LATVIJAS UNIVERSITĀTE

A. Buiķis

MATEMĀTISKĀS FIZIKAS

VIENĀDOJUMI

Pamatjautājumi

Rīga 2003

1

Buiķis A. Matemātiskās fizikas vienādojumi Pamatjautājumi. Rīga: Latvijas Universitāte, 2003. – 57

lpp.

Grāmatā apskatīti matemātiskās fizikas vienādojumu klasiskie jautājumi.

1. nodaļā apskatīta 2. kārtas parciālo diferenciālvienādojumu klasifikācija. 2. kārtas

parciālie diferenciālvienādojumi iegūti 2. nodaļā kā dažādu fizikālu procesu

matemātiskie modeļi. 3.nodaļa veltīta matemātiskās fizikas problēmu galvenajiem

tipiem, to korektības un klasiskā atrisinājuma jēdzieniem un dažādu matemātiskās

fizikas problēmu savstarpējai saistībai. Turpmākajās trijās nodaļās apskatītas

konkrētas matemātiskās fizikas problēmas attiecīgi hiperboliskā, paraboliskā un

eliptiskā tipa parciālajiem diferenciālvienādojumiem.

Darba elektroniskā versija tiek izmantota LIIS.

Darbu izdošanai sagatavojušas Olga Arbidāne un Sanda Bordovska.

© Andris Buiķis, 2003

ISBN 9984 – 725 – 87 - 1

Reģ. apl. No. 2-0266.

_______________________________________________________________________________________________________

Iespiests SIA „Mācību grāmata”, Raiņa bulv. 19, Rīgā, LV – 1586, tel./fax. 7325322

Andris Buikis

Latvijas Universitāte

Matemātiskās fizikas vienādojumi

2002

Atslēgas vārdi: 2. kārtas parciālie diferenciālvienādojumi, matemātiskās fizikas

vienādojumi, matemātiskās fizikas problēmas.

Anotācija

Materiāls aptver matemātiskās fizikas vienādojumu mācību kursa pamatjautājumus: 2.

kārtas parciālo diferenciālvienādojumu ar diviem argumentiem klasifikāciju, to

iegūšanu, pamatproblēmu formulējumu un galvenās risināšanas metodes.

Saturs Ievads .................................................................................................................. 3

1.nodaļa . Parciālo 2. kārtas diferenciālvienādojumu klasifikācija

un redukcija kanoniskā formā .............................................................. 3

1 §

Vienādojumu klasifikācija pēc linearitātes .......................................... 3

2 §

Otrās kārtas diferenciālvienādojumu tipi ............................................ 3

2.nodaļa . Parciālie 2. kārtas vienādojumi, kā fizikālie procesu

matemātiskie modeļi ............................................................................... 8

1 §

Stīgas svārstību vienādojums ............................................................... 8

2 §

Siltuma vadīšanas vienādojums ........................................................... 11

3 §

Stacionārais siltumā vadīšanas vienādojums ....................................... 14

3.nodaļa . Matemātiskās fizikas problēmas, to tipi, korektība

un dažādu problēmu saistība ................................................................. 16

1 §

Papildnosacījumi un matemātiskās fizikas problēmu tipi ................... 16

2 §

Matemātiskās fizikas problēmas korektība ......................................... 19

3 §

Matemātiskās fizikas problēmas klasiskais atrisinājums .................... 21

4 §

Vispārīgā matemātiskās fizikas problēma un pamatproblēmas .......... 23

5 §

Dažādu pamatproblēmu saistība ......................................................... . 23

4.nodaļa . Problēmas stīgas svārstību vienādojumam ................................................ 26

1 §

Dalambēra atrisinājums Košī problēmai ............................................. 26

2 §

Dalambēra atrisinājuma fizikālā interpretācija ................................... 28

3 §

Furjē metode jauktā veida problēmai stīgas svārstību vienādojumam 30

4 §

Jaukta veida problēma atrisinājuma fizikālā interpretācija ................. 33

5.nodaļa. Problēmas siltuma vadīšanas vienādojumam ................................. 36

1 §

Jaukta veida problēmas atrisinājuma iegūšana un tā pārbaude ........... 36

2 §

Grīna funkcijas jēdziens un tās fizikālā interpretācija ........................ 38

3 §

Jaukta veida problēmas atrisinājuma korektība un

maksimuma princips ................................................................................. 40

4 §

Košī problēma siltuma vadīšanas vienādojumam ............................... 42

6.nodaļa. Robežproblēmas Laplasa vienādojumam ........................................ 46

1 §

Harmonisku funkciju jēdziens un to īpašības ..................................... 46

2 §

Maksimuma princips un unitātes un stabilitātes teorēmas .................. 51

Ievads. Lekciju kursa visprecīzākais nosaukums būtu: "Matemātiskās fizikas

vienādojumi. Pamatjautājumi." Tajā iekļauts minimālais apjoms, kurš nepieciešams,

lai gūtu pirmo priekštatu par matemātiskās fizikas vienādojumiem. Pirmkārt, dota

redukcija kanoniskaja formā 2. kārtas diferenciālvienādojumiem ar diviem

argumentiem (vispārīgais n argumentu gadījums netiek detalizēti apskatīts). Otkārt,

apskatīti daži vienkāršākie procesi, kuru matemātiskie modeļi dod parciālos 2. kārtas

diferenciālvienādojumus. Treškārt, tiek apskatīti tipiskākie papildnosacījumi, kuri

kopā ar parciālo diferenciālvienādojumu veido tā sauktās matemātiskās fizikas

problēmas un turpat ir apskatīta dažādu problēmu saistība. Visbeidzot, visiem 2.

kārtas parciālo diferenciālvienādojumu tipiem – hiperboliskā, paraboliskā un eliptiskā

tipa vienādojumiem – tiek īsi izklāstītas galvenās risināšanas metodes dažāda tipa

problēmām, atrisinājumu pamatošana un to fizikālā interpretācija. Tiek apskatītas

Košī, jauktā veida un robežproblēmas.

Visi šie jautājumi ir tā minimālā bāze, kura nepieciešama citu matemātikas

pamatdisciplinu (piemēram, atiecīgo skaitlisko metožu nodaļu) izpratnei.

Par apzīmējumiem. Dažādās mācību grāmatās parciālo diferenciālvienādojumu

pierakstā atvasinājumiem lieto divējādus apzīmējumus: piemēram, funkcijas txu ,

atvasinājumu pēc t apzīmē vai nu ar tu vai kā t

u

. Šajā mācību līdzeklī izmantoti abi

pieraksti un tie ir jāuzskata par ekvivalentiem.

3

1.nodaļa Parciālo 2. kārtas diferenciālvienādojumu klasifikācija

un redukcija kanoniskā formā

1 §

Vienādojumu klasifikācija pēc linearitātes

Klasifikāciju apskatīsim divu argumentu funkcijai txu , un vienādojumam, kurā

augstākie ir 2. kārtas atvasinājumi. Pieņemsim, ka 2, RDtx .

Par nelineāru parciālo diferenciālvienādojumu sauksim 8 argumentu funkciju

0,,,,,,, ttxtxxtx uuuuuutxF . (1)

Par vienādojuma (1) atrisinājumu sauc tādu funkciju txu , , ka, ievietojot to un tās

atvasinājumus parciālajā diferenciālvienādojumā (1), tas pārvēršas par identitāti

attiecībā pret neatkarīgajiem mainīgajiem tx, .

Ja vienādojums ir lineārs attiecībā uz vecākajiem atvasinājumiem ttxtxx uuu ,, , tad

diferenciālvienādojumu sauc par kvazilineāru. To var pierakstīt formā:

0,,,,2 221211 txttxtxx uuutxfuauaua , (2)

kur koeficienti ija var būt atkarīgi gan no pašas funkcijas, gan no tās pirmajiem

atvasinājumiem:

2,1,,,,,, jiuuutxaa txijij .

Savukārt, ja šie koeficienti ir atkarīgi tikai no mainīgajiem tx, , t.i.

txaa ijij , ,

tad diferenciālvienādojumu sauc par gandrīz lineāru.

Par lineāru diferenciālvienādojumu sauc tādu vienādojumu, kurš ir lineārs gan

pret pašu funkciju, gan visiem tās atvasinājumiem:

0,2 21221211 txfcuububuauaua txttxtxx , 3)

pie kam visi koeficienti cba iij ,, var būt tikai neatkarīgo mainīgo tx, funkcijas.

Visbeidzot, ja neviens no minētājiem koeficientiem nav atkarīgs no tx, , citiem

vārdiem, visi tie ir konstantes, tad diferenciālvienādojumu sauc par lineāru ar

konstantiem koeficientiem.

Jāatzīmē, ka šajā kursā apskatīsim tikai vienādojumus ar konstantiem

koeficientiem.

Visbeidzot, ja 0f , tad diferenciālvienādojumu sauc par homogēnu.

2 §

Otrās kārtas diferenciālvienādojumu tipi

Vienādojuma klasifikāciju apskatīsim gandrīz lineāram 2. kārtas

diferenciālvienādojumam, kurš dots formā:

0,,,,,,2, txttxtxx uuutxfutxcutxbutxa (1)

Pieņemsim, ka 2, RDtx un visi trīs koeficienti ir apgabalā D divreiz

nepārtraukti diferencējamas funkcijas. Tā kā apskatam 2. kārtas

diferenciālvienādojumu, tad nevienā apgabala punktā visi koeficienti vienlaikus nevar

būt nulles: 0222 cba . Fiksēsim kādu apgabala punktu 00 , tx un turpmāk

pārveidojumus veiksim šā punkta apkārtnē DtxU 00 , . Mūsu mērķis būs pārveidot

vienādojumu tā, lai vismaz viens no koeficientiem kļūtu par nulli.

4

Pieņemsim turpmākajam, nepieciešamības gadījumā mainot apzīmējumus, ka

0a , ja 00 ,, txUtx , pie kam varam uzskatīt, ka 0a . Pāriesim uz jauniem

mainīgajiem

txtx ,,, , (2)

pieprasot, lai , ir divreiz nepārtraukti diferencējamas funkcijas apgabalā D un lai

jakobiānis 0,;, txJ nevienā apgabala punktā. Īsumā labad funkcijai txu ,

jaunajos mainīgajos , atstāsim šādu pašu apzīmējumu: ,u . Tad atvasinot to kā

saliktu funkciju, iegūstam:

xxx uuu ,

līdz ar to

...2 22 xxxxxx uuuu

... txxttxtxxt uuuu (3)

...2 22 tttttt uuuu ,

kur ar daudzpunktiem apzīmēti funkcijas txu , zemākas kārtas atvasinājumi.

Ievietojot (3) vienādojumā (1), iegūstam

0,,,,,,2, uuufucubua , 1

kur jaunie koeficienti pie vecākajiem atvasinājumiem ir šādi:

22 2 ttxx cbaa ,

ttxttxxx cbab , (4)

22 2 ttxx cbac .

Viegli pārliecināties, ka izpildās sakarība

Jacbcab 22 , (5)

citiem vārdiem, ja pārejam uz jaunajiem mainīgajiem , tā, ka transformācijas

jakobiānis nav nulle, tad koeficientu pie vecākajiem atvasinājumiem kombinācijas

acb 2 zīme ir invariants. Līdz ar to varam lielumu

acbD 2, (6)

kuru sauc par vienādojuma (1) diskriminantu, izmantot vienādojuma (1)

klasifikācijai.

Apskatīsim ar izteiksmēm (4) saistīto nelineāru 1. kārtas diferenciālvienādojumu

02 22 ttxx cba , (7)

kuru, izmantojot apzīmējumu

t

xz

varam uzrakstīt kvadrātvienādojuma formā:

022 cbzaz .

Tas ļauj vienādojumu (7), izmantojot apzīmējumu (6) uzrakstīt šādas lineāras sistēmas

formā

0 tx Dba . 7

Redzams, ka ļoti nozīmīga ir diskriminanta zīme. Saskaņā ar to tad arī tiek veikta

vienādojuma (1) klasifikācija. Iespējami trīs gadījumi:

1) 02 acbD , tad diferenciālvienādojumu sauc par hiperboliska tipa

vienādojumu;

5

2) 02 acbD , tad diferenciālvienādojumu sauc par paraboliska tipa

vienādojumu;

3) 02 acbD , tad diferenciālvienādojumu sauc par eliptiska tipa

vienādojumu.

Diferenciālvienādojuma (1) tipu nosaukumi ir saskaņoti ar 2. kārtas līkņu

02 22 fetdxctbxtax

klasifikāciju ģeometrijā, par to lasītājs viegli var pārliecināties pats.

Tālākā vienādojuma (1) redukcija kanoniskajā formā ir atkarīga no

diskriminanta zīmes.

Hiperboliskais tips 0D

Šajā gadījumā 7 mums dod divus vienādojumus ar reāliem koeficientiem.

Tātad ir jāatrod divu parasto diferenciālvienādojumu sistēmas

a

Db

dx

dt 7

pirmintegrāļu funkcijas tx,1 , tx,2 . Atliek par jaunajiem mainīgajiem ,

izvelēties 1 , attiecīgi

2 :

tx,1 , tx,2 . (8)

Izteiksmes (4) rāda, ka tad

0 ca .

Savukārt 0b . (Ja būtu 0b , tad saskaņā ar (5) būtu arī 0D ).

Tas nozīmē, ka vienādojumu 1 varam uzrakstīt formā

uuufu ,,,1 , (9 )

kur

b

ff

21 .

Vienādojumu (9) sauc par hiperboliskā tipa diferenciālvienādojuma 1. kanonisko

formu. Otro kanonisko formu iegūstam ar šādas lineāras transformācijas palīdzību.

, ,

kura vienādojumu (9 ) pārvērš formā

uuufuu ,,,,1 ( 9 )

Paraboliskais tips 0D

Šajā gadījumā vienādojumu sistēma 7 patiesībā sastāv tikai no viena

vienādojuma

0 tx ba . (10)

Izmantosim tikai sakarību acb 2, lai pārveidotu (10):

0

txtx caa

a

baa ,

tātad vienādojums (10) ir pārrakstāms formā

0 tx ca . ( 01 )

Par jauno mainīgo ņemsim šī diferenciālvienādojuma pirmintegrāli

tx, .

6

Savukārt, par tx, varam ņemt patvaļīgu divas reizes nepārtraukti

diferencējamu funkciju, tikai ar nosacījumu, lai šo abu funkciju jakobiānis nevienā

apgabala punktā nebūtu nulle.

Apskatam koeficienta a izteiksmi pirmajā no vienādojumiem (4), izmantojot to,

ka acb :

222 2 txttxx cacacaa ,

tātad saskaņā ar ( 01 ) iegūstam 0a . Savukārt no diskriminanta izteiksmes (ka tas

vienāds ar nulli) tūlīt seko, ka arī 0b . Bet vai par nulli nevar pārvērsties arī c (tas

būtu slikti, jo nozīmētu, ka transformētais vienādojums vairs nesatur nevienu otrās

kārtas atvasinājumu)?

222

2 12 txttxx ba

aa

bbac ,

t.i. šīs vienādojums sakrīt ar (10), līdz ar to 0c , jo pretējā gadījumā abu funkciju

un jakobiānis būtu nulle.

Dalot vienādojuma 1 abas puses ar c , iegūstam paraboliskā tipa vienādojuma

kanonisko formu

uuufu ,,,,1 , (11)

kur šajā gadījumā

c

ff 1 .

Eliptiskais tips ( 0D )

Šajā gadījumā diferenciālvienādojuma 7 koeficienti ir kompleksas funkcijas,

tātad arī pirmā vienādojuma atrisinājums būs funkcija ar kompleksām vērtībām (otrā

vienādojuma atrisinājums būs kompleksi saistīts lielums),t.i.

txitxtx ,,, 21 . (11)

Tagad jaunos mainīgos , izvelēsimies šādi:

tx,1 , tx,2 .

Ievietosim i vienādojumā (7) un, pielīdzinot nullei reālo daļu, iegūsim:

022 2222 ttxxttxx cbacba ,

t.i. ca .

Savukārt, pielīdzinot nullei imagināro daļu:

02222 bcba ttxttxxx .

Tātad, vienādojums 1 dod šādu eliptisko vienādojuma kanonisko formu:

uuufuu ,,,,1 , (12)

kur

a

ff 1 .

Piezīmes

1. Ja 0D apgabala punktā 00 , tx , tad vienādojuma (1) koeficientu

nepārtrauktības dēļ diskriminanta zīme, tātad arī vienādojuma tips (hiperboliskais vai

eliptiskais), saglabāsies kādā šā punkta apkārtnē.

7

2. Ja vienādojums savu tipu saglabā visā definīcijas apgabalā D , tad

vienādojumu sauc par attiecīgā tipa (hiperbolisko, parabolisko vai eliptisko). Pretējā

gadījumā vienādojumu (1) sauc par jaukta tipa diferenciālvienādojumu.

Šajā kursā tā ierobežotā apjoma dēļ neapskatīsim kanoniskās formas iegūšanu 2.

kārtas diferenciālvienādojumam, ja argumentu skaits ir lielāks par diviem. Dosim tikai

šo formu izskatus trijiem galvenajiem vienādojumu tipiem, izmantojot argumentu

apzīmējumiem fizikālos un ģeometriskos jēdzienus: laiks t un telpas koordinātes

zyx ,, . Tad, pilnīgā saskaņā ar kanonisko formu un to nosaukumiem diviem

argumentiem, arī vispārīgajā gadījumā lieto šādu klasifikāciju.

