Matematika 2 seminarski

OTVORENI UNIVERZITET „APEIRON“ TRAVNIKFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE U TRAVNIKU

DISKRETNE MATEMATIČKE STRUKTURE„ODABRANA POGLAVLJA“

SEMINARSKI RAD

PREDMET: „DISKRETNE MATEMATIČKE STRUKTURE“PROFESOR: PROF. DR ESAD JAKUPOVIĆ

STUDENT: INDEKS br. SEMESTAR: DRUGISMJER STUDIJA: POSLOVNA INFORMATIKA

SARAJEVO, april 2009. god.

SADRŽAJ

1. Osnovni pojmovi matematičke logike..............................................................................32. Funkcije generatrise..........................................................................................................63. Definicija iskazne algebre.................................................................................................104. O opisnoj teoriji skupova..................................................................................................115. Formule Kvantifikatorskog Računa..................................................................................126. Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom.....................................................137. Prsten.................................................................................................................................168. Stablo.................................................................................................................................199. Definicija formalne teorije.................................................................................................2110. Operacije sa događajima....................................................................................................2211. O teoriji igara.....................................................................................................................2412. Literatura...........................................................................................................................24

2 Diskretne Matematičke Metode – Fakultet Poslovne Informatike

1. Osnovni pojmovi matematičke logike

Matematičke misli se izražavaju nekim od postojećih jezika (recimo, srpsko-hrvatskim) koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematičkih simbola. Osnovne cjeline u jednom jeziku su rečenice. Od posebnog interesa su afirmativne rečenice koje imaju neki smisao. Ovakve rečenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.

Primjer 1. Rečenica »7<15« je sud i to istinit, dok je rečenica »7 je kvadrat prirodnog broja« takođe sud ali neistinit.

Kao što primjećujemo, sud ne može istovremeno biti istinit i neistinit (princip kontradikcije) a isto tako sud ne može biti ni istinit ni neistinit (princip isključenja trećeg).

Sudove obično obilježavamo velikim slovima latinice, na primjer, P, Q, R,... Za svaki sud P definiše se njegova vrijednost istinitosti τP pomoću

Vrijednost istinitosti suda obilježavaćemo odgovarajućim malim slovima latinice. Dakle, τP=p.

Simbole 1 i 0 ne treba obavezno smatrati brojevima jedan i nula. Za vrijednost istinitosti sudova mogu se uzeti bilo koja dva različita objekta, odnosno simbola. Tako su u matematičkoj literaturi u čestoj upotrebi simboli T i umjesto, redom, 1 i 0. Simbol T se čita »te« i potiče od engleske riječi »true« (istinit). Simbol čita se »ne te«. Mi ćemo zbog primjene matematičke logike u tehnici koristiti prvonavedene simbole. Skup {0, 1} obilježavaćemo sa B.

Postoje i rečenice koje tvrde nešto što ima smisla ali za koje ne možemo tvrditi ni da su istinite ni da su neistinite. Na primjer, rečenica » x1 = 1« je istinita ako je x = 1 ili x = - 1. Međutim, ona je neistinita, na primjer, za x = 2. Ovakvi primjeri opravdavaju uvođenje sledeće definicije.

Definicija 2. Afirmativna rečenica, koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više projenjivih parametara i koja postaje sud uvjek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, naziva se predikat.

Primer 2. Rečenica » x2 + y2 ≤ 1« je predikat sa dva parametra. Za x = y = 0 dobijamo istinit sud » 02 + 02 ≤ 1« dok, na primjer, za x = 1, y = 2 dobijamo neistinit sud » 12 + 22 ≤ 1«.


Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina predikata. U oznaci predikata uvjek naglašavamo parametre od kojih on zavisi, na primjer, P (x), Q(x,y), R(x1, x2 ,..., xn ) itd. Podrazumjeva se da je za svaki predikat zadata oblast variranja njegovih parametara (bilo eksplicitno, bilo implicitno). Tako smo u primjeru 2 podrazumjevali da x i y označavaju realne brojeve.

U tekstu koji slijedi pod rečenicom ćemo podrazumjevati bilo sud bilo predikat. Poznato je da se od rečenica mogu formirati složenije rečenice upotrebom raznih sveza (i, ili,

itd.).

Definicija 3. Ako su P i Q rečenice, onda se rečenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, označavaju redom sa

i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija, ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija rečenica P i Q (odnosno rečenice P kod negacije).

Ako su P i Q sudovi onda se istinitost navedenih složenih rečenica može udvrditi na osnovu vrijednosti istinitosti sudova P i Q bez analize samog značenja rečenica P i Q.

U sledećoj tabeli (tablice istinitosti) navedene su vrijednosti istinitosti složenih rečenica iz definicije 3 u zavisnosti od vrijednosti istinitosti sudova P i Q.

Navedene tablice istinitosti konstruisane su tako da su u saglasnosti sa svakodnevnom logikom,stečenom na osnovu iskustva i koju smatramo tačnom. Jedino kod implikacije P Q nailazimo na naizgled neobičnu situaciju kada je τP = 0. Implikacija je tada istinita bez obzira na vrijednosti istinitosti suda Q. To znači: iz pogrešne premise svaki zaključak je logički ispravan. Naravno, zaključivanje iz pogrešnih premisa nema većeg značaja ali su navedene vrijednosti u tablici istinitosti usvojene jer ne »smetaju« čitavoj konstrukciji a u nekim situacijama to ima i izvjesne prednosti (vidjeti zadatak 3).

Rečenica P Q se može pročitati na više ekvivalentnih načina:Ako P, onda Q; iz P proizlazi Q; P povlaci Q;P je dovoljan uslov za Q;Q je potreban uslov za P.


Rečenica P Q se može pročitati na jedan od sledećih načina:Ako je P onda Q i ako Q onda P;P je ekvivalentno sa Q;P važi ako i samo ako važi Q;P potreban i dovoljan uslov za Q;Q je potreban i dovoljan uslov za P.

Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je rečenica P Q identična sa rečenicom

i da je rečenica P\/Q identična sa rečenicom Od predikata se mogu formirati nove rečenice upotrebom tzv. kvantifikatora. Postoje dva

kvantifikatora: univerzalni i egzistencijalni . Simbol se čita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa početnim slovom nemačke reci »aile« (svi) odnosno engleske »all«. se čita »postoji« i potiče od odgovarajućeg njemačkog izraza »es gibt«, odnosno engleskog »exist«. Kvantifikatori se upotrebljavaju ispred predikata i obično se vezuju za neku promenljivu (parametar) iz predikata. Upotrebu kvantifikatora objasnićemo na primjerima.

Ako je P(x) predikat dužine 1 i x promjenljiva, simbol ( x) P(x) označava rečenicu: za svako x (važi) P(x). Kvantifikatori se mogu primjeniti i na predikate većih dužina. ( x) P(x, y) se čita: postoji x tako da. važi P (x, y).

Primjer 3. ( a) ( b) ((a i b su kompleksni brojevi) a2 –b2 =(a+b)(a-b)) se čita: za svako a i svako b, ako su a i b kompleksni brojevi onda je a2—b2=(a+b) (a—b); ili kraće: za sve kompleksne brojeve a i b važi a2—b2=(a+b) (a—b). Ako usvojimo da a i b označavaju kompleksne brojeve, ova rečenica bi se kraće mogla zapisati pomoću ( a) ( b) a2—b2=(a+b) (a—b).

Primjer 4. ( x) ( x je realan broj) (x2 = 1)). Ovo se može pročitati na sledeći način: postoji x takvo da je x realan broj i da je x=1; ili kraće: postoji realan broj x takav da je x2=1. (U stvari, postoje dva takva broja: 1 i -1). Slično prethodnom primjeru, ako x označava realan broj, kraći zapis predhodne rečenice bi bio ( x)x2=1. Napomenimo da bi pogrešno bilo, po ugledu na primjer 3, ovu rečenicu zapisati u obliku

( x) ((x je realan broj) (x2= 1)).

Napomenimo da se oblast variranja parametra u predikatu može precizirati naznakom odgovarajućeg skupa kojem pripada promjenljiva na koju se odnosi kvantifikator (vidjeti odjeljak 1. 3.). Takođe se često oznake kvantifikatora sažimaju pa se, na primjer, piše( a, b) umjesto ( a) ( b).


2. Funkcije generatrise

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise.Posmatrajmo beskonačni niz

Definicija 1. Funkcija naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija naziva se eksponencijalna funkcija gene-ratrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), članovi niza se mogu odrediti pomoću formula

.

Redove navedene u definicijama 1 i 2 shvatamo kao formalne redove. Konvergencija i druga analitička svojstva ovih redova obično se ne ispituju.

U kombinatorici je od interesa da se odrede funkcije generatrise za nizove čiji članovi predstavljaju rješenja različitih zadataka prebrojavanja. Odredićcmo najprije funkcije generatrise za elementarne kombinatorne probleme, opisane u uvodnom poglavlju, a zatim ćemo na taj način razvijenu tehniku funkcija generatrisa primjeniti na neke od komplikovanijih problema.

Da bi dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija , k=0,1,...,n , posmatrajmo izraz

Kao koeficijent uz tk nalazi se elementarna simetrična funkcija reda k promenljivih

.Sabirci funkcije Sk su proizvodi od po k promenljivih iz skupa .Dakle, svaki takav

sabirak reprezentuje po jednu kombinaciju klase k tog skupa. Ako stavimo svaki

sabirak je jednak 1 i koeficijent uz tk je jednak broju kombinacija klase k skupa od tri elementa:

.


dobija se , k=1,2,3.

Neposrednom generalizacijom ovog postupka zaključuje se da je

funkcija generatrisa za brojeve kombinacija . Dakle , što potvrđuje raniji rezultat.

Da bismo dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija sa ponavljanjem, posmatrajmo kao uvodni primer izraz

Sabirci koeficijenata uz t3 predstavljaju sada kombinacije treće klase sa ponavljanjem skupa

{xl, x2, x3} u kojima se element pojavljuje najviše dva puta, dok se i pojavljuju najviše

jedanput. Stavljajući: dobija se odgovarajuća funkcija generatrisa.Na ovom primjeru se uočava da funkcija generatrisa za brojeve kombinacija skupa od n

elemenata ima n faktora. Svaki faktor reguliše broj pojavljivanja jednog od elemenata u

kombinacijama. Ako zahtjevamo da se i-ti element mora da pojavi u kombinacijama samo ili

puta ili n2 puta ili . . . ili ns puta, onda je i-ti faktor funkcije generatrise oblika .Na osnovu izloženog funkcija generatrisa za brojeve kombinacija sa ponavljanjem (dakle,

bez ikakvih ograničenja u pogledu broja pojavnjivanja elemenata) skupa od n elemenata glasi

Dalje dobijamo

Dakle, što se slaže sa ranije izvedenim izrazom.

Da bismo dobili odgovarajuće funkcije generatrise za brojeve varijacija, primjetimo najprije da je funkcija generatrisa Gc (t) za brojeve kombinacija, u stvari, eksponencijalna funkcija generatrisa Hv(t) za brojeve varijacija:


Da bismo dobili opšti izraz za Hv(t) u slučaju kada su specificirani mogućni brojevi pojavljivanja svakog pojedinog od n elemenata, pretpostavimo da je funkcija Hv (t) opet proizvod od n faktora pri čemu svaki faktor i reguliše brojeve pojavljivanja elementa u varijaciji. Polazna osnova je opet jedan izraz koji sadrži promenljive t i x1, x2, ...,xn;

Svaki faktor je reprezentovan sa po jednim svojim tipičnim sabirkom gde je jedna funkcija koju ćemo naknadno odrediti. Proizvod naznačenih sabiraka

može se napisati u obliku

gde je k=k1+k2+...+kn. Poslije množenja i unošenja x1=x2=...=xn=1 koeficjent uz treba da daje broj varijacije klase k u kojima se x1 pojavljuje k1 puta, x2 se pojavljuje k2 puta, ..., xn se pojavljuje kn puta. Na osnovu formule za broj permutacija sa ponavljanjem dolazimo do

zaključka da je

Stoga su faktori funkcije H(t) oblika , gdje su p1, p2, ... dozvoljeni brojevi pojavljivanja odgovarajućeg elementa u varijaciji.

