MDULO IV - CENTRIDE DE UMA SUPERFCIE -MOMENTO ESTTICO DE UMA SUPERFCIE

CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONALSeja uma placa horizontal, cujo mdulo do peso P. Pode-se dividir essa placa em n pedaos, denominados elementos, sendo: elemento 1 2 i coordenadas Peso P1 P2 PiP = dPxi yi

PiElemento i

(x1,y1) (x2,y2) (xi,yi)

P = P + P2 + ..... + Pn 1

Para elementos infinitesimais

CG: centro de gravidade (baricentro) da placa, ponto de aplicao da resultante P

(x, y )

Coordenadas do CG

CG

CLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE (x, y ) DE UM CORPO BIDIMENSIONALMomento de P em relao ao ponto OM ( o ) y ( P) = Px(o) y 1 1 2 2

M o ( P) = M o (P )n n

M ( o ) x ( P) = Py

M (P ) = x P +x P + .... + x P M (P ) = y P + y P + .... + y P(o) x 1 1 2 2 n

n

PiElemento i

Para elementos infinitesimais

CG

xi yi

M (dP ) = xdP M (dP ) = ydP( o) y ( o) x

M ( o ) x ( P ) = M ( o ) x (dP ) M ( o ) y ( P ) = M ( o ) y (dP )

Py = ydPPx = xdP

ydP y=P

xdP x=P

CG DE SUPERFCIES HOMOGNEAS E ESPESSURA CONSTANTEPara uma placa homognea de espessura constante peso de um elemento i da placa dado por:t a espessura da placa

o mdulo do

Pi = tAi

o peso especfico (peso por unidade de volume) do materialAi

a rea do elemento i

Dividindo a placa em elementos infinitesimais, o mdulo do seu peso dado por: P = dP = tdA = tA Coordenadas do CG:Px = xdP

A a rea da placa

(tA)x = x(tdA) (tA) y = y(tdA)

x A = xdA

xdA x=A

Py = ydP

yA = ydA

ydA y=A

CENTRIDES (C) DE SUPERFCIESCoordenadas do CG

(x, y )

xdA x=da placa homognea:

A

ydA y=A

O ponto de coordenadas (x, y) tambm conhecido como centride C da superfcie da placa. Se a placa no for homognea essas equaes no podem ser usadas para definir o CG, mas podem ser usadas para definir o centride da superfcie.

Centride (C) de uma superfcie de rea A: C = CG para superfcies homogneas

MOMENTO DE 1 ORDEM (MOMENTO ESTTICO) DE SUPERFCIES xdA x=Coordenadas do centride (C) de uma superfcie:A

ydA y=A

Qy = xdA

Momento de 1 ordem (momento esttico) da superfcie A em relao ao eixo y

Qx = ydA

Momento de 1 ordem (momento esttico) da superfcie A em relao ao eixo x Qy x= A Coordenadas do centride de uma superfcie: Qx y= A Obs: se o centride estiver sobre um eixo coordenado , o momento esttico em relao a esse eixo ser nulo (ex: se x = 0 o centride Qy = 0 ) est sobre o eixo y

SUPERFCIES SIMTRICAS EM RELAO A UM EIXO QUALQUERUma superfcie A simtrica em relao a um eixo BB se a todo ponto P da superfcie tiver um ponto P da mesma superfcie, de tal modo que PP seja perpendicular a BB e que o eixo BB divida a superfcie em 2 partes iguais.P

P Centride sobre o eixo y

Superfcie simtrica em relao ao eixo BB

Superfcie simtrica em relao Qy = 0 ) ao eixo y ( x = 0

Quando uma superfcie A possui um eixo de simetria BB, o centride da superfcie deve estar sobre esse eixo, e portanto o momento esttico em relao ao eixo BB ser nulo

SUPERFCIES SIMTRICAS EM RELAO A 2 EIXOSSe a superfcie possui 2 eixos de simetria, seu centride est situado na interseo desses eixos. DB D C D B D

B C

B

Superfcie simtrica em relao aos eixos BB E DD

Superfcie simtrica em relao aos eixos BB E DD

SUPERFCIE SIMTRICA EM RELAO A UM PONTO (centro de simetria)Uma superfcie simtrica em relao a um centro O se para cada ponto P de coordenadas (x,y) corresponder um ponto P de coordenadas (-x,-y). Nesse caso o centride coincide com o centro de simetria O (.O = C ) e portanto: x = 0 y = 0 Q y = 0 Qx = 0D

B

C=O

Centro de simetria (O) coincidente com o centride (C)B

D

Se a figura tiver 2 eixos de simetria perpendiculares entre si, o ponto de interseo dos eixos ser um centro de simetria

SUPERFCIE SIMTRICA EM RELAO A UM PONTO (centro de simetria)Uma figura que tem um centro de simetria no tem, necessariamente, um eixo de simetria. Exemplo:x P y O=C -y -x P

X e y no so eixos de simetria, porque a reta PP no perpendicular a nenhum delesB P -x y C x D P B -y

Centro de simetria

D

Uma figura que tem 2 eixos de simetria no tem, necessariamente, um centro de simetria.C no Centro de simetria

CENTRIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFCIESForma da superfcie

