Matematika 2 -Nermin Okicic

7/22/2019 Matematika 2 -Nermin Okicic

1/132

Nermin Okicic

MATEMATIKA II

2008


2/132

Sadrzaj

1 Metricki prostori 1

1.1 Metrika i osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Kompaktnost u metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Neprekidne funkcije u metrickim prostorima . . . . . . . . . . 91.5 Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Euklidovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Specijalni skupovi u Euklidskim prostorima . . . . . . 14

2 Funkcije vise promjenljivih 16

2.1 Pojam funkcije vise promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Granicna vrijednost funkcije vise promjenljivih i neprekid-

nost 23

3.1 Pojam granicne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Simultana i uzastopna granicna vrijednost . . . . . . . . . . . 293.3 Neprekidnost funkcija vise promjenljivih . . . . . . . . . . . . 32

4 Diferencijabilnost funkcije vise promjenljivih 35

4.1 Izvod u pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal . . . . . . . . . . . . . 384.3 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih . . . . . . . . . . 454.5 Pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6 Izvodi viseg reda, Hesseova matrica . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7 Diferencijali viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Ekstremumi funkcija vise promjenljivih . . . . . . . . . . . . . 65

4.8.1 Teorem o ekstremnoj vrijednosti . . . . . . . . . . . . . 664.8.2 Nalazenje lokalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . 674.8.3 Nalazenje globalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Uslovni ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

i


3/132

Sadrzaj

5 Visestruki integrali 85

5.1 Integralne sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2 Definicija visestrukog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 Osobine integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Dvojni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4.1 Dvojni integral po pravougaonoj oblasti . . . . . . . . 895.4.2 Dvojni integral po proizvoljnoj oblasti . . . . . . . . . 91

5.5 Trojni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5.1 Trojni integral po oblasti pravouglog paralelepipeda . . 955.5.2 Trojni integral po proizvoljnoj oblasti . . . . . . . . . . 98

5.6 Jacobijeva determinanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.7 Smjena promjenljivih u dvojnom integralu . . . . . . . . . . . 1025.8 Smjena promjenljivih u trojnom integralu . . . . . . . . . . . 1065.9 Primjena visestrukih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Krivolinijski integral 114

6.1 Krivolinijski integral prve vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.1.1 Izracunavanje krivolinijskog integrala prve vrste . . . . 117

6.2 Krivolinijski integral druge vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2.1 Izracunavanje krivolinijskog integrala druge vrste . . . 120

6.3 Nezavisnost integracije od putanje. Grinova formula . . . . . . 122

ii


4/132

Glava 1

Metricki prostori

1.1 Metrika i osobineDefinicija 1.1.1. Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za funkciju d :XX R kazemo da je metrika ili metricka funkcija naXako zadovoljavasljedeca cetiri uslova za proizvoljnex, y iz izX:

M1. d(x, y) 0,M2. d(x, y) = 0 ako i samo ako x= y,

M3. d(x, y) =d(y, x),

M4. d(x, y)

d(x, z) +d(z, y).

Tada kazemo da je skup X snabdjeven metrikom d i nazivamo ga metrickiprostor. Elemente skupaXnazivamo tackama, a realan brojd(x, y)nazivamorastojanjem izmedju tacakax iy.

Dakle, metricki prostor je uredjeni par (X, d) koga cine skup X i nanjemu uvedena metrika d. Kratkoce radi, umjesto oznake (X, d) mi cemoza metricki prostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku X, kad god je

jasno o kojoj je metrici rijec.Uslovi M1.-M4. nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinacno to su poz-

itivna definitnost (M1.), strogost (M2.), simetricnost (M3.) i nejednakosttrougla(M4.).

Osobina(M4.), tj. nejednakost trougla se moze generalizovati pravilommnogougla.

Lema 1.1.1. U svakom metrickom prostoru(X, d)vrijedi pravilo mnogougla,tj. za proizvoljnex1, x2,...,xn X (n 3), vrijedi

d(x1, xn) d(x1, x2) +d(x2, x3) + +d(xn1, xn) .

1


5/132

1.1. Metrika i osobine

Dokaz : Dokaz se izvodi matematickom indukcijom po n N.

x1

x2

x3

xn1

xn

Slika 1.1: Pravilo mnogougla

U ispitivanju da li je neka funkcija, funkcija metrike na datom skupu,cesto su od velike vaznosti sljedece dvije nejednakosti.

Teorem 1.1.2. (Nejednakost Holdera)Neka suai ibi (i= 1, 2,...,n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka

je za realan brojp >1, brojq definisan sa 1p

+ 1q

= 1. Tada za svako n Nvrijedi

ni=1

|aibi|

ni=1

|ai|p 1

p

ni=1

|bi|q 1

q

. (1.1.1)

Specijalno, ako je p = q = 2, gornja nejednakost se naziva Cauchy-Schwarzova nejednakost.

Teorem 1.1.3. (Nejednakost Minkowskog)Neka suai ibi (i= 1, 2,...,n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka

jep

1. Tada za svako n

N vrijedi

ni=1

|ai+bi|p 1

p

ni=1

|ai|p 1

p

+

ni=1

|bi|p 1

p

. (1.1.2)

Napomenimo da ce i u (1.1.1) i u (1.1.2) vrijediti jednakosti ako su ai ibi (i= 1, 2,...,n) proporcionalni.

Primjer 1.1. Neka je Xproizvoljan skup i neka je za x, y Xzadato

d(x, y) =

0 ; x= y ,1 ; x =y .

Funkcija d jeste metrika i (X, d) nazivamo diskretni metricki prostor.Primjer 1.2. Skup realnih brojeva Rsa rastojanjem

d(x, y) = |x y| ,predstavlja dobro nam poznati Euklidov prostor realne prave.

2


6/132


Primjer 1.3. Sa Rn oznacavamo skup svih uredjenih n-torki realnih brojevax= (x1, x2,...,xn). Metriku mozemo uvesti sa

1. d2(x, y) = (n

i=1(xi yi)2

)

12

.

2. dp(x, y) = (n

i=1(xi yi)p)1p (p 1).

3. d(x, y) = max1in |xi yi|Ovim primjerom opravdavamo cinjenicu da je nekada neophodno koristitidefiniciju metrickog prostora kao uredjenog para, jer kao sto vidimo, na istomskupu se mogu zadati razlicite metrike.

Primjer 1.4. Sa C[a, b] oznacavamo skup svih neprekidnih realnih funkcijana segmentu [a, b]. Ako uvedemo funkciju

d(f, g) = supatb

|f(t) g(t)|,

za proizvoljnef, g C[a, b], dobijamo metricki prostor neprekidnih funkcija,koga krace uobicajeno pisemo samo sa C[a, b].

f

g

ba

Slika 1.2: Metrika na C[a, b]

Definicija 1.1.2. Za skup A, podskup metrickog prostora (X, d), kazemoda je ogranicen ili omedjen ako je skup rastojanja medju tackama tog skupa

ogranicen skup, tj.

(C >0)(x, y A) 0 d(x, y) C .

Primjer 1.5. Jedinicni krug{(x, y) R2|x2 +y2 1} je ogranicen skup u(R2, d2).

3


7/132


Definicija 1.1.3. Neka jeA podskup metrickog prostora(X, d). Nenegativanbroj

diamA= sup

{d(x, y)

|x, y

A

},

nazivamo dijametrom skupaA.

Jasno je da ako vrijedi diamA =, da je tada skup neogranicen, tj.vrijedi,

Lema 1.1.4. Skup je ogranicen ako i samo ako mu je dijametar konacan.

Sljedeca, skoro ocigledna cinjenica, lagano se provjerava.

Lema 1.1.5. Unija konacno mnogo ogranicenih skupova je ogranicen skup.

Definicija 1.1.4. Neka je (X, d) metricki prostor. Za proizvoljno a

X i

za proizvoljno r >0 skup

B(a, r) = {x X| d(a, x)< r} ,nazivamo otvorena kugla uX, sa centrom u tackia, poluprecnikar.

SkupK(x, r) = {x X| d(a, x) r} ,

nazivamo zatvorena kugla sa centrom ua i poluprecnikar, a skup

S(x, r) = {x X| d(a, x) =r} ,

nazivamo sfera sa centrom ua, poluprecnikar.

Uvodjenjem pojma kugle, ogranicenost skupa se moze okarakterisati i nasljedeci nacin.

Lema 1.1.6. Neka je (X, d) metricki prostor i neka jeA X. SkupA jeogranicen ako i samo ako postojex X ir >0, takvi da jeA B(x, r).Definicija 1.1.5. Za skup G podskup metrickog prostora (X, d) kazemo da

je otvoren ako vrijedi

(

x

G)(

>0) B(x, )

G .

Definicija 1.1.6. Skup je zatvoren ako je njegov komplement otvoren skup.

Teorem 1.1.7. Neka je(X, d) metricki prostor. Kolekcija svih otvorenihpodskupova odXima slijedece osobine.

1. , X .

4


8/132

1.2. Konvergencija u metrickim prostorima

2. U, V ondaU V .3. (i I)Oi iIOi .4. (x, y X, x =y)(U, V )(x U y V U V = ).Familija koja zadovoljava osobine 1., 2. i 3. naziva se topologija na X,

a ako zadovoljava jos i osobinu 4., naziva se Hausdorffova topologija naX.

Definicija 1.1.7. Za skup A, podskup metrickog prostora(X, d), kazemo daje okolina tackex X, ako postoji otvoren skup O, takav da je

x O A .Uobicajeno u gornjoj definiciji umjesto bilo kog otvorenog skupa, zahtje-

vamo postojanje neke kugle, tako da je

x B(x, ) A .Tako na realnoj pravoj, za skup A kazemo da je okolina tacke x, ako postoji > 0, takav da je

(x , x+) A .Definicija 1.1.8. Neka je(X, d) metricki prostor. Tackux A X nazi-vamo izolovanom tackom skupaA, ako postoji okolina tackex u kojoj osimtackex nema drugih tacaka iz skupaA.

Definicija 1.1.9. Tacka x

A je tacka nagomilavanja skupa A, ako se u

svakoj okolini tackex nalazi bar jedna tacka skupaA razlicita odx.Skup svih tacaka nagomilavanja skupaAnazivamo izvodni skup i oznacavamoga saA.

Ako skup sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja, on je onda zatvoren skup.Inace, ako skupu A dodamo sve njegove tacke nagomilavanja, dobijamonovi skup koga nazivamo adherencija ili zatvorenje skupa, a oznacavamo gasaA. Pri tome dakle vrijedi

A= A A .

1.2 Konvergencija u metrickim prostorima

Definicija 1.2.1. Neka je (X, d) metricki prostor. Za niz (xn)nN Xkazemo da konvergira kax0 X, ako vrijedi

d(xn, x0) 0 , (n ) .

5


9/132

1.2. Konvergencija u metrickim prostorima

Cinjenicu da niz (xn)nNkonvergira ka tacki x0 uobicajeno zapisujemo saxn x0 (n ) ili

limn

xn= x0 .

Gore definisanu konvergenciju nazivamo konvergencija po metrici.

Teorem 1.2.1. U metrickom prostoru, konvergentan niz moze konvergiratisamo jednoj tacki.

Dokaz: Neka je (xn)nN Xza koga vrijedi xn xi xn x(n ).Na osnovu relacije trougla imamo

0 d(x, x) d(x, xn) +d(xn, x) ,

za proizvoljno n

N. Desna strana tezi 0 kadan

, pa ocigledno mora

vrijeditid(x, x) = 0, odnosnox= x.

Teorem 1.2.2. Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Dokaz: Neka je (xn)nN Xi nekaxn x0 (n ). Uzimajuci da je= 1, imamo da postoji n0 N, takav da za svako n n0, vrijedi

d(xn, x0)< 1 .

Oznacimo sa R = max{d(x0, x1), d(x0, x2),...,d(x0, xn01)}. Neka je sadaR= R+ 1. Tada ocigledno vrijedi

(n N) xn B(x0, R) ,

tj. niz je ogranicen.

Definicija 1.2.2. Neka je (X, d) metricki prostor. Za niz (xn)nN Xkazemo da je Cauchyjev niz ako vrijedi

( >0)(n0 = n0() N)(n, m N)(n, m n0 d(xn, xm)< ) .

Drugacije receno, niz je Cauchyjev ako vrijedi

limn,m

d(xn, xm) = 0 .

Teorem 1.2.3. Svaki Cauchyjev niz je ogranicen.

Teorem 1.2.4. Svaki konvergentan niz je Cauchyjev.