Ako je broj pojavljivanja svih elemenata neograničen, onda dobijamo (sve) varijacije sa ponavljanjem. Stoga je odgovarajuća funkcija generatrisa

Na osnovu gore izloženog imamo

Dakle, , što je u skladu sa ranije izvedenim izrazom.

U kombinatorici se pod particijom podrazumjeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su prirodni brojevi pri čemu redosljed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi računa o redosljedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u sledećoj tabeli:


Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od tačaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram »pročita« po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.

Problem određivanja broja particija nije jednostavan i on će biti tretiran ovde tehnikom funkcija generatrisa. Broj kompozicija je određen u zadatku 9 na kraju ovog poglavlja.

Izvodimo funkcije generatrise za brojeve p(n) particija

prirodnog broja n pod izvesnim uslovima.Posmatrajmo najprije particije kod kojih su sabirci najviše jednaki m. Jedna takva particija

ima oblik

(2)

gde ki (i=1, 2, . . . , m) označava broj ponavljanja sabirka i u particiji. Tada je

(3)

Broj particija oblika (2) jednak je broju načina faktorizacije veličine tn u formi (3). Broj ovih faktorizacija je, očigledno, jednak koeficijentu uz tn funkcije

Stoga je G(t) upravo tražena funkcija generatrisa i ona se može predstaviti u obliku

Ako se ne ograniči veličina sabiraka funkcija generatrisa dobija oblik


3. Definicjia iskazne algebre

U skupu B ={0, 1} (o kome je bilo riječi u odeljku 1.1.) definišemo unarnu operaciju i binarne operacije pomoću sledeće tablice:

Ove operacije redom nazivamo: negacija, disjunkcija, konjunkcija, implikacija, ekvivalencija i ekskluzivna disjunkcija.

■ Na primjer, važe jednakosti: itd.

Definicija 1. Uređen par (B, F), gde je B={0, 1} i F={ }, naziva se iskazna algebra. Drugim riječima, skup B snabdjeven operacijama naziva se iskazna algebra.

Primjetimo da su nazivi i oznake operacija u iskaznoj algebri isti kao nazivi i oznake operacija sa rečenicama koje smo opisali u odjeljku 1.1. Ovo je, strogo govoreći, neprecizno, ali je pogodno u izvjesnom smislu i ne može da dovede do zabune ako se pojmovno pravi razlika između, na primjer, konjunkcije rečenica i konjunkcije u iskaznoj algebri i ako se simboli u svakom konkretnom slučaju pravilno interpretiraju.

Iskazna algebra je konstruisana tako da odražava odnose vrijednosti istinitosti složenih rečenica sa vrijednostima istinitosti dijelova od kojih je ona sastavljena. Ako * označava jednu binarnu operaciju iskazne algebre, odnosno odgovarajuću operaciju sa rečenicama, važi relacija

(1)

gdje su P i Q rečenice a τ R vrednost istinitosti rečenice R, što se neposredno provjerava na

osnovu definicije operacija. Takođe za unarnu operaciju (negaciju) važi Primjetimo da je u relaciji (1), simbol * upotrebljen u dva različita smisla.

Označimo odgovarajućim malim latinskim slovom vrijednost istinitosti jednog suda koji je

označen velikim latinskim slovom, tj. neka je, na primer, Τ P=p. Vrijednost istinitosti, recimo, konjunkcije P Q je jednaka p q. Na sličan način, i za složenije rečenice vrijednost istinitosti dobijamo ako veliko slovo u zapisu rečenice zamjenimo odgovarajućim malim slovom. Na

primjer, vrijednost istinitosti rečenice


4. O opisnoj teoriji skupova

U poglavlju 9 upoznaćemo formalne teorije. Formalna teorija je izvjesna matematička teorija izložena posebnim simboličkim jezikom izgrađenim specijalno za tu teoriju. U formalnoj teoriji formalizovan je i način zaključivanja. Ostale matematičke teorije nazivaju se obične ili opisne teorije. U opisnim teorijama nije eksplicitno naveden način zaključivanja već se on podrazumjeva i sastoji se od uobičajenih zakona pravilnog zaključivanja koje čovek stiče praksom.Teorija skupova je nastala krajem prošlog vjeka kao opisna matematička teorija. Tvorac teorije skupova je bio njemački matematičar G. Cantor. Od njega potiče i opisna »definicija« skupa navedena u uvodnom poglavlju (»Skup je objedinjenje izvjesnih elemenata u jednu cjelinu«). U izgradnji teorije skupova potrebno je pretpostaviti da važe izvjesne aksiome (istine koje se ne dokazuju, tj. rečenice koje prihvatamo za istinite).Kantor je implicitno koristio sledeće tri aksiome: Aksioma o jednakosti dva skupa. Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.Aksioma apstrakcije. Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x | P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.Aksioma izbora. Za svaki neprazan skup S postoji funkcija čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa a slike su elementi originala, tj.

Teorija skupova izgrađena na ovim aksiomama je protivrječna. Aksioma apstrakcije dovodi do sledeće kontradikcije poznate pod nazivom Russelov paradoks po B. Russelu koji gaje otkrio 1903. g.

Russelov paradoks. Posmatrajmo skup P svih skupova S koji nisu sami sebi element;, tj. P={

}, (Na primjer, skup nije sam sebi element jer {1, 2} {1, 2}). Može se postaviti pitanje da li je . Ako se pretpostavi P P onda je P jedan od skupova S za koje važi S S pa slijedi P P. Međutim, pretpostavka P P kaže da je P jedan od skupova S za koje je S S pa PP. Dakle, postoji kontradikcija.

Ovaj i drugi paradoksi otkriveni u teoriji skupova doveli su do njene revizije jer je bilo potrebno jednu fundamentalnu matematičku disciplinu kao što je teorija skupova osloboditi od protivrječnosti. To je dovelo i do razvoja matematičke logike (na primjer, do uvođenja formalnih teorija, između ostalog, i formalnih teorija skupova). Raznim programima revizije teorije skupova uklonjene su uočene pretivrječnosti ali nije dokazano da se nove protivrječnosti ne mogu pojaviti.