Hiperboliskā tipa vienādojuma (viļņu vienādojums) kanoniskā forma (zīme pie

laika atvasinājuma ir pretēja kā pārējiem 2. kārtas atvasinājumiem):

tzyxfuuuu zzyyxxtt ,,, . (13)

Paraboliskā tipa vienādojuma kanoniskā forma (nav 2. kārtas atvasinājuma pēc

laika):

tzyxfuuuu zzyyxxt ,,, . (14)

Eliptiskā tipa vienādojuma kanoniskā forma (meklējamā funkcija vispār nav

atkarīga no laika koordinātes; tātad šī tipa vienādojums apraksta no laika neatkarīgus

stacionārus procesus):

zyxfuuu zzyyxx ,, . (15)

Šajā kursā mēs galvenokārt apskatīsim (izņemot eliptiskā tipa vienādojumu) divu

argumentu parciālos diferenciālvienādojumus – ar laiku un vienu telpas koordināti.

7

2.nodaļa Parciālie 2. kārtas vienādojumi kā dažādu fizikālo procesu

matemātiskie modeļi

1 § Stīgas svārstību vienādojums

Par stīgu sauc tievu elastīgu stiepli, kas neizrāda pretestību savas formas

izmaiņai (liecei). Ar tievu stiepli sapratīsim tādu elastīgu materiālu (piemēram,

muzikālā instrumenta stīgu), kura šķērsizmēri ir bezgalīgi mazi salīdzinājumā ar tā

garumu. Tas, ka stieple neizrāda pretestību savas formas izmaiņai, nozīmē to, ka

svārstību procesā stiepes spēks jebkurā stīgas punktā ir vērsts tās profila pieskares

virzienā.

Stīgas svārstību vienādojumu iegūsim stīgai ar garumu l , kura līdzsvara

stāvoklī novietota uz x ass tās pozitīvajā virzienā, ar kreiso galapunktu nullpunktā.

Apskatīsim stīgas šķērssvārstības - tas nozīmē, ka stīgas punkts, kurš līdzsvara

stāvoklī atrodas punktā ar koordināti x , tad svārstību procesā šā punkta projekcija uz

x asi jebkurā laika momentā t sakritīs ar x . Tālāk, apskatīsim tikai stīgas svārstības

plaknē. Tad jebkura stīgas punkta atrašanos var fiksēt ar vienu lielumu ),( txu : stīgas

punkta ar koordinātēm x novirzes lielumu u laika momentā t . Visbeidzot, mēs

aprobežosimies ar mazām stīgas šķērssvārstībām. Matemātiski tas nozīmē, ka

1xu . Mūsu tuvākais mērķis būs iegūt 2. kārtas parciālo diferenciālvienādojumu

attiecībā pret funkciju ),( txu ,kurš apraksta stīgas svārstības procesu elastības spēku

ietekmē.

Saskaņā ar Huka likumu stiepes spēks izsauc proporcionālu relatīvo stīgas

elementa pagarinājumu. Šīs proporcionalitātes koeficientu apzīmēsim ar T ; vispārīgā

gadījumā tas var būt abu neatkarīgo argumentu funkcija ),( txTT . Vispirms

novērtēsim stiepes spēka izmaiņas laikā: apskatīsim stīgas elementu l , kurš

līdzsvara stāvoklī aizņem segmentu 21 , xx . Svārstību procesā laika momentam

t taisnes nogrieznis 21 , xx veidos līknes posmu txux ,, , kura garumu l varam

atrast saskaņā ar matemātiskās analīzes formulu līknes elementa garumam:

2

1

2

1

2

12

1

x

x

x

x

x ldxdxul

(Šeit izmantojām mazu svārstību nosacījumu: 1xu .) Tātad secinājums: svārstību

procesa laikā stīgas elementa garums nemainās, līdz ar to koeficients ),( txT nevar

būt atkarīgs no t . Parādīsim, ka tas nav atkarīgs arī no stīgas punkta x . Apskatam

atkal stīgas elementu 21 , xx un pielīdzināsim stiepes spēku, kuri pielikti stīgas

elementa galapunktiem, projekcijas uz horizontālo asi. (Projekcijām jābūt vienādām,

jo pretējā gadījumā stīgas elements kustētos horizontālās ass virzienā - veiktu arī

gareniskas svārstības.) Apzīmējot ar i leņķi (skat. 1.zīm.),

8

x

u

1x

2x

2 1

2xT

1xT

1.zīm

kuru veido stiepes spēka vektors ar x asi punktā ix 2,1i , varam uzrakstīt

sakarību:

2211 coscos xTxT . (1)

Izmantojot trigonometrisko sakarību

2

12

2

12 11cos

xutg

un, atkal atceroties, ka apskatam mazas šķērssvārstības, vienādība (1) uzrakstāma

formā

21 xTxT ,

tātad

01 TxT .

Pēc šī sagatavošanās darba varam pāriet pie paša stīgas svārstību

diferenciālvienādojuma iegūšanas. Šim nolūkam izmantosim Ņūtona 2. likuma sekas:

ka stīgas elementam laika momentā 21,tt impulsu summa ir vienāda ar šī elementa

kustības daudzuma izmaiņu. Matemātiskā formā:

2

1

12

t

t

ttFdtmvmv (2)

Ņemot vērā, ka ātrums tuv , savukārt 2

1

x

x

dxxm , kur x ir stīgas lineārais

blīvums (vielas masa stīgas garuma vienībā), vienādojuma (2) kreiso pusi varam

uzrakstīt formā

dxuux

x

x

tttttt

2

1

12

. (3)

Spēks, kura rezultātā stīga izdara šķērssvārstības, ir stiepes spēka TF

projekcija uz vertikālo asi

120 sinsin TFT .

Izmantosim formulu

x

x

x u

u

u

tg

tg

2

12

2

12 11

sin

,

tātad

12

0 xxxxxxT uuTF

un šī spēka impulss laika intervālam 21,tt ir:

9

dtuuTI

t

t

xxxxxxT

2

1

120 . (4)

Bez tam var būt kādi ārēji spēki (piemēram, gravitācijas), kuri var darboties uz

stīgu. Neiedziļinoties to dabā, pieņemsim, ka ir dota šo spēku blīvuma funkcija

txF , (spēka lielums, attiecināts uz garuma un laika vienību). Tad to impulss aI

apskatāmajam intervālam 21 , xx ir uzrakstāms formā:

2

1

2

1

,

t

t

x

x

a dxtxFdtI . (5)

Atliek izteiksmes (3)-(5) ievietot likumā (2) un mēs iegūstam stīgas svārstību

vienādojumu integrālā formā laika intervālam 21,tt un stīgas elementam 21 , xx :

2

1

2

1

12

2

1

2

1

12

,0

t

t

x

x

xxxxxx

t

t

x

x

tttttt dxtxFdtdtuuTdxuux . 6)

Taču iegūtais vienādojums nav parciālais diferenciālvienādojums, bet gan

meklējamās funkcijas txu , atvasinājumus saturoša integrāla sakarība. Lai iegūtu 2.

kārtas diferenciālvienādojumu, jāizdara papildus pieņēmumi: ka funkcijai txu ,

eksistē nepārtraukti otrie atvasinājumi. Tas, izrādās, ir būtisks papildnosacījums. (Mēs

pazaudējam veselu atrisinājumu klasi, kuri noved pie jēdziena par parciālo

diferenciālvienādojumu vispārināto atrisinājumu, taču šajā jautājumā mēs tagad

neiedziļināsimies, tas neietilpst šī lekciju kursa ietvaros).

Ja esam pieņēmuši, ka funkcijas txu , atvasinājums ttu ir nepārtraukts, tad (3)

varam uzrakstīt šādi:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

122

2

2

2 x

x

t

t

t

t

x

x

x

x

tttttt dxt

uxdtdt

t

uxdxdxuux .

Līdzīgi, prasība par xxu nepārtrauktību ļauj sakarības (6) labās puses pirmo

locekli pārrakstīt kā atkārtotu integrāli:

dtuuTxxxxxx

t

t12

2

1

0

2

1

t

t

dt

2

1

2

2

0

x

x

dxx

uT

un, ņemot vērā, ka 21, xx un 21,tt ir patvaļīgi intervāli, mēs varam pielīdzināt

zemintegrāļu izteiksmes (tiesa, šim nolūkam jāprasa arī, lai funkcija txF , ir

nepārtraukta):

),(2

2

02

2

txFx

uT

t

ux

. (7)

(Pamatojumu tam, ka integrāļu zīmes drīkst atmest, skat. nedaudz tālāk lemmu

piezīmēs).

Apskatīsim praktiski svarīgu situāciju, kad stīga ir homogēna - ar nemainīgu

blīvumu 0 x . Dalot vienādojuma abas puses ar šo lielumu, varam vienādojumu

(7) uzrakstīt formā

txfx

ua

t

u,

2

22

2

2

, (8)

kur

0

02

Ta ,

0

,,

txFtxf .

10

Visbeidzot, ja bez stiepes spēka citu ārējo spēku nav, tad iegūstam homogēnu stīgas

svārstības vienādojumu

2

22

2

2

x

ua

t

u

, (80)

kuru sauc arī par Dalambēra vienādojumu ( to 18. gadsimtā pirmajā pusē ieguva

franču matemātiķis Dalambērs).

Piezīmes

1. Izdarot koordinātu transformāciju a

xy , vienādojums (8) (arī 80) iegūst

kanonisko formu (sk. 1. nodaļas 2. paragrafu):

tyfy

u

t

u,12

2

2

2

, tayftyf ,,1 ,

kura rāda, ka stīgas svārstību vienādojums ir hiperboliska tipa vienādojums.

2. Pierādīsim nelielu lemmu, kura pamato pāreju no vienādojuma (6) uz (7).

Lemma. Ja funkcija xf ir nepārtraukta telpas nR apgabalā D un katram

apakšapgabalam DE izpildās nosacījums E

dxxf 0 , tad 0xf , Dx .

Pierādījums. Pierādīsim, izejot no pretējā: Dx 0 , ka 00 xf . Tad funkcijas

nepārtrauktības dēļ eksistē punkta 0x apkārtne DxU 0 , ka 0xf visiem

punktiem 0xUx . Taču tad, pretrunā ar lemmas nosacījumu, būs spēkā

nevienādība

0

0xU

dxxf .

3. Ja stīgas vietā mēs būtu apskatījuši membrānu – plānu elastīgu plāksnīti, tad

tās mazas šķērssvārstības aprakstītu vienādojums

yyxxtt uuau 2 . (9)

(Šeit pieņemts, ka līdzsvara stāvoklī membrāna atrodas plaknē 0z ; t.i. tās punktus

raksturojam ar mainīgajiem yx, ). Vienādojumu (9) sauc par membrānas svārstību

vienādojumu, to arī klasificē kā hiperboliska tipa vienādojumu (sk. formulu (13) 1.

nodaļas beigās).

4. Pilnīgi identisku ar vienādojumu (8) mēs būtu ieguvuši, ja apskatītu stienīša

gareniskās svārstības.

2 § Siltuma vadīšanas vienādojums

Apskatīsim siltuma izplatīšanas cietā ķermenī, ņemot vērā siltuma izplatīšanos

tajā ķermeņa siltuma vadīšanas dēļ. (Attiecīgais vienādojums šķidrumam vai gāzei

būtu daudz sarežģītāks, jo, mainoties temperatūrai, mainās arī gāzes, attiecīgi

šķidruma, blīvums vai tā rezultātā sākas vielas pārnese: mazāka blīvuma dēļ vieglākās

gāzes (šķidruma) daļiņas celsies uz augšu, bet blīvākās savukārt centīsies nokļūt

zemāk).

Cieto ķermeni uzskatīsim par izotropu, t.i., tādu, kurā tā īpašības konkrētā

punktā nav atkarīgas no virziena. Ir daudz cietu ķermeņu, kuri ir anizotropi,

piemēram, kristāli, kuriem siltuma vadīšana paralēli tā skaldnei var atšķirties no

perpendikulārajā skaldnes virzienam. Visbeidzot, pieņemsim, ka varam neņemt vērā

11

cietā ķermeņa termisko izplatīšanos. (Šajā gadījumā blīvuma izmaiņas dēļ neveidosies

masas pārnese, taču izvēlētā ķermeņa elementa tilpums mainītos līdz ar temperatūras

izmaiņām vai tas būtiski sarežģītu attiecīgas matemātiskos pārveidojumus.) Pēc šo

galveno ierobežojošo pieņēmumu formulēšanas pāriesim pie attiecīgā matemātiskā

modeļa iegūšanos.

Konkrēto pamatlikumu, saskaņā ar kuru siltuma procesos notiek tā pārnese

siltuma vadīšanas ceļā, pirmais formulēja franču matemātiķis un fiziķis Ž.Furje. Tas

nosaka, ka siltuma plūsmas blīvuma vektors q

(siltuma daudzums, kas laika vienībā

izplūst caur laukuma vienību) ir proporcionāls temperatūras gradientam ar

proporcionalitātes koeficientu k , kas raksturo konkrētā ķermeņa īpašības un kuru

sauc par ķermeņa siltuma vadīšanas koeficientu. Matemātiski šo likumu pierakstam

tā:

ugradkq

r

(1)

Mīnus zīme likumā (1) atspoguļo to no prakses labi zināmo faktu, ka siltums plūst no

vietas ar augstāku temperatūru uz vietu, kur tā ir zemāka.

Šeit ar u esam apzīmējuši ķermeņa temperatūru, kura būs atkarīga no punkta

novietojuma (no argumentiem zyx ,, Dekarta koordinātu sistēmā) un laika momenta

t . Saskaņā ar šo likumu siltuma daudzums Q , kurš nelielā laika intervālā t izplūst

caur virsmas elementu ar laukumu S ( S orientāciju raksturo normāles vektors nr

),

izsakāms šādi:

tSugradktSnqQn

rr. (2)

Apgabalā G , kuru aizņem apskatāmais cietais ķermenis, izvēlamies patvalīgu

apakšapgabalu D ar slēgtu virsmu S . Tad siltuma daudzums Q , kurš patvaļīgā laika

intervālā 21,tt ieies šajā apgabalā siltuma vadīšanas ceļā caur virsmu S , būs saskaņā

ar (2) iegūstams, summējot pa visiem apgabala elementiem S un maziem laika

intervāliem t . Tātad:

dugradkdtQ

t

t nS

2

1

. (3)

(Mīnus zīmes labajā pusē nav tādēļ, ka esam par n

izvēlējušies ārējo pret apgabalu

D normāli un izrakstījām siltuma daudzumu, kurš ieplūst apgabalā.)

Izmantosim Gausa-Ostrogradska formulu, lai no virsmas integrāļa pārietu uz tilpuma

integrāli. Tad (3) uzrakstāms formā:

dxdydzgradkdivdtQ

t

t D

)(2

1

. (4)

Pieņemsim, ka šajā apgabalā darbojas iekšējā siltuma avoti (piemēram, radioaktivitāte

vai ķīmiskas reakcijas), kuru intensitāte ir tzyxF ,,, (t.i. avoti vienības tilpumā ar

centru izvēlētajā punktā un laika vienībā izdala siltuma daudzumu F ). Tad kopējais

siltuma daudzums FQ , kuru šie avoti laika intervālā 21,tt izdala apgabalā D ,

acīmredzami ir izsakāms šādi:

2

1

,,,

t

t D

F dxdydztzyxFdtQ . (5)

Viss apgabalā izdalītais siltuma daudzums tiks izmantots ķermeņa temperatūras

paaugstināšanai (vai pamazināšanai, ja tas ir negatīvs). Lai uzrakstītu šīs izteiksmes

12

matemātisko formulējumu, vispirms uzrakstīsim vienkāršāko siltuma bilanci mazam

tilpuma elementam un mazam laika intervālam t . Tātad, ja šī elementa

temperatūra paaugstinās par u , tad tam nepieciešams siltuma daudzums 0q , kuru

var izteikt formā:

tuct

t

uucuucucq t

sb

sb0,

kur

c apzīmē ķermeņa siltuma ietilpību, attiecinātu pret vienu masas vienību,

ir ķermeņa blīvums,

su , bu ir ķermeņa elementa temperatūra maza laika intervāla sākumā,

attiecīgi beigās.

Līdzīgi kā iepriekš, summējot pa laika intervālu 21,tt un visiem apakšapgabala

D elementiem, iegūsim kopējo siltuma daudzumu 0Q , kurš ir izmantots ķermeņa

temperatūra paaugstināšanai:

2

1

0

t

t D

t dxdydzucdtQ . (6)

No enerģijas nezūdamības likuma izriet acīmredzama vienādība:

FQQQ 0 .

