Mecanica_materiales_hetereogeneos

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE QUERETARO DISEÑO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES

Facultad de Ingeniería Arroyo M. 1

UNIVERSIDAD AUTÓNMA DE QUERÉTARO

Facultad de Ingeniería

Ingeniería Civil

APUNTES DE MECÁNICA DE SOLIDOS II

SÉPTIMO SEMESTRE

DR. GUADALUPE MOISÉS ARROYO CONTRERAS División de Estudios de Posgrado

Centro Universitario, Cerro de las Campanas, C.P. 76010, Stgo. de Querétaro, Qro. Tel.: (42) 192-12-00, EXT. 6071, Email: [email protected]

CU, Santiago de Querétaro, Qro., Enero de 2009



INDICE I. FLEXIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

I.1 Contenido de las NTC-RC-DF. I.2 Modelo analítico de flexión I.3 Tipos de Refuerzo en Vigas a Flexión I.4 vigas rectangulares simplemente armadas I.5 Viga reforzada con la condición balanceada I.6 Viga doblemente reforzada

I.6.1 Viga doblemente reforzada con fluencia en el acero de compresión

I.6.2 Viga doblemente reforzada sin fluencia en el acero de compresión

I.7 Vigas de sección transversal “T” II. CORTANTE EN VIGAS III. SECCIÓN TRANSFORMADA

III.1 Sección transformada de una sección simplemente reforzada III.2 Sección transformada de una sección doblemente reforzada

IV. DEFLEXIONES IV.2 Deflexiones inmediatas y diferidas IV.2 Deflexiones admisibles

V. AGRIETAMIENTO VI. ANCLAJE Y ADHERENCIA IV. FLEXIÓN EN VIGAS DE ACERO

III.1 Modelo analítico. III.1.1 Análisis por el principio del trabajo virtual

III.4 Mecanismos de vigas III.4 Modelos experimentales



I FLEXION Las cargas transversales que actúan sobre una viga producen acciones internas como momentos flexionantes, fuerzas cortantes y por consiguiente esfuerzos de tensión.

Refuerzo transversal pararesistir cortanterefuerzo longitudinalpara resistir flexi‗n

cortanteGrieta por

2WL

(+)

-

Grieta porflexi¾n

WL8

2(- )

M

2WL

V

W

Para absorber adecuadamente estos esfuerzos, se puede utilizar un material compuesto de concreto simple y barras de acero, comúnmente denominado: CONCRETO REFORZADO. (El refuerzo no impide el agrietamiento, pero si lo restringe). El Dimensionamiento de vigas de concreto reforzado consiste en determinar:

• Las dimensiones de la sección. • La cuantía y distribución del acero de refuerzo.

Lo anterior, con el afán de predecir:

• La resistencia de la sección. • Las deflexiones. • La magnitud del agrietamiento.

Conociendo las leyes o curvas de comportamiento esfuerzo-deformación del concreto y del acero, así como, tomando en cuenta los Principios de:

• Compatibilidad de deformación. • Estática.

Con base en estos conceptos se puede determinar la capacidad del par interno para resistir flexión en una viga.



I.1 Contenido de las NTC-RC-DF. El contenido de las NORMAS TECNICAS COMPLEMENTARIAS PARA DISEÑO Y CONSTRUCCION DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO, DEL Reglamento de Construcción del DF., NTC-RC-DF (GACETA OFICIAL DEL DISTRITO FEDERAL 25-MAR-96) se puede resumir a través del índice de dichas normas: INDICE NOTACION. 1. CONSIDERACIONES GENERALES. 1.1 Alcance 1.2 Criterios de diseño 1.3 Análisis

1.3.1 Aspectos generales 1.3.2 Efectos de esbeltez

1.4 Materiales 1.4.1 Concreto 1.4.2 Acero

1.5 Dimensiones de diseño 1.6 Factores de resistencia 2. REVISION DE LOS ESTADOS LIMITE 2.1 Estados límite de falla

2.1.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño 2.1.2 Flexión 2.1.3 Flexocompresión 2.1.4 Aplastamiento 2.1.5 Fuerza cortante 2.1.6 Torsión

2.2 Estados límite de servicio 2.2.1 Esfuerzos bajo condiciones de servicio 2.2.2 Deflexiones 2.2.3 Agrietamiento de elementos no presforzados que trabajan en una dirección

3. REQUISITOS COMPLEMENTARIOS 3.1 Anclaje

3.1.1 Requisitos generales 3.1.2 Requisitos complementarios de anclaje 3.1.3 Anclaje del refuerzo transversal 3.1.4 Anclaje de malla de alambre soldada

3.2 Espesor de desgaste 3.3 Revestimiento 3.4 Recubrimiento 3.5 Tamaño máximo de agregado



3.6 Separación entre barras o tendones individuales 3.6.1 Acero de refuerzo 3.6.2 Acero de presfuerzo

3.7 Paquetes de barras 3.8 Dobleces de refuerzo. 3.9 Uniones de barras.

3.9.1 Uniones de barras sujetas a tensión. 3.9.2. Uniones de mallas de alambre soldado. 3.9.3 Uniones de barras sujetas a compresión.

3.10 Refuerzo por cambios volumétricos. 3.11 Inclusiones. 4. DISPOSICIONES COMPLEMENTARIAS PARA ELEMENTOS ESTRUCTURALES

COMUNES. 4.1 Vigas.

4.1.1 Conceptos generales. 4.1.2 Pandeo lateral. 4.1.3 Refuerzo complementario en las paredes de las vigas. 4.1.4 Vigas diafragma. 4.1.5 Vigas de sección compuesta.

4.2 Columnas. 4.2.1 Geometría. 4.2.2 Refuerzo mínimo y máximo. 4.2.3 Requisitos para el refuerzo transversal. 4.2.4 Columnas zunchadas. 4.2.5 Detalles de refuerzo en intersecciones con vigas o losas.

4.3 Losas. 4.3.1 Disposiciones generales. 4.3.2 Losas que trabajan en una dirección. 4.3.3 Losas apoyadas en su perímetro. 4.3.4 Cargas lineales. 4.3.5 Cargas concentradas. 4.3.6 Losas encasetonadas.

4.4 Zapatas. 4.4.1 Disposiciones generales. 4.4.2 Transmisión de esfuerzos en la base de una columna o pedestal. 4.4.3 Espesor mínimo de zapatas de concreto reforzado.

4.5 Muros. 4.5.1 Muros sujetos a cargas verticales axiales o excéntricas. 4.5.2 Muros sujetos a fuerzas horizontales en su plano.

4.6 Diafragmas y elementos a compresión de contraventeos. 4.7 Arcos, cascarones y losas plegables.

4.7.1 Análisis. 4.7.2 Simplificaciones en el análisis de cascarones. 4.7.3 Dimensionamiento. 4.7.4 Losas plegables.

4.8 Articulaciones plásticas en vigas, columnas y arcos. 4.9 Ménsulas.

4.9.1 Requisitos generales.



4.9.2 Refuerzo. 4.9.3 Area de apoyo.

5. MARCOS DUCTILES. 5.1 Requisitos generales. 5.2 Miembros a flexión. 5.3 Miembros a flexocompresión. 5.4 Uniones viga-columna. 6. LOSAS PLANAS. 6.3 Análisis. 6.12 Dimensionamiento de los ábacos.

7. CONCRETO PRESFORZADO.

8. CONCRETO PREFABRICADO.

9. CONCRETO SIMPLE.

10. CONCRETO LIGERO.

11. CONSTRUCCION. 11.1 Cimbras. 11.2 Acero. 11.3 Concreto



I.2 Modelo analítico de flexión. Las hipótesis simplificatorias para determinar la capacidad del par interno en una viga que debe resistir flexión, según Las Normas Técnicas Complementarias 2.1.1 (NTC-RC-DF) en su capítulo: 2. REVISIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITES, 2.1 Estados límites de falla, 2.1.1 Hipótesis para la obtención de resistencias de diseño, son:

a) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana.

b) Existe adherencia entre el concreto y el acero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente.

c) El concreto no resiste esfuerzos de tensión. d) La deformación unitaria del concreto en compresión cuando alcanza

la resistencia de la sección es 0.003. e) La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto es

uniforme en una zona cuya profundidad es 0.8 (β veces) el eje neutro).

El esfuerzo uniforme se toma igual a:

*'' 85.0 cc ff = Sí 2* /250 cmkgfc ≤

**

''

125005.1 c

cc fff ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= Sí 2* /250 cmkgf c ⟩

Según las NTC-RC-DF-2004:

'*

*

*''

8.0

85.01250

05.1

cc

c

cc

ff

f

ff

=

≤−=

=

α

α

Las hipótesis antes mencionadas se puede plasmar a través del análisis de una sección transversal de un elemento rectanguar de viga, como se muestra en la figura 1.1.



Figura 1.1 Modelo mecánico para flexión. El diagrama esfuerzo-deformación unitaria del acero de esfuerzo ordinario puede idealizarse con un comportamiento elasto-plástico perfecto (figura 1.2):

Figura 1.2 Diagrama de esfuerzo-deformación.



