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de
grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning.
4.12 De spanningstoestand in een punt is gegeven. Bepaal m.b.v. de cirkel van Mohr de
grootte en richting van de hoofdspanningen. Bepaal ook de maximum schuifspanning.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
53
§ Vlakvervorming
4.13 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:
ycosx300x1015v10
ysinx882x653u106
6
Bepaal de vervormingstoestand in het punt (x = 1, y = 1). Bereken m.b.v. de cirkel van
Mohr de hoofdrichtingen en hoofdrekken.
4.14 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:
0w
y25,0x06,0v
y28,0x3,0u
a) teken op de onvervormde rechthoek een vierkant rooster en ga na hoe dit rooster
vervormt,
b) bestudeer de vervorming in het punt O. Beschouw daartoe een infinitesimaal klein
vierkantje met zijden u = v = 10010-6 mm:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
54
- teken het vervormde vierkant en bepaal de vervormingstensor in het punt O,
- bepaal de hoofdrichtingen en de hoofdrekken in het punt O,
- teken de bijhorende cirkel van Mohr.
c) bepaal de componenten van de vervormingstensor in het punt O in het assenstelsel
(x’,y’) dat over 45 in tegenuurwijzerzin is geroteerd (zie figuur). Duid de
beeldpunten van de assen x’ en y’ aan op de cirkel van Mohr,
d) waar ligt het punt A in het vervormde blok ? Bepaal de rektensor in A zoals voor
het punt O,
e) bepaal de spanningstensor in het punt O indien men een meer realistisch
verplaatsingsveld beschouwt:
0w
10y25,0x06,0v
10y28,0x3,0u2
2
De materiaalconstanten zijn: E = 56 GPa, = 0,25.
Doe dit op twee manieren:
- bepaal de spanningen in de gekende hoofdrichtingen en transformeer naar het
assenstelsel (x, y),
- gebruik de wet van Hooke in het assenstelsel (x, y).
4.15 Gegeven zijn de volgende verplaatsingen (u, v) in het vlak:
0w
yx108v
x105u3
23
a) teken het lichaam OBCD na vervorming,
b) bestudeer de vervorming in het punt A (x = 20, y = 40). Beschouw daartoe een
infinitesimaal klein vierkantje met zijden u = v = 10010-6 mm. Bepaal de
hoofdrekken en hoofdrichtingen.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
55
4.16 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de
rektensor:
6
ij 10
000
015060
060250
Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen. Bepaal ook de waarde en richting van de
maximale hoekvervormingen.
4.17 De vlakke vervormingstoestand in een punt wordt vertegenwoordigd door de
rektensor:
6
ij 10
000
010050
050300
Bepaal de vervormingstoestand op een element dat over een hoek van 20 in
uurwijzerzin is gedraaid.
§ Axiaalsymmetrische schijf
4.18 Binnen een dikwandige buis werkt een druk van 10 MPa.
Opdat de buis haar oorspronkelijke lengte zou behouden, moet op beide uiteinden
getrokken (of gedrukt ?) worden met een kracht F in de langse richting. Bereken hoe
groot die kracht moet zijn, als:
a = 100 mm
b = 200 mm
L = 106 mm
E = 200 GPa
= 0,3
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
56
4.19 Een stalen cilinder is aan het rechteruiteinde afgesloten en steunt daarbij tegen een
onwrikbare wand. Aan de linkerkant steekt er een plunjer in de cilinder, waarop een
kracht van 10 kN wordt uitgeoefend. In het punt A, op de buitenwand van de cilinder,
is er een rekstrookje gekleefd dat de langse rek zz meet.
De materiaaleigenschappen van de cilinder zijn:
E = 210 GPa
= 0,3
Welke rek zz zal men meten ?
4.20 Beschouw het getekende dikwandig vat onder inwendige druk. Dit volumetrisch vat is
axiaalsymmetrisch rond de z-as en heeft de vorm van een capsule.
z
r
A
p = 0o
p = 100 bari
100 m
m
200 m
m
De materiaaleigenschappen van het vat zijn:
E = 210 GPa
= 0,3
Gevraagd:
a) bereken de spanningstoestand in een punt A op de binnenwand, dat zich
“voldoende ver” van de uiteinden van het vat bevindt,
b) schets het verloop van de spanningen voor 50 mm < r < 100 mm,
c) bereken alle componenten van de rek in het punt A.
4.21 Een rubber cilinder wordt samengedrukt in een dunne, stalen buis door een axiale
spanning zz. Bereken de druk tussen het rubber en de stalen buis in twee gevallen:
a) de stalen buis gedraagt zich als een star lichaam,
b) de stalen buis kan vervormen.
