MB sem III [tryb zgodności] - arch.pg.edu.pl sem III.pdf · Charakterystyki geometryczne figur...
-
Upload
phungquynh -
Category
Documents
-
view
229 -
download
0
Transcript of MB sem III [tryb zgodności] - arch.pg.edu.pl sem III.pdf · Charakterystyki geometryczne figur...
2013-10-11
1
Prof. dr hab. in. JAROSAW PRZEWCKIJAROSAW PRZEWCKIpok. 364
Konsultacje: roda 1313 - 1500
Literatura:
Bielewicz E.: Wytrzymao materiaw.Dylg Z., Jakubowicz A., Oro Z.: Wytrzymao materiaw.Kolendowicz T.: Mechanika budowli dla architektw.Przewcki J., Grski J.: Podstawy mechaniki budowli.Pyrak S., Szulborski K.: Mechanika konstrukcji.Szymczak Cz., Skowronek M., Witkowski W., Kujawa M.: Wytrzymao materiaw. Zadania.
Obecno na wszystkich wykadach i wiczeniach jest obowizkowa i bdzie sprawdzana.
Zaliczenie przedmiotu uzyskuje si na podstawie wynikw dwch kolokwiw pisemnych i egzaminu.
Kolokwia oceniane s w skali punktowej 0 50 p W sumie
WARUNKI ZALICZENIA SEMESTR III
W zajciach mog uczestniczy jedynie Osoby znajdujce si na Listach Studenckich.
Kolokwia oceniane s w skali punktowej 0 - 50 p. W sumie z kolokwiw tych mona uzyska 0 100 p.
Przewiduje si moliwo poprawy kadego kolokwium wczasie sesji podstawowej lub poprawkowej (do uzgodnienia zestarost roku). Wynik tego kolokwium jest wicy.
Egzamin (pisemny) obejmuje cao materiau (sem. II i sem. III) i przeprowadzany jest w formie testu otwartego. Mona z niego uzyska 0 100 p.
Suma punktw z zalicze i z egzaminu ocena
110 124 3
Kocow ocen przedmiotu otrzymuje si zgodnie z tabel, napodstawie sumy punktw uzyskanych z kolokwiw zwykych (lubz kolokwium poprawkowego) w sem. III oraz z egzaminu.
Osoby, ktre uzyskaj z kolokwiw z semestrw II i III sum 150punktw mog by zwolnione z egzaminu, otrzymujc ocendobry.
110-124 3125-143 3+144-160 4161-174 4+175-189 5190-200 5+
Moliwe jest uzyskanie dodatkowych punktw za aktywno nazajciach.
2013-10-11
2
PROGRAM WYKADW: SEM. III 15 GODZ. 1-2. Wprowadzenie. Stan naprenia, ekstremalne wartoci
napre, koo Mohra.
3. Zwizki midzy napreniami i siami wewntrznymi. Stan odksztacenia.
4. Zwizki midzy napreniami i odksztaceniami.
5. Wymiarowanie konstrukcji: warunki wymiarowania, metodyprojektowania konstrukcji Rozciganie i ciskanie osioweprojektowania konstrukcji. Rozciganie i ciskanie osiowe.
6. Poczenia elementw konstrukcyjnych, cinanie techniczne.
7. Charakterystyki geometryczne figur paskich: momenty statyczne i rodek cikoci, momenty bezwadnoci figurpaskich, gwne osie i momenty bezwadnoci.
8. Zginanie proste, ukone, zginanie ze cinaniem, belki zoone.
9. Skrcanie swobodne. ciskanie - rozciganie mimorodowe,rdze przekroju.
10. Linia ugicia belek zginanych - rwnanie Eulera. Statecznoukadw prtowych.
11. Nono graniczna ukadw prtowych (osiowe rozciganie-ciskanie prtw, prty zginane).
12. Analiza statyczna i kinematyczna ukadw prtowych.
13 Zasada prac wirtualnych Przemieszczenia ukadw13. Zasada prac wirtualnych. Przemieszczenia ukadw prtowych.
14. Ukady prtowe statycznie niewyznaczalne - metoda si.
15. Ukady prtowe o symetrycznej budowie: obcienie symetryczne i asymetryczne.
PLAN WICZE W SEMESTRZE III 30 GODZ. Rozciganie, ciskanie osiowe 2 godz.
Poczenia elementw konstrukcyjnych. cinanie techniczne 1godz.
Momenty statyczne i bezwadnoci, wskanik wytrzymaoci 3godz.
Zginanie proste 2 godz.
Zginanie ukone 2 godz.
Zginanie ze cinaniem 2 godz.
Kolokwium nr 1 2 godz. ciskanie mimorodowe 2 godz.
Rdze przekroju 1 godz.
Metoda Eulera 2 godz.
2013-10-11
3
Przemieszczenia (zasada prac wirtualnych) 3 godz.
Metoda si w prostych ukadach statycznie niewyznaczalnych 4godz.
Nono graniczna 2 godz.
Kolokwium nr 2 2 godz.
ROZCIGANIE I CISKANIE OSIOWE
POCZENIA ELEMENTW KONSTRUKCYJNYCH. CINANIE TECHNICZNE
ZGINANIE CZYSTE M0,V=0,N=0
ZGINANIE PROSTE Mx0,My=0P
xMx
yZGINANIE ZE CINANIEM Mx0,Vy0
x y
c
Patew
ZGINANIE UKONE Mx0,My 0
Mx My
2013-10-11
4
SKRCANIE SWOBODNEe
P P
Ms=Pe
CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE z P
x
y
ezginanie
Zginanie i ciskanie
LINIA UGICIA BELEK ZGINANYCH - RWNANIE EULERA
STATECZNO PRTW
NONO GRANICZNA PRTW
UKADY PRTOWE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
A
B C
Model sprysto-plastyczny
A
B
Model liniowo-sprysty
OBLICZANIE PRZEMIESZCZE UKADW PRTOWYCH
METODA SI
UKADY PRTOWE O SYMETRYCZNEJ BUDOWIE
2J JJ
2013-10-11
5
ELEMENTY WYTRZYMAOCI MATERIAW
Wytrzymao materiaw zajmuje si wyznaczaniem napre, odksztace orazprzemieszcze w konstrukcjach i ich elementach wywoanych obcieniami, jakie na nie dziaaj.
Wytrzymao materiaw stanowi podstawWytrzymao materiaw stanowi podstawwymiarowania konstrukcji, czyli doborumateriaw i wymiarw poszczeglnych jej elementw w taki sposb, aby cay ustrj by bezpieczny, tj. zdolny do przeniesienia dziaajcych na obcie.
W wyniku wprowadzenia wielu upraszczajcych zaoe, zwizki wytrzymaoci materiaw pozwalaj na uzyskanie jedynie przyblionych rozwiza, ktre jednak w peni zaspokajaj potrzeby praktyki
Wytrzymao materiaw wie si cile z mechanik budowli (mechanik ogln). Jest to nauka zarwno o charakterze teoretycznym, jak i eksperymentalnym.
jednak w peni zaspokajaj potrzeby praktyki inynierskiej.
Badania dowiadczalne umoliwiaj nie tylko okrelenie waciwoci stosowanych materiaw, ale take weryfikacj poprawnoci wprowadzonych zaoe oraz wykorzystanych podstaw teoretycznych.
STAN NAPRENIA Jednymi z najwaniejszych poj mechaniki i wytrzymaoci materiaw s naprenia orazodksztacenia elementu.
P
P
P
P
A
N
s
NsA
=
Wymiarem naprenia jest paskal [Pa], czyli [N/m2]. W praktyce, naprenia najczciej wyraane s w megapaskalach [MPa].
A pole powierzchni przekroju prta naprenie
2013-10-11
6
Gdyby prt zosta przecity paszczyzn nachylon pod pewnym ktem do jego osi, zmieniaby si powierzchnia przekroju A, a wic zmianie ulegoby take naprenie s.
P
A
P
A1
P
A2
Pojcie naprenie jest zwizane z orientacj przekroju, na ktre dziaa. Naprenie jest wektorem.
s
NsA
=
s1
11
NsA
=
s2
A2
22
NsA
=
s
n
A
PKAK
cossin
ss
==
PK sia przypadajca naelement o powierzchni Abdcy otoczeniem punktu K. 0
lim KA
PsA
=
Napreniem normalnym nazywany jest rzut wektora naprenia s na kierunek prostopady do paszczyzny przekroju i oznacza si je przez .Napreniem stycznym (tncym lub cinajcym) nazywany jest rzut wektora naprenia s na kierunek styczny do paszczyzny przekroju i oznacza si je przez .
bdcy otoczeniem punktu K.
PRZESTRZENNY STAN NAPRENIA
K
K
x
z
y
K
x
y
z
xyxz
zxzy
yz
yx
Punkt materialny elementarny prostopadocian
K
2013-10-11
7
x
y
z
xyxz
Dodatnie kierunki napre
z
zyzx
y
yz
yx
xxy
xz
dz
dy
W elemencie prostopadociennym, o krawdziach rwnolegych do osi prostoktnego ukadu wsprzdnych, naprenia wystpi na wszystkich ciankach. Naprenia styczne rozkadamy na skadowe rwnolege do osi ukadu.
p
, , , , , , , , x y z xy yx xz zx yz zy
Skadowe napre stycznych prostopade do krawdzi przecicia si dwch przekrojw elementarnych wzajemnie prostopadych s zawsze rwne.
, , , , , x y z xy yx xz Sze skadowych stanu naprenia cakowicie okrela stan naprenia w danym punkcie. Za ich pomoc mona okreli naprenia na dowolnie poprowadzonej paszczynie przekroju.
Naprenie w danym punkcie jest wielkoci bardziej ogln ni wektor jest tzw. symetrycznym tensorem.
x xy xz
yx y yz
zx zy z
=
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
=
1
2
311 12 13
21 22 23
31 32 33
=
EKSTREMALNE WARTOCI NAPRE Paski stan naprenia (PSN) - obcienie paskiej, cienkiej tarczy wystpuje wycznie w paszczynie ukadu - w kierunku prostopadym do powierzchni tarczy nie wystpuj adne skadowe naprenia.
x
y
x x
y
xy
xyyx
Ax
yyx
xytarcza
A
xy
yx
wskanik naprenia normalnego x (y) oznacza o wsprzdnych do rwnoleg,
pierwszy wskanik naprenia stycznego xy (yx) oznacza o wsprzdnych prostopad do krawdzi, na ktrej to napreniedziaa, a drugi pokrywa si z oznaczeniem osi rwnolegej.
xy yx =Brak napre na ciance/ 1b l
2013-10-11
8
y
y
x
Dane: x, y i xy - poszukuje si napre w przekroju nachylonym pod ktem do poziomu: i .
cos sin 0x x xyP dy dx ds ds = + =sin cos 0y y xyP dx dy ds ds = + + =
Naprenia w dowolnie nachylonym przekroju
xdx
dy
y
xy
xy
cosdy ds =sindx ds =
cos 2 sin 22 2
x y x yxy
+ = + +
sin 2 cos 22
x yxy
= +
cos 2 sin 22 2
x y x yxy
+ = + +
n
n
( )sin 2 2 cos 2 0x y n xy nn
dd
= + =2
tg 2 xynx y
=
n - kt nachylenia prostej normalnej do tzw. przekrojugwnego, na ktry dziaaj tylko naprenia ekstremalne.
W praktyce, istotne jest okrelenie przekroju (kta nachylenia prostej normalnej do paszczyzny przekroju), na ktrym naprenia osigaj wartoci ekstremalne.
g g , y j y p Dla danej wartoci tangensa kta 2n istniej w zakresie od 0 do
2 dwie wartoci kta rnice si o .
2n2 2n1
1
tg2nPrzekroje te okrelone s przez kty n1 i n2 rnice si od siebie o /2.
Opisuj one dwa przekroje, na ktre dziaaj ekstremalne naprenia normalne.
2 n
yPrzekroje gwne s do siebie prostopade. Dziaajce na tych przekrojach naprenia normalne nazywaj si napreniamigwnymi 1 i 2 (1 > 2).
( )sin 2 2 cos 2 0x y n xy nn
dd
= + =
1sin 2 cos 2 02 2
x yxy
n
dd
= + = =
Naprenia styczne w przekrojach gwnych s rwne zeru.
Naprenia gwne przedstawiaj jednoczenie cakowite naprenia w danym przekroju.
n
2013-10-11
9
2 n Aby stwierdzi, ktremu z ktw odpowiada wiksze, a ktremumniejsze naprenie gwne, naley wyznaczy drug pochodnfunkcji () wzgldem .