I.3 Tipos de Refuerzo en Vigas a Flexión. Secciones balanceadas: Cuando la deformación unitaria en la fibra extrema comprimida es la máxima admisible (0.003) y la deformación unitaria en el acero es la correspondiente al esfuerzo de fluencia.

36

3

102102104 −=== x

xx

Ey

y

σε

Secciones sub-reforzadas: Cuando se tiene menos acero que el correspondiente a la sección balanceada (Falla dúctil). Sección sobre-reforzada: Cuando se tiene un porcentaje de acero superior a la condición balanceada (Falla frágil).

Figura 1.3 Diagrama Carga-Deflexión de vigas sobre y sub-reforzadas. Para encontrar la resistencia de una sección simétrica de características conocidas, se procede como sigue:

1. Determinar la posición del eje neutro, con base del equilibrio interno.

2. Determinar las fuerzas internas, y con ellas calcular los momentos con respecto al eje neutro.

3. La suma de los momentos del par de fuerzas interno es la resistencia

a momento flexionante de la sección.

4. Puede también localizarse el centro de gravedad de las fuerzas de tensión y calcular los momentos de las fuerzas de compresión con respecto a este eje o centro, o viceversa.



I.4 vigas rectangulares simplemente armadas.

Figura 1.4 Sección transversal.

Si suponemos que es una sección sub-reforzada, ys ff =∴ Por equilibrio de fuerzas internas respecto a x, se tiene:

∑ ==+−= CTTCFx ,0,0

por tanto: ysc fAabf =''.

A partir de la ecuación anterior se tiene:

''c

ys

fbfA

a = (1)

que es la profundidad del bloque de esfuerzos

y la profundidad del eje neutro: 1

;8.0 β

acac ==

Si se define como Cuantía de acero a la relación de áreas: dbAp s= ,



Por lo anterior, el área de acero se expresa como: dbpAs = Remplazando este valor en la ec. (1) se tiene:

ycc

y

c

y fdbpfbaoff

pdfb

fdbpa === ''

´´'' (2.a)

Dividiendo ambos lados entre dos:

''22 c

y

ffdpa

= (2.b)

Tomando momentos con respecto al eje de la Resultante de Compresión:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

22adfAadTM ysu (3)

Tomado momentos con respecto al eje de la Resultante de Tensión:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

''''

''

''

2

22

c

y

c

cy

cu

ffdp

dfffdbp

adabfadCM

Haciendo ''''c

ys

c

y

ff

bdA

ffp

q == , el Índice de resistencia, la ecuación

anterior se expresa como:

( )qqfdbqfdbqdqdfdbqM cccu 5.012

12

''2''2'' −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Esta ecuación proporciona la Resistencia ideal o analítica a flexión de la sección considerada o la Resistencia calculada.



Para obtener la Resistencia de diseño, la resistencia anterior se afecta por un factor de reducción 9.0=RF :

( )[ ]qqfdbFMFM cRuRR 5.01''2 −== (4) Para flexión FR = 0.9 Otra forma de expresar uM es utilizando el valor de q anterior, es decir:

''''c

ys

c

y

ff

bdA

ffp

q ==

( )

( )qff

bdAfbd

qqfbdM

c

ysc

cu

5.01

5.01

''''2

''2

−=

−=

( )qdfAM ysu 5.01−=



I.5 Viga reforzada con la condición balanceada. Relacion de acero correspondiente a la condición balanceada. La relación de acero o cuantía balanceada, bp , puede obtenerse directamente de consideraciones de equilibrio interno y por compatibilidad de formaciones.

Figura 1.5 Sección balanceada.

Si se considera que la deformación del concreto es 0.003 y la del acero es la correspondiente a la fluencia, se tiene que esta deformación es:

002.0102

40006 ====

xEEf yy

y

σε

Por triángulos semejantes se tiene la siguiente relación:

da

dCCd b

y

bb

y 8.0003.0003.0

003.0003.0=

+=⇒=

+ εε

Por consiguiente: ddayy

b⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

003.00024.08.0

003.0003.0

εε

Por equilibrio de fuerzas se deduce: ''

cbysbbb bfafACT ===



⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+==∴

y

c

yy

cbsb f

fbdffbaA

''''

003.00024.0

ε

Replanteando el término de relación entre deformaciones, se tiene:

( )( ) 6000

4800102003.0

1020024.0003.0

0024.0

003.00024.0

003.0

0024.0003.0

0024.0

6

6

+=

×+×

=+

=

=+

=+

=+

yyy

yyy

ffEfE

EEf

Efε

Por consiguiente el Acero balanceado Asb es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

y

c

ysb f

fbdf

A''

60004800

Nota: En zonas de alto riesgo sísmico como la Cd. de México, por razones de seguridad y buscando un comportamiento dúctil en las estructuras para el diseño sísmico se recomienda usar 0.75 Asb como acero máximo. El acero balanceado es el máximo acero a utilizar:

bdA

p sbb = ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

y

c

yb f

ff

p''

60004800

''''c

ys

c

y

ff

bdA

ff

q == ρ 60004800+

=y

b fq

a) Refuerzo mínimo (2.1.2 Flexión, NTC-RC-DF-96). El área mínima de refuerzo de secciones rectangulares de concreto



reforzado de peso normal, puede calcularse con la siguiente expresión:

y

cs

y

cs

ff

bdA

p

bdf

fA

'

min

'

7.0

7.0

min

min

==

=

(2.1)

Resistencia a compresión.

Para concretos clase 1 y 2: '* 8.0 cc ff =



Ejemplo 1.1 Obtener la resistencia a flexión de una sección rectangular simplemente armada, de acuerdo a las NTC-DF-94.

• Datos.


26

2

2'

2

/)10(2

/000,4

/200

6.11,7#3

cmKgE

cmKgf

cmKgf

cmAV

y

c

ss

=

=

=

=

• Constantes y especificaciones

2*''

2'*

/136)160(85.085.0

/160)200(8.08.0

cmKgff

cmKgff

cc

cc

===

===

• Acero mínimo.

0025.04000

2007.07.0'

min ===y

c

ff

ρ

( ) ( ) 2minmin 43.325550025.0 cmbdAs === ρ

bρρρ ≤≤min • Acero máximo.

0163.04000136

600040004800

60004800 ''

max =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+==

y

c

yb f

ff

ρρ

( ) ( ) 2

max 44.2225550163.0 cmbdA bs === ρ



4.226.1143.3 ≤≤∴ O.K.

• Obtención de la resistencia.


Por equilibrio de fuerzas:

C = T

ysc fAfab ='' ∴

( ) ( )( ) cm

bffA

ac

ys 65.131362540006.11

'' ===

Tomando momentos con respecto a C.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

22adfAadTM ysu

( )

mToncmKg

M u

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

353.22320,235'2

265.135540006.11

( ) mTMM uR −=== 117.20353.229.09.0



Obtención de la resistencia, aplicando una de las expresiones obtenidas:

( ){ }qqfdbFMFM cRuRR 5.01''2 −==

''''c

ys

c

y

ff

bdA

ffp

q ==

I.6 Viga doblemente reforzada. I.6.1 Viga doblemente reforzada con fluencia en el acero de compresión. Obtención del momento resistente de una viga doblemente armada (con acero tención y de compresión).

Figura 1.8 Sección doblemente reforzada.



Figura 1.9 Modelo equivalente. Suponiendo que el acero de compresión fluye: yS ff = A partir de la viga 1 se puede obtener lo siguiente.

Por equilibrio de fuerzas con respecto al eje x; ∑ = 0xF :

1

1

'

y'

11

ss

syss

AA

fAfATCC

=∴

=⇒==

Tomando momentos respecto al eje de la fuerza de compresión C1 se tiene:

)'()'( '11 1

ddfAfAddTM ysys −==−= A partir de la viga 2 se tiene; tomando momentos con respecto a la fuerza de compresión Cc:



21

12

2

22

's

22

sss

ssss

s

AAA

AAAAA

adfAadTM

+=

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Por tanto:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

2)( '

2adfAAM yss

Finalmente el momento nominal total de una viga doblemente reforzada es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−=+=

2)()'( ''

21adfAAddfAMMM yssysn

Y el momento resistente de diseño es:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== )'(

2)( '' ddfAadfAAFMFM ysyssRnRR

El valor de “a” se obtiene aplicando equilibrio, de acuerdo al diagrama de la viga 2:

''2 2 cysc abffATC ===

Como

'2 sss AAA −= , se tiene:



''

'

'''

)(

)(

c

yss

yssc

bffAA

a

fAAabf

−=

−=

Estas expresiones son válidas si el acero de compresión fluye, esto es si se cumple:

y

c

y ff

dd

fpp

'''6000

4800)'(−

≥−

Donde:

bdAp s

'

'=



I.6.2 Viga doblemente reforzada sin fluencia en el acero de compresión. Obtención del momento resistente de una viga doblemente armada (con acero tención y de compresión)

Figura 1.10 Sección doblemente reforzada, con yS ff < .