Atliek šajā vienādībā ievietot attiecīgo siltuma daudzumu izteiksmes (4)-(6) lai,

izmantojot iepriekšējā paragrāfā pierādīto lemmu, varētu atbrīvoties no integrāļiem un

mēs iegūstam siltuma vadīšanas vienādojumu cietam ķermenim:

tzyxFugradkdivuc t ,,,

. (7)

Turpmākajam izklāstam aprobežosimies ar homogēna ķermeņa aprakstu: kad tā

siltuma īpašības c , vai k visos punktos ir vienādas. Apzīmēsim

c

tzyxFtzyxf

c

ka

,,,,,,, 1

2 ,

kur pozitīvo konstanti 2a sauc par temperatūras vadīšanas koeficientu. Ņemot vērā,

ka

uugraddiv

,

kur

zzyyxx uuuu ,

vienādojumu (7) varam uzrakstīt formā

tzyxfuuuau zzyyxxt ,,,1

2 . (8)

Kā redzams, mēs esam ieguvuši paraboliska tipa parciālo diferenciālvienādojumu

attiecībā pret 4 mainīgo funkciju tzyxu ,,, (sk. 1. nodaļas 2 § formulu (14)), kurš

apraksta siltuma procesa norisi trīsdimensionālā ķermenī. Tas ir vispārīgāks gadījums,

kā 1. nodaļā apskatītā klasifikācija diviem neatkarīgiem mainīgajiem. Lai iegūtu divu

argumentu funkciju, apskatīsim situācijas, kad ķermeņa temperatūra bez laika

argumenta ir atkarīga tikai no vienas telpas koordinātes. Šāds apraksts ir pamatots

divās visai atšķirīgās situācijās:

1) viens ķermeņa izmērs ir daudz lielāks par diviem citiem izmēriem. Piemērs

šādai situācijai varētu būt siltuma izplatīšanās tievā stienī ar nemainīgu šķērsgriezuma

13

laukumu. Bez tam jābūt nodrošinātiem apstākļiem, ka nenotiek siltuma atdeve no

stienīša sānu virsmas t.i., tas ir izolēts (pretējā gadījumā siltuma bilancē būtu jāņem

vērā arī siltuma zudumu caur sānu virsmu);

2) otrajā gadījumā jāuzskata, ka ķermeņa izmēri divos perpendikulāros

virzienos ir daudz lielāki par trešo, pie kam šajos divos virzienos (fiksējot trešo telpas

koordināti) ķermeņa temperatūra nemainās.

Uzskatot, ka abos gadījumos x ass ir vērsta tajā virzienā, kur ir novērojama

būtiska temperatūras izmaiņa, no vienādojuma (8) iegūstam šādu vienādojumu

attiecībā pret temperatūru txu , (dabiski, pieņemam, ka siltuma avota darbība arī ir

atkarīga tikai no telpas koordinātes x ):

txfuau xxt ,2 . (9)

Redzam, ka siltuma izplatīšanos cietā ķermenī saskaņā ar 1.nodaļas 2 §

klasifikāciju diviem argumentiem apraksta paraboliska tipa vienādojums (sk. tur

formulu (11)).

Piezīmes. 1. Pēc analoģijas arī vienādojumu (8) sauc par paraboliskā tipa vienādojumu.

Šis vienādojuma tips raksturīgs ar to, ka attiecībā pret vienu no argumentiem (laiku t

fizikālajā interpretācijā) augstākais atvasinājums ir pirmās, nevis otrās kārtas.

2. Ievērosim, ka abos gadījumos – gan stīgas, gan arī siltuma vadīšanas

vienādojumam – mēs izmantojām divu veidu likumus. Pirmkārt, kādu vispārīgu

(saglabāšanās) likumu un, otrkārt, konkrētam procesam piemērotu specifisku likumu.

Stīgai vispārīgais saglabāšanās likums bija kustības daudzuma saglabāšanās likums –

sk. formulu (2) tur), siltuma vadīšanas vienādojumam – enerģijas saglabāšanā likums

(7). Konkrētie likumi: stīgai tas ir Huka likums, cietam ķermenim – Furjē siltuma

vadīšanas likums.

3 § Stacionārais siltuma vadīšanas vienādojums

Apskatīsim gadījumu, kad siltuma vadīšanas vienādojumā (8) (vai (7)

vispārīgāka - nehomogēna ķermeņa gadījumā) siltuma avotu intensitātes funkcija F

nav mainīga laikā: zyxFF ,, . Bez tam, pieņemsim, ka apstākļi laikā nemainās arī

uz apgabala virsmas S , kur apskatāmais ķermenis saskaras ar apkārtējo vidi. (Par

šiem, tā sauktajiem robežnosacījumiem sīkāk runāsim nākamajā nodaļā). Šādos

apstākļos, laikam ritot, neatkarīgi no sākotnējiem apstākļiem (sākuma nosacījumiem)

temperatūras sadalījums nostabilizēsies: tā izmaiņas kļūs arvien mazākas. Tātad

varam pieņemt, ka pēc pietiekami ilga laika intervāla temperatūras lauks būs tikai

telpas argumentu funkcija :

zyxuu ,, ,

līdz ar to vienādojumos (7) vai (8) zūd funkcijas u atvasinājums pēc t : 0tu un tie

pieņem formu

zyxFukgraddiv ,,

, (1)

attiecīgi

zyxfuuu ttyyxx ,, , (2)

kur 2

1

a

ff .

14

Ja, līdzīgi kā iepriekšējā paragrāfā, pieņemam, ka temperatūras sadalījums vienā

virzienā z nemainās, tad vienādojums (2) uzrakstāms šādi:

yxfuu yyxx , . (3)

Saskaņā ar 1.nodaļā apskatīto 2. kārtas parciālo vienādojumu klasifikāciju,

vienādojums (3) ir eliptiskā tipa vienādojuma kanoniskās formas speciālgadījums, kad

1.nodaļas 2 § vienādojuma (12) labā puse ir tikai neatkarīgo mainīgo funkcija, bet nav

atkarīga ne no meklējamās funkcijas u , ne no tās 1. atvasinājumiem.

Parādīsim, ka arī vienādojums (1) divu argumentu yx, gadījumā arī ir uzrakstāms

eliptiska tipa vienādojuma kanoniskajā formā (sk. iepriekšminēto 1.nodaļas 2 §

vienādojumu (12)). Izmantosim vektoru analīzes formulu:

yyxx uyxkuyxkgraduyxkdiv ,,:,

,

un atvasinājuma formulu divu funkciju reizinājumam. Tad, dalot vienādojuma (1)

abas puses ar k , iegūstam formu:

yxyyxx uuyxfuu ,,, , (4)

kur

yyxx ukukyxFkf ,1 .

Tas arī pierada mūsu izteikto apgalvojumu. Taču, kā jau tika teikts mūsu materiāla

ievadā, mēs praktiski aprobežosimies ar vienādojumiem ar konstantiem koeficientiem.

Vienādojumu (2) sauc par Puasona vienādojumu. Ļoti svarīgs ir tā

speciālgadījums 0,, zyxf , t.i. vienādojums

0 zzyyxx uuu (5)

un to sauc par Laplasa vienādojumu.

16

3.nodaļa Matemātiskās fizikas problēmas, to tipi, korektība un dažādu

problēmu saistība

1 §

Papildnosacījumi un matemātiskās fizikas problēmu tipi

Matemātiskās fizikas, t.i. parciālo diferenciālvienādojumu gadījumā visai reti

izdodas uzrakstīt (atrast) tā vispārīgo atrisinājumu. Tādēļ, atšķirībā no parasto

diferenciālvienādojumu kursa šajā disciplīnā parasti cenšas atrast tādu partikulāro

atrisinājumu, kurš apmierina piemērotus (gan no fizikāla – prakses, gan no

matemātiskā viedokļa) papildnosacījumus. Papildnosacījumu veids (sākuma un/vai

robežnosacījumu) ir saistīts ar apskatāmā parciālā diferenciālvienādojuma tipu. (Šo

diferenciālvienādojumu mēdz saukt arī par pamatvienādojumu, kuram tad arī tiek

formulēti tādi vai citādi papildnosacījumi). Tādēļ šī paragrāfa turpmāko izklāstu

dosim secīgi mums zināmajiem trim 2. kārtas diferenciālvienādojumu tipiem.

Hiperboliskais tips (stīgas svārstību vienādojums) Stīgu varam traktēt kā atsevišķu materiālu punktu kontinuumu. Iegūstot stīgas

svārstību vienādojumu, mēs jau atzīmējām, ka kā pamatsakarība tika izmantotas

Ņūtona 2. mehānikas pamatlikuma sekas: sakarība (vienādība) starp kustības

daudzuma izmaiņu un pielikto spēku impulsu summu. No elementārā skolas fizikas

kursa ir labi zināms, ka atsevišķa materiālā punkta kustību, kura pakļaujas Ņūtona

mehānikas likumiem, var viennozīmīgi noteikt, ja ir doti divi papildus nosacījumi:

materiālā punkta sākuma stāvoklis (tā atrašanas vieta) un tā sākuma ātrums. Tātad

analoģiski, arī stīgas svārstību procesa (tās materiālo punktu kontinuuma) mehāniskās

kustības viennozīmīgai noteikšanai būtu vajadzīgs pievienot divus sākuma

nosacījumus: sākuma stāvokli

xxuu t 0,:0

un sākuma ātrumu

xfu tt :0

Protams, procesu būtiski ietekmēs arī tas, kas notiek stīgas galos. Šeit varam apskatīt

divas būtiski atšķirīgas situācijas.

Pirmā situācija

Stīga ir pietiekami gara un mēs tas svārstību procesu apskatam samērā īsā laika

periodā un ne pārāk tuvu stīgas kreisajam vai labajam galapunktam. Tādā gadījumā

galapunktu ietekmi uz svārstību procesu varam neņemt vērā, citiem vārdiem sakot,

nav svarīgi vai stīgas galapunkti atrodas savā patiesajā vietā, vai arī tālāk pa kreisi,

attiecīgi pa labi. Matemātiski mēs to varam pierakstīt tā, ka stīgas punkti aizņem visu

reālo skaitļu asi. Līdz ar to pamatvienādojums kopā ar papildus nosacījumiem šajā

situācijā var tikt formulēts šādi:

0,,,2 tRxtxfuau xxt , (1)

Rxxut

,0

, (2)

Rxxutt

,0

. (3)

(Tas apstāklis, ka mēs sākuma nosacījumus (2), (3) esam fiksējuši speciāli izvēlētā

laika momentā 0t , neierobežo matemātiskā formulējuma vispārīgumu, jo, ja

sākuma nosacījumi būtu doti laika momentam 0tt , mēs varam izdarīt laika

argumenta pārbīdi par 0t un šī transformācija nemaina pamatvienādojumu (1)).

17

Parciālo diferenciālvienādojumu (1) kopā ar sākuma nosacījumiem (2) un (3)

sauc par Košī problēmu stīgas svārstību vienādojumam.

Otrā situācija.

Otra citāda situācija rodas tad, ja galapunktu kustības ietekmi nedrīkst neņemt

vērā. Piemēram, jo tie tiek pārvietoti u ass virzienā saskaņā ar likumu

ttuux 00

,0:

,

attiecīgi

ttluulx 1,:

,

tad šādu gadījumu mēs matemātiski varam aprakstīt ar vienādojumu sistēmu:

0,0,,2 tlxtxfuau xxtt , (4)

lxxut

,0,0

, (5)

lxxutt ,0,

0

. (6)

0,00

ttu

x , (7)

0,1

ttulx

. (8)

Ja mums būtu dots kāds konkrēts laika moments 0T , līdz kuram mēs

vēlamies procesam izsekot, tad to vienādojumos (1), (4), attiecīgi (7) un (8) )

pierakstītu formā Tt ,0 ( attiecīgi Tt ,0 ).

Pamatvienādojumu (4) kopā ar sākuma vienādojumu (5), (6) un nosacījumiem

(7), (8) (kurus sauc par robežnosacījumiem) sauc par jaukta veida problēmu stīgas

svārstību vienādojumam.

Atzīmēsim, ka robežnosacījumi (5), (6) nav vienīgā iespējama forma.

Piemēram, ja stīgas galapunktiem būtu pielikts zināms spēks vai arī būtu nostiprināti

punktos 0x un lx caur elastīgām atsperēm, tad robežnosacījumos parādītos arī

funkcijas txu , pirmie atvasinājumi xu , taču ierobežotā kursa apjoma dēļ (mēs

apskatam tikai pamatjautājumus) mēs pie šī jautājuma nekavēsimies. Atzīmēsim, ka

robežnosacījumus (7), (8) sauc par 1. veida robežnosacījumiem.

Tātad, izdarot īsu kopsavilkumu par stīgas svārstību vienādojumu, varam teikt,

ka šim hiperboliskā tipa vienādojumam var tikt formulēta gan Košī, gan jaukta veida

problēma. (Nosaukums otrajā gadījumā saistīts ar to, ka šie papildnosacījumi ir

dažāda tipa – divi attiecas uz fiksētu laika momentu – sākuma momentu, no

nākamiem diviem katrs attiecas uz vienu no stīgas galapunktiem, pie kam ir svarīgi,

ka katrā no galapunktiem ir dots pa vienam nosacījumam, nevis abi vienā

galapunktā).

Paraboliskais tips (siltuma vadīšanas vienādojums) Līdzīgi, kā hiperboliskā tipa vienādojumam sāksim ar situāciju, kad procesus uz

cietā ķermeņa virsmas varam neņemt vērā. Tad varam pieņemt, analogi iepriekšējam,

ka cietais ķermenis ir neierobežots, t.i. apgabals 3RG un Košī problēma siltuma

vadīšanas vienādojumam ir formulējama šādi (atkal apskatam homogēnu ķermeni ar

konstantiem koeficientiem) sk. Vienādojumu (8) no iepriekšējas nodaļas 2 §

):

0,,,,,,, 3

1

2 tRzyxtzyxfuaut , (9)

3

0,,,,, Rzyxzyxu

t

. (10)

Redzams, ka, atšķirībā no hiperboliskā tipa vienādojuma, paraboliskā tipa

vienādojumam tiek uzdots tikai viens, nevis divi sākuma nosacījumi. Matemātisku

pamatojumu šādai izvēlei dosim nedaudz vēlāk, šobrīd dosim tikai heiristisku

18

apsvērumu, kurš saistīts ar analoģiju ar parastajiem diferenciālvienādojumiem.

Sākuma nosacījumi doti fiksētam laika momentam, tātad tie ir saistīti ar

pamatvienādojuma atvasinājumu pēc t . Šeit arī parādās atšķirība: hiperboliskā tipa

vienādojums satur 2. kārtas atvasinājumu ttu . Un parastajam 2. kārtas

diferenciālvienādojumam viennozīmīgai Košī problēmas atrisinājuma noteikšanai

nepieciešami 2 sākuma nosacījumi. Savukārt, siltuma vadīšanas vienādojums satur

tikai 1. kārtas atvasinājumu tu , tādēļ pietiek ar vienu sākuma nosacījumu – sākuma

temperatūras sadalījuma funkciju.

Pāriesim pie situācijas analīzes, kad cietais ķermenis neaizņem visu telpu un ar

S apzīmēsim tā virsmu un apskatīsim vairākas iespējas, kā var notikt cietā ķermeņa

termiskā mijiedarbība ar apkārtējo vidi. Visvienkāršākā ir situācija, kad uz virsmas

varam fiksēt ķermeņa temperatūru. Matemātiski

Szyxtzyxu ,,,,,, (11)

un šādu nosacījumu sauc par 1. veida robežnosacījumu. Pilnais problēmas

formulējums tātad sastāv no pamatvienādojuma (9), pie 3,, RGzyx , sākuma

nosacījuma (10) un robežnosacījuma (11). Šādu formulējumu sauc par jaukta veida

problēmu siltuma vadīšanas vienādojumam.

Nākamā iespēja: varam uzskatīt, ka dots siltuma plūsmas lielums caur apgabala

virsmu (fiksējot to laikā vienībā caur vienības laukumu), mēs saskaņā ar 2.nodaļas 2 §

(2) formulu varam rakstīt

tzyxQn

uk ,,,

,

vai apzīmējot k

Q :

Szyxtzyxn

u

,,,,,, . (12)

(Atgādinām, ka ar n

esam vienojušies apskatīt ārējo pret apgabalu G normāli, arī

turpmākajam fiksēsim tieši ārējo normāli). Nosacījumu (12) sauc par 2. veida

robežnosacījumu.

Vēl cita situācija rodas tad, ja jāņem vērā, ka ķermeņa virsmas temperatūra u

būtiski atšķiras no ar ķermeni saskarošās vides temperatūras tzyxU ,,, . (Tāda

situācija ir, piemēram, ja ļoti karstam ķermenim pūšam virsū aukstu gaisu, vai to

aplejam ar ūdeni, kā tas var būt metalurģijas procesos.) Tad ir dabiski pieņemt, ka

siltuma apmaiņa starp abām saskarē esošām vidēm ir proporcionāla to temperatūru

starpībai ar proporcionalitātes koeficientu UuhQh 0: . Savukārt, siltuma

daudzums, kas izplūst no ķermeņa caur virsmas laukuma vienību siltuma vadīšanas

ceļā saskaņā ar Furjē likumu ir uzrakstāms kā

n

ukQ

.

Atliek izmantot enerģijas nezūdamības likumu šai konkrētai situācijai –

0QQ

un mēs iegūstam 3. veida robežnosacījumu

,,,, tzyxun

u

(13)

kur esam apzīmējuši:

19

k

U

k

h , .

Pozitīvo proporcionalitātes koeficientu h sauc par Ņūtona siltuma apmaiņas

koeficientu. No apzīmējumiem izriet, ka arī 0 .

Eliptiskais tips (stacionārais siltuma vadīšanas vienādojums) Kā atceramies no iepriekšējās nodaļas, eliptiskā tipa vienādojumu iegūstam

situācijā, kad process ir laikā nostabilizējies, nemainīgs. (Tas gan nenozīmē, ka visos

telpas punktos atrisinājums pieņem vienu un to pašu vērtību !) Līdz ar to skaidrs, ka

nav nepieciešami sākuma nosacījumi un problēmas matemātiskais formulējums sastāv

no pamatvienādojuma (sk. iepriekšējās nodaļas 3§ (2) vienādojumu):

Gzyxzyxfuuu ttyyxx ,,,,, , (14)

vai vienādojuma:

Gzyxuuu ttyyxx ,,,0 41

un viena no robežnosacījumiem

Szyxzyxu ,,,,, 51

Szyxzyxn

u

,,,,, , 51

vai

Szyxzyxun

u

,,,,, 51

Šādu formulējumu sauc par robežproblēmu eliptiskā tipa vienādojumam. Jāatzīmē,

ka reizēm šim robežproblēmām lieto arī citus nosaukumus: problēmu ar nosacījumu

51 sauc par Dirihlē problēmu, ja uzdots robežnosacījums 51 , to sauc par

Neimana problēmu un robežnosacījumam 51 Rietumu zinātniskajā literatūrā lieto

arī nosaukumu "Robina problēma". Samērā bieži var būt, ka uz apgabala robežas

dažādiem gabaliem ir uzdoti dažāda veida robežnosacījumu. (Piemēram, ja plaknes

apgabala robežu veids daudzstūra malas, tad uz kādas no tām var būt uzdots 1. veida

robežnosacījumi, uz citām – 2. veida u.t.t.). Tādā gadījumā saka, ka tiek apskatīts

vienādojums(14) (vai(14’)) ar jaukta veida robežnosacījumiem.