( )2
12
2
02 cos 2 4 sin 2
0n
x y n xy nn
d
d
< =
y
Jeeli po podstawieniu wartoci napre x, y i xy oraz kta nachylenia do wzoru otrzyma si wyraenie mniejsze od zeranachylenia n1 do wzoru otrzyma si wyraenie mniejsze od zera, to kt n1 odpowiada wikszemu napreniu gwnemu.
( ) ( )( )2
122
2
cos 2 02 cos 2 1 tg 2
cos 2 0
x y n nx y n n
x y n n
d
d
> = + <
Po odpowiednich przeksztaceniach otrzymujemy alternatywnie
Wartoci napre gwnych otrzymamy podstawiajc tg2n do wzoru na
22
1 2 2x y x y
xy
+
= + +
22
2 2 2x y x y
xy
+
= +
x x
y
y
xy
xy
12
22
1,2 2 2x y x y
xy
+
= +
Suma napre normalnych w dwch wzajemnie prostopadych do siebie przekrojach nie zaley od orientacji elementu (jest niezmiennikiem).
2 2
1 2 x y + = +
12
t - kt nachylenia prostej normalnej do przekroju odpowiadajcemu ekstremalnym wartociom napre stycznych:
( ) ( )cos 2 2 sin 2 0 tg 2 2x y
x y t xy t tt xy
= = =
Ekstremalne wartoci napre stycznych
2
sin 2 cos 22
x yxy
= +
2ekstr 2
x yxy
= +
1 2
ekstr 2 = lub
4t n = +
Naprenia styczne osigaj wartoci ekstremalne w paszczyznach nachylonych pod ktem 450 w stosunku do przekrojw gwnych.
1
12
2450 ekstr
ekstr (x+y)/2
(x+y)/2
2013-10-11
10
KOO MOHRA
cos 2 sin 22 2
x y x yxy
+ = + +
sin 2 cos 22
x yxy
= +
2 2
cos 2 sin 22 2
x y x yxy
+ = +
22 sin 2 cos 2
2x y
xy
= +
2 22 2
2 2x y x y
xy
+
+ = +
( )2 2 2x a y r + =
Powysze wyraenie przedstawia rwnanie okrgu w ukadzie wsprzdnych (, ), zwane koem Mohra. Pozwala ono na graficzne wyznaczenie wartoci i kierunkw napre gwnych.
1
2
xy
2 xy
n1n2
O2n1
12
x y 2
x y +
2 22 2
2 2x y x y
xy
+
+ = +
czc punkt (x, xy) ze rodkiem koa otrzymamy jego promie.
Obieramy prostoktny ukad wsprzdnych (, ). Na osi odkadamy wartoci x i y.
W punkcie (0, x) odmierzamy w kierunku pionowym naprenie styczne xy.
Wyznaczamy rodek koa Mohra, ktrego odcita wynosi(x+y)/2.
1
x x
y
y
xy
xy
12
21
2
xy
2 xy
n1n2
O2n1
1Wsprzdne punktw koa Mohra przedstawiaj wartoci napre normalnych i stycznych w dowolnie nachylonych
k j hprzekrojach.
Maksymalne naprenie styczne wystpuje w punktach, ktrymodpowiada naprenie normalne =(1+2 )/2.
Koo przecina o w punktach, dla ktrych naprenia styczne s rwne zeru, a naprenia normalne osigaj wartoci ekstremalne. Punkty te wyznaczaj naprenia gwne. Kierunek wikszego naprenia gwnego 1 otrzymamy czc punkty (0, 2 ) i (x , xy ). Kierunek naprenia 2 jest do prostopady.
2013-10-11
11
Wyznaczy analitycznie i graficznie naprenia gwne i maksymalne naprenia styczne oraz ich kierunki w punkcie, w ktrym naprenia maj nastpujce wartoci: x = 200 kPa,y = 100 kPa i xy = 50 kPa.
x=200
y=100
x=200xy=50
xy=50
22
1
22
2
200 100 200 100 50 220,7 kPa2 2
200 100 200 100 50 79,3 kPa2 2
+ = + + =
+ = + =
0 01 2
2 50tg 2 1 22,5 , 112,5200 100n n n
= = = =
y=100
( ) 0 02 200 100 cos 45 4 50 sin 45 282,8 0 =
Przestrzenne rwnomierne ciskanie
1 2 3 0 = = = < 12
3
21
12
3
21
3
3
Paskie rwnomierne rozciganie
Paskie rwnomierne ciskanie
1 2 30 , 0 = = > =
1 2 30 , 0 = = < =
1
2
1
2
1
2
1
2
Jednoosiowe rozciganie
1 2 30 , 0 = > = =
1 =xy
1 =x
x
1 =
xy
y
Czyste cinanie paski stan naprenia
( )1 2 1 2 3 , 0 , , 0 = = > = =
21
1
2
1
2
cos 2 , cos 2 , sin 2x y xy = = =
xyxy
2
12
Naprenia normalne w paszczyznach najwikszych napre stycznych nachylonych do kierunkw gwnych pod ktem 450 s rwne zeru. Wystpuj tu tylko naprenia styczne:
max 1 2 = = =
2
xyxy
2
1
max450
maxmax
045
Przy odpowiedniej orientacji osi stan naprenia mona opisa podajc wycznie wartoci napre stycznych.
1
2
1
2
2013-10-11
13
ZWIZKIMIDZYNAPRENIAMIISIAMIWEWNTRZNYMI
xz
AO
y
Vx
Vy
Nx
y
z
zy
AO
zx zK
zA
N dA=
IndeksA przysymbolucakioznacza,icakowanieobejmujecaepoleprzekroju.
x
y
z
R
MO
AO
xz
AO
y
Mx
My
Ms
x zA
M ydA=
x zxA
V dA=
( )s zy zxA
M x y dA =
y zyA
V dA=
y zA
M xdA= Wzoryte niepozwalajnajednoznacznewyznaczenierozkadu(funkcji)napreprzyznanychwartociachsiwewntrznych.Dlatychsamychsiwewntrznychmonabowiemotrzymarnerozkadynapre.Ichwyznaczeniejestjednymzpodstawowychzadawytrzymaocimateriaw.
STANODKSZTACENIAOdksztacenie nazywamy sprystym,gdypousuniciuobcieniaodksztacenieznika,akonstrukcjapowracadoswojejpierwotnejpostaci TEORIASPRYSTOCIOdksztacenia trwaelub plastyczne nieznikajpoodcieniukonstrukcji TEORIAPLASTYCZNOCI
Rozciganie ciskanieosiowezachodzi,jeeliniezerowestylkosiypoduneN. Gdysiytesdodatnie,towystpujerozciganie,agdyujemne ciskanieujemne ciskanie.
N>0 N
2013-10-11
14
DEFORMACJA PASKIEGOELEMENTU
v
u
xy
yx
A B
D C
y
x
y k
A
D C
Bxkx
Przyrostdugocielementu ku x x = Zmiana postacielementu tg , tgyx xy
u v = =
tg xy xy
tg p g , gyx xyy x tg yx yx
Odksztaceniemjednostkowympodunym nazywasizmianwymiaruelementuwzduosix (y)przypadajcnajednostkdugoci
0lim x x
u ux x
= =
0lim y x
v vy y
= =
Odksztaceniempostaciowymnazywasizmianksztatuelementunaskutekzmianyktw
0, 0limxy yx yx xy x y
u v u vy x y x
= = + = + = +
Wartoci i kierunki odksztace gwnych
n kt nachylenia tzw.przekroju gwnego,na ktry dziaaj tylkoodksztacenia podune.
Dla paskiego stanu odksztacenia aktualna pozostaje take konstrukcja koa Mohra przy czym na osi pionowej naley
22
1,21
2 2 4x y x y
xy
+
= +
tg 2 xyox y
=
konstrukcja koa Mohra, przy czym na osi pionowej naley odmierza warto xy/2.
1
/2
2
xy/2
2 xy
n1n2
O2n1
1
1
2
Dodatnia konwencja zgodnie ze zwrotami i.
x
y
xy
yx
1
1
ZWIZKI MIDZY NAPRENIAMI A ODKSZTACENIAMI
Zwizki midzy napreniami a odksztaceniami dla danego materiau, np. stali lub betonu, okrela si na podstawie prb wytrzymaociowych przeprowadzanych w laboratorium. Standardowym badaniem wytrzymaociowym jest tzw. statyczna prba jednoosiowego rozcigania prbki materiau w ksztacie walca, w maszynie zwanej zrywark.
Maszyna wytrzymaociowa do prby rozcigania
Prbka zamocowana w szczkach maszyny wytrzymaociowej
2013-10-11
15
RpRs Rpl
Rr
Obcienie
Odcienie
=P/A
RuB
C D
Przewenie szyjka na rozciganej prbce
Rp granica proporcjonalnoci,Rs granica sprystoci,Rpl granica plastycznoci,Rr granica wytrzymaoci
na rozciganieRu naprenie zrywajce.
pl =l/lA E
Miejsce zerwania prbki
Rc
Rr
ciskanie
Rozciganie
Granica wytrzymaoci betonu na ciskanie Rc jest znacznie wiksza (1012 razy) od granicy na rozciganie Rr.
Wartoci granicy plastycznoci i wytrzymaoci dla typowych materiaw konstrukcyjnych
dla typowych materiaw konstrukcyjnychMateria Granica
plastycznoci[MPa]
Granica wytrzymaoci[MPa]
rozciganie ciskanieStopy aluminium 90 300 90430 90430Stal 195 440 315720 6001400Beton 0,53 550Cega 0,53 515Drewno wzdu wkien 4090 2550Drewno w poprzek wkien 4 515
Prekursorem bada dowiadczalnych cia sprystych by Robert Hooke, ktry w 1678 roku sformuowa prawo sprystoci.
E - wspczynnik proporcjonalnoci (modu Younga, wspczynnik sprystoci.
x x
yx
yxyx
xyxy
xy
yE =
xyxy
xy
yx
yx
= +y
, xx E
=
, xy E
=
,, yy E
=
,, yx E
=
- wspczynnik Poissona,
( ), ,, 1x x x x yE = + =
,2 2
yx xyyx xyG G
= =
( )2 1EG
=
+
G - modu cinania (modu odksztacenia postaciowego)
2 2xy yx xy
xy xy yx G G G
= + = + =
2013-10-11
16
Robert Hooke zapisa si w historii Londynu rwnie jako wietny architekt. Po poarze miasta w 1666 roku znalaz si w komisji odbudowujcej miasto i wedug jego projektw wzniesiono wiele budynkw i paacw.
Wynalaz i skonstruowa kilkadziesit przyrzdw naukowych (m.in.): pompa prniowa, barometr sprynowy, termometr, higrometr, deszczomierz, poziomnic, mikroskop, teleskopzwierciadlany, wiatromierz, gbokociomierz itp.
H k d i i t i t dk iHooke prowadzi nieustanne spory o pierwszestwo odkry, m.in. z Newtonem o odkrycie prawa cienia. Uwaa, i zosta okradziony z odkrycia tego prawa.
Za spraw Isaaca Newtona, ktry postanowi wymaza go z pamici potomnych, nie wiadomo jak Hooke wyglda. Zaraz po mierci Hooke'a prezesem Royal Society zosta wanie Newton. Przy przenosinach Royal Society do nowej siedziby, w niewiadomych okolicznociach zagin jedyny portret Hooke'a oraz wikszo instrumentw, ktre wynalaz i wykona.
Uoglnione prawo Hookea
lub
( )
( )
1
1
x x y
y y x
xyxy
E
E
G
=
=
=
( )
( )2
2
1
1
x x y
x y x
xy xy
E
E
G
= +
= +
=
Materia sprysty charakteryzuj dwa niezalene parametry E i . Na ich podstawie mona wyznaczy modu cinania G. Wspczynnik Poissona zmienia si w granicach od 0 dla materiaw ciliwych (korek) do 0,5 dla materiaw nieciliwych (kauczuk). Wspczynnik ten dla wikszoci materiaw konstrukcyjnych przyjmuje wartoci pomidzy 1/4 a 1/3.
Wartoci moduu Younga i wspczynnika Poissona dla podstawowych materiaw konstrukcyjnych
Materia Modu Younga E [MPa]
Wspczynnik Poissona
Stopy aluminium 0,290,33Stal 0,30Beton 0,160,2
(77,5)1042,1105
(1,14)104Cega Drewno wzdu wkien Drewno w poprzek wkien
(24)103(914)103(110)102
2013-10-11
17
WYMIAROWANIE KONSTRUKCJI
Materia wykorzystany do wykonania konstrukcji nie moe by obciony do granicy plastycznoci czy wytrzymaoci. Z uwagi na to, e dane dotyczce obcienia, waciwoci stosowanych materiaw czy wymiarw poszczeglnych elementw s zawsze obarczone pewnym bdem, konieczny jest odpowiedni zapas bezpieczestwa.