Si el acero de compresión no fluye, , yS ff < se puede proceder como sigue. Por triángulos semejantes de la figura de la variación de la deformación se tiene que:

cdcs 003.0

'

'

=−ε

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

ad

cd

cdc

s'8.01003.0'1003.0'003.0'ε

Las fuerzas de compresión y de tensión son:

ys

cc

sssssssss

fATabfC

AadA

adEAEAC

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −===

''

''''' '8.01000,6'8.01003.0εσ



Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x se tiene:

( )

( ) 0'8.0003.0003.0

0'8.0003.0003.0

0'8.0003.0

0,0

''2''

''2''

'''

=−−+

=−−+

=−−+=++

=−−=∑

ssysssc

ysssssc

ysss

ccs

csx

AdEafAAEabf

afAAdEaAEabf

fAAdaa

EabfTCC

CCTF

donde 6102 xE s = , por consiguiente se tiene:

( )

( ) 0'4800000,6

0'8.0)102(003.0)102(003.0

''2''

'6'62''

=−−+

=−−+

syssc

syssc

AdafAAabf

AdxafAAxabf

A partir de esta ecuación se deduce el valor de a. El momento nominal o calculado puede obtenerse tomando momentos respecto al eje de la fuerza de tensión:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−==

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

−+−=

''8.01000,65.0

''8.01000,65.0

'5.0

'''

'''

ddAa

dadabfFMFM

ddAa

dadabf

ddCadCM

scRnRR

sc

scn



EJEMPLO 1.2 Obtener el momento resistente de una sección rectangular, doblemente armada, de una viga sometida a flexión, de acuerdo a las NTC-RC-DF. DATOS: Los datos del problema se muestran a continuación.


2

2

2'

26

2

2'

9.1510#2

7.3910#5

8.2310#3

/102

/4000

/2006030

cmVs

cmVsA

cmVsA

cmKgE

cmKgf

cmKgfcmhcmb

s

s

s

y

c

=

==

==

×=

=

=

==

Especificaciones y constantes.

2*''

2'*

/136)160(85.085.0

/160)200(8.08.0

cmKgff

cmKgff

cc

cc

===

===

Obtención de r. Para la obtención del eje centroidal del acero de tensión o la distancia r, se toman momentos de área respecto a la base como sigue:

cmr

AArA sss

00.84.87.39

68.23129.15

)6()12(21

≈=×+×

=

+=

Se supone para el cálculo del peralte efectivo, r de 8 cm, por tanto:

∴ d = 60 - 8 = 52 cm.



Cálculo del acero mínimo.

22minmin

'

min

7.399.352300025.0

0025.04000

2007.07.0

cmAcmbdpA

ff

p

ss

y

c

=<=××==

===

Cálculo del acero máximo. Condición balanceada.

Figura 1.12 Sección transversal con la condición balanceada.

Por triángulos semejantes de la variación de las deformaciones, se tiene (ver figura 1.12):

cmdda

cmCa

cmddC

Cdd

b

bb

b

b

9.2448.0)6.0(8.0

2.31)2.31(8.0)(8.0

2.31)52(6.0)(6.0005.0003.0

003.0005.0003.0002.0

===

===

===×=

==+



Obtención de la deformación del acero de compresión, para la condición balanceada. Por triángulos semejantes de la variación de la deformación, se tiene:

Figura 1.13 Variación de la deformación de la parte de compresión.

fluye

cdc

ys

bb

s

∴=>=×

=

=−

002.0002423.02.31

2.25003.0

003.0'

'

'

εε

ε

Por lo tanto el acero de compresión fluye y se encuentra sujeto a un esfuerzo de yf = 4000 2/ cmkg . Cálculo de las fuerzas de compresión y de tensión. La fuerza de compresión del acero para la condición balanceada es:

KgfACC yss 200,9540008.23'1 =×===

La fuerza de compresión del concreto para la condición balanceada es:

KgbfaC cb 837,1011363096.24''2 =××==

La fuerza total de compresión para la condición balanceada es:

KgCCCb 037,197837,101200,9521 =+=+=



Cálculo del acero de tensión, para la condición balanceada. Por equilibrio de fuerzas respecto al eje “x” se tiene, ∑ = 0xF , por lo tanto:

22max 7.3926.49

4000037,197

037,197

cmAcmAA

KgfATCT

ssbs

ybsb

bb

====∴

===

f

2maxmin

cm 49.26 39.7 3.9 <<

<< sss AAA

Obtención del momento resistente. Primero se obtiene el valor de “c” y “a”, para la sección y acero propuesto. Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x, se tiene:

( )''

'

''

'

''''''21

21

8.08.0

8.0

800,15840007.39

0

c

yss

c

ysys

cyscysys

ys

T

T

T

bffAA

bffAfA

c

cbffAabffAfA

CCT

KgfATCCC

CTCT

−=

−=∴

+=+=

+=

=×==+=

==−

( ) ( )

cmca

cmc

c

cbffAT cys

6.155.198.08.0

5.1948.19264,3600,63

136308.0200,95800,158

136308.040008.23800,158

8.0 '''

=×==

≈==××

−=

××+×=

+=



Suponiendo que el acero de compresión fluye:

TCKgT

KgCCKgfabC

KgfAC

T

c

ys

≈∴⇒=

=+=××==

=×==

800,158840,158

648,63136306.15

200,9540008.23

21

''2

'1

Verificación de la fluencia del acero de compresión.

( )

fluye

bdsA

bdA

ff

dd

f

s

y

c

y

⇒>∴

=−

=×

==

=×

==

=××−

××

−≥−

00942.00102.0

0102.0'

01526.052308.23''

02545.052307.39

00942.040005240006000

13664800

'6000

4800'''

ρρ

ρ

ρ

ρρ



Cálculo del Momento Resistente Tomando momentos respecto al eje neutro, de acuerdo a la figura 1.14, se tiene:

Figura 1.14 Variación de los esfuerzos y fuerzas en la sección

transversa.

FUERZA kg

BRAZO DE PALANCA

cm

MOMENTO Kg-cm

C1 = 95,200 13.5 1’285,200 C2 = 63,648 11.7 744,682 T = 1’588,000 32.5 5’161,000 Momento total = 7’190,882 Momento total = 71.909 Ton-m

Cálculo del momento resistente de diseño.

( ) mTonMFM uRR −=== 718.64909.719.0



Cálculo del Momento Resistente utilizando la fórmula.

6.1559.154000)136(30

8.237.39()(''

'

≈=−

=−

= yc

ss fbf

AAa

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ]

mToncmKgM

M

ddfAadfAAFM

R

R

ysyssRR

−⇒−=

−+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

712.64268,471'6

65240008.2326.155240008.237.399.0

'2

''



I.7 vigas de sección transversal “T” En estructuras de Concreto, un sistema estructural común de concreto reforzado consiste en losas soportadas sobre vigas. Estos elementos estructurales se cuelan normalmente monolíticamente. En el cálculo de la resistencia de este sistema se supone que la viga actúa conjuntamente con una porción de la losa, para formar una sección transversal “T”.

Figura 1.15 Sección transversal tipo T.

Las Especificaciones de acuerdo a las NTC-RC-DF-1996, se pueden describir como sigue:

2.- Revisión de los estados límite.

2.1.1 Estados límite de falla. 2.1.2 Flexión.

b) Secciones L y T. El ancho del patín que se considera trabajando a compresión a cada lado del alma, será menor que:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧−

≤

t

cercanomáselementodelalmadelpañoaciadis

bl

b

8

tan21

28

'

''



Para el caso particular donde lados del patín tiene claros iguales, se obtiene:

( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=+=

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

=+−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<

'16'82tan

tan'tan212

4'

2'2

82'

2'

82

'

btbtvigasdeejesaciadis

pañosaciadisbpañosaciadisb

lbblbbl

b

Donde el área de refuerzo transversal en el patín (incluyendo el del lecho inferior).

[ ]

2/

10)(10

cmkgenestáfdonde

tbf

patíndelltransversaáreaf

y

yy ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≥

La longitud de este refuerzo debe comprender el ancho efectivo del patín y a cada lado de los paños del alma debe anclarse de acuerdo con la sección 5.1. Si a < t, donde a es la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión en el concreto, la resistencia de la viga se puede calcular como si se tratase de una sección rectangular.



EJEMPLO 4. Calcular la resistencia a flexión de la sección “T” mostrada en la figura 1.16, que conforma el sistemas de piso, mostrado en la figura 1.17.

Figura 1.16 Sección transversal T.

Figura 1.17 Sistema de piso.

Datos adicionales de la viga con claro 9 m:

26

2

2'

/102

/4000

/200

cmKgE

cmKgf

cmKgf

s

y

c

×=

=

=

a) Especificaciones y Constantes

2'*'' /1362008.085.08.085.085.0 cmKgfff ccc =××=××==



b) Recubrimiento Efectivo Calculando momentos de superficie respecto a la base se tiene:

( ) ( )( ) ( )

cmrhd

cmr

AAA

r

AArA

s

ss

sss

47855

0.81.858.36

676.211282.12

612

612

21

21

=−=−=∴

≈=×+×

=

+=

+=⋅

El ancho efectivo de la sección T, b, se obtiene de acuerdo a la norma mencionada, de la manera siguiente:

cml

cmbtb

2254

9004

15830)8)(16('16

==

=+=+=

Distancia entre ejes de vigas = 100 cm

cmbcalculadomínimovalorelb 100: ==∴

c) Acero mínimo

Cuantía mínima: 0025.0002475.04000

2007.07.0 '

min ≈===y

c

ff

ρ

Acero mínimo: AsAs

cmdbAs

<

=××==

min

2minmin 52.347300025.0'ρ



d) Acero máximo.