Aksioma izbora izgleda u prvi mah kao lako dokaziva teorema. Dokazati ovakvu teoremu značilo bi konstruisati funkciju koja se naziva funkcija izbora. To nije pošlo za rukom kada se radi o skupovima dovoljno komplikovane strukture. Pažljivim ispitivanjem utvrđeno je da se radi o nezavisnoj aksiomi a ne o teoremi koja je izvodiva iz ostalih aksioma.

U nekim programima revizije teorije skupova pojavljuje se pojam klase kao osnovan i opštiji

od pojma skupa. Za dve klase A i B važi A B ili A B. Klase koje su elementi drugih klasa nazivaju se skupovi.

Ovakvim definicijama obezbjeđuje se da skupovi ne mogu biti preopširni (prebogati) što i dovodi posredstvom aksiome apstrakcije do paradoksa.

Ako se opisna teorija skupova (ona se često naziva i naivna teorija skupova) primjenjuje sa izvjesnom opreznošću ona ne dovodi do paradoksa a posebno ne u vezi sa materijom izloženom u ovoj knjizi gdje se tretiraju diskretni skupovi, tj. konačni i prebrojivi skupovi (vidjeti sledeći odjeljak).

5. Formule kvantifikatorskog računa

Formule kvantifikatorskog računa definišemo najprije kao izvjesne nizove simbola. Naknadnom interpretacijom ove formule dobijaju svoj puni smisao.

Formule kvantifikatorskog računa se grade po određenim pravilima od tzv. osnovnih simbola kvantifikatorskog računa.

Definicija 1. Osnovni simboli kvantifikatorskog računa su:

1. promjenljive :

2. konstante:

3. operacijska ili funkcijska slova:

4. relacijska slova:

5. operacijski simboli:6. zagrade i zarezi.

Kod operacijskih i relacijskih slova gornji indeks j se naziva dužina slova.Najprije definišemo izvjesne nizove simbola koje nazivamo terminima (izrazima). Termini

se grade od promeniljivih, konstanti i operacijskih slova. Radi kratkoće obilježavanja uvode se izvjesne skraćenice tako da, na primjer, izvjestan niz simbola može biti označen jednim jedinim znakom (koji, naravno, ne pripada skupu osnovnih simbola kvantifikatorskog računa zbog izbegavanja konfuzije).

Definicija 2. 1° Svaku promenljivu i svaku konstantu nazivamo termom.

2° Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je za svako i niz simbola ( , t2, . . . , tn) term.3° Termi se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primjena odredbi 1° i 2° ove definicije.Primjer 3. Nizovi simbola


su termi.Naprotiv , nizovi simbola

nisu termi.

Pomoću terma i relacijskih slova obrazuju se nizovi simbola koje nazivamo elementarnim formulama kvantifikatorskog računa.

Definicija 3. Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je, za svako i, niz simbola elementarna formula kvantifikatorskog računa.

Na kraju smo u situaciji da definišemo i formule kvantifikatorskog računa (kratko, formule).

Definicija 4. 1° Elementarna formula kvantifikatorskog računa je formula.2° Ako su nizovi simbola A i B formule i ako je u promenljiva, onda su i nizovi simbola

formule.3° Formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primjena odredbi 1° i 2° ove

definicije.

Primjer 2. Nizovi simbola

predstavljaju formule od kojih su prve dve elementarne.

6. Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom

Kao što je istaknuto u uvodnom poglavlju, algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom nazivamo grupoidima. Grupoid je skup snabdjeven binarnom operacijom. Ako skup označimo sa X a. binarnu operaciju u tom skupu sa · ,odgovarajući grupoid G se označava kao uređen par G=(X, ·). Umjesto a · b ponekad ćemo pisati ab.

Grupoidi sa izvjesnim osobinama imaju odgovarajuća imena.

Definicija 1. Grupoid G=(X, · ), gde je • asocijativna operacija, naziva se semigrupa (polugrupa). Semigrupa sa jediničnim elementom naziva se monoid.

Definicija 2. Grupoid G=(X, • ), u kome za svako a, b X postoji jedinstveno rješenje jednačina a · x=b i y · a=b (po x i y respektivno), naziva se kvazigrupa.

Definicija 3. Kvazigrupa sa jediničnim elementom naziva se lupa.

Definiciji 4. Grupoid G= (X, · ) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:


Uslov 1° označava asocijativnost grupoida. Element e, čija se egzistencija utvrđuje u 2°, naziva se jedinični ili neutralni element grupoida, odnosno grupe. Element a-1 iz uslova 3° naziva se inverzni element elementa a.

Napomena Sa aspekta kvantifikaforskog računa u definiciji 4 postoji izvjesna nepreciznost. Naime, u 2° je e promjenljiva a u 3° konstanta koja obilježava element čija se egzistencija utvrđuje u 2°. Ispravno bi bilo uslove 2° i 3° predstaviti jedinstvenom formulom na sledeći način

Slična napomena važi za definiciju 7 i definiciju 1 iz 7.3.

Ako u nekom grupoidu element a ima inverzni element onda se za a kaže da je invertibilan. Na osnovu ovog može se dati i sledeća definicija grupe koja je ekvivalentna sa prethodnom.

Definicija 5. Semigrupa sa jediničnim elementom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa.

Definicija 6. Grupa G=(X, • ) u kojoj je operacija komutativna naziva se komutativna grupa ili Abelova grupa.

Primjer 1. Skup racionalnih brojeva različitih od 0 snabdjeven operacijom množenja

(brojeva) predstavlja grupu. Takođe su i grupoidi grupe.

Mnogi grupoidi sa operacijom sabiranja brojeva predstavljaju grupe (vidjeti primer 2), pa se često i u opštem slučaju grupe za oznaku operacije koristi simbol +. Ako je operacija grupe označena sa • grupa se naziva multiplikativna a ako je upotrebljen znak + grupa se naziva aditivna. Razlika između multiplikativne i aditivne grupe nije suštinska već se ogleda samo u različitoj notaciji. Definicija 4 je u multiplikativnoj notaciji. U aditivnoj notaciji neutralni element se obilježava sa 0 a inverzni element elementa a sa —a. Tako dobijamo i sledeću definiciju grupe ekvivalentnu ranije navedenim definicijama.

