Matemáticas IIs345093871.mialojamiento.es/cidead/guias_didacticas/2º... · 2013. 12. 3. ·...

Matemáticas II

2º de Bachillerato

MATEMÁTICAS II GUÍA DEL ALUMNO

Índice

1. INTRODUCCIÓN

2. EL LIBRO DE TEXTO

3. OBJETIVOS

4. ORIENTACIONES METODÓLOGICAS

5. RECURSOS

6. DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOS

7. EVALUACIÓN

UNIDADES DIDÁCTICAS

1. Matrices

2. Determinantes

3. Sistemas de ecuaciones lineales

4. Vectores

5. Puntos, rectas y planos

6. Ángulos, distancias, áreas y volúmenes

7. Límite y continuidad de funciones

8. Derivada de una función. Aplicaciones (I)

9. Aplicaciones de la derivada (II)

10. La integral

MATEMÁTICAS II INTRODUCCIÓN

Las Matemáticas que vas a cursar este año son comunes para las modalidades de

Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnología. En el primer curso de Bachillerato ya empezaste a estudiar las Matemáticas con

mucho más formalismo y con una fundamentación teórica mucho mayor que en cursos anteriores. En este curso verás que se introducen muchos conceptos nuevos y que se da mucho más rigor a las definiciones y a las demostraciones. Verás también que se utiliza una nomenclatura matemática que en algunos momentos te puede resultar difícil de comprender. Sin embargo en cada apartado del libro, además de una explicación teórica, hay siempre un ejemplo práctico de cómo aplicar los conceptos introducidos.

Los contenidos que vas a estudiar te van a proporcionar técnicas básicas, tanto

para estudios posteriores como para la actividad profesional. No se trata de que se posean muchas herramientas matemáticas, sino las estrictamente necesarias y que se manejen con destreza y oportunidad, facilitando las nuevas fórmulas e identidades para su elección y uso. Nada hay más alejado del pensar matemáticamente que una memorización de igualdades cuyo significado se desconoce, incluso aunque se apliquen adecuadamente en ejercicios de cálculo.

Dichos contenidos están agrupados en tres grandes bloques: BLOQUE I: ÁLGEBRA. Aprenderás a clasificar y resolver sistemas de ecuaciones

utilizando como herramienta nueva el estudio de las matrices y de los determinantes, que tiene muchas aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería.

BLOQUE II: GEOMETRÍA. Ampliarás el estudio que comenzaste el curso pasado de la geometría en el plano y además comenzarás a trabajar la geometría en el espacio.

BLOQUE III: FUNCIONES. Continuarás el estudio de funciones que iniciaste el curso pasado, trabajando con mayor rigor los conceptos de continuidad y derivabilidad. Además aprenderás a calcular integrales y verás su aplicación para el cálculo de áreas y volúmenes.

No te desanimes si al principio te resulta difícil. No es necesario que comprendas

todas las demostraciones, que a veces pueden resultar excesivas, pero sí es importante que te queden claros los conceptos y que sepas realizar correctamente los ejercicios de aplicación. Estudia siempre con lápiz y papel delante.

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MATEMÁTICAS II EL LIBRO DE TEXTO

MATEMÁTICAS II Autores: Santiago Calviño Castelo,

Augusto Sánchez Hernández y Lucio Vigara Hernández

Editorial: Ministerio de Educación y Ciencia Madrid 2009 NIPO: 660-09-123-1

OBJETIVOS

Los objetivos generales que se pretende que consigas con las Matemáticas del Bachillerato son muy ambiciosos. Entre ellos podemos destacar:

a) Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que te permitirán desarrollar estudios posteriores más específicos.

b) Aplicar los conocimientos que adquieras a situaciones diversas ya sean científicas y tecnológicas, o de la vida cotidiana.

c) Utilizar procedimientos propios de las matemáticas como plantear problemas o formular hipótesis y contrastarlas para explorar situaciones nuevas.

d) Adquirir y manejar un vocabulario de términos y notaciones matemáticas que te permita expresarte de forma oral, escrita y gráfica en situaciones que puedan ser tratadas matemáticamente.

e) Mostrar actitudes propias de investigación matemática como la valoración de la precisión, la necesidad de verificación y la apertura a nuevas ideas.

f) Adquirir rigor en el pensamiento científico.