Figura 1.18 Sección T, con la condición balanceada.

Por triángulos semejantes de la variación de las deformaciones en la sección transversal, se obtiene (ver figura 1.18):

cmCa

cmC

dC

bb

b

b

56.2226.288.08.0

26.28005.0

003.047

003.0002.0003.0

=×==

=×

=

+=

La fuerza de compresión total para la condición balanceada es:

kgC

fbtC

fbtaC

CCC

b

cpatin

cbalma

almab patin

8.204,168

0.800,108)136)(10)(8(

8.404,59)136)(30)(856.22(')(''

''

=

===

=−=−=

+=



Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x se tiene (ver figura 1.18):

sss

y

bs

bysb

bb

AAA

cmcmf

CA

CfATCT

bmáx

b

b

>=

>===∴

===−

22 6.3605.424000

8.204,168

0

Por equilibrio de fuerzas respecto al eje x, se tiene:

patínalmaT

T

CCCTCT

+===− 0

''''')( ccys tbffbtafA +−= (1.3)

y

csp

spy

c

y

c

y

cs

cc

ccc

ftfbbAdonde

Af

fabf

tfbbf

fabA

tfbbfab

tbffbtfab

''

''''''

''''

''''''

)'(

')'('

)'('

''

−=

+=−

+=

−+=

+−=

despejando “a” en la ec. 1.3 se tiene:

( ) ( )( )( ) KgfbtaC

cma

tfb

tbffAa

calma

c

cys

600,3713630822.17'

22.17822.9813630

800,108400,146'

''

''

''

=−=−=

∴

=+=+×−

=

+−

=



e) Cálculo del momento resistente de la sección “T”.

Figura 1.19 Esfuerzos y Fuerzas en la sección.

( )( )

( )( ) KgbftC

KgfAT

cpatín

ys

800,1081361008

400,146400058.36

'' ===

===

Tomando momentos de las fuerzas, respecto al eje de la fuerza de tensión, se tiene:

FUERZA

kg BRAZO DE PALANCA

cm

MOMENTO kg-cm

Calma= 37,600 34.4 1’293,440 Cpatín= 108,800 43.0 4’678,400 5’971,840

El Momento nominal calculado es por tanto: Mu = 59.71 Ton-m. f) Momento resistente de diseño:

( ) mTonMFM uRR −=== 74.5371.599.0



II. CORTANTE EN VIGAS Vigas con refuerzo transversal. Analogía de la armadura (Ritter, 1899) El incremento de momento entre dos secciones distantes s es igual a:

MsV ∆= Por equilibrio de fuerzas verticales, 0=∑ yF

θα senFsenfA csv = (1) Por equilibrio de fuerzas horizontales, 0=∑ xF

θαθα

coscos0coscos)(

csv

csv

FfATFfATTT

+=∆=++∆+−

(2)

Por otro lado:

zsV

zMT

zTM

=∆

=∆

∆=∆ )(

(3)

Despejando cF de la ecuación 1 se tiene:

θα

sensenfAF sv

c =

Substituyendo este valor de cF y el valor de �T de la ecuación 3 en la ecuación 2 se obtiene:



⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

θαα

θθ

αα

tancos

coscos

senfA

sensenfA

fAzsV

sv

svsv

Por lo que la fuerza cortante máxima que puede tomarse con un área Av de fuerza transversal es:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

θαα

tancos sen

szfA

Vs

v

Si se admite que las grietas se forman comúnmente con un ángulo de 44º se tiene:

[ ]αα sens

zfAV

s

v += cos



III. SECCIÓN TRANSFORMADA Se utiliza para la:

- revisión de esfuerzos bajo condiciones de servicio,

- agrietamientos,

- deflexiones, Hipótesis del Modelo: - Se desprecia el concreto en la zona de tensión, - Se transforma el acero en un área de concreto de efecto equivalente,

donde las fajas son de un ancho unitario, de manera que su momento de inercia centroidal sea despreciable y estas superficies son paralelas al eje neutro.



Una vez transformada la sección se utiliza para determinar:

a) Algunas propiedades geométricas de las sección transversal como:

- Profundidad del eje neutro,

- Momento de inercia.

b) Esfuerzos bajo condiciones de servicio, para el diseño por agrietamientos y deflexiones.

Pasos a seguir para determinar estos primeros momentos de superficie y esfuerzos:

a) Determinación de la profundidad del eje neutro, tomando momentos de primer orden de las áreas con respecto al eje neutro.

b) Cálculo del momento de inercia con respecto al eje neutro.

c) Determinación de esfuerzos mediante las expresiones:

- Para esfuerzos en el concreto 1yI

Mfc =

- Para esfuerzo en el acero 2yI

mMfs =

Donde y1 y y2 son las distancias desde el eje neutro a la fibra considerada, y m es la relación entre los módulos de elasticidad del acero y del concreto. III.1 SECCIÓN TRANSFORMADA DE UNA SECCIÓN SIMPLEMENTE REFORZADA Se considera un comportamiento elástico de los materiales (concreto y acero), para simplificar el problema de una sección compuesta de concreto y acero (de concreto reforzado) al de una sección homogénea de concreto.



Los esfuerzos y la profundidad del eje neutro son iguales en las dos secciones: real y equivalente. Los esfuerzos están dados por:

εεεε

ssss

cccc

EEfEEf

====

La fuerza de tensión de la sección equivalente es igual a:



tsscsc

s

sssc

csssss

fnAEAEE

EAEEEAfAT

==

===

ε

εε

donde sctc

s EfyEEn ε==

.

Para el cálculo de la posición del centroide de la sección transformada, se igualan los momentos de primer orden del área de concreto a compresión con el del área de acero transformada:

( )

( ) ( )

022

02

2

2 =−+

=−−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dnAxnAbx

xdnAxbx

xdnAxbx

ss

s

s

Resolviendo la ecuación se obtiene x.

Para el cálculo del momento de inercia se procede como sigue.



La contribución de la superficie de concreto al momento de inercia de la sección transversal transformada es:

( )312

13412212

33

33232

0bxbxbxbxxbxxbAdII oconcreto =

+=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

La contribución de la superficie de concreto equivalente de la superficie de acero al momento de inercia de la sección transformada es:

( )220 0

xdnAAdI

Iaceroelparaconsiderase

soacero −==

≅

Finalmente el momento de inercia de la sección transformada es:

( )23

3xdnAbxI

III

stotal

aceroconcretototal

−+=

+=

Momentos de primer y segundo orden de la sección transformada de una sección de concreto, con acero de refuerzo a tensión y



compresión.

Para tener en cuenta el área de concreto desplazado por las barras de

acero de compresión se emplea ')1( sAn − en vez de

'snA .

( ) ( ) 0)'()1(2

´ =−−−−+ xdnAdxAnxbx ss

[ ] [ ] 0')1(2)1(2 ''2 =+−−+−+ dnAdAnxnAAnbx ssss

2aceroCaceroTconcretototal IIII ++=

( ) ( )2'23

')1(3

dxAnxdnAbxI sstotal −−+−+=

Ejemplo 7

Revisión de esfuerzos en una sección rectangular simplemente armada por el método de la sección transformada.



Datos:

Momento: 13 Ton - m

Concreto: '

cf = 200 kg/cm2

Acero: yf = 4000 kg/cm2

sE = 2 x 106 kg/cm2

Constantes y especificaciones Módulo de elasticidad del concreto:

2' /100,11320080008000 cmkgfE cC ===

Relación modular: 7.17100,113000,000'2

===c

s

EEm

Superficie de concreto equivalente: 23.205)6.11(7.17 cmmAs ==

Profundidad del eje neutro



Aplicando momentos de primer orden de las superficies respecto al eje neutro.

( ) ( )

( )

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

−±−==∴

=−+

=+−

=−−

=−−

95.222

4,95.22

03.90342.1603.205553.2055.12

0553.205225

02

2

2

2

2

AACBB

xx

xxxx

xx

xdmAxbx s

Momento de inercia

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4

2220

4333

333

3232

00

617,311

885,21095.22553.205

0

732,10095.22325)25(

31

31

31231

41

12212

cmIII

xdmAAdI

Iaceroelpara

cmxbhI

bxbxbxbxxbxxbAdI

concretoelpara

aceroconcreto

soacero

concreto

=+=

=−=−==

≅

====

=+

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+

Momento de inercia de la sección de concreto completa:

( ) 433 000,45060)25(31

31 cmbhIconcreto ===



Calculo de Esfuerzos

( ) ( ) 22

241

/367,295.2255617,311

000,300'17.17

/74.95)95.22(617,311

000,300'1

cmkgyI

mMmff

cmkgcmcm

cmkgyI

Mf

ts

c

=−===

=−

==



III.2 Sección transformada de una sección doblemente reforzada

Ejemplo 8 Revisión de esfuerzos en una sección rectangular doblemente armada por el método de la sección transformada.