Definicija 7. Grupoid G= (X, +) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:

Primjer 2. Poznati primjeri aditivnih grupa su grupoidi (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +).

Primer 3. Dokazati da skup S={1, 2, ... ,p—1}, gde je p prost broj, obrazuje grupu u odnosu na množenje po modulu p. (Dva cijela broja a i b se množe po modulu m na taj način što se najprije pomnože na uobičajeni način pa se dobijeni rezultat ab podijeli sa m; ostatak pri djeljenju se zove proizvod po modulu m brojeva a i b).

Obilježićemo sa množenje po modulu p. Skup S je očigledno zatvoren u odnosu na .Da bi dokazali asocijativnost operacije , tj: (a b) c=a (b c), dokazaćemo daje


(1)

Zaista, a b= ab (mod p) i a b=ab + kp za neki cijeli broj k. Dalje je (a b) c= (ab)·c (mod p), (a b)· c=abc+kcp=abc (mod p), što daje prvu od relacija (1). Na sličan način se dokazuje i druga relacija.

Jedinični element, naravno, postoji; to je broj 1.Da bi dokazali invertibilnost elemenata iz S posmatrajmo za fiksirano a sve proizvode

(2)

elementa a sa elemetirna iz S. Među tim proizvodima nema jednakih, jer ako bi bilo i a=j za

i>i, imali bi ia=ja (mod p), tj. , a ovo je nemoguće jer p je prost broj i 1<i-j <,p-2, l<a<p-1. Prema tome, jedan od proizvoda iz (2), recimo b a; mora biti jednak 1. Dakle, b je lijevi inverzni element za a. Na osnovu komutativnosti operacije ,b je i desni inverzni element za a.

Dakle, (S, ) je grupa. Napomenimo da (S, ) ne predstavlja grupu ako p nije prost broj.

Svaka grupa je istovremeno semigrupa, kvazigrupa i lupa, obrnuto ne važi u opštem slučaju. U grupi su linearne jednačine (po x , odnosno y) ax=b i ya=b riješive. Ako se ove, jednačine

pomnože sa a-1 sa lijeve odnosno desne strane dobijaju se rješenja Dakle, grupa je kvazigrupa. Kod kvazigrupe, međutim, riješivost pomenutih jednačina ne zavisi od postojanja inverzneg elementa a-1.

Cayleyjeve tablice kvazigrupa (X, ·) (uključujući i grupe) imaju sledeću interesantnu osobinu. U svakoj vrsti i svakoj koloni tablice svi elementi su različiti, što je uslovljeno jednoznačnom riješivošću linearnih jednačina. Svaka vrsta i svaka kolona određuje jednu permutaciju skupa X. Prema tome. Cayleyjeva tablica konačne kvazigrupe može se interpretirati kao latinski kvadrat.


7. Prsten

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gde su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1 (S, +) je Abelova grupa;2 (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);

3 (tj. operacija ∙ je distributivna u odnosu na operaciju +).

Neutralni element (aditivne) grupe (S, +) obilježava se sa 0 i zove se nula prstena (S, + , ∙ ). Inverzni element elementa a S u odnosu na operaciju + obilježava se sa -a, Umjesto a+(-b) piše se a-b. Operacije +, ∙ ne moraju, naravno, da budu sabiranje i množenje brojeva.

Primjer 1. Skup cijelih brojeva Z snabdjeven operacijama sabiranja i množenja predstavlja vrlo važaa primjer prstena. Osim (Z, +, ∙) postoje i drugi prsteni brojeva: (Q, +, ∙ ), (R, +, ∙ ), (C, +, ∙ ). U navedenim primjerima prsteni su beskonačni. Postoje i konačni prstenovi; na primjer, (M, , ), gdje je M ={ 1,2,..., m-1} a i označavaju sabiranje i množenje pomeduiu m, respektivno.

Teorema 1. U proizvoljnom prstenu (S, +, ∙ ) važi relacija

Dokaz. x ∙ 0 = x ∙ (0+0) = x ∙ 0 + x ∙ 0. Označavajući x ∙ 0 sa y dobijamo y=y+y. »Dodavanjem« elementa (- j) obijema stranama ove relacije dobija se y=0, tj. x ∙ 0 = 0. Na analogan način se dokazuje relacija 0 ∙ x = 0.Ovim jo dokaz završen.

Konstruisaćemo sve prstenove sa 1 i 2 elementa. Postoji samo jedan prsten sa jednim elementom. Obeležimo jedini element prstena sa 0. Cayleyjeve tablice za operacije + i ∙ su

Postoje dva prstena sa dva elementa


Aditivna grupa je u oba slučaja jedina grupa sa dva elementa (ciklička grupa), U konstrukciji Cayleyjevih tablica za ∙ teorema 1 ograničava broj mogućnosti. Prvi od ova dva prstena naziva se

nula prsten. Drugi prsten je izomorfan sa prstenom ({0, 1}, , ) koji je konstruisan u vezi sa iskaznom algebrom. Izomorfnost se uviđa upoređivanjem Cayleyjevih tablica

sa ranije navedenim tablicama.Primjetimo da ovaj prsten ima neutralni (jedinični) element za drugu operaciju. Elementi

ovog prstena su idempotentni u odnosu na ∙ , tj. za svako x je x ∙ x = x.

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakie, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je ljevi (odnosno, desni) djelitelj nule ako postoji b 0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0). Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djelitelji nule naziva se oblast cjelih (ili područje integriteta).

Primjer 2. U prstenu ({0,1, 2, 3, 4, 5}, , ), gde odnosno označavaju sabiranje odnosno množenje po modulu 6, postoje djelitelji nule. Pošto je 2 3 = 3 2=0, 2 i 3 su djelitelji nule. Prsten (M, , ) iz primjera 1 je oblast cjelih ako je m prost broj.

U području integriteta važi implikacija

Analogno pojmu podgrupe kod grupa uvodi se za prstenove pojam podprstena.

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ).

Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sledeći uslovi:1° (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x - y T.2° (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

Svaki prstenje podprsten samoga sebe. Takođe, skup koji sadrži samo nulu jednog prstena je podprsten tog prstena. Ovakvi podprstenovi nazivaju se trivijalni podprstenovi.


