varam uzrakstīt šādi - LUhome.lu.lv/~jharja/hfo/furje_lens_pr.pdf · Viļņu lauks lēcas...
Transcript of varam uzrakstīt šādi - LUhome.lu.lv/~jharja/hfo/furje_lens_pr.pdf · Viļņu lauks lēcas...
Plakans vilnis
Plakanu vilni, kurš izplatās patvaļīgā virzienā,
varam uzrakstīt šādi:
,tiru
tiikrrkrtrtr oo
)]exp()(Re[
)]exp()exp()(Re[)cos()(),(
kur lielumu )exp()()( ikrrru o
sauc par gaismas viļņa komplekso amplitūdu.
Plakans vilnis
viļņa
fronte ir
plakne
Plakana viļņa kompleksā amplitūda
Dekarta koordinātu sistēmā:
)](2exp[)]coscoscos
(2exp[
)]coscoscos(exp[),,(),,()(
zyxizyxa
i
zyxikzyxzyxuru
oo
o
z
x
k
z = 1/
x = 1/
)exp()()( ikrrru o
Telpas frekvences
Lielumus , un sauc par
telpas frekvencēm, un to
mērvienība parasti ir (mm-1).
z
x
k
z = 1/
x = 1/
Telpas frekvences ir apgriezti proporcionālas gaismas viļņa
periodiem, izmērītiem uz atbilstošajām koordinātu asīm. Tās
raksturo viļņa izplatīšanās virzienu attiecībā pret koordinātu
sistēmu
cos;
cos;
cos
)](2exp[),,( zyxizyxu o
Gaismas difrakcija
Viļņu lauka amplitūda novērošanas plaknē x’y’ ir atkarīga no:
viļņu lauka amplitūdas apertūras plaknē xy ;
slīpuma koeficienta (raksturo leņķis );
attāluma līdz novērošanas plaknei x’y’ .
Difrakcijas integrālis
Pieņemot, ka r x, y, x’, y’ , varam pierakstu
vienkāršot:
dxdyr
eyx yxyxyx
ikr
apert
)',',,(),()','('.
dxdyeyxz
Kyx ikr
o
),()','('
Turpinām pārveidot:
,)''(2
1)'()'2
1
22
22
21
222
R
yyxx
R
yxRzyyxxr o
kur 2
1222 )''( ozyxR
Vienkāršojumi
Tā kā arī R >> x, y, x’, y’, tad izteiksmi zem
kvadrātsaknes var izvirzīt rindā:
...8
1
2
11)1( 22
1
... un atstāt tikai rindas pirmos divus saskaitāmos. Līdz
ar to attālums no apertūras līdz novērošanas plaknei:
R
yyxx
R
yxRr
''
2
22
,)''(2
1)'()'2
1
22
22
21
222
R
yyxx
R
yxRzyyxxr o
Freneļa un Fraunhofera difrakcija
Atkarībā no tā,
vai
2
aDz
tālā zona
(Fraunhofera difrakcija)
2
aDz
tuvā zona
(Freneļa difrakcija)
z
R
yyxx
R
yxRr
''
2
22
R
yxk1
2
)( 22
vai arī ,
R
yxk1
2
)( 22
tiek runāts par Freneļa vai par Fraunhofera difrakciju.
Skaitlisks novērtējums
Nosacījumi difrakcijai tuvajā un tālajā zonā iegūstami,
apertūras (cauruma) diametru apzīmējot ar Da, pie kam x2 + y2 Da2/4;
viļņu skaitli k izsakot ar gaismas viļņa garumu: k = 2/.