De elastische constanten van het staal en het rubber zijn respectievelijk (ES, S) en (ER,
R). Verwaarloos de wrijving tussen het staal en het rubber en onderstel dat zowel het
rubber als het staal gehoorzamen aan de wet van Hooke.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
57
ES = 210 GPa, S = 0,30
ER = 10 MPa, R = 0,50
a/b 0,99
4.22 Twee korte stalen cilinders (E = 210 GPa en = 0,3) zitten in elkaar geklemd. De
oorspronkelijke afmetingen van de afzonderlijke schijven waren:
Schijf 1:
mm 100dikte
mm 130b
mm 80a
11
1
Schijf 2:
mm 100dikte
mm 180b
mm 130a
2
22
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
58
Door afkoeling van de cilinder 1 en opwarming van de cilinder 2 konden zij in elkaar
geschoven worden. Vandaag kan men niet meer achterhalen hoe groot dit
temperatuurverschil was, noch hoeveel 1 en 2 waren. Men weet alleen nog met
stelligheid dat de drukspanning na afkoeling in het contactoppervlak tussen de twee
cilinders –15 MPa bedroeg.
Men wil nu de twee cilinders weer uit elkaar halen, door op de buitenste cilinder in
axiale richting te drukken. Hierdoor zet deze cilinder immers uit in de radiale richting.
Hoe groot moet de drukkracht N worden om de cilinders los van elkaar te maken ?
(Aanwijzingen: eventuele wrijving in het contactoppervlak mag verwaarloosd worden.
Reken dat, zonder N, er vlakspanning is).
4.23 Een lange cilinder met dikke wand is ingevat in een starre wand en over zijn hele
lengte vast verbonden met deze starre wand. De cilinder is onderworpen aan een
uniforme interne druk pi.
Bepaal de spanningen en verplaatsing in de cilinder voor ro/ri = 2,5 en = 1/3. Stel de
resultaten grafisch voor.
4.24 Gegeven is het volgende probleem:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
59
100 mm
95 mm 1 m
500 kN
Een axiaalsymmetrische buis met een lengte van 1 meter past precies en zonder speling
in een starre koker. De buis is echter op geen enkele manier vastgemaakt aan de koker.
Op de bovenrand van de buis wordt nu een neerwaartse uniform verdeelde belasting
geplaatst, zodat de resulterende kracht 500 kN bedraagt.
De materiaalparameters zijn:
staal:
MPa 210
0,3
GPa 200E
v
Gevraagd:
a) wat is de zakking van de bovenrand van de buis ?
b) wat is de radiale verplaatsing van de binnenrand van de buis ?
c) treedt er ergens in de buis vloeien op ? Zo ja, waar, en zo nee, welke is de reserve
tot de vloeigrens ? Gebruik het von Mises-criterium.
(Examen 1ste zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 50 minuten)
§ Axiaalsymmetrische schijf met thermische spanningen
4.25 Gegeven zij een aluminiumbuis die bij 20 C passend (zonder speling) in een stalen
buis geschoven is. De geometrie en materiaaleigenschappen zijn:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
60
aluminium:
C/1023,0
0,3
GPa 72E
mm 2000L
mm 130b
mm 100a
6-
1
1
1
1
1
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 206E
mm 2000L
mm 145b
mm 130a
6-
2
2
2
2
2
Het geheel wordt opgewarmd van 20 C (spanningsvrije toestand) naar 100 C.
Gevraagd: bereken de optredende thermische spanningen in beide buizen en schets hun
verloop over de wanddikte.
4.26 Een dunne ronde schijf, bestaande uit twee aaneensluitende ringen uit verschillend
materiaal, wordt thermisch belast.
D
D
D
i
t
o
Ta
Tb
De twee materialen hebben echter eenzelfde thermische geleidingscoëfficiënt , zodat
het temperatuurprofiel hetzelfde is als in een monolithische schijf:
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
61
i
o
i
ab0a
D
Dln
D
r2ln
TT)TT()r(T
waarbij:
Di = 300 mm
Dt = 400 mm
Do = 500 mm
Ta = 520 C
Tb = 20 C
T0 = 0 C
De eigenschappen van materialen 1 en 2 zijn:
materiaal 1:
C/101,0
0,3
GPa 200E
6-
1
1
1
materiaal 2:
C/101,2
0,3
GPa 200E
6-
2
2
2
Gevraagd:
a) welk materiaal (1 of 2) moet men aan de buitenkant gebruiken, teneinde de kleinste
maximale trekspanning te bekomen ?
b) bepaal de contactdruk tussen de twee ringen, indien het materiaal 1 aan de
binnenkant gebruikt wordt.
4.27 Gegeven zijn twee dunne concentrische buizen met volgende afmetingen:
250 mm
150 mm200 mm
staal
aluminium
Bij een omgevingstemperatuur van 20 C past de aluminium buis precies en zonder
speling binnenin de stalen buis. De inklemmingen verhinderen de radiale verplaatsing
niet.
De materiaalparameters zijn:
aluminium:
C/100,32
0,3
GPa 72E
6-
1
1
1
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 200E
6-
2
2
2
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
62
Gevraagd:
a) als men de temperatuur verhoogt van 20 C naar 70 C, wat is dan de
contactspanning tussen de aluminium buis en de stalen buis ?
b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 70 C, welke bijkomende inwendige druk
p mag men opleggen zodat de totale contactdruk tussen de aluminium en stalen buis
beperkt blijft tot 20 MPa ?