6


10/132

1.3. Kompaktnost u metrickim prostorima

Dokaz: Neka je (xn)nNkonvergentan niz i nekaxn x(n ). Nekaje >0 proizvoljno. Na osnovu definicije konvergencije imamo

(n0 N)(n N) n n0 d(xn, x)< 2 .Neka su sada m, n Ni neka je m, n n0. Tada je

d(xn, xm) d(xn, x) +d(x, xm)< ,

a ovo znaci da je niz Cauchyjev.Da Cauchyjev niz nemora biti konvergentan, dovoljno je posmatrati niz

(xn)nN Q, gdje je xn decimalni zapis broja

2 na n decimala.Jasno je da niz nije konvergentan u Q, tj. xn

2 / Q. Medjutim,

ocigledno je za n > m, d(xn, xm) 1

10n 0 kada n, m , tj. niz jeCauchyjev.Definicija 1.2.3. Za metricki prostor u kome je svaki Cauchyjev niz kon-vergentan kazemo da je kompletan ili potpun metricki prostor.

Jednu vaznu karakterizaciju kompletnosti dajemo sljedecom teoremom.

Teorem 1.2.5. Metricki prostor(X, d) je kompletan ako i samo ako presjekproizvoljnog monotono opadajuceg niza zatvorenih kugli, ciji niz dijametaratezi ka 0, sadrzi tacno jednu tacku.

1.3 Kompaktnost u metrickim prostorima

Definicija 1.3.1. Neka je M podskup metrickog prostora X. Za skup Mkazemo da je relativno kompaktan ako se iz svakog niza uM moze izdvojitikonvergentan podniz, tj.

((xn)nN M)((xnk)kN (xn)nN) xnk x0 , (k ) , x0 X .

Ako je pri tomex0 M, kazemo da jeMkompaktan skup.

Jasna je razlika izmedju kompaktnosti i relativne kompaktnosti. U re-lativnoj kompaktnosti zahtjevamo samo postojanje konvergentnog podniza inije nam vazno gdje se nalazi tacka konvergencije tog podniza, dok kod kom-paktnosti ta tacka mora biti u samom skupu. Dakle, relativna kompaktnosti zatvorenost skupa ekvivalentne su kompaktnosti skupa.

Teorem 1.3.1. Svaki kompaktan metricki prostor je i kompletan.

7


11/132

1.3. Kompaktnost u metrickim prostorima

Dokaz: Neka jeXkompaktan metricki prostor i neka je (xn)nNproizvol-jan Cauchyjev niz uX. Zbog kompaktnosti, postoji podniz (xnk) naseg nizakoji je konvergentan, xnk

x0

X (k

). Sada imamo

d(xn, x0) d(xn, xnk) +d(xnk , x0) .Prvi sabirak na desnoj strani mozemo uciniti proizvoljno malim jer je nizCaucyjev, a drugi takodje, zbog konvergencije podniza. Dakle,

d(xn, x0) 0, (n ) ,tj. niz (xn)nN je konvergentan, pa zbog proizvoljnosti niza, prostor X jekompletan.

Teorem 1.3.2. Svaki kompaktan skup je zatvoren.

Dokaz: Neka je Mkompaktan skup i neka je (xn) M, takav da xnx0 kada n . Zbog kompaktnosti skupa, postoji (xnk) (xn), takavda xnk x (k ) i pri tome je x M. Zbog jedinstvenosti tackekonvergencije, zakljucujemo da je x0 = x

, odnosno x0 M, pa dakle Msadrzi sve svoje tacke nagomilavanje te je kao takav, zatvoren skup.

Teorem 1.3.3. Svaki relativno kompaktan skup je ogranicen.

Dokaz: Neka jeMrelativno kompaktan podskup metrickog prostora X.Pretpostavimo da M nije ogranicen. M nije prazan, pa postoji x0

M.

KakoMnije ogranicen, to Mnije sadrzan u kugliB (x0, 1), te zakljucujemoda postojix1 M, takav da x1 / B(x0, 1) odnosno,d(x0, x1) 1.Oznacimo sa r = d(x0, x1) + 1, pa opet zbog neogranicenosti rezonujemoda M nije sadrzan ni u kugli B(x0, r), tj. postoji x2 M takav da jed(x0, x2) r 1. Kako je

1 +d(x0, x1) =r d(x0, x2) d(x0, x1) +d(x1, x2) ,zakljucujemo da je d(x1, x2) 1. Jasno je da sada ovaj postupak mozemoproduziti i na taj nacin formirati niz (xn) sa osobino da za proizvoljnen, m Nvrijedid(xn, xm) 1. Ovo znaci da se iz datog niza ne moze izdvojiti niti

jedan konvergentan podniz, a to se opet kosi sa pretpostavkom o relativnojkompaktnosti skupa M. Dakle, M mora biti ogranicen skup.Na osnovu Teorema 1.3.2 i Teorema 1.3.3, vidimo da u proizvoljnom

metrickom prostoru kompaktnost skupa imlicira njegovu ogranicenost i zatvorenost.U opstem slucaju, ogranicenost i zatvorenost skupa ne dovode do njegovekompaktnosti, ali u nekim specijalnim slucajevima do toga ipak dolazi.

8


12/132

1.4. Neprekidne funkcije u metrickim prostorima

Teorem 1.3.4. U svakom konacno dimenzionalnom metrickom prostoru vri-jedi, ako je skup ogranicen i zatvoren, onda je on kompaktan.

Definicija 1.3.2. Neka suM i N podskupovi metrickog prostoraX. Nekaje >0 fiksiran realan broj. Za skup Nkazemo da je-mreza skupaM akoza svako x M, postojiy N, tako da jed(x, y)< .Ako je N kompaktan skup, kazemo da je N kompaktna -mreza, a ako jekonacan skup, kazemo da je konacna-mreza.

Lema 1.3.5. Skup N je-mreza ( >0) skupaMako i samo ako vrijedi

MxN

B(x, ) .

Teorem 1.3.6. Potreban uslov za relativnu kompaktnost skupaM

Xjeste

da za svako >0, postoji konacna-mreza skupaM. Ako je metricki prostorXkompletan, gornji uslov je i dovoljan.

1.4 Neprekidne funkcije u metrickim pros-

torima

Definicija 1.4.1. Neka su(X, dX) i(Y, dY) metricki prostori. Za preslika-vanjef :X Y kazemo da je neprekidno u tackix0 X ako

(

>0)(

= ()> 0)(

x

X)(dX(x0, x)<

dY(f(x0), f(x))< ) .

Preslikavanje je neprekidno naXako je neprekidno u svakoj tackix X.Teorem 1.4.1. Neka su (X, dX) i (Y, dY) metricki prostori i f : X Y.Sljedeca tvrdjenja su ekvivalentna.

1. f je neprekidna naX.

2. (x X)( >0)( >0) f(B(x, )) B(f(x), ).3. Za svaki otvoreni skupV Y jef1(V) otvoren skup uX.

Teorem 1.4.2. Neprekidna funkcija na kompaktnom skupu je ogranicena idostize svoju najvecu i najmanju vrijednost.

Dokaz : Neka je M kompaktan skup i neka je f C(M). Ako pret-postavimo da f nije ogranicena, to bi znacilo da postoji (xn) M, takavda

f(xn) + , (n ) (1.4.1)

9


13/132

1.4. Neprekidne funkcije u metrickim prostorima

(ili eventualno f(xn) ). Kako je Mkompaktan, postoji podniz (xnk)takav daxnk x0 M(k ), a onda zbog neprekidnosti funkcije imamo

f(xnk) f(x0)< + , (k ) .S druge strane, zbog (1.4.1) moralo bi biti

f(xnk) +, (k ) ,a to je ocigledna kontradikcija. Dakle, f je ogranicena funkcija.

Sada zbog ogranicenosti funkcije imamo da je

r= supxM

f(x)< + .

Na osnovu definicije supremuma, postoji niz (yn)

M, takav da je

(n N) f(yn)> r 1n

,

a ovo znaci da f(yn) r (n ). Ponovo zbog kompaktnosti skupaM,postoji (ynk) (yn), takav da ynk y0 M (k ). Ali tada bi imali

f(ynk) f(y0) , (k ) ,odnosno, zakljucujemo f(y0) = r. Dakle, funkcija dostize svoju najvecuvrijednost.Na analogan nacin se pokazuje da funkcija dostize i najmanju vrijednost,

cime je teorem dokazan.

Teorem 1.4.3. Neprekidna funkcija na kompaktnom skupu je i uniformnoneprekidna.

Dokaz : Neka je M kompaktan skup i neka je f neprekidna funkcijadefinisana na M. Pretpostavimo da f nije uniformno neprekidna funkcija.Negacijom definicije uniformne neprekidnosti to bi znacilo

(0 > 0)(n N)(xn, xn)

d(xn, xn)0)(n0 N)(n N)(p N)(n n0 |an+p an| < ) .

U kontekstu Definicije 1.2.2, to znaci de je dati niz Cauchyjev, a ovo opetznaci da je R kompletan metricki prostor. Sta vise, vrijedi

Teorem 1.6.1. Svaki konacnodimenzionalan metricki prostor je kompletan.

Definisimo na Rn (nN) funkciju|| ||, koja ce svakom elementu iz Rnpridruziti nenegativan broj, na sljedeci nacin

||X|| = x21+x22+ +x2n= ni=1

x2i 12

, X(x1, x2,...,xn) Rn . (1.6.1)

Nije tesko provjeriti da ovako uvedena funkcija zadovoljava sve osobine izDefinicije 1.5.1, pa ona predstavlja normu na linearnom vektorskom prostoruRn. Jasno, normu na Rn smo mogli uvesti i na neki drugi nacin, a zasto smobas ovako, odgovor lezi u sljedecem. Pomocu norme sada mozemo definisatirastojanje na Rn, a ono je za ovu normu dato sa

d(X, Y) = ||X Y|| = n

i=1

(xi yi)212

,

gdje su X(x1, x2,...,xn) i Y(y1, y2,...,yn) iz Rn. Uocimo da je indukovana

metrika normom (1.6.1), upravo euklidska metrika d2. (Kako bi izgledalanorma koja bi indukovala metrikud?)Nije tesko primjetiti da norma tacke u prostoru Rn, nije nista drugo doudaljenost te tacke od koordinatnog pocetka, odnosno to je intenzitet radijus

13


17/132


18/132

1.6. Euklidovi prostori

Sa metrikom d, kugle su kvadrati sa stranicama paralelnim koordinatnimosama, pa ce otvorena kugla centra (a, b) R2, poluprecnikar >0, biti skup

B((a, b), r) =

(x, y) R2

| |x a| < r, |y b| < r ,a zatvorena kuglu je

K((a.b), r) =

(x, y) R2| |x a| r, |y b| r .Pod okolinom tacke X Rn podrazumijevamo proizvoljnu otvorenu kuglu

u Rn sa centrom u tacki X. Sa metrikomd2, za okolinu kazemo da je sferna,a sa metrikom d, za okolinu kazemo da je kubna okolina.

Sada kada znamo sta su kugle u prostoru Rn, mozemo precizirati i znacenjeogranicenog skupa, na osnovu Leme 1.1.6 . Dakla, skupD Rn je ogranicen,ako postojir >0, takav da je Dkompletno sadrzan u otvorenoj kugli B(O, r),D B(O, r). (O je tacka koordinatnog pocetka)

15


19/132

Glava 2

Funkcije vise promjenljivih

2.1 Pojam funkcije vise promjenljivihNeka su SX Rn i SY Rm proizvoljni skupovi.Definicija 2.1.1. Ako jednoj tacki X SX po nekom zakonu ili praviluf dodijeljujemo tacno jednu tacku Y SY, kazemo da je sa f definisanopreslikavanje ili funkcija saSX uSY.

Definicija 2.1.2. Pod realnom funkcijomn promjenljivih podrazumijevamosvako preslikavanjef : SX R, gdje jeSX Rn. Pri tome za proizvoljnoX(x1, x2,...,xn) SX pisemo

f(x1, x2,...,xn) =y ilif(X) =y .

Kako uredjena n-torka oznacava tacku u n-dimenzionalnom euklidskomprostoru, to cemo cesto funkciju f zvati funkcija tacke.

Skup SX nazivamo domenom funkcije f, a realne brojeve x1, x2,...,xnnazivamo nezavisne varijable, argumenti ili promjenljive funkcije f.

Primjer 2.1. f(x, y) =

1 x2 y2; f : SX R, x i y su varijable, adomen je SX= {(x, y) R2 : x2 +y2 1}.