Dc do minimalnego nakadu kosztw, przy minimalnym i t i b t d b i t j tzuyciu materiaw, zbyt duy zapas bezpieczestwa jest
rozwizaniem nieekonomicznym.
Waciwy dobr zapasu bezpieczestwa jest podstawowym problemem w projektowaniu konstrukcji.
Zagadnienie to wci nie jest cakowicie rozwizane i jest przedmiotem bada nowo powstaej nauki teorii bezpieczestwa konstrukcji. Gwn trudno sprawia statystyczny charakter danych niezbdnych do wyznaczenia zapasu bezpieczestwa.
Podstawowym celem wytrzymaoci materiaw jest bezpieczne wymiarowanie konstrukcji. Aby konstrukcja bya dostatecznie bezpieczna musz by spenione trzy podstawowe warunki: wytrzymaoci, statecznoci i sztywnoci.
Warunki wymiarowania
Metody wymiarowania konstrukcji zawarte w procedurach i normach obliczeniowych musz te warunki uwzgldnia.
P
P
Warunek wytrzymaoci
Pr sia zrywajaca okrelona napodstawie dowiadczenia,n > 1 - wspczynnik bezpieczestwa.
P = PrrPP
n
Warunek statecznoci
P P
J li i i i t k t P t i
PW
aO
b
wM Pb= uM Wa=u
w
M nM
Jeeli sia osignie pewn warto krytyczn Pkr, wystpi nage, niekontrolowane wygicie supa, zwane wyboczeniem. Ukad staje si wwczas niestateczny, co jest rwnoznaczne ze zniszczeniem konstrukcji.
P
2013-10-11
18
Warunek sztywnoci
ymaxl l
ymax
maxlym
Warunek wytrzymaoci zwizany jest z waciwociami fizycznymi wykorzystanego materiau. Warunki statecznoci i sztywnoci dotycz konstrukcji jako caoci lub jej wybranych elementw.
m - wspczynnikiem liczbowym okrelony w normach (znacznie wikszy od jednoci, np. m = 400).
Warunki wymiarowania musz zosta uwzgldnione w metodach, na podstawie ktrych projektuje si konstrukcje.
METODY PROJEKTOWANIA KONSTRUKCJI
METODA STANW GRANICZNYCHWytrzymaoci obliczeniowe - otrzymuje si przez podzielenie granicy plastycznoci (rzeczywistej lub umownej) bd granic wytrzymaoci przez odpowiedni wspczynnik bezpieczestwa(n > 1). ( )Obcienia obliczeniowe - wartoci charakterystyczne (zestawione w normach) mnoy si przez odpowiednie wspczynniki czstkowe (rwnie podane w normach).
Jako graniczne okrela si takie stany, po osigniciu ktrych konstrukcja lub jej elementy przestaj spenia postawione im wymagania. stany graniczne nonoci, stany graniczne uytkowania (uytkowalnoci).
Stan graniczny nonoci spowodowany zniszczeniemprzekrojw konstrukcji, polega na porwnaniu napre sobl,wywoanych tzw. obcieniem obliczeniowym i wytrzymaociobliczeniowej fd:
:
Pobl - maksymalne obcienie obliczeniowe dziaajce nakonstrukcj,R bli i t i k t k ji
obl df ( ) ( )S F R FWg normy
obl dP R
Rd nono obliczeniowa materiau konstrukcji.
Stan graniczny uytkowania (uytkowalnoci) polega przede wszystkim na sprawdzeniu ugi, czyli porwnania ich z ugiciami dopuszczalnymi (spenienie warunku sztywnoci). W niektrych konstrukcjach, np. elbetowych, sprawdza si take inne stany graniczne uytkowania, jak np. pojawienie si nadmiernych rys w elementach betonowych lub murowanych.
dopa aWg normy
2013-10-11
19
ROZCIGANIE I CISKANIE OSIOWE
Pknicie
Przykady awarii rozciganych i ciskanych elementw konstrukcyjnych
ciskanie
Rozciganie
Badania laboratoryjne
2013-10-11
20
ciskanie
Rozciganieciskanie
Rozciganie
ciskanieKonstrukcjemostoweidealne
g
ciskanieRozciganie
ciskanie
P Pxy
N
Zaoenia: w przekrojach prostopadych do osi prta wystpuj tylkonaprenia normalne,
Osiowe rozciganie (ciskanie) zachodzi wtedy, gdy w prcie wystpuje tylko sia poduna.
N
naprenia normalne rozoone s rwnomiernie w przekroju.
x xA
N dA A = = dN fA =
E modu Younga, A pole przekroju poprzecznego prta,fd wytrzymao obliczeniowa (fcd ciskanie, ftd rozciaganie).
x
y
NE EA
NEA
= = =
= =
( )
( )
1
1
x x y
y y x
xyxy
E
E
G
=
=
=
Uoglnione prawoHookea (PSN)
x = , y = 0
STAN JEDNOWYMIAROWY
dudx
=J d tk dk t i dx
Cakowitego wyduenia prta o dugoci l
0 0
l l N Nlu dx dxEA EA
= = =
Jednostkowe odksztacenie podune
0lim x x
u ux x
= =
0lim y y
v vy y
= =
EA sztywno prta na rozciganie (ciskanie)
dopu l
Prt zbudowany z odcinkw o rnych przekrojach 1
ni i
ii
N lu
EA==
2013-10-11
21
Budowa wzorw teorii jednoosiowego rozcigania i ciskania pozwala nie tylko na odpowiednie wymiarowanie elementw konstrukcyjnych, ale i na dowiadczalne wyznaczenie parametrw sprystych, czyli wspczynnika Poissona i moduu Younga E.Statyczna prba jednoosiowego rozcigania
L wyduenie prbki,
=L/L0 jednostkowe wyduenie,p=d/d jednostkowe zwenie,
P = N sia rozcigajca.d rednica prta,
Modu Younga okrela si w pierwszej fazie badania, odczyty wyduenia i zwenia prbki dokonuje si dla rnych wartoci siy P, a uzyskane z oblicze parametry spryste urednia si.
p
= Wspczynnika Poissona
/ 0 j y ,
E
=
POCZENIA ELEMENTW KONSTRUKCYJNYCH. CINANIE TECHNICZNE
Elementy konstrukcji metalowych s czone w cao za pomoc rub, nitw i spaww. W konstrukcjach drewnianych wykorzystywane s gwodzie, klamry lub inne specjalne czniki. Coraz czciej stosowane s poczenia klejone.
Sydney Opera House
Klej epoksydowy
Sydney Opera House
Prefabrykowane elementy powokowe
2013-10-11
22
Wiea Eiffel'a - nity
Przykady pocze zniszczonych
Stan obcienia lub naprenia wywoujcy powstanie wycznie odksztace postaciowych nazywamy czystym cinaniem. W przypadku ukadw prtowych, naprenia styczne wynikaj z dziaania siy tncej. Sia ta jest pochodn momentu zginajcego, zatem realizacja stanu obcienia z udziaem tylko siy tncej nie jest moliwa bez wystpienia momentu zginajcego. cinanie wystpuje zatem tylko ze zginaniem, wywoanym momentem zginajcym. Czyste cinanie zakada si w przypadkach, gdy wpyw zginania jest odpowiednio may. Praktycznie, zaoenie takie jest uzasadnione w niektrych poczeniach elementw konstrukcyjnych.
P
Pt/2t/2
t/2t/2
PP t/2
t/2
t/2t/2M
M
M=Pt/2T0
2013-10-11
23
Rodzaje pocze w zalenoci od dziaajcego na nie ukadu si
Ukad si zbienych
Ukad si dowolnych
P P
M
O wytrzymaoci pocze elementw konstrukcyjnych decyduj przede wszystkim siy poprzeczne. Wystpujcy w cznikach stan wywoany przez naprenia styczne nazywany jest cinaniem technicznym.
Zaoenia: w przekroju cznika wystpuj tylko naprenia styczne, naprenia styczne rozoone s rwnomiernie.
vdP fA
=
P sia powodujca cinanie,A cakowite pole powierzchni
przekroju poczenia,fvd wytrzymao obliczeniowa
na cinanie.
P
P
PPA
POCZENIA RUBOWE
2013-10-11
24
Nity
ruby
P P
PP/2
P/2
d
d=P/A
t2t1
t1
ruby (nity) dwucite
1) cinanie
Obliczenia pocze rubowych polegaj na okreleniu niezbdnej liczby rub n i ich wymiarw (rednicy d) tak, aby poczenie byo wystarczajco bezpieczne.
vdP f
mnA =
A = d2/4 pole przekroju poprzecznego ruby, fvd wytrzymao obliczeniowa na cinanie materiau, z ktregowykonana jest ruba.
n liczba rub,m liczb paszczyzn cinania,
We wzorze na naprenia styczne wystpuj dwieniewiadome n i A.
Nono obliczeniowa ruby sia, ktr moe przenie pojedyncza ruba
vdP f
mnA =
Przy wymiarowaniu poczenia rubowego naley z gry przyjjedn z tych wielkoci. Najczciej przyjmuje si jako danyprzekrj A (rednic d) i oblicza potrzebn liczb rub wpoczeniu.
2
4t vd vddN mAf m f= =
Potrzebna liczba cznikw
t
PnN
2013-10-11
25
2) Docisk ruby
Zakada si, e naprenia dociskowe rozkadaj si w sposbrwnomierny take wzdu rednicy rednicy d.
PP/2
P/2
Strefazgniotud
PP/2
P/2t2t1
t1
Strefyzgniotu
d
mincd
d
P fn dt
=
nd liczba rub,fcd wytrzymao obliczeniow na ciskanie materiau blachy lub ruby.
Grubo blach tmin dobiera si w takisposb, aby uzyska jak najmniejszwarto pola powierzchni przekroju,np. tmin = 2t1lub tmin = t2.
d
3) Zerwania blachy
tmin
d
b
( ) min tdpP f
b n d t =
b szeroko przekroju blachy, np liczba rub w przekroju, tmin minimalna grubo blachy, ftd wytrzymao obliczeniowa na rozciganie materiau, z ktrego wykonana jest blacha.
Spoiny czooweSpoiny pachwinowePOCZENIA SPAWANE
2013-10-11
26
SPOINY CZOOWEP
PP
P
Spoinaczoowa
t
b
tdP s f
b t =
ftd wytrzymaoobliczeniowanarozciganiespoiny,s wspczynnik zmniejszajcys wspczynnikzmniejszajcy.
Wytrzymaoobliczeniownarozciganiespoinyprzyjmujesimniejszodmateriauczcego,zuwaginaniejednorodnomateriauspoiny,niedokadnopoczeniaspoinyzmateriaemblachyczykoncentracjnapre.
Wprzypadkuciskaniazakadasi,espoinapracujejakmateriablachyiobliczeniespoinyjestzbyteczne.
Sprawdzenie napre w spoinie czoowej.
sP
PP
P b
Spoinaczoowa
t
l
b
2cos cos cos tdP P P s fA lt bt
= = =
sin sin sin cos vdP P P s fA lt bt
= = =
, cos cos
bA lt b l l
= = =
PP
Podunaspoinapachwinowa
Poprzecznaspoinapachwinowa
Spoiny pachwinowe
t
Powierzchniacicia
t
P P
l0
Spoinapachwinowa
t
t
Spoina
a
02vd
P s fal
= s wspczynnik zmniejszajcy
2013-10-11
27
bh
c cd
PP
P
POCZENIA CIESIELSKIE
Poczenia ciesielskie oblicza si, tak jak poczenia metalowe, przyzaoeniu rwnomiernego rozkadu napre w danej paszczynie.
cicie vdP f
c b =
Rozerwanie
2
tdP f
h d b =
c c
h d0,5(h-d)
Docisk cdP f
d b =
RYSY I SPKANIA PRZY CINANIU
Obcienie od wiatru
Poziome pknicie
Zaoenie intuicyjne nieprawidoweH RR Zaoenie intuicyjne nieprawidoweR
R/2
R/2
R/2
R/2H/2 H/2
H/2 H/2 Spkaniaodobciesejsmicznych
Pole powierzchni przekroju A = A1 + A2 + + An = Ai
CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PASKICH
xz
y
c
x x
Pole, A
A1
A2
y1y2
An
ynycc
Moment bezwadnoci figury wzgldem osi x:
Jx = A1(y1)2 + A2(y2)2 + + An(yn)2 = (Ai) (yi)2 [m4]
Moment statyczny figury wzgldem osi x:
Sx = A1 y1 + A2 y2 + + An yn = Ai yi [m3]
Rzdna rodka cikoci: yc = SxA
2013-10-11
28
AdA
y
yyc
x
xxc
r A
A dA=
MOMENTY STATYCZNE figury paskiej wzgldem osi x i y
,x c y cS ydA y A S xdA x A= = = = ,x c y cA A
S ydA y A S xdA x A
Pooenia rodka cikoci pola figury
Momenty statyczne mog przybiera zarwno wartoci dodatnie, jak i ujemne. Moment statyczny figury wzgldem osi przechodzcych przez jej rodek cikoci rwna si zeru. Osie takie nazywaj si osiami centralnymi (rodkowymi) pola.