Specijalni tipovi podprstena pojavljuju se prilikom generalizacije pojma relacije kongruencije po modulu prirodnog broja. Navedimo najprije neke osobine ove relacije definisane u skupu celih brojeva Z,

Relacija kongruencije po modulu m je relacija ekvivalencije u Z (vidjeti primjer 4 iz 1.3) i ona je saglasna sa operacijama + i ∙ u Z u sledećem smislu:

Drugim rečima klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju kongruencije po modulu m) zbira, odnosno proizvoda, dva cjela broja zavisi samo od klasa ekvivalencije tih brojeva a ne i od toga koje smo konkretne brojeve iz tih klasa ekvivalencije izabrali. (Ova osobina relacije kongruencije objašnjava na još jedan način zašto se takve osobine operacija + i ∙ u Z, kao što je, na primjer, asocijativnost, preinose na operacije i sabiranja i množenja po modulu m iz primjera 3 iz 6.1. Vidjeti i primjer 1 iz ovog odeljka).

U proizvoljnoj algebarskoj strukturi pod relacijom kongruencije podrazumjeva se svaka relacija ekvivalencije koja je saglasna sa svim operacijama strukture.

Može se pokazati da je relacija kongruencije po modulu m jedina relacija kongruencije u prstenu cjelih brojeva.

U proizvoljnom prstenu relacije kongruencije se definišu pomoću specijalnih podprstenova koji se zovu ideali.

Definicija 6. Skup I se naziva ljevi, odnosno desni, ideal prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1° (1, +) je podgrupa grupe (S, +);

2° odnosno

Ako je I i ljevi i desni ideal, on se naziva ideal.

Očigledno je svaki ideal podprsten. U komutativnem prstenu je svaki ljevi ideal istovremeno i desni, i obrnuto.Idealski uslovi 2° iz definicije 6 se izražavaju pogodno pomoću

S ∙ I I, I - S I,

gde je uveden »proizvod« A ∙ B skupova A i B (A, B S) pomoću

U prstenu cjelih brojeva ideali su skupovi oblika Im={m ∙ a | a Z}. Za m=2 dobijamo da skup parnih brojeva predstavlja jedan ideal. Taj ideal je ujedno jedun od klasa ekvivalencije u odnosu na relaciju (mod 2).U proizvoljnom prstenu definiše se kongruencija po modulu nekog ideala.

Definicija 7. Neka je I ideal prstena (S, +, ∙ ). Relacija kongruencije po modulu ideala I u skupu S definiše se pomoću


Ideal je igra kod prstenova onu ulogu koju invarijantne podgrupe igraju kod grapa. (Uporediti relaciju kongruencije po modulu ideala sa relacijom kongruencije po modulu invarijantne podgrupe)!

Neka je S/I količnički skup skupa S u odnosu na relaciju kongruencije po modulu ideala I. Lako se uviđa da je

gdje je

Vidi se da je I+x klasa razvoja po invarijantnoj podgrupi (I,+) grupe (S, +).Skupovi I+x zovu se klase razvoja po idealu I.U skup S/I uvode se operacije i pomoću

Može se pokazati da su ovako definisane operacije »dobro«.definisane.Struktura (S|I, , ) je prsten koji se naziva količnički prsten. On je homo-

morfna slika polaznog prstena (S, +, ∙).

Primjer 3. Količnički prsten prstena (Z, +, ∙) u odnosu na ideal I=mZ={m ∙ n | n Z} je prsten ({0,1,2,... ,m-1}, , ) iz primera 1.

8 Stablo

U mnogim problemima veliku ulogu igra pojam stabla (drveta). Stablo se može definisati kao povezan graf sa n(>1) čvorova i m=n-1 grana. Na sl. 1 prikazana su sva stabla sa najviše 6 čvorova.Navešćemo neke osobine stabla.

a) Stablo sadrži bar dva čvora stepena 1. Zaista, ako bi pretpostavili suprotno

— da su stepeni d1, d2, . . . , dn, čvorova 2, bilo bi 2m = 2n, tj. m n, što protivreči činjenici da je m=n-1. Slučaj, u kojem su svi čvorovi stepena 2 osim jednog koji je stepena 1, ne dolazi u obzir na osnovu teoreme 1 iz 1.6. Naravno, čvorovi stepena 0 ne dolaze u obzir jer je graf povezan.

b)Stablo je graf koji ne sadrži nijednu konturu. Dokaz se jednostavno izvodi indukcijom. Za n=2 iskaz je tačan. Pretpostavimo da je iskaz tačan za stablo sa


Sl.1

n-1 i čvorova. Stabio sa n čvorova sadrži prema a) bar jedan čvor stepena 1. Udaljavanjem ovog čvora iz grafa zajedno sa odgovarajućom granom dobija se stablo su n-1 čvorova, koje prema induktivnoj pretpostavci nema kontura. Posle vraćanja udaljenog, čvora na svoje mjesto, dolazimo do zaključka da i stablo sa n čvorova ne sadrži konture.

c) Udaljavanjem bilo koje grane iz stabla dobija se graf koji nije povezan. Neku je udaljena grana koja povezuje čvorove x1 i x2. Ako bi se poslje udaljavanja ove grane dobio povezan graf, morao bi u stablu postojati put (elementarni) koji ne sadrži udaljenu granu, a koji povezuje x1 sa x2. Ovaj put bi sa granom (x1,x2) obrazovao konturu u stablu, stoje u kontradikciji sa osobinom b).

d) Ako se u stablo uključi proizvoljna nova grana, dobija se graf (multigraf) koji ima tačno jednu konturu. Ovo je očigledno s obzirom na činjenicu da su čvorovi između kojih je uključena nova grana povezani u stablu jednim puteni. Grane ovog puta sa novom granom obrazuju konturu.Osobine stabla su pregledno izložene u sljedećem stavu:

Teorema 1. Neka je G graf sa n (n> l) čvorova. Sljedeći iskazi o G su ekvivalentni:(1) G je povezan i ne sadrži konture;(2) G ne sadrži konture i ima n-1 grana;(3) G je povezan i ima n-1 grana;(4) 0 ne sadrži konture, ali dodavanjem nove grane između proizvoljna dva čvora obrazuje se bar jedna kontura;(5) G je povezan ali gubi to svojstvo ako se udalji njegova proizvoljna grana;(6) Svaka dva čvora su u G spojena tačno jednim elementarnim putem.