Ovdje cemo izucavati funkcije f : Rn R, tj. funkcije koje kao ulazimaju vektor, a kao izlaz daju skalar. Funkcija koja svakoj tacki trodi-

menzionalnog prostora dodjeljuje temperaturu u toj tacki, primjer je takvefunkcije, ili funkcija koja prikazuje bruto nacionalni dohodak neke drzave. Uprvom slucaju, domen funkcije je trodimenzionalan, dok je u drugom slucajuon visedimenzionalana (npr. hiljadu). Bez obzira sto cemo mi govoriti oproizvoljnom n-dimenzionalnom prostoru, nasi primjeri ce najcesce biti udvije ili tri dimenzije.

16


20/132

2.1. Pojam funkcije vise promjenljivih

U grafickom predstavljanju funkcija vise varijabli, uobicajena su dvanacina, pomocu nivo linija i pomocu grafa.

Definicija 2.1.3. Za datu funkcijuf : Rn

R i realan brojc, skupL= {(x1, x2,...,xn) Rn| f(x1, x2,...,xn) =c}

nazivamo nivo skup funkcijef za nivo c. Zan= 2, L nazivamo nivo krivafunkcijef, a zan= 3, kazemo da jeL nivo povrs funkcijef. Crtanje kojeprikazuje nivo skupove za razlicite nivoe nazivamo konturno crtanje funkcije.

Naprimjer, kod funkcije dvije promjenljive z=f(x, y), drzeci zfiksnim,tj. stavljajuci f(x, y) = c, vrsimo presjecanje povrsi f(x, y) sa ravni z= c(Slika 2.1). Presjecnu liniju te ravni i povrsi, projektujemo u xOy ravan ili

x

y

z

Slika 2.1: Presjecanje povrsi sa ravni paralenojxOy ravni

sto mozemo zamisliti kao da figuru na slici (2.1) gledamo iz tacke na z-osi,sto vidimo na slici (2.2) lijevo. Radeci taj postupak za razne c, dobijamokonturnu sliku grafa (slika 2.2 desno).

Primjer 2.2. Neka je f : R2 R, zadata sa f(x, y) = 4 2x2 y2. Zazadato c R, skup tacaka koje zadovoljavaju jednakost 4 2x2 y2 = cpredstavlja nivo skup funkcije f. Jasno, ako je c >4, taj skup je prazan; zac= 4 on se sastoji samo od jedne tacke, (0, 0); zac


21/132


x

y

z

c= 1

c= 0

c= 1

c= 2

Slika 2.2: (lijevo) Slika 2.1, pogled sa z -ose, (desno) nivo linije funkcije f(x, y) = 4 2x2 y2

Za proizvoljnu tacku (x, y) na centralnoj kruznici poluprecnika r >0 (x2 +y2 =r2), funkcija f(x, y) ima konstantnu vrijednost

sin r

r ,

pa ce nivo linije ove funkcije, kao sto je prikazano na slici (2.3), biti koncen-tricni krugovi sa centrom u koordinatnom pocetku.

1

2

-1

-2

-3

1 2-1-2-3

Slika 2.3: Nivo linije funkcije f(x, y) = sin

x2+y2

x2+y2

Primjer nivo linija imamo u kartografiji. Naime, kada na karti, koja

je dvodimenzionalni prikaz terena, zelimo prikazati planinu, onda to up-ravo cinimo prikazom punom linijom onih tacaka te planine koje su na istojnadmorskoj visini. Takodje imamo izobare (podrucja sa istim pritiskom),izoterme (podrucja sa istom temperaturom)

18


22/132


Primjer 2.4. Posmatrajmo funkciju f : R3 R, zadatu sa f(x,y,z) =x2 + 2y2 + 3z2. Jedna nivo povrs ove funkcije zadata je jednacinom

x2

+ 2y2

+ 3z2

= 1 ,

sto predstavlja jednacinu elipsoida. Primjetimo da ako u gornjoj jednacinifiksiramoz= z0, dobijamo jednacinu

x2 + 2y2 = 1 3z20 ,a to su elipse u xy-ravni, sto opravdava cinjenicu da su nivo povrsi funkcijefelipsoidi (slicno smo mogli fiksirati i varijable x i y i dobiti da su projekcijeuyz-ravan i u xz-ravan takodje elipse).

x

y

z

Slika 2.4: Nivo povrsi funkcije f(x,y,z) =x2 + 2y2 + 3z2 (elipsoidi)

Kod proucavanja funkcije jedne promjenljive,y = f(x), svakom smo paru(x, y) pridruzivali jednu tacku M(x, y) u realnoj ravni. Skup svih takvihtacaka M, predstavljao je grafik funkcijefi on je bio izrazen kao kriva linijau ravni.U slucaju kada posmatramo funkciju dvije promjenljive z = f(x, y), grafikfunkcije ce biti izrazen tackama M(x,y,z), dakle u 3-dimenzionalnom pros-toru. Pri tome vrijedi

1 Svaka tacka grafika, M(x,y,z), ima apscisu (po x-osi ) i ordinatu

(po y-osi) koje predstavljaju koordinate neke tacke X(x, y) iz dom-ena funkcije, i aplikatu (po z-osi) koja je jednaka vrijednosti funkcije utackiX(x, y).

2 Svaka tacka M(x,y,z) prostora za koju tackaX(x, y) pripada domenufunkcije, a aplikatazje jednaka vrijednosti funkcije u tackiX, pripadagrafiku funkcije

19


23/132


X

M

z

y

x

Na osnovu recenog zakljucujemo da je grafik funkcije slika njene oblastidefinisanosti. Ako je z = f(x, y) definisana u oblasti D, njen grafik pred-stavlja povrs u prostoru R3, cija je projekcija na xy-ravan upravo oblast D.

Definicija 2.1.4. Posmatrajmo proizvoljnu funkcijuf : Rn R. SkupG= {(x1, x2,...,xn, xn+1)| xn+1= f(x1, x2,...,xn)}

nazivamo graf funkcijef.

Primjetimo da je grafG funkcije f : Rn R u prostoru Rn+1, pa kaoposljedicu toga imamo da smo u mogucnosti geometrijski predstavljati samoslucajeve kada je n= 1 i tada imamo krivu koja predstavlja funkciju jednevarijable, i kada je n= 2 u kom slucaju je graf povrs u trodimenzionalnomprostoru. Sta bi bila geometrijska interpretacija grafika funkcije 3 i visepromjenljivih za sada nam je nemoguce reci, s obzirom da nemamo nacin da

prikazemo uredjene cetvorke, petorke itd.

Primjer 2.5. Graf funkcije f(x, y) = 2x2 +y2, f : R2 R, prestavlja skupuredjenih trojki (x,y,z) R3, koje zadovoljavaju jednakost

z= 2x2 +y2 .

Da bi smo predstavili graf ove funkcije u R3, koristimo ideju da predstavljamodijelove tog grafa koji leze iznad mreze linija paralelnih osama u xy-ravni.Npr., za jedno fiksirano x = x0, skup tacaka koje zadovoljavaju jednacinu

z= 2x20+y2 ,

predstavlja parabolu koja lezi iznad linije x= x0 u xy-ravni. Na isti nacin,ako fiksiramoy = y0, skup tacaka koje zadovoljavaju jednacinu z= 2x

2 + y20,je parabola koja lezi iznad linije y = y0. Ako istovremeno nacrtamo vise tihparabola za razne x = x0 i y = y0, dobijamo mreznu predstavu te povrsi(grafa) i u ovom slucaju ta povrs je paraboloid (Slika 2.5).

20


24/132


x y

z

x y

z

Slika 2.5: Paraboloid; Graf funkcije z= 2x2 +y2

Primjer 2.6. Mada se za grafove mnogih funkcija mozemo posluziti ide-jom mreze, izlozenom u gornjem primjeru, za vecinu funkcija dobra slikanjihovih grafova zahtjeva upotrebu racunarske grafike ili eventualno mnogoumjetnicke vjestine. Tako naprimjer, za predstavljanje grafa funkcije

f(x, y) =sin

x2 +y2

x2 +y2,

mozemo se posluziti konturnim crtanjem i zakljuciti da graf funkcije osciluje

ukoliko se pomjeramo od koordinatnog pocetka, tacnije, da nivo krugovi izkonturnog crtanja rastu i opadaju sa oscilacijom

sin r

r , gdje jer =

x2 +y2.

Ekvivalentno, dijelovi grafa funkcijefiznad proizvoljne linije uxy-ravni kojaprolazi kroz koordinatni pocetak, predstavljeni su funkcijom

z=sin r

r .

Ovo zaista jeste dobra ideja za predstavljanje grafa funkcije f, ali iskrenogovoreci mnogi ne bi bili u stanju produkovati sliku tog grafa koja je prikazanana slici (2.6). Primjetimo takodje da nasa funkcija nije definisana u tacki

(0, 0) ali da ona tezi ka vrijednosti 1, kada tacka (x, y) tezi ka (0, 0), sto jeopravdano cinjenicom

limr0

sin r

r = 1 .

21


25/132


x y

z

Slika 2.6: Graf funkcije f(x, y) = sin

x2+y2

x2+y2

Ovdje treba otkloniti i nedoumicu oko funkcija oblika z= sin x(Slika 2.7

lijevo) ili z= y2

(Slika 2.7 desno). Naime, u oba slucaja podrazumijevamoda jez= z(x, y) pa grafici predstavljaju povrsi u prostoru, a nepojavljivanjeneke od varijabli znaci njenu proizvoljnost u definisanosti funkcije.

x

y

z

x

y

z

Slika 2.7: (lijevo) z= sin x, (desno) z= y2

Primjeri jos nekih funkcija dvije varijable:

x

y

z

f(x, y) = (4 x2 y2)e(x2+y2)

x

y

z

f(x, y) = 10

x3 +xy4 x5

e(x

2+y2) +e((x1.225)2+y2)

22


26/132

Glava 3

Granicna vrijednost funkcije

vise promjenljivih i

neprekidnost

3.1 Pojam granicne vrijednosti

Neka je data funkcija n promjenljivih,

y= f(x1, x2,...,xn)

i neka je A(a1, a2,...,an) Rn tacka domena funkcije f. Dalje, sa UAoznacimo proizvoljnu okolinu tacke A i neka je L

R i UL okolina tacke

L.

Definicija 3.1.1. Funkcijannezavisnih projenljivih,f(x1, x2,...,xn) =f(X),ima u tackiA granicnu vrijednost jednakuL, ako vrijedi

1 TackaA je tacka nagomilavanja domena funkcijef,

2 za proizvoljnu okolinu UL, postoji okolina UA, tako da se vrijednostfunkcijef(X) nalazi u okoliniUL za svaku tackuX=A koja se nalaziuUA.

Cinjenicu da funkcijaf ima u tackiA granicnu vrijednost jednakuL, sim-

bolicki zapisujemo salimXA

f(X) = lim(x1,...,xn)(a1,..,an)

= limx1a1,...,xnan

f(x1, x2,...,xn) =L .

Napomenimo da sama tackaA ne mora pripadati domenu funkcije f.Ako se za okoline UA i UL koriste sferne okoline, onda gornju definiciju

mozemo iskazati

23


27/132

3.1. Pojam granicne vrijednosti

Definicija 3.1.2. Funkcija f u tackiA ima granicnu vrijednost jednakuLako vrijedi,

1 tackaA je tacka nagomilavanja domena funkcijef,2 za proizvoljno >0, postoji= () >0, takav da za sveX= A za

koje je

0< d(X, A)<

ni=1

(xi ai)2 1

2

< ,

vrijedi|f(X) L| < .

Ukoliko koristimo kubne okoline Definicija 3.1.1 ima oblik

Definicija 3.1.3. Funkcija f u tackiA ima granicnu vrijednost jednakuLako vrijedi,

1 tackaA je tacka nagomilavanja domena funkcijef,

2 za proizvoljno >0, postoji= () >0, takav da za sveX= A zakoje je

0< |xi ai| < , i= 1, 2, ..., n ,vrijedi

|f(X) L| < .

Posmatrajmo neke slucajeve granicnog procesa za funkciju dvije prom-jenljive. Na primjer, slucaj

lim(x,y)(a,b)

f(x, y) = limx a

y b

f(x, y) =L ,

tumacimo na sljedeci nacin:Ako fiksiramo >0, onda postoji = ()> 0 tako da vazi

|f(x, y) L| < ,kad god su x i ytakvi da vazi

|x

a

|< i

|y

b

|< (ili (x a)

2 + (y

b)2 0, postoje = () > 0 iM()> 0 takvi da vazi |f(x, y) L| < , kad god su x i y takvi da jex > Mi|y b| < . Pri tome je okolina tacke A beskonacni pravougaoni pojasprikazan na slici

M

b

bb+

X

Sljedece jednostavne osobine granicnih vrijednosti funkcija, analogon sui iskazom i dokazom odgovarajucih tvrdnji za funkcije jedne varijable.

Teorem 3.1.1. Neka suf, g: Rn R i neka postoje

limXA

f(X) =F i limXA

g(X) =G .

