Matematiikkalehti3/2000–2001

Erikoisnumero aiheena:

ALGEBRAN KOKEILU

MALU 2002 -ohjelma

Koonnut Marjatta Naatanen

http://www.math.helsinki.fi/Solmu/

2 Solmu

Solmu 3/2000–2001

Erikoisnumero aiheena:Algebran kokeiluMALU 2002 -ohjelmaKoonnut Marjatta Naatanen

Matematiikan laitosPL 4 (Yliopistonkatu 5)00014 Helsingin yliopisto

http://www.math.helsinki.fi/Solmu/

Kannen kuva Pythagoraan puu -fraktaali, koodaus Harm Derksenc© 2000 Waterloo Maple Inc.

Graafinen avustaja Marjaana Beddard

Tama Solmun erikoisnumero toteutettiin Helsingin yliopiston matematiikan laitoksella jarjestetylla kurssilla,jonka ohjaajana toimi Mika Koskenoja. Lehden toteutuksesta vastasi Sanna-Maria Ojanen.

Kiitamme Jenny ja Antti Wihurin rahaston tuesta.

Solmu 3

Erikoisnumero aiheena:

ALGEBRAN KOKEILU

MALU 2002 -ohjelma

Koonnut Marjatta Naatanen

Sisallys

Selvityksia oppimistuloksista kaytettaessa eri maista peraisin olevia oppimateriaaleja.

Marjatta Naatanen: Algebran kokeilu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Olga Wolkoff: Oppikirjan sisallon vaikutus oppilaiden matematiikan taitoon. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Solmu

Algebran kokeilu

Marjatta Naatanendosenttimatematiikan laitosHelsingin yliopisto

MALU 2002 -ohjelmasta

MALU 2002 -ohjelmassa rahoitettiin projekteja, jot-ka liittyvat matematiikan ja luonnontieteiden ke-hittamiseen. Haun takaraja oli 3.10.1997. Kolmella ul-komaisella asiantuntijalla taydennetty arviointipanee-li piti kaksipaivaisen kokouksen Helsingissa vuoden1997 loppupuolella ja paatyi yksimieliseen suosituk-seen. Ohjelmatyoryhma muutti taman jalkeen jonkinverran projekteille ehdotettuja maararahoja. Lopulli-set paatokset tekivat Suomen Akatemian toimikunnat,joissa viela tapahtui jonkin verran muutoksia. Rahoi-tuspaatos tuli myohaan kevaalla 1998 ja rahoituskausialkoi 1.6.1998.

Algebran kokeilu oli osa MALU 2002 -ohjelmassa ra-hoitettua projektiani. Muut osat projektia ilmestyivatSolmun erikoisnumeroina 3/1998–1999 ja 4/1998–1999.Lisatukea saatiin Jenny ja Antti Wihurin rahastolta.

Kokeilun kaytannon jarjestelyjenongelmia

Rahoituspaatos viivastyi niin paljon, etta oli ongelmal-lista ja tyolasta kerata kokeiluun halukkaat opettajat.Rahoituskausi oli myonnetty vain 1,5 vuodeksi, joten

ainoa kokonainen kouluvuosi oli 1998–99. Aloitusta eisiis voitu myohentaa, vaikka rahoituksen myohainenaloittamisajankohta aiheutti vaikeuksia toiminnankaynnistamiselle ja syksyn suunnittelulle. Tarkea jasuuri materiaalien valmistus- ja kaannostyo olisi olluthuomattavasti helpompaa ja miellyttavampaa tehdamuulloin kuin kesalomien aikana. Ensimmaisena vuon-na ei projektin kaynnistamiseksi pakollista toukokuuntoimintaa voitu rahoittaa normaalilla tavalla projektinvaroista. Rahoituskauden pidentaminen ja aientaminenei olisi maksanut mitaan, mutta olisi poistanut pal-jon ylimaaraista tyota ja hankaluutta. Nain olisi jaanytmyos enemman aikaa suunnitella kaytannon jarjestelytja lopputulos olisi ollut erittain todennakoisesti parem-pi.