Ekvivalencija nekih od ovih iskaza je već dokazana.Svaki od navedenih šest iskaza se može uzeti za defiaiciju stabla. Ostalih pet iskaza

predstavljaju tada teoreme koje se dokazuju.

Teorema 2. Svaki povezan neorijentisan multigraf bez petlji sadrži djelimični graf oblika stabla.

Dokaz. Udaljimo iz grafa proizvoljnu granu koja pripada nekoj konturi. Ponavljamo ovaj postupak dokle god u grafu postoji neka kontura. Pošto se na ovaj način ne može narušiti povezanost grafa, na kraju se dobija povezan graf bez kontura, tj. stablo.


Ovim je dokaz završen. Graf čije sve komponente povezanosti predstavljaju stabla naziva se šuma. Neorijentisan

multigraf bez petiji poseduje bar jedan djelimični graf oblika šume. Šuma se može odrediti na taj način što se u svakoj komponenti povezanosti grafa odredi jedno stablo postupkom iz teoreme 2. Ako graf ima n čvorova, m grana i p komponenata povezanosti, šuma se sastoji od p stabala odnosno n-p grana. Broj grana proizvoljne šume grafa naziva se rang grafa i obilježava se sa r(G). Dakle, r(G)=n-p. Da bi se dobila šuma, iz grafa je potrebno udaljiti m-n+p grana. Veličina c(G)=m-n+p naziva se ciklomatički broj ili nultost grafa.

Pojam stabla odnosno šume je bitan u vezi sa jednini algoritmom za konstrukciju nezavisnih kontura.

Neka je u multigrafu G određena jedna šuma. Proizvoljna grana, koja ne pripada šumi obrazuje sa granama iz šume tačno jednu konturu grafa G. Svaka od kontura grafa G, koja se obrazuje, prolazi kroz jednu granu kroz koju ne prolazi nijedna druga, ovakva kontura. Proizvoljan skup ovakvih kontura je linearno nezavisan.

9. Definicija formalne teorije

Kod običnih (neformalnih) aksiomatskih matematičkih teorija uvode se najprije, pomoću definicija, objekti teorije. Zatim se za aksiome (postulate, istine koje po pretpostavci važe i koje se ne dokazuju) prihvataju neke rečenice koje povezuju izvesne objekte teorije. Teoremama teorije nazivaju se rečenice koje se logičkim pravilima izvode iz aksioma i već dokazanih teorema. Pri ovome se logička pravila ne ističu posebno u teoriji već se podrazumevaju. Ovakav način izvođenja teorema naziva se sintaktički. Postoji i tzv. semantički način izvođenja kod koga se analizira značenje rečenica koje se pojavljuju u dokazu teoreme a teoremom se smatra rečenica koja je tačna ako su tačne aksiome.

Formalne teorije se grade uz dosta sličnosti sa običnim matematičkim teorijama. Pojam formalne teorije objašnjavamo najpre opisno a zatim dajemo formalnu definiciju.

Za formalnu teoriju najprijese definiše skup (azbuka) njenih osnovnih simbola (slova). Konačni nizovi slova su reči. Izvesne reči se definicijom proglašavaju formulama teorije. Formule teorije odgovaraju rečenicama kod običnih teorija. Definicija formula je takva da se može efektivno utvrditi za svaku zadatu reč da li je formula ili nije. Izvesne formule se proglašavaju aksiomama teorije. Opet, uvek se može efektivno utvrditi da li je zadata formula aksioma. Konačno, data su i pravila izvođenja u formalnoj teoriji. Svako pravilo je neka (n-arna) relacija u skupu formula. Opet postoji efektivan postupak za odlučivanje da li su bilo koje formule u relaciji ili ne. Ako su formule A1. A2,...., An u, relaciji a kaže se daje An direktna posljedica formula A1, A2,..., An-1 po pravilu izvođenja . Formalna teorija je određena skupom osnovnih simbola, skupom formula, skupom aksioma i skupom pravila izvođenja.

Definicija 1. Formalna teorija je uređena četvorka = ( , , , ), gdje je:1° (skup osnovnih simbola) neprazan, konačan ili prebrojiv skup;


2° (skup formula) podskup skupa reči formiranih od osnovnih simbola pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je svaka zadata riječ formula ili ne;

3° (skup aksioma) podskup skupa , pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je svaka zadata formula aksioma ili ne;

4° (skup pravila izvođenja) konačni skup relacija skupa pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li su bilo koje zadate formule u jednoj od relacija iz skupa .

Kao što se vidi formalne teorije su definisane po ugledu na obične matematičke teorije. Dajemo još neke definicije u vezi sa formalnim teorijama.

Definicija 2. Konačan niz formula A1. A2,...., An formalne teorije naziva se za izvođenje ili dokaz u teoriji . ako je svaka, od formula u nizu ili aksioma ili direktna posledica nekih prethodnih formula u nizu po jednom od pravila izvođenja teorije , Formula A je teorema teorije

(šio se označava sa: A) ako postoji bar jedan konačan niz formula koji predstavlja izvođenje u pri čemu je posljednja formula u nizu formula A.

Definicija 3. Formalna teorija je odlučiva ako postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je bilo koja zadata formula iz teorema u .

Definicija 4. Za formulu A teorije kažemo da je posljedica skupa formula teorije

ako postoji konačan niz formula u kome je svaka formula ili aksioma ili pripada ili je direktna posljedica nekih prethodnih formula niza po nekom od pravila izvođenja.

10. Operacije sa događajima

U ovom poglavlju ćemo, u skladu sa intencijama ove knjige, opisati one djelove računa vjerovatnoće koji se odnose na diskretne slučajne pojave.

Izlaganje osnova računa vjerovatnoće je jasnije ako se, umjesto primjera iz stavrnog života, radi sa primjerima iz raznih igara na sreću. Tako se u svim kursevi-ma teorije vjerovatnoće srećemo sa bacanjem novčića ili kockice za igranje, sa izvlačenjem različito obojenih kuglica iz kutije (model urni) ili sa izvlačenjem karata iz špila.