(Examen 2de zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 50 minuten)
4.28 Gegeven is het volgende probleem:
e
e
z
r
Aluminium
Staal
70 mm
150 mm
200 mm
A A’
Doorsnede A-A’
Een aluminium schijf (E = 70 GPa; = 0,3; = 2310-6/C) past precies en zonder
speling binnen een stalen schijf (E = 210 GPa; = 0,3; = 1210-6/C). Beide
schijven worden tussen twee starre horizontale platen geschoven en passen precies en
zonder speling tussen de twee starre platen. Alles is spanningsloos bij
kamertemperatuur en de schijven zijn op geen enkele manier vastgelast aan de twee
starre platen. De radiale verplaatsing wordt dus niet verhinderd en de wrijving mag u
verwaarlozen.
Als de temperatuur met 100 C wordt verhoogd, welke is dan de contactspanning
tussen de aluminium en stalen schijf (op r = 150 mm) ?
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 50 minuten)
4.29 Gegeven is het volgende probleem:
100 mm
200 mm e
e
z
r
= 10 m
t = 20 mm
A A’
Doorsnede A-A’
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
63
Een dunne schijf uit aluminium (E = 70 GPa; = 0,3; = 2310-6/C) met dikte 20
mm wordt tussen twee starre horizontale platen geschoven. Als de schijf rust op de
onderste starre plaat, is de speling tussen de aluminium schijf en de bovenste starre
plaat precies 10 m.
Alles is spanningsloos bij kamertemperatuur. De schijf wordt in geen enkel geval
vastgelast aan de wanden en kan vrij uitzetten in radiale richting (wrijving mag u
verwaarlozen).
Men brengt nu de belasting aan in twee stappen:
1) eerst wordt de temperatuur uniform verhoogd met 100 C,
2) deze temperatuur wordt aangehouden en men brengt bijkomend een radiale druk
van 10 bar aan op de buitenrand van de schijf.
Bereken de totale radiale verplaatsing van de binnenrand (r = 100 mm) van de schijf,
vanuit de begintoestand (alles spanningsloos) naar de eindtoestand (temperatuur +
radiale druk).
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 50 minuten)
§ Spanningsconcentraties
4.30 Een oneindig uitgestrekte plaat bevat een ronde opening met diameter 2a = 30 mm en
wordt op een grote afstand van de opening belast met een gelijkmatig verdeelde
schuifspanning xy = 100 MPa.
Gevraagd:
a) de spanningscomponenten in poolcoördinaten,
b) de plaats en de waarde van de grootste schuifspanning op de rand van de opening.
4.31 Een dunne, grote plaat met dikte 2 mm, heeft een kleine ronde opening in het centrum.
De plaat wordt in twee onderling loodrechte richtingen belast: xx = 2 en yy = -.
De plaat heeft een vloeigrens in trek van 280 MPa, een vloeigrens in druk van 350
MPa, een elasticiteitsmodulus E = 200 GPa en Poisson-coëfficiënt = 0,3.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
64
Gevraagd:
a) leid een uitdrukking af voor de maximale spanning aan de rand van de opening,
b) bepaal de maximale waarde van , zó dat op geen enkele plaats in de plaat vloeien
optreedt, noch in trek noch in druk,
c) wat is de dikte van de plaat op het moment dat het vloeien start ?
4.32 Een dunne, grote plaat met een kleine ronde opening in het centrum wordt
onderworpen aan zuivere afschuiving langs haar randen. Bereken de
spanningsconcentratiefactor k (= max/).
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
65
Hoofdstuk 5
Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen
§ Trekproef
5.1 Een trekproef voor een staallegering levert het spanning-rek diagramma van
onderstaande figuur op. De onderste curve is een uitvergroting van het eerste deel van
de bovenste curve en de schaalverdeling voor de onderste curve staat onderaan op de
-as aangegeven.
Bereken de elasticiteitsmodulus en de vloeigrens op basis van 0,2 % blijvende rek.
Geef in de grafiek de breukspanning en bezwijkspanning aan.
5.2 Onderstaande figuur toont het spanning-rek diagramma voor een aluminiumlegering.
Een proefstaaf van dit materiaal wordt onderworpen aan een spanning van 600 MPa.
Bepaal de permanente rek die na opheffen van de belasting in de proefstaaf
achterblijft.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
66
5.3 De aluminium staaf (Ealu = 70 GPa) in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige
dwarsdoorsnede en ondervindt een axiale trekbelasting van 10 kN. Bepaal m.b.v. het
gegeven spanning-rek diagramma bij benadering de verlenging van de staaf wanneer
de belasting wordt uitgeoefend. Keert de staaf terug als de belasting wordt
opgeheven ?