Datos

Momento demandado: 30 ton-m = 3’000,000 kg-cm

2

2'

26

2

2'

7.3910#5

9.1510#2

/102

/4000

/20060,30

cmVA

cmVA

cmKgE

cmKgf

cmKgfcmhcmb

ss

ss

s

y

c

==

==

×=

=

=

==

Constantes y especificaciones - Módulo de elasticidad del concreto

2' /137,11320080008000 cmkgfE cc ===



- Relación modular: 68.17137,113000,000'2

===c

s

EEm

Profundidad del eje neutro Aplicando momentos de primer orden de las superficies respecto al eje neutro.

( ) ( )

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±−==∴

=−+

=+−++

=+−−+

=−−−+

=−−−−+

AACBBxcmx

xxxx

xxx

xxx

xdmAdxAmxbx ss

24,58.27

0539,25.640)8.498,362.591,1()9.7012.265(15

09.701)52(9.701)6(2.2652.26515

052)7.39(68.17)6)(9.15(68.162

30

0)'()1(2

2

2

2

2

2

'

Momento de inercia Contribución de la superficie del concreto al momento de inercia:

( ) 433 789,20958.273

3031 cmbxIconcreto ===

Contribución de la superficie del acero negativo al momento de inercia,



donde 00 ≅I : 4222 503,123)658.27(2.265)'()1( cmdxAmAdI soacero =−=−−==

Contribución de la superficie del acero positivo al momento de inercia, donde 00 ≅I :

( ) ( ) 4222 569,41858.27529.701 cmxdmAAdI soacero =−=−== Finalmente, el momento de inercia total es:

4861,751569,418503,123789,209 cm

IIII tenacerocompaceroconcreto

=++=

++= −−

( ) 433 000,54060)30(31

31 cmbhI totalc ===−

Calculo de Esfuerzos



( ) ( )

( ) ( ) 22

2'2

''

21

/719,142.24861,751

000,000'368.17

/522,158.21861,751

000,000'368.17

/05.110)58.27(861,751000,000'3,

cmkgyI

mMmff

cmkgyI

mMmff

cmkgyI

Mf

ts

ts

c

====

====

===



IV. DEFLEXIONES 3. ESTADOS LÍMITES DE SERVICIO. 3.1 Esfuerzos bajo condiciones de servicio 3.2 Deflexiones 3.2.1 Deflexiones en elementos no presforzados que trabajan en una

dirección La delexión total será la suma de la inmeidata más la diferida. Las deflexiones se calculan suponiendo un comportamiento elástico. Para obtener el valor del módulo de elasticidad se utiliza el recomendado por las NTC-RC-DF-2000

2/000,8

1/000,142'

2'

claseconcretocmkgfE

claseconcretocmkgfE

cc

cc

=

=

Para porcentajes bajos de acero se toma el valor del momento de inercia correspondiente a la sección total del concreto, no agrietada y sin considerar el refuerzo. 3.2.1.1 Deflexiones inmediatas Para porcentajes altos se utiliza el momento de inercia de la sección transformada agrietada. En claros continuos se toma un valor promedio de los momentos de inercia de las secciones de momento positivo y negativo:

42 321 III

I++

=

donde 21 IeI son los momentos de inercia de las secciones extremas del

claro e 3I el momento de inercia de la sección central. Flecha bajo efectos de corta duración:

IElWCf

c

3

=



donde W es la carga total l el claro I el momento de inercia C un coeficiente que depende del tipo de carga y de las

condiciones de apoyo o de frontera. 3.2.1.2 Deflexiones diferidas Deflexión adicional debido a la permanencia de la carga, se multiplica la flecha anterior por el factor:

compresiónaacerodecuantíabdA

pdonde

IIclasenormalconcretoparap

Iclasenormalconcretoparap

s'

'

'5014

'5012

=

+

+

En elementos continuos se usa un promedio de p’ como el criterio para I:

42 '

3'2

'1' ppp

p++

=



Deflexiones admisibles (permisibles).

RC – DF – 87, TITULO SEXTO, CAPÍTULO III, ART. 184. I.

Flecha vertical, incluyendo los efectos a largo plazo:

)(240

5.0 cmlcmfmáx +=

Para miembros cuyas deformaciones afectan elementos no estructurales (como muros de mampostería, que no sean capaces de soportar deformaciones apreciables) se considera como estado límite una deflexión medida después de la colocación de los elementos no estructurales:

)(480

3.0 cmlcmfmáx +=

Para elementos en voladizo, los límites anteriores se multiplican por 2.



EJEMPLO 9. CÁLCULO DE LA DEFLEXIÓN MÁXIMA EN UNA VIGA CONTINUA

Datos:

Materiales:

26

2

2'

/102

/200,4

/200

cmkgxE

cmkgf

cmkgf

s

y

c

=

=

=

Cargas de servicio: Carga muerta 1.5 t/m

Carga viva 2.8.t/m Carga viva media 0.8 t/m (para deflexiones diferidas) Momentos resistentes en las secciones de momento máximo:

mtM

mtM

R

R

−=

−=−

+

5.48

4.27

Refuerzo en las secciones central 3 y extrema 2

Sección central 3

2'3

23 54.2,09.11 cmAcmA ss ==

Sección extrema 2 2'

32

2 07.5,49.22 cmAcmA ss ==



Constantes y especificaciones Módulo de elasticidad del concreto y del acero:

26

2'

/)10(2

/100,11320080008000

cmkgE

cmkgfE

s

cC

=

===

Relación modular: 7.17100,113000,000'2

===c

s

EE

n

7.161 =−n

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

a) Cálculo del momento de inercia de la sección extrema 2

Superficie de concreto equivalente:

2'2

22

19.95)70.5(7.16)1(

1.398)49.22(7.17

cmAn

cmnA

s

s

==−

==

Profundidad del eje neutro

( ) ( )

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±−==∴

=−+

=+−++

=+−−+

=−−−+

=−−−−+

AACBBxcmx

xxxx

xxx

xxx

xdmAdxAmxbx ss

24,6.29

0848,188.320)5.349,27380()1.39819.95(15

01.398)7.68(1.398)4(19.9519.9515

07.68)49.22(68.17)4)(07.5(68.162

30

0)'()1(2

2

2

2

2

2

'

Momento de inercia



( ) ( ) 422 600,6086.297.681.398 cmxdmAI sacero =−=−=

( ) 433 300,2596.293

3031 cmbxIconcreto ===

422'' 380,62)46.29(19.95)'()1( cmdxAmI sacero =−=−−=

4' 280,930 cmIIII aceroaceroconcreto =++= Cálculo de la flecha inmediata (CM máx + CV máx) Cálculo de la flecha diferida

AssA'0' ==ρ

Concreto normal clase I 2

'5012

=ρ+

Concreto normal clase II

( )

)...(56.4)14.1(44)...(28.2)14.1(22

máx2

1

12

12

IICNCcmfICNCcmff

CVmediaCMff

=====+=

Flecha total

42.328.214.121 =+=+= fff Flecha admisible

cmcmcmfmáx

cm

cmLcmfmáx

42.37.53

35.25.02406005.0

2405.0

<<=

=+=+=

+=



V. AGRIETAMIENTO

NTC-RC-DDF-96 2.2.3 Agrietamiento en elementos no pres-forzados que trabajan en

una dirección. Elementos no expuestos a un ambiente muy agresivo y que no deben ser impermeables. Si en el diseño se usa un esfuerzo de fluencia (>) mayor de 3,000 2/ cmkg para el refuerzo de tensión, las secciones de máximo momento positivo y

negativo se dimensionan de modo que 3 Adf cs < 40,000 kg/cm. Donde sf es el esfuerzo en el acero en condiciones de servicio

en 2/ cmkg .

cd recubrimiento de concreto medido desde la fibra extrema a tensión al centro de la barra más próxima a ella, en cm.

A área de concreto a tensión en 2cm , que rodea al refuerzo principal a tensión y cuyo centroide coincide con el dicho refuerzo, dividida entre el número de barras equivalente, área total de acero / área de la barra de mayor diámetro.

El esfuerzo sf puede obtenerse con la expresión:

ys

ss

ffó

AdMf

6.0

9.0

=

=

Esta última expresión se puede utilizar si no se recurrió a la redistribución de los momentos elásticos) y M en la primera expresión es el momento flexionante en condiciones de servicio.



EJEMPLO 10 Revisión del agrietamiento de la viga continua del ejemplo 9. Datos: Refuerzo en las secciones de momento máximo.