2 §

Matemātiskās fizikas problēmas korektība

Sākot iepriekšējo paragrāfu, mēs sacijām, ka matemātiskās fizikas vienādojumu

kursā parasti cenšas iegūt šādu partikulāro atrisinājumu, kurš izpilda piemērotus

papildnosacījumus. Taču, ko saprotam ar vārdu piemērots: cik daudz

papildnosacījumu nepieciešams, vai, ka tiem jābūt nepretrunīgiem utml.? Šo

jautājumu precizēt palīdz matemātiskās fizikas problēmas korektības jēdziens.

Definīcija Matemātiskās fizikas problēmu sauc par korektu, ja izpildīts trīs šādi

nosacījumi:

1) problēmai eksistē atrisinājums;

2) atrisinājums ir viens vienīgs un

3) tas ir stabils pret ieejas datu izmaiņām.

Pirmie divi nosacījumi ir skaidri, pašsaprotami un komentāru neprasa. Savukārt,

trešo nosacījumu nepieciešams paskaidrot. Ieejas dati var būt gan sākuma vai

robežnosacījumu labās puses, vienādojuma koeficienti u.t.t. Tādēļ, runājot par

20

stabilitāti jāprecizē par kādu stabilitāti ir runa. (Piemēram, varam pētīt stabilitāti

attiecībā pret sākuma nosacījumiem). Uzskatāmākai korektības jēdziena

izskaidrošanai izmantosim problēmu piemērus, kad neizpildās kāds no trim

minētājiem nosacījumiem.

Sāksim ar situāciju, kad atrisinājums neeksistē un tieši tādēļ, ka

papildnosacījumu ir par daudz un tie viens ar otru nonāk pretrunā. Iepriekšējā

paragrāfā, runājot par problēmām paraboliskā tipa pamatvienādojumam, jau

atzīmējām, ka tam ir nepieciešams tikai viens sākuma nosacījums. Pretrunā tur

teiktajam apskatīsim viendimensionālu siltuma vadīšanas vienādojumu bezgalīgam

stienītim ar siltuma avotu txf , :

0,,2 ttxfuau xxt (1)

un formulēsim Košī problēmu ar diviem sākuma nosacījumiem:

Rxxut

,0

, {2)

Rxxutt

,0

. (3)

Izdarīsim robežpāreju pamatvienādojumā (1), kad 0t

0,0

2

0xfuau

txxtt

,

labajā pusē 1. loceklim ņemsim vērā sākuma nosacījumu (2) un kreisajā pusē

nosacījumu (3):

0,2 xfxax . (4)

No otras puses, brīvi izvēloties sākuma nosacījumu funkcijas , ir skaidrs, ka vienādība

(4), vispārīgi runājot, neizpildīsies. Tātad vispārīgā gadījumā problēmai (1) - (3)

atrisinājums neeksistēs. Kā jau tika iepriekš atzīmēts, un ir arī redzams no tikko

izdarītajiem pārveidojumiem, pretruna rodas tādēļ, ka sākuma nosacījums (3) ir lieks,

uz tu 0,x vērtību var noteikt no pamatvienādojuma, izdarot robežpāreju 0t .

(Neiedziļināsimies nosacījumos, kādi nepieciešami, lai robežpāreja būtu likumīga).

Tagad apskatīsim situāciju, kad neizpildās atrisinājuma unitāte. Formulēsim

Neimana problēmu Laplasa vienādojumam:

Dyxuu yyxx ,,0 (5)

DSyxyxun ,,, (6)

Pieņemsim, ka yxuu ,0 ir problēmas (5), (6) atrisinājums. Acīmredzami, ka tad

arī jebkura funkcija

cyxuyxu ,, 01 , (7)

kur c ir patvaļīga konstante, arī būs atrisinājums. Tātad problēmai eksistē bezgalīgi

daudz atrisinājumu. Taču, ja papildus pamatvienādojumam (5) un 2. veida

robežnosacījumam (6) mēs vienā punktā Dyx ),( 00 uzdosim vēl meklējamās

funkcijas vērtību ),( 00

0 yxu , ar to būtu nodrošināta atrisinājuma unitāte: konstante c

vienādojumā (7) tiks fiksēta.

Nestabilitāti raksturosim, formulējot Košī problēmu eliptiskam (Laplasa)

vienādojumam pusplaknei 0y :

0,,0 yRxuu yyxx . (8)

Rxuy

,00

, (9)

Rxnxn

ukyy

,sin

1

0, (10)

21

kur Nn var būt patvaļīgs naturāls skaitlis. Viegli pārbaudīt, ievietojot vienādojumā

(8) un sākuma nosacījumos (9), (10), ka funkcija

nxshnyn

yxuk

sin1

,1

(11)

ir problēmas (8) - (10) atrisinājums. Acīmredzami, ka 0 varam atrast tādu N ,

ka Nn saskaņā ar sākuma nosacījumiem izpildās 00

yu un

0yyu . Tajā

pašā laikā jebkuram, cik patīk mazam 00 y un dotam, cik patīk lielam 0K

varam panākt, ka Kyxy 00 , . Tik tiešām, fiksēsim tādu 0n , ka

Kyshnn

k

001

0

1.

(To var viegli ieraudzīt:

Kn

yn

n

ynynyshn

nkkk

1

0

00

1

0

0000

001

02

1exp

2

expexp1

pietiekam lielam 0n , jo eksponentfunkcija bezgalībā aug straujāk nekā jebkura

pakāpes funkcija). Atliek fiksētajam 0n fiksēt tādu 0x , lai 1sin 00 xn . Tad izpildās

vajadzīgā nevienādība Kyxu 00 , .)

Šajā gadījumā problēmas nestabilitāte radās tādēļ, ka daļā no robežas bija doti

divi nosacījumi, bet uz atlikušas robežas daļas vispār robežnosacījumu nav. Šo domu

nepieciešams paskaidrot detalizētāk. Problēmu pusplaknei varam uzskatīt kā

robežgadījumu problēmai pusriņķim (pie 0y ). Tad korektai problēmas nostādnei

nepieciešams viens nosacījums uz pusriņķa līnijas un viens uz horizontālā riņķa

diametra ( 0y ). Tad, kad palielinam riņķa rādiusu, robežnosacījums uz pusriņķa

līnijas „tiecas uz bezgalību” un konkrēto robežnosacījumu var aizvietot ar prasību par

atrisinājuma (vai tā atvasinājuma) ierobežotību pie yx2 .

3 §

Matemātiskās fizikas problēmas klasiskais atrisinājums

Klasiskā atrisinājuma jēdzienu izskaidrosim ar konkrētai problēmai, apskatot

jaukta veida problēmu siltuma vadīšanas vienādojumam:

Ttlxuau xxt 0,0,2, (1)

lxxut

0,0

, (2)

Tttux

0,00 , (3)

Tttulx

0,1 . (4)

Apzīmēsim ar D plaknes apgabalu:

],0(,,0:, TtlxtxD ,

tā slēgums

TtlxtxD ,0,,0:,

Visbeidzot DD \ ir tās trīs taisnstūra D malas, uz kurām ir doti sākuma vai

robežnosacījumi.

Definīcija. Par problēmas (1)-(4) klasisko atrisinājumu sauc apgabala slēgumā

D definētu funkciju txu , , ja tā izpilda šādus trīs nosacījumus:

1) funkcija ir nepārtraukta apgabala slēgumā D ( DCu );

22

2) pamatvienādojumā (1) ietilpstošie vecākie atvasinājumi ir nepārtraukti apgabalā

D ( DCuDCu xxt , ), tur apmierina pamatvienādojumu (1) un

3) funkcija txu , izpilda sākuma nosacījumu (2) un robežnosacījumus (3) un (4).

Pēdējais nosacījums jāsaprot, ka izpildās vienpusējās robežpārejas (2)-(4).

(Piemēram, ka xtxut

,lim0

, ka ttxux

00

,lim

un ka ttxulx

10

,lim

.)

No šīs definīcijas izriet dabiski nosacījumi pret papildnosacījumu labajām pusēm:

visām funkcijām x , t0 un t1 jābūt nepārtauktām. Taču tas vēl nav viss:

funkcijas txu , nepārtrauktība apgabala slēgumā D nozīmē arī tās nepārtrauktību

apakšējos stūra punktos: 0,0 un 0,l . No tā seko, ka funkcijas x , t0 , t1 ir

saistītas: jāizpildās nosacījumiem ttxtx

000

lim,lim

un txtlx

100

limlim

,

tātad jāizpildās nosacījumiem

0,00 10 l , (5)

kurus sauc par saskaņotības nosacījumiem .

Piezīmes.

1. Nosacījums DCu ir būtisks: ja mās prasīsim tikai DCu , tad visus

nosacījumus (2)-(4) apmierinātu šāda funkcija:

a) Dyxconstu ,, ,

b) tā pieņem vajadzīgās sākuma vai robežvērtības uz .

Acīmredzami, ka tādam atrisinājumam praktiski nav nekādas saistības ar siltuma

izplatīšanas procesa matemātisko aprakstu.

2. Reizēm no prakses viedokļa ir izdevīgi uzlikt tādus sākuma un

robežnosacījumus, ka neizpildās saskaņotības nosacījumi (5). (Ja stienīti, kurš sākuma

momentā ir ar konstantu temperatūru, piemēram, 00 , ko labā galapunktā cieši

savienojam ar citu ķermeni, kura temperatūra ir nemainīga un ir nodrošināts ļoti labs

siltuma kontakts, tad ir praktiski izdevīgāk šajā galapunktā uzdot 1. veida

robežnosacījumu ar 01 constt , nevis formulēt tur 3. veida robežnosacījumu.)

Tādā gadījumā var nedaudz „palabot” klasiskā atrisinājuma definīciju, atsakoties no

nepārtrauktības šajā stūra punktā un aizvietot to ar nosacījumu, ka 0,lu , t.i. ka

atrisinājums tur ir ierobežots.

3. Protams, arī citām matemātiskās fizikas problēmām var formulēt klasisko

atrisinājumu. Taču vienmēr paliek spēkā trīs galvenie principi:

1) pašam atrisinājumam u ir jābūt nepārtrauktam definīcijas apgabala slēgumā;

2) pamatvienādojumā ietilpstošajiem atrisinājuma u vecākajiem

atvasinājumiem ir jābūt nepārtrauktiem apgabalā D , tur jāapmierina

pamatvienādojumu un

3) ir jāizpildās visiem papildnosacījumiem (sākuma un /vai robežnosacījumiem).

23

4 §

Vispārīgā matemātiskās fizikas problēma un pamatproblēmas

Definīcija. Par pamatproblēmu sauksim tādu matemātiskās fizikas problēmu,

kurai nehomogenitāte ir tikai vienā vietā: vai nu pamatvienādojumā, vai sākuma

nosacījumos, vai arī robežnosacījumos.

Pamatproblēmas ir visai svarīgas, kaut vai tādēļ, ka vairākām matemātiskās

fizikas problēmu risināšanas metodēm ir nepieciešam, lai problēmai, piemēram, būtu

homogēni robežnosacījumi. No zemāk apskatītās vispārīgās matemātiskās fizikas

problēmas redukcijas uz pamatproblēmām redzams, ka jebkuru lineāru (un šajā kursā

mēs apskatam tikai tādas problēmas) vispārīgo problēmu var uzskatīt par vairāku

pamatproblēmu summu.

Piemērs. Apskatam jaukta veida vispārīgu problēmu viendimensionālam

siltuma vadīšanas vienādojumam:

0,0,,2 tlxtxfuau xxt , (1)

lxxut

0,0

, (2)

0,, 100

ttutu

lxx . (3)

Sadalīsim šo vispārīgo problēmu trīs pamatproblēmās:

txrtxqtxptxu ,,,, , (4)

kur txp , ir pamatproblēma ar nehomogēnu pamatvienādojumu (1):

0,0,,2 tlxtxfpap xxt , (11)

lxpt

0,00

, (21)

0,0,00

tpplxx

. (31)

Problēma pret funkciju txq , ir pamatproblēma ar nehomogēnu sākuma nosacījumu:

0,0,2 tlxqaq xxt , (12)

lxxqt

0,0

, (22)

0,0,00

tqqlxx

. (32)

Visbeidzot, txr , ir pamatproblēma ar nehomogēniem robežnosacījumiem:

0,0,2 tlxrar xxt , (11)

lxrt

0,00

, (23)

0,, 100

ttrtr

lxx . (33)

Pierādījums ir acīmredzams, ka šo trīs pamatproblēmu atrisinājumu summa ir

sākotnējās vispārīgas problēmas (1) - (3) atrisinājums.

5 §

Dažādu pamatproblēmu saistība

Iepriekšējais paragrāfs rāda, ka pietiek prast atrisināt pamatproblēmas. Izradās,

ka pietiek, ja protam risināt tikai dažas no pamatproblēmām, jo dažādu

pamatproblēmu atrisinājumi ir savstarpēji saistīti.

Sāksim ar to, ka parādīsim, kā problēmu ar nehomogēniem robežnosacījumiem

var reducēt uz problēmu ar homogēniem robežnosacījumiem. Tātad, apskatam šādu

pamatproblēmu:

0,0,2 tlxuau xxt , (1)

24

lxut

0,00

, (2)

0,, 100

ttutu

lxx . (3)

Funkciju txu , meklēsim divu funkciju summas formā:

txwtxvtxu ,,, , (4)

kur funkcijai txw , prasīsim izpildīt nepieciešamos robežnosacījumus (3).

Vienkāršākais variants ir šo funkciju izvēlēties kā lineāru argumenta x funkciju. Tad

iegūstam:

tl

xt

l

xtxw 01 1,

. (5)

Ņemot vērā (4), attiecībā pret txv , iegūstam šādu matemātiskās fizikas problēmu:

0,0,22 tlxwwavav txxxxt ,

jeb

txfvav xxt ,2 , (6)

kur tl

xt

l

xwwwatxf ttxx 10

2 1,

. Sākuma nosacījums (2) iegūst

formu:

xwuvttt

000

, (7)

kur

001 100

l

x

l

xwx

t

.

Visbeidzot, skaidrs, ka funkcija txv , izpilda homogēnus robežnosacījumus:

0,00

lxx

vv . (8)

Tātad pamatproblēmas ar nehomogēniem robežnosacījumiem atrisinājumu esam

izteikuši ar analītisku izteiksmi dotu zināmu funkciju un citas, gan vispārīgas,

matemātiskās fizikas problēmas atrisinājumu. To, savukārt, varam izteikt kā divu

pamatproblēmu summu. Viena no tām būs ar nehomogēnu pamatvienādojumu, otra –

ar nehomogēnu sākuma nosacījumu (taču abām ir homogēni robežnosacījumi).

Piezīmes.

1. Pilnīgi tāpat mēs būtu varējuši rīkoties, ja siltuma vadīšanas vienādojuma

vietā būtu bijis stīgas svārstības vienādojums.

2. Ja apskatam problēmu ar 2. veida robežnosacījumiem (dots funkcijas

atvasinājums), funkciju txw , meklējam kā 2. pakāpes polinomu attiecībā pret x

(atvasinājums tad būs lineāra funkcija!).

Tagad parādīsim, kā problēma ar nehomogēnu vienādojumu var tikt reducēta uz

homogēnu problēmu. Apskatam problēmu:

0,0,,2 tlxtxfuau xxt , (9)

lxut

0,00

, (10)

0,0,00

tuulxx

. (11)

Apzīmēsim ar ,,txv šādas no papildus parametra atkarīgas

pamatproblēmas atrisinājumu:

0,0,2 tlxvav xxt , (12)

25

lxxfxvvt

0,,,0,0

, (13)

0,0,00

tvvlxx

. (14)

Tad problēmas (9)-(11) atrisinājumu txu , var uzrakstīt formā

dtxvtxu

t

,,,0

. (15)

Šo apgalvojumu pierādīt ir visai vienkārši. Atvasināsim txu , pēc t , ņemot

vērā, ka jāatvasina formulā (15) gan pēc integrāļa augšējās robežas, gan arī pēc otrā

argumenta zem integrāļa zīmes:

xx

tt

tt dtxvatxfdtxvtttxvu ,,,,,,,0

2

0

(16)

xxuatxf 2, .

(Šajos pārveidojumos izmantojām, ka funkcija txu , izpilda vienādojumu (9).)

Sākuma nosacījuma (10) un robežnosacījumu izpildīšanās ir acīmredzama.

Piezīmes.

1. Viegli redzēt, ka pierādījums paliek spēkā, ja pamatvienādojuma (9) labajā

pusē operatora xxua 2 vietā būtu vispārīgāks operators

uxcuxbuxa xxx )()( .

(Svarīgi tikai, lai koeficienti nebūtu atkarīgi no argumenta t , jo pretējā gadījumā

nebūtu iespējams iznest attiecīgos koeficientus ārpus integrāļa zīmes.)