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
67
5.4 Een proefstaaf van een titaniumlegering wordt aan een torsieproef onderworpen. Het
resulterende schuifspanning-glijding diagramma staat in onderstaande figuur.
Bepaal de glijdingsmodulus G, de evenredigheidsgrens en de maximale
schuifspanning.
Als nu een blok van dit materiaal wordt belast met een schuifkracht D, bepaal dan de
maximale afstand d, waarover de bovenkant van een blok van dit materiaal horizontaal
kan worden verplaatst als het materiaal zich elastisch gedraagt. Hoe groot moet D zijn
om deze verplaatsing te veroorzaken ?
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
68
5.5 Een trekproef wordt uitgevoerd op een proefstaaf van zacht staal met diameter 2 cm.
De staaf vloeit onder een last van 80 kN. Het bereikt een maximum last van 150 kN en
breekt tenslotte bij een last van 70 kN.
Gevraagd:
a) de vloeigrens,
b) de treksterkte,
c) de gemiddelde spanning bij breuk, als de diameter van het ingesnoerde
breukoppervlak 1 cm bedraagt.
§ Vloei- en breukcriteria
5.6 Gegeven is een lange dunwandige cilinder belast met een inwendige druk p.
Men kan aantonen dat er in de mantel van de cilinder een vlakspanningstoestand
heerst, met volgende spanningen in het assenstelsel ( xe
, y
e
, z
e
):
000
0t4
Dp0
00t2
Dp
waarin t de wanddikte van de cilinder is, en D de gemiddelde diameter.
Bepaal de maximaal toelaatbare inwendige druk voor een drukvat met:
D = 1600 mm
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
69
t = 8 mm
E = 210 GPa
= 0,3
en een veiligheidsfactor 2 op het bereiken van de elasticiteitsgrens v = 360 MPa.
5.7 De spanningstoestand in een constructie-onderdeel is tweedimensionaal en bedraagt:
MPa
000
07060
060140
ij
Als de vloeigrens van het materiaal 225 MPa bedraagt, bepaal dan zowel met het von
Mises criterium als met het Tresca criterium of er al dan niet vloeien optreedt.
5.8 Een stukje krijt is onderworpen aan een constante trekkracht P, die in elke
dwarsdoorsnede van het krijtje een trekspanning van 0,51u veroorzaakt. De
treksterkte u van het krijt werd bepaald uit een simpele trekproef. Nu wordt een
bijkomend wringmoment T opgelegd dat geleidelijk toeneemt in waarde.
Bepaal de grootte van de schuifspanning veroorzaakt door het wringmoment T bij
breuk en bepaal de richting van het breukoppervlak. Let op de keuze van het
assenstelsel: de x-as ligt in de axiale richting en raakt aan het oppervlak, de y-as raakt
aan het oppervlak in de tangentiële richting en de z-as is de normale aan het
buitenoppervlak.
5.9 Gegeven is het volgend probleem:
xy = -50 MPa
xx = 80 MPa
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
70
Een dunne plaat uit keramiek wordt belast met een trekspanning xx = 80 MPa en een
schuifspanning xy = -50 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul.
Als de uni-axiale breukspanning, gemeten in een conventionele trekproef, 150 MPa
bedraagt, met welke factor mogen de twee spanningscomponenten dan nog aangroeien,
voordat breuk optreedt, als beide spanningscomponenten proportioneel aangroeien ?
Onder welke hoek zal het breukvlak te zien zijn ? Maak een duidelijke tekening en
controleer met de cirkel van Mohr.
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 30 minuten)
5.10 Gegeven is het volgende probleem:
110 mm100 mm
staal
L = 2 m
Een stalen buis (E = 210 GPa; = 0,3) met wanddikte 10 mm wordt tussen twee starre
verticale wanden bevestigd. De buis kan vrij uitzetten in de radiale richting, maar kan
niet verplaatsen in de langsrichting. Wrijving mag u verwaarlozen.
Bereken de maximale druk (in bar) die men binnenin de stalen buis mag aanbrengen,
vooraleer de eerste zone in de stalen buis begint te vloeien. De vloeigrens van dit staal
is 210 MPa, gemeten in een uni-axiale trekproef.
(Examen 2de zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 40 minuten)
§ Rekstrookjes
5.11 De rektoestand in het punt A op de hefboom wordt gemeten met de rekstrookrozet.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
71
Als gevolg van de belastingen zijn de waarden:
6
6
6
c
b
a
10264
10135
1060
Bepaal de hoofdrekken en hoofdrichtingen in dit punt.
Als de hefboom gemaakt is van staal (Est = 200 GPa en st = 0,3), bepaal dan ook de
hoofdspanningen in het punt A.
5.12 Gegeven is een dunne plaat, belast met een drukspanning xx = -100 MPa en een
schuifspanning xy = -50 MPa. Alle andere spanningscomponenten zijn nul.
Het materiaal is staal, met E = 210 GPa en = 0,3.