, y xc cS S
x yA A
= =
W przypadku, gdy figura paska ma jedn o symetrii, to jej rodek
Figury o symetrycznych ksztatach
p yp , g y g p j y , j jcikoci ley na tej osi. Jeeli figura ma dwie osie symetrii, to jej rodek cikoci znajduje si w punkcie ich przecicia.
rodek cikoci figur o antysymetrycznym ksztacie
Moment statyczny przekroju zoonego wzgldem osi x i y
x i ciS A y= y i ciS A x=
Ai - pola powierzchni figur skadowych,xci, yci - pooenie rodkw cikoci tych figur.
i cic
i
A xx
A=
i ci
ci
A yy
A=
Pooenie rodka cikoci przekroju zoonego
2013-10-11
29
i cic
i
A xx
A=
i ci
ci
A yy
A=
y
4
6A1
A2c2c13
2
y
56
A
A2 c2c13
4
Pole ujemne
2 6 1 6 4 5 3,672 6 6 4c
x + = +
2 6 3 6 4 2 2,332 6 6 4c
y + = +
8 6 4 6 2 5 3,678 6 6 2c
x =
8 6 3 6 2 5 2,338 6 6 2c
y =
0 1 2 5 8x
2
0 4 5 8x
A1
AAy
yyc
x
xxc
r
Momenty bezwadnoci wzgldem osi
MOMENTY BEZWADNOCI
lub 2 2I y dA I x dA= = 2 2J dA J dA
Odrodkowy moment bezwadnoci wzgldem osi (moment dewiacyjny) xy A
J xydA= Biegunowym moment bezwadnoci wzgldem pocztku ukad
20 x y
A
J r dA J J= = +
Promie bezwadnoci ,xxJiA
=y
yJ
iA
=
lub ,x yA A
I y dA I x dA= = 2 2,x yA A
J y dA J x dA= =
Momenty bezwadnoci przekrojw poprzecznych elementwdecyduj o sztywnoci, a w konsekwencji o nonoci konstrukcji.
JxII > JxI
JxI
x
y
Im wikszy moment bezwadnoci tym mniejsze ugicie belki (wiksza sztywno)
JxIIx
y
2013-10-11
30
Wasnoci momentw bezwadnoci figur paskich
Wartoci momentw bezwadnoci Jx, Jy, J0 s zawsze dodatnie.
Momenty odrodkowe Jxy mog przybiera wartoci dodatnie, ujemne lub rwne zeru.
Odrodkowy moment pola wzgldem ukadu osi, z ktrych chocia jedna jest osi symetrii figury, rwny jest zeru.
Momenty bezwadnoci wzgldem osi, dla ktrych odrodkowy moment bezwadnoci jest rwny zeru zwane s gwnymi momentami bezwadnoci, a w przypadku gdy osie te sosiami rodkowymi nazywane s gwnymi rodkowymi (centralnymi) momentami bezwadnoci i oznaczane J1 , J2.
Jednostk momentw bezwadnoci jest [m4].
Figury bisymetrycznePrzypadki symetrii
Figury monosymetryczne
Figury majce wicej ni dwie osie symetrii kady kierunek jest dla nich kierunkiem gwnym
dA=bdy
dyh
xO
y
yb y
h
x
dA=hdx
O
b
x dx
0
2 3 3
0
1 13 3
hh
xJ y bdy by bh= = =0
2 3 3
0
1 13 3
bb
yJ x hdx hx hb= = =
Aby wyznaczy moment odrodkowy naley przyj inny element powierzchni dA.
2013-10-11
31
y
dxdy
h
x
dA=dxdy
O
b
x
y
0 0
2 2 3 3
0 0 0 0
1 13 3
b hb h b h
xJ y dxdy dx y dy x y bh= = = =
0 0
2 2 3 3
0 0 0 0
1 13 3
h bb h h b
yJ x dxdy dy x dx y x b h= = = =
0 0
2 22 2
0 0 0 0
1 12 2 4
b hb h b h
xyb hJ xydxdy xdx ydy x y= = = =
r r
dA=2d
x
y
r r
42 2 3
00 0
2 2 2
r r
A
rJ dA d d = = = =
0 , =2x y x y xJ J J J J J= = +
4
4xrJ =
Momenty bezwadnoci w ukadzie wsprzdnych przesunitym rwnolegle wzgldem ukadu, ktrego pocztek pokrywa si ze rodkiem cikoci rozpatrywanej figury.
A
yc
y
c dA
y ,c cx x y y = + = +
xc xx
( ) ( )2 2 2 2 22 2x c c c c cA A A A A
J y dA y y dA y dA y dA dA = + = + + = + +
0 ,A
dA = 2 ,A
dA J =A
dA A= 22
x c
y c
xy c c
J J Ay
J J Ax
J J Ax y
= +
= +
= +2x cJ J Ay= + Wzory Steinera
2013-10-11
32
h
b
h/2
b/2C
x
y
O
23 3
3 2 12b h b b hJ bh
= =
2 20
4 2 2b h b hJ bh = =
23 3
3 2 12bh h bhJ bh
= =
3bh
Momenty bezwadnoci przekroju zoonego:
,ix xJ J= ,iy yJ J= 0 0iJ J= ,ixy xyJ J=
12bhJ =
3
12b hJ =
Pola ujemne
hi
bi bi
Pole dodatnie
bo
ho
3 30 0 212 12
i ix
b h b hJ =
Dwuteownik
x
3I 0 0
12xb hJ =
3II 2
12i i
xb hJ =
12 12x 12x 12x
Przy obliczaniu momentw bezwadnoci przekrojw cienkociennych pomija si wyrazy zawierajce wysze ni pierwsza potgi wielkoci (grubo cianki).
teownik
ktownik
ceownik
P k j P k j k k
Przekrojem cienkociennym nazywamy przekrj skadajcy si z figur, ktrych jeden wymiar jest duo wikszy od drugiego.
Przekrj ceowy Przekrj skrzynkowy
Ktownik rwnoramienny Przekrj rurowy
2013-10-11
33
Przekrojem cienkociennym jest take przekrj skadajcy si z dwch lub wicej blach. Przekrj taki nazywa si blachownic. Poszczeglne blachy czy si najczciej za pomoc rub lub spawania.
Ayc
xc
a
x
y
0
2x cJ a y=
32
12y caJ a x = +
y
x
z
( )
3222 2
2
sin sin12
a
xaA
aJ y dA z dz
= = = 3
2cos12yaJ =
3
sin cos12xyaJ =
3
0 0 , 12x yaJ J = = =
( )33
2 2 3
212 12
3 6 46
x
a babJ
a b b
= =
= +
b
a
x
2aba J 2x
a J
23
212 2x
a bJ a = +
b
a
x2
2a b
2013-10-11
34
( ) ( )33 2 212 12x
a ba bJ
= =
b
a
x b
a
x
2 2 3 3 2 2 31 3 6 4 6 126
a b a b a b b b = + + + 2 3
, 2 6x
a b ba b J +
23 3
212 2 12x
a b bJ a = + +
2 3
2 6a b b
+
Gwne osie i momenty bezwadnoci
x
y
y
xA
dA
cos sincos sin
x yy x
= +=
( )22 2 2cos sin cos sin sin 2x y xyA A
J dA y x dA J J J = = = +
( )22 2 2cos sin sin cos sin 2x y xyA A
J dA x y dA J J J = = + = + +
( )( ) ( )1cos sin cos sin sin 2 cos 22 x y xyA A
J dA x y y x dA J J J = = + = +
x yJ J J J + = +Dodajc dwie pierwsze zalenoci
Kontrola poprawnoci uzyskanych wynikw
Pooenie osi, dla ktrej moment bezwadnoci J przyjmie warto ekstremaln - poszukiwane ekstremum funkcji.
cos 2 sin 22 2
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x yxy
x y x yxy
x yxy
J J J JJ J
J J J JJ J
J JJ J
+ = +
+ = +
= +
p j
02
t g2 xyx y
JJ J
=
sin 2 cos 2 02
x yxy
J JdJJ
d
= =
Osie, wzgldem ktrych momenty bezwadnoci osigaj wartoci ekstremalne, nazywaj si gwnymi osiami bezwadnoci. Odpowiadaj im gwne momenty bezwadnoci
22
1,2 2 2x y x y
xyJ J J J
J J+
= +
2013-10-11
35
O obrcona o kt 0 - odpowiada maksymalnej wartoci momentu bezwadnoci, jeeli speniony bdzie warunek
( ) 0cos 2 0x yJ J >Dla ukadu wsprzdnych o osiach pokrywajcych si z gwnymi osiami bezwadnoci, odrodkowy moment bezwadnoci ma zerow warto Jxy = 0. Jeeli gwne osie bezwadnoci przechodz przez rodek cikoci figury, to nazywaj si gwnymi centralnymi osiami bezwadnoci.gwnymi centralnymi osiami bezwadnoci.
Jeeli figura paska posiada o symetrii, to gwna centralna o bezwadnoci pokrywa si z t osi. Druga gwna centralna o bezwadnoci jest do prostopada.
Niezmiennikiem nazywamy tak wielko fizyczn, ktra nie zmienia swojej wartoci przy obrocie ukadu wsprzdnych.
1 2+ = +x yJ J J J2
1 2= x y xyJ J J J J
Algorytm wyznaczenia pooenia osi gwnych orazobliczenia wartoci gwnych momentw bezwadnoci zoonej figury paskiej1. Obliczy pole przekroju A figury, rozkadajc j na figury proste.
y xS S
3. Obliczy momenty statyczne Sx1, Sy1 (jako sumy lub rnicemomentw statycznych figur skadowych) wzgldem przyjtychosi x1, y1.
2. Przyj dowolny ukad osi wsprzdnych x1, y1.
5. Obliczy momenty bezwadnoci figury Jx1, Jy1, Jx1y1 wzgldemprzyjtych osi x, y (jako sumy lub rnicy momentw bezwadnoci prostych figur skadowych, ze szczeglnymuwzgldnieniem znakw (+/-) dla momentw odrodkowych.
4. Okreli pooenie rodka cikoci figury: 1 1 , y xc cS S
x yA A
= =
6. Obliczy momenty bezwadnoci wzgldem osi rodkowych zewzorw
2 21 1 , x x c y y cJ J A y J J A x= =
7. Okreli pooenie osi gwnych ze wzoru 02
t g2 xyx y
JJ J
=
8. Obliczy wartoci gwnych rodkowych momentwbezwadnoci ze wzorw:
22
1 2 2x y x y
xyJ J J J
J J+
= + +
22
2 2 2x y x y
xyJ J J J
J J+
= +
9. Narysowa w skali figur wraz naniesionymi ukadami ositk h dk h i t l h hpocztkowych, rodkowych i centralnych gwnych.
10. Przeprowadzi kontrol wartoci momentw bezwadnoci:
1 1 1 2, , , , , 0x y x yJ J J J J J >
11. Przeprowadzi kontrol niezmiennikw momentwbezwadnoci:
1 2+ = +x yJ J J J2
1 2= x y xyJ J J J J
2013-10-11
36
( )
( )
12 220 2 1 12 2 2 22 3 cm
20 2 12 2 2cx
+ + = =
+
( )( )
2020 2 12 2 2 12 7 cm
20 2 12 2 2cy
+ = =
+
( ) ( )3 3
2 2 42 20 10 220 2 7 10 10 2 7 1 2420J
y1 y
x
x1
20 A1
A22
2 c
12
0
[cm]
( ) ( ) 420 2 7 10 10 2 7 1 2420 cm12 12x
J = + + + =
( )23 3
2 42 20 10 2 12 220 2 3 1 10 2 3 2 660 cm12 12 2y
J = + + + + =
( )( ) ( ) ( ) 412 22 20 7 10 3 1 12 2 2 7 1 3 2 720 cm2xy
J = + + =
( ) 0 00 01 02
2 720t g2 0,818 19 39 , 109 39
2420 660
= = = =
( ) ( ) ( )00cos 2 2420 660 cos 2 19 39 0x yJ J = >Kierunek wikszego momentu bezwadnoci odpowiada ktowi 01
( )2
2 41
2420 660 2420 660 720 2680 cm2 2
J + = + +
( )2
2 42
2420 660 2420 660 720 400 cm2 2
J + = +
y1
x
x1
J2
3
y
c
J119039
7
1 22420 660 2680 400 x yJ J J J+ = + = + = +
( )22420 660 720 2680 400
21 2= x y xyJ J J J J
Kontrola
b
h
3
12xh bJ =
bh
3
12xb hJ =
d4
64xdJ =
HB
hb
3 3
12 12xB H b hJ =
Dd
( )4 464x
D dJ
=
2013-10-11
37
Dwuteowniki normalne INP PN-91/H-93407
Teowniki wysokie
Ceowniki ekonomiczne
2013-10-11
38
ZGINANIE
2013-10-11
39
Badania laboratoryjne
1
Belka Vierendeela
Belka swobodnie podparta
Deformacja (ugicie) belek zginanych
Belka wspornikowa Belka dwuwspornikowa
Belka swobodnie podpartaze wspornikiem (przewieszeniem)
Belka swobodnie podpartaze wspornikami
p
Belka ciga
2013-10-11
40
Belka przed odksztaceniem
Belka po odksztaceniu
Belka po odksztaceniu
Belka przed odksztaceniem
Celem teorii zginania jest wyznaczenie napre i odksztace w kadym punkcie belki, a take okrelenie przemieszcze poszczeglnych przekrojw.
zginanie ze cinaniem w przekroju wystpuje jednoczeniemoment zginajcy i sia poprzeczna.
zginanie czyste w przekroju poprzecznym prta wystpujewycznie moment zginajcy,
P P
(niezmieniona dugo)
P1
xzyP2P1
O belki
Wkna grne (skrcenie)
Wkna dolne(wyduenie)
O odksztacona
P2
Zginany prt nazywany jest zwykle belk.