2. Robežnosacījumu (11) vietā varētu būt jebkura cita veida homogēni

robežnosacījumi. (Pierādījumu nāktos papildināt šādi: sakarībā (15) robežoperātors

tiktu pielietots abām vienādības pusēm, ielikta robežvērtība 0x vai lx un ņemta

vērā robežnosacījuma homogenitāte.

3. Identiska formula (15) ir spēkā arī stīgas svārstības vienādojumam

0,0,,2 tlxtxfuau xxtt , 9

vienīgā atšķirība ir nosacījumā (13), tā vietā parādās divi nosacījumi:

,,000

xfvvttt

. 31

Arī pierādījums mainās pavisam nedaudz: atvasinot formulu (15) pirmo reizi pēc

argumenta t , iegūstam 00

tu , atvasinot otro reizi, pārveidojumus izdarot tāpat kā

vienādojumā (16), iegūstam, ka txu , izpilda nehomogēno vienādojumu (9 ).

26

4.nodaļa Problēmas stīgas svārstību vienādojumam

1 §

Dalambēra atrisinājums Košī problēmai

Apskatīsim šādu pamatproblēmu stīgas svārstību vienādojumam:

0,,2 txuau xxtt , (1)

xxut

,0

, (2)

xxutt ,

0 . (3)

Definīcija. Par problēmas (1)-(3) klasisko atrisinājumu sauksim apgabalā

),0[,.:, txtxD

definētu un 1) pašā D nepārtrauktu funkciju; 2) kurai apgabalā D eksistē

nepārtrauktie otrie atvasinājumi ttu , xxu , tie apmierina vienādojumu (1) un

3) kura izpilda sākuma nosacījumus (2) un (3), t.i.

xtxut

,lim0

,

xtxutt

,lim0

.

No atrisinājuma definīcijas izriet, ka sākuma datu funkcijai x jābūt

nepārtrauktai: RCx .

Teorēma. Ja funkcijas x un xf izpilda nosacījumus RC 2 ,

RC (1 ), tad Dalambēra formula

atx

atx

dfa

ctxctxtxu

2

1

2, (4)

ir problēmas (1)-(3) klasiskais atrisinājums.

Pierādījums. Izdarīsim mainīgo transformāciju atx , atx , tad

vienādojums (1) iegūs hiperboliska tipa vienādojuma pirmo kanonisko formu (sk.

1.nodaļas 2. §

):

0, u .

Integrējam šo vienādojumu vienu reizi:

,u .

Atkārtota integrēšana dod:

2, du ,

t.i.

21, u , (5)

vai vecajos neatkarīgajos mainīgajos:

atxatxtxu 21,, . (5 )

Sākuma nosacījums (2) dod

xxx 21 (6)

Diferencējot (5 ) pēc t un izmantojot (3), iegūstam:

27

xxxa 12

.

Integrējot pēdējo vienādību:

Cda

xx

x

x

0

112 , (7)

kur nenoteiktā konstante C ir atkarīga no 0x izvēles. Vienādojumu sistēma (6), (7)

dod

x

x

Cda

xx

0

1

2

1)(1

x

x

Cda

xx

0

1

2

1)(2 .

Atliek tikai ievietot tikko iegūtās x1 un x2 izteiksmes izteiksmē (5’), apvienot

pēdējos divus nezināmos

atx

x

atx

x

da

da

ctxctxtxu

002

1

2

1

2,

un mēs esam ieguvuši Dalambēra atrisinājumu (4).

Klasiskā atrisinājuma definīcijas otrais nosacījums rāda, ka sākuma datu

funkcijām jāizpilda teorēmas nosacījumi: funkcijai jābūt divas reizes nepārtraukti

diferencējamai, bet funkcijai x - vienu reizi nepārtraukti diferencējamai.

Pāriesim pie iegūtā atrisinājuma korektības analīzes. Acīmredzami, ka

problēmas (1)-(3) atrisinājums eksistē: mēs esam to uzrakstījuši atklātā formā un

varam tiešas ievietošanas veidā pārliecināties, ka tā apmierina visus vienādojumus.

Arī atrisinājuma unitāti pierādīt ir ļoti vienkārši: vispirms formā (5) esam ieguvuši

pamatvienādojuma vispārīgo atrisinājumu ar divām patvaļīgām funkcijām 1 un 2 .

Divi sākuma nosacījumi (2) un (3) ļāva viennozīmīgi atrast šis funkcijas.

Nedaudz komplicētāk ir ar atrisinājuma stabilitātes pierādījumu attiecībā pret

sākuma nosacījumiem. Kā redzēsim, to ar izmantoto pierādījuma metodi var izdarīt

tikai galīgam laika intervālam Tt ,0 . Pieņemsim, ka txu ,1 un txu ,2 ir

atrisinājumi problēmai (1)-(3) ar sākuma nosacījumiem

Rxxu iti

,0

,

Rxxt

ui

t

i

,0

.

Jāpierāda, ka 0 var atrast kādu 0 , ka no nevienādībām

xx 21 , xx 21

seko

TtRxtxutxu ,0,,,, 21 .

Pierādījumam izmantosim Dalambēra formulu, kura dod novērtējumu:

22

,, 212121

atxatxatxatxtxutxu

Ttda

da

atx

atx

12222

121

28

Tātad ņemot T1 , t.i. T

1

, mēs ne tikai esam pierādījuši

atrisinājuma stabilitāti, bet arī devuši novērtējumu pieļaujamai sākuma nosacījumu

novirzei, lai atrisinājumu atšķirība laika intervālam Tt nepārsniegtu uzdotu

lielumu .

Parādīsim, kā ar iegūto Dalambēra atrisinājumu var uzreiz uzrakstīt

pamatproblēmas ar nehomogēnu pamatvienādojumu atrisinājumu

0,,,2

22

2

2

tRxtxf

x

ua

t

u,

Rxut

,00

,

Rxt

u

t

,00

.

Iepriekšējā paragrāfa formula (15):

dtxvtxu

t

0

,,,

ļauj to izteikt caur ,,txv , kura ir šādas problēmas atrisinājums:

0,,2

22

2

2

tRx

x

va

t

v

00

tv

,,0,:0

xfxvt

vt

t

.

Savukārt šai problēmai varam izmantot Dalambēra formulu (4), kura dod

atx

atx

dfa

txv ,2

1,, .

Tas ļauj uzreiz uzrakstīt:

)(

)(0

,2

1,

tax

tax

t

dfda

txu .

Līdz ar to varam apgalvot, ka šim atrisinājumam ir spēkā korektība: tas ir viens

vienīgs un stabils.

2 §

Dalambēra atrisinājuma fizikālā interpretācija

Fiksēsim kādu konkrētu augšējās pusplaknes punktu 00 , txM . Tālāk, ar P un

Q apzīmēsim x ass punktus 00 atx , attiecīgi 00 atx , t.i. 0,00 atxP un

0,00 atxQ .Tad Dalambēra formulu varam uzrakstīt šādi:

PQ

da

QPMu

2

1

2. (1)

Šī formula rāda, ka atrisinājums, kādā punktā ir atkarīgs tikai no sākuma nosacījumu

vērtībām galīgā x ass segmentā QP, . (Precīzāk no funkcijas x vērtībām šajā

segmentā un no funkcijas x vērtībām tikai divos galapunktos P un Q ). Trīs

punkti M , P un Q veido trīsstūri, kura sānu malas veido taišņu 00 atxatx un

00 atxatx nogriežņi 0,0 tt , pamatni – x ass segments 0000 , atxatx .

29

Tā kā taisnes constatx sauc par stīgas svārstību vienādojuma harakteristikām,

tad šo atrisinājuma atkarības trīsstūri sauc par harakteristisko trīsstūri (skat. 2.zīm.).

x

t

).( 00 txM

)0,( 00 atxQ )0,( 00 atxP

2. zīm.

Pieņemsim, ka sākuma nosacījumu funkcijas x un x ir vienādas ar nulli

visur, izņemot segmentu 21, xxx . Caur šī segmenta galapunktiem 1x un

2x

novilksim harakteristikas 1xatx , attiecīgi 2xatx (skat. 2. zīm.).

2xatx

x

t

1xatx

3.zīm..

2x

Viegli pārliecināties, ka zīmējumā iesvītrotais nošķeltais konuss iezīmē to

apgabalu, kurā atrisinājums, vispārīgi runājot, nav nulle. Tik tiešām, paņemot punktu M ārpus šī konusa, harakteristiskā trijstūra pamatne atradīsies ārpus

segmenta 21, xxx , bet tur funkcijas x un x ir nulles, līdz ar to no formulas

(1) sekos, ka 0Mu . Tas nozīmē, ka sākuma novirzes x un sākuma ātruma

x iedarbība virzās pa labi un kreisi ar ātrumu a . Apgabalu, kuru zīmējumā esam

iesvītrojuši, sauc par iedarbības apgabalu.

Ar šo nelielo ieskatu atrisinājuma fizikālajā interpretācijā mēs beidzam Košī

problēmas apskatu stīgas svārstību vienādojumam un pārejam pie jaukta veida

problēmas analīzes.

30

3 §

Furjē metode jauktā veida problēmai stīgas svārstību

vienādojumam Apskatām pamatproblēmu

0,0,2

22

2

2

tlx

x

ua

t

u, (1)

lxoxut

,0

, (2)

lxxt

u

t

0,0

. (3)

0,0,00

tuulxx

. (4)

No saskaņotības nosacījumiem izriet (sk. iepriekšējās nodaļas 3 §

, formula (5)):

00 l . (5)

Ja Košī problēmai mums izdevās uzrakstīt pamatvienādojuma vispārīgo atrisinājumu

un pēc tam izmantot sākuma nosacījumus, lai fiksētu divas patvaļīgās funkcijas, tad

jaukta veida problēmai mēs uzreiz aprobežosimies ar partikulārā atrisinājuma

meklēšanu. Furjē metodes pamatideja – atrisinājumu txu , meklēt kā divu

vienargumenta funkciju reizinājumu:

tTxXtxu , . (6)

Kā redzēsim, ir ļoti svarīgi, ka apskatam problēmu ar homogēniem

robežnosacījumiem.

Ievietojam reprezentāciju (6) pamatvienādojumā (1) un dalām abas puses ar

XTa 2. Iegūstam:

xX

xX

tTa

tT "2

. (7)

Tā kā šīs vienādības kreisā puse ir atkarīga tikai no t , bet labā – tikai no x , tad šīs

vienādības abas puses nav atkarīgas ne no x , ne no t . (Varam fiksēt x , tad, mainot t ,

kreisā puse nevar būt no t atkarīga; līdzīgi varam fiksēt t un mainīt x ). Tātad,

pielīdzinot (7) pagaidām nezināmai konstantei - , vienādības (7) vietā iegūstam

divus vienādojumus:

lxxXdx

Xd 0,0

2

2

. (8)

0,0)(2

2

ttTdt

Td . (9)

Ar to parciālā diferenciālvienādojuma (1) vietā esam ieguvuši divus 2. kārtas parastos

diferenciālvienādojumus. Tagad no papildnosacījumiem (2)-(4) jāiegūst nosacījumu

vienādojumiem (8), (9). Sāksim ar vienādojumu (8) un papildnosacījumiem (4).

Pirmais no tiem dod: 00 tTX .Tā kā mēs meklējam netriviālu atrisinājumu,

tātad 0tT , līdz ar to esam ieguvuši pirmo nosacījumu vienādojumam (8).

00 X

(Šeit ir svarīgi, ka dots homogēns robežnosacījums, nehomogēnam robežnosacījumam

neizdotos atdalīt meklējamās funkcijas xX vērtību punktā 0x no tT vērtībām.)

No otrā nosacījuma (4) iegūstam, ka 0lX . Līdz ar to problēmu xX atrašanai

esam pilnīgi atdalījuši no tT atrašanas, no šejienes metodes nosaukuma izcelsme:

Furjē jeb mainīgo atdalīšanas metode. Tātad mums ir homogēns 2. kārtas parastais

diferenciālvienādojums (8) ar diviem homogēniem robežnosacījumiem.

31

00 lXX . (10)

Acīmredzami, ka sistēmai (8), (10) vienmēr (jebkurai vērtībai) eksistē triviālais

atrisinājums 0xX . Taču mūs interesē netriviālais atrisinājums, tādēļ formulēsim

tā saukto Šturma-Liuvilla problēmu (8), (10) tā: atrast tādas vērtības, kurām eksistē

atrisinājums 0xX .

Apskatām visas iespējas.

Vienkāršākā ir 0 , tad (8) dod 0 xX un vispārīgais atrisinājums

01 CxCxX .

Pirmais no robežnosacījumiem (10) dod 00 C , otrais - 01 C ; netriviāla

atrisinājuma nav.

Ja 0 , tad (8) vispārīgais atrisinājums ir:

xCxCxX expexp 21 .

No 00 21 CCX seko, ka 12 CC , t.i.

xxCxX expexp1 .

Bet, tā kā 1exp x , 1exp x , tad no otra robežnosacījuma izriet, ka

01 C , tātad arī šajā gadījumā nav netriviāla atrisinājuma.

Pārejam pie pēdējā varianta: 0 . Tad vispārīgais atrisinājums ir:

xCxCxX cossin 21

20 CX dod 02 C ;

savukārt, otrais nosacījums (10) uzrakstāms kā

0sin1 lC

un redzams: ja

nl ,

tad nav jāprasa 01 C , t.i. vērtības n , kur

2

22

l

nn

dod netriviālu atrisinājumu. Šīs vērtības n sauc par problēmas (8), (10)

īpašvērtībām un atbilstošos atrisinājumus (konstanti 1C esam izvēlējušies kā 11 C ):

xl

nxX n

sin

sauc par īpašfunkcijām.

Tagad varam uzrakstīt diferenciālvienādojuma (9) vispārīgo atrisinājumu

īpašvērtībai n

atl

nbat

l

natT nnn

sincos ,

un, saskaņā ar (6), vienādojuma (1) partikulāro atrisinājumu txun , , kurš izpilda

robežnosacījumus (4), varam uzrakstīt formā ar divām brīvām konstantēm na , nb :

xl

nat

l

nbat

l

natxu nnn

sinsincos,

(12)

Tas ļauj meklēt (1) vispārīgo atrisinājumu kā partikulāro atrisinājumu rindu ar

sanumurējamu skaitu brīvu konstanšu na , nb :

:

32

1

,,n

n txutxu . (13)

No otras puses, mēs vēl neesam izmantojuši sākuma nosacījumus (2) un (3).

Turpmākajiem pārveidojumiem pieņemsim (un pamatosim to pēc tam), ka visas

nepieciešamās darbības (robežpāreju, atvasināšanu) drīkstam izdarīt zem summas

zīmes. Tad, izdarot robežpāreju 0t vienādojumā (13) ar txun , no (12) un ņemot

vērā sākuma nosacījumu (2), iegūstam:

1

sinn

n xl

nax

. (14)

Savukārt, ja funkcija x apmierina nosacījumus par tās izvirzīšanu konverģējošā

Furjē rindā, mēs varam uzrakstīt

1

sinn

n xl

nx

, (15)

kur

dl

n

l

l

n sin2

0

(16)

Ņemot vērā, ka funkcijas izvirzījumā Furjē rindā koeficienti ir nosakāmi

viennozīmīgi, no (14) un (15), iegūstam, ka jābūt

nna . (17)

Atlikušo brīvo koeficientu nb noteikšanai izmantosim otro sākuma nosacījumu (3).

Šim nolūkam vispirms atvasinām vienādojuma (13) abas puses pēc t un tad izdarām

robežpāreju 0t . Analogi (14) iegūstam

xl

n

l

anbx n

sin

Izmantojot funkcijas izvirzījumu Furjē rindā ( (15) analogu), iegūstam (17)

vietā

nnl

anb

, (18)

kur n izteiksmi nosaka formulas (16) analogs

dl

n

l

l

n sin2

0

( 61 )

Atliek iegūtās na un nb izteiksmes (17), (18) ievietot (12), izmantot vispārīgā

atrisinājuma formulu (13) un mēs iegūstam:

1

sinsincos,n

n

n xl

nat

l

n

an

lat

l

ntxu

. (19)

Jautājums: vai formula (19) dod sākotnējās problēmas (1) – (4) atrisinājumu?

Atbilde ir šāda: ja diferencēšana zem summas zīmes ir likumīga, tāpat, kā

robežpārejas 0x , 0 lx , tad viss ir kārtībā. Jo partikulārie atrisinājumi

apmierina pamatvienādojumu (1) un robežnosacījumu (4), savukārt robežpāreja

0t nodrošina sākuma nosacījumu izpildi “pietiekami labām” sākuma nosacījumu

labajām pusēm x un x ; jēdzienu “pietiekami laba” precizē

Teorēma. Ja funkcijas x un x apmierina nosacījumus

33

i) lC ,02 , - gabaliem nepārtraukta ,

ii) 000 ll ,

iii) lC ,01 , - gabaliem nepārtraukta

iiii) 00 l ,

tad izteiksme (19) ir problēmas (1) – (3) atrisinājums.

Detalizētu teorēmas pierādījumu šeit neapskatīsim, atzīmēsim tikai dažus

būtiskus momentus. Nepieciešamo iespēju izdarīt diferencēšanas vai robežpārejas

operācijas nodrošina iegūtās rindas vienmērīga konverģence. To, savukārt, nodrošina

iespējamība uzkonstruēt mažorējošu konverģentu skaitļu rindu funkciju rindai.