A
BC
110 65
xy = -50 MPa
xx = -100 MPa20
Op het oppervlak van de plaat worden drie rekstrookjes gekleefd, onder de hoeken 20,
65 en 110 met de horizontale richting.
Welke rekwaarden A, B en C leest men uit voor deze drie rekstrookjes ? Teken een
cirkel van Mohr als controle.
(Examen 1ste zittijd AJ 2004-2005. Voorziene tijd: 30 minuten)
5.13 Gegeven is het volgend composietmateriaal:
= 10
A
B C90
45
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
72
Een epoxy hars is versterkt met glasvezels, die allemaal volgens dezelfde richting
georiënteerd zijn: onder een hoek van 10 met de horizontale richting, zoals aangeduid
op de bovenstaande figuur. Men voert een trekproef uit in de horizontale richting en
instrumenteert het proefstuk met 3 rekstrookjes A, B en C, zoals schematisch
aangeduid op bovenstaande figuur. Op een bepaald ogenblik tijdens de trekproef meet
men volgende waarden van de rekstrookjes:
A = 0.007616
B = -0.002886
C = -0.002391
Bereken de vervormingstoestand (11, 22, 12) in het lokaal assenstelsel (1
e
, 2
e
, 3
e
).
(Examen 2de zittijd AJ 2003-2004. Voorziene tijd: 40 minuten)
§ Breukmechanica
5.14 De ontwerpspanning voor een constructie-onderdeel is 690 MPa in trek. Bepaal de
kritieke scheurwijdte (in het midden van de plaat) voor:
a) een staallegering met KIc = 134 MPa m ,
b) een titaniumlegering met KIc = 60 MPa m ,
c) wat moet de ontwerpspanning zijn voor acryl als de maximum toegelaten
scheurgrootte 4,8 mm bedraagt en KIc = 1,75 MPa m .
Interpreteer de resultaten als men bedenkt dat de vloeigrens voor de staal- en
titaniumlegering 1035 MPa bedraagt, en 50 MPa voor acryl.
De Configuration Correction Factor CCF mag gelijkgesteld worden aan 1,12.
5.15 De breuktaaiheid KIc van een zeker materiaal bedraagt 25 MPa m . Als een plaat van
dit materiaal een scheur van 1,5 mm bevat in het midden van de plaat, welke is dan de
spanning waarvoor breuk optreedt ? Herhaal de berekeningen voor een plaat met een
scheurlengte van 10 mm in het midden van de plaat, als de vloeigrens van het
materiaal 450 MPa bedraagt. Interpreteer de resultaten.
De Configuration Correction Factor CCF mag gelijkgesteld worden aan 1,12.
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
73
Oplossingen
Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
1.1 R = 6 kN
x = 0.8 m
1.2 RA,H = 2.5 kN
RA,V = 3.693 kN
RD = 3.636 kN
1.3 RA,H = 1.414 kN
RA,V = 6.414 kN
RMA = -3.414 kNm
1.4 RA,H = -2.886 kN (naar links gericht)
RB,H = 2.886 kN
RB,V = 5 kN
1.5 Fx = 0.0 N
Fz = 58.75 N
My = 5.6875 Nm
1.6 F_x = -500 N (positief naar rechts)
F_z = 500 N (positief naar boven)
M_y = 500 Nm (positief in uurwijzerzin)
1.7 Fx = -6200 N
Fz = -3150 N
My = -6300 Nm
1.8 Het achterwiel komt los als x > 12,11 m
1.9 N = 2,709 kN
M = -2,499 kNm
V = 0 kN
1.10 N = -16,7744 kN
M = 2,3838 kNm
V = 1,9865 kN
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
74
1.11 F_x,BC = 30 kN (maximale kracht in sectie BC)
sigma_BC = 85,7 MPa
1.12 sigma_BA = 8,05 MPa
1.13 sigma = 0,22 MPa
1.14 x = 123.8 mm
1.15 (i) = 0.5 MPa en = 0.0 MPa
(ii) = 0.375 MPa en = 0.2165 MPa
1.16 AB = 2.4 MPa
AC = 1.6 MPa
= 0.8 MPa
1.17 pen A = 4 mm
pen B = 6 mm
staaf BC = 6 mm