Tada postoje i granicne vrijednosti funkcijaf(X) g(X), f(X) g(X), f(X)g(X)

(g(X) = 0) ikf(X) (kR

) i pri tome vrijedilimXA

(f(X) g(X)) = F G ,

limXA

(f(X)g(X)) =F G ,

limXA

f(X)

g(X) =

F

G ,

limXA

kf(X) =kF .

Teorem 3.1.2. Neka jef : Rn

R i neka postoji

limXA

f(X) =F .

Tada za proizvoljan niz(Xn)nN, takav daXn A (n ), vrijedi

limn

f(Xn) =F .

25


29/132


Rezultat gornje teoreme koristimo sada u kompoziciji funkcija.

Teorem 3.1.3. Neka je f : Rn R i h : R R. Ako postoji granicnavrijednost lim

XAf(X) =F

i ako jeh neprekidna funkcija, tada vrijedi

limXA

h(f(X)) = h(F) .

Primjer 3.1. Neka je f : Rn Rzadata saf(x1, x2,...,xn) =xk , k {1, 2,...,n} .

Ukoliko sada posmatramo granicni proces kada X

A, tj. X(x1, x2,...,xn)

A(a1, a2,...,an), sto u stvari znaci da za proizvoljno i = 1, 2,...,nvrijedixi ai ,

tada imamo

limXA

f(x1, x2,...xn) = lim(x1,...,xn)(a1,...,an)

xk =ak .

Specijalno, ako posmatramo funkcijuf(x, y) =x, onda imamo

lim(x,y)

(a,b)

f(x, y) = lim(x,y)

(a,b)

x= a .

Primjer 3.2. Neka je sada f : R3 R, zadata sa f(x,y,z) =xyz. KoristeciTeorem 3.1.1 i gornji primjer, imamo

lim(x,y,z)(a,b,c)

f(x,y,z) = lim(x,y,z)(a,b,c)

xyz

=

lim

(x,y,z)(a,b,c)x

lim

(x,y,z)(a,b,c)y

lim

(x,y,z)(a,b,c)z

= abc .

Dakle, ako imamo da je A(1, 2, 1), tada je

lim(x,y,z)(1,2,1)

xyz= 1 2 1 = 2 .

26


30/132


Primjer 3.3. Kombinujuci prethodno, sada racunamo

lim(x,y)

(

1,2)

(x2 +y2 3xy+ 2x) = ( lim(x,y)

(

1,2)

x)( lim(x,y)

(

1,2)

x) +

( lim(x,y)(1,2)

y)( lim(x,y)(1,2)

y) 3( lim

(x,y)(1,2)x)( lim

(x,y)(1,2)y)

2( lim(x,y)(1,2)

x)

= (1)(1) + 2 2 3(1)2 + 2(1) = 9 .

Sva tri gornja primjera predstavljaju primjere polinomijalnih funkcija vise

varijabli. Generalno, funkciju f : Rn

R, oblikaf(x1, x2,...,xn) =cx

k11 x

k22 xknn ,

gdje je c skalar, a ki (i = 1, 2,...,n) nenegativni cijeli brojevi, nazivamomonomom. Funkciju koja predstavlja sumu monoma nazivamopolinomijalna

funkcija.

Primjer 3.4. Koristeci Teorem 3.1.3 i gornje razmatranje za polinomijalnefunkcije, lagano racunamo i granicne procese slozenijih funkcija.

Neka je f : Rn R, zadata sa

f(x1, x2,...,xn) =

x21+x22+ x2n .

Kako je korjena funkcija neprekidna, sada imamo

lim(x1,x2,...,xn)(a1,a2,...,an)

f(x1, x2,...,xn) =

lim(x1,x2,...,xn)(a1,a2,...,an)

(x21+x22+ x2n)

=

a21+a22+ a2n .

Ili

lim(x,y)(1,1) e(x3

y2+3x2y)

= e(lim

(x,y)

(1,1)(x3

y2+3x2y))

= e3 .

U oba primjera podrazumijevamo da je tackaA iz domena funkcije f.

27


31/132


Pored polinomijalnih, cesto su u upotrebi i funkcije oblika

f(X) = g(X)

h(X)

,

gdje sugihpolinomijalne funkcije. Funkcijufnazivamoracionalna funkcija.I ovdje, ukoliko je tacka konvergencije A iz domena funkcije, granicni procesracunamo jednostavno. Naime,

limXA

f(X) = limXA g(X)limXA h(X)

.

Primjer 3.5. Neka je f(x,y,z) =x2y+ 5xyz

2x2 + 3z2 .

lim(x,y,z)(1,1,2) f(x,y,z) = lim(x,y,z)(1,1,2)x2y+ 5xyz

2x2 + 3z2

= 12(1) + 5 1 (1) 2

2 12 + 3 22=

614

= 37

.

Primjer 3.6.

lim(x,y)(1,2) ln xy

2x2 +y2

= ln

lim(x,y)(1,2)xy

2x2 +y2

= ln

2

6

= ln 3.

Napomenimo jos jednom bitnost pretpostavke da je granicna tacka u svimgornjim primjerima granicnih procesa, bila tacka oblasti definisanosti posma-trane funkcije. Medjutim, u definiciji granicne vrijednosti funkcije vise vari-

jabli, zahtjevalimo smo u 1. da jeAtacka nagomilavanja domena funkcije, stoznaci da granicne vrijednosti mozemo racunati i u nekim drugim tackama.

Tako naprimjer, za funkciju

f(x, y) = x2y

x2 +y2 ,

tacka A(0, 0) nije iz domena, ali jeste tacka nagomilavanja domena funkcije.Iako je nasa funkcija racionalna, ne bismo mogli primjeniti raniji postupak

28


32/132

3.2. Simultana i uzastopna granicna vrijednost

izracunavanja limesa ove funkcije u tacki A jer bi to dovelo do neodredjenogoblika 0

0.

Ipak, ako izaberemo tacku Xdovoljno blisku tacki A, tj. neka je

0< d(X, A) =

x2 +y2 < = ,

za proizvoljno >0, tada cemo imati

|f(x, y) 0| = x2yx2 +y2

= |x|2|y||x2 +y2| d(X, A)2d(X, A)

d(X, A)2 =d(X, A)< .

Ovo na osnovu Definicije 3.1.2 znaci da vrijedi

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = 0 .

3.2 Simultana i uzastopna granicna vrijed-

nost

Prisjetimo se da smo za funkciju f : R R, postojanje granicne vrijednosti

limxa

f(x) =L ,

opravdavali postojanjem i jednakoscu lijeve i desne granicne vrijednosti utacki a, tj. uslovom

limxa

f(x) =L = limxa+

f(x) .

Ukoliko jedna od ovih granicnih vrijednosti u tacki ane postoji, tada ne pos-toji ni granicna vrijednost funkcije u toj tacki. Slicno razmisljanje mozemoprimjeniti i za funkciju vise varijabli, ali razlika lezi u cinjenici sto ce sadapostojati beskonacno mnogo krivih po kojima se tackaXmoze priblizavatinekoj tackiA u prostoru Rn, za razliku od samo dvije mogucnosti u prostoruR.

a

x a a+ x

x

y

z

Slika 3.1: Prilaz tacki na pravoj (lijevo)i u ravni (desno)

29


33/132


Posmatrajmo sada funkciju dvije promjenljive f(x, y). Granicnu vrijed-nostL, definisanu u Definiciji 3.1.1, nazivamo simultana granicna vrijednostfunkcije f(x, y). Pored ove, od interesa je posmatrati jos dvije granicne vri-

jednosti, a to su

L12= limxa

limyb

f(x, y) , L21= limyb

limxa

f(x, y) ,

koje nazivamo uzastopne granicne vrijednosti(slika 3.2).

(a, b)

a x

y

b

(a, b)

y

b

a x

Slika 3.2: Uzastopni limesi: (lijevo) L12= limxa

limyb

, (desno) L21= limyb

limxa

Veza simultane i uzastopnih granicnih vrijednosti data je sa

Teorem 3.2.1. Ako postoji simultana granicna vrijednost

L= limx a

y b

f(x, y)

i ako za svako y postoji granicna vrijednost

limxa

f(x, y) ,

tada postoji i uzastopna granicna vrijednost

L21 = limyb

limxa

f(x, y) ,

i vrijedi

L= L21 .Dokaz: Ako postoji simultana granicna vrijednost L, to znaci da za svako

> 0, postoji >0 tako da vrijedi

|f(x, y) L| < ,

30


34/132


kad god je|x a| < i|y b| < . Ako fiksiramo y0 tako da je|y0 b| < ,prema pretpostavci teorema, postoji

limxa f(x, y0) .

Kako je fiksirano y0 bilo proizvoljno, postojat ce i granicna vrijednost

limyb

limxa

f(x, y) ,

pa je L granicna vrijednost funkcije F(y) = limxa f(x, y) kaday b, cimeje dokaz zavrsen.

Formulaciju gornje teoreme mozemo iskazati koristeci i granicnu vrijed-nost L12. Posljedice ove teoreme su:

1) Ako postoje simultana i uzastopne granicne vrijednosti tada vrijedi

L= L12 = L21 .

2) Ako je L12=L21, onda simultana granicna vrijednost L ne postoji.

Primjer 3.7. Posmatrajmo funkciju f(x, y) =x yx+y

u tacki O(0, 0).

L12= limx0

limy0

x yx+y

= limx0

x

x= 1 .

L21 = limy0

limx0

x yx+y

= limy0

yy

= 1 .

L12=L21 pa dakle L ne postoji.

Primjer 3.8. f(x, y) =x cos y,x 0 i y +.Zbog ogranicenosti funkcije kosinus vrijedi

L= limx 0

y +

x cos y= 0 .

L21 = limy+

limx0

x cos y= 0.

L12ne postoji jer ne postoji granicna vrijednost funkcije cos ykaday +.

31


35/132

3.3. Neprekidnost funkcija vise promjenljivih

Primjer 3.9. f(x, y) = xy

x2 +y2, x 0 iy 0.

L12 = limx0 limy0xy

x2 +y2 = 0 =L21 .

Simultani limes ne postoji! Zaista, ako se tacki O(0, 0) priblizavamo popravoj x= y (tj. ako posmatramo tacke oblikaX(x, x), a to onda znaci daakoX O, onda mora x 0), tada je

L= limx0

x2

2x2 =

1

2 ,

a ako se ka tacki O(0, 0) priblizavamo po pravoj x =y, tj. posmatramotacke oblikaX(x, x), imamo

L= limx0

x22x2

= 12

,

iz cega je jasno da L ne postoji.

3.3 Neprekidnost funkcija vise promjenljivih

Neka je funkcija f(x1, x2,...,xn) definisana u okolini tackeA(a1, a2,...,an).

Definicija 3.3.1. Funkcija tackef je neprekidna u tackiA ako vrijedi

limXA

f(X) =f(A) .

Prema tome, da bi funkcija f bila neprekidna u tacki Atreba biti zado-voljeno:

1 da postoji granicna vrijednost funkcije kada X A,2 da funkcija bude definisana u tacki A,

3 da granicna vrijednost funkcije u tacki A bude jednaka vrijednostifunkcije u tacki A.

Definicija 3.3.2. Funkcijaf je neprekidna u tackiA ako se za svako >0moze odrediti= ()> 0, tako da je za sveXtakve da je0< d(X, A)< zadovoljeno

|f(X) f(A)| < .Funkcija je neprekidna u oblastiD ako je neprekidna u svakoj tacki te oblasti.

32


36/132


Naravno da gornju definiciju mozemo posmatrati bilo sa sfernom bilo sakubnom okolinom tacke A.

Iz dosadasnjih razmatranja imamo sljedeca tvrdjenja.

Teorem 3.3.1. Neka jef : Rn R polinomijalna funkcija. Tada za svakoA Rn vrijedi

limXA

f(X) =f(A) ,

tj. polinomijalna funkcija je neprekidna u svakoj tackiA Rn.Teorem 3.3.2. Ako je racionalna funkcijafdefinisana u tackiA, tada vri-

jedilimXA

f(X) =f(A) ,

tj. racionalna funkcija je neprekidna u svakoj tacki svog domena.

Teorem 3.3.3. Neka su funkcijef, g : Rn R neprekidne u tackiA Rn.Tada su u toj tacki neprekidne i funkcijef g, f g, f

g (g(A) = 0) ikf (k

proizvoljan skalar izR).