Izteiksmes (19) rāda, ka mažorējošās skaitļu rindas sastāv no funkciju Furjē

koeficientiem x un x , kurus nosaka (16) un ( 61 ). Teorēmas pierādījumā

pēdējo formulu labās puses integrāļus integrē parciāli, atvasinājumus pārnesot

uz , attiecīgi )( . Katra parciālā integrēšana dod pirms integrāļa zīmes

reizinātāju n

1. Teorēmas nosacījumi ii) attiecīgi iiii) nodrošina, ka anulējas visi

ārpusintegrāļa locekļi, bet nosacījumi i) un iii) ļauj pietiekami daudz reižu parciāli

integrēt un nodrošināt mažorējošo skaitļu rindu konverģenci.

Līdz ar to ir pierādīta atrisinājuma eksistence: jo esam to ieguvuši konkrētā

formā (19). Atrisinājuma unitāti nākas pierādīt atsevišķi, jo mēs nezinām, vai nevar

atrast atrisinājumu citā formā, ne kā divu viena argumenta funkciju reizinājumu.

Tādēļ unitātes pierādīšanai izmanto, piemēram, tā saukto enerģijas integrāļa metodi.

Jautājumu par unitāti, tāpat, kā par stabilitāti atstāsim atklātu šajā kursā.

4 §

Jaukta veida problēma atrisinājuma fizikālā interpretācija

To izdarīsim partikulārajam atrisinājumam

xl

nat

l

nbat

l

natxu nnn

sinsincos,

, (1)

vispirms to pārveidojot analīzei ērtākā formā:

xl

nat

l

n

ba

bat

l

n

ba

abatxu

nn

n

nn

n

nnn

sinsincos,

2222

22

,

t.i.

xl

nta

l

ntxu nnn

sincos, (1)

kur

n

n

nnnna

barctg

an

lba

,22 .

Fizikālajai divu argumentu funkcijas txun , analīzei vispirms fiksēsim punktu

0x . Tad varam uzrakstīt

nnn tal

ntxu

cos,0 ,

kur 0sin xl

nnn

.

34

Izteiksme (2) rāda, ka jebkurš fiksēts stīgas punkts 0xx izdara harmoniskas

svārstības ar periodu

na

lTn

2 (3)

(periods ir tas laika intervāls, kad kosinusa funkcijas arguments palielinās par 2 )

un amplitūdu n (skat. 4.zīm). Šāda tipa svārstības sauc par stāvvilni, tos stīgas

punktus, kur amplitūda 0n sauc par mezgla punktiem un tos, kur amplitūda ir

maksimāla, t.i. nn - par blīzuma punktiem.

-1

nT

+1

t

),( 0 txun

4.zīm.

Fiksēta stīgas punkta 0x harmoniskās svārstības

svārstības

Tagad fiksēsim laika momentu 0tt , iegūstot stāvviļņa profilu. Izteiksmi (1)

fiksētam t varam pierakstīt formā

xl

ntxu nn

sin, 0 , (4)

kur

nnn tal

n

0cos .

(Uzskatīsim, ka laika moments 0t nav tāds, ka 0cos 0 ntal

n

.) Formula (4)

rāda, ka stīgas profils ir sinusveida.

ll

1

1

),( 01 txu

x

35

l

2

2

l

2

),( 02 txu

x

l

3

3

l 3

3

2l

),( 03 txu

x

l

4

l 2

l

4

3l

4

4

),( 04 txu

x

5.zīm. Pamattoņa un pirmo triju virsotņu profili

laika momentā 0t

Ievērosim, ka visi stīgas punkti svārstās ar vienu un to pašu frekvenci n :

l

na

Tn

n

2,

kuru, atceroties stīgas svārstību vienādojuma izvedumu (sk. 2.nodaļu), varam izteikt

caur sastiepuma spēku 0T un stīgas blīvumu 0

0

02

Ta :

0

0

T

l

nn .

Skaņa, kuru rada svārstošā stīga, un uztver mūsu auss, sastāv no vienkāršiem

toņiem txun , . Iepriekšējā paragrāfā dotā formula (13) nav tikai tīra matemātiska

konstrukcija: attiecīgas skaņas var izdabūt arī ar rezonatora palīdzību. Toņi ar 1n ,

t.i., zemāko frekvenci, sauc par pamattoni, pārejas toņus sauc par virstoņiem.

Ar šīs matemātiskās analīzes palīdzību, izanalizējot atsevišķu toņu enerģiju

attiecības, var daudz ko paskaidrot par muzikālo instrumentu tembriem.

36

5.nodaļa Problēmas siltuma vadīšanas vienādojumam

Šajā darbā aprobežosimies ar problēmām šim vienādojumam ar vienu telpas

koordināti, t.i. siltuma vadīšanu stienītim.

1 §

Jaukta veida problēmas atrisinājuma iegūšana un tā pārbaude

Apskatīsim pamatproblēmu ar nehomogēnu sākuma nosacījumu:

0,0,2 tlxuau xxt , (1)

lxxut

0,0

, (2)

0,0,00

tuulxx

. (3)

Saskaņotības nosacījums atkal prasa, lai būtu

00 l .

Līdzīgi kā iepriekšējā nodaļā, šo problēmu risināsim ar mainīgo atdalīšanas jeb Furjē

metodi, atrisinājumu meklējot formā:

tTxXtxu , .

Ievietojot šo reprezentāciju pamatvienādojumā, varam analogi stīgas svārstību

vienādojumam iegūt šādu divkāršu vienādību:

tTa

tT

xX

xX2

. (4)

No šejienes, izmantojot arī robežnosacījumus (3), iegūstam attiecībā pret xX ,

Šturma-Liuvilla īpašvērtību problēmu

lxxXxX 0,0 ,

00 lXX ,

kura pilnīgi sakrīt ar attiecīgo problēmu stīgas svārstību vienādojumam. Tādēļ uzreiz

varam uzrakstīt īpašvērtības

Nnl

nn ,

2

22 , (5)

un tām atbilstošās īpašfunkcijas

xl

nxX n

sin .

Diferenciālvienādojums attiecībā pret tT , ko iegūstam no (4), izskatās šādi:

02 tTatT

un tā atrisinājums pie n :

ta

l

natT nn

2

2

22

exp

.

Līdz ar to partikulārais atrisinājums

xl

nta

l

naxu nn

sinexp 2

2

22

un vispārīgais atrisinājums, kā partikulāro atrisinājumu summa, būs uzrakstāms

formā:

37

1

2

2

22

sinexp,n

n xl

nta

l

natxu

. (6)

Atkal uzskatam, ka sākuma nosacījuma funkcija x ir izvirzāma vienmērīgi

un absolūti konverģējošā Furjē rindā (šim nolūkam prasīsim, lai lCx ,0 un

x ir gabaliem nepārtraukta, to īsi pieraksta kā lQx ,0 ), tad

xl

nx

n

n

1

sin , (7)

(Atzīmēsim, ka funkcijai x uzliktie nosacījumi nodrošina, ka konverģē arī skaitļu

rinda

1n

n .)

Tālāk arī rīkosimies kā iepriekš, stīgas svārstību vienādojumam: izdarot formulā

(6) robežpāreju 0t un izmantojot (2) un (7), iegūsim, ka jāizpildās nna .

Tātad, formula (6) iegūst izskatu:

1

2

2

22

sinexp,n

n xl

nta

l

ntxu

. (8)

Tagad atliek pārbaudīt, vai potenciālā atrisinājuma formula (8) izpilda visus trīs

klasiskā atrisinājuma nosacījumus. Šim nolūkam, pirmkārt, funkcijai txu , jābūt

nepārtrauktai augšējā pusplaknē, ieskaitot x asi, t.i. pie 0t . (Atcerēsimies, ka

klasiskā atrisinājuma funkcijai jābūt nepārtrauktai definīcijas apgabala slēgumā). Tas

ir pierādāms elementāri, jo rindas summa ir nepārtraukta, ja rindas locekļi ir

nepārtraukti un rinda konverģē vienmērīgi un absolūti. Savukārt, to nodrošina

konverģentas mažorējošas skaitļu rindas eksistence. Kā viegli redzēt, mažorējoša ir

skaitļu rinda

1n

n .

Nākamais klasiskā atrisinājuma nosacījums: pie 0t (vaļējā apgabalā) ir jābūt

nepārtrauktiem vecākajiem atvasinājumiem t

u

,

2

2

x

u

un tiem ir jāapmierina

vienādojums (1). Tātad, izdarīsim formālu atvasināšanu zem summas zīmes un

pārbaudīsim, ka atvasinātā rinda konverģē vienmērīgi. (Paša vienādojuma (1)

izpildīšanās sekos automātiski, jo parciālie atvasinājumi – atsevišķi rindas locekļi

vienādojumu apmierina). Izvēlamies patvaļīgu 00 t , tad formāli atvasinātās rindas

locekļiem 0tt izpildās šāda nevienādība:

0

2

2

222

2

222

2

222

2

22

expexp tal

na

l

nta

l

na

l

nnn

(9)

Savukārt, eksponentfunkcija ar negatīvu pakāpes rādītāju pie 2n dilst

straujāk kā 2n . Tādēļ N , ka Nn izpildās nevienādība

1exp 0

2

2

222

2

22

ta

l

na

l

n .

Svarīgi atzīmēt, ka pēdējā nevienādība izpildās jebkuram, cik patīk mazam, bet

pozitīvam 0t . (Protams, jo mazāku izvēlēsimies 0t , jo lielāku būs jāpieņem N !). Līdz

ar to no (9) seko, ka

38

nn ta

l

na

l

n

0

2

2

222

2

22

exp .

ja Nn , pie tam, atcerēsimies, šī nevienādība izpildās visiem 0tt . No šejienes

izriet, ka visiem 0t funkciju rindu mažorē skaitļu rinda

1n

n . Tik tiešām, ja mēs

pieņemtu, ka mažorēšanas īpašība neizpildītos kādam 01 t , tad atliktu

paņemt 10 tt , lai mēs nonāktu pie pretrunas. Līdz ar to, klasiskā atrisinājuma otrā

īpašība ir pierādīta.

Klasiskā atrisinājuma definīcijas trešā īpašība, ka tas pie 0t izpilda

robežnosacījumus, seko automātiski: katras rindas loceklis to izpilda un pati rinda (8)

konverģē vienmērīgi un absolūti.

2 §

Grīna funkcijas jēdziens un tās fizikālā interpretācija

Iepriekšējā paragrāfa problēmas (1)-(3) atrisinājumu ar mainīgo atdalīšanas(Furjē

metodi) ieguvām formā (8):

1

2

2

22

sinexp,n

n xl

nta

l

ntxu

, (1)

kur

dl

n

l

l

n sin2

0

. (2)

Ievietosim funkcijas x Furjē koeficientu izteiksmi (2) atrisinājuma formulā (1) un

mainīsim vietām integrācijas un summēšanas zīmes (to drīkstam darīt, jo rinda (1)

konverģē vienmērīgi un absolūti):

dl

nx

l

nta

l

n

ltxu

l

n

sinsinexp2

,0 1

2

2

22

,

kuru īsi varam pierakstīt formā

dtxGtxu

l

0

,,, . (3)

Šeit ar txG ,, mēs esam apzīmējuši funkciju

l

nx

l

nta

l

n

ltxG

n

sinsinexp2

,,1

2

2

22

. (4)

kuru sauc par Grīna funkciju jaukta veida problēmai siltuma vadīšanas

vienādojumam. Ja gribam būt pavisam precīzi, tad jāpievieno vēl kādi „ ar 1. veida

robežnosacījumiem.”

Lai iegūtu Grīna funkcijas fizikālo interpretāciju, pieņemsim, ka temperatūras

sadalījums sākuma momentā x ir nulle visur, izņemot kāda iekšēja segmenta l,0

punkta apkārtni (atgādinām, ka lQx ,0 sk. 6.zīm):

00

00

,\,0,0

,,

lx

xxx

39

x

)(x

0 l

6.zīm. Sākuma temperatūras sadalījums.

pie kam pieņemsim, ka temperatūras sadalījums x izveidojies pēc siltuma

daudzuma Q izdalīšanās sākuma momentā, t.i.

0

0

dcQ .

Tādā gadījumā temperatūra txu , kāda saskaņā ar atrisinājuma formulu (3) būs

siltumu vadošajā stienītī laika momentā t , ir uzrakstāma tā:

txGc

QdtxGdtxGtxu ,,,,,,, 00

0

0

0

0

, (5)

kur 000 , .

Pieņemsim, ka 0 , t.i., ka siltuma daudzuma Q izdalīšanās sākuma momentā

notiek arvien mazākā punkta 0 apkārtnē (taču pašu siltuma daudzumu Q saglabājam

nemainīgu). Robeža txu ,0 dos temperatūru stienītī, ja sākuma momentā vienā

stienīša punktā 0 momentāli ir izdalījies siltuma daudzums 0Q , pie tam

vienkāršības labad pieņemsim, ka skaitliski cQ Tad no (5) iegūstam:

txGtxu ,,, 00 . (6)

Tātad Grīna funkcijas fizikā interpretācija ir šāda: Grīna funkcija txG ,, 0 dod

temperatūras sadalījumu stienītī, ja sākuma momentā punktā 0 ir darbojies

momentāls punktveida siltuma avots ar jaudu cQ .

Grīna funkcijas matemātiskā nozīme - tā ļauj izdalīt atrisinājuma daļu, kura nav

tieši atkarīga no konkrētajiem papildnosacījumiem. (Šajā gadījumā tas ir temperatūras

sadalījums sākuma momentā x .) Piemēram, ja mēs iepriekšējā paragrāfa

pamatproblēmas ar nehomogēnu sākuma nosacījumu vietā apskatītu problēmu ar

nehomogēnu pamatvienādojumu:

0,0,,2

22

tlxtxf

x

ua

t

u, (7)

lxut

0,00

, (8)

0,0,00

tuulxx

. (9)

tad problēmas (7)-(9) atrisinājums būtu uzrakstāms formā (ar Grīna funkciju (4)):

dftxGdtxu

lt

00

),(,,0, (10)

(Šeit mēs izmantojām 3. nodaļas 5 §

formulu (15)).

40

3 §

Jaukta veida problēmas atrisinājuma korektība un maksimuma

princips

Ar mainīgo atdalīšanas metodi iegūtais problēmas atrisinājums (vienalga, vai

bezgalīgas rindas formā vai ar Grīna funkcijas palīdzību) rāda, ka šai problēmai

atrisinājums eksistē. Taču atrisinājuma unitāte un stabilitāte, tātad problēmas

korektība, nav skaidra. Tam izmantosim maksimuma principu. Šīs teorēmas

pierādījumam izmantosim klasiskā atrisinājuma definīcijā izmantoto definīcijas

apgabala apzīmējumus (sk. 3. nodaļas 3 §

):

],0(,,0:, TtlxtxD ,

TtlxtxD ,0,,0:,

un DD \ . Pievēršam lasītāja uzmanību tam, ka D nav vaļējs apgabals parastajā

nozīmē: mala Tt , lx 0 pieder D . (Ja uz tās nav doti papildinājumi, tās ir

argumenta vērības, kurām tiek meklēts atrisinājums “pēdējai” lielākajai argumenta t

vērtībai (sk.7.zīm.). Šim aspektam būs svarīga nozīme teorēmas pierādījumā.

x

t

D

T

7.zīm. Siltuma vadīšanas vienādojuma atrisinājuma definīcijas

apgabals D un .( : kopa- trīs taisnstūra malas – uz kurām doti

papildnosacījumi un kur funkcija pieņem ekstremālās vērtības.)

Teorēma: (Maksimuma princips.) Jebkurš siltuma vienādojuma klasiskais

atrisinājums txu , savu maksimālo un minimālo vērtību sasniedz uz .

Pierādījums. Pieņemsim pretējo. Tādā gadījumā, ja 00 ,,max txutxuMD

,

txum ,max

, tad mM un lx ,00 , Tt ,00 . Definēsim palīgfunkciju

txv , šādi:

ttT

mMtxutxv

0

2,, . (1)

Tā kā txu , ir nepārtraukta D , tad tāda ir arī txv , . Uzreiz redzams, ka

Mtxutxv 0000 ,, , savukārt

MMm

TT

mMmtt

T

mMtxutxv

22max

2,max,max 0 .

Tātad 11,tx , ka MtxvtxvD

11 ,,max pie kam atkal 11,tx nepieder , t.i.

lx 10 , Tt 0 . Šajā funkcijas txv , maksimuma punktā jāizpildās labi

41

zināmajiem ekstrēma nosacījumiem 0xv , 0xxv , taču nosacījums pret tv var

nedaudz samulsināt: 0tv . Tas saistīts ar to, ka jāpieļauj , ka Tt 1: maksimums

tiek sasniegts uz argumenta t definīcijas segmenta robežas un tādā būt var pieļaut arī

0tv (sk.8.zīm.):

txv ,1

Tt 1

8.zīm. Palīgfunkcijas v(x,t) atkarība no t ar iespējamu

maksimālās vērtības atrašanos punktā t=T

t

Saskaņā ar funkcijas txv , definīciju, iegūstam:

0 xxxx vu ,

bet

022

T

mM

T

mMvu tt .

Tātad funkcijas txv , maksimuma punktā 11,tx siltuma vadīšanas vienādojuma

klasiskajam atrisinājumam ir spēkā 0xxu , 0tu - vienādojums te neizpildās un tā

ir pretruna. Tagad, izmantojot maksimuma principu, izdodas elementāri pierādīt

unitātes un stabilitātes teorēmas.