1.18 Staafdiameter >= 20,6 mm
Dikte van de schijf >= 4,55 mm
1.19 Axiale spanning in as: P <= 51,8 kN
Vlaktedruk in kraag in C: P <= 55,0 kN
1.20 Veiligheidsfactoren worden altijd toegepast bij het design van een werkelijke
constructie. Er is immers een (soms grote) onzekerheid over de belastingen op de
constructie, en er is ook spreiding op de materiaaleigenschappen. Daarom voert men
veiligheidsfactoren in. Verder zijn er in dit geval 3 beperkende voorwaarden voor de
kracht P:
staaf AC: P <= 170,9 kN
blok B: P <= 168 kN
pen A en C: P <= 183,2 kN
1.21 sigma_I = 202,1288 MPa
sigma_II = 110,4628 MPa
sigma_III = -32,5910 MPa
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
75
a_I_ij = 0,02031 0,45947 0,88796
a_II_ij = 0,84645 –0,48057 0,22931
a_III_ij = 0,53209 0,74695 –0,39868
1.22 I = 196.62 MPa
aI,1 = 0.9637
aI,2 = 0.0
aI,3 = -0.2669
1.23 (i) 0.00238 m
(ii) 0.0119 mm/mm
1.24 eps_gem = 0,001
1.25 eps_AB,gem = -7,93 x 10^-3
gamma_xy = 0,0121 rad
1.26 eps_gem,AC = 0,00669
gamma_xy = -0,0132 rad
1.27 Met E_staal = 200 GPa en nu_staal = 0,32, worden de waarden:
delta_xx = 120 micrometer
delta_yy = -2,56 micrometer
delta_zz = -1,28 micrometer
1.28 E = 70.028 GPa
d = -0.0416 mm
1.29 Met E_staal = 200 GPa worden de waarden:
delta_A = 0,615 mm (verlenging)
delta_B_C = 0,105 mm (verlenging)
1.30 uC = 0.41985 mm
1.31 delta_F = 0,225 mm (naar beneden)
1.32 Verplaatsing uiteinde = (gamma x L^2)/(6 x E-modulus)
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
76
1.33 volumerek = -0,0113
delta_a = -0,375 mm
delta_b = -0,188 mm
delta_c = -0,281 mm
1.34 rek (%) = 0,058 %
1.35 = 43,5 MPa
verlenging = 0,218 mm
1.36 delta = 46,2 cm
1.37 E = 70 GPa
1.38 max = ½ * rho * omega^2 * L^2
urr = rho * omega^2 * L^3 / (3 * E)
1.39 st = 37.04 MPa
br = 15.74 MPa
1.40 Pb = 47.87 kN
1.41 delta_L_AC = 0,248 mm
1.42 FCD = 8,8 kN
FEF = 26,4 kN
1.43 RA = 10,833 kN
= 41 MPa
1.44 F = [2 * k3 + (2 * k1 * k2)/(2*k1 + k2)] * u
1.45 F = (b+c)/b * k * (l0 – a + (b+c)/b*t)
1.46 Veerkracht = 19,95 kN
Snedekracht in A = 13,98 kN
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
77
1.47 a) xx, staal = 95.4 MPa, xx, alu = -35.77 MPa
b) L = 1001.343 mm
1.48 sigma_Alu = -65,7 MPa
sigma_St = 12,3 MPa
1.49 a) zz = 120 MPa
b) D = -0.0128 mm
1.50 Met E = 200 GPa en alfa = 12 x 10^-6 /graad Celsius:
sigma = -84 MPa
1.51 staal = 50.6 MPa
alu = -33.8 MPa
1.52 xx = yy = 286.6 MPa
1.53 sigma_Alu = 10,238 MPa
sigma_St = -14,748 MPa
1.54 a) Uinw = 3.2725 * 106 Joule
1.55 Alle waarden x 10^-4 mm^2/N
S_11 = 1.0
S_12 = -0.2
S_13 = -0.4
S_22 = 1.0
S_23 = -0.4
S_44 = 10.0
1.56 a) 11 = 46.06 MPa, 22 = -127.3 MPa
b) abs(11/22) = 1.75
abs(22/11) = 14.343
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
78
Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
2.1 Kies bv. het assenstelsel in de linkerbenedenhoek van het profiel, op de hartlijn.
y_O = 5,92 mm
z_O = 8,36 mm
I_yy = 8102 mm^4
2.2 De oefening kan exact worden opgelost, maar het draadmodel levert hier een veel
snellere oplossing, en U kan nagaan dat de gemaakte fout zeer klein is. Maak alleszins
gebruik van de formules voor statische momenten en traagheidsmomenten uit Tabel
2.1.