Kokeilun jarjestelyt

Kokeiluun osallistui kaksi ryhmaa, toinenpaakaupunkiseudulta, toinen Ita-Suomesta. Kaikki 24opettajaa olivat vapaaehtoisia. Opetusryhmia oli 47.Alunperin oli ajatuksena, etta kullakin opettajalla olisivahintaan kaksi rinnakkaista opetusryhmaa, toinen oli-si kontrolliryhma, toinen kokeiluryhma. Ryhmat valit-tiin koe- tai kontrolliryhmiksi niin, etta kokeluryhmaksi

Solmu 5

valittiin joka toinen kerta se, jolla oli korkeampi mate-matiikan keskiarvo. Sama opettaja opettaisi siis tois-ta ryhmaa tavalliseen tapaan, toista kayttaen osittaintavallista oppikirjaa, osittain kokeilumateriaalia. Josopettajalla oli useampia rinnakkaisia ryhmia, valittiinniista vastaavasti jarjestyksessa joka toinen kokeilu-ryhmaksi. Mukana oli opettajia, joilla oli vain yksiryhma, mutta myos sellainen, jolla oli viisi rinnakkais-ta ryhmaa.

Kokeilumateriaali

Oppilasryhmat olivat paaosin 7. luokkia, mutta muka-na oli myos joitakin 8. luokan ryhmia. Kurssimuotoi-suuden takia koulut voivat edeta eri jarjestyksessa, jo-ten yhteisen kokeilumateriaalin valitseminen oli ongel-mallista. Valittu oppisisalto oli Ranskassa 13-vuotiailleja Venajalla 12-vuotiaille opetettua. Suomalaiset oppi-laat olivat siis 13–14-vuotiaita, ikatasoituksesta huo-limatta materiaali osoittautui suomalaisille var-sin vaativaksi.

Kokeilumateriaali kaannettiin kesaloman aikanavenajan- ja ranskankielisista kirjoista. Teksteihin vii-tattiin vain monisteen kannen varin avulla ”keltainen”ja ”vihrea” moniste, jottei aiheutettaisi vinoutumaa.

Ranskalainen materiaali oli lahtoisin kirjasta Les Car-nets de 4e Mathematiques, cours/exercices, tekija Mic-hel Goutodier (college Juliette Adam, Gif-sur-Yvette),kustantaja Hatier, Paris, 1991.

Venalainen kirja oli Algebra. Ucebnik dlja 6 klassa sred-nej skoly . Pod redakciej S. A. Teljakovskogo. Avtory:Ju. N. Makarycev, N. G. Mindjuk, K. S. Muravin, K.I. Neskov, S. B. Suvorova. Moskva. Prosvescenije 1985.

Opettajien valmennus

Opettajille jarjestettiin kaksi kokoontumista, joissa ker-rottiin kokeilun yleisia ideoita, prof. George Malaty an-toi koulutusta ja opettajat kyselivat ja keskustelivatasioista. Kokeilun aikana opettajiin pidettiin yhteyttasahkopostilla, jos he sita kayttivat, muuten kirjeilla japuhelimella. Noin neljasosa ei kayttanyt sahkopostia.Opettajilta pyydettiin kommentteja ja kokemuksia ko-keilun aikana.

Kaytetyt testit ja oppilaiden taus-tatiedot

Lukukauden alussa tehtiin oppilaille Kasselin alkutes-tista (luvut) 28 tehtavaa ja lukuvuoden lopussa sama

testi ja lisaksi Kasselin algebra-testi. Oppilaiden tie-doista kerattiin viimeinen matematiikan arvosana jakeskiarvo.

Kokeilun tavoitteet

Tavoitteena oli selvittaa suomalaisten oppimistuloksia,kun kaytettiin ranskalaista ja venalaista oppimateriaa-lia – joka oli siis tarkoitettu 1–2 vuotta nuoremmille.Venajan ja Ranskan didaktiset koulukunnat korostavatomaa ajattelua, eika pelkkaa ”saantojen noudattamis-ta”. Algebraa harjoitellaan ensin luvuilla, sitten vastasiirrytaan symbolien kayttoon.