Sección central 3

23 09.11 cmAs =

Momento flexionante de servicio:

4.1273.19 =−= mtM A

Sección extrema 2 2

2 49.22 cmAs = Momento flexionante de servicio:

4.1483.34 =−= mtM B

Materiales:

26

2

2'

/102

/200,4

/200

cmkgxE

cmkgf

cmkgf

s

y

c

=

=

=



ADHERENCIA Y ANCLAJE

4

2sb

sbfdfAT π

==

Por equilibrio de fuerzas respecto a x se tiene:

des

bs

sbdesb

ldfu

fdldu

4

4)(

2

=

=ππ

Si se conoce el esfuerzo de adherencia último nu , la longitud dl necesaria

para desarrollar el esfuerzo de fluencia del acero yf es:

n

byd u

dfl

4=



Las fuerzas de tensión se pueden obtener como sigue:

n

byd u

dfl

4=



NATURALEZA DE LA ADHERENCIA

PATRONES DE AGRIETAMIENTO



VARIABLES QUE DETERMINAN EL TIPO DE FALLA

ENSAYES DE EXTRACCIÓN - BARRA LISA



ENSAYES DE EXTRACCIÓN - BARRA CORRUGADA

FALLA EN ESPECÍMENES DE EXTRACCIÓN DE BARRAS CORRUGADAS



ESFUERZOS ÚLTIMOS DE ADHERENCIA

b

cu d

fkU

'

=

si '

cf se expresa en 2/ cmkg y bd en cm, k = 6 (del orden de acuerdo a algunos reglamentos). Si

2' /200 cmkgfc = y bd es el diámetro de una barra del No 8:

2'

/3354.22006 cmkg

dfk

Ub

cu ===

Otra expresión simplificada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

b

ysvc

bu sd

fAf

dCU 2.07.016 '

que toma en cuenta:

- C espesor del cilindro hueco de falla - bd diámetro de la barra - '

cf resistencia del concreto

- svA área de los estribos transversales - yf esfuerzo de fluencia de los estribos y - s separación de los estribos



Conocidos los valores de u se pueden obtener las expresiones para las longitudes de desarrollo en función de estos valores, como se deduce a continuación.

Dado b

cu d

fkU

'

= y

'

2

' 44

4c

by

b

c

by

n

byd

fk

df

dfk

dfudf

L ===

Haciendo bbbb AdódAπ

π 44

22 == y remplazando el valor del

diámetro de la barra en la expresión anterior se tiene:

'''

2

4

4

4 c

by

c

by

c

byd

fk

Af

fk

Af

fk

dfL

ππ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

si k se toma igual a 6, se obtiene:

'''053.0

6 c

yb

c

yb

c

ybd

f

fA

f

fA

fk

fAL ===

ππ



VI. ANCLAJE Y ADHERENCIA (RC-DDF-NTC-96)

3. REQUISITOS COMPLEMENTARIOS 3.1 Anclaje 3.1.1 Requisitos generales

b) se cumple el requisito de adherencia en una longitud suficiente de barra o de algún dispositivo mecánico de anclaje, en la mayoría de los casos, para el acero de tensión de miembros sujetos a flexión si:

I. Las barras que dejan de ser necesarias por flexión se cortan o se doblan a una distancia no menor que su peralte efectivo d, más allá del punto teórico donde de acuerdo con el diagrama de momentos ya no se requiere.

II. La longitud que continua de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que dLd + .

III. A cada lado de toda sección de momento máximo la longitud de cada barra es mayor o igual que dL (Longitud de desarrollo).

IV. Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado se prolonga más allá del centro del apoyo una longitud mayor que:

( ) hLLd 5.025.0 ≥+ (3.1)

donde L es el claro del elemento y h el peralte total.

c) Longitud de desarrollo básica para barras < #12 (diámetro de 38.1 mm):

yb

c

ysdb fd

f

faL 006.006.0

'≥=

(3.2)

donde bd es el diámetro de la barra en cm, sa el área transversal

en 2cm y, yf y '

cf en 2/ cmkg .



TABLA 3.1 Condición del refuerzo Factor

Barras horizontales o inclinadas colocadas de manera que bajo ellas se cuelan más de 30 cm de concreto.

1.4

En concreto ligero 1.33 Barras con yf mayor de 4,200 2/ cmkg

( yf en 2/ cmkg )

yf200,42 −

Barras torcidas en frío de diámetro igual o mayor que # 6 (19.1 mm)

1.2

Todos los otros casos 1 En ningún caso dL será menor de 30 cm.

O para todos los casos cmLd 30>

La longitud de desarrollo de una barra lisa será el doble de la requerida para corrugadas

La longitud de desarrollo de una barra a compresión será:

cmLL dbdb 206.0' >≥

3.1.2 Requisitos complementarios de anclaje. I. En extremos libremente apoyados, sin doblar, cuando

menos un 1/3 del refuerzo de tensión (momento positivo) se prolongará.

II. En extremos continuos se prologará ¼.

3.1.4 Anclaje de mallas de alambre soldado. Se supondrá que un alambre puede desarrollar su esfuerzo de fluencia en una sección, si a cada lado de ésta se ahogan en el concreto cuando menos dos alambres perpendiculares al primero, distando el más próximo no menos de 5 cm de la sección considerada.



3.6 Separación entre barras o tendones individuales 3.6.1 Acero de refuerzo La separación libre entre barras paralelas (excepto entre capas de barras de vigas) no será menor que el diámetro nominal de la barra ni que 1.5 veces el tamaño máximo del agregado.



EJEMPLO 11. CORTE DE BARRAS Y REQUISITOS DE ANCLAJE EN UNA VIGA CONTINUA

Datos:

Materiales:

26

2

2'

/102

/200,4

/200

cmkgxE

cmkgf

cmkgf

s

y

c

=

=

=

Diagrama de momentos flexionantes de diseño, uM .

Momentos resistentes en las secciones de momento máximo:

mtM

mtM

R

R

−=

−=−

+

5.48

4.27

Refuerzo en Sección central 3

23 09.11 cmAs =

Refuerzo en Sección extrema 2 2

2 49.22 cmAs =



LONGITUDES DE DESARROLLO (véase 3.1.1.c)

ybc

ysdb fd

f

faL 006.006.0

'≥=

Barras No. 6:

( )

( ) cmdxfdL

cmaxf

faL

cmdcma

bybdb

sc

ysdb

b

s

9.479.12.254200006.0006.0

8.5085.285.17200

420006.006.0

9.185.2

'

2

===≥

====

==

Para el lecho inferior:

cmLd 308.50 >=

Para el lecho superior (para más de 30 cm de concreto):

cmcmxLd 301.718.504.1 >== Barras No. 4:

cmxfdL

cmxf

faL

cmdcma

ybdb

c

ysdb

b

s

3227.12.25006.0

7.2227.185.1706.0

27.127.1

'

2

==≥

===

==

Para el lecho inferior:

cmLd 3032 >=

Para el lecho superior (para más de 30 cm de concreto):

cmcmxLd 308.44324.1 >==



Resumiendo:

Barra # 4 # 6 Para el lecho inferior: cmLd 3032 >= cmLd 8.50= Para el lecho superior: cmcmLd 308.44 >= cmLd 1.71=

MOMENTOS RESISTENTES DE GRUPOS DE BARRAS

Refuerzo positivo

( )

( )

( ) ( ) mtm

mtm

mtMAam

R

R

Rs

sR

−===

−==

−===≅

28.64.2709.1154.24.27

09.11)27.1(2;4#2

1.14)4.27(09.1185.22;6#2

04.7)4.27(257.04.2709.1185.2;6#1

Primer corte: sí se eliminan 2 ó 1 varillas del # 6, respecto al acero de tensión total, se tiene respectivamente:

( )

( ) 33.026.009.1185.21

33.0514.009.117.5

09.1185.22

<=

>==

Para el acero que corre se tiene que dos varillas del # 4 dan un valor menor que un tercio, por lo que se seleccionan dos varillas del # 6:

( ) 33.0229.009.1154.2

09.1127.12

<==



Refuerzo negativo

( )

( ) ( )

( ) ( ) mtm

mtm

mtMAam

R

R

Rs

sR

−===

−==

−==≅

47.55.485.22

54.25.485.22

)27.1(2;4#2

3.125.485.2285.22;6#2

14.65.485.22

85.2;6#1

Primer corte: sí se eliminan 3 ó 2 varillas del # 6, respecto al acero de tensión total, se tiene respectivamente:

( )

( ) 33.025.05.22

7.55.2285.22

33.038.05.22

57.85.22

85.23

<=

>=

Segundo corte, sí se eliminan 2 varillas del # 6, respecto al acero de tensión restante, se tiene respectivamente:

33.034.08.167.5

7.55.22)2(85.2

>==−

LONGITUDES DE CORTE DE ACUERDO A LAS NORMAS NTC-RC-DDF-96, SECCION 3.1. Inciso 3.1.1 b II. Barra que no se corta y no se dobla:

Momento positivo Barras # 6: cmdLd 1227151 =+=+ Barras # 4: cmdLd 1037132 =+=+

Momento negativo Barras # 6: cmdLd 1406971 =+=+



Inciso 3.1.1 b IV

Momento positivo, extremo libremente apoyado

hLLd 5.02008.50)800(25.08.5025.0 <−=−=−

Rige 0.5 h = 0.5 x 75 = 37.5 cm Inciso 3.1.2 I.

Área de acero para momento positivo máximo: 209.11 cmAs =

Área que llega a cada extremo (2#6), para extremos libremente apoyados.

22 7.3309.11

3170.5)85.2(2 cmAcmA ss ==>==

Sí se cumple este requisito 3.1.2 I.

COMENTARIOS 1. Los momentos uM ya están afectados por el factor de carga. 2. El ejemplo está planeado para ilustrar el corte de todas las

barras que van dejando de ser necesarias por flexión, sin que en ninguna sección de corte en zona de tensión se interrumpa más del 33 por ciento del refuerzo (véanse 2.1.5 f). Este proceder puede resultar demasiado laborioso en la práctica, y es entonces preferible un esquema de cortes más sencillo, aunque implique un consumo algo mayor de refuerzo longitudinal.

3. Se supone que el momento resistente varía linealmente con As

y que el peralte efectivo es el mismo para todas las barras. 4. Las longitudes constructivas de las barras y su localización se

obtienen de este diagrama, que debe dibujarse a escala.



CORTES DE LAS VARILLAS DE ACERO LONGITUDINAL



III. MÉTODO DE LÍNEAS DE FLUENCIA. La Teoría de la líneas de fluencia está reportada en la referencia: Park R. y Gamble N.L. 1994, “Losas de concreto Reforzado”, Limusa, Noriega Editores, México, Capitulo 7 y 8. Los autores de esta teoría son Ingerslev (inicio el tema en 1923) y Johanse (Ampliado y mejorado, danés, 1943, Yield-line theory, CCA, Londres, 1962) En el diseño de losas de concreto reforzado con malla soldada III.1 Modelo analítico.

La teoría está sustentada en el método de Límite superior, donde se considera lo siguiente: • La Carga última se estima suponiendo un mecanismo de colapso

plástico por flexión (estado límite plástico), • Los momentos en las líneas de articulaciones plásticas son los

momentos máximos de resistencia de las secciones, • La carga última se determina usando el principio del trabajo virtual, • No se examinan las regiones entre las líneas de articulaciones plásticas

(movimiento de cuerpo rígido), • Es preciso examina todos los posibles mecanismos de colapso para

garantizar la carga crítica. • Se impide la falla por cortante.



Figura 2.1 Ejemplos de patrones de líneas de fluencia de losas

uniformemente cargadas



III.1 MODELO ANALÍTICO

Refuerzo de la losa Lozas uniformemente reforzadas. El área de la sección de refuerzo por ancho unitario se supone constante. El refuerzo puede ser diferente en las dos direcciones y diferente el refuerzo de arriba al de abajo de la losa. Identificación del estado límite plástico o patrón de líneas de fluencia que forman un mecanismo de colapso plástico. - Experimental (Historia de carga con pruebas de carga, en la literatura

existe una gran variedad de patrones tipo de mecanismo de falla) - Analíticamente (análisis elasto-plásticos) Convención _______ Borde libre _______ Borde simplemente apoyado _______ Borde fijo (empotrado) Columna ___ _ ___ Eje de giro (rotación) Línea de fluencia de momento positivo _ _ _ _ _ Línea de fluencia de momento negativo Para la determinación del patrón líneas de fluencia - Las líneas de fluencia deben ser líneas rectas que constituyen ejes de

rotación,



- Los apoyos de las losas actúan como ejes de rotación, un eje de rotación puede pasar sobre una columna,

- Para que haya compatibilidad en las deformaciones una línea de fluencia

debe pasar por la intersección de los ejes de rotación de los segmentos adyacentes.

Una vez desarrollado un mecanismo de colapso los segmentos de la losa

entre líneas de fluencia permanecen como cuerpos rígidos planos. Momentos máximos de resistencia (plástica) en las líneas de fluencia

Para la línea de fluencia que corre por perpendicular al refuerzo se tiene:

( )''5.0c

ys

bf

fAysu dfAm −= NTC-RC-DF-96

( )'59.0c

ys

bffA

ysu dfAm −= ACI donde:

um es el momento último de resistencia por ancho unitario

yf esfuerzo de fluencia del refuerzo

sA el área de acero a tensión (por ancho unitario) b ancho unitario (100 cm, 1m) d la distancia del centroide del acero a tensión a la fibra extrema del

concreto a comprensión (peralte efectivo)

'cf esfuerzo a comprensión del concreto



Para la línea de fluencia que cruza el refuerzo con un ángulo α cualquiera, se modela como sigue (Johansen): - El refuerzo se coloca en las direcciones x e y. - La línea de fluencia tiene una inclinación α respecto a y. - Una línea escalonada puede sustituir a la línea real de fluencia, que

consiste en una serie de escalones en las direcciones x e y. - Los momentos de torsión en las direcciones x ó y son cero.

- El acero a tensión que cruza la línea de fluencia ha alcanzado la cedencia.

Momento máximo de resistencia por ancho unitario que actúa normalmente a la línea de fluencia:

αα 22 sencos uyuxun mmm += Momento de torsión por ancho unitario que actúa a lo largo de la línea de fluencia:

( ) αα cossenuyuxunt mmm −= Sí m mux uy≠ se tiene una losa “ORTOTRÓPICA” o reforzada ortotrópicamente. Sí m mux uy= se tiene que:

0

)( 22

=

==+=

unt

uyuxuxun

m

mmSenCosmm δδ

Una losa de este tipo se le llama “ISOTRÓPICA” o que está reforzada isotrópicamente



Modelo analítico para determinar la resistencia de una LF

Momentos flexionantes que actúan sobre la sección diagonal.

( ) ( ) ( )

αα

αααα

αα

αα

22cos

coscos

cos

cos

senmmm

sensenmmm

senabbcm

abacmm

senbcmacmabm

uyuxun

uyuxun

uyuxun

uyuxun

+=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

Momentos torsionantes que actúan sobre la sección diagonal.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) αα

αααα

αα

αα

cos

coscos

cos

cos

senmmm

senmsenmmabbcmsen

abacmm

bcmsenacmabm

uyuxunt

uyuxunt

uyuxunt

uyuxunt

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=



III.1.1 Análisis por el principio del trabajo virtual El trabajo realizado por una carga crítica (última o máxima) uniformemente distribuida por área unitaria wu es:

( ) ∆== ∑∫∫ uue Wdxdyyxww ,δ donde:

wu es la carga última uniformemente distribuida por área unitaria, δ( , )x y desplazamientos en todos los puntos de la losa,

uW carga total sobre un segmento del patrón de líneas de fluencia, ∆ desplazamiento del centroide. El trabajo realizado por las acciones internas en las líneas de fluencia se debe solamente a los momentos flexionantes, ya que el trabajo efectuado por los momentos de torsión y las fuerzas cortantes son iguales a cero cuando se suman sobre toda la losa. El trabajo interno se expresa como:

0lmw nuni θ= donde:

nθ es la rotación relativa (o giro) al rededor de la línea de fluencia entre dos segmentos,

mun es el momento último de resistencia por ancho unitario, lo longitud de la línea de fluencia. La ecuación del Trabajo Virtual se puede entonces expresar como:

00

0

=∆−=−

==∆=

∑∑∑∑∑∑∑∑

ununei

nuniue

Wlmwwo

lmwWw

θ

θ



III.2 Ejemplos de aplicación. III.2.1 Ejemplo 1, Losa Cuadrada. Determinar la carga crítica (máxima o última) uniformemente distribuida por área unitaria, wu, de la losa cuadrada, simplemente apoyada. La losa está reforzada isotrópicamente.

Si se desplaza una distancia pequeña δ hacia abajo el centro de la losa, se tienen que la rotación total de los segmentos alrededor de cada línea i de fluencia es:

lni

δδθθ22

2/22 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==l

Para cada línea diagonal de fluencia se tiene:

l

llo

fbfA

dAfmm

ni

c

yssyuun

δθ 22

2

59.0

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−==



El trabajo interno es:

δδθ uunun mll

mlm 822220 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∑

La carga total de cada segmento y el punto aplicación se pueden obtener

como:

32/6/,

4221 2 δδδ ====

llwlwllP puui

El trabajo externo es:

3344 2

24

1

δδ lwlw

w uu

iiui =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆∑

=

La ecuación del trabajo virtual puede escribirse como:

∑∑ ===∆ nounuuu lmmlwW θδδ 83

2

La carga crítica es por consiguiente:

[ ][ ]cysys

uu

fbfAdfAl

lmw

′−=

=

/59.024

24

2

2



III.2.2 Ejemplo 2, Ecuaciones de Equilibrio. Obtención de la carga crítica por el método de las ecuaciones de equilibrio. Segmento A, tomando momentos con respecto al eje del apoyo se tiene:

Carta total del segmento 4

2lwu

Punto de aplicación de la carga a 6l

momento interno total m lu Tomando momentos respecto al eje del apoyo

uu

uu

wlm

llwlm

24

064

2

2

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

224lm

uuw =∴



III.2.3 Ejemplo 3, Carga concentrada. Losa sometida a una carga concentrada. Para cargas concentradas, donde los patrones de líneas de fluencia pueden involucrar líneas curvas de momentos negativos con líneas radiales de momentos positivos, pueden se más críticos que los patrones que involucran grandes segmentos triangulares entre líneas de fluencia. Sea una losa cuadrada fija en todos sus bordes, sometida a una carga

centroidal última concentrada uP , la losa está isotrópicamente reforzada

tanto en laparte superior como inferiror, con 'um y um como momentos

últimos negativos y positivos, respectiviamente, por ancho unitario.