Teorem 3.3.4. Neka jef : Rn R neprekidna funkcija u tackiA i ako jeg: R Rneprekidna funkcija, tada je ig fneprekidna funkcija u tackiA.Primjer 3.10. Kako je funkcija g(t) = sin t neprekidna za proizvoljno t iz Ri kako je funkcija

f(x,y,z) = x2 +y2 +z2

neprekidna za sve tacke (x,y,z) R3, onda je i funkcijah(x,y,z) = sin(

x2 +y2 +z2)

neprekidna u svim tackama iz R3.

Primjer 3.11. Prema prethodnom primjeru (samo za funkciju dvije vari-jable), funkcija

h(x, y) = sin(

x2 +y2)

je neprekidna za sve (x, y) R2. Takodje je neprekidna i funkcija

g(x, y) =

x2 +y2

za sve (x, y) R2. Zakljucujemo onda da je i funkcija

f(x, y) =sin(

x2 +y2)

x2 +y2

33


37/132


neprekidna u svakoj tacki iz R2, razlicitoj od tacke A(0, 0). Medjutim,

limXA

f(x, y) = lim(x,y)(0,0)

sin(x2 +y2)x2 +y2

= lim(x,y)(0,0)

sin(d(X, A))

d(X, A) = lim

t0

sin t

t = 1 .

Dakle, prekid funkcije u tacki A(0, 0) je otklonjiv, tj. ako definisemo novufunkciju

F(x, y) =

sin(

x2+y2)x2+y2

; (x, y) = (0, 0)1 ; (x, y) = (0, 0)

onda je ona neprekidna u svim tackama (x, y) R2.

Definicija 3.3.3. Linija ili povrs koja predstavlja skup tacaka prekida funkcije

f naziva se linijom ili povrsinom prekida funkcije.

Ako je funkcija f neprekidna u oblasti D, ona je neprekidna po svakojliniji i po svakoj povrsi koja lezi u toj oblasti. Ako specijalno posmatramoprave paralelne koordinatnim osama, to onda znaci da je funkcija neprekidnapo svakoj varijabli posebno. Medjutim obrat ne vazi, tj. funkcija moze bitineprekidna po svakoj varijabli posebno ali da ipak ima prekide. Na primjer,funkcija

f(x, y) = xy

x2 +y2

je u tackiO(0, 0) neprekidna po svakoj varijabli, ali granicna vrijednost (si-

multana) u tacki O ne postoji, tj. funkcija ima prekid u tackiO.

Primjer 3.12. f(x, y) = ex +ey

x2 +y2 1. Linija prekida ove funkcije je kruznicax2 +y2 = 1.

Primjer 3.13. f(x,y,z) = 1

ln(4 x2 y2 z2) . Povrs prekida funkcije jesferax2 +y2 +z2 = 4.

Teorem 3.3.5. Svaka funkcijanpromjenljivih koja je neprekidna u zatvorenoj

i ogranicenoj oblasti je ogranicena u toj oblasti.

Teorem 3.3.6. Ako jefneprekidna u proizvoljnoj oblasti i ako zaX1=X2iz te oblasti vrijedi f(X1)= f(X2), tada za proizvoljno C izmedju f(X1) if(X2), postoji tackaXu toj oblasti takva da jef(X) =C.

34


38/132

Glava 4

Diferencijabilnost funkcije vise

promjenljivih

U ovoj glavi govorit cemo o drugoj vaznoj osobini proizvoljnog preslikavanja,o diferencijabilnosti. Ovdje cemo pretpostavljati uvijek ako drugacije nijenaglaseno, da svaka tacka domena Df posmatranog preslikavanja, pripadatom skupu zajedno sa nekom svojom okolinom, tj. pretpostavljat cemo da

je skup Df otvoren. U nekim razmatranjima bit ce neophodna i osobinapovezanosti (koneksnosti) tog skupa. Za takav skup (otvoren i povezan) recicemo da je oblastu prostoru Rn.

4.1 Izvod u pravcu

Za funkciju : R R, izvod u tacki x0 D definisali smo sa

(x0) = limh0

(x0+h) (x0)h

, (4.1.1)

i geometrijski, predstavljao je nagib tangente (tj. najbolju linearnu aproksi-maciju) na krivu u tacki (x0, (x0)) ili trenutnu mjeru promjene funkcije(x) u odnosu na varijablux, kada je x = x0. Kao uvod za nalazenje ovakvenajbolje linearne aproksimacije za funkciju f : Rn R, pokusat cemoiskoristiti, tj. generalizovati (4.1.1) da bi realizovali ideju nagiba i mjere

promjene za ovakvo preslikavanje.Posmatrajmo funkcijuf : R2 R, definisanu sa

f(x, y) = 4 2x2 y2 ,ciji je graf prikazan na slici (4.1). Ukoliko zelimo da vizualiziramo kretanje poovom grafu (povrsi), nagib puta po kome se krecemo ovisi od polazne tacke

35


39/132

4.1. Izvod u pravcu

ali i od pravca naseg kretanja. Naprimjer, neka je startna tacka (1, 1, 1) napovrsi i neka je pravac kretanja odredjen vektorom v= (1, 1, 3). Ovo ceuzrokovati kretanje direktno ka vrhu grafa i jasno je da je mjera promjene

rastuca. Medjutim, ako se iz iste tacke krecemo u pravcu vektorav, ondasilazimo niz graf, tj. mjera promjene je opada juca. Obje ove mogucnostinaznacene su na slici crvenom bojom.Ako iz iste tacke krenemo u pravcu vektora w = (1, 2, 0), vidimo da jeputanja kretanja po elipsi

2x2 +y2 = 3 ,

tj. obilazimo oko grafa, pa je nagib bez promjene, a time i mjerapromjene je 0. Ova mogucnost kretanja je na slici prikazana zelenom bojom.Dakle, govoriti o nagibu na graf funkcije fu tacki, zahtijeva specificiratipravac kretanja.

x

y

z

v

w

c

v

w

Slika 4.1: Izvod u pravcu

Kretanju na grafu iz tacke (1, 1, 1), u pravcu vektorav, odgovara kretanje

u domenu funkcije, iz tacke c u pravcu vektora v = (1, 1). Analognokretanju u pravcu vektora w, odgovara kretanje iz c u pravcu w = (1, 2).Dakle, ukoliko se krecemo iz tacke c = (1, 1) u pravcu vektora

u= v

||v|| = 1

2(1, 1) ,

36


40/132

4.1. Izvod u pravcu

tada izrazf(c+hu) f(c)

h ,

za proizvoljno h >0, ce predstavljati aproksimaciju nagiba na graf funkcijefu tackic u pravcuu. Kao sto smo to radili sa funkcijama jedne varijable,pustajuci sada da h tezi ka 0, dobili bi smo egzaktan nagib na graf, u tackic, u pravcuu. Uradimo malo racuna.

f(c+hu) f(c) = f

1 h2

, 1 h2

f(1, 1)

= 4 2

1 h2

2

1 h2

2 1

= 3

31

2h+

h2

2

= 3

2 3h2

2 =h

3

2 3h2

.

Odavde je sada

limh0

f(c+hu) f(c)h

= limh0

3

2 3h2

= 3

2 .

Dakle, nas graf ima nagib od 3

2 ukoliko startujemo iz tacke (1, 1), u pravcuvektora u. Slicnim racunom bi dobili da je u pravcu unagib 32, odnosnou pravcu vektora w||w|| = 15 (1, 2) nagib je 0.Definicija 4.1.1. Neka je funkcijaf : Rn Rdefinisana u nekoj otvorenojkugli oko tackec. Za dati vektoru, izraz

Duf(c) = limh0

f(c+hu) f(c)h

, (4.1.2)

ukoliko limes postoji, nazivamo izvod u pravcu, funkcijef, u pravcu vektorau, u tackic.

Primjer 4.1. Prema gornjem razmatranju, za funkciju f(x, y) = 4

2x2

y2

jeDuf(1, 1) = 3

2, Duf(1, 1) = 3

2 , Dwf(1, 1) = 0 .

37


41/132

4.2. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal

4.2 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal

Kao sto smo vidjeli iz gornjeg, za funkciju vise varijabli nemozemo jednos-

tavno govoriti o izvodu te funkcije, tj. mozemo govoriti o izvodu ali pri tomemoramo znati pravac kretanja, i tada ustvari govorimo o izvodu u pravcu.Pravac u kome nalazimo izvod funkcije vise varijabli moze biti proizvoljan, alipravci odredjeni baznim vektorima prostora domena su od posebne vaznosti.Neka su e1, e2,...,en standardni vektori baze prostora R

n, tj.

e1 = (1, 0, 0,..., 0) , e2 = (0, 1, 0,..., 0) en= (0, 0, 0,..., 1) .Posmatrajmo funkcijuf : Rn R

f(X) =f(x1, x2,...,xn) ,

koja je definisana u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2,...,an) Rn

. Razmot-rimo za trenutak funkciju g : R R, uvedenu na sljedeci nacin

g(t) =f(t, x2, x3,...,xn) ,

tj. definisemo je preko funkcije f, tako sto pocev od druge, sve varijabledrzimo fiksnim (ne mjenjamo ih), a samo prvu shvatimo kao varijablu. Dakle,tada je g funkcija jedne varijable pa na nju mozemo primjeniti jednakost(4.1.1),

g(x) = limh0

g(x +h) g(x)h

.

Ali tada imamo

g(x1) = limh0

g(x1+h) g(x1)h

= limh0

f(x1+h, x2,...,xn) f(x1, x2,...,xn)h

= limh0

f((x1, x2,...,xn) + (h, 0,..., 0)) f(x1, x2,...,xn)h

= limh0

f(X+he1) f(X)h

= De1f(X) .

Vidimo da je izvod funkcije g u tacki x1 ustvari izvod u pravcu funkcije f utacki X, u pravcu vektora e1.Na isti nacin smo mogli fiksirati k-tu promjenljivu (k= 1, 2,...,n) funkcijefi zakljuciti da bi vrijedilo

g(xk) =Dekf(X) .

38


42/132


Definicija 4.2.1. Neka je funkcija f : Rn R definisana u nekoj okolinitacke A i neka je ek (k {1, 2,...,n}) k-ti vektor standardne baze u Rn.Ukoliko postoji, izvod u pravcuDekf(A), nazivamo parcijalni izvod funkcije

fpo promjenljivojxk, u tackiA.

Naravno da smo pojam parcijalnog izvoda mogli uvesti i na mnogo for-malniji nacin, uvodeci po jmove prirastaja.

Definicija 4.2.2. Neka je X(x1, x2,...,xn) proizvoljna tacka iz okoline UAtackeA(a1, a2,...,an). Razliku

xk = xk ak ; k= 1, 2,...,n

nazivamo prirastajem varijablexk, a razliku

xkf(X) =f(x1,...,xk+ xk,...,xn) f(x1,...,xn)nazivamo parcijalnim prirastajem funkcije f po promjenljivoj xk, u tackiX. Na isti nacin definisemo parcijalni prirastaj funkcije u proizvoljnoj tackiA(a1,...,an):

xkf(A) =f(a1,...,ak+ xk,...,an) f(a1,...,an)

Primjecujemo da parcijalni prirastaj funkcije n promjenljivih dobijamotako sto vrsimo promjenu samo jedne varijable dok ostale drzimo fiksnim.

Definicija 4.2.3. Granicna vrijednost

limxk0

xkf(A)xk = limxkak

f(a1,...,xk,...,an) f(a1,...,an)xk ak ,

naziva se parcijalnim izvodom funkcijefpo promjenljivojxk u tackiA.

Na analogan nacin definisemo parcijalni izvod u proizvoljnoj tacki

limxk0

xkf(X)xk = limxk0

f(x1,...,xk+ xk,...,xn) f(x1,...,xn)xk .

U razlicitim knjigama matematicke analize nalazimo razne oznake za parci-jalne izvode, kao npr.

fxk ; fxk ; f

xki sl. .

Mi cemo na jcesce koristiti oznaku fxk

, zato primjetimo da ovdje nismo ko-ristili oznacavanje koje smo imali kod funkcije jedne promjenljive, tj. oznaku

39


43/132


dfdx

. Razlog za to je cinjenica da izraz fxk

ni u kom slucaju ne mozemo shvatiti

kao dijeljenje (f sax) sto je bio slucaj sa dfdx

(df=f(x)dx).Tehnika odredjivanja parcijalnog izvoda se ni u cemu ne razlikuje od

tehnike izracunavanja izvoda funkcije jedne promjenljive. Pri nalazenju par-cijalnog izvoda po promjenljivoj xk, sve ostale promjenljive shvatamo kaokonstante, a nalazimo izvod po xk, koristeci pravila i tablicu izvoda funkcija

jedne promjenljive.

Primjer 4.2. Za funkciju f : R2 R, zadatu sa f(x, y) = xy, parcijalniizvodi su

f

x(x, y) = lim

x0f(x+ x, y) f(x, y)

x = lim

x0(x+ x)y xy

x =y .

f

y(x, y) = lim

y0f(x, y+ y) f(x, y)

y = lim

y0x(y+ y) xy

y =x .

