lzJAa(': IF "SV}[TLOSl ".d J Lt\()d ZJ i 11;tjl:l\ l1Jsr-:Jst\ a Dirc::kwr:Scfik. Zl'PCEV!C RpA(qAf)b)(pvq)vr pv(qvr) c)pv(qAf)(pvq)A(pvr)d)pA(qvr)C>(pAq)V(pAr) e)(pVq)Appf)(pAq)Vp p 1.43.Dokazatiistinitost slijedecih (formula)iskaza (De Morganovizakoni)!': a)l(PAq) clpvlq)b)pvq(pA;:;) 1.44. Dokazatiistinitost slijedeCih formula: a)l(pAlp)b)l(lp)p c)p=>q)A(q=>r=>(p=?r) Iskazirijecima slijedeceiskaze: l.45.a)(3XEN) xOc)(3XEN)d)(3XEN) (x=7 vx> II)e)(3XEZ) f) 1.46.a)('\IxER) x'>-2b)('\Ix,YER) x+ry+xc)('\Ix EN) d)('\IxEN) x>Oe)(Vx,YER) x-r-(Y-x)t)('\Ix)(xEN =?xEl) 1.47.a)(ltxEN)(3YEZ) x-y>Ob)('\IXEQ)(ltYEZ) x'+y';o;O c)ItxEN)(:J!YEZ) x+rlld)('\IxEZ)(3IYEQ)Aka su A,Bi Crnakojiiskazi,aA,B iC njihove negacije) dati slozeniiskazFnapisati u disjunktivnam obliku: 1.48.*F=AvB=>AAC 1.50*F=(BACV(AABv(A,\B =>BAC)v(AAC)Q(Cl.51.* Ako su Ai Brnakojiiskaziislozeniiskaz F(A, B) odreden slUedecom tabelom, napisati F(A, B) u oblikufannule": g:IC'r'I b) I F(AI, Bl A o o 1 IO - .oI0I L----'_-L._.liO.J , 1 52*a) b) B F(AoBq A 00 A 0 0II 0 I0II II0 1 I" De (1806.18? I.) - jr st,otslimattmatiCarilogica, 2"Nctacaniskaz je oznacen sa0,a tacan sa1.BFCA,B) I 0I i II I 00 J I I 0 7 I' ! !, I j"i1 \>-j I I L 1.53.' Ako suA,BiCmakojiiskazi,a slozeniiskaz F(A,B, C)odreden datom tabelom, napisatiF(A,B, C) u oblikuformule: a)b) ABCFrA,B,CfABCF(A,B, 0l00000 0III0 0!00 00 I I 0I0 0JII0II I00II00 I0I0I0I II0III0 IIIIIII 2.OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOVA 2. I.Sta se podrazumijeva podpoj mom"skup"? 2.2.Staje element nekog skupa? 2.3.Kakose oznacavajuskupovi? Navredisve elemente datog skupa A ako je: I 0 I 0 I 0 I I , J 2.4.a)A ={5, -4,0,4)b)A={a,b,c,x)c)A ""{O,I}d)A ={T,-L} 2.5.a)A={xlxEN AxA,7_ 57387' gdje je 3, 4, -5, 7,8}. Odrediti:a)f(2)b)f(3)e)f(f(2)d)f(f(3) 2.92.Dataje funkcijaf:N-.;> 2N1,2,3,4, .,., n,n+l, ... }. Odreditidomenuikodomcllufunkcije. 2.93.Na skupu N dataje funkcijaf(x) 3x-I. Odrediti: f(l),f(2),f(3),f(IO),f(ll). 2.94. Aka je na skupu Z data funkeijaf(x) 5x-7, odrediti [(-3),frO),f(5),f(f(I,f([(2. 2.95.Na skupu 3, -4, 5,10}data jefunkeijaf=. (23 -4 -5 10) 32-5-42 Odreditif(2),f(-4),f(lO),f(f(3,f(f(-5,f(f(f(2). 2.96.Dataje funkcija f:R -l>R,f(x) 2x+l, (Rje skup svihrealnihbrojeva). Odrediti:a)f(O)b)f(-3)c)f(5)d)f(f(2) 2.97.Ako je data funkeijaf(x)=5x+2u skupuZ,odreditixizuvjeta: a)f(x) 7b)f(x)= 2c)f(x) 12d)f(x) 2.98. Dataje fUllkeija{:Z-.;> Zformulom[(x) uskupu A = (-3,0,2,4,1'1).Odrediti[(A). 2.99.Aka su date funkeijef:N-.;> N,f(x) x+2ig:N-.;> N,g(x)=3x-l, odrediti: a)fogb)gofc)fofd)gog 2.100.Date su funkeijena skupu Z fonnulamaf(x)=x+3,g(x)2x-l, a)(fog)ohb)fo(goh) 2.10 l. U skupuR date sufUllkeijc[ormulama:f(x) x' - 3,g(x) =x2+5. Odrediti:a)fogb)go f 2.102. Kakva funkcija senazi va sirjektivna funkcij!l(sirjekdja)? 14 (234- 57 7-5738 A {2,3,4, -5,7,8},nije sirjekcija? 8).. 7,gdJeJe 2.104. Za kakvufunkcijukaielllo daje injektivna funkcija iiiinjekcija? (I23456) 2.I05.Datajefunkeijaf:A-l>B,f=456789,gdjeje 2,3, 4,5, 6}, 5, 6,7,8,9,10}.Utvrditi dalije data [unkcija injekcija. Zasto ova funkcijanijesirjekcija? 2.106. Za kakvu funkeijukaielllodaje bijekcija? (12345 2.107.Dataje funkcija f:A -l>B,34567 I, 2, 3, 4, 5, 8},4, 5, 6, 7,IO}.Utvrditidaje data funkcijabijekcija. 2.108.Kojafunkcijaima inverznufunkciju? 2.109.Stajc iuverzna funkcija rl(x) (bijektivne) funkeijef(x)? (I23458) 2.110. Datajc bijekcija f:A -l>B,3456710,gdje su A(1,2,3,4,5, 8}iB(3,4,5,6,7,10}.Odreditiinverznufunkciju[I. 2.111.Ako je [(x)3xlfunkeijadefinisana u skupurealnihbrojeva R, odrediti njenuinverznu funkcijuflex). 2.112. Odreditiinverznufunkciju[I(X)date fllnkcije[(x) ako je: a)[(x)3-xb) IOx+5 c)f(x) = x-3 x+5 2.113.U skupu realnih brojeva R date sufunkcije (koje subijekcije) .2x+3Odd" formlilallla:[(x) =3x+ IIg(x) = --.reItr: 5 a)['I (x)b)g.I(X)c)(r' 0 g-I)(X) 2.114. Aka je f(x)x,odreditif([([(2000). 2.115.Akojef(x)=3x-l,odrediti[(x). 2.116.OdreditifrO)ako je3f(x)+ f(5x) x-4. 2.117.Dataje funkcijaf(x) x-5.Odreditifunkcijug(x)ako je f(3-g(x 2x+ 1. 2.118. Ako jef(x)x+ Iif(3x+2+g(x x+6,odreditig(x). 2.119.Ako je [(x)ax'+bx+c, dokazati da zasvako x vrijedi: f(x+3) - 3f(x+2) + 3f(x+ I) - f(x) O. 2.120. Staje binarna operacija u skupuA? 2.121. Nekaje u skupu Ndefinisana operacija * ovako: x*y =:x+y+ 3. Odrediti: a)2*3b)3*5c)I *8d)(2*4)*5e)(3*4)*(2*5) 2.122.Sta nazivarno algebarska struktura. 15 3.SKUPOVI BROJEVA 3.1.Prirodni brojevi(N ) I!i. Odrediti zbir prirodnihbrojeva: aJ11+24b)524+112c)317+2246 112_0drediti razlikuprirodnihbrojeva: [;a) 38-23b)145-119c)5147 - 3132 Odrediti proizvod(produkt) prirodnih brojeva: 133.a)810b)15100c)2451000 \!:4.a)154b)124 17c)735233 I d)5784+3425 d)2487-439 d)94310000 d)784453 I hKoristecise zakonima asocijacijei komutacijeizracunati: d.5a)2+237+8+13b)117+459+23+1 Ic)52+4314+18+116 3.6.a)34+112+338+188+162b)215+81+245+185+155 c)144+731+300+156+169d)11+127+500+89+173 3.7.a)2-4525b)41925c)125.4.8.25 38.a)].8525b)48253c)2850 125 I I [9.IZIacunativrijednost datogizraza: a)(72+6)5b)(J 9-11)-4c)3{2+53)+(57-43)-2 3.10. Kakav brojnazivamo prostim? 3. I I. Odreditiproste [aktore datihbrojeva: a)36b)210c)770d)273e)25194 3.12.Kakav brojnazivamo najveci zajedniCki djeHlacdatih brojeva? 3.13.Odreditinajvecizajednickidjelilacbrojeva (NZD): a)18i 54b)NZD(300,c)NZD(120,240, 3. I 4.Kadakaiemo da sudvabroja uzajamno prostibrojevi? 3.15.Kojioddatih parova brojevasuuzajanmo prosti: a)3il2b)12i25c)99i16d)100i33? 3.16.Kojibrojzovemo najmanjizajednicki sadriilac datihbrojeva? 3. I 7.Odrediti najmanji zajednicki sadriilac (NZS) datihbrojeva: a)NZS(3,IS)b)NZS(J2,8)c)NZS(J4,15)d)NZS(I I,23) 3.18. Koliki je ostataknakon dijeljenja broja a sab ako je: a)b) c) d) 3.19.Za svaka dva prirodna broja ai b postoje brojeviq i r tako davrijedi a=bq+r.Aka sudatibrojevia i b,odrediti qjt::a)a=17,b)c) d)3.20. Odredi kriterijdjeljivostiprirodnogbroja sa10,100i 1000. 3.21. UtHditi koji oddatih brojeva su djeljivi sa 2: 17,423,72848,3564,82101,IQ403052? 3.22.Odredikriterijdjeljivostiprirodnog broja sa 3." 3.23. Meau datim brojevima prona,;ione brojeve kojinisu djeljivisa 3: 723,5004,90204,2368,480015"4001,201102. 3.24.Ispitajdjeljivost datih brojeva sa3 neizvrSavajuCioperaciju dijeljenje: a)5460b)14040c)7230012d)1013313 3.25.Odredikriterijdjeljivostiprirodnog broja sa9. 3.26. lspitajdjeljivost datih brojeva sa9:. a)40410b)902403c)90079d)71901162 3.27.Odredikriterijdjeljivostiprirodnog breja sa5. 3.28. Kojioddatih brojeva nisu djeljivi sa5: 743005425,14532,601805,2503004,,331105? 3.29. Doka.zi;Prirodan broj je djeljiv sa5 ako mUje. cifrajedinica djeljiva sa 5. 3.30. Ako sekvadrat rnakog nepamog brojaumanJIzaJedan, dobIvem broJje djeIjivsa8.Dokazati..... 3.31* Dokazatidaje suma prirodnihbrojeva odIdo.1000djeljIva sa brojem143. 3.32.* Dokaii: Ako je bar jedan [aktor pnrodnog bro)a a d)eljIV sa nebm prirodnim brojem, ondaje i broja djeljiv satim prirodnim brojem. 3.33. lspitajda lije izraz 431537 djeIjiv sa 5.. 3.34. Zbir triuzastopna prirodnabroja uvijekje djeljiv sa 3.DokazatI! 3.35. Proizvod dva uzastopna pama broja uvijekje djeljiv sa 8.Dokazati!. 3.36.Razlika kvadrata dva uzastopna nepama broja djeljivaje sa8.Dokazatt! 3.37. Dokazati da,ako je zbir tribroja djeljiv sa6,ondaje i zbir njihovih kubova djeIjiv sa 6..'.. .. 3.38. Dokazati daje zbir kubova triuzastopna pnrodna braja djeljlv sa 9. .n3 -n. 3.39.*a)Akoje nEN, tadaje-6- EN. Dokazatr!, n'-n-J2.k'1 b)Akoje nENItadajeEN. Doazatl. n-3 c)Akoje p prost broji p>3, dokazati daje brojp'-Idjeljiv sa 24. 3.40. Ako suai b prirodnibrojevi,dokazati dajeaq(a+b)paran broj. 3.41. Dokazati daje za svakiprirodan brojn;izrazn(n'-I)(n'-5n+26) djeIjiv sa120.43,...k''.d 3.42. Dokazatidajeizrazn +2n +1 In+10ndJeIJIVsa24 zasvaIpnroan ,...'.. 3.43.Dokazati daje izraz n3+3n -0--3djeljIVsa48za svakIneparan brojn. Skup svih prostih brajevaje beskonacan.Dokazatt! 17 3.2.'Cijelibrojevi(Z) Odreditjzbir (razliku) cije lihbrojeva:

3+(4);b)-3+(-7)c)-6+11+(-5)d)4+27+(-30)+(-2) 346a)5-(-6)'.b)--4-(-2)c)-8 - (-7)d)-2-(-11)-3 f4;.a)-8-(-6)+(-1)b)14-(-12)-(+22)c)-6-(-24H2-(-I3) {J Kolika je vrijcdnDstizraz3x+y-z aka je: VaJ b)x"'-10vo2 c)", a)a=15,b=I9,b)a=56,b=-23,c)a=-9,b=-13. -!.Izrac,unat!.datog izraza (izvrsavajucinaznacenasabiranja, QUU ..2 ..L-'1l7djeljivosa100. 5.155.* Odrediti svcnenegativne cijelebrojeve xi ykojizadovoljavaju jednacinu (>..y-7)' x2+1. 6.GE 0MET R I J AUR A V N I Aksioma 1:Dt'ije razlicite tacke lIvijek pripadaju jednoj i sarno jednojpravoj Aksioma 2:Smka prava sadrii bar dvije tacke. Aksioma 3:Posfoje trl lacke kaje nisu na istoj pral'Oj. Aksioma 4:1}f nekofinearne lacke pripadajujednoj i samo jedno} rvlIi. \Aksioma 5:Smka ravan sadril bar tri nekolinearne tacke.. Aksioma 6:Pastoje ce!irl {aeke koje nisu u iSloj ravni. Aksioma 7:Ako dvije laeke pral'e pripadaju ravni,onda src ta(ke Ie prove pnjJadaju toj ravni. Aksioma 8:Airo'dvije ravni imajlljednu :::ajednicku tacku,fada imaju wjedniiku pravu. Aksioma 9 (afaioma parale/nos!i): Svakom tackom-van date prove prolazi lacnojedna prova kojaje paralei1t(J sa da!om pravom.j AkslOma10:sv.aka locka0na pravo) pdijeli skup lacaka prare na dm dije/atako da:I aJako(acke.-i iB pripada)u raznim dijelovima,lada lacka 0leziizmedu Ai B. b)aka (aeke Ai B pripada)u islam dijelu prave,fada sejedno ad ovih !ocaka nalazi izme(7u druge tacke ilocke 0. Aksioma 11 :Sf:WCG pravo pravni dijeJi lu rQl'Gnno dl1ijeoblasti zo kojevrijedi.' a)Ako locla::Ai B koje nisu na pra)'oj p pripadaju islo)oblasti lada pravapne sijeec dlff AB. Ilocke Ai B koje nisu no pravo) p,pripadaju ra::nimaC/astima,ladopral\{1 p sijeec

------_. ..6.1.Sta je goometrijskafigura? 6.2.rnekolikogeometrijskihfigura. 6.3.Sta je plalltimetrija? 6.4< Sllomovnipojmovi?Navediosnovnepojmoveugeometriji. 6.5.Staje definicija? 6.6,Stanazlvamo aksioma? 6.7.Staje tea.-ema? 6.8.Sta se vrS! u dokazllteoreme? 6,9.Kojeaks:iomepoznajes? 44 I , 610.Kako seoznacavaju tackejpraveI ravni? 6:11. Kakav odnos moguimatidvije 6.12. Zakakve tackekazemo da sukolmeame, a zakakve da suneko!inearne? 6.13.Kada kaiemo dasutri(iiivise) tackekomplaname? Za kakvetacke kazemo dasunekomplaname? 6.14.Kilkav odnos moguimatidvije prave? 6.15.Kakav odnos rnoguirnatidvije ravni? 6. I 6.- Kakav odnos moguimatitacka i prava? 6.17. Kakav odnos moguimatitacka i ravan? 6.18. Nacrtajrnakoju pravu a.Odreditacku Ana pravojai tackuB vanpravea. 6.1 9. Kakav odnos mogu irnatiprava iravan? 6.20. Dvijerazliciteprave aib moguirnatinajvise jednu zajednicku tacku. Dokazati. 6.21. NacrtajdvUeprave ai b kojesesijeku.Presjecnu tackupravih oznacisaS. OdreditackuAna pravoja,tacku Bnapravojbi tacku Ckoja nepripada ni jednojoddatih pravih.... 6.22.Ako suA,B,Ci D cetirirazlicite tacke ravni,kolikopravih je odredeno ovimtackama? Napisite prave. 6.23. Neka sua,b i ctrirazlicitepraveu ravni.Koliko zajednickih tataka mogu imatieve triprave? 6.24.Datje skup od5tacaka.Kolikonajviserazlicitihpravihmoguadreditiove tacke? 6.25.Kada kaiemo da pravaleiiu ravni? 6.26. Koja geometrijska figurasenazi vapoluprava? 6.27.Staje dui? 6.28.Kako se definise poluravan? 6.29.Sta nazivamo poluprostor? 6.30. Ravanje odredena sadvijepravekojesesijeku. Dokazati. 6.31. Ravanje odredena sa jed nom pravomi jed nomtackom vanprave. Dokazati. 6.32. Kada kaiemo dasu dvijepraveparalelne? 6.33.Ravan je odredena sa dvije paralelne prave.Dokazati. 6.34. Ako sudvije prave ai b paraleinesatrecompravorn c,onda suoneparale!ne i medusobom.Dokazati! 6.35. Navediteoreme 0odredenastiravni. 6.36.Sta tvrdiaksioma paralelnasti? 6.37. KoUkanajvise ravniu prostoruje odredeno sadvijbprave koje se sijeku itri nekolinearnetacke? Koje su toravni? (Uvediiznake pravihi tacaka(). 6.38.KoUka najviSeravnije adredeno sa cetirinekamplanametaeke? 6.39.Svaka prava kojanepripada ravniima sa tomravriinajvisejednu zajednicku tacku.Dokazati. 6.40. Datje skup adcetiritacke{A,E, C,DJpricemu tacka CpripadaduiiAB. Dokazati da se ravni ABD iACD poklapaju. 6.41.Kalika najviseravni je odredeno sacdiri paralelneprave? 45 6.42. Koliko najvisepivni je odrea-enosa5tacaka,odkojihnikojetrinisu kafineame,anikoje cetirinisukomplaname? 6.43. Kako se definjse ugao? 6A4, Objil51lipojJl10Veisprulcnog,flultogj punogugla. Kojeuglove nazivamo susjedni? Sta sunaporedniuglovi? 6.47. Staje praviugao? 6.48. MoguIinaporedniuglovibiti:a)oba ostrab)obapravac)oba tupa ? 6.49. Dvije prave sesijekll i gradejedan ugao od40.Kolikisuostaliuglovi loji suodreaenioV1mpravirn? 6.50. Kada ka.zemo da sudvijeprave nonnalne? 6.5 LSta je simetrala ugla? 6.52.iZracunaj ugaoizmedu simetrala dva naporedna ugla. 6.53.Staje simetrala duZi? 6.1. Pooudamost (KO,NGRUENTNOST, SUKLADNOST) tronglova 6.54. '!ABCi L'>A'B'C'podudamiakovrijedi: m)b) c)t,=1,d) b=b',t,=1,. ej t,=1,',(t, > a)f)hb, [Y' g)a=a',h)i)a=at,hc=hc"hb""'hbj)hc=hc" tc=te',c=ct6.69. Dokazati: Svaka tacka nasimetraliduz; jednako je udaljena adkrajeva tedutL: 6.70. Dokazati: Svaka tacka na simetrali uglajednakoje uda\jena od krakova tog ugla.' 46 6.71.Aka sudvije visine trouglajednake,trougao je jednakokraki.Dokazati. 6.72.Tezisna dliZkoja odgovara hlpotenuzipravouglog trouglajednakaje polovini hipotenuze.Dokazati. 6.73.Spajanjem sredista stranica trougla,nastaju cetiripodudarna trougla. Dokazatit 6.74.Akoizrnakaje tacke osnovice jednakokrakog trougla povucemo nonnale na njegove krake, zbir tih normala je stalani jednak visinikoja odgovara kraku. Dokazati. 6.75.Primjenom padudamosti trouglova odrediti sirinu rijeke nepre!azeci na drugu njenuobalu. 6.76.Ako suaib kateteichipotenuza pravouglog trougla, dokazatinejednakost: ab+bc+ca $:c2 6.2.Kru:mica ikrug. Centralni iperiferijskiugao. 6.77.Staje kruznica,asta krug? 6.78.Staje broj n? 6.79. Koliki je obimkruga? 6.80.Kakavpolohj mozeimatitacka prema kruznici? 6.8 I. Koje poloiaje moie imatiprava prema kruzniei? 6.82.Kojupravu zovernotangenta kruZnice? 6.83.Ugaoizmedu tangentei dodimog radijusa tetangenteje pravi.Dokazati. 6.84. Staje tangentna dut? 6.85.Koje osobineimaju tangentne duti neke taeke? 6.86. Tangentne duii koje odgovarajuistojtackioa jednu kruznicu Sll jednake.Dokazati. 6.87.Kojicetverougaa nazivamo tangentni? 6,88.Zbir dviju suprotnih stranicatangentnog cetverouglajednak je zbiru drugih dviju suprotnih stranica tog cetverougla.Dokazati! 6.89. CD-h,je vis;na pravouglog trougla ABC.U trollgloveL'>ABC,L'>ADCi LlBCDupisanesukruznice ciji su radijusi,red am,r,rlir1.Dokazati da vrijedi jednakost:1'+[r+r2""he. 6.90.Objasnipojam centralnog i periferijskog ugla. 6.91.Centralniugao je dvaputave6iodperfferijskog uglanadistimlukom. Dokazati. 6.92.Staje tetivnicetverougao? 6.93.Supratniuglovi tetivnog cetverouglasu suplementni.DokazatL 6.94.Aka su aib katete,achipotenuza i rradijus upisanekruinice a+b-c pravouglog trougla,dokazatida vrijedir2 47 b 6.95.Periferijskiugao nadnekimlukomje 360 Kojidio kfllznice je tajluk? 6.96.Koliki je periferijskiugaonadlukomjednakim krJznice? 20 6.97.Tetiva dijelikruZnicunakruznelukove cijije odnDs3:5.Kolikisucentralni uglovinad ovimlukovima? 6.98. Jedan ostar ugao pravouglog trougla je 32. Podkojim selIg10mvidisvaka katetatrouglaiz centra opisanekruznicc? 6.99.Ako se dvije jednak'e tetive kruznicesijeku unekojtacki,tada su dijelovi jedne jednaki dijelovima druge tetive.Dokazati. 6. I 00. Ugao koji odreduje tetiva satangentom u jednoj kraj'1iojtackitetive jednak je periferijskom uglunadtom tetivom.Dokazati. 6. WI. Dat je tangentni cetverougao ABCD.Ako je 0sredisteopisanekrllZnice ovog cetverougla,dokazatidaje