La carga que actúa en cada segmento

es 4/uP , por equilibrio del segmento ABC y tomando momentos con respecto a AB se tiene:

Cada segmento carga nPu / . Tomando momentos respecto a la línea de apoyo se tiene:

( )( )uuu

uuu

mmP

lPlmm

+=

=+

'

'

824

( )( )uuu

uuu

mmP

rnP

nrmm

+=

=+

'

'

2

2

π

π

Es la carga crítica



III.2.4 Ejemplo 4. Losa exagonal. Obtener la carga última o máxima,

uniformemente distribuida por área unitaria, uw , de una losa de forma poligonal, con n lados, fija en todos sus bordes. La losa está isotrópicamente reforzada tanto en la parte superior como inferior, con momentos últimos o máximos resistentes negativos y positivos, por ancho

unitario, 'um y um , respectivamente. Ver figura siguiente, donde r es el

radio inscrito de la losa de forma poligonal y l la longitud de cada lado.

PATRÓN DE LÍNEAS DE FLUENCIA, MECANISMO DE FALLA PLÁSTICA Considerando el equilibrio del segmento ABC, se toman momentos respecto a la línea de apoyo AB.

( )

( )uu

EuuI

mmr

w

wrlrwrlMlmmM

+=∴

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+=

'2

2'

6632

Donde IM y EM son los momentos producidos por las fuerzas internas y fuerzas externas, respectivamente. Esta solución se aplica a una variedad de casos de losas poligonales de lados regulares.



III.2.5 Ejemplo 5, Losa triangular. Sea un polígono de tres lados, o una losa triangular, donde el número de lados es igual a 3, n = 3.

PATRÓN DE LÍNEAS DE FLUENCIA, MECANISMO DE FALLA PLÁSTICA

( )uu mmr

w += '2

6

donde:

( ) ( )uuuu mml

mml

w

lllrl

r

+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∴

===⇒=

'2

'2

00

72

32

6

3231

230tan

22/30tan



III.2.6 Ejemplo 6, Losa de cuatro lados. Sea un polígono de cuatro lados, o una losa cuadrada, donde el número de lados es igual a 4, n = 4.

( )uu mmr

w += '2

6

En este caso de tiene:

( ) ( )uuuu mml

mml

w

lr

+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∴

=

'2

'2

24

2

6

2



III.2.7 Ejemplo 7, Losa de seis lados. Sea un polígono de seis lados, o una losa hexagonal, donde el número de lados es igual a 6, n = 6.

( )uu mmr

w += '2

6

En este caso de tiene:

( ) ( )uuuu mml

mml

w

lllrl

r

+=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∴

===⇒=

'2

'2

00

8

23

6

233

260tan

22/60tan



III.2.8 Ejemplo 8, Losa circular. Sea un polígono de lados infinitos, o una losa circular, donde el número de lados es igual a ∞ , ∞=n . El círculo se puede discretizar o aproximar con un polígono de longitud dl (o de lados muy pequeños), por tanto se tiene que:

( )

( )

( ) ( )

( )uu

EuuI

uu

EuuI

mmr

w

rwrdlMdlmmM

mmr

w

wrlrwrlMlmmM

+=∴

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+=

+=∴

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+=

'2

'

'2

2'

632

6632



III.3 Losas rectangulares ortotrópicas. Para el caso de losas rectangulares, con refuerzo paralelo a los lados de la losa, en la dirección x e y, el problema se puede tratar como sigue. Para una línea de fluencia, con un ángulo � de inclinación respecto al eje y, donde los segmentos de la losa experimentan un rotación relativa nθ alrededor de la línea de fluencia, el trabajo interno está dado por:

∑ onun lm θ Este trabajo interno también se puede expresar a través de las componentes de mun , como sigue:

( )

( )( ) ( )( )[ ]

[ ]

[ ]∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

==

+=

+=

+=

+=

nl

iyuyxux

nl

ixyuyyxux

nl

nnuynux

nl

nnuyux

nl

nnun

iiiiiixmym

lmlm

lsensenmlm

lsenmmlm

100

1

100

01

22

10

coscos

cos

θθ

θθ

ααθααθ

θααθ

donde xθ y yθ son las componentes de nθ , en las direcciones de x e y, y

0x e 0y son las longitudes proyectadas de la línea de fluencia en las direcciones de x e y.

[ ] [ ]∑∑∑===

+=∆nl

iyuy

nl

ixux

nb

iiu iiiiiii

xmymW1

01

01

θθ (1)



Determinar la carga última uniformemente distribuida por área unitaria, , de losa rectangular, simplemente apoyada en su periferia, ortotrópicamente reforzada, con momentos últimos positivos por ancho unitario, uxm y uym , en las direcciones de los claros largo y corto, respectivamente. En la figura siguiente se muestra un patrón de líneas de fluencia.

Losa rectangular uniformemente cargada

Para obtener los trabajos interno y externo, se aplica al centro de la losa un desplazamiento pequeño δ hacia abajo del plano de la losa, es decir un desplazamiento perpendicular al plano de la losa. El trabajo interno se puede hallar aplicando la ecuación 1, como a



continuación se describe.

Componentes de rotación Componentes de trabajo SEGMENTO xθ yθ

iiiym xux 0θ iii

xm yuy 0θ ADE

1lδ

0

yux ll

m1

δ

ABFE 0

yl5.0δ

x

yuy l

lm δ2

BCF

1lδ

0

yux ll

m1

δ

DCFE 0

yl5.0δ

xy

uy ll

m δ2

Por consiguiente el trabajo interno total es:



δδθy

xuy

yux

nl

nnun l

lmll

mlm 4211

0 +=∑=

El trabajo externo se puede obtener por segmentos rígidos, como sigue.

Segmento ADE y BCF: 321 δll

w yu

Segmento AEG, DEI, BFH, CFJ: 34322 1

1 δδ yu

y

u

llw

ll

w =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Segmento EFGH y EFIJ: ( )22

2 1δy

xu

lllw −

El trabajo total es:



( )

( )2

233

2222

344

322

111

111

δδδ

δδδ

yxuyuyw

yxu

yu

ywu

lllwllwllw

lllw

llw

llwW

−++=

−++=∆∑

( )

( )

( )6

23

6634

22

232

22

33

1

11

11

111

δ

δ

δδδ

δδδ

lllw

llllw

llwllwllw

lllwllwllwW

xyw

xyw

yuyxuyw

yxuyuywu

−=

−+=

−+=

−++=∆∑

Por equilibrio de trabajos se tiene:

( )

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

+=−

+=−

y

xuyyux

xyu

y

xuy

yuxxyw

y

xuy

yuxxyw

llm

llm

lllw

llm

ll

mlllw

llm

ll

mlllw

223

12

426123

426

23

11

11

11 δδδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=y

xuyyux

yy

xy

u llm

llm

ll

lll

w2

2312

112 (2)

Para obtener el valor mínimo de la ecuación 2, se procede como sigue:



043

22230

1

2

1

12

1

1

1

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∴

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

uy

ux

yxuy

yux

y

yy

xuyyuxyux

yy

xu

mm

ll

lmlm

ll

lllm

llm

llm

ll

ll

dldw

de donde se tiene que:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

uy

ux

x

y

uy

ux

uy

ux

x

y

y mm

ll

mm

mm

ll

ll

2/12

1 321

Finalmente la carga última o máxima uniformemente por área unitaria está dada por.

22/12/12

2 3

24

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

uy

ux

x

y

x

y

uy

uxy

uyu

mm

ll

ll

mml

mw

(3)



III.4 Mecanismo de sistema de piso. Mecanismos compuestos de colapso de viga y losa.

Losa reticular uniformemente cargada, sobre vigas apoyadas solamente en las esquinas, a) Losa sobre las vigas, b) modo de falla 1, c) modo de falla 2, d) modo de falla 3, e) modo de falla combinando los modos 1, 2 y 3. En este sistema los momentos últimos de resistencia de las vigas en la dirección x e y son uxM y uyM , por otro lado, uxm y uym , son los momentos últimos de resistencia por ancho unitario de losa, en las direcciones x e y, y

uw la carga última por área unitaria.



Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo a:

xxx lllδθδδθ 42,2

2

===

222442 δδδ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

yx

ux

yuxx

ux

EI

llwl

lml

M

WW

22

2

816

82

x

ux

xy

uxu

xyuyuxux

lm

llMw

llwlmM

+=

=+



Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo b:

yyy lllδθδδθ 42,2

2

===

222442 δδδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

xy

uy

xuyy

uy

EI

ll

wl

lml

M

WW

82

2yxu

xuyuy

llwlmM =+

22

816

y

uy

yx

uyu l

mll

Mw +=



Ecuaciones de equilibrio de los trabajos del modo c, en este caso se tiene la expresión obtenida con anterioridad para una losa rectangular:

22/12/12

2 3

24

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

uy

ux

x

y

x

y

uy

uxy

uyu

mm

ll

ll

mml

mw

El modo crítico es el modo con la menor carga última de los tres mecanismos analizados. Es posible que las resistencias de las vigas y la losa, sean tales que los tres modos tengan la misma carga última, en este caso, se presenta el modo combinado de la figura d.



III.3 Modelos experimentales.

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