I_zz = 21920 mm^4
2.3 z_C = 8,55 cm
I_yy = 646 cm^4
2.4 I_y'y' = 2,90 x 10^9 mm^4
I_z'z' = 5,60 x 10^9 mm^4
I_y'z' = 3,00 x 10^9 mm^4
I_YY = 7,54 x 10^9 mm^4
I_ZZ = 0,960 x 10^9 mm^4
2.5 I_y'y' = 0,17395 x 10^6 mm^4
I_z'z' = 0,0627 x 10^6 mm^4
I_y'z' = 0,06079 x 10^6 mm^4
I_YY = 0,2 x 10^6 mm^4
I_ZZ = 0,0359 x 10^6 mm^4
2.6 I_y'y' = 5,08 x 10^6 mm^4
I_z'z' = 1,84 x 10^6 mm^4
I_y'z' = 2,31 x 10^6 mm^4
I_YY = 6,281 x 10^6 mm^4
I_ZZ = 0,639 x 10^6 mm^4
2.7 x < L : V = F*a/L, M = F * a * x/L
x > L : V = -F, M = F * (L+a-x)
2.8 V = - abs(F)
M = abs(F) * (a - x)
2.9 V = 0
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
79
M = K
2.10 V = K/L
M = K/L * x
2.11 V = q_0 * L/6 * [1 - 3*(x/L)^2]
M = q_0 * L^2/6 * [x/L - (x/L)^3]
2.12 V = -q_0 * L/2 * (1 - x/L)^2
M = q_0 * L^2/6 * (1 - x/L)^3
2.13 x < 9 m : V = 29.166 * x^2 – 466.66
M = 9.722 * x^3 – 466.66*x
x > 9 m : V = 29.166 * x^2 – 4200
M = 9.7222 * x^3 – 4200*x + 33600
2.14 z_C = -9,231 mm t.o.v. midden bovenste rechthoek
2.15 q0 = 27489 N/m
2.16 b) IPE 80
c) gewicht I / gewicht massieve rechthoek = 0.61144
2.17 b) Mmax = 2500 Nm
max = 138,88 MPa
2.18 xx,N = 0,08 MPa
xx,M = 0,0569 * z [MPa] (met z in mm)
2.19 Q < 82,64 N
2.20 M_max = 4926 Nm
2.21 M_max = 724 Nm
2.22 M_max = 3790 Nm
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
80
2.23 sigma_max = -16,8556 MPa
2.24 sigma_max = 2,83077 MPa
2.25 tau_xz = 4/3 * V/(pi*R^2) * (cos(theta))^2
2.26 tau_xz = -74,074 MPa
2.27 xz,max = -20,47 MPa
2.28 sigma_B = 75 kPa (trekspanning)
sigma_C = -150 kPa (drukspanning)
2.29 xx,N = -1,316 MPa
xx,M = -63,158 MPa
2.30 -h/6 <= e_z <= +h/6
2.31 Tresca: V < 299,3 kN
von Mises: V < 345,6 kN
2.32 Eerst verplaatsing B t.o.v. AB, dan doorbuiging BC
u_x(C) = F*a/(E*A) + F*b^3/(3EI_yy) + F*a*b^2/(EI_yy)
u_z(C) = -F*b*a^2/(2*EI_yy)
2.33 Q = 1375 N
2.34 Eerst doorbuiging in B t.g.v. buiging van AB berekenen
u_x = 1,395 mm
u_z = 1,046 mm
2.35 a) F = 22,5 kN (opwaarts)
b) = 8,89 MPa
2.36 sigma_max = 7,5622 MPa
helling maximaal als x = 3,66 m
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
81
2.37 v = 1/EI * (-129*x^2 + 26/3*x^3 –1/3*x^4 + 1/3*<x-5>^4 + 25*<x-5>^2 [meter]
2.38 Doorbuiging maximaal in C of waar du/dx = 0 (3 m < x < 9 m)
u(C) = -1560 kNm^3/(EI_yy)
u(D) = 630,357 kNm^3/(EI_yy) (voor x = 6,071 m)
2.39 u(B) = -47,54177 mm
sigma_max = -89,943 MPa
2.40 ux = 0,177 mm
uz = -5,5322 mm
2.41 Helling in x = 1,5 m bedraagt 0,0004624 rad
2.42 u_B = -4,254 mm
2.43 Enkel verticale snedekracht in scharnier = 2 kN opwaarts
IYY = 630337,4231 mm4
Doorbuiging uS = -8,15 mm
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
82
Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
Voor dit hoofdstuk worden geen oefeningen voorzien
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
83
Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
4.1 b) ’xx = -88.48 MPa, ’yy = 38.48 MPa, ’xy = -49.95 MPa
c) xx = 0.0008, yy = -0.00115, zz = 0.00015, xy = -0.00078
4.2 a) w(x,y,z) = -4x10-4 z – 8x10-6 xz
b) xx = (-1.638*x + 81.9) MPa
yy = (3.822*x + 27.3) MPa
xy = (1.638*y) MPa
d) I = 132.65 MPa
II = 20.23 MPa
e) bijkomend verplaatsingsveld: u/v/w = -1,078 * 10^-4 * x/y/z
f) sigma_I = 103,22 MPa, sigma_II = -9,20 MPa, sigma_III = -29,43 MPa
4.3 k = 153.846 kN/mm
4.4 V = 11.224 mm3
4.5 sigma_x'x' = -25,8 MPa
sigma_y'y' = -4,15 MPa
tau_x'y' = -68,6 MPa