Vaihe, jossa siirrytaan ns. ”kirjainlaskentaan” seka ope-tetaan polynomien ja yhtaloiden alkeet, on tarkea, kos-ka siina siirrytaan abstraktisuudessa ylemmalle tasol-le. Mikali tama epaonnistuu, se haittaa huomattavastimyohempia opintoja.

Opettajille annettiin esim.tallaisia ohjeita opetustyylista ko-keiluluokilla:

– Valitkaa vaikka vain pari tehtavaa kultakin sivulta.Antakaa tarvittaessa ainakin aluksi tehtavia, jotkaesittavat saman idean pienilla luvuilla.

– Edetaan kyllin hitaasti, laatu on tarkea, ei maara.Kyseessa on ajattelutapa. Oppilaille annetaan ilohuomata, etta matematiikassa saadaan sama vas-taus, vaikka on kaytetty erilaisia ratkaisutapoja(edellyttaen tietenkin, ettei ole tehty virheita).

– Tehtavia ratkaistaessa on tarkeaa kirjoittaavalivaiheet. Nain pystytaan nakemaan, mi-ten on paatelty ja voidaan loytaa virheet.Yhtasuuruusmerkin kaytto opitaan alusta alkaenoikein.

– Laskimen kayttoa ei rohkaista, vaan painote-taan oman paan kayttoa. Laskimet ja koneethyodynnetaan vasta myohaisemmassa vaiheessa, sit-ten, kun tarpeellinen perusta on jo opittu.

Esimerkkeja:

1. (97 + 68) + 3

On opetettu: ”sulut aina ensin”. Kehotetaan oppi-laita miettimaan, onko tama aina hyva menettely.Tassa esimerkissa otetaan yhteenlaskun vaihdanta-ja liitantaominaisuudet kayttoon, esimerkkina voikayttaa: Sain eilen 97 mk ja 68 mk, tana aamuna

6 Solmu

viela 3 mk, paljonko sain kaikkiaan? Tehtava voi-daan ratkaista helposti seuraavasti:

(97 + 68) + 3 = (97 + 3) + 68 = 100 + 68 = 168.

2. Tehtava (0,47 · 0,4) · 25 voidaan ratkaista vastaavas-ti kuin edella. Tehtava on helpompi, jos se muute-taan kertolaskun vaihdanta- ja liitantaominaisuuttakayttaen:

(0,47 · 0,4) · 25 = 0,47 · (0,4 · 25)

= 0,47 ·(

4

10· 25

)

= 0,47 ·(

100

10

)

= 0,47 · 10 = 4,7.

Kysymykseen ”enta, jos onkin 27 eika 25?” voidaanvastata esim. etta 27 voidaan kirjoittaa muotoon25 + 2 ja tehda jotakin samantapaista kuin edella.

3. 3,27− 6,5− 2,5 + 1,73

Tehtava voidaan ratkaista vaihdanta- jaliitantaominaisuuksien perusteella:

3,27− 6,5− 2,5 + 1,73

= (3,27 + 1,73) + (−6,5− 2,5)

= 5 + (−9) = −4.

4.

7 · 23

7= 7 ·

(2 +

3

7

)= 7 · 2 +

(7 · 3

7

)

= 14 + 3 = 17.

5.

16, 94

2, 8=

1694

100· 10

28=

121

20

=5 · 121

5 · 20=

605

100= 6,05;

tassa ratkaisussa on kaytetty supistamista ja laven-tamista (28 = 2 · 14).

Yleisia ohjeita opettajille

– On hyva kertoa, etta matematiikan nautinto ei olesuorituksia ja vastauksia, vaan omia ajatuksia japaattelya.

– Suurin este matematiikan oppimiselle on pelko.

– Pieni asia, jota ei ole ymmartanyt, estaa jatkonymmartamisen.

– Tehtavia katseltaessa etsitaan, onko luvuissa jo-tain erikoista, sitten vasta ryhdytaan toimeen.Kaytetaan omaa paata, kokeillaan, leikitaan. Mate-maatikko on itsepainen, han ei anna periksi.

