Materi-1-1 Sistem Koordinat
Transcript of Materi-1-1 Sistem Koordinat
AWAL
KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)
Dosen Pengajar:Dosen Pengajar:Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.
Ruang Dimensi Tiga dan VektorRuang Dimensi Tiga dan Vektor
Fungsi Dinilai VektorFungsi Dinilai Vektor
Derivatif ParsialDerivatif Parsial
Integral LipatIntegral Lipat
Kalkulus VektorKalkulus Vektor
MATERI
AWAL
1
2
3
4
5
1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D1.2 Vektor1.2 Vektor1.3 Persamaan Parametrik1.3 Persamaan Parametrik1.4 Bidang-Bidang dalam Ruang-3D1.4 Bidang-Bidang dalam Ruang-3D1.5 Permukaan Kuadratik1.5 Permukaan Kuadratik1.61.6 Fungsi MultivariabelFungsi Multivariabel
Ruang Dimensi Tiga dan Vektor
AWAL
Sistem Koordinat Koordinat Titik
1. Kartesian (x,y,z)
2. Tabung (r,,z)
3. Bola (,,)
1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang 3D
AWAL
AWAL
y
x
zP(r,,z)
r
y
x
z
P(x,y,z)
x
y
z
X = r cos
y = r sin
z = z
r = (x2 + y2)1/2
= atan (y/x)
z = z
Transformasi Kartesian - Tabung
KARTESIANKARTESIAN TABUNGTABUNG
Transformasi Kartesian - Bola
AWAL
y
x
z
P(x,y,z)
x
y
z
X = cos sin
y = sin sin
z = cos
= (x2 + y2+ z2)1/2
= atan (y/x)
= acos (z/)
y
x
zP(,,)
r
KARTESIANKARTESIAN BOLABOLA
AWAL
dari
0 hingga
dari
0 hingga 2
rad = 180o ; 1 rad = 180o/ = 57,273o
AWAL
AWAL
AWAL
Contoh :
AWAL
1. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat tabung !
2. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat bola !
Penyelesaian soal No. 1:
r= (x2 + y2)1/2 = (22 + (-1)2)1/2 = 5
= atan (y/x) = atan (-1/2) = - atan (1/2)
= - 26,6o = - 0,464 rad di kwadran IV
z = 3
(2,-1,3) (5; -26,6o; 3)
Contoh
AWAL
Penyelesaian soal No. 2:
= (x2 + y2+ z2)1/2 = [22 + (-1)2+ 32]1/2 = 14
= atan (y/x) = atan (-1/2) = -26,6o
= acoz (z/r) = acos (3/14) = 36,7o
(2,-1,3) (14; -26,6o; 36,7o)
1. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat tabung !
2. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat bola !
AWAL
Bidang2 utama Koordinat Kartesian
Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :
1.x = xo
2.y = yo
3.z = zo
AWAL
Bidang2 utama Koordinat Tabung
Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :
1. r = ro
2. = o
3.z = zo
AWAL
Bidang2 utama Koordinat Bola
Tiga bidang utama dalam koordinat bola :
1. = o
2. = o
3. = o
AWAL
Bidang2 utama Koordinat Bola
Interseksi kerucut dan bolaInterseksi kerucut dan bola
BOLA KERUCUT
AWAL
Segmentasi Panjang, Luas dan Volume
KOORDINAT KARTESIANKOORDINAT KARTESIAN
Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :
dx, dy, dzdx, dy, dz
Segmentasi luas :Segmentasi luas :
dAdAzz = dx dy = dx dy
dAdAxx = dy dz = dy dz
dAdAyy = dx dz = dx dz
Segmentasi volume :Segmentasi volume :
dV = dx dy dzdV = dx dy dz
dXdy
dz
AWAL
Segmentasi Panjang, Luas dan Volume
dr
dz
rd
KOORDINAT TABUNGKOORDINAT TABUNG
Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :
dr, r ddr, r d, dz, dz
Segmentasi luas :Segmentasi luas :
dAdAzz = r dr d = r dr d
dAdArr = r d = r d dz dz
dAdA = dr dz = dr dz
Segmentasi volume :Segmentasi volume :
dV = r dr ddV = r dr d dz dz
AWAL
Segmentasi Luas
KOORDINAT TABUNGKOORDINAT TABUNG
Segmentasi luas :Segmentasi luas :
dAdAzz = r dr d = r dr d
dAdArr = r d = r d dz dz
dAdA = dr dz = dr dz
x
y
z
dA
dAr
dAz
AWAL
Segmentasi Panjang, Luas dan Volume
KOORDINAT BOLA KOORDINAT BOLA
Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :
dd, , d d sin sin, , d d
Segmentasi luas :Segmentasi luas :
dAdA = = d d d d sin sin
dAdA = = 22 d d d d sinsin
dAdA = = d d d d
Segmentasi volume :Segmentasi volume :
dV = dV = 22 d d d d d d sin sin
d
d sin
d
AWAL
Segmentasi Luas
x
y
z
dAdA
dA
KOORDINAT BOLAKOORDINAT BOLA
Segmentasi luas :Segmentasi luas :
dAdA = = d d d d sin sin
dAdA = = 22 d d d d sin sin
dAdA = = d d d d
AWAL
Segmentasi Panjang
ds
222 dzdydxds
222 dzrddrds
222 sin dddds
KARTESIAN :
TABUNG :
BOLA :
AWAL
1.1.Titik Titik P(2, P(2, /6, -3)/6, -3) dalam koordinat dalam koordinat tabung. Nyatakan titik P kedalam tabung. Nyatakan titik P kedalam koordinat kartesian dan bola!koordinat kartesian dan bola!
2.2.Titik Titik Q(4, 2Q(4, 2/3, /3, /6)/6) dalam koordinat dalam koordinat bola. Nyatakan titik Q kedalam bola. Nyatakan titik Q kedalam koordinat kartesian dan tabung!koordinat kartesian dan tabung!
PENYELESAIAN
Soal mandiri :
AWAL
3.3.Gambarkan bidang-bidang : Gambarkan bidang-bidang : x = 1; x = 1; y = 2 ; z = 3y = 2 ; z = 3 dalam sistem koordinat dalam sistem koordinat kartesian yang sama. Berupa kartesian yang sama. Berupa apakan perpotongan antara kedua apakan perpotongan antara kedua bidang? Dimanakan perpotongan bidang? Dimanakan perpotongan dari ketiga bidang tersebut?dari ketiga bidang tersebut?
PENYELESAIAN
Soal mandiri :
AWAL
4.4.Gambarkan bidang Gambarkan bidang r = 3; r = 3; = = /3; /3; z = 2z = 2! Berupa apakah perpotongan ! Berupa apakah perpotongan antara bidang antara bidang r = 3r = 3 dan dan = = /3/3, , antara antara = = /3/3 dan bidang dan bidang z = 2z = 2; ; antara bidang antara bidang r = 3r = 3 dan dan z = 2z = 2??
5.5.Gambarkan bidang Gambarkan bidang = 4; = 4; = = /3; /3; = = /3/3 dalam koordinat bola! dalam koordinat bola!
PENYELESAIAN
Soal mandiri :
AWAL