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MATEMÁTICAS II ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En cada unidad didáctica encontrarás siempre los siguientes apartados:

1. Página de inicio de la unidad. 2. Desarrollo teórico de cada apartado del Índice de la Unidad. 3. Ejemplos resueltos 4. Actividades (al final del libro encontrarás la solución detallada de todas)

Para el estudio de las unidades te recomendamos lo siguiente:

1. Empieza leyendo la página de inicio de la unidad que te invita a reflexionar sobre

los contenidos que vas a estudiar en la unidad. Haz un esquema general de la Unidad. En un primer momento te pueden bastar los títulos de los diferentes apartados.

2. Haz los Ejemplos resueltos que se proponen al finalizar la explicación de muchos de los conceptos y procedimientos.

3. Realiza los ejercicios que figuran en Actividades hasta comprobar que los puedes resolver con facilidad. Te servirán, tanto para profundizar en la teoría como para tu autoevaluación, haciéndote consciente de los contenidos que tienes que volver a estudiar. También te servirá de ayuda el poder comprobar la solución detallada de dichas actividades que puedes encontrar en el libro. Consulta con tu tutor las dificultades que encuentres. Muchos de los conceptos matemáticos admiten una expresión gráfica. Te resultará mucho más fácil su estudio si vas buscando ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

4. Como complemento tienes en la sección Recursos del CVE una relación de páginas de Internet y otros recursos si tu curiosidad e interés te lleva más allá del libro de texto.

5. Comprendida la unidad envía al profesor los ejercicios para enviar al tutor que están a tu disposición en el CVE. La realización de estos ejercicios permite al profesor conocer tu progreso mediante la corrección orientadora que haga de los mismos. Envíalas dentro de los plazos indicados. El tutor te las devolverá corregidas y comentadas.

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MATEMÁTICAS II RECURSOS

En el Centro Virtual de Educación (CVE), si entras en el apartado “Recursos”

accederás a una página en la que encontrarás elementos que te pueden ser de gran utilidad a la hora del estudio tales como actividades de autoevaluación que amplían las posibilidades que el libro te ofrece, enlaces a páginas web, textos y video-comentarios que el profesor te propone, etc.

Todos estos recursos los encontrarás ordenados de acuerdo con su utilidad en función de la unidad didáctica a la que están dirigidos; es por ello que algunos puedes encontrarlos en más de una unidad didáctica.

Entre los recursos que se ofrecen pueden encontrar también exámenes realizados anteriormente. Puedes utilizarlos como actividades de autoevaluación al final de cada evaluación.

Si necesitas otros recursos complementarios puedes solicitarlos a tu profesor.

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MATEMÁTICAS II DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOS

El libro de texto consta de diez unidades didácticas que, como se dijo

anteriormente, abarcan tres bloques de contenido: Álgebra, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales; Geometría, vectores, rectas, planos, métrica en el espacio y la esfera; y un último bloque de Funciones, donde se tratan los límites, continuidad, derivadas, representación de funciones y cálculo integral.

No es conveniente asignar un bloque a cada trimestre, ya que el tercer trimestre es mucho más corto puesto que los exámenes suelen ser en mayo. Por tanto la distribución temporal que te ofrecemos es la siguiente:

Primer Trimestre: Comprende los contenidos de las unidades 1, 2, 3 y 4

Unidad 1: Matrices Unidad 2: Determinantes Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales Unidad 4: Vectores

Segundo Trimestre: Comprende los contenidos de las unidades 5, 6, 7 y 8.

Unidad 5: Puntos, rectas y planos Unidad 6: Ángulos, distancias, áreas y volúmenes Unidad 7: Límites y continuidad de funciones Unidad 8: Derivada de una función. Aplicaciones (I)

Tercer Trimestre: Comprende los contenidos de las unidades 9 y 10

Unidad 9: Aplicaciones de la derivada (II) Unidad 10: La integral

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MATEMÁTICAS II EVALUACIÓN

La evaluación de la asignatura se sujeta a lo expuesto en el documento “Sistema de

estudios y plan de trabajo” que tu tutor/a te habrá proporcionado. Repasa detenidamente dicho documento.

1. Actividades

Como habrás visto el curso se divide en tres trimestres, cada uno de los cuales consta de varias unidades didácticas o “quincenas”. Se deben remitir periódicamente al profesor las Actividades para enviar al tutor dentro de las fechas previstas en el documento antes citado. Su envío es fundamental para poder realizar la evaluación formativa y suponen un porcentaje importante de la calificación, indicado en las normas generales. Podrás encontrar las actividades trimestrales en el CVE, que es el lugar de referencia para su envío, ya que de este modo quedará registrada su entrega y la evaluación que realice el profesor. Debes tener en cuenta que el CVE sólo permite el envío de un archivo por actividad.

Aparte de las actividades quincenales o en sustitución de éstas el profesor puede indicarte actividades trimestrales de carácter obligatorio o voluntario. Todo se indicará claramente en el CVE al comienzo de cada evaluación, incluido su plazo de entrega y allí podrás comprobar también el seguimiento de las actividades entregadas.

El profesor te enviará la corrección de las actividades y podrá pedirte que tú también autoevalúes tu progreso.

2. Pruebas presenciales

La evaluación de la materia se realizará también mediante pruebas escritas presenciales. Cada una de estas pruebas de evaluación constará de cuatro ejercicios o cuestiones de las quincenas que comprenden la evaluación pudiendo añadirse un problema de recapitulación del trimestre. Se podrá pedir al alumno que realice ejercicios de tipo práctico o que realice algún razonamiento para justificar resultados matemáticos. Todas las operaciones y razonamientos deben aparecer en las hojas del examen siendo éstos lo más claros y ordenados posibles. La falta total o parcial de orden, fundamentación o explicaciones puede hacer que un problema no sea evaluado positivamente. El uso correcto del idioma será evaluado en la proporción indicada en las normas generales, siguiendo los criterios de evaluación allí expuestos.

Junto a la segunda evaluación se propondrá examen de recuperación de la primera si no se ha aprobado en dicha convocatoria.

Junto a la tercera evaluación se propondrán exámenes de recuperación de la primera y de la segunda.

El examen de septiembre tendrá la misma estructura que los anteriores y se hará sobre la totalidad de la materia estudiada en el curso, independientemente del número de evaluaciones no superadas.

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La no realización de una evaluación o su correspondiente recuperación en caso de no haber obtenido calificación positiva puede implicar el suspenso de la materia.

3. Calificación

En la convocatoria ordinaria la nota final del curso será la media aritmética de las tres evaluaciones, siempre y cuando la nota en cada una de ellas sea igual o superior a 3 puntos. Con una nota menor en alguna evaluación el profesor puede considerar suspensa la asignatura independientemente de las calificaciones obtenida en el resto de las evaluaciones.

Dadas las características extraordinarias de los exámenes de recuperación, éstos se calificarán con un máximo de 6 puntos. En caso de realizar la recuperación de la primera evaluación dos veces (en la segunda y en la tercera evaluación) se consignará como nota de recuperación la más alta de las obtenidas.

Ten en cuenta que el uso correcto del español no se evaluará solo en Lengua Castellana sino en las demás materias de la etapa, en las que le corresponderá un 10% de la calificación. La capacidad expresiva, la adecuación del lenguaje y la corrección idiomática serán valoradas no solo en los exámenes, actividades y trabajos sino también en las comunicaciones con el profesorado.

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MATEMÁTICAS II UNIDADES DIDÁCTICAS

BLOQUE I: ÁLGEBRA

Unidad 1: Matrices En esta Unidad vas a estudiar las matrices y las aplicaciones del cálculo matricial.

El lenguaje matricial y las operaciones entre matrices son una herramienta algebraica útil para expresar y resolver problemas de las ciencias en las que intervienen datos organizados de forma natural como la geometría, la estadística, la informática, la física, etc. Además, las matrices constituyen actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

Criterios de evaluación

Al finalizar la Unidad deberás ser capaz de:

− Saber que es una matriz de dimensión mxn e identificar filas, columnas y elementos concretos de una matriz.

− Comprender la utilidad el lenguaje matricial para expresar datos extraídos de situaciones reales.

− Entender y manejar la notación de subíndices. − Efectuar sumas de matrices y productos de matrices por números reales. − Efectuar, cuando sea posible, productos de matrices. − Efectuar potencias de matrices cuadradas, demostrando el resultado para

exponentes elevados en casos sencillos − Conocer algunas propiedades que cumplen las operaciones con matrices, y

algunas que no cumplen como la propiedad conmutativa del producto de matrices.

− Escribir la matriz opuesta y la matriz traspuesta de una matriz. − Conocer y utilizar adecuadamente el concepto de matriz inversa. Conocer el

método de Gauss para el cálculo de la matriz inversa.

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Unidad 2: Determinantes Los determinantes permiten caracterizar a las matrices regulares y facilitan el

cálculo de las matrices inversas; también se utilizan para definir el rango de una matriz a partir del cuál se discuten las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales los interpretaremos algebraica y geométricamente.


Al finalizar la unidad deberás ser capaz de:

− Calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante el desarrollo por los adjuntos de una fila o columna.

− Calcular determinantes de orden 3 aplicando la regla de Sarrus. − Conocer las propiedades de los determinantes y aplicarlas para calcular los

determinantes de las matrices de forma más sencilla. En particular calcular determinantes por el método de Gauss.

− Calcular determinantes dependientes de un parámetro. − Calcular matrices inversas mediante determinantes.

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Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales El estudio y discusión de los sistemas de ecuaciones lineales y de sus soluciones

es uno de los temas esenciales del álgebra lineal. En esta unidad aplicamos los conocimientos sobre matrices y determinantes para discutir y resolver los sistemas de ecuaciones por diversos métodos.



− Clasificar los sistemas en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles por el método de Gauss.

− Resolución de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer − Interpretar geométricamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. − Discutir sistemas utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius − Hallar la matriz asociada a un sistema de ecuaciones. − Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss − Expresar problemas extraídos de contextos reales como sistemas de

ecuaciones.

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BLOQUE II: GEOMETRÍA

Unidad 4: Vectores

En esta Unidad vas a extender el estudio de la geometría que comenzaste en el curso anterior, del plano al espacio. Empezarás por ampliar el concepto de vector, estudiando los vectores en el espacio. Los vectores constituyen la herramienta fundamental de la geometría analítica.



− Distinguir vectores fijos y vectores libres en el espacio, hallar sus componentes.

− Calcular el módulo y la dirección de un vector, sabiendo sus componentes. − Asociar a cada punto del espacio su vector de posición. − Operar con vectores. Conocer la estructura de Espacio Vectorial. − Saber hallar una base de un Espacio Vectorial − Saber hallar el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto de

vectores, así como sus aplicaciones geométricas.

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Unidad 5: Puntos, rectas y planos

En esta Unidad vas a estudiar como se obtienen las ecuaciones de las rectas y los planos, y resolver todos los problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad que se pueden plantear entre rectas y planos.



− Hallar las ecuaciones de una recta y del plano en todas sus formas. Transformar un tipo de ecuación en otro tipo.

− Estudiar la posiciones relativas de dos rectas, recta y plano, de dos y de tres planos.

− Conocer la ecuación de un haz de planos y utilizarla como método para la resolución de problemas.

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Unidad 6: Ángulos, distancias, áreas y volúmenes

En esta Unidad vas a continuar el estudio de la geometría en el espacio, introduciendo los conceptos de ángulo de dos planos, ángulo de recta y plano, distancia entre dos puntos, entre dos rectas, entre planos paralelos... etc.



− Definir y calcular el producto escalar de dos vectores y utilizarlo para determinar el ángulo que forman dichos vectores.

− Hallar el producto vectorial de dos vectores conociendo sus componentes y utilizarlo para obtener un vector perpendicular a otros dos y para hallar el área de un paralelogramo.

− Hallar el producto mixto de tres vectores y utilizarlo para calcular el volumen de un paralelepípedo.

− Calcular la proyección ortogonal de un punto sobre un plano. − Hallar la distancia de un punto a un plano, de un punto a una recta y de dos

rectas que se cruzan.

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BLOQUE III: FUNCIONES

Unidad 7: Límite y continuidad de funciones El curso pasado ya viste la importancia de las gráficas y del estudio de las funciones no sólo en las matemáticas, sino como forma de representar muchos fenómenos de nuestro entorno. Ahora vamos a introducir, para el estudio de las funciones, unos conceptos nuevos y de mucha importancia en las matemáticas, que son el concepto de límite y el de continuidad.



− Definir límite lateral y límite de una función en un punto, utilizando la simbología adecuada.

− Demostrar, en casos sencillos, la existencia del límite de una función en un punto.

− Conocer las propiedades de los límites. − Calcular límites en el infinito de funciones polinómicas y racionales. − Calcular los puntos del dominio en que son continuas las funciones de uso

común. − Analizar la continuidad de funciones definidas a trozos. − Distinguir entre los distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una

función.

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Unidad 8: Derivada de una función. Aplicaciones (I) En esta Unidad no se introducen conceptos nuevos, sino que profundizarás en el

concepto de la derivada que ya estudiaste el curso pasado.



− Definir la derivada de una función en un punto y utilizar para su expresión las distintas notaciones.

− Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad. − Utilizar la derivada para escribir la ecuación de la tangente a una curva en un

punto. − Estudiar si una función definida a trozos es derivable. − Conocer las derivadas de las funciones elementales. − Utilizar las reglas de la derivación, y en particular la regla de la cadena, para

calcular la derivada de funciones compuestas. − Aplicar, en casos sencillos, la derivación implícita. − Enunciar y aplicar correctamente los teoremas de Rolle y del valor medio. − Definir derivadas de orden superior y hallar las de algunas funciones

elementales. − Utilizar la regla de L´Hôpital para resolver casos de indeterminación en el

cálculo de límites.

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Unidad 9: Aplicaciones de la derivada (II) En esta Unidad verás las aplicaciones de las derivadas para realizar la gráfica de

una función. Estudiando la primera y la segunda derivada podrás saber en qué intervalos la función es creciente o decreciente, sus máximos y mínimos y sus intervalos de concavidad.

También verás los métodos para optimizar funciones, de mucha utilidad en las Ciencias aplicadas.



− Representar gráficamente funciones analizando el comportamiento de dichas gráficas mediante el estudio de la función y de sus derivadas primera y segunda.

− Hallar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones. − Definir extremos relativos y puntos críticos de una función y localizarlos

mediante la primera derivada. − Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, mediante

el estudio de la primera derivada. − Distinguir los tipos de concavidad y los puntos de inflexión de una función y

relacionarlos con el signo de la segunda derivada. − Representar gráficamente funciones analizando el comportamiento de dichas

gráficas mediante el estudio de la función y de sus derivadas primera y segunda.

− Optimizar funciones y aplicar la optimización para resolver problemas sencillos de extraídos de situaciones reales.

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Unidad 10: La integral En esta Unidad va a aparecer un concepto nuevo para ti, el de la integración.

Estudiarás la relación que hay entre la integración y el cálculo de áreas de regiones curvilíneas.

Vas a ver algunas aplicaciones de la integral definida como son el cálculo de áreas de regiones limitadas por gráficas de funciones y el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.



− Conocer la relación que existe entre la integral definida entre los puntos a y b de una función y el área de la región limitada por la función y el eje de abcisas entre dichos puntos.

− Conocer y utilizar correctamente las propiedades de la integral definida. − Enunciar el teorema fundamental del Cálculo, y conocer la relación inversa

entre la derivación y la integración. − Aplicar la regla de Barrow para calcular la integral definida de una función. − Aplicar las técnicas de integración al cálculo de áreas de regiones limitadas

por la gráfica de una función y el eje de abcisas. − Hallar el área de regiones comprendidas entre las gráficas de dos funciones. − Aplicar las técnicas de integración para calcular el volumen de los sólidos de

revolución

http://www.redemat.com/http://www.cnice.mec.es/http://www.ine.es/http://www.matematicas.net/http://www.matematicas.profes.net/http://www.divulgamat.net/http://mathworld.wolfram.com/http://www.educared.net/http://www.easycalculation.com/http://www.sectormatematica.cl/http://www.matematicasbachiller.com/http://archives.math.utk.edu/

matematicas2.pdf1. INTRODUCCIÓN2. EL LIBRO DE TEXTO3. OBJETIVOS4. ORIENTACIONES METODÓLOGICAS Y ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR5. DISTRIBUCIÓN DE LOS CONTENIDOS6. EVALUACIÓN7. UNIDADES DIDÁCTICAS1. Matrices 2. Determinantes3. Sistemas de ecuaciones lineales 4. Vectores 5. Puntos, rectas y planos 6. Ángulos, distancias, áreas y volúmenes 7. Límite y continuidad de funciones 8. Derivada de una función. Aplicaciones (I) 9. Aplicaciones de la derivada (II) 10. La integral 8. PÁGINAS WEBCriterios de evaluaciónCriterios de evaluaciónActividades para enviar al tutor

Criterios de evaluaciónActividades para enviar al tutor

Criterios de evaluación1. Descompón el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima.2. Averigua las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo rectángulo de catetos 15 y 20 cm.3. Estudia y representa gráficamente la función .4. Estudia y representa la función .

Criterios de evaluación1. Calcula las siguientes integrales: a) .b) .c) Utilizando el cambio de variable calcula .2. Se considera la función real de variable real definida por .a) Determina sus máximos y mínimos relativos, así como el área encerrada por la función y el eje OX entre dichos extremos relativos.b) Calcula el valor de para el cual se verifica la igualdad .3. Calcula las siguientes integrales:a) .b) c) .4. La gráfica de la función satisface las siguientes propiedades:- Pasa por el punto .- Tiene un máximo local en el punto .Se pide:a) Obtén los coeficientes a, b y c.b) Halla el área de la región acotada del plano limitada por las gráficas de las funciones f, y la recta .

8. PÁGINAS WEB

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