MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA

1

en signal sproži harmonično nihanje

posamezni signali spremenijo amplitudo, frekvenca se ne spreminja

periodični signal s frekvenco nesorazmerno z lastno frekvenco povzroči neurejeno nihanje

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA

2

periodični signal s frekvenco enako lastni povzroči resonanco

periodični signal s frekvenco blizu lastne povzroči utripanje

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA

3

Zakaj pride do resonance?

zunanja sila:

nastavek:

splošna rešitev:

amplituda neomejeno narašča

0( ) cosf t F t 2 00 cos

Fy y t

m

cos siny A t B t 2 2 2 0

0cos sin ( cos sin ) cosy y

FA t B t A t B t t

m

02 20

, 0( )

F

A Bm

002 2

0

( ) cos cos( )( )

Fy t t C t

m

0

amplituda linearno narašča

00

0

( ) sin2P

Fy t t t

m

0 ( cos sin )nastavek: y t A t B t

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA

4

DUŠENO VSILJENO NIHANJE

superpozicija dveh nihanj; drugo postane sčasoma zanemarljivo (prehodno stanje stacionarno stanje)⇒

v stacionarnem stanju je frekvenca enaka frekvenci spodbujanja, amplituda pa je odvisna od mase, koeficienta upora ter razlike med frekvenco spodbujanja in lastno frekvenco dušenega nihanja.

Amplituda pri dušenem vsiljenem nihanju ne narašča čez vse meje, ko gre ωω0

20 cos 4(Privzamemo )my cy ky F t c km

2 20( ) cos( ) ,

2Rešitev homogene enačbe: t

H d d

cy t Ce t

m

cos sinNastavek za nehomogeno enačbo ( ):d y A t B t 2 2

0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ),

( ) ( ) d

d d

m cA F B F

m c m c

0

2 2 2 2 2 2( ) cos( ) cos( )

( )Splošna rešitev: t

v d

d

Fy t t Ce t

m c

Razmerje med amplitudo spodbujanja in amplitudo nihanja – ojačenje – je

2 2 2 2 2 2

1

( )dm c

0

2c

1c

1

2c

1

4c Resonančna krivulja

Ojačenje kot funkcija frekvence spodbujanja za različne vrednosti koeficienta upora (k=1, m=1):

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ELEKTRIČNI KROG

5

RLC ELEKTRIČNI KROG

Padec napetosti na ...

upoštevamo I=Q ’:

E(t)

ER=RI

EL=LI ’

C

QE

C

- uporu je sorazmeren toku;

- tuljavi je sorazmeren spremembi toka;

- kondenzatoru je sorazmeren naboju.

( )

1R L CE t E E E

RI LI QC

1( )LI RI I E t

C ( )my cy ky F t

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE ELEKTRIČNI KROG

6

induktanca tuljave L

upor R

recipročje kapacitivnosti 1/C

odvod napetosti iz vira E ’(t)

električni tok I 2. Kirchhoffov zakon

masa m (inercija)

koeficient dušenja c (viskoznost)

koeficient elastičnosti k

zunanja sila F(t)

odmik od ravnovesja y2. Newtonov zakon

RLC krog z izmeničnim (sinusnim) virom napetosti (R>0):

- prehodnemu toku sledi stacionarni električni tok; - frekvenca stacionarnega toka je enaka frekvenci vira; - amplituda stacionarnega toka je odvisna od induktance,

kapacitivnosti in razlike med frekvenco vira in lastno frekvenco RLC kroga

- ko se frekvenca vira približa lastni frekvenci pride do utripanja in do resonance

1( )LI RI I E t

C ( )my cy ky F t

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE METABOLIZMA

7

MODEL ZA UGOTAVLJANJE DIABETESADiabetes je disfunkcija pri presnovi glukoze. Pri običajnem testiranju dobi pacient na tešče večjo količino glukoze. V naslednjih nekaj urah mu večkrat odvzamejo kri in izmerijo koncentracijo glukoze. Oblika sprememb je podlaga za ugotavljanje diabetesa. Zaradi nihanja koncentracije, individualnih razlik in drugih dejavnikov, ki vplivajo na količino glukoze v krvi, je pogosto težko postaviti pravilno diagnozo.

1. OBLIKOVANJE MATEMATIČNEGA MODELA

Presnovo glukoze krmili vrsta hormonov: insulin (spodbuja absorbcijo glukoze), glukagon (spodbuja nastanek glukoze iz glikogena v jetrih), adrenalin (spodbuja nastanek glukoze in zavira izločanje insulina), tiroksin (spodbuja nastanek glukoze iz ne-karbohidratov), somatotropin (zavira delovanje insulina) in drugi.

G: koncentracija glukoze v krviH: skupna koncentracija hormonov v krvi; tiste, ki zmanjšujejo G štejemo z negativnim, ostale pa s pozitivnim predznakom; v običajnih okoliščinah prevladuje vpliv insulina. Laboratorijsko merimo predvsem G; določanje H je precej težje ali celo nemogoče.

Spreminjanje G in H je odvisno od trenutnih koncentracij G in H.

dovajanje insulina v kri

( , ) ( )

( , ) G u G H J t

H v G H

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE METABOLIZMA

8

Funkciji u in v nista znani. Njuni vrednosti blizu ravnovesnega stanja (G0,H0) lahko približno izrazimo s pomočjo parcialnih odvodov (temu pristopu pravimo linearizacija):

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) )G H

G H

u G H u G H u G H G G u G H H H

v G H v G H v G H G G v G H H H

sistem LDE 1.reda( )

( , , , 0)

g ag bh J ta b c d

h cg dh

0 0( ), ( )Napišemo diferencialno enačbo za odmike od ravnovesja

(podobno kot pri nihanjih)

g G G h H H

, , ,Vrednosti ne poznamo, lahko pa ocenimo njihov predznak - pozitiven, če vplivajo na povečanje količine in negativen, če povzročajo zmanjšanje količine.

G H G Hu u v v

MATEMATIKA 2

DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE METABOLIZMA

9

Prevedemo na LDE 2.reda:odvajamo 1. enačbo

h’ izrazimo iz 2. enačbe

bh izrazimo iz 1. enačbe

g a g b h J ( )a g b c g d h J

( )a g bc g d J a g g J

( ) ( )a d g ad bc g J d J

( ) ( )g a d g ad bc g J d J

2. POSLEDICE MATEMATIČNEGA MODELA

Pacientu damo glukozo na začetku in skoraj trenutno, zato je smiselno reševati homogeno enačbo pri začetnih pogojih g(0)=J in g’(0)=0.

Enačba opisuje dušeno nihanje splošna rešitev gre sčasoma proti ⇒ 0, tj. G gre proti G0.

Splošna rešitev je (ob negativni diskriminanti) nihanje oblike

torej je določena s konstantami G0,A,α,d,δ.

0( ) cos( )tdG t G Ae t

S poskušanjem ugotovimo, da je lastna frekvenca d najmanj občutljiva za napake pri merjenju koncentracij. Na podlagi izkušenj je frekvenca, ki ustreza manj kot 4 uram znak normalne presnove, tista pa, ki ustreza bistveno več kot 4 uram pa kaže na diabetes.

Konstante določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov iz nekaj meritev (običajno 6-8).