U svim navedenim primjerima se radi o jednoj slučajnoj pojavi koja može da ima više ishoda. Pri bacanju novčića on može da padne »grbom« ili »pismom« na gore. Na bačenoj kockici može da se pojavi jedna, dve, tri, četiri, pet ili šest tačkica. Ako iz špila od 32 karte nasumice izvučemo jednu, očigledno je da postoje 32 moguća ishoda jer izvučena karta može da bude bilo koja karta.

Različite ishode jedne slučajne pojave zvaćemo elementarnim događajima. Pod događajem u smislu računa verovatnoće podrazumevamo bilo koji elementaran događaj (ishod) ili bilo koju grupu elementarnih događaja (ishoda) jedne slučajne pojave. Objasnićemo to na primjerima.

Pojavljivanje šestice prilikom bacanja kocke može da se smatra kao događaj. Isto se može reći za pojavljivanje jedinice, dvojke itd. Grupu elementarnih događaja dvojka — četvorka — šestica, takođe, možemo smatrati događajem koga bismo mogli nazvati: pojavljivanje parnog broja prilikom bacanja kocke.


Događaj »prilikom izvlačenja jedne karte iz špila karata izvučena karta je tref« se sastoji od osam elementarnih događaja jer izvučena karta može biti bilo koja od osam karata trefove boje. Događaj »izvučena karta je as« se očigledno sastoji od četiri elementarna događaja.Kao što je rečeno, događaje obeležavamo velikim slovima latinice.

Suprotan događaj događaju A, koji obeležavamo sa , i čitamo »non A«, definiše se kao događaj koji se sastoji od svih elementarnih događaja koji ne ulaze u A, 'Tako, na primjer, prilikom bacanja novčića događaj »ispao je grb«, je suprotan događaju »ispalo je pismo«. Za događaj »prilikom bacanja kocke pojavio se paran broj«'suprotan događaj je »pojavio se neparan

broj«, tj. »pojavila se ili jedinica ili trojka ili petica«. Događaj se, dakle, sastoji u tome što se događaj A nije desio.

Zbir događaja A i B je događaj C koji se sastoji od svih elementarnih događaja koji ulaze bilo u događaj A bilo u događaj B. Tada se piše C=A+B. Na primjer, prilikom bacanja kocke zbir događaja »pojavio se paran broj« i događaja »pojavio se broj koji nije djeljiv sa tri« je događaj »nije se pojavila trojka«. Zaista, prvi događaj se sastoji od elementarnih događaja koje ćemo označiti redom sa 2, 4, 6 a drugi od elementarnih događaja 1, 2, 4, 5. Zbir se sastoji, prema uvedenoj defi-niciji, od elementarnih događaja 1, 2, 4, 5, 6, što se kratko može formulisati pomoću nije se pojavila trojka«.Zbir dva događaja A i B je, dakle, događaj koji nastaje nastupanjem ili događaja A ili događaja B ili i A i B zajedno.Nasuprot ovome, proizvod događaja A i B je događaj C koji nastupa ako se dese i A i B. Elementarni događaji događaja C ulaze i u događaj A i u događaj B. Za proizvod se piše C=A∙B.Proizvod već navedenih događaja »pojavio se paran broj« i »pojavio se broj koji nije djeljiv sa. tri« je događaj »pojavila se dvojka ili četvorka«. Zaista, 2 i 4 su jedini elementarni događaji koji se sadrže u prvom i u drugom događaju.Prilikom izvlačenja jedne karte iz špila karata proizvod događaja »izvučen je as« i događaj »izvučen je tref« je očigledno događaj »izvučen je trefov as«.Operacije sa. događajima su, u stvari, operacije sa skupovima. Zbir događaja se svodi na uniju skupova, proizvod na presjek a negaciji odgovara komplement skupa. Algebra događaja koji su u vezi sa jednom slučajnom pojavom je algebra skupova za koju je univerzalni skup jednak skupu elementarnih događaja posmatrane slučajne pojave.Zbog navedenog, za operacije sa događajima važe sve relacije iz algebre skupova. Važnije od ovih relacija su već navedene u odjeljku 4.3. i neće ovde biti ponavljane.Na primjer, prve dvije od relacija (1) iz 4.3. u kontekstu računa vjerovatnoće znače da je događaj

A + siguran a daje događaj A ∙ nemoguć.Za operaciju negacije važe relacije


11. O teoriji igara

Teorija igara je matematička teorija konfliktnih situacija. Veoma je teško precizirati šta se u realnom životu podrazumeva pod konfliktnom

situacijom. Najopštije, može se reći da je konflikt, situacija u kojoj dolazi do sukoba interesa pojedinih učesnika. Preciznije, pod konfliktnom situacijom podrazumjevamo svaka situacija u odnosu na koju ima smisla da se postave sljedeća pitanja: ko i kako učestvuje u njoj, koji su njeni mogućni ishodi, ko je za pojedine od tih ishoda zainteresovan i u čemu se sastoji ta zairiteresovanost.

Osnovni pojam teorije igaraje igra. Igra je matematički model realne konfliktne situacije. Igra se od realne konfliktne situacije razlikuje prvenstveno po tome što se odvija po tačno utvrđenim pravilima igre. U realnom konfliktu pravila ponašanja učesnika nisu u potpunosti precizirana. Osim toga, učesnici vođeni svojim interesima mogu i da prekrše eventualno postojeća pravila.

Osnovni zadatak teorije igara je određivanje optimalnog načina ponašanja u uslovima konflikta (koji mogu uz to biti komplikovani i prisustvom slučajnih pojava).

Temelje teorije igara je postavio J. von Neumann 1928. god. Preteča teorije igaraje E. Zermelo, koji je 1912. god. na primjeru zahavske igre izveo jednu važnu teoremu teorije igara.

Teorija igara se primenjuje prvenstveno u ekonomskim i vojnim naukama ali takođe i u tehničkim.

12. Literatura

Diskretne Matematičke Strukture – Prof. Dr Esad Jakupović


Matematika 2 seminarski

Documents

Transcript of Matematika 2 seminarski