4.6 a) I = 116.4 MPa, II = -46.4 MPa
c) max = 81.4 MPa, gem = 35 MPa
4.7 sigma_I = 20,4 MPa
sigma_II = -0,440 MPa
4.8 sigma_I = 2,49 MP
sigma_II = -14,5 MPa
theta = 22,5 graden
4.9 sigma_x'x' = -8,20 MPa
sigma_y'y' = 12,20 MPa
tau_x'y' = 5,66 MPa
4.10 sigma_I = 31,2 kPa
sigma_II = -51,2 kPa
tau_max = 41,2 kPa
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
84
4.11 sigma_I = 62,36 MPa
sigma_II = 17,64 MPa
tau_max = 22,36 MPa
4.12 sigma_I = 38,3 MPa
sigma_II = -18,3 MPa
au_max = 28,3 MPa
4.13 eps_xx = 1395 x 10^-6
eps_yy = 252 x 10^-6
eps_xy = -350 x 10^-6
eps_I = 1492 x 10^-6
eps_II = 153 x 10^-6
theta = -15,74 graden
4.14 b) I = 0.3878, II = 0.1622, III = 0.0
c) ’xx = 0.165, ’yy = 0.385, ’xy = -0.025
e) xx = 257.6 MPa, yy = 235.2 MPa, zz = 123.2 MPa, xy = -49.28 MPa
4.15 eps_I = 0,3412
eps_II = 0,01875
theta = 41 graden 26 minuten
4.16 I = 259.05 * 10-6
II = -158.8 * 10-6
’xy,max = -208.8 * 10-6
gem = 50 * 10-6
4.17 eps_x'x' = -309 x 10^-6
eps_y'y' = -91,3 x 10^-6
eps_x'y' = -25,95 x 10^-6
4.18 N_z = +188,495 kN
4.19 eps_zz = -1,421 x 10^-4
4.20 a) rr = -10 MPa, = 16.66 MPa, zz = 3.33 MPa
c) rr = -76.19 * 10-6, = 88.88 * 10-6, zz = 6.34 * 10-6
4.21 a) = nu_R / (nu_R – 1) * sigma_zz
b) -sigma_zz
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
85
4.22 Nz = -13146.8 kN
4.23 po = 0.4324 * pi
4.24 a) delta_z = -0,73775 mm
b) u_r = -0,001574 mm
c) nee. Vergelijkingsspanning = 144,37 MPa
4.25 *rr = -14.4516 MPa
Palu = -1405.907 kN
Pst = 1405.907 kN
4.26 Het is een dunne schijf. Er worden dus geen spanningen opgebouwd in de z-richting
(sigma_zz = 0). Men moet dus enkel de aansluitingsvoorwaarde in de radiale richting
opleggen, nl. u(r = 0,2; binnenste schijf) = u(r = 0,2; buitenste schijf). De
tussenresultaten zijn:
u_1(T(r)) = 0,073154 mm
u_1(sigma_rr*) = 3,2714 * 10^(-3) * sigma_rr*
u_2(T(r)) = 0,029065 mm
u_2(sigma_rr*) = -4,8555 * 10^(-3) * sigma_rr*
4.27 a) *rr = -12,5 MPa
b) a = -14,4 MPa
4.28 *rr = -44,6867 MPa
4.29 ur = 0,280506 mm
4.30 b) max = ()max/2 = 200 MPa
4.31 b) 40 MPa
c) h = 1.99916 mm
4.32 k = 4
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
86
Hoofdstuk 5: Mechanische eigenschappen en materiaalmodellen
5.1 E = 2,16 x 10^5 MPa
sigma_0,2 = 469 MPa
sigma_trek = 745 MPa
sigma_breuk = 621 MPa
5.2 eps_perm = 0,0150
5.3 Plastische vervorming in zone BC van de staaf
Totale verlenging ongeveer 18,3 mm
Verlenging na ontlasting is ongeveer 17,7 mm
5.4 G = 45,0 GPa
tau_evenred = 360 MPa
tau_max = 490 MPa
d = 0,16 mm
D = 432 kN
5.5 sigma_v = 254 MPa
sigma_trek = 477 MPa
sigma_waar (ware spanning bij breuk) = 892 MPa
5.6 p = 2,0785 MPa
5.7 Tresca: materiaal vloeit (sigma_I = 155,9 MPa, sigma_III = -85,9 MPa)
von Mises: 212,3 MPa < 225 MPa -> geen vloeien
5.8 xy < 0,7 u
theta = -3459’
5.9 R = 1.44
theta = -2540’
5.10 p = 206,7 bar
5.11 I = 272 x 10^-6
II = 33,8 x 10^-6
theta = 109,3
I = 62,0 MPa
Mechanica van Materialen Oefeningensyllabus
87
II = 25,4 MPa
5.12 A = -6,027337 x 10-4
B = -2,0481733 x 10-4
C = 2,6940038 x 10-4
5.13 11 = 0,005434
22 = -0,00021
12 = 0,01376
5.14 CCF = 1.0 gekozen (zelfde conclusies gelden voor bv. CCF = 1,12)
2a_staal = 24 mm
2a_tit = 4,81 mm
sigma_acrylic = 20,15 MPa
Titanium veel scheurgevoeliger dan staal; breuk voor acrylic bij slechts 40 % van zijn
treksterkte.
5.15 breuk,1,5 mm = 459,85 MPa
breuk,1,0 mm = 178,10 MPa