W zagadnieniach technicznych, gdzie ugicia s mae, nie uwzgldnia si deformacji konturu przekroju.
Podstawowe zaoenia:
P PM M
MM
VV
Zginanie czyste
Przekroje paskie i prostopade do osi belki przed odksztaceniem
Istnieje warstwa obojtna prostopada do paszczyzny dziaaniaobcienia.
j p p p ppozostaj rwnie paskie i prostopade do tej osi po odksztaceniu (zaoenie Bernoulliego). Przekroje ulegaj jedynie obrotowi.
W przekrojach podunych belki nie wystpi adne naprenia.
W przekrojach poprzecznych wystpi jedynie naprenia normalne, rwnolege do osi belki.
2013-10-11
41
Powierzchnia obojtna
zy
Cx C
M
Mx
yz
O obojtna
Czyste zginanie nie powoduje odksztace postaciowych, ktre pojawiaj si jedynie w przypadku dziaania napre stycznych.
zginanie proste linia dziaania obcienia pokrywa si z jedn z gwnych centralnych osi bezwadnoci przekroju (oznacza to, e jednoczenie o obojtna pokrywa si z drug z osi gwnych), zginanie ukone linia dziaania obcienia nie pokrywa si z adn z gwnych osi bezwadnoci (o obojtna przechodzi przez rodek cikoci przekroju, ale jest nachylona do osi gwnych pod pewnym ktem).
W zalenoci od pooenia linii (powierzchni) dziaania obcienia, wyrnia si dwa przypadki zginania czystego:
Ujednolicenie konwencji znakw momentw zginajcych
1. Ukad gwnych centralnych osi zwizanych z przekrojem belki. MECHANIKA OGLNA ZWIZKI TEORII ZGINANIA
Mx
zxMx Mx
zx
Mx
2. W ukadzie osi gwnych o y skierowana jest w kierunku spodw. Zwrot osi x wynika z przyjcia prawoskrtnego ukadu osi na paszczynie.3. Wektor Mx naley narysowa zgodnie z wersorem osi x, jeeli jest on dodatni (rozciga spody) i przeciwnie do tego wersora, jeeli jest on ujemny (ciska spody).
zy
Mx
zy
Mx
ZGINANIE PROSTE
Naprenie
g
d
z
P P
y
dz
z=ay+b
Mxz
Odksztacenie
Mx
P
rodekcikoci
xMx
y
( )z zE E ay b = = +( ) 0z
A A A A
N dA E ay b dA Ea ydA Eb dA= = + = + = ( ) 2x z
A A A A
M ydA E ay b ydA Ea y dA Eb ydA= = + = +
, 0xx
Ma b
EJ= =0,x
A
S ydA= =Jx - moment bezwadnoci wzgldem osi x.
xz
x
My
J =
Naprenia normalne!!!
2013-10-11
42
xz
x
My
J =
gP
e J JW W
Mx
zy
x
min
max
Mx Mxz
y
x
max
min
Mx
Wg - grny wskanik wytrzymaoci przekroju na zginanie(wskanik zginania),
Wd - dolny wskanik wytrzymaociprzekroju na zginanie.
d
xMx
y
eg
ed
,g dg d
W We e
= =
,g dg d
M MW W
= =
Naprenia ekstremalne
ekstrMW
= Na podstawie analizy belki i jej obcienianaley okreli znaki napre (ustali wknaciskane i rozcigane).
Poniewa wsprzdna wkien grnych jest ujemna, to i grny wskanik wytrzymaoci jest ujemny, zatem naprenia s ciskajce. Naprenia rozcigajce wystpuj we wknach dolnych, gdzie wskanik wytrzymaoci na zginanie jest dodatni.
Wskaniki wytrzymaoci przekroju na zginanie znajduj si w tablicach do projektowania konstrukcji metalowych i s wykorzystywane do przyjciu przekroju prta, w ktrym paszczyzna obcienia pokrywa si z jedn z osi gwnych.
minx
d
MW
f=
Znajc warto momentu zginajcego Mx oraz wytrzymao obliczeniow fd mona wyznaczy minimaln warto wskanika wytrzymaoci:
z
23 2
h
23 2
h
y
xH
H
2h
2h
Mx
zy
x
min
max
Mx
Bryy napre dziaajce na przekrj
y
xz
M
W belkach betowych zbrojonych naprenia ciskajce przejmuje beton, a wszystkie naprenia rozcigajce przenosz prty stalowe.
betD
Z
y2H wypadkowe bry
napre
ymax y
M moment rwnowany parze si
D Z=
2013-10-11
43
OPTYMALNE WYMIAROWANIE PRTA ZGINANEGO
xz
x
M yJ
= Aby naprenia byy mae, naley stosowa due momenty bezwadnoci.
Dobr wymiarw przekroju zapewniajcego spenienie warunku wytrzymaoci prta rozciganego sprowadza si do wyznaczenia pola jego powierzchni ksztat nie ma znaczenia. W przypadku zginania istotn role odgrywa uksztatowanie geometryczne przekroju wzgldem jego osi obojtnej.
x
Moment bezwadnoci przy zadanym polu powierzchni figury jest tym wikszy im elementy tej figury s bardziej oddalone od osi.
2x
A
J y dA=
ekstr x
d x d xx
Mf M f w
W =
Nono belki jest tym wiksza im wiksza jest warto wskanika wytrzymaoci na zginanie.
x
Przekrj dwuteowy(dwuteownik)
x
Przekrj idealny
I 24010625 5
A=46,1 cm2
Jx=4250 cm4
wx=3540 cm3
Jy=221 cm4
wy=41,6 cm3
240
25,5
13,1
8,7
x
y
Lp. Profil A [cm2] Jx [cm4] Wx [cm3]
1 46,1 4250 100 % 354 100 %
2 46,1 221 5,2 % 41,6 11,7 %
3 b=5,6 cmh=8,3 cm
46,5 266 6,2 % 64,2 18,2 %
4 b 5 6 46 5 121 5 2 9 % 43 8 12 4 %
I 240
I 240
bh
4 b=5,6 cmh=8,3 cm
46,5 121,5 2,9 % 43,8 12,4 %
5 a=6,8 cm 46,2 178 4,2 % 52,5 14,8 %
6 d=7,7 cm 46,6 173,2 4,1 % 45 12,7 %
7 D=12,7 cmd=10,1 cm
46,6 765 18 % 120 34 %
bh
aa
d
d D
2013-10-11
44
z
Przekrj dwuteowy Przekrj teowy
Ksztatowniki walcowane
j y
Przekroje drewnianeKsztatowniki zimnogite
Dwigary do przenoszenia bardzo duych obcie i przy znacznych rozpitociach wykonuje si z blach odpowiednio czonych (ruby, spawy), tzw. blachownic.
Przekrj skrzynkowy, w porwnaniu do dwuteowego, ma wiksz sztywno wzgldem drugiej gwnej centralnej osi bezwadnoci.
x x
W przypadku materiaw o rnej wytrzymaoci na rozciganie i p yp j y y gciskanie uzasadnione jest stosowanie przekrojw niesymetrycznych wzgldem osi obojtnej.
x
eg
ed
d td
g cd
e fe f
=
Proporcje przekroju
BELKI O RWNOMIERNEJ WYTRZYMAOCI NA ZGINANIE
P
l/2 l/2
M
Mmax= Pl/4
Zaoenie: zginanie czyste i proste. Wymiary przekroju poprzecznego dobiera si ze wzgldu na maksymaln warto momentu zginajcego.
max maxmax max d
d
M Mf W
W f = =
dfW pozostaych przekrojach naprenia w skrajnych wknach s mniejsze, czyli materia nie jest naleycie wykonany.
Naprenia w skrajnych wknach, w kadym przekroju bd jednakowe i rwne wytrzymaoci obliczeniowej przy zastosowaniu zmiennego wskanika wytrzymaoci przekroju na zginanie W(z):
( ) ( )max =const xd
d
M Mf W zW z f
=
2013-10-11
45
Belka o przekroju prostoktnym bh o staej szerokoci b.
2P
l l
2P
( )M z P z=
( ) ( ) 6 xd d
M P zW z h zf b f
= =
( ) ( )2
6b h z
W z
= h(z) zmienna szeroko przekroju.
Wysoko przekroju zmienia si wedug paraboli.
b
W zginaniu ukonym (czystym) linia dziaania obcienia przechodzi przez rodek cikoci przekroju i nie pokrywa si z adn z gwnych osi bezwadnoci.
ZGINANIE UKONE
y
c
Patew
Moment skrcajcy jest bardzo niepodanym obcieniem, poniewa powoduje powstanie duych napre stycznych a take napre normalnych, wpywajcych na obnienie nonoci prta.
W przypadku, gdy paszczyzna dziaania obcienia nie przechodzi przez rodek cikoci przekroju, prt jest take skrcany momentem skrcajcym.
x y yx
W budownictwie zginanie ukone wystpuje przede wszystkim w patwiach dachowych. Patwie przymocowane do pochyych dwigarw lub do pochyego pasa grnego kratownicy. Pochylenie tych elementw wynika z koniecznoci odprowadzenia wody z dachu.
Obcienie patwi dachowej w postaci ciaru wasnego, ciaru pokrycia dachowego umieszczonego na patwi, ciaru niegu, obcienia od wiatru oraz obcienia uytkowego dziaa zgodnie z kierunkiem si grawitacji czyli w d.
2013-10-11
46
Obcienie ukone powoduje wystpienie momentw zginajcych wzgldem obu gwnych osi bezwadnoci.
xMx
MyM
y
I
z ax by c = + +'M M
Mx
x y
x C
y
Patew
Mx
My
yxz
x y
MMy x
J J =
Moment Mx, skierowany zgodnie z wersorem osi x, powoduje rozciganie pierwszej wiartki ukadu, a zatem pierwszy skadnik wzoru jest dodatni. Drugi skadnik jest ujemny, gdy moment My, skierowany zgodnie z wersorem osi y, powoduje ciskanie pierwszej wiartki ukadu.
'
cos
sinx x
y x
M M
M M
=
= cossin
x
y
M MM M
= =
Mx
My
My
Mx
y
Pxq
max 4yP lM =
Spody w kierunku osi y
x Spody w kierunku osi x
Dodatni moment Mx odkadamy zgodnie z wersorem osi x. O ta jest obrcona w prawo o 900 wzgldem osi y skierowanej do spodw. Podobnie rysujemy dodatni moment My, na osi obrconej o 900 w prawo wzgldem osi x skierowanej do spodw. Wektor tego momentu jest skierowany ku grze, czyli w przyjtym ukadzie wsprzdnych jest ujemny.
2
max 8xq lM =
O obojtna O obojtnaO obojtna
Rwnanie osi obojtnej (zerowej) dla zginania ukonego
0 y yx xzx y y x
M MM Jy x y x
J J J M = = =
O obojtna przechodzi ukonie przez rodek cikoci przekroju i zawsze przebiega przez te same wiartki ukadu wsprzdnych, co prosta na ktrej ley wektor momentu M.
xz
y
Mxx
yz
Myx
y
z
yxz
x y
MM y xJ J
= xzx
My
J =
yz
y
Mx
J =
Naprenia ekstremalne wystpuj w punktach najbardziej oddalonych od osi obojtnej.
2013-10-11
47
Py
PxB
A
P
y
C
Dx
Wyznaczy naprenia normalne w belce.
1010 M [kNm]
spd10kN 10kN
5m 1m1m
A
B
Mx
300x y
x c
y
300
max 10 kN mxM M = = ymaxx
3 1cos30 10 8,7kN m, sin 30 10 5 kN m2 2x x y x
M M M M = = = = =
3 34 4 4 4 4 418 24 24 1820736 cm 2,07 10 m , 11664 cm 1,17 10 m
12 12x yJ J = = = =
( ) 34 48,7 5 42 42,7 10 kPa
2,07 10 1,17 10zy x y x
= +
42 42,7 0 1,02y x y x+ = = O obojtna:
A
B
Mx
300x y
x c
y
300
B42 42 7 MP
xyA
OobojtnaB
xA = 0,09, yA = 0,12:
42 0,12 42,7 0,09 8,9 MPaAz = +
( ) ( )42 0,12 42,7 0,09 8,9 MPaBz = +
xB = -0,09, yB = -0,12:
x
yA
[MPa]
Oobojtna
42 42,7 MPaz y x = +
2013-10-11
48
Przekrj bisymetryczny zginanie ukone w ukadzie gwnych centralnych osi bezwadnoci
y
x
My
Mx
y
x
My
Mx
y
x
My
Mx
y
x
My
Mx
ekstryx
x y
MMW W
=
y y y
max max , yxx y
JJW W
y x= =gdzie:
Naprenia ekstremalne w naroach:
xmax, ymax odlegoci skrajnych wkien odpowiednio od osi y i x.
Moment M wywouje ciskanie na krawdzi AB a rozciganie na
Mx
x y
x c
y
Mx
MyA
B
CD
ekstryx
x y
MMW W
=
Moment Mx wywouje ciskanie na krawdzi AB a rozciganie na krawdzi CD. Moment My wywouje ciskanie na krawdzi BC a rozciganie na krawdzi AD. Wartoci napre w naroach:
yxA
x y
MMW W
= + yxBx y
MMW W
=
yxC
x y
MMW W
= yxDx y
MMW W
= +
Ekstremalne naprenia normalne wystpuj w przeciwlegych
Szczeglne przypadki przekrojw naprenia ekstremalne
y
x
1 2
34
x
y1 2
34
ekstryx
x y
MMW W
= +
Punkty, w ktrych wystpuj ekstremalne naprenia normalne, s punktami najbardziej oddalonymi zarwno od osi x jak i y.
y p j p g ynaroach przekroju.
x
y1 2
34
x
y1 2
34
W powyszych przypadkach poszukiwanie osi obojtnej jest zbdne.
W przekrojach nie majcych dwch osi symetrii trzeba rozrni odpowiednio dolny Wd, grny Wg, lewy Wl i prawy Wp wskanik wytrzymaoci na zginanie.
2013-10-11
49
Moment zginajcy powoduje powstanie w przekroju belki napre normalnych ciskajcych i rozcigajcych.
ZGINANIE ZE CINANIEM
Na skutek ugicia i nierwnomiernego
Sia poprzeczna usiuje ci i przesun wzgldem siebie poszczeglne elementy.
g gwyduenia lub skrcenia wkien, niepoczone ze sob warstwy belki przesuwaj si po sobie.
W belce jednolitej istnieje tendencja do poziomego cicia wzdu takich warstw. Na powierzchni styku, wystpi naprenia styczne. Zgodno z twierdzeniem o rwnoci odpowiednich napre stycznych na wzajemnie prostopadych do siebie paszczyznach.
/2 /2
ZGINANIE ZE CINANIEM DEFORMACJA
/2/2
Zniszczenie na skutek cinania
2013-10-11
50
Zginanie ze cinaniem zachodzi w przypadku, gdy w przekroju poprzecznym belki dziaaj rwnoczenie moment zginajcy i sia poprzeczna.
Sia poprzeczna wywouje naprenia styczne, ktre z kolei powoduj wystpienie odksztace postaciowych. W wyniku takiego zoonego stanu odksztace, przekroje poprzeczne przestan by paszczyznami i ulegn spaczeniu.
Podstawowe zaoenie: sia poprzeczna nie wpywa na rozkad napre normalnych w przekroju poprzecznym prta.
V
Naprenia normalne wyznacza si wedug wzorw wyprowadzonych dla czystego zginania.
yxz
x y
MMy x
J J =
b
z
+d
zyyz
z
dz
z z+dz
yz
zy
P q
zdz
x
by
C
zy A
x
by
CVy
( ) 0z z z yzA A
d dA dA bdz + = 1 zd dAA bz+dz
zyz
A
dAb dz
=
,x xz yx x x
M y dMd d y yVdz dz J dz J J
= = =
yyz
x A
VydA
bJ =
y x
x
V SbJ
=
= yz, Vy - sia poprzeczn w danym przekroju, Jx - moment bezwadnoci caego przekroju belki wzgldem osi obojtnej, b - szeroko przekroju w punkcie obliczania napre.
xS - moment statyczny zakreskowanego pola,
y x
x
V SbJ
=
Moment bezwadnoci Jx oraz szeroko belki b przyjmuj zawsze wartoci dodatnie. Rwnie moment statyczny Sy liczony wzgldem osi x jest wikszy od zera. Znak naprenia stycznego zaley wycznie od znaku siy poprzecznej.
+V V
l/2 l/2
P
V
V V
Konwencja dodatnia
PV V Rzeczywisty zwrot
si poprzecznych
PZwrot napre stycznych
2013-10-11
51
max
h/2
h/2
b
VyC
x
y
yh/2-y
A
22
12 2 2
2 4
xh hS b y y y
b h y
= + =
=
22
3
64
yV h ybh
=
Rozkad napre stycznych zmienia si parabolicznie wzdu
Przekrj prostoktny
p y y pwysokoci belki. Naprenia styczne osigaj wartoci ekstremalne dla punktw pooonych na osi obojtnej.
Vzx y
maxmax
yz zy =
y
x x
y y
x
Rozkad napre stycznych w przekroju teowym
Rozkad napre stycznych w przekroju dwuteowym
W miejscach poczenia rodnika z pasami dolnym i grnym wystpuje znaczny skok na wykresie napre stycznych. W rzeczywistoci, w tego typu punktach rozkad napre stycznych jest duo bardziej skomplikowany. W celu uniknicia tzw. koncentracji napre, przy poczeniu pasw ze rodnikiem wykonywane s odpowiednie zaokrglenia.
Zmiana szerokoci przekroju poprzecznego belki nie ma natomiast wpywu na rozkad napre normalnych.
y x
x
V SbJ
=2
23
64
yV h ybh
=
Przekrj prostoktny
4 V
( )max 30 2yVy
A = = =
Przekrj koowy max43
yVA
=
Posta oglna wzoru na maksymalne naprenia styczne:
m wspczynnik ksztatu przekroju.
Przekrj piercieniowy: m = 2,0Przekrj dwuteowy: m = 1,0 (A pole przekroju rodnika).
maxyVm
A =
2013-10-11
52
Belka drewniana
Przekrj prostoktny
max 1,5yV
A =
Vy
A
maxyV
A =
Belka stalowa
Przekrj dwuteowy
Vy
A
zzmax z=0
z
yz=0max
Naprenia normalne z przybieraj ekstremalne wartoci tylko w skrajnych wknach belki, a wic s napreniami gwnymi. Jestskrajnych wknach belki, a wic s napreniami gwnymi. Jest to przypadek osiowego ciskania (wkna grne) i osiowego rozcigania (wkna dolne).
W paszczynie obojtnej wystpuj tylko naprenia styczne. Jest to przypadek czystego cinania.
=0, =0
Korzystna lokalizacja otworu na instalacje
23
1
PRTY CIENKOCIENNE
Vx
y
woda woda
woda woda
2max
1V
x
y
woda
woda
rodek cinania
c
y
A
W1
W1
W2
2013-10-11
53
rodek cinania - dowiadczenie
Zginanie ze skrcaniem Zginanie
Belkawielokrotna
xbl
P
hh
BELKI ZOONE I WIELOKROTNE
3 32w bh bhJ
Brakpoczenia
cznik
Belkazoona
212 6
wx
bh bhJ = =
( )3 32 2 412 3
z wx x
b h bhJ J= = =
Wikszy moment bezwadnoci dla belki zoonej oznacza, e charakteryzuje si ona wiksz sztywnoci na zginanie, a zatem i wiksz nonoci ni podobna belka wielokrotna.
W rzeczywistoci parametry wytrzymaociowe belek zoonych s nieco gorsze ni belek jednolitych o takim samym przekroju. Przepisy budowlane mwi, e przy projektowaniu belek zoonych, moment ten powinien by zmniejszony o co najmniej 20%, w zalenoci od liczby czonych elementw.
Belka wielokrotna Belka zoona
2013-10-11
54
Przy wymiarowaniu belek zoonych naley wyznaczy naprenia styczne wystpujce w paszczynie styku poszczeglnych belek skadowych. Naprenia te decyduj o odpowiednim zaprojektowaniu czcych je elementw (spawy, klej, gwodzie, nity itp.). Sia rozwarstwiajca - powoduje rozwarstwienie belki, czyli przesunicie belek skadowych. Sia ta jest wypadkow napre stycznych z caej szerokoci belki i jednostkowej dugoci (wzdu osi belki):
Brakpoczenia
Paszczyznyciciaspawwx
y
)
1 1y x
zyx
V SH b
J
= =
Sia poprzeczna staa na odcinku o dugoci e:
1y x
x
V SH H e e
J
= =
Due siy poprzeczne
Moment zginajcy schemat konstrukcji q
V
M
BA
2 / 8ql
2ql
2ql
RH
C 2 2C R H= +
uk
R
HMH
h
, 2
M qlH Rh
= =
Belka
h 2h/3T
C
MR
Kratownica
hM
C
TR
MC Th
= =
dM fW
RHT 2 2T R H= +
CignoR
H
M
Hh
, 2
M qlH Rh
= =
2013-10-11
55
SKRCANIE SWOBODNE
PrtzginanyPrtzginanyiskrcany
eP P
Ms=PeMs Pe
Ms
Ms
Deformacja prta swobodnie skrcanego polega na wzajemnym sztywnym obrocie poszczeglnych przekrojw wzgldem siebie.
Kolumna poddana skrcaniu.
2013-10-11
56
Podstawowe zaoenie teorii skrcania momenty skrcajce powoduj wystpienie tylko napre stycznych w przekroju.
Stan taki nazywa si skrcaniem swobodnym.
Rozwizanie cise jest moliwe jedynie dla skrcanych swobodnie prtw o przekroju koowym.
W skrcaniu nieswobodnym wystpuj dodatkowo naprenia normalne.
dz
Ms
Ms
r
AAd
Moment skrcajcy jest dodatni, jeeli jego wektor jest zwrcony na zewntrz powierzchni elementu.
dz
Ms
Ms
r
AAd
AA AA Mae deformacje
t 'AAg AA dzdz
= =
tg 'AAd d AA d
= =
ddz =
dG Gdz = =
2 2s
A A A
d dM dA G dA G dAdz dz = = =
40 / 2J r= 0
0 ss
Md dM GJdz dz GJ
= =0
sMJ
=
max maxr
R
0
sMJ
=
( )4 40 2J R r
= 4
0 2RJ =
00
JWr
= - wskanik skrcania
Cakowite skrcenie prta o dugoci l
0 0 00
l
s s sM M M ld dzdz GJ GJ GJ = = =
( )20 2
max0
sMW
=
2013-10-11
57
Na ciankach elementu lecych w przekrojach normalnych do osi prta wystpi wycznie naprenia styczne.
MsMs 4501
1
2
2
Element na powierzchni skrcanego prta
Zgodnie z twierdzeniem o odpowiadajcych sobie napreniach stycznych, naprenia o takich samych wartociach wystpi w przekrojach podunych.
Kierunki gwne stanu naprenia s nachylone pod ktem 450 do osi prta.
Taki stan naprenia nazywa si czystym cinaniem.
Wewntrz prta rwnie wystpuj naprenia styczne, a ich wartoci malej w miar zbliania si do osi prta.
Prt z materiau plastycznego (stal) ulega zniszczeniu wzdu paszczyzny prostopadej do osi.
MsMs 4501
1
2
2
Ms
Ms
Prt z materiau kruchego (beton) ulega zniszczeniu wzdu paszczyzny o maksymalnym napreniu rozcigajcym, tj. nachylonej pod ktem 450 do osi.
spkania
FF
spkania
Ms
Ms
Dla prtw o innych przekrojach ni koowe lub piercieniowe nie mona uzyska cisych zalenoci i stosuje si dla nich wzory przyblione.
3 4 , 0,08 0,14s sM M la Ga
= =Przekrj kwadratowy o boku a:
Wymiarowanie prtw skrcanych:
dop , vdf
fvd wytrzymao obliczeniowa na cinanie,max - maksymalny kt skrcania,dop - dopuszczalny kta skrcania.
p
2013-10-11
58
Mimorodowe dziaanie siy wystpuje najczciej w supach hal wyposaonych w suwnice, powodujce powstanie jednego z momentw zginajcych. Sia normalna N oraz moment zginajcy Mx powstaj w wyniku dziaania obcienia dziaajcego w paszczynie ramy. Moment zginajcy Mz powstaje w wyniku dziaania obcienia prostopadego do paszczyzny ramy.
CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE
Jest to na przykad obcienie hamowaniem suwnicyprzenoszone przez belk podsuwnicow czy parcie wiatru na cian szczytow hali.
N
yx
zMzMx
Stan obcienia, w ktrym sia ciskajca lub rozcigajca nie dziaa w osi prta, lecz jest wzgldem niej przesunita o pewn wielko e, nazywany jest obcieniem mimorodowym.
z
x
y
P
e
CISKANIE - ROZCIGANIE MIMORODOWE z
x
y
P
e
Odlego e midzy osi prta a lini dziaania siy nazywa si mimorodem. W zalenoci od zwrotu siy rozrnia si ciskanie lub rozciganie mimorodowe.
Przesuwajc si P rwnolegle do osi otrzymuje si ukad rwnowany, w ktrym wystpuje sia poduna (osiowe ciskanie-rozciganie) i moment zginajcy (czyste zginanie).
ciskanie mimorodowe wystpuje te gdy sia ciskajca dziaa osiowo (ciar wasny), a dodatkowo wystpuje zginanie, np. obcieniem od wiatru.
zginanieZginanie i ciskanie
zginanieZginanie i ciskanie
2013-10-11
59
P
e
PM
PM
PMz
yxM
x y
MMy x
J J = P
NA
=yx
zx y
MMN y xA J J
= +
x
y
zP A
K
exey
, , x y y xN P M Pe M Pe= = =
yxz
x y
P eP eP y xA J J
=
0 x y xzy x x
J e Jy xJ e A e
= =
Sia N przyjmuje wartoci ujemne, gdy przekrj jest ciskany. Moment My od siy P wzgldem osi y jest dodatni, gdy patrzc z ki k d d i i d i i
yP/A
min
O obojtna
max
ey
y0x0
xKex
x
yP/A
min
O obojtna
maxK
y
x
P/Amin
O obojtna
K
kierunku dodatniego zwrotu osi y na paszczyzn dziaania momentu, jest on lewoskrtny.
Ekstremalne naprenia normalne wystpuj w przeciwlegych
Szczeglne przypadki przekrojw
y
x
1 2
34
x
y1 2
34
ekstryx
x y
MMNA W W
= +
Punkty, w ktrych wystpuj ekstremalne naprenia normalne, s punktami najbardziej oddalonymi zarwno od osi x jak i y.
y p j p g ynaroach przekroju.
x
y1 2
34
x
y1 2
34
W powyszych przypadkach poszukiwanie osi obojtnej jest zbdne.
W przekrojach nie majcych dwch osi symetrii trzeba rozrni odpowiednio dolny Wd, grny Wg, lewy Wl i prawy Wp wskanik wytrzymaoci na zginanie.
2013-10-11
60
RDZE PRZEKROJU
Rdze przekroju to miejsce geometryczne punktw przyoenia siy,dla ktrej o obojtna nie przecina przekroju, a naprenia
l k j j d k
P P PO
PO
Pe
normalne w caym przekroju s jednego znaku.
P
y
xA
C
D
B a
b
A
Bx
y
OE1ex
a
b
O obojtna
D
C
x
y
a
b
A D
ey E2
O obojtna
OCB
A
Bx
y
OE1ex
a
b
O obojtna O1
D
C
N P= 0xM = y xM Pe=x
zy
PeP xA J
=
0xy
PeP xA J
=y
xJ
eAx
= 3
2 212 2 6
yx
baJa ax eA a ab a
= = = = ex szukane,
x
y
a
b
A D
ey E2
O obojtna O2
O
CB
O1 dane(x=a/2)
N P= x yM Pe= 0yM =
1 0y yzx x
Pe eP y yA J A J
= =
xy
Je
Ay=
2 6yb by e= =
ey szukane,O2 dane(y=b/2)
E1
y
x E2E3E4
O1O2O3
O4x
y
a/6 a/6
E3E1E4E2 b/6
b/6
Rdze przekroju
Twierdzenie: jeeli sia P bdzie przemieszczaa si po prostej czcej punkty rdzenia, to o obojtna wykona obrt dookoa punktu naronego konturu. Dla dowolnego przekroju, osie obojtne i odpowiadajce im g p j , j p jpunkty rdzenia przekroju zawsze tworz wieloboki wypuke. Jeeli kontur przekroju jest wielobokiem wypukym, to i rdze przekroju jest wielobokiem o takiej samej liczbie bokw. Dla przekroju posiadajcego o symetrii, rdze przekroju ma t sam o symetrii. Gdy przekrj jest koowy, to take rdze jest koem. Kademu wierzchokowi rdzenia odpowiada bok konturu przekroju, a kademu bokowi rdzenia wierzchoek konturu przekroju.
2013-10-11
61
a
bb/3
a/3P
P
P PM M
PPA
= MM xJ
= P M = +
M P e=
e - mimord
P
Materia kruchy(beton, mur)
Pe
Oobojtna
Rdzeprzekroju
O obojtna nachylona do poziomu
M P M P
o obojtna
x
y
x0
y0
exeyE
N P= x yM P e= y xM P e=
y xz
x y
P e P eP y xA J J
=
0 x x xzy y y
J e Jy x
e A e J = =
0 0 , y xx y
J Je e
Ax Ay= = (x0,0) ; (0,y0)
Pooenie rdzenia przekroju nie jest uzalenione ani od wartoci, ani od znaku siy P.
2 2
0 0 0
1y yxx
J iJe
Ax x A x
= = =
2 2
0 0 0
1x x xy
J J ie
Ay y A y
= = =
ix , iy promieniebezwadnoci ,xxJiA
= yyJ
iA
=
0 0
1y y yx
J J We
Ax A x A
= = = 0 0
1x x xy
J J We
Ay A y A
= = =
Wx , Wy wskanikiwytrzymaoci,np.: ,x xxd xdg d
J JW W
e e= =
2013-10-11
62
Aby wyznaczy pooenie rdzenia przekroju naley okreli obszar wypuky zbudowany na przekroju czyli przeprowadzi osie obojtne przechodzce przez krawdzie lub wierzchoki przekroju.
Korzystajc ze wzorw mona wyznaczy wartoci mimorodw.
0 0
1y y yx
J J We
Ax A x A
= = = 0 0
1x x xy
J J We
Ay A y A
= = =
Rdze przekroju
Stopa fundamentowabb/3
h h/3x
yc
xP
1 xzy
eP xA J
= +
3 , ,
12 2x xh b bA b h J e c= = =
1 6 2 1zP c xA b b
= +
1 22 3 2 31 , 2P c P cb h b b h b
= = +
1) c>b/3 1 2c
P
2c
P
2
1 2b h b b h b )
2) c=b/3 1 220 , Pb h
= =
3) c
2013-10-11
63
Zwykle nawet niedopuszczalne ugicia nie s widoczne goym okiem, ale na zdjciu jest pokazany przykad, gdzie ugicie jest do wyrane
Lini ugicia nazywamy odksztacon o belki powsta na skutek jej obcienia.
Stan przemieszczenia dla belek jest okrelony, gdy znane jest rwnanie opisujce lini ugicia.
xA Biyi
y Due i i
i
P
Mae i i
Zaoenia: zginanie jest proste, odksztacenia i przemieszczenia s mae, siy poprzeczne nie wpywaj na odksztacenia prta.Zaoenie maych odksztace oznacza, e poszczeglne punkty osi belki doznaj tylko przemieszcze pionowych. Poniewa punkty osi belki le na osiach obojtnych przekrojw poprzecznych, dugo osi belki nie ulega zmianie.
przemieszczenie przemieszczenie
Liniaugicia y(x)
xA Bi
fyiA
yStrzakaugiciaKtobrotu
Ugicie
i
Przemieszczenia pionowe punktw osi nazywane s ugiciami i zgodnie z przyjt orientacj ukadu oznacza si je przez y.
Podczas czystego zginania przekroje poprzeczne belki obracaj si o pewien kt, pozostajc paskimi. Dla ustalonego przekroju, kt taki jest rwny ktowi, jaki tworzy styczna do odksztaconej osi, w punkcie przecicia tego przekroju z osi prta, z dodatnim kierunkiem osi x.
Jest to tzw. kt obrotu danego przekroju i oznacza si go przez .
2013-10-11
64
Najwiksze ugicie belki, oznaczane zwykle liter f, nazywanestrzak ugicia porwnuje si z wartoci dopuszczaln.
maxlf ym
=
Dopuszczalne ugicia zale od rozpitoci prtw l a ich wartoci s opisane w normach, dotyczcych projektowania konstrukcji z rnych materiaw. Przykadowo dla konstrukcji stalowych: ugicie dwigara kratowego penociennego max
ly ugicie dwigara kratowego penociennego max 250y
ugicie gwnych belek stropowych max 350ly
Dla konstrukcji drewnianych max 300ly
Dla konstrukcji betonowych i elbetowych: ugicie belek stropowych o rozpitoci poniej 6m max 200
ly
ugicie przekry dachowych o rozpitoci powyej 6m max 150ly
Pochodna funkcji opisujcej lini ugicia y(x) jest rwna wspczynnikowi kierunkowemu stycznej do linii ugicia:
t gdyydx
= = (< 0,01 rad)
Ugicia dodatnie zwrcone s w stron dodatniego zwrotu osi y, t i t k t b t j t d d t i j li t d
x
y
x
y
KtydodatnieKt obrotu przekroju
natomiast kt obrotu jest dodatni, jeeli styczna do odksztaconej osi obrci si od dodatniego zwrotu osi x w stron dodatniego zwrotu osi y.
Krzywizna belki (analiza matematyczna):
( )
2
2
3 22
1
1
d ydx
x dydx
=
+
2
1dydx
(x) - promie krzywizny
( )2
21 d yx dx
tg dxd d dx yd = =
dx
y dx/2
d y
dx/2
d
tgd d dx ydy
E =
( )M xdx dx ydx yd
E EJ = = =
( )M xddx EJ
= - krzywizna belki
2013-10-11
65
l
Warunki brzegowe
2
2( )d y M x
EJdx= Rwnanie rniczkowe Eulera
( )2
21 d yx dx
( )M xd
dx EJ
=Krzywizna belki: lub
EJ sztywno belki na zginanie
( )EJy M x =
( ) 1EJy M x dx C = +
( ) 1 2EJy M x dx dx C x C = + +
( )( )
0 0
0
y x
y x l
= =
= =
( )( )
0 0
0 0
y x
y x
= =
= =
l
q
xy l
y(x)
A B( ) ( )
2qxM x l x=
( ) ( )2 3
1 12 2 2 3qx q lx xEJy x l x dx C C
= + = +
Wyznaczy lini ugicia belki swobodnie podpartej obcionej rwnomiernie. 2
2( )d y M x
EJdx=
( ) 2 20 = 0 0EJy x C C= = =
3 4 3
2 6 12 12q lx x l xyEJ
=
452 384l qlf y x
EJ = = =
( )2 3 3 4
1 2 1 22 2 3 2 6 12q lx x q lx xEJy x dx C x C C x C
= + + = + +
( )4 4 3
1 10 2 6 12 24q l l qlEJy x l C l C
= = + = =
( ) ( )dM x
EJy V xdx
= =
( ) ( )IVdV x
EJy q x= =
Uoglniona posta rwnania Eulera
2
2( )d y M x
EJdx=
( )EJy q xdx
( )IVEJy q x=
Rwnanie Eulera pokazuje zwizki pomidzy podstawowymi wielkociami charakteryzujcymi obcienie, siy wewntrzne i ugicia.