Unitātes teorēma. Pieņemsim, ka eksistē divi atrisinājumi txu ,1 un txu ,2

Apzīmēsim txutxutxu ,,, 21 . Tā kā mēs apskatām problēmu ar 1. veida

robežnosacījumiem, tāpat kā ar vienu un to pašu sākuma nosacījuma labo pusi, tad

iegūsim, ka 0,

txu . Bet no maksimuma principa tad momentā seko 0D

u .

Piezīmēsim, ka šajā pierādījumā nav jāprasa, lai mums būtu homogēni

robežnosacījumi; svarīgi tikai, ka abu robežnosacījumu labās puses sakrīt.

Stabilitātes teorēma. Stabilitāti pierādīsim vienlaicīgi pret sākuma nosacījuma

un robežnosacījumu labo pusi. Pieņemam, ka to (papildnosacījumu) labās puses pēc

modeļa atšķiras mazāk par . Citiem vārdiem

txutxu ,,max 21

Pēdējo nevienādību varam uzrakstīt kā dubultnevienādību uz :

txutxu ,, 21 . (2)

Taču tad atkal no maksimuma principa momentā izriet, ka nevienādība (2) izpildās

visā apgabala slēgumā D . Tātad no mazas atrisinājumu atšķirības uz robežas, kur

uzdoti papildnosacījumi, izriet, ka arī abi atrisinājumi atšķiras maz (pie tam ar to pašu

novērtējumu ).

42

4 §

Košī problēma siltuma vadīšanas vienādojumam

Pamatproblēmas formulējums:

0,,2

22

tRx

x

ua

t

u, (1)

Rxxut

,0

. (2)

Attiecībā pret sākuma nosacījuma labo pusi bez dabiskā nepārtrauktības nosacījuma:

RC papildus prasīsim, lai šī funkcija būtu ierobežota: Mx .

Šajā gadījumā nepakavēsimies pie Grīna formulas iegūšanas metodes, tas būtu

plašāka lekciju kursa jautājums. Tātad, Grīna funkcija šai problēmai ir šāda:

ta

x

tatxG

2

2

4exp

2

1,,

. (3)

Viegli pārbaudīt, ka šī funkcija pie 0t apmierina vienādojumu (1), pati funkcija un

visi tās atvasinājumi ir nepārtraukti; bez tam tā pieņem tikai pozitīvas vērtības.

),,( txG

x

1tt

2tt

3tt

4tt

x

9.zīm. Grīna funkcijas izskats atkarībā no x

dažādos laika

momentos ( 4321 tttt )

Pēc analoģijas ar šīs nodaļas 2 §

formulu (4), atrisinājumam vajadzētu būt

formā:

dtxGtxu

,,, (4)

Šo atrisinājumu sauc par Puasona integrāli. Pirms atrisinājuma formulas (4) analīzes

nedaudz tuvāk papētīsim Grīna funkciju. Viegli pārbaudīt, ka

.,

,,0,,lim

0

x

xtxG

t (5)

Bez tam pie 0t izrēķināsim

1exp1

2,, 2

dzzztadtxG

.

Tātad jebkuram 0t izpildās vienādība

1,,

dtxG (6)

43

Robežfunkcija txG ,, , kura pie 0t izpilda nosacījumus (5) un (6), ir

vienkāršākā tā saukto vispārināto funkciju pārstāve un to sauc arī par Dīraka -

funkciju un apzīmē kā x .

Pārbaudīsim dažas Košī problēmas hipotētiskā atrisinājuma īpašības. Vispirms,

elementāri pārliecināties par funkcijas txu , ierobežotību visā augšējā pusplaknē:

MdtxGtxu

,,, .

Atrisinājuma formulu (4) ar integrācijas mainīgo z var uzrakstīt kā

dzzztaxtxu

2exp21

,

. (7)

Vienādības (6) abas puses pareizināsim ar x . Iegūstam

dzzxx

2exp1

Atskaitām pēdējo vienādību no (7):

dzzxztaxxtxu

2exp21

,

. (8)

Jāparāda, ka funkcija txu , izpilda sākuma nosacījumu, t.i., ka patvaļīgam

0 var atrast tādu 0 , ka t izpildās

xtxu , . (9)

Pierādījumu tam tieši no (8) iegūt nevar , jo kaut arī t ir mazs, reizinājums zta2 var

būt cik patīk liels, tā kā ,z , līdz ar to ztax 2 un x starpība var

sasniegt pat M2 . Taču pie lieliem z situāciju glābj eksponentfunkcija. Tādēļ integrāli

(8) labajā pusē sadalam 3 daļās. Katram 0 varam atrast tādu N , ka

3

exp2

exp21 22

dzzM

dzzxztaxNN

Analogi iegūsim

3

exp21 2

dzzxztax

N

.

Savukārt, ar vidējo integrāļa daļu rīkojamies šādi. Dotajam 0 atrodam tik mazu

0t , ka Nta 02 . Šeit 0 ir tāds, kurš nodrošina, ka 3

xx

viesiem x , x no NN, .

Tad nevienādība

3

exp1

3exp2

1 22

dzzdzzxztax

izpildīsies pie 0tt . Esam pierādījuši, ka visiem Rx un visiem 0tt izpildās

xtxu , ,

kas arī nozīmē, ka ar formulu (4) dotais txu , apmierina sākuma nosacījumu:

xtxut

,lim0

.

44

Vēl būtu jāpārliecinās, ka funkcijai txu , eksistē nepārtraukti t

u

un

2

2

x

u

un

ka šie atvasinājumi pie 0t izpilda vienādojumu (1). Vispirms atzīmēsim, ka

formulas labajā pusē ir neīsts integrālis (ar bezgalīgām integrācijas robežām), pie tam

tas ir atkarīgs no parametriem x un t . Tātad, lai pamatotu to, ka drīkstam izmantot

diferencēšanu zem integrāļa zīmes (ja to drīkst, ar to viss būtu pamatots, jo

zemintegrāļa funkcija – Grīna funkcija – apmierina vienādojumu), jāatgādina

matemātiskās analīzes kursa attiecīgā teorēma. Tā apgalvo, ka, lai varētu diferencēt

pēc parametra neīsto integrāli ar bezgalīgām robežām, ir pietiekami pierādīt formāli

diferencētā integrāļa vienmērīgu konverģenci, pie tam diferencējamībai punktā

00 , tx pietiek pierādīt vienmērīgo konverģenci kādā taisnstūrī

2121 ,,,:, tttxxxtxG , kurš satur punktu 00 , tx . Lai pierādītu no

parametra atkarīgu neīsta integrāļa vienmērīgo konverģenci, pietiek atrast tādu

pozitīvu mažorējošu, no parametra neatkarīgu funkciju A , kurai neīstais integrālis

konverģē. Mūsu gadījumā (integrālī (4) ir divu funkciju reizinājums, taču prasības

pret funkciju ir izpildītas – tai pietiek būt ierobežotai, mūsu gadījumā tā ir pat

nepārtraukta) jāatrod mažorējoša A , ka konverģē integrālis

2x

dA . Tātad, pie

2x tam varam atrast šādu mažorantfunkciju attiecībā pret funkcijas txu ,

atvasinājumu pēc x :

ta

x

tta

xM

ta

x

tta

x

x

u2

2

2

3

1

2

2

3 4exp

44exp

4

A

ta

x

tta

xM

2

2

2

2

11

3

1

4exp

4.

Acīmredzami, ka šādai, jau no parametriem neatkarīgai mažorantfunkcijai

neīstais integrālis konverģē. Ievērosim, ka šis pierādījums paliek spēkā arī jebkuram

augstākas kārtas atvasinājumam: tad viena locekļa vietā parādīsies vairāki

saskaitāmie, taču visi būs viena un tā paša tipa - racionāla funkcija, kura reizināta ar

eksponentfunkciju un tai ir negatīvs pakāpes rādītājs. Tā kā tāda eksponentfunkcija

bezgalībā dilst ātrāk par jebkuru algebrisku funkciju, mēs varam apgalvot ne tikai to,

ka formula (4) dod siltuma vadīšanas vienādojuma atrisinājumu, bet ka šis

atrisinājums ir bezgalīgi daudz reižu diferencējams.

Šim pirmajā brīdī negaidītajam matemātiskajam rezultātam ir heiristisks fizikāls

skaidrojums. Sāksim ar to, ka apskatīsim tādu sākuma temperatūru šīs nodaļas 2§: tā

ir pozitīva tikai kaut kāda punkta 0x mazā apkārtnē, visur citur tā ir nulle.

Atrisinājuma formula (4) šajā gadījumā dod:

dtxGtxu

,,, . ( 4 )

Abas zemintegrāļa funkcijas ir pozitīvas, tādēļ arī 0, txu visiem Rx pie

0t . Šeit parādās arī siltuma vadīšanas vienādojuma atrisinājuma atšķirība no stīgas

svārstības vienādojuma atrisinājuma: ja stīgas svārstību gadījumā perturbācijas

izplatījās uz abām pusēm ar ātrumu a , tad siltuma vadīšanas vienādojumam procesa

izplatīšanās ātrums ir bezgalīgs. Tik tiešām: mēs pieņēmām, ka temperatūra sākuma

45

momentā ir nulle visur, izņemot segmentu 00 , xx , bet formula ( 4 ) rāda, ka

pie 0t jebkuram, cik patīk, tālu no 0x esošam punktam x izpildās, ka 0, txu .

Līdz ar to esam pierādījuši Košī problēmas atrisinājuma eksistenci, problēmas

(1), (2) korektībai vēl jāpierāda atrisinājuma unitāte un stabilitāte. Unitāti pierādīsim,

ierobežotu atrisinājumu klasei: Mtxu , .

Pieņemsim, ka eksistē divi ierobežoti atrisinājumi, to starpība txv , apmierina

siltuma vadīšanas vienādojumu (1) un homogēnu sākuma nosacījumu (2). Bez tam

varam apgalvot, ka Rx un 0t ir Mtxv 2, . Apskatīsim ierobežotu

apgabalu

TtLLxtxDL ,0,,:,

un definēsim tajā funkciju

taxL

Mtx 22

22

2, , (10)

kura, kā viegli pārbaudīt, arī ir siltuma vadīšanas vienādojuma atrisinājums. Tāpat

acīmredzami, ka 0,0

ttx , tātad 0

0

totvw . Tālāk

LxLx

vMtx

2, Tātad, uz L (apzīmējumi ir analogi iepriekšējā paragrāfa

apzīmējumiem, sk. 7. zīm.) izpildās vienādība:

TT

wv

.

Saskaņā ar maksimuma principu šī nevienādība tad izpildās visā apgabalā TD .

Izvēlēsimies un fiksēsim kādu augšējās pusplaknes 0t punktu 00 , tx un

izvēlēsimies patvaļīgu 0 . Šim punktam, ņemot pietiekami lielu L , varam panākt,

lai divu atrisinājumu starpību txv , mažorējošā funkcija txw , izpildītu nosacījumu

00 , txw . Tādā gadījumā izpildās arī nosacījums 00 ,txv . Tā kā 00 , tx tika

izvēlēts patvaļīgi (bez ierobežojumiem), tad no tā seko, ka 0, txv .

Atliek pierādīt stabilitātes teorēmu. Saskaņā ar atrisinājuma unitāti, mēs abus

atrisinājumus varam ņemt formā (4). Pieņemsim, ka sākuma nosacījumi ir tādi, ka

xxRx

21max

Tad no (4) seko:

dtxGdtxGtxutxu ,,,,,, 2121

Stabilitāte, un līdz ar to Košī problēmas korektība siltuma vadīšanas vienādojumam

pierādīta.

Ar divu problēmu apskatu siltuma vadīšanas vienādojumam mēs šajā kursā

aprobežosimies.

46

6. nodaļa Robežproblēmas Laplasa vienādojumam

1 §

Harmonisku funkciju jēdziens un to īpašības

Kā tika aprakstīts 3. nodaļas 1 §

, problēmas eliptiskā tipa vienādojumiem

apskatīsim vai nu plaknes yx, vai telpas zyx ,, apgabala punktiem nRDM ,

3,2n .

Turpmāk ar S apzīmēsim apgabala virsmu: DDS \ . Ļoti svarīgi atšķirt

gadījumu, kad D ir ierobežots apgabals (virsma S ir slēgta virsma), vai arī tas ir

neierobežots.

1.Definīcija. Ja D ir ierobežots apgabals, tad funkciju Mu sauc par

harmonisku ja izpildās šādi divi nosacījumi:

1) Mu ir nepārtraukta DCuD : ;

2) DCu 2 un tās otrie atvasinājumi apmierina Laplasa vienādojumu

DMMu ,0 .

Neierobežotam apgabalam D nākas atsevišķi apskatīt gadījumus 2RM un 3RM .

2.Definīcija. Ja neierobežotam apgabalam 3DM funkciju Mu sauc par

harmonisku, ja tā bez 1.definīcijas diviem nosacījumiem izpilda šādu

papildnosacījumu:

3) funkcija Mu vienmērīgi tiecas uz nulli bezgalībā, t.i. 0 eksistē

tāds pozitīvs skaitlis R , ka Mu visiem punktiem M , kuriem attālums no

koordinātu sākuma punkta 0 līdz M ir lielāks par R , neatkarīgi no virziena

vektoram RrOM OM : .

3.Definīcija. Neierobežotam apgabalam D plaknē funkciju sauc par

harmonisku, ja iepriekšējās definīcijas 3) punkts skan šādi:

3) funkcija Mu ir ierobežota bezgalībā, t.i. 0K ka KMu

visiem DM .

Noskaidrosim, kādēļ neierobežota apgabala gadījumā plaknei un telpai jāuzliek

dažādi nosacījumi bezgalībā. (Bez nosacījuma bezgalībā nevar iztikt, to rāda Ž.

Adamāra piemērs par atrisinājuma nestabilitāti 3. nodaļas 2 §

.) Turpmāk šajā nodaļā,

ja rakstīsim r , ar to mēs sapratīsim attāluma vektoru starp diviem punktiem M un P ,

kurš sākas punktā M . Sāksim ar telpu un apskatīsim tur Laplasa operatora

speciālgadījumu sfēriskajā koordinātu sistēmā, kad atrisinājums ir atkarīgs tikai no r

(centrālā simetrija). Tad iegūstam parasto diferenciālvienādojumu (pie 0r ) visā

telpā:

01 2

2

dr

dur

dr

d

r. (1)

Reizinot abas puses ar 2r un vienu reizi integrējot, iegūsim:

47

2

1

r

C

dr

du

Integrējam vēlreiz:

21 C

r

Cru . (2)

Ņemot 11 C un 02 C , iegūstam tā saukto fundamentālo atrisinājumu telpā:

r

ru1

. (3)

Savukārt, ņemot 01 C un 2C patvaļīgu, mēs iegūstam otru vienādojuma (1)

atrisinājumu:

Cru 0 3

Prasot, lai atrisinājums bezgalībā tiektos uz nulli, mēs no abiem atrisinājumiem

atstājam tikai vienu, kuru dod formula (3), tādējādi nodrošinot atrisinājuma unitāti.

Tagad apskatām plakni ar ass simetriju. Tad vienādojuma (1) vietā iegūsim šādu

vienādojumu, t.i. Laplasa operātoru polārajā koordinātu sistēmā, kad atrisinājums nav

atkarīgs no leņķa koordinātes:

01

dr

dur

dr

d

r. (4)

Pēc pirmās integrēšanas iegūstam 0r

r

C

dr

du 1

bet pēc otrās :

21 ln CrCru .

Ņemot 11 C un 02 C , iegūstam tā saukto fundamentālo atrisinājumu plaknē

rru

1ln , (5)

Savukārt, ņemot 01 C un 2C patvaļīgu, iegūstam otru vienādojuma atrisinājumu

Cru 0 . 5

Nosacījums, kuru uzliek 3.definīcija, ļauj no šiem diviem atrisinājumiem izvēlēties

vienu, un tas ir atrisinājums (5’) – konstante. (Atrisinājums (5) ir neierobežots

bezgalībā). Līdz ar to atkal ir nodrošināta atrisinājuma unitāte. Ja mēs būtu prasījuši

atrisinājuma tiekšanos uz nulli bezgalībā, tad neizpildītos atrisinājuma eksistence:

plaknei tāda atrisinājuma vispār nav.

Turpmākā harmonisku funkciju īpašību izpēte balstās uz tā saukto patvaļīgas

funkcijas integrālo reprezentāciju. Tās pierādīšanu sāksim ar Gausa-Ostrogradska

formulas atgādinājumu ierobežotam apgabalam D ar slēgtu virsmu S (kura var

sastāvēt arī no vairākām daļām). Apskatīsim apgabalā D ierobežotu vektorfunkciju

MA

ar komponentēm RQP ,, , pie kam DCMA 1r

. Tad, kā zināms no

matemātiskās analīzes kursa, ir spēkā šāda vienādība (atgādinām, ka n

ir ārējā pret D

normāle).

SD

dnAdAdiv

,

vai

48

dznRynQxnPdz

R

y

Q

x

P

SD

,cos,cos,cos

No Gausa-Ostrogradska formulas viegli iegūstamas turpmākajam nozīmīgās

Grīna formulas. Ņemam

z

vuR

y

vuQ

x

vuP

,, ,

kur u un v ir punktu DM funkcijas. (Acīmredzami jāprasa, lai DCu 1 ,

DCv 2 .) No šejienes iegūstam 1. Grīna formulu. (Atvasinot divu funkciju

reizinājumu saskaņā ar dabiskajiem diferencēšanas likumiem):

SD D

dn

vuvdgradugradvdu . (6)

Uzrakstām vēlreiz 1. Grīna formulu, mainot vietām funkcijas u un v , pēc tam

atņemot no (6) otru formulu. Tad kreisās puses otrais integrālis anulējas un mēs

iegūstam tā saukto 2. Grīna formulu (tagad jāprasa: DCvu 2, ):

dn

uv

n

vuduvvu

SD

. (7)

Tikko iegūtā 2. Grīna formula ļauj pierādīt šādu eliptisko

diferenciālvienādojumu teorijai ļoti svarīgu rezultātu (ļoti nozīmīgu arī parciālo

diferenciālvienādojumu risināšanas skaitliskajām metodēm), kuru sauc arī par

patvaļīgas funkcijas integrālo reprezentāciju.