Ja cauruma diametrs Da 0,5 mm, bet gaismas viļņa garums = 0,5 m, tad
Da2 /4 50 cm
dxdyeyxz
Kyx ikr
o
),()','('
2
aDz
tālā zona
(Fraunhofera difrakcija)
2
aDz
tuvā zona
(Freneļa difrakcija)
z
2
aDz
tālā zona
(Fraunhofera difrakcija)
2
aDz
tuvā zona
(Freneļa difrakcija)
z R
yyxx
R
yxRr
''
2
22
Telpas frekvences un difrakcija
Mainīgie un ir ar
dimensiju “(attālums)-1” un
raksturo viļņu noliekšanos
difrakcijas rezultātā:
R
x'sincos
Furjē optikā un hologrāfijā
lielumus
un sauc par telpas
frekvencēm.
Fraunhofera difrakcija
Viļņu lauka amplitūda tālajā zonā, pieņemot, ka z0 R,:
.
.
.
)](2exp[),(~
)]''(2
exp[),(
)''
exp(),()','('
apert
aaaaaa
apert
aaaaaa
ikR
apert
aaaa
aa
ikR
dydxyxiyx
dydxyyxxR
iyxR
Ke
dydxR
yyxxikyx
R
Keyx
Secinājums:
viļņu lauka amplitūdas sadalījums ekrāna plaknē, kurš
novietots tālajā difrakcijas zonā, ar precizitāti līdz
konstantam koeficientam ir apertūras funkcijas Furjē
transformācija.
Difrakcija šaurā spraugā
b
bbF
)sin()(
f(x)
+b/2 -b/2 x
citur visur 0
2
bx
2
b ja 1,
f(x)
Difrakcija šaurā spraugā
Gaismas amplitūdas sadalījums aprēķināms divējādi:
1) izmantojot skalāro difrakcijas teoriju;
2) aprēķinot Furjē transformāciju spraugas
funkcijai.
)(sin)( bcb
a
Minimuma nosacījums:
... ,2 1m , ,mb
no kurienes seko:
mb sin
sincos
Difrakcija apaļā caurumā
Amplitūdas sadalījumu difrakcijas
ainā apraksta Besseļa funkcija,
kuras vērtības iespējams aprēķināt
tikai ar skaitliskām metodēm
dveJ vi
2
0
cos
02
1)(
Plāna lēca
Plānu savācējlēcu novietojot plaknē xy, tiek
izmainīta krītošā viļņa fāze
. F
,FF2
2)( 222
Neievērojot lēcas
biezumu,
F
sfērisks
vilnis
z
plakans
vilnis
x
. yx 222
Fāzes izmaiņa
Krītošā viļņa fāzes izmaiņa, ko rada lēca,
izsakāma šādi:
. F
yxk
2
2 22
Novietojot lēcu apertūras plaknē xa,ya , tā rada papildus
fāzu nobīdi:
. )F
yxii aa
2
2exp()exp(
22
.
Mīnusa zīme norāda, ka sfēriskais vilnis ir nevis izklīstošs,
bet – saejošs.
Ievietojam šo fāzes reizinātāju difrakcijas izteiksmē un
ievērojam, ka z0 = F.
Viļņu lauks lēcas fokālajā plaknē
Iegūstam izteiksmi viļņu lauka amplitūdai lēcas
fokālajā plaknē:
.
.
2222
.
)''
exp(),(
)]''
2(exp[)
2exp(),(
),()','('
apert
aaaa
aa
ikF
apert
aaaaaaaa
aa
apert
aa
ikri
aa
o
dydxF
yyxxikyx
F
Ke
dydxF
yyxx
F
yxFik
F
yxikyx
F
K
dydxeeyxz
Kyx
Viļņu lauks lēcas fokālajā plaknē
Pārveidojot mainīgos:
)],(2exp[)]''
(2exp[)''
exp( aaaaaa yxiy
F
yx
F
xi
F
yyxxik
izteiksme vienkāršojas:
.
)](2exp[),(~)','('apert
aaaaaa dydxyxiyxyx
Secinājums: viļņu lauka amplitūdas sadalījums lēcas fokālajā
plaknē ar precizitāti līdz konstantam koeficientam ir apertūras
funkcijas (objekta) Furjē transformācija.