Tringulo

h 34r 3 4r 34r 34a 34b 3 4b 3 3h 5

bh 2r 24

Quarto de crculo

Semicrculo

r 22ab4

Quarto de elipse Semi-elipse Semiparbola

ab2

3a 8

2ah 3 4ah 3

Parbola

3h 5

CENTRIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFCIES (cont.)Forma da superfcie Limitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parbola do 2 grau

x

y

rea

3a 3a 4

3h 3h 10

ha 3

Limitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parbola de grau n

(n + 1) a (n + 1) ah (n + 2) (4n + 2) h (n + 1)2r sin 3

Setor circular

r 2

CENTRO DE GRAVIDADE DE REAS COMPOSTASEm muitos casos uma rea de forma qualquer pode ser decomposta em vrias reas de formas usuais como aquelas da tabela anterior. Clculo do CG (X , Y ) da rea composta:Sejam P1, P2,....Pn os pesos das n reas em que a rea total pode ser decomposta P = peso total da superfcie

P = P + P2 + .... + Pn 1

Sejam ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ..... ( xn , yn ) as coordenadas dos CG dessas n reas

x1P + 1P CGCG1 CG2 CG3

M M

x y

Y (P + P2 + ..... + Pn ) = y1 P + y2 P2 + .... + yn Pn 1 1X (P + P2 + ..... + Pn ) = x1 P + x2 P2 + .... + xn Pn 1 1

CENTRO DE GRAVIDADE DE REAS COMPOSTASSendo a superfcie homognea e de espessura constante: CG=C

Y (P + P2 + .....+ Pn ) = y1P + y2 P2 + ....+ yn Pn 1 1

P = tA

X (P + P +.....+ P ) = x1P + x2P +....+ xn P 1 2 n 1 2 nY ( A1 + A2 + ..... + An ) = y1 A1 + y2 A2 + .... + yn AnY =

yi Aii =1 n

n

P = tA

Ai =1

=

Qx

Qx = yi Ai ou Qx = Y Aii =1

n

n

i

Ai =1

n

i =1

i

X ( A1 + A2 + ..... + An ) = x1 A1 + x2 A2 + .... + xn An

EXEMPLO DE REA COMPOSTA:

X=

x Ai =1 n i

n

i

Ai =1

=

Qy

Q y = xi Ai ou Q y = X Aii =1i =1

n

n

i

Ai =1

n

i

EX 1, 2, 3 e 4

CLCULO DO CENTRIDE POR INTEGRAOCoordenadas do centride (C) da superfcie:

x A = xdA

yA = ydA

Seja R a equao da curva que define a superfcie. R(x,y) : se R dada em funo das coordenadas cartesianas x e y; R(r,): se R dada em funo das coordenadas polares r e Se o elemento infinitesimal de rea dA for escolhido como sendo um retngulo (lados dx e dy), a soluo de xdA dada por uma integral dupla (integra-se em x e y)y

dAdx dy

R(x,y)

xdA = xdxdy

xO

yx

CLCULO DO CENTRIDE POR INTEGRAOPara evitar o clculo da integral dupla, quando se tem R(x,y) escolhe dA como um retngulo estreito e para R(r,) escolhe dA como um setor fino circular soluo de uma integral simples em x ou y ou simplifica o clculoyy

dA x xel

R(x,y)

a-x dAdA

R(x,y)x

y yyel

dy

R(r,)

yO

el

O

dx

x

x

xel

a

Coordenadas do centride do elemento de rea dA Fazendo-se o momento esttico de toda a rea igual soma (ou integral) dos momentos estticos de cada elemento de rea:Q y = x A = Q y el = xel dAel

(xel , yel )

Qx = yA = Qx el = yel dAel

CLCULO DO CENTRIDE POR INTEGRAOMomentos Estticos:Q y = xel dAel

Qx = yel dAel

Coordenadas do centride do elemento de rea dA Centride do retngulo: no seu centro.y

(xel , yel )

Integrais simples (em x, y ou ) para elementos retangulares ou em forma de setor circular

dA xR(x,y)

dA = ydx

Q y = xel dAel = xydx = xf ( x)dxQx = yel dAel =

xO

el

y

xel = xy yel = 2

ydx

el

y ydx = 2

( f ( x))2 dx2

x

Integrais simples em x Centride da superfcie: Qy Qx x= y= A A

rea da superfcie:A = dA = ydx = f ( x)dx

CLCULO DO CENTRIDE POR INTEGRAOCentride do retngulo: no seu centro; Centride do setor fino: distncia (2/3)r de seu vrtice.y

R (x ,y )

a -xx yO

dA = (a x )dydA

yel = yxel = x + ax a+x = 2 2

dA (tringulo)R(r,)

dy

yxel

el

x

a

Q y = xel dAel =

(a + x ) (a x )dy =2

[a

2

( f ( y ))2 dy 2

]

1 1 1 dA = bh = r (rd ) = r 2 d 2 2 2

Qx = yel dAel = y (a x )dy = y (a f ( y ) )dy

2r xel = cos 3

yel =

2r sen 3

A = dA = (a x )dy = (a f ( y ) )dy

x=

Qy A

y=

Integrais simples em y

Qx A

Ex 5 e 6