Teorēma. Ja 3RD ir ierobežots apgabals ar gludu virsmu S un funkcija

DCDCu 21 I , tad 3RM ir spēkā formula

S D

PP dr

Pud

rnPu

n

Pu

rMu

11, (8)

kur

.,0

,,2

,,4

DM

SM

DM

Šeit ar r mēs apzīmējām MPr .

Pierādījums. Pierādījumā izmantosim 2. Grīna formulu (7), kurā par funkciju v

ņemam r

1. Ja punkts M ir ārpus D , tad saskaņā ar fundamentālā atrisinājuma telpā

izteiksmi (3) formulā (7) 01

rv , jo 0MPr . Līdz ar to teorēma šim

gadījumam ir pierādīta.

Tagad apskatām gadījumu, kad DM . Tad formulu (7) visam apgabalam

izmantot nevar, jo punktā MP integrāļiem ir singularitāte. Tādēļ novilksim ap

punktu M lodi ar tādu rādiusu P , lai viss lodes slēgums MK piederētu

apgabalam D un izmantosim 2. Grīna formulu apgabalam MKDD \ :

49

MSS

P

D

dn

u

rrnud

r

u

11. (9)

Apskatām atsevišķi virsmas integrāli pa lodes MK virsmu – sfēru MS , kurš

sastāv no diviem saskaitāmajiem. Pirmajam saskaitāmajam ņemam vērā divus

momentus:

1) ja integrācijas punkts P ir uz sfēras MS virsmas, tad constrMP ;

2) tā kā DCu 1 , tad

k

n

u

DMmax .

Līdz ar to

0411

0

MSMSMS

dk

dn

ud

n

u

r.

Integrālī ar otro saskaitāmo jāņem vērā, ka ārējā pret apgabalu D normāle uz

MS ir no P uz M , t.i.22

1111

rrrrnP

.

Tātad (pārveidojumā zemāk )(* MSP ):

MuPudPu

dPudrn

PuMSMSMS

4411

0

*

2

*

2

(10)

Atliek novērtēt, kas notiek ar tilpuma integrāli pa D formulas (9) kreisajā pusē, jo

tam ir singularitāte punktā MP . Sistemātiska šāda tipa integrāļu analīze ir tā

sauktās potenciālu teorijas sastāvdaļa, kuru šajā ievadkursā neapskatam. Šeit

atzīmēsim tikai, ka integrālis konverģē, t.i.:

D

P

D

P dr

ud

r

u

0

.

Ievietojot visus iegūtos novērtējumus formulā (9), kad 0 , mēs iegūstam formulu

(8) ar 4 .

Pēdējo gadījumu, kad M atrodas uz apgabala virsmas, apskatīsim īsi.

Apzīmēsim ar MK

~ to lodes daļu, kura pieder slēgtajam apgabalam:

DMKMK

~. Rīkojamies tāpat, kā iepriekš: ar D apzīmējam MKD

~\

un novērtējumā (10) ņemam vērā, ka pie maza lodes virsmas daļa MS

~, kura

pieder D , būs tuva 22 (saskaņā ar teorēmas nosacījumiem virsma S ir gluda!) Ar

to arī teorēma ir pierādīta.

Atzīmēsim, ka analoga teorēma ir spēkā plaknes apgabalam, tikai parādās divas

atšķirības no telpas apgabala:

1) 2. Grīna formulā funkcijas r

1 vietā ņemam

r

1ln ;

2) koeficients w pieņem vērtības 0,,2 .

Kā elementāras šīs teorēmas sekas atzīmēsim, ka harmoniskai funkcijai tās definīcijas

apgabala iekšējiem punktiem M ir spēkā kāda reprezentācija

50

P

S

drn

Pun

Pu

rMu

11

4

1 (11)

Tātad, harmoniskas funkcijas vērtība jebkurā iekšējā apgabala punktā ir viennozīmīgi

nosakāmas ar šīs funkcijas un tās normālā atvasinājuma vērtībām uz apgabala

robežas.

Pierādīsim vēl dažas harmonisku funkciju pamatīpašības:

1) ja DM , tad 0MPr , (jo SP ), tādēļ funkcijai Mu ar reprezentāciju

(11) eksistē visu kārtu atvasinājumi. Formulas (11) labās puses pirmajam loceklim

atliek samainīt vietām atvasināšanu normālā virzienā un konkrēto atvasinājumu. No tā

izriet, ka formula (11) ir apgabalā D harmoniskas funkcijas nepieciešamais un

pietiekamais nosacījums: pielietojot (11) abām pusēm Laplasa operatoru labās puses

1. loceklim, iegūstam 01

r, otrajam –

011

ruru.

No otras puses (11) izriet no vispārīgās formulas (8), ja labās puses pēdējā integrālī

ņemam 0u ;

2) harmoniskai funkcijai

S

dn

uu 0 . Šo izteiksmi tūlīt iegūstam no 1. Grīna

formulas, ņemot uv . Formula (6) dod :

0

2

dugraddn

uu

S D

;

3) harmoniskai funkcijai

S

dn

uu 0 (12)

Izmantojam 2. Grīna formulu ar 1v un iegūstam vajadzīgo. Izmantosim formulas

(12) vispārinājumu, apskatot Neimana problēmu Puasona vienādojumam:

DMMfMu , ,

SMMn

Mu

, .

Tad 2. Grīna formula ar 1v tūlīt dod saistību:

D

P

S

P dPfdP , (13)

kuras speciālgadījums Laplasa vienādojumam 0f ir formula (12). Šai formulai ir

dabiska fizikālā interpretācija: lai process būtu stacionārs, tad integrālajai siltuma

plūsmai caur visu apgabala virsmu – vienādojuma (13) kreisajai pusei jābūt vienādai

ar kopējo siltuma avotu darbību – ar tilpuma integrāli labajā pusē;

4) pierādīsim tā saukto vidējās vērtības teorēmu. Ja funkcija Mu ir

harmoniska apgabalā D un sfēra MSR ar centru punktā M un rādiusu R pieder

šim apgabalam, tad funkcijas vērtība sfēras centrā ir vienāda ar integrālo vidējo tās

vērtību pa sfēras virsmu:

MS

P

R

dPuR

Mu 24

1 (14)

51

Pierādījumam izmantojam integrālas reprezentācijas izteiksmi (8), ņemot vērā, ka

tagad, pirmkārt, integrējot pa sfēras virsmu, ārējās normāles virziens sakrīt ar rādiusa

vektora r virzienu, un, otrkārt, uz lodes virsmas visiem tās punktiem P vektors

constRr :

MS

PP

MS RR

dn

u

Rd

rnu

n

u

rMu

1114

MS

P

MS

P

RR

dPuR

drr

3

11

Pirmais no abiem integrāļiem anulējas saskaņā ar harmonisku funkciju 3) īpašību

formula (12). Ar to arī esam pierādījuši vidējās vērtības īpašību harmoniskām

funkcijām. Nākamā īpašība – maksimuma princips un tā izmantošana atrisinājumu

unitātes un stabilitātes pierādīšanai – ir tik svarīga, ka to izdalīsim atsevišķā paragrāfā.

2 §

Maksimuma princips harmoniskām funkcijām un unitātes un

stabilitātes teorēmas Sāksim ar maksimuma principu:

Teorēma: Ja apgabala A slēgumā D definētai un nepārtrauktai funkcijai Mu ,

kurai vaļējā apgabalā D eksistē nepārtraukti otrie atvasinājumi un tie apmierina

Laplasa vienādojumu, tad šī funkcija savu maksimālo un minimālo vērtību

sasniedz uz apgabala virsmas S .

Pierādījums. Pierādījumam izmantosim pieeju no pretējā: pieņemsim, ka

eksistē apgabala iekšējs punkts )( 00 DPP , ka

PuuPu 00 (1)

visiem DP . Izvēlamies tādu , ka sfēra DPS 0 , tad varam izmantot

harmonisku funkciju 4) īpašību – vidējās vērtības teorēmu

0

204

1

PS

PdPuPu

(2)

un saskaņā ar nosacījumu (1) varam teikt, ka

02

0

2

0044

1Pud

PudPu

PS

P

PS

P

Pēdējais novērtējums vēl nedod pretrunu ar (2), ja 0uPu visiem 0PSP .

Savukārt, ja pieņem, ka kādā sfēras punkta 1P funkcijas Mu vērtība ir mazāka par

010 : uPuu , tad funkcijas nepārtrauktības dēļ eksistēs tāda 1P apkārtne 1PU ,

kuras visiem punktiem 0uPu . Apzīmēsim ar 0PS to sfēras daļu, kura

krustojas ar 1PU un ar 0PS - atlikušo sfēras daļu. Tālāk, ar apzīmēsim 0PS

laukumu. Tad 0PS laukums būs 24 un mēs formulu (2) varam uzrakstīt

formā:

00

0204

1

PS

P

PS

P dPudPuPu

52

2

0024

4

1

0

PudPuPS

0

2

2

0 44

PuPu

Esam nonākuši pie pretrunas. Tātad, uz visas sfēras 0PS virsmas ir 0uPu .

Apzīmēsim 0 attālumu starp 0P un virsmu S . No tikko pierādītā izriet, ka uz visām

sfērām 0PS ar rādiusu 0 ir spēkā 0uPu . Tad funkcijas Mu

nepārtrauktības dēļ tas izpildīsies arī sfērai 00PS . Bet saskaņā ar 0 definīciju – tas

ir attālums no 0P līdz virsmai S - eksistē punkts 1P , ka

1P vienlaikus pieder sfērai

00PS un virsmai S . Tātad, pretrunā ar mūsu pieņēmumu mēs esam atraduši

virsmas S punktu, kurā funkcija Mu pieņem tādu pašu vērtību. (sk. formulu (1))

Tātad, maksimālās un minimālās vērtības harmoniska funkcija tiešām pieņem uz

apgabala virsmas.

Kaut arī pierādījumā mēs izmantojam citu metodi kā siltuma vadīšanas

vienādojumam, maksimuma principa būtība un tā sekas ir tādas pašas. Ja atceramies

2. nodaļu, kurā mēs eliptiskos vienādojumus ieguvām kā siltuma vadīšanas

vienādojuma robežgadījumu – kad process laikā vairs nemainās – tad maksimuma

principa izpildīšanās abu tipu vienādojumiem ir dabiska.

No unitātes un stabilitātes teorēmām apskatīsim tikai dažas. Sāksim ar iekšējām

problēmām, t. i., tādām, kad meklējam atrisinājumu slēgtas virsmas S iekšpusē, tātad

ierobežotā apgabalā. Kā pirmo apskatīsim Dirihlē problēmu Puasona vienādojumam:

DMMfMu , , (3)

SMMMu , . (4)

Ja pieņemam, ka problēmai (3) eksistē divi atrisinājumi, kuri apmierina

pamatvienādojumu (3) un robežnosacījumu ar vienu un to pašu labo pusi, tad to

starpība Mv apmierina homogēno vienādojumu (3) (tātad ir harmoniska funkcija)

un uz robežas pieņem nulles vērtības. Tātad arī maksimums un minimums uz robežas

ir nulle. Bet tad no maksimuma principa izriet, ka funkcija ir nulle arī visā apgabalā,

t.i., abi atrisinājumi sakrīt. Analogi var pierādīt atrisinājuma stabilitāti.

Neimana problēmai robežnosacījuma (4) vietā būs nosacījums

SMMn

Mu

, . (5)

Divu atrisinājumu starpība – tā atkal ir harmoniska funkcija – apmierina homogēnu

robežnosacījumu:

SMn

Mv

,0 . 05

Izmantosim Grīna formulu funkcijai vu :

dn

vvvdvdvgrad

SDD

2

Kreisās puses otrais integrālis dod nulli, jo v apmierina Laplasa vienādojumu,

savukārt, labās puses virsmas integrālis ir nulle robežnosacījuma 05 dēļ. Tātad

0

2

dvgradD

53

bet nenegatīva nepārtrauktas funkcijas integrālis var būt nulle tikai tad, ja pati

funkcija ir nulle, t.i.:

0

z

v

y

v

x

v

visiem DM . Tātad constzyxv ,, . Lai iegūtu unitāti, papildus

robežnosacījumam (5) un pamatvienādojumam (3) būtu jāuzdod funkcijas vērtība

vienā noteiktā slēgta apgabala punktā (vai nu apgabala iekšienē, vai uz tā virsmas), sk.

3. nodaļas 2§ piemēru par Neimana problēmu – formulas (5) – (7) un tur izdarītos

secinājumus.

No ārējām problēmām apskatīsim unitātes teorēmas Dirihlē problēmai telpā un

plaknē. Abos gadījumos divu atrisinājumu starpība Mv apmierina homogēnu

robežnosacījumu:

SMMv ,0 (6)

Atgādinām, ka atrisinājums tiek meklēts neierobežotajā apgabalā, t.i., ārpus

slēgtās virsmas. Tā kā atrisinājums bezgalībā plaknes un telpas gadījumos izturas

dažādi, atšķiras arī pierādījuma turpmākā gaita. Telpas gadījumā definējam lodi

0RK ar tik lielu rādiusu, ka visa virsma S atrodas tās iekšienē. Saskaņā ar

harmoniskas funkcijas 2.definīciju jebkuram 0 var atrast R , ka Mv , ja

0RSM Bet tādā gadījumā saskaņā ar maksimuma principu apgabalā starp S un

0RS arī jāizpildās Mv . Nevienādība Mv saskaņā ar to pašu

harmonisko funkciju 2.definīciju izpildās arī ārpus sfēras 0RS . Tā kā atrisinājumu

starpība Mv nav atkarīga no , tad tas nozīmē, ka 0Mv visiem ārējā apgabala

punktiem un teorēma ārējai problēmai telpā ir pierādīta.

Plaknes apgabalam D ārpus noslēgtas līknes S jāizpildās vienādojumam (3),

robežnosacījumam (4) un saskaņā ar harmonisku funkciju 3.definīciju katram no

diviem iespējamiem atrisinājumiem jāizpilda nosacījums

DMKMu ii , .

Apzīmēsim ar 21 KKK un apgabalā 1D iekšpus līknes S izvēlēsimies punktu P

un novilksim ap to tādu riņķa līniju PS r0, kura pilnīgi pieder apgabalam iekšpus

noslēgtās līknes S . Tālāk, ar centru šajā pašā punktā novelkam riņķa līniju PSR ar

tādu rādiusu R , lai visa līkne S atrastos šī riņķa iekšienē (sk.10.zīm.).

0r P

)(0

PSr

0M

R

1D

PSR

S

10.zīm.

54

Beidzot, uzkonstruēsim harmonisku funkciju – mažoranti funkcijai Mv :

0

0

ln

ln

r

R

r

r

KMU , (7)

kura ir pozitīva uz S (funkcija Mv tur saskaņā ar (6) pieņem nulles vērtības un uz

PSR funkcija Mv pieņem vērtību K ). Tātad funkcija (7) tiešām ir

mažorantfunkcija funkcijai Mv un saskaņā ar maksimuma principu patvaļīgam

plaknes apgabala PKDD R punktam 0M izpildīsies 00 MUMv . Tagad

jebkuram dotam 0 varam izvēlēties tādu R , lai šajā fiksētajā punktā 0MU ,

līdz ar to arī 0Mv . Teorēmas pierādījuma nobeigums ir analogs telpas

gadījumam: atrisinājumu starpība Mv nav atkarīga no , tātad 00 Mv . Tā kā

0M tika izvēlēts brīvi apgabalā D , neizmantojot nekādus specifiskās šī punkta

īpašības, tad vienādībai 0Mv jābūt spēkā DM .

Viegli redzēt no pierādījuma gaitas, ka pilnīgi analogi varētu pierādīt arī

stabilitātes teorēmas (tad nosacījuma (6) labajā pusē būs funkcija, kuras vērtības ir

mazas - kā divu tuvu atrisinājumu robežvērtību starpība). Ar šo piezīmi arī beigsim

unitātes un stabilitātes jautājumu izpēti eliptiskajiem –Laplasa un Puasona -

vienādojumiem.

Īsi komentēsim robežproblēmu Laplasa vai Puasona vienādojumiem risināšanas

metodes. Arī šajā gadījumā var izmantot mainīgo atdalīšanas metodi. Vienkāršākos

gadījumos metodes izmantošanā nav būtisku atšķirību no tās izmantošanas citiem

vienādojumu tipiem, kā tas tika apskatīts iepriekšējās divās nodaļās. Savukārt, citos

gadījumos Furjē metodes pielietošanai nepieciešams izmantot tā sauktās speciālās

funkcijas un tas paliek ārpus šī pamatjautājumu kursa, tāpat kā kā tā sauktie

potenciālu teorijas un robežintegrālvienādojumu metodes jautājumi.

55

Literatūra

1. E. Riekstiņš. Matemātiskās fizikas vienādojumi. Latvijas valsts

izdevniecība, Rīga, 1964.

2. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической

физики. Издательство „Наука”, Главная редакция физико-

математической литературы, Москва, 1977.

3. И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными

производными. Государственное издательство физико-

математической литературы, Москва, 1961.

4. W. A. Strauss. Partial Differential Equations. J. Wiley and Sons, 1992.