Primjer 4.3. f(x, y) = sin(xy y).f

x(x, y) =

xsin(xy y)

= cos(xy

y)

x(xy

y)

= cos(xy y)

x(xy)

xy

= y cos(xy y) .

f

y(x, y) =

ysin(xy y)

= cos(xy y) y

(xy y)

= cos(xy

y) y

(xy)

yy

= (x 1) cos(xy y) .

40


44/132


Primjer 4.4. Posmatrajmo funkciju f : R3 R,f(x,y,z) = ln(x+yz).f

x

(x,y,z) =

x

ln(x+zy) = 1

x+zy

x

(x+zy) = 1

x+yz

,

f

y(x,y,z) =

yln(x+yz) =

1

x+yz

y(x+yz) =

z

x+yz ,

f

z(x,y,z) =

zln(x+yz) =

1

x+yz

z(x+yz) =

y

x+yz .

Parcijalni izvodi u konkretnoj tacki, npr. A(1, 1, 2) bili bi

f

x(1, 1, 2) =

1

3 ,

fy

(1, 1, 2) =23

,

f

z(1, 1, 2) =

1

3 .

Primjer 4.5. f(x, y) =x

y.

f

x=

y x

x x x

y

y2 =

y 0y2

=1

y ,

f

y =

y y

x x y

y

y2 =

0 xy2

= xy2

.

Kod funkcije jedne varijable y = f(x), ako je x = g(t), imali smo praviloizvoda slozene funkcije (pravilo kompozicije) y= f(g(t)), koje glasi

dy

dt =

dy

dx

dx

dt .

Pravilo kompozicije moramo takodje imati i kod funkcija vise varijabli. Pokaza-cemo to pravilo za funkciju dvije varijable, a ono se lahko prenosi na funkcijesanvarijabli.

Neka je z = f(x, y) i neka su i x i y funkcije nekog parametra t, tj.x= x(t) iy = y(t). Tada je funkcija z= f(x(t), y(t)), ustvari funkcija jednevarijable (t) i pri tome imamo:

41


45/132


Ako su funkcije x(t) iy(t) diferencijabilne u t i ako je funkcija fdiferencija-bilna u tacki (x(t), y(t)), tada vrijedi

z

x y

t

zx

zy

dxdt

dydt

dz

dt =

z

x

dx

dt +

z

y

dy

dt .

Primjer 4.6. Neka jef(x, y) = sin x +cos(xy) i neka sux = t2 iy = t3. Tada

prema pravilu kompozicije imamo

df

dt =

f

x

dx

dt +

f

y

dy

dt

= (cos x sin(xy)y)2t+ ( sin(xy)x)3t2= (cos t2 t3 sin t5)2t 3t4 sin t5 .

Ukoliko su x i y zavisne od dvije varijable, tj. x = x(t, s) i y = y(t, s),tada pravilo kompozicije glasi:

Ako funkcije x i y imaju parcijalne izvode prvog reda u tacki (t, s) i ako jefunkcija z= f(x, y) diferencijabilna u tacki (x(t, s), y(t, s)), tada vrijedi

z

x y

t s

zx

zy

xt

xs

yt

ys

z

t =

z

x

x

t +

z

y

y

t ,

z

s=

z

x

x

s+

z

y

y

s .

Pravilo kompozicije mozemo primjenjivati i u drugim situacijama. Npr.posmatrajmo semu otpornika u paralelnoj vezi.

42


46/132

4.3. Gradijent

R3

R2

R1

U

Ukupan otpor kola dat je sa

1

R=

1

R1+

1

R2+

1

R3. (4.2.1)

Dakle, ukupan otpor je funkcija tri varijable, R = R(R1, R2, R3). Akosada hocemo naci parcijalne izvode po Ri (i = 1, 2, 3), onda to mozemouraditi izracunavajuci otpor R eksplicitno iz formule (4.2.1)

R=

R1R2R3

R1R2+R1R3+R2R3 .

Medjutim, ako lijevu stranu u (4.2.1) shvatimo kao kompoziciju racionalnefunkcije ( 1

R) i nase funkcije R, onda direktno imamo

d 1R

dR

R

R1=

1R1

R1+

1R2

R1+

1R3

R1,

odakle je

1R2

R

R1= 1

R21,

tj.R

R1=

R2

R21.

Analogno nalazimo parcijalne izvode po ostalim promjenljivima.

4.3 Gradijent

Definicija 4.3.1. Neka je funkcijaf : Rn R definisana u okoliniUA tackeA i neka postoje f

xk(A) za svek= 1, 2,...,n. Vektor

f(A) =

f

x1(A),

f

x2(A),...,

f

xn(A)

,

nazivamo gradijent funkcijef u tackiA.

43


47/132

4.3. Gradijent

Primjer 4.7. Na osnovu Primjera 4.2, gradijent funkcije f(x, y) =xy je

f(x, y) = (y, x) ,

odnosno u konkretnoj tacki je, npr.f(2, 7) = (7, 2).

Primjer 4.8. Iz Primjera 4.4 imamo

f(1, 1, 2) =

1

3,2

3,1

3

.

Primjer 4.9. Za funkciju f(x, y) = 4 2x2 y2 imamof

x(x, y) = 4x , f

y(x, y) = 2y ,

pa je gradijent dat saf(x, y) = (4x, 2y) .

Konkretno u tacki O(0, 0) je

f(0, 0) = (0, 0) .

Korisno je primjetiti jednu stvar, a to je da za funkciju f : Rn R,njen gradijent je funkcijaf : Rn Rn, tj. gradijent je funkcija ciji jeulaz n-dimenzionalna velicina (vektor), a izlazna je takodjen-dimenzionalnivektor. Ovakve funkcije uobicajeno nazivamovektorsko polje, a sa cime cemose susresti u narednim matematickim izucavanjima.

Nije tesko pokazati da za gradijent vrijede sljedeca pravila:

1.(kf) =kf, (k= const.).2.(f g) = f g.

3.(f g) =gf+fg.

4.

f

g

=

gf fgg2

.

44


48/132

4.4. Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih

4.4 Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih

Neka je f : Rn R definisana u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2,...,an).Samo postojanje parcijalnih izvoda ne obezbjedjuje neke bitne osobine pos-matrane funkcije, sto vidimo iz sljedeceg primjera.

Primjer 4.10. Posmatrajmo funkciju f : R2 R, zadatu sa

f(x, y) =

xyx2+y2

; (x, y) = (0, 0)0 ; (x, y) = (0, 0)

Nije tesko pokazati da je fprekidna funkcija u tacki (0, 0). S druge straneona ima oba parcijalna izvoda u tacki (0, 0):

f

x (0, 0) = limh0f(h, 0)

f(0, 0)

h = limh00

h = 0 ,

f

y(0, 0) = lim

k0f(0, k) f(0, 0)

k = lim

k00

k = 0 .

Dakle, parcijalni izvodi postoje u tacki (0, 0). a funkcija ima prekid u tojtacki.

Jasno je dakle, da za razliku od funkcija jedne promjenljive, postojanjeparcijalnih izvoda ne moze garantovati odredjene lijepe osobine funkcije,nego moramo posmatrati neka svojstva koja uzimaju u obzir ponasanje funkcije

u citavoj okolini posmatrane tacke.Definicija 4.4.1. Razlika

f=f(X) f(A) ; (X UA) ,

naziva se totalni prirastaj funkcijefu tackiA.

Totalni prirastaj izrazavamo preko prirastaja nezavisnih promjenljivih,tj.

f=f(a1+ x1,...,an+ xn) f(a1,...,an) ,ili za proizvoljnu tacku X sa

f=f(x1+ x1,...,xn+ xn) f(x1,...,xn) .

Za razliku od parcijalnog prirastaja gdje jednu varijablu mijenjamo, a svedruge drzimo fiksnim, kod totalnog prirastaja sve varijable istovremenodozivljavaju neku promjenu.

45


49/132


Definicija 4.4.2. Za funkcijuf(X) =f(x1,...,xn)definisanu u okolini tackeA Rn, kazemo da je diferencijabilna u toj tacki ako vrijedi

f=L(X) +(X)d(X, A) ,gdje je

L(X) =n

k=1

pk(xk ak) (4.4.1)

linearna funkcija prirastaja nezavisnih promjenljivih, pk (k = 1, 2,...,n) surealni koeficijenti, (X) neprekidna funkcija u tackiA takva da je

limXA

(X) =(A) = 0

i

d(X, A) =

nk=1

(xk ak)2 1

2

,

rastojanje tackeXod tackeA.

Definicija 4.4.3. Linearnu funkcijuL(X) iz (4.4.1) nazivamo totalni difer-encijal funkcijef(X) u tackiA i oznacavamo ga sa

L(X) =df(X) =n

k=1pkxk .

Teorem 4.4.1. (Potrebni uslovi diferencijabilnosti)Neka je funkcijaf(X) diferencijabilna u tackiA. Tada vrijedi:

1. Postoji parcijalni izvod po svakoj promjenljivoj u tackiA.

2. Koeficijentipk (k= 1, 2,...,n) u izrazu za totalni diferencijal su parci-jalni izvodi funkcije, tj.

pk = f

xk; k= 1, 2, ..., n .

Dokaz : Ako je funkcija f diferencijabilna u tacki A, tada po definiciji4.4.2 vrijedi

f=f(x1, x2,...,xn) f(a1, a2,...,an) =n

k=1

pk(xk ak) +d .

46


50/132


Ako fiksiramo n 1 promjenljivihx1 = a1,...,xk1 = ak1, xk+1= ak+1,...,xn= an ,

imamo

f=f(a1,...,ak1, xk, ak+1,...,an)f(a1,...,ak,...,an) =pk(xkak)+(X)|xkak| ,odakle je

limxkak

fxk ak =pk+sgn(xk ak) limxkak (a1,...,ak1, xk, ak+1,...,an) .

Odavde vidimo da za proizvoljnok {1, 2,...,n} vrijedi

pk = f

xk,

iz cega vidimo da parcijalni izvodi postoje i da su oni upravo koeficijentipk(k= 1, 2,...,n).

Na osnovu gornje teoreme vidimo da totalni diferencijal diferencijabilnefunkcije f(X) ima oblik

df(X) = f

x1(X)dx1+

f

x2(X)dx2+...+

f

xn(X)dxn ,

ili izrazeno vektorskidf(X) = f(X) dX ,

gdje jedX= (dx1, dx2,...,dxn), vektor prirastaja nezavisnih varijabli.Teorem 4.4.2. Ako je funkcijaf(x1,...,xn) diferencijabilna u tackiA, ona

je i neprekidna u toj tacki.

Dokaz : Iz diferencijabilnosti funkcije imamo

f=f(X) f(A) =L(X) + (X)d(X, A) ,a odavde onda imamo

limXA

(f(X) f(A)) = limXA

L(X) + limXA

(X)d(X, A) = 0

(jer jeL(A) = 0). Ovo ne znaci nista drugo do

limXA

f(X) =f(A) ,

tj. neprekidnost funkcije fu tackiA.Da neprekidnost ne povlaci diferencijabilnost, vidimo iz sljedeceg prim-

jera.

47


51/132


Primjer 4.11. Posmatrajmo funkciju f : R2 R, zadatu sa

f(x, y) = xy

2

x2+y2 ; (x, y)

= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

Data funkcija je neprekidna u tacki (0, 0) (sto je ostavljeno citaocu za vjezbu)i ima parcijalne izvode f

x(0, 0) = f

y(0, 0) = 0. Medjutim, fnije diferencija-

bilna u tacki (0, 0). Zaista, ako bi bila diferencijabilna imali bi smo

f(0, 0) =f(x, y)f(0, 0) = fx

(0, 0)x+f

y(0, 0)y+(x, y)d(X, O) ,

odnosno, odavde je zbog d(X, O) =

x2 + y2,

(x, y) = xy2

(x2 + y2)32

.

Zbog osobine funkcije , moralo bi biti limXO

(X) = 0, tj.

limx0,y0

xy2

(x2 + y2)32

= 0,

sto nije tacno jer za x= y >0 je

xy2

(x2 + y2)32 =

1

22 0 .

Uslov diferencijabilnosti u gornjoj teoremi mozemo zamijeniti nesto slabi-jim uslovima. Naime vrjedi

Teorem 4.4.3. Ako funkcijaf(X) u nekoj oblastiD ima ogranicene parci-jalne izvode po svakoj promjenljivoj, tada je ona neprekidna u toj oblasti.

Sta vise, sa jos blizim informacijama o parcijalnim izvodima mozemo

imati jos preciznije informacije o funkciji. Tako vrijedi

Teorem 4.4.4. Ako funkcija f(X) u oblasti D ima parcijalne izvode posvakoj promjenljivoj jednake nuli, onda je funkcija u toj oblasti konstanta.

Sljedeci teorem je analogon Lagrangeovoj teoremi za funkcije jedne prom-jenljive.

48


52/132


Teorem 4.4.5. (Lagrangeov teorem)Ako funkcija f(X) u okolini UA tacke A ima konacne ili beskonacne par-cijalne izvode po svakoj promjenljivoj, tada za proizvoljno X

UA postoje

tackeX1, X2,...,Xn UA, takve da je

f(X) f(A) =n

k=1

f

xk(Xk)(xk ak) .

Iskazimo sada i dovoljne uslove diferencijabilnosti.

Teorem 4.4.6. (Dovoljni uslovi diferencijabilnosti)Ako funkcijaf(X) ima u okolini tackeA parcijalne izvode po svakoj prom-

jenljivoj i ako su ti parcijalni izvodi neprekidni u tacki A, tada je funkcijaf(X) diferencijabilna u tackiA.

Dokaz : Dokaz cemo jednostavnosti zapisa radi, dati za funkciju dvijepromjenljive i on se lahko moze prenijeti na funkcije sa n promjenjlivih.Na osnovu Lagrangeovog teorema, prirastaj funkcijef(x, y) ima oblik

f(x, y) f(a, b) =fx(X1)(x a) + fy(X2)(y b) , (4.4.2)

gdje su tacke X(x, y), X1(1, b) iX2(a, 2) iz okoline UA tackeA. Zbog pret-postavljene neprekidnosti parcijalnih izvoda, tj. funkcija fx(x, y) ify(x, y) utacki A(a, b), iz (4.4.2) imamo da vrijedi

limx ay b

f(x, y) =f(a, b) ,

pa vazifx(X1) =fx(A) +1(X) , fy(X2) =fy(A) + 2(X) ,

gdje1 0 i 2 0 kada X A.Ako posljednje dvije jednakosti pomnozimo sa x a i y b respektivno, itako dobijene jednakosti saberemo, dobijamo

f(x, y) f(a, b) = fx(X1)(x a) +fy(X2)(y b)= fx(A)(x

a) +fy(A)(y

b) +1(X)(x

a) +2(X)(y

b) ,

odnosnof=df+ 1(X)(x a) +2(X)(y b) ,

iz cega se, na osnovu Definicije 4.4.2, vidi da je funkcijafdiferencijabilna utacki A.

49


53/132


Za funkciju koja u nekoj tacki ima neprekidne parcijalne izvode, reci cemoda je neprekidno diferencijabilna u toj tacki. Ako funkcija f zadovoljavataj uslov u svim tackama nekog skupa D, onda kazemo da je f neprekidno

diferencijabilna na D. Skup neprekidno diferencijabilnih funkcija na nekomskupuD oznacavamo sa C1(D).

Posmatrajmo sada f : R2 R i neka je f neprekidno diferencijabilnafunkcija u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2) R2. Neka je u = (u1, u2)proizvoljan jedinicni vektor i nadjimo izvod u pravcu Duf(A). Na osnovudefinicije izvoda u pravcu imamo

Duf(A) = limh0

f(A+hu) f(A)h

= limh0

f(a1+hu1, a2+hu2) f(a1, a2)h

= limh0

f(a1+hu1, a2+hu2) f(a1+hu1, a2) + f(a1+hu1, a2) f(a1, a2)h

= limh0

f(a1+hu1, a2+hu2) f(a1+hu1, a2)

h +

f(a1+hu1, a2) f(a1, a2)h

.

Za fiksnoh = 0, definisimo sada funkciju : R R, sa(t) =f(a1+hu1, a2+t) .

Na osnovu pretpostavke o diferencijabilnosti funkcijef ije diferencijabilna,te imamo

(t) = lims0(t+s)

(t)

s

= lims0

f(a1+hu1, a2+t+s) f(a1+hu1, a2+t)s

=

yf(a1+hu1, a2+t) .

Neka je sada : R R, definisana sa(t) =(u2t) =f(a1+hu1, a2+tu2) . (4.4.3)

je diferencijabilna i na osnovu izvoda slozene funkcije imamo

(t) =u2(t) =u2 y

f(a1+hu1, a2+tu2) . (4.4.4)

Na osnovu teorema o srednjoj vrijednosti funkcije jedne varijable, postoji (0, h), takav da vrijedi

(h) (0)h

=() .

50


54/132


Stavljajuci sada (4.4.3) i (4.4.4) u gornju jednakost, dobijamo

f(a1+hu1, a2+hu2) f(a1+hu1, a2)

h

=u2

y

f(a1+hu1, a2+u2) .

(4.4.5)Na isti nacin, posmatrajuci funkciju : R R, zadatu sa

(t) =f(a1+tu1, a2) ,

imamo da vrijedi

(t) =u1

xf(a1+tu1, a2) ,

i opet koristeci teorem o srdnjoj vrijednosti, zakljucili bi da postoji (0, h),tako da je

f(a1+hu1, a2) f(a1, a2)h = (h) (0)h =() =u1 x f(a1+u1, a2) .(4.4.6)

Stavljajuci sada (4.4.5) i (4.4.6) u izraz za Duf(A), imamo

Duf(A) = limh0

u2

yf(a1+hu1, a2+u2) +u1

xf(a1+u1, a2)

.

(4.4.7)Kako su , (0, h), kadah 0, to onda i , 0. Iskoristivsi definitivnoi pretpostavku o neprekidnosti parcijalnih izvoda f

x i f

y, racunajuci limes u

(4.4.7), dobijamo

Duf(A) =u1 x

f(a1, a2) +u2 y

f(a1, a2) . (4.4.8)

Generalizaciju tvrdnje iskazane u (4.4.8) iskazujemo za funkcijuf : Rn Rsljedecom teoremom.

Teorem 4.4.7. Neka je f : Rn R neprekidno diferencijabilna u nekojokolini tackeA Rn. Tada za proizvoljan jedinicni vektoru, postojiDuf(A)i vrijedi

Duf(A) = f(A) u .Primjer 4.12. Neka je f : R2

R, zadata sa

f(x, y) = 4 2x2 y2 .

f(x, y) = (4x, 2y), pa za vektor u = 1

2, 1

2

imamo

Duf(1, 1) = f(1, 1) u= (4, 2)

12

, 12

= 3

2,

51


55/132


sto mozemo potvrditi sa ranije uradjenim primjerom. Sada jednostavnoracunamo i

Duf(1, 1) = f(1, 1) (u) = (4, 2) 12

, 12

= 32 .

Za vektor v = 1

5, 2

5

imamo

Dvf(1, 1) = (4, 2)

15

, 2

5

= 0 .

Neka je sadau proizvoljan jedinicni vektor, f : Rn

R i neka jeA

Rn.

Koristeci Cauchy-Schwarzovu nejednakost, mozemo zakljuciti sljedece,

|Duf(A)| = |f(A) u| | |f(A)|| ||u|| = ||f(A)|| . (4.4.9)

Ovo nam govori, bukvalno citajuci, da je apsolutna vrijednost izvoda funkcijeu pravcuuu tackiA, manja ili jednaka intenzitetu vektora gradijenta funkcijeu toj tacki. Nesto konkretnije, ovo znaci da velicina promjene rasta funkcijeu nekoj tacki u proizvoljnom pravcu nikad ne prelazi duzinu vektora gradi-

jenta u toj tacki. Sta vise, znajuci osobine Cauchy-Schwarzove nejednakosti,jednakost u (4.4.9) ce se postici upravo u slucaju kada je vektoru kolinearanvektoru

f(A). Zaista, ako je

f(A)

= 0, onda za vektor

u= f(A)||f(A)||

imamo,

Duf(A) = f(A) u=f(A) f(A)||f(A)|| =||f(A)||2||f(A)|| = ||f(A)|| .

Sta vise, vrijediDuf(A) = ||f(A)|| .

Gornju tvrdnju iskazujemo teoremom

Teorem 4.4.8. Neka jef : Rn R neprekidno diferencijabilna funkcija unekoj otvorenoj kugli koja sadrzi tacku A. Tada Duf(A) ima maksimalnuvrijednost ||f(A)|| kada je vektoru ort vektor vektoraf(A), a minimalnuvrijednost||f(A)|| kada jeu ort vektor vektoraf(A).

52


56/132


Dakle, gradijentni vektor pokazuje pravac i smjer maksimalne promjenerasta funkcije, odnosno negativni gradijentni vektor pokazuje pravac i smjermaksimalne promjene opadanja funkcije. Sta vise, intenzitet gradijentnog

vektora nam govori o velicini rasta u smjeru maksimalnog rasta, odnosnonjegova negativna vrijednos govori o velicini opadanja funkcije u smjeru mak-simalnog opadanja.

Primjer 4.13. Posmatrajmo ponovo funkciju f : R2 R zadatu saf(x, y) = 4 2x2 y2 ,

za koju jef(x, y) = (4x, 2y) .

Ukoliko se nalazimo u tackiA(1, 1) (na grafu u tacki (1, 1, 1)) i zelimo krenuti

u smjeru najveceg rasta funkcije f, na osnovu gornje teoreme, trebamokrenuti u pravcu vektora

u= f(1, 1)||f(1, 1)|| =

2

5, 1

5

.

Ako trazimo pravac najbrzeg opadanja funkcije, onda ce to biti u pravcuvektora

u=

25

, 1

5

.

Sta vise, velicina promjene rasta u pravcu tog vektora je

Duf(1, 1) = ||f(1, 1)|| = 20 ,a velicina opadanja je

Duf(1, 1) = ||f(1, 1)|| =

20.

Razmotrimo jos jedan vazan fakat vezan za gradijent funkcije. Pokazacemoga za funkciju dvije varijable, a isto rezonovanje imamo za proizvoljnu funkcijuf : Rn

R.

Dakle, neka je data funkcija z= f(x, y) ciji je graf povrsGu prostoru R3.Posmatrajmo poizvoljnu tacku P(x0, y0, f(x0, y0)) na grafuG i neka je l nivolinija na grafuG koja prolazi kroz tacku P. Kako je za tu liniju zadovoljenof(x, y) =k, za neko fiksno k R, i kako je ona jednodimenzionalan objekatu prostoru, mozemo je parametrizovati, tj. svaku tacku linije l mozemo pos-matrati kao vektorsku funkciju r(t) = (x(t), y(t)). Neka je t0 ona vrijednost

53


57/132

4.5. Pravila diferenciranja

parametra koja odgovara tackiP. Kako je nivo linijal na povrsi G, mora zasvakotbiti zadovoljena jednacina

f(x(t), y(t)) =k .

Diferenciranjem ove jednakosti po t, primjenom pravila kompozicije, imamo

f

x

dx

dt +

f

y

dy

dt = 0 . (4.4.10)

Nije tesko vidjeti da se jednakost (4.4.10) moze zapisati u vektorskoj notaciji,f

x,f

y

dx

dt,dy

dt

= f r= 0 .

Gornje ce vrijediti u proizvoljno j tacki nivo linije l, tj.

f(x0, y0) r(t0) = 0 .Dakle, vrijedi vrdnja,

Teorem 4.4.9. Gradijentni vektor funkcije z = f(x1, x2,...,xn) u svakojtacki nivo linijef(x1, x2,...,xn) =k, ortogonalan je na tu liniju.

Na sljedecoj slici prikazano je nekoliko funkcija konturnim grafom (pomocunivo linija) i odgovarajucim vektorskim poljem (strelice na slici pred-stavljaju gradijentne vektore date funkcije u raznim tackama). Strelice

su usmjerene u pravcu najbrzeg rasta funkcije, a i velicina strelica odrazavabrzinu promjene funkcije u tom pravcu. Takodje uocavamo ortogonalnostgradijentnih vektora na odgovarajuce nivo linije.

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

f(x, y) = x2 +y2 f(x, y) = 1

x2

y2 f(x, y) = x2 +y2 f(x, y) = x2

y2

4.5 Pravila diferenciranja

Kao sto smo vec mogli primjetiti, pravila nalazenja diferencijala funkcija visevarijabli nece se razlikovati od tih pravila kod funkcije jedne varijabe.

54


58/132

4.6. Izvodi viseg reda, Hesseova matrica

Teorem 4.5.1. Neka su funkcije f, g : D R (D Rn) diferencijabilneu tacki A D i neka su a, b R proizvoljni. Tada je i funkcija af+bgdiferencijabilna u tackiA i vrijedi

d(af+ bg)(A) =adf(A) + bdg(A) .

Teorem 4.5.2. Neka su funkcije f, g : D R (D Rn) diferencijabilneu tackiA D. Tada su i funkcijef g i f

g (posljednja uz uslovg(A)= 0)

diferencijabilne u tackiA i vrijedi

d(f g)(A) =g(A)df(A) + f(A)dg(A) ,

d

f

g

(A) =

g(A)df(A) f(A)dg(A)(g(A))2

.

4.6 Izvodi viseg reda, Hesseova matrica

Ukoliko funkcija f : Rn R ima parcijalne izvode koji postoje na nekomotvorenom skupu U, tada za svako i {1, 2,...,n}, f

xije takodje funkcija

sama za sebe, tj. fxi

: Rn R. Parcijalni izvodi funkcije fxi

, ukolikopostoje, nazivaju se parcijalni izvodi drugog reda funkcije f.

Kao i za prve parcijalne izvode i za druge parcijalne izvode postoje razneoznake kao naprimjer:

2fxixj

, fxixj , Dxixjf ili jednostavno fxixj . Mi cemose sluziti uglavnom prvom navedenom notacijom, ali po potrebi skracivanjazapisa, cesto cemo upotrebljavati i posljednju navedenu notaciju. Tako za

funkciju z=f(x, y) imamo sljedece parcijalne izvode drugog reda, zapisanei sa prvom i sa posljednjom notacijom:

fxx=

x

f

x

=

2f

x2 ; fyy =

y

f

y

=

2f

y2

fxy=

y

f

x

=

2f

xy ; fyx =

x

f

y

=

2f

yx

Tehnika nalazenja parcijalnih izvoda drugog reda sadrzana je u sim-bolickom zapisivanju tih izvoda. Naprimjer, fxy znaci da od izvoda f

x (prvi

s lijeva indeks nam govori od koga pravimo parcijalni izvod) nalazimo par-

cijalni izvod po y (drugi indeks s lijeva nam govori po cemu radimo drugiparcijalni izvod).

Primjer 4.14. Odredimo parcijalne izvode drugog reda funkcije z= x2y.Prvo odredimo parcijalne izvode prvog reda:

z

x= 2xy ;

z

y =x2 .

55


59/132


Odredimo sada parcijalne izvode drugog reda, koristeci gornje objasnjenje.Za nalazenjefxx, uzimamo

zx

i od njega trazimo parcijalni izvod pox. Takodobijamo

fxx= (2xy)x= 2y .Analogno, za fxy uzimamo prvi parcijalni izvod po x, pa od njega trazimoizvod poy

fxy= (2xy)x= 2x .

Istu logiku koristimo kod nalazenja ostala dva parcijalna izvoda drugog reda,

fyx = 2x ; fyy = 0.

Primjer 4.15. z= ex2

+y2

fx= 2xex2+y2 ; fy = 2ye

x2+y2 .

fxx= 2ex2+y2+2x2xex

2+y2 = 2ex2+y2(1+2x2) ; fxy = 2x2ye

x2+y2 = 4xyex2+y2 ;

fyx = 2y2xex2+y2 = 4xyex

2+y2 ; fyy = 2ex2+y2+2y2yex

2+y2 = 2ex2+y2(1+2y2) .

Za funkciju f : Rn R, parcijalne izvode fxixj i fxjxi (i =j ), nazivamomjesoviti parcijalni izvodii na osnovu opisanog postupka, jasna nam je razlika

istaknuta poretkom indeksa.U pokazana dva primjera primijecujemo da su mjesoviti parcijalni izvodi

jednaki, fxy = fyx. Postavlja se pitanje da li je to tako u opstem slucaju?Kao sto cemo kasnije vidjeti ta j uslov je veoma bitan, a ovdje cemo dati uslovepod kojima su ti parcijalni izvodi jednaki za funkciju dvije promjenljive. Prijetoga, odgovor na postavljeno pitanje nam daje sljedeci primjer.

Primjer 4.16. Posmatrajmo funkciju f : R2 Rzadatu sa

f(x, y) =

xyx2 y2x2 +y2

; (x, y) = (0, 0)0 ; (x, y) = (0, 0)

Tada je

f

x(x, y) =y

x4 y4 + 4x2y2(x2 +y2)2

, (x, y) = (0, 0) ; fx

(0, 0) = 0 .

56


60/132


Onda je

2f

xy(0, 0) = lim

h

0

1

h f

x(0, h) f

x(0, 0)= limh0

hh

= 1 .

Na slican nacin odredjujuci, imamo da je

2f

yx(0, 0) = 1 ,

pa ocigledno u opstem slucaju mjesoviti izvodi nisu jednaki.

Definicija 4.6.1. Za funkcijuf : Rn R kazemo da je dva puta neprekidnodiferencijabilna na otvorenom skupu U Rn, i pisemo f C2(U), ako su

funkcijefxixj neprekidne naU, za svei, j {1, 2,...,n}.Pod odredjenim uslovima koji su dati u narednoj teoremi, mjesoviti izvodi

ce biti jednaki.

Teorem 4.6.1. Neka jeU Rn otvoren skup koji sadrzi tackuA i neka jefunkcijaf C2(U). Tada vrijedi

2f

xixj(A) =

2f

xjxi(A) ,

za svei, j {1, 2,...,n}.Gornje rezonovanje o parcijalnim izvodima drugog reda sada mozemo

prosiriti na parcijalne izvode treceg, cetvrtog i viseg reda, kao i na funkcijetri, cetiri i vise promjenljivih. Za funkciju dvije varijable, vidjeli smo, pos-

toje cetiri parcijalna izvoda drugog reda. Praveci od njih ponovo parcijalneizvode, dobijamo parcijalne izvode treceg reda, kojih ce tada biti osam. Zafunkciju tri varijable, parcijalnih izvoda drugog reda ima devet, a treceg reda27.

U opstem slucaju, funkcija f : Rn Rima n2 parcijalnih izvoda drugogreda, od kojih onda mozemo formirati kvadratnu matricu redan n.Definicija 4.6.2. Neka svi parcijalni izvodi drugog reda funkcijef : Rn Rpostoje u tackic Rn. Matricu redan n

Hf(c) =

2f

x21(c)

2fx2x1

(c) 2f

x3x1(c) 2f

xnx1(c)

2f

x1x2 (c) 2f

x22 (c) 2f

x3x2 (c) 2f

xnx2 (c)2f

x1x3(c)

2fx2x3

(c) 2f

x23(c) 2f

xnx3(c)

... ...

... . . .

...2f

x1xn(c)

2f

x2xn(c)

2f

x3xn(c) 2f

x2n(c)

(4.6.1)

nazivamo Hesseova matrica ili Hessijan funkcijef u tackic.

57


61/132


Primjetimo da je i-ta kolona Hesseove matrice, gradijent funkcije fxi

, tj.fxi(c).Primjer 4.17. Neka je f(x, y) =x2y

xy2. Tada je

Hf(x, y) =

fxx(x, y) fyx(x, y)fxy(x, y) fyy(x, y)

=

2y 2x 2y

2x 2y 2x

.

Sada naprimjer, u tacki A(2, 1), Hessijan glasi

Hf(2, 1) =

2 22 4

.

Neka je sada f : Rn

R dva puta neprekidno diferencijabilna na nekoj

otvorenoj kugli B(A, r) R2 i neka je h = (h1, h2) vektor, takav da je||h|| < r . Definisimo novu funkciju : R R, na sljedeci nacin(t) =f(A+th) .

(Velicinu A + thshvatamo tako da se iz tackeA pomjerimo u pravcu vektorah, za duzinu t||h||) Funkcija je funkcija jedne varijable i pri tome je npr.(0) = f(A) i (1) = f(A+h). Na osnovu Taylorove teoreme za funkciju

jedne varijable sada imamo

(1) =(0) +(0) +1

2() , (4.6.2)

gdje je (0, 1). Kako je d = df, koristeci pravilo izvoda kompozicije,imamo

(t) = f(A+th)ddt

(A+th) = f(A+th)h= fx(A+th)h1+fy(A+th)h2.(4.6.3)

(jasno, u izrazu f(A+th)himamo skalarno mnozenje). Analogno nalazimoi drugi izvod

(t) = (h1fx(A+th) +h2fy(A+th)) h= (h1fx(A+th) +h2fy(A+th)) (h1, h2)= [h1 h2]

fxx(A+th) fxy(A+th)fyx(A+th) fyy(A+th)

h1h2

.

(Zadnji zapis dobijamo nakon jednostavnog matricnog racuna). Koristecisada oznake

h=

h1h2

58


62/132


63/132


Sada imamo

P2(x, y) = f(0, 0) +

f(0, 0)

(x, y) +

1

2[x y]Hf(0, 0)

xy

= 1 + (2, 1) (x, y) +12

[x y]

4 22 1

xy

= 1 2x+y+12

[x y]

4x 2y2x+y

= 1 2x+y+12

(4x2 2xy 2xy+y2)

= 2x2 +1

2y2 2xy 2x+y+ 1 .

Svrha Taylorovog polinoma je da se funkcija njime dovoljno dobro aproksimira

u okolini neke tacke. Na slici (4.2) dat je prikaz te aproksimacije iz dva uglaposmatranja, da bi se bolje uocila istaknuta aproksimacija u tacki (0,0).

x y

z

x

y

z

Slika 4.2: Aproksimacija funkcije f(x, y) = e2x+y (zelena) u tacki (0,0),Taylorovim polinomom P2(x, y) = 2x

2 + 12 y2 2xy 2y+y+ 1 (crvena)

U dijelu linearne algebre, koga smo izucavali ranije, upoznali smo pojamsimetricne matrice, tj. kvadratne matrice M= [aij]nn za koju vrijedi

M=MT ,

ili za cije elemente vrijedi aij =aji.

Primjer 4.19. Matrica

M=

1 2 22 5 0

2 0 3

,

60


64/132


primjer je simetricne matrice, a matrica

M= 1 23 4

,je primjer nesimetricne matrice.

Ako je f C2, tada na osnovu Teorema (4.6.1), imamo da su mjesovitiizvodi jednaki, tj.

2f

xixj=

2f

xjxi,

a to ce onda na osnovu definicije Hessijana znaciti da je za svaku dva putaneprekidno diferencijabilnu funkciju, njen Hessijan simetricna matrica.

Neka je sadaMproizvoljna simetricna matrica redan

n. Za proizvoljnu

matricu vrstu x (mozemo reci i vektor x= (x1, x2,...,xn)), definisimo funkcijuq: Rn Rna sljedeci nacin

q(x) =xTMx . (4.6.6)

Funkcijaqje polinom drugog reda po promjenljivimax1, x2,...,xni nazivamoje kvadratna forma po promjenljivima x1, x2,...,xn, a matricu M nazivamomatrica kvadratne formeq.

Primjer 4.20. Neka je

M= 1 22 1

.Kvadratnu formu dobijamo iz (4.6.6),

q2(x) =xTMx= [x1x2]

1 22 1

x1x2

= [x1+2x22x1+x2]

x1x2

= x21+x

22+4x1x2.

Za matricu

M=

2 1 11 5 1

1 1 2

,

kvadratna forma glasi

q3(x) = 2x21+ 5x

22+ 2x

23 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3 .

Definicija 4.6.4. Za kvadratnu formuq(x) =xTMx kazemo da je

61


65/132


pozitivno poludefinitna, ako je za svako x= (x1, x2,...,xn) Rn, zado-voljenoq(x) 0.

pozitivno definitna, ako je za svako x = 0, zadovoljeno q(x)> 0. negativno poludefinitna, ako je za svako x Rn, zadovoljeno q(x) 0. negativno definitna, ako je za svako x = 0, zadovoljeno q(x)< 0. indefinitna ili promjenljivog znaka, ako postojex, x Rn, tako da je

q(x)>0 iq(x)< 0.

Ako je q(x) = 0, cesto kazemo da je kvadratna forma nedefinitna u tojtacki.

Primjer 4.21. Kvadratnu formu q2 iz gornjeg primjera mozemo zapisati

q2(x) = (x1+x2)2 + 2x1x2 ,

pa zax = (1, 0) imamoq2(x) = 1>0, a za x = (1, 1) imamoq2(x) = 20.

Kao sto cemo uskoro vidjeti, od velikog je interesa imati nacin odredji-

vanja definitnosti neke kvadratne forme. Najjednostavniji nacin bio bi obra-zovati tu kvadratnu formu, a onda je svesti na neki pogodan oblik iz kogalagano mozemo ocijeniti njenu definitnost (ovo smo primjenili u posljed-njem primjeru). Nadjimo taj nacin u za nas vaznom slucaj

Matematika 2 -Nermin Okicic

Documents

Transcript of Matematika 2 -Nermin Okicic