– Ruutupaperin kaytto ei ole suositeltavaa, paperi oh-jailee esim. piirtamaan nelion, kun pyydetaan neli-kulmio ja laskemaan mekaanisesti allekkain.

– Kokeiden teossa kokeiluryhmalle on tarkoitus testa-ta sita, mita talle ryhmalle on opetettu.

– Tavallista oppikirjaa kaytettiin tarvittaessa lisanakokeiluryhmalle, mutta samalla ajattelutavalla kuinkokeilumateriaalia.

– Vastuksia keltaiseen monisteeseen ei annettu. Perus-teluna oli, etta vastaukseen tyytyvaa tai painottu-vaa tai pyrkivaa lahestymistapaa ei haluttu koros-taa, vaan oppilaille yritettiin selvittaa, etta ajatte-lutavat ja tyotavat ovat paaasia.

Opettajat, jotka keskeyttivat ko-keilun

Yhdeksantoista opettajaa teki kokeilun loppuun lop-putestia myoden. Yksi opettaja keskeytti vakavan sai-rastumisen takia, sijainen jatkoi kokeilua, mutta il-man alun orientaatiota. Eraan opettajan koulun uusitaiteellispitoinen pedagoginen orientaatio ei ollut yh-teensopiva kokeilun kanssa, muutama opettaja uupuitehtaviensa paineessa, jollakin oli erityisen vasyttavaryhma, koska sille oli keratty kokoelma taustaltaanmuista poikkeavia oppilaita.

Yleista taustaa ja kokeilun tavoit-teita

Oppilailla on erittain vahvana kasitys matematii-kasta mekaanisena tehtavien ratkaisemisena. Tavoit-teena oli mekaanisen suorittamis- ja ajattelutavanvahentaminen, matematiikan rakenteen tuominen esiinja oppiminen pala palalta, oman ajattelun stimuloimi-nen, eri ratkaisujen etsimisen korostaminen.

Algebran suhteen kaytettiin harjoittelua luvuilla, jottasiirtyminen symboleihin (kirjainlausekkeisiin) olisi poh-justettu.

Yleisena periaatteena oli ”laatua maaran kustannuk-sella”. Tehtavia oli tarkoitus ratkoa etsimalla hyvia jaerilaisia ratkaisuja, ei vain ”vasemmalta oikealle, su-lut ensin” jne. tyylilla. Tarkoituksena oli myos antaaoppilaille alyllisia haasteita; ei mekaanisesti saantojenmukaan, vaan harkiten ja tutkien, mika milloinkin olisiparasta.

Solmu 7

Opettajilta tullutta palautetta ly-hyesti koottuna:

Ala-asteelta tulevia ongelmia ja opettajien ehdotuksia:

– annetaanko ala-asteella liian hyvia arvosanoja?

– ei osata kertotaulua (kaytetty liikaa laskinta?),

– ei ymmarreta esim. etta 3 18 tarkoittaa 3 + 1

8 ,

– ala-asteella ei tulisi yrittaakaan opettaa murtoluku-jen jakamista,

– uusi jakokulma sekottaa,

– geometrian nimitykset sekaisin, esim. pallo ja ym-pyra,

– oppilailla on hyvin erilaiset pohjatiedot.

Kokeilun alussa

– oppilaat olivat yleensa innostuneita, mutta jotkutolisivat halunneet kirjan eika monisteita,

– alkuvaikeuksia oli, joidenkin into vaheni, kokeilutuntui liian vaikealta,

– oppilailla ei ollut rutiinia paassalaskussa,

– luvut olivat liian suuria, heikoimmat eivat jaksaneetkeskittya. Tasta ongelmasta opettajat selvisivat te-kemalla vastaavanlaisia esimerkkeja pienemmilla lu-vuilla. Eraan oppilaan kommentti: ”Mun kaverin iso-siskollakaan ei ole nain vaikeita tehtavia lukiossa.”

– opettajilla oli vaikeuksia ”paasta sisaan”, