Material de Apoyo de Mate 4

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

ESCUELA PREPARATORIA DOS

MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICAS 4 Elaborado por:

Ligia Duarte Quintal

Wilbert Canto Escoffie

Enrique Rodriguez Tut

Edgar Sansores Gutiérrez.

ENTONCES, ¿QUÉ TIPO DE RELACIÓN ES EL AMOR?

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CONJUNTOS, NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

EJERCICIOS DE CONJUNTOS

1. Sombrea en cada diagrama la operación indicada:

a) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶

b) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶

NÚMEROS REALES

(R)

NÚMEROS RACIONALES

(Q)

ENTEROS POSITIVOS (Z

+)

CERO

ENTEROS NEGATIVOS

(Z-)

NÚMEROS IRRACIONALE

S (Q C)

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c) 𝐴 ∩ 𝐵! ∪ 𝐵 − 𝐶 d) 𝐴 ∪ 𝐵! ∩ 𝐶

2. En un club de 80 personas se tiene que 32 hablan inglés, 28 hablan

francés, 30 hablan alemán, 13 hablan inglés y francés, 12 hablan inglés y alemán, 11 hablan francés y alemán, 8 hablan los tres idiomas. Sombrea las respuestas de las operaciones dadas y contesta cuántos elementos tiene el resultado de cada operación.

( ) ( )cI F F I A∩ ∪ − ∩

( )ccI A F∩ ∩

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3. Considera U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,p,q}. Representa en el diagrama de Venn los conjuntos: A={1,2,4,5,9}, B={1,3,4,6,8} y C={1,2,3,7,p} colocando dentro de cada subconjunto los elementos que correspondan.

4. En un club de 75 personas se tiene que 30 hablan inglés, 25 hablan francés, 30 hablan alemán, 11 hablan inglés y francés, 10 hablan inglés y alemán, 9 hablan francés y alemán, 6 hablan los tres idiomas. a) ¿Cuántos hablan al menos uno de estos idiomas? b) ¿Cuántos no hablan ninguno de estos idiomas? c) ¿Cuántos hablan solamente inglés? d) ¿Cuántos hablan alemán o francés? e) ¿Cuántos hablan francés pero no inglés? f) ¿Cuántos hablan inglés o francés pero no alemán?

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5. De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes 80 compran Pepsodent. 60 compran solamente Odontine, 20 compran solamente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine y Signal, 12 compran Pepsodent y Signal y 10 compran los tres. El resto compra otra marca.

a) ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? b) ¿Cuántos no compran estos dentríficos? c) ¿Cuántos compran solamente Pepsodent? d) ¿Cuántos compran Signal? e) ¿Cuántos no compran Odontine? f) ¿Cuántos compran Signal u Odontine?

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6. Se realizó una encuesta a 200 alumnos de Ingeniería en Ejecución en diversas disciplinas acerca de la forma en que ocupaban su tiempo libre:

30 dicen que sólo leen, 60 dicen que solamente escuchan música, 20 dicen que sólo estudian, 16 dicen que leen y escuchan música, 50 dicen que estudian, 16 dicen que escuchan música y estudian y 8 hacen las tres cosas.

De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas dadas: a) ¿Cuántos sólo leen o estudian? b) ¿De los que opinan, cuántos dicen que no leen? c) ¿Cuántas personas no contestan alguna de estas tres

alternativas? d) ¿Cuántas personas escuchan música pero no leen? e) ¿Cuántas personas estudian y escuchan música, pero no leen?

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7. Dados los intervalos 𝐴 = −2,2 , 𝐵 = −1, 0 y 𝐶 = 0, 4 determina: a) 𝐵 ∪ 𝐶 − 𝐴 b) 𝐶! ∩ 𝐴! c) 𝐴 ∪ 𝐶 − 𝐵

8. Dados los intervalos 𝐴 = −3, 3 , 𝐵 = −2, 1 y 𝐶 = −1, 4 determina: a) 𝐴 − 𝐵 ∩ 𝐶 b) 𝐶 ∩ 𝐴! c) 𝐴! − 𝐵! ∪ 𝐶!

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DESIGUALDADES 9. Resuelve las siguientes desigualdades y/o sistemas desigualdades y

escribir la respuesta en notación de intervalos:

a) 2𝑥 − 3 ≤ 1

b) 4𝑥! + 11𝑥 − 3 > 0

c) !!!!!!

≥ 0

d) !!!!!!!

≤ 3

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e) 2𝑥! − 5𝑥 − 3 < 0

f) 6𝑥! − 13𝑥 + 6 ≤ 0

g) 𝑥 − 𝑦 ≥ −1, 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8 y 3𝑥 − 𝑦 ≤ 12

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h) 2𝑥 − 𝑦 > 2, 𝑥 + 𝑦 < 4 y 𝑦 > −2

i) 6𝑥! − 5𝑥 − 6 > 0

j) !!!!!!

< !!!!!!

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k) !!!!!!

< 3

l) 10𝑥! − 13𝑥 − 3 > 0

m) !!!!!!!

≤ !!

n) 𝑥 – 𝑦 ≥ − 12𝑥 + 𝑦 ≤ 8𝑥 + 4𝑦 ≥ 4

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o)

𝑥 + 𝑦 < 3𝑥 + 𝑦 > −3𝑥 − 𝑦 < 3𝑥 − 𝑦 > −3

p) !!!!!!

< !!!!!!

q) !!!!!!

> 3

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FUNCIONES

Concepto de Función > Una relación entre dos conjuntos dados A y B, no vacíos, se da cuando a todos o algunos de los elementos de A, le corresponde, vinculado de alguna manera por alguna condición o propiedad, uno o más elementos de B.

> Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto (A), llamado dominio, le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (B), llamado contradominio.

> Función Inyectiva (uno a uno): Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una imagen diferente en el contradominio, es decir si 𝐚 es diferente de 𝐛 entonces 𝐟(𝐚) es diferente de 𝐟(𝐛), o bien, si 𝐟(𝐚) = 𝐟(𝐛) entonces 𝐚 = 𝐛

> Función Suprayectiva (sobre): Una función es suprayectiva si todos los elementos del contradominio son imágenes de al menos un elemento del dominio, es decir si "y" está en B entonces existe una "x" en A tal que y=f(x)

> Función Biyectiva. cuando es inyectiva y suprayectiva.

> Existen funciones que no son ninguna de las tres anteriores. Las llamaremos caso general.

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CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

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Tipos de Funciones

ü Función Par: cuando es simétrica al eje y, es decir,𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) ü Función Impar: cuando es simétrica al origen, es decir,𝑓 −𝑥 = − 𝑓 𝑥 ü Se debe considerar que existen funciones que no son pares ni impares. ü Cuando una gráfica es simétrica al eje X, ésta NO representa una función. ü Función Creciente: Si a y b son elementos del dominio de la función 𝑓 𝑥 y

𝑎 < 𝑏 entonces 𝑓 𝑎 < 𝑓 𝑏 ü Función Decreciente: Si 𝑎 y 𝑏 son elementos del dominio de la función 𝑓 𝑥 y

𝑎 < 𝑏 entonces 𝑓 𝑎 > 𝑓 𝑏 ü Una función tiene inversa si la función es inyectiva (uno a uno). Dada la

ecuación de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), la inversa se obtiene despejando la ”y” es decir, obtendremos la función ”x= g(y)”. El rango de “f(x)” es el dominio de “g(y)”

ü Para comprobar que dos funciones, f(x) y g(x) son inversas entre sí, se debe hacer la composición de funciones y ésta debe dar como resultado la función idéntica, es decir:

𝑰 𝒙 = 𝒙.

ü Función Compuesta: Dadas las funciones “f” y “g”, la función compuesta “𝑓 о 𝑔”, (léase "f compuesta con g"), se define como (𝑓 о 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), donde el dominio de “𝑓 о 𝑔” es el conjunto de las “x” en el dominio de 𝑔, tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.

ü Para ejercicios algebraicos prácticos, la composición de funciones consiste en sustituir una función en la otra, es decir, si se quiere f compuesta con g (f о g), se sustituye la función g en la función f.

Ejemplo:

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CRITERIOS DE ANÁLISIS

> Prueba de la Recta Vertical: permite averiguar si una gráfica representa una función. Para que una gráfica sea función, la recta vertical solo debe cortar en un punto de ella; es decir, visto de otra manera, si al trazarla, corta en dos o más puntos de ésta, entonces NO es función.

> Prueba de la Recta Horizontal: permite averiguar si una gráfica representa una función inyectiva. Para que una gráfica sea función inyectiva, la recta horizontal solo debe cortar en un punto de ella; es decir, visto de otra forma, si al trazarla, corta en dos o más puntos de ésta, entonces NO es función inyectiva.

> Para verificar que una función es inyectiva se debe demostrar que para cualquier "a" en el contradominio, existe un único número real "x" en el dominio tal que f(x)= a

> Para verificar que una función es suprayectiva hay que ver que su rango sea igual al contradominio. Consideramos por "default" que el contradominio de las funciones son todos los números reales (R) debido a que trabajamos con funciones reales de variable real. Por ejemplo, si una función tiene como rango un subconjunto de los reales como de [0,9], la función NO será suprayectiva porque el rango de la función no es igual al contradominio R. Se debe tener presente que una función es suprayectiva si todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de algún elemento, por lo menos, del dominio.

> Dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio, el mismo rango y la misma GRÁFICA.

> Si dos funciones, f y g, tienen la misma gráfica, entonces tienen el mismo dominio y el mismo rango. La proposición recíproca no necesariamente es verdadera.

Hora de pensar:

Dadas las funciones siguientes, ¿Son iguales? ¿Por qué?

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EJERCICIOS

1. Encuentra el dominio, elabora la gráfica (señalando las intersecciones con los ejes) y determina el rango de cada una de las siguientes funciones.

a) 2 6 13y x x= − +

b) 244

yx

=−

c) 2 16y x= −

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d) 2144 9xy=

16−

e) 9 2y= x−

f) 2y= x +4

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2. Colocar dentro del paréntesis la letra P si la función es par, una I si es impar y una N si no es ninguna de las dos anteriores.

a. ( ) 2 4 3y x x= + + e. ( ) 221

yx

=+

b. ( ) 2 1xy

x=

− f. ( ) 3y x x= −

c. ( ) 4 22y x x= − g. ( ) 1xyx

=−

d. ( ) 4 2y= x 8x +16− h. ( ) 3y x 9x= −

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3. Encuentra el dominio, elabora la gráfica (señalando las intersecciones con los ejes) y determina el rango de cada una de las siguientes funciones:

a) 2y= 2+ 25 x−

b) 2y= 3 36 x− −

4. Dada las funciones 𝑓 𝑥 =xx 1−

y 𝑔 𝑥 = 2x 1−

a) Determina la inversa de f(x)

b) Determina la composición g o f

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5. ***JDada la función 𝑦 = !

!!!! , determina su inversa

6. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = !!

!!! y 𝑔 𝑥 = !

!!! , determina:

a) 𝑓 ∘ 𝑔 b) 𝑔 ∘ 𝑓

7. Dada la función 𝑓 𝑥 = !!!!!

a) Encuentra su dominio y rango

b) Encuentra su inversa y dale el nombre de g(x).

c) Demuestra que la función obtenida g(x) es la inversa de f(x)

d) Gráfica la función inversa g(x)

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8. Dada las funciones

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 1 y 𝑔 𝑥 =

1𝑥! − 1

a) Encuentra la función inversa de f(x) b) Encuentra la función compuesta (g o f)

9. Identifica que característica de cada columna cumple la gráfica dada y escribe las respuestas correctas debajo de ella.

A1) Es función B1) Es Inyectiva C1) Es Par D1) Es simétrica al eje X

A2) No es función

B2) Es Suprayectiva C2) Es Impar D2) Es simétrica al eje Y

B3) Es Biyectiva C3) Ninguna de las anteriores

D3) Es simétrica al origen

B4) Ninguna de las anteriores

D4) Ninguna de las anteriores

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10. Dadas las siguientes gráficas, identifica que características se cumplen y

escribe la clave correspondiente dentro de cada celda como se muestra en los ejemplos.

A1) Es función

B1) Es Inyectiva

C1) Es Par D1) Es simétrica al eje X

E1) Solo es Creciente

A2) No es función

B2) Es Suprayectiva

C2) Es Impar D2) Es simétrica al eje Y

E2) Solo es Decreciente

B3) Es Biyectiva

C3) Ninguna de las anteriores

D3) Es simétrica al origen

E3) Tiene intervalos donde es creciente e intervalos donde es decreciente

B4) Ninguna de las anteriores

D4) Ninguna de las anteriores

a)

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b)

c)

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d) .

e)

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f)

g)

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h)

i)

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j)

k)

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FUNCION LINEAL

EJERCICIOS

1. La administración de un hotel tiene 150 cuartos. Cuando el pago diario por cuarto es de $300, todos los cuartos están ocupados; pero si el pago diario es de $400, el promedio de cuartos ocupados es de 100. Si la relación entre el ingreso diario por la renta del cuarto y su demanda es lineal: a) Encuentra una función que relacione los ingresos que recibe el hotel en función de la demanda

b) ¿Cuál es el ingreso si la mitad de los cuartos están ocupados?

c) Si el ingreso es de $42000, ¿cuántos cuartos estarán ocupados?

2. Una inmobiliaria maneja un edificio de 100 departamentos. Cuando la renta mensual por cuarto es de $380, todos están ocupados, pero cuando dicha renta es de $425, el número promedio de departamentos ocupados baja a 94. Supongamos que la relación entre la renta mensual X y la demanda Y es lineal. Escribe la función lineal para encontrar la demanda Y en función de la renta X, y usa está ecuación para predecir el número de unidades ocupadas si la renta fuera de $455.

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3. En una papelería se sacan fotocopias y cobran por 90 copias de un trabajo $45; por 140 copias del mismo trabajo cobran $55. Supongamos que la relación entre número de copias 𝑥 y precio y ( x , y ) es en forma lineal. Encontrar la ecuación que relaciona el número de copias con el precio y usarla para calcular el costo de 250 copias.

4. Un pequeño taller adquiere un equipo de soldadura por $ 6,500. Después de diez años este equipo se ha deteriorado y carece de valor alguno. Encuentra la ecuación de la recta que de su valor V durante los años de uso.

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5. Un estudiante recibe de un pariente un préstamo sin cobro de intereses de $ 2,500. El estudiante se compromete a pagar $125 cada dos meses hasta l iquidar su deuda.

a) Expresa la cantidad de dinero C, que se adeuda, en términos del t iempo t en meses. b) Después de cuántos meses la deuda del estudiante será de $ 875

6. José compra un carro nuevo por $ 150,000; suponiendo que el carro t iene una depreciación anual de $ 5250 para los primeros 8 años, exprese el valor del carro V como función del t iempo t dados en años para 0 < t < 8.

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7. En la ciudad de México la contaminación ambiental se incrementa durante el día por las emisiones de los automóviles e industrias que entra en la atmósfera. En una ocasión el nivel de contaminación era de 20 imecas a las 8:00 AM y subió a 80 al mediodía. Suponiendo un comportamiento l ineal en las siguientes horas del día, encuentre la función l ineal de ésta en términos del t iempo. La secretaría del medio ambiente ha decretado que se debe publicar una alerta por contaminación ambiental en el momento que se alcancen nivel de 150 imecas. ¿Será necesario publicar la alerta antes de las 6:00 PM?

8. Estudios oceanográficos indican que la temperatura del agua de mar desciende a medida que la profundidad aumenta. En una estación de monitoreo del Golfo de México se extrae nuestros a diferentes profundidades y se encuentra que en la superficie la temperatura es de 26° C y a 500 metros de profundidad es de 5o C. Suponiendo que el comportamiento de las variables es l ineal. a) ¿Cuál es la razón de cambio de la función? b) A 150 metros de profundidad ¿qué temperatura tendrá la columna de agua? c) ¿A qué profundidad se encuentra una temperatura de 3°C?

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9. El consumo de carne promedio por día de los habitantes de una población ha disminuido de forma constante. Las estadísticas señalan que la disminución tiene un comportamiento l ineal con respecto al t iempo. En el 2001 el consumo fue de 90 gramos de carne por habitante y en 2007 el consumo fue de 60 gramos.

a).- ¿Cuál es la razón de cambio en el consumo de carne por año? b).- ¿Qué cantidad de carne se consumía en 1997?

10. La cantidad de calor (Q) requerida para convertir un gramo de agua en vapor varía linealmente con la temperatura de la atmósfera (T). Si a 25°C se requieren 2440 joules y a 22°C 2448 joules, determina: a) La ecuación que expresa la cantidad de calor requerido con la

temperatura de la atmósfera (t) b) La cantidad de calor que se requiere para convertir un gramo de agua

en vapor si la temperatura de la atmósfera es de 10°C. c) La temperatura de la atmósfera si se requieren 2464 joules para

convertir 1 gramo de agua en vapor.

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FUNCIONES RACIONALES

EJERCICIOS

1) En los ejercicios siguientes, encuentra el dominio, asíntotas verticales y horizontales, puntos de corte con los ejes y la gráfica y a partir de ella, el rango.

a) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!

f) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!!

b) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!

g) 𝑓 𝑥 = !!!!!!

c) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!

h) 𝑓 𝑥 = !!!!!!

d) 𝑓 𝑥 = !!!!!

i) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!!!!!

e) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!!!

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APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1. Si se invierten $12 000, ¿En qué tiempo se triplicará el capital inicial si la tasa de intereses que se paga es del 7.6% anual compuesto continuamente? Redondea al año más cercano.

2. Una colonia de bacterias crece a una razón proporcional a su magnitud. Al principio es de 500 bacterias y después de 12 horas es de 1000, ¿Cuál será la población después de 7 días?

3. El terremoto ocurrido en Chile en 1960 tuvo una magnitud de 9.5 en la escala de Richter. Halla la medida en dicha magnitud para otro terremoto ocurrido en otra ciudad que tuvo una intensidad equivalente a la mitad del terremoto ocurrido en Chile

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4. Un anestésico para cirugía se emplea inyectando 30mg de éste por cada kg corporal del paciente. El metabolismo del anestésico decrece de manera exponencial después de la inyección; la concentración remanente a t minutos después de la inyección está dada por: 𝑪(𝒕) = 𝑨𝒐 𝟐!𝒕 /𝟏𝟖𝟎 donde 𝑨𝒐 es la cantidad del anestésico suministrada.

a) ¿Qué cantidad de anestésico debe inyectarse a un paciente de 80 kg de peso?

b) Después de una hora los efectos de la anestesia han disminuido

notablemente. ¿Cuál debe ser la cantidad de una segunda inyección que se le debe suministrar al paciente para alcanzar el nivel original?

5. Si se invierten $ 25000, ¿en cuánto tiempo se triplicará el capital si la tasa de interés en que se realizó la inversión es de 5.8 % anual compuesto continuamente? Redondea al año más cercano.

6. Si se invierten $15 000, ¿En qué tiempo se duplicará el capital inicial si la tasa de intereses que se paga es del 5.9% anual compuesto continuamente? Redondea al año más cercano.

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7. En una comunidad de 10000 habitantes se realizó un muestreo que indica que el número de personas N que han escuchado cierta información y que la recuerdan después de M meses está dada por la fórmula

𝑀 = 54 – 6 𝑙𝑛 (10000 – 𝑁)

a) ¿Cuántos meses transcurrirán hasta que la mitad de las personas que recibieron la información sobre prevención de embarazos recuerden la información?

b) ¿Cuántas personas recordarán la información después de un año?

8. La vida media del carbono 14 es de 5570 años ¿Cuánto tiempo tardará en

disminuir hasta que el remanente en el animal o vegetal muerto sea de un 5 % de la cantidad original?

9. En cierta población del interior del estado 5 personas asisten a una clínica de salud para ser atendidas por gripa, si el número de personas que se contagian al cabo de t días está dado por la función:

𝑁 𝑡 = !"####(!")!/!

!"!/!!!"""" donde t es el tiempo en días.

¿Cuántas personas podemos esperar que se contagien al cabo de 8 días si las primeras 5 no reciben la atención adecuada?

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10. Sin usar calculadora obtener el valor de x en la expresión 1282log=x

11. Hallar sin el uso de calculadora el valor de las expresiones: a) 𝑙𝑜𝑔!243÷ 𝑙𝑜𝑔!16 =

b) 𝑙𝑜𝑔!343 + 𝑙𝑜𝑔!16 =

12. Elabora la gráfica de las siguientes funciones: a) 𝑓 𝑥 = 𝑒!!/!!

b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥! + 1

c) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 2

d) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥! − 4

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MODELACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función cuadrática como modelo matemático

1. Una empresa puede vender a 180 dólares por unidad toda la producción de cierto artículo. Si se producen diariamente x unidades, el costo total en dólares de la producción diaria está dado por la expresión

C(x) = x! + 20x + 900

Determina: a) ¿Cuántas unidades se deben producir diariamente para que la utilidad

sea máxima? b) Determina el monto de la utilidad R = 5 500 dólares

2. Una empresa puede vender a un precio de 2 4 0 dólares por unidad todos los artículos que produce. Si se fabrican x unidades diarias, el monto del costo total en dólares de la producción diaria está dado por la expresión :

C(x) = x! + 80x + 400

D etermina:

a) La cantidad de artículos que tiene que producir por día para que la utilidad sea máxima. R = 80

b) El monto de la utilidad máxima por día. R = 6000 dólares

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3. Una compañía encuentra que el costo de producir x artículos diarios está dado por la ecuación

C x = 420 − 0.8. x + 0.002x!

¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo? R =20

4. La utilidad diaria (U) de una empresa está dada en pesos, por la expresión U(x) = — 3x! + 450x — 875, donde x es el número de artículos producidos diariamente. Determina

a) El número de artículos que se deben producir diariamente para que la utilidad sea máxima. R = 75

b) El monto de la utilidad máxima R =$16000 pesos

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5. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 40 m/s. La altura (h) en metros a la que se encuentra a partir de su punto de lanzamiento está dada por la ecuación ℎ(t) = −4.9t2 + 40𝑡, donde t representa el tiempo transcurrido en segundos desde que se lanzó la pelota. Encuentra:

a) El tiempo que tarda la pelota en alcanzar la altura máxima R = 4.08 s b) La altura máxima que alcanza la pelota. R = 81.63 m

6. Supongamos que el costo de un boleto para viajar de Monterrey a Saltillo es de

$80. Si por cada pasajero que sea mayor de 30 años el costo del boleto disminuye en $2, encuentra:

a) El número de personas que deben ser mayores de 30 años para que el ingreso sea máximo R =5

b) El monto del ingreso máximo. R =2450

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7. La suma de dos números es 24. Encuentra dichos números con la condición de que su producto sea el máximo.

R = 12

8. Se necesita formar un rectángulo de tal forma que su perímetro sea de 120m. Determina

a) La longitud de sus lados para que su área sea máxima b) La magnitud del área máxima R = 900 m2

9. El gerente de un hotel, que tiene 40 habitaciones, sabe que se ocupan todas si el precio de alquiler de cada una es de $300. Además sabe que por cada $10 de aumento en el precio de alquiler tendrá una habitación vacía. Encuentra:

a) Determina el ingreso en función del número de habitaciones. b) El precio del alquiler de cada habitación para que el ingreso sea

máximo. R =350 c) El monto del ingreso máximo. R = 12250 d) Si el precio de alquiler de cada habitación es el que genera el ingreso

máximo, ¿cuántas están alquiladas? R = 35

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10. El propietario de una casa tiene 40 m de alambre y los va a utilizar para cercar un jardín de forma rectangular. Encuentra:

a) Las dimensiones de dicho jardín para que su área sea máxima. b) El área máxima R = 100 m2

11. Un ganadero desea cercar un área rectangular a lo largo del río, pero sólo necesita cercar tres lados, como se muestra en la figura. Calcula:

a) Las dimensiones del rectángulo. b) El área máxima por cercar

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12. La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la ecuación 𝑈(x) = − 2 𝑥! + 20 𝑥 − 15, donde x representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes; determina:

a) La cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender en un mes para que la utilidad sea máxima. R = 5

b) El monto de la utilidad máxima R = 35

13. Un hotel que tiene 80 habitaciones puede rentarlas todas si el precio de alquiler por día es de $300, pero ha encontrado que por cada $6 de aumento en el precio de alquiler tendrá una habitación vacía; determina:

a) El precio de alquiler de cada habitación para que el ingreso sea máximo. b) El monto del ingreso máximo. c) El número de habitaciones que estarían ocupadas cuando el ingreso es

máximo. a) 390 b) 25350 c) 65

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14. Un granjero tiene 80 metros de malla ciclónica para cercar dos corrales rectangulares idénticos como se muestra en la figura. Encuentra el área máxima limitada por la malla.

15. Se desea construir una cerca para delimitar un terreno rectangular que colinda con la orilla de un río de tal forma que no se utilice cerca en el lado que da a la orilla del río. Si el material para cercar los lados tiene un costo de $400 por metro lineal y el que servirá para cercar el lado paralelo al río cuesta $600 por metro lineal y se cuenta con un presupuesto de $48000 para la adquisición del mismo, encuentra el área máxima que se cercara con el material disponible.

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16. Un fruticultor calcula que si se siembran 60 árboles por hectárea, cada árbol dará 500 manzanas al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce a 5 manzanas por cada árbol adicional que se plante por hectárea. ¿Cuántos árboles por hectárea deben plantarse para maximizar la producción de dicha fruta?

Producción Número de árboles Número de frutos

Inicial Ajustada -

60 60 + x

500 500 - 5x

17. La suma de un número más el doble de otro es 100. Encuentra dichos números con la condición de que su producto sea el máximo.

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18. Una pieza larga y rectangular de lámina de 80 cm de ancho va a convertirse en un canal para agua cuando se doblan hacia arriba dos de sus aristas hasta formar ángulos de 90° con la base. ¿De qué medida deberán ser los dobleces para que el canal permita el paso de la mayor capacidad de agua?

19. Una compañía de bienes raíces es propietaria de 150 departamentos que son ocupados en su totalidad cuando la renta en cada uno de ellos es de $1200. La compañía calcula que por cada $100. de aumento en la renta se desocupan cinco departamentos. ¿Con qué renta mensual la compañía obtendría el mayor ingreso y cuál es ese ingreso?

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20. El gerente de una empresa sabe, por experiencia, que por cada uno de sus 80 empleados puede producir 320 artículos diarios. Por cada empleado adicional que contrate después de los 80, la producción disminuye en 4 artículos. ¿Cuántos empleados debe tener para lograr una máxima producción?

21. Un campo petrolero contiene 50 pozos. Cada uno produce 90 barri les de petróleo diario en promedio. Empíricamente se ha encontrado que la perforación de pozos adicionales en el mismo campo, provocan una disminución en la producción de 3 barri les diarios por cada pozo adicional. ¿Cuál será el número óptimo de pozos para obtener la máxima producción diaria?

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22. Si el costo de producción de x artículos por semana es A x! + Bx + C, y el precio en pesos al que cada artículo puede venderse es P = α – β x! Calcula el número de artículos que deberán producirse para obtener una ganancia máxima.

23. El costo total de producción de x unidades diarias de cierto producto es de

𝐶 𝑥 = ¼ 𝑥2 + 30𝑥 + 75 pesos

y el precio de venta de cada uno es de ( 90 —½ x) pesos; encuentra el número de unidades que deben venderse diariamente para obtener una ganancia máxima.

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24. El costo total de producción de x unidades diarias de cierto producto es de

𝐶 𝑥 = ½ 𝑥2 + 10𝑥 + 30 pesos

y el precio de venta de cada uno es de ( 50 —½ x) pesos; encuentra el número de unidades que deben venderse diariamente para obtener un beneficio máximo

EJERCICIOS DE MODELACIÓN 25. Se desea construir una caja sin tapa cortando cuadrados de las esquinas de

una hoja cuadrada de cartón de 40 cm por lado. Expresar el volumen de la caja en función del corte que se hará en las esquinas y dar el dominio de la función obtenida (valores admisibles)

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26. Un fruticultor calcula que si siembra 90 árboles por hectárea, cada árbol dará 500 manzanas al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce en 5 manzanas por cada árbol adicional que se plante por hectárea. Expresa la producción P en función de x que representa el número de árboles adicionales que deben plantarse.

27. Expresa en función de uno de los lados el área del rectángulo que se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

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28. Un corral rectangular para un perro se hace con 40 metros de alambre pero solo se cercaran tres lados porque uno de ellos coincide con un muro. ¿Cuáles son las dimensiones del corral para que su área sea máxima?

29. Un empresario ha determinado que el costo total C del funcionamiento de su

fábrica es: 𝑪(𝒙) = 𝟏.𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟐.𝟓 donde 𝑥 es el número de unidades fabricadas. ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el costo de producción sea el mínimo?

30. Se desea fabricar una lata cilíndrica con 2 tapas que tenga un volumen de 320 𝑐𝑚!. Expresar el área del material necesario en términos de su radio. Calcula el volumen si 𝑟 = 3 𝑐𝑚.

31. Se desea construir una caja sin tapa cortando cuadrados de las esquinas de una hoja de cartón de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Expresa el volumen de la caja en función del corte que se hará en las esquinas y dar el dominio de la función obtenida (valores admisibles) y calcula el volumen cuando 𝑥 = 5 𝑐𝑚

32. Una compañía de televisión por cable da servicio a 20000 hogares y cobra $150 mensuales. Estudios de mercadotecnia señalan que por cada disminución de $10 a la tarifa mensual esto atraerá a 300 clientes nuevos. Expresa el ingreso I en función de x que representa el número de disminuciones de $10

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33. Se quiere construir una caja si tapa con una pieza rectangular de 60 cm. de largo por 60 cm. de ancho, cortando cuadrados en las esquinas. Expresa el volumen de la caja en función de x

34. A las 9 am, el barco B se encuentra a 65 millas al Este del barco A. El barco B

navega hacia el Oeste a 10 millas por hora y A hacia el sur a 15 millas por hora. Expresa la distancia entre los barcos en función del tiempo t dado en horas.

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35. Expresa en función de uno de los lados el área del rectángulo que se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

36. Un alambre 40 cm. de largo se va a partir en dos pedazos. Uno de los pedazos, mide x, se doblará para formar un cuadrado y el otro servirá para formar un círculo. Expresa el área total de las dos figuras en función del pedazo x.

A 𝑥 P B

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37. Se quiere construir una cisterna en forma de un paralelepípedo rectangular de base cuadrada con una capacidad de 15 m3. Si por caras laterales y la base se paga $10 pesos por metro cuadrado y por la parte superior se paga el doble por metro cuadrado Expresar el costo en función de la medida de la base.

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38. Dos postes de longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. El costo del cable que va desde la punta del poste de 6 m hasta un punto P que se encuentra en el suelo entre los postes es de $15 por metro y el costo del cable que va desde ese punto P hasta la punta del poste de 8 m es de $20 el metro; expresa el costo total del cable.

39. Una carretera que corre de norte a sur y otra que corre de este a oeste se intersecan en un punto P. Un ciclista que se dirige al este con una velocidad de 20 km/h pasa por P a las 10 am. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el sur a una velocidad de 50 km/h se encuentra dos kilómetros al norte de P. Expresa la función que represente la distancia que hay entre los dos ciclistas

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40. Un pescador en bote de remos se encuentra a una distancia de 2km. mar adentro del punto más cercano de una playa recta y desea llegara otro, punto de la playa a 6 km. del primero Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar a 5 km/h, expresa la trayectoria que debe seguir para llegar a su destino.

41. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una semicircunferencia. Expresa el área de la ventana en función del radio del semicírculo si el perímetro de la ventana es de 6m.

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42. Expresa el volumen del cilindro que puede ser inscrito en una esfera de radio 8 pulgadas en función de la altura

43. Expresa el volumen del cono que puede ser inscrito en una esfera de radio 8 pulgadas en función de la altura.

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44. Expresa el volumen del cilindro circular recto que puede ser inscrito en un cono de 10 cm. radio 25 cm. de alto en función de la altura del cono.

45. Expresa el volumen del cono recto que puede ser circunscrito en una esfera de 8 pulgadas de radio en función de su altura.

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46. Un oleoducto va a conectar dos puntos, A y C, que se encuentran a 13 km. de distancia uno del otro en riberas opuestas de un río recto. El punto B más cercano del otro lado del río al punto A se encuentra a 5 Km. Una parte del oleoducto irá bajo el agua desde A hasta un punto D que se encuentra entre B y C. La otra parte del oleoducto irá desde D hasta C sobre la tierra. El costo por km. del oleoducto bajo el agua es cuatro veces el costo sobre la tierra. Expresa el costo total del oleoducto en función de la distancia que hay de B a D

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FUNCIONES POLINOMIALES

Una función polinomial f, está definida de la manera siguiente:

1 21 2 1 0( ) ..........n n n

n n nf x a x a x a x a x a− −− −= + + + + +

y su dominio son todos los números reales. Los coeficientes na y 0a reciben los nombres de coeficiente principal y término independiente respectivamente.

Los puntos de retorno son aquellos donde la función cambia su comportamiento, es decir, pasa de ser una función creciente a función decreciente o viceversa. En estos puntos las funciones tienen sus valores máximos o mínimos

Los puntos de retorno son cuando mucho igual al grado del polinomio menos una

unidad, es decir, r 1P =n− .

Ejemplo 1: si el polinomio es de grado 4, entonces tiene no más de 3 puntos de retorno.

Ejemplo 2: si el polinomio tiene 2 puntos de retorno, entonces el grado mínimo del polinomio es 3

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FUNCIÓN POLINOMIAL

Para cada una de las siguientes gráficas determina:

a) Grado mínimo del polinomio y signo del coeficiente principal

b) Coordenadas de los puntos de corte con el eje x

c) Intervalos donde es creciente y decreciente

d) Coordenadas de los puntos de retorno

Gráfica 1

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Gráfica 2

Gráfica 3

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EXAMEN DE DIAGNOSTICO DE MATEMÁTICAS IV

Nombre: ______________________________________ Sección: _________

1. Sombrea en el diagrama la región que representa la operación pedida.

( (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 )!

(𝐶 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴

2. Efectúa las operaciones indicadas con los intervalos dados: 𝐴 = −2, 2 𝐵 = (−1,0 ) 𝐶 = (0,4 )

a) (𝐴 − 𝐶)− 𝐵 b) 𝐴! ∪ 𝐵

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3. Resuelve el sistema de desigualdades. 𝟐𝒙+ 𝒚 < 𝟐

𝒙 – 𝒚 > 𝟑

4. Determina la inversa de la función 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙+ 𝟐)/(𝒙− 𝟓) así como su dominio.

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5. Una persona compra un auto en 75000. suponiendo que el auto tuvo una depreciación anual de 3000 para los primeros 10 años, expresa el valor del auto. como función del tiempo para el intervalo 0≤t≤10

6. Un granjero tiene 2000m de malla ciclónica para colocar alrededor de un terreno rectangular que colinda con un río. si él no quiere colocar malla en el lado que está a lo largo del rio y desea tener dos secciones idénticas ¿cuál es la mayor área que puede abarcar?

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7. Halla el dominio, rango, asíntotas horizontales y verticales y elabora la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = − 𝟑𝒙

𝒙𝟐!𝟒

8. El tamaño de cierta población de insectos en el instante t obedece a la función 𝒑 𝒕 = 𝟏

𝟓×𝟏𝟎!𝟑 𝒆!.𝟎𝟖𝒕 .Si el malévolo doctor “Caos” tiene esta fórmula

y Fumanchu tarda 5 días en atraparlo, ¿cuántos insectos habrá desarrollado en este tiempo?

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9. Sin utilizar calculadora obtenga el valor de x en la expresión:

log!1343 = 𝒙

10. Se desea fabricar una lata cilíndrica con tapas. Expresa el área del material necesario en términos de su radio si su altura debe ser 3 unidades más que su diámetro.

11. Halla 𝒇𝒐𝒈 𝒙 si 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 ! 𝟑𝒙 – 𝟏

y 𝒈 𝒙 = 𝒙!𝟏𝟑

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12. Halla la función de área de un rectángulo si su base mide 4 unidades menos que sus diagonales y su altura es 8 unidades menor que su base.

13. Halla el dominio y el rango de la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙+ 𝟑

14. Averigua si la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 –𝟑 es par impar o ninguna de las dos.

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SECCIÓN DE RESPUESTAS

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RESPUESTAS A LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

EJERCICIO 2

EJERCICIO 4

EJERCICIO 5

EJERCICIO 6

RESPUESTAS A LAS DESIGUALDADES

EJERCICIO 9

a. 1, 2 f. !!, !!

k. −∞,−2 ∪ −2,1 ∪ 4,∞

b. −∞,−3 ∪ !!,∞ l. −∞,− !

!∪ !

!,∞

c. (−∞,−3 ∪ 1,∞ m. 0, 2

d. −7, 2 i. −∞,− !!∪ !

!,∞ p. −1, 4

e. − !!, 3 j. −∞,−3 ∪ 0, 2 q. !

!, 2

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RESPUESTAS A LOS SISTEMAS DE DESIGUALDADES

g) h) h)

m)

n)

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DE LAS FUNCIONES

EJERCICIO 1

a) 𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ b) 𝐷𝑜𝑚 = ℝ− ±2 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = −∞,−1 ∪ 0,∞ c) 𝐷𝑜𝑚 = −∞,−4 ∪ 4,∞ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 0,∞ d) 𝐷𝑜𝑚 = −4,4 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 0,3 e) 𝐷𝑜𝑚 = −3,3 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 0,3 f) 𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 2,∞

EJERCICIO 2

a) N b) I

c) P d) P

e) P f) I

g) N h) I

EJERCICIO 3

a) 𝐷𝑜𝑚: −5,5 b) 𝐷𝑜𝑚: −6,6

EJERCICIO 4

a) 𝑓!! 𝑥 = !!

!!!! b) 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = !

!!!

EJERCICIO 6

a) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = !!!!!

b) 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = !!

EJERCICIO 7

a) 𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 0, 1

b) 𝑔 𝑥 = !!!!

c) Son inversas.

EJERCICIO 8

a) 𝑓!! 𝑥 = !!!!

!!!! b) 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = !!!

!

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EJERCICIO 9 𝐴1,𝐵2,𝐶2,𝐷3

EJERCICIO 10

a) 𝐴1,𝐵2,𝐶2,𝐷3, 𝐸3 b) 𝐴1,𝐵2,𝐶2,𝐷3, 𝐸3 c) 𝐴1,𝐵4,𝐶1,𝐷2, 𝐸3

d) 𝐴1,𝐵3,𝐶2,𝐷3, 𝐸1 e) 𝐴1,𝐵4,𝐶1,𝐷2, 𝐸3 k) 𝐴2

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS RELATIVOS A FUNCIÓN LINEAL

EJERCICIO 1

a) 𝑓 𝑥 = 100𝑥 + 30000 b) 120

EJERCICIO 2

a) 𝑓 𝑥 = −7.5𝑥 + 1130 b) 90

EJERCICIO 3

a) 𝑓 𝑥 = 0.2𝑥 + 27 b) 77

EJERCICIO 4: 𝑓 𝑥 = −650𝑥 + 6500

EJERCICIO 5

a) 𝑓 𝑥 = −62.5𝑥 + 2500 b) 26

EJERCICIO 6 𝑉 𝑡 = −5250𝑡 + 150000

EJERCICIO 7

a) 𝑓 𝑥 = 15𝑥 − 100 b) La alarma si debería activarse.

EJERCICIO 8

a) −1/25 b) 19°C c) 550m

EJERCICIO 9

a) −5 b) 105

EJERCICIO 10

a) 𝑄 𝑡 = !!!!!"#$!

b) 2480 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 c) 16°C

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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS ACERCA DE LA FUNCIÓN RACIONAL

EJERCICIO 1

a) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− −1 , Asíntota vertical 𝑥 = −1, asíntota horizontal 𝑦 = 2

b) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− ±2 , Asíntotas verticales 𝑥 = 2, 𝑥 = −2, asíntota horizontal 𝑦 = 1

c) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− ±2 , Asíntotas verticales 𝑥 = 2, 𝑥 = −2, asíntota horizontal 𝑦 = 3

d) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 0, 4 , Asíntota vertical no tiene, asíntota horizontal

𝑦 = 0 (𝑒𝑗𝑒 𝑋)

e) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− ±3 , Asíntotas verticales 𝑥 = 3, 𝑥 = −3, asíntota horizontal 𝑦 = 2

f) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− 1 , 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ− 0 , No tiene asíntotas.

g) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− ±3 , Asíntotas verticales 𝑥 = 3, 𝑥 = −3, asíntota horizontal

𝑦 = 0 (𝑒𝑗𝑒 𝑋)

h) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− 1 , Asíntota vertical 𝑥 = 1, asíntota horizontal 𝑦 = 1

i) 𝐷𝑜𝑚.= ℝ− 2, 3 , Asíntota vertical 𝑥 = 3, asíntota horizontal 𝑦 = 1

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS ACERCA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1. 14 años

2. 8,192,000 bacterias

3. 9.19

4. a) 2400mg b) 495mg

5. 19 años

6. 12 años

7. a) 2.9 meses b) 8903

personas

8. 24,073 años

9. 498

10. 𝑥 = 7/2

11. a) 5/4 b) 5

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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA Y MODELACIÓN.

1. b) 5500 dólares

2. a) 80 b) 6000 dólares

3. a) 20

4. a) 75 b) $16000 pesos

5. a) 4.08 segundos b) 81.63m

6. a) 5 b) 2450

7. 12

8. b)900m2

9. b) 350 c) 12250 d) 35

10. b) 100m2

11. a) 250m × 500m b)

125000m2

12. a) 5 b) 35

13. a) 390 b) 25350 c) 65

15. R = 1200 m2

16. R = 80

26. P = (90 + x) (500 – 5x) 32. 𝑰 =

(𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟑𝟎𝟎𝒙) (𝟏𝟓𝟎 – 𝟏𝟎𝒙)

33. V = x (60 - 2x)2

34. 𝑑 = 325𝑡! − 1300𝑡 + 4225

35. 𝐴 = 𝑥 100− 𝑥!

36. 2 2x 1600 80x+A x+16 4

=π

−

37. 2 600C=30x + x

38. 2 2C 15 x +36 +20 x 20 x+164= −

39. 2d = 2900t 20t+4−

40.

24+ x 6 xT +3 5

−=

41. 2

2 rA=6r 2r2π

− −

42. 3256h hV =

4π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

43.

2 3(16h h )V =3

π −

44. ( )3 24V h 50h +625h

25π

= −

45.

264 hV3 h 16π

=−

46. ( )2Costo = 4 x 25 12 x+ + −

Material de Apoyo de Mate 4

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