2013-10-11
66
q
l
45384
qlfEJ
=
P
l
3
3PlfEJ
=
q
l
41384
qlfEJ
=
Schemat statyczny:
1 2 3
ksztat prostokt prostokt dwuteownik
P=50[N], l=3[m]
E=106[N/cm2]
Ugicia belek o rnych przekrojach poprzecznych
P
l/2 l/2
przekrj poprzeczny
wymiary w [cm] b h = 6 2 b h = 2 6 B H = 3 9
A [cm2] 12 12 12
J [cm4] 4 36 137,25
7 0,8 0,23
[cm]48Plf
EJ=
Ugicie belki swobodnie podpartej
-20
0 50 100 150 200 250 300
w [c
m]
-8-6-4
Odcita w [cm]
Ugic
ie w
Belka 6x2 [cm] Belka 2x6 [cm] Dwuteownik
2013-10-11
67
VekstrVekstr
M
45384
qlfEJ
=
2
max 8qlM =
qBA
f
l
ekstr 2qlV =
maxM 8
Moment zginajcy zmienia si z kwadratem rozpitoci.
Sia poprzeczna zmienia si liniowo rozpitoci.
Ugicie zmienia si z czwart potg rozpitoci belki.
Dla belek o niewielkich rozpitociach, o wymiarach przekroju poprzecznego decyduje z reguy warunek wytrzymaoci.W przypadku czystego zginania do wymiarowania stosuje si wskanik wytrzymaoci przekroju na zginanie:
max
d
MW
f=
Przy wikszych rozpitociach belek, o wymiarach przekroju poprzecznego decyduje przewanie warunek sztywnoci (dopuszczalna strzaka ugicia) Naprenia w przekroju s(dopuszczalna strzaka ugicia). Naprenia w przekroju s wwczas czsto znacznie mniejsze od wytrzymaoci obliczeniowej na zginanie.Dobranie przekroju belki wedug wskanika wytrzymaoci, a nastpnie obliczenie strzaki ugicia jest pracochonne, zwaszcza wtedy, gdy przekrj belki dobiera si kilkakrotnie.W celu uatwienia oblicze strzaki ugicia, sporzdza si tablice lub nomogramy, pozwalajce na wyznaczenie odpowiedniego przekroju belki, przy zadanej jej rozpitoci.
Tablice i nomogramy opracowywane s na podstawie wzorw uproszczonych, wyprowadzonych ze wzorw na ugicia.
q
l
45384
qlfEJ
=
2
max 8qlM =
22 2max5 5
48 8 48M lq l lf
EJ EJ
= =
maxlf ym
= Warunek sztywnoci:
max548
M l mJ
E
=
Potrzebny moment bezwadnoci przekroju:
maxJ M l=
wspczynnik zaleny od sposobu obcienia, materiau belki i dopuszczalnej strzaki ugicia.
2max5
48M l l
EJ m
2013-10-11
68
Wartoci wspczynnikw dla belki swobodnie podpartej
q
l
Wspczynnik [ cm2/N ]
Belki drewniane Belki stalowe
2,08
200l
200l
300l
300l
3,13 0,100 0,149
Schemat obcienia
Uwaga na jednostki ! M [Ncm],E [N/cm2],l [cm].
P
l/2 l/2
P
l/3 l/3 l/3
P
1,67 2,50 0,080 0,120
2,14 3,21 0,102 0,153
oko
h[c
m]
30
60
90
Belka drewniana
Wstpne wymiarowanie elementw konstrukcyjnychWg P.A. Corkill
Rozpito l [m]
h
Wys
o
0 2,5 7,5 12,55 10
30
0
Przy zwykych obcieniach przyjmuje si z wykresu warto redni. Przy duych, wyjtkowych obcieniach warto najwiksz, a przy maych obcieniach warto najmniejsz. Naley te uwzgldni rne wytrzymaoci tego samego materiau.
Rozpito l [m]
h
Wys
oko
h[m
]
0 5 15 2510 20
0,5
1,0
1,5
0
Belka stalowa
1,5
1,0
0,5
Rozpito l [m]
h
Wys
oko
h[m
]
0 2,5 7,5 12,55 100
Belka elbetowa
2013-10-11
69
hl
h
Kratownica stalowa
7,5
10,0
2,5
R i l [ ]
Wys
oko
h[m
]
0 15 45 7530 60
5,0
090
l
h5,0
7,5
2,5
Rozpito l [m]
Wys
oko
h[m
]
0 7,5 22,5 37,515 300 45
Rozpito l [m]
STATECZNO PRTW
2013-10-11
70
Stacja Cortlandt Street w Nowym Jorku
P
Stan rwnowagi statecznej
Stan rwnowagi niestatecznej (chwiejnej)
Stan rwnowagi obojtnejKonstrukcje budowlane i ich elementy powinny znajdowa si wycznie w stanie rwnowagi statecznej.
Zaoenie: prostoliniowy prt jest ciskany wycznie osiowo, siami b d i d W i i
P
bdcymi w rwnowadze. Wygicie prta pod wpywem takiego obcienia nazywa si wyboczeniem.
Zjawisko wyboczenia wyjania si tym, e nawet najbardziej starannie wykonany prt prosty ma w rzeczywistoci pewne pocztkowe wygicie oraz kada sia osiowa w rzeczywistoci przyoona jest na pewnym mimorodzie.
P P
Zniszczenie prta nastpuje na skutek zginania a nie ciskania.
y(x)
y
x
P
l
P
Wyboczenie wystpuje zwykle dla si oraz wynikajcych z nich napre, znacznie mniejszych od wytrzymaoci obliczeniowej na ciskanie.
( )M x Py= EJy Py = 2 0y y + =lub2 P
EJ =gdzie:
St k i ( 0) 0 C 0
1 2sin cosy C x C x = +Rozwizanie:y
PP Stae cakowania: y(x = 0) = 0 z C2 = 0
y(x = l) = 0 z 1 sin 0C l =
sin 0l =
dla 1, 2,3,...n nl = =
2 2
2nP EJ
l
=
Sia krytyczna (eulerowska) Pkr - dla n = 1:2
kr 2P EJ l
=
2013-10-11
71
f
Staej C1 nie mona okreli jednoznacznie. Po osigniciu przez si ciskajc wartoci Pkr, o prta staje si sinusoid o nieokrelonej amplitudzie.
1 sinxy C
l
=
Sile eulerowskiej odpowiada posta rwnowagi prta :
Prt wspornikowy2
Prt swobodnie podpartyKade wygicie prta ciskanego si Pkr prowadzi do awarii.
PP f
y(x)
yx
l 2kr 2
P EJl
=
2
kr 2w
EJPl
=
lw dugo wyboczeniowa (dugo wolna na wyboczenie) zaley od sposobu zamocowania prta.
2
kr 2P EJ l
=
Dugo wyboczeniow okrela si jako dugo pfali sinusoidy.
l
lw=2l
lw dugo wyboczeniowa w zalenoci od zamocowania
lw=l lw=0,7l lw=0,5l
W praktyce budowlanej prty ciskane s najczciejpodparte przegubowo na obu kocach lub sztywno
utwierdzone na jednym kocu. Przykadowo, jako przegubowo podparte przyjmuje si supy z ksztatownikw stalowych przytwierdzone rubami do fundamentu, na ktrych opieraj si podcigi czy wizary kratowe.
22 22
kr minkr 2 2 2
w w w
JEP E iEJ AA l A l l
= = = =
Naprenie krytyczne wzr EULERA
min
wli
= - smuko prta
Smuko jest tym wiksza im duszy i cieszy jest prt
2
kr 2E
=
imin najmniejszy promie bezwadnoci.
2
kr 2w
P EJl
=
Naprenie krytyczne (sia powodujca wyboczenie prta) jest tym mniejsze im wiksza jest smuko prta im duszy i im cieszy jest prt tym mniejsze jest naprenie, przy ktrym zachodzi wyboczenie.
Wyboczenie prta przy jego ustalonej dugoci i sposobie podparcia, zaley te od sprystoci prta (moduu Younga) oraz promienia bezwadnoci (ksztatu i wymiarw przekroju poprzecznego).
Smuko jest tym wiksza, im duszy i cieszy jest prt.
2013-10-11
72
Ksztat przekroju ciskanego prta jest optymalny, gdy przy najmniejszym polu przekroju, promie bezwadnoci jest dla rnych osi jednakowy i moliwie duy. Postulat taki spenia przede wszystkim przekrj piercieniowy. Dobre ze wzgldu na wyboczenie s rwnie przekroje koowe lub kwadratowe, skrzynkowe i pene.
Niewaciwe przy ciskaniu s profile stosowane w elementach zginanych, jak dwuteowniki, ceowniki czy wskie prostokty, gdy maj one znacznie rnice si gwne momenty bezwadnoci. Profile te znajduj zastosowanie w elementach ciskanych, jeeli stanowi ich cz.
Wyboczenie w paszczynie yz:3 21
2 12
12 12x
x xbaJ a ai i
A ab= = = =
Wyznaczy optymalne wymiary przekroju ciskanego supa. Dane: l = 5 m, E = 2105 MPa, P = 250 kN.
, 0, 7 0, 7 5 12 12,1w xl l = = = =
x y
la
Pz
Wyboczenie w paszczynie xz:
3 212 12
12 12y
y y
J ab b bi iA ab
= = = =
12x xi a aa = = = =
, 2 2 5 12 34, 6/ 12
w yy
y
l li b bb
= = = =
ab
Py
z
lw,x=0,7l
Px
z
lw,y=2l
0 , 3 5a b=
2 2 2 2
k r1 2 ,1 3 4 , 6 x y
x y
E Ea b
= = = =
c kr =
Optymalne wymiary uzyska si w przypadku gdy naprenia krytyczne bd identyczne, z uwzgldnieniem wyboczenia w obydwu kierunkach i jednoczenie rwne napreniu przy ciskaniu osiowym .
( )250
1,22cPA b b
= =
( ) ( )
2 2 8
kr 2 22 10
34,6w
El i b = =
( ) ( )
2 8
2250 2 10
1,22 34,6b b b
=10,6 cm
0,35 3,7 cm
ba b
= = =
c naprenia przy ciskaniu osiowym
2013-10-11
73
Krtkie prty ciskane o maej smukoci nie podlegaj wyboczeniu sprystemu ulegaj zniszczeniu na skutek dziaania si ciskajcych przy napreniach znacznie mniejszych od tych, ktre otrzymuje si ze wzoru Eulera.
Ich wymiary dobiera si ze wzgldu na warunek wytrzymaoci. W prtach ciskanych o redniej i duej smukoci wystpuje wyboczenie spryste. Ich wymiary dobiera si ze wzgldu na si krytyczn (warunek statecznoci)
2
kr 2E
=
10ld
< - zniszczenie na skutek utraty wytrzymaoci
10ld
> - zniszczenie na skutek utraty statecznoci
ld P P
si krytyczn (warunek statecznoci).
Ze wzoru Eulera wynika, e naprenie krytyczne zmienia si odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu smukoci prta. W miar wzrostu smukoci naprenie krytyczne szybko maleje.Naprenia te osigaj bardzo mae wartoci w dugich i cienkich prtach, czyli niewielka sia krytyczna moe spowodowa wyboczenie prtw smukych.
2
kr 2E
=
Wzory Eulera na si i naprenie krytyczne zostay wyprowadzone przy zaoeniu e naprenia znajduj si wwyprowadzone przy zaoeniu, e naprenia znajduj si w obszarze liniowo-sprystym.
Jeeli naprenia krprzekrocz granic proporcjonalnoci to wzory Eulera trac sw wano!
RpRs Rpl
Rr
Ru
kr
Rp
gr
Zakres wanociwzorw Eulera
Przy smukoci =100 naprenia krytyczne przekraczaj granic proporcjonalnoci dla stali zwykej Rp=196 MPa.
Wzoru Eulera nie mona stosowa dla prtw o smukoci
kr [MPa]
50 80 150100
830
324
92
stal zwyka
Rp=196
mniejszej ni smuko graniczna gr. Dla prtw wykonanych ze stali zwykej, smuko nie moe by mniejsza ni 100.
2 2 2 4
kr gr2gr
10 8115p p
E ERR
= = = =
Prt drewniany (sosna): granica proporcjonalnoci Rp=15 MPa, modu Younga E=104 MPa.
Wzoru Eulera nie mona stosowa dla prtw wykonanych z drewna sosnowego o smukoci granicznej mniejszej ni 81.
gr- smuko graniczna
2013-10-11
74
Dla wyboczenia w obszarze niesprystym stosuje si tzw. wspczynniki wyboczenia 1 lub mw 1, ustalone dla
Krzywa wyboczenia niesprystego i sprystego
kr
Rp
gr
Wyboczenie niespryste
Wyboczenie sprysteStal St0S gr=100Drewno sosnowe gr=81
2gr
p
ER
=
rnych materiaw i zalene od smukoci.
kr kr lub wd cdP mP f f
A A
= =
fcd wytrzymao obliczeniowa materi