Mecânica dos Sólidos 1Professor Maurício P. Ferreira

Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Faculdade de Engenharia Civil

1. Centro de Gravidade

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• Um corpo é formado por partículas;

• Se o corpo estiver em um campo gravitacional;

• Cada partícula terá um peso ∆W;

• Os pesos formarão um sistema de forças cuja

resultante é o peso total do corpoW;

• W passa por um único ponto: C.G.;

+R zF W F W= = = ∆∑ ∫

,R y yM M x W x W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫

,R x xM M y W y W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫

2. Centróide de Área e Linhas

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• No caso de uma placa homogênea de espessura constante:

W t Aγ∆ = ⋅ ⋅ ∆

onde: é o peso específico;

é a espessura; é a área do elemento.

tA

γ

∆

• No caso de uma linha homogênea de seção transversal constante:

W a Lγ∆ = ⋅ ⋅ ∆

onde: é o peso específico; é a seção transversal da linha;

é o comprimento do elemento.aL

γ

∆

2. Centróide de Área e Linhas

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2. Centróide de Área e Linhas

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3. Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide

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4. Momento Estático

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5. Simetria

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5. Simetria

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6. Centróides de Figuras Planas

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6. Centróides de Figuras Planas

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7. Centróide de Figuras Compostas

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y i i

i i

i ix

i i

Q x Ax

A A

y AQy

A A

⋅= =

⋅= =

∑∑ ∑

∑∑ ∑

• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo.

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• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 1)

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( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,1 0, 2 0,15 0, 2 0, 4 0, 3

0, 2 0,15 0, 4 0, 3

0,14 m 140 mm

x A x Ax

A A

x

x

⋅ + ⋅=

+

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

= =

1

2

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0, 225 0, 2 0,15 0,15 0, 4 0, 3

0, 2 0,15 0, 4 0, 3

0,165 m 165 mm

y A y Ay

A A

y

y

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

= =

• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 2)

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( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,1 0, 6 0, 3 0,1 0, 2 0,15

0, 6 0, 3 0, 2 0,15

0,14 m 140 mm

x A x Ax

A A

x

x

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅

= =

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,15 0, 6 0, 3 0, 075 0, 2 0,15

0, 6 0, 3 0, 2 0,15

0,165 m 165 mm

y A y Ay

A A

y

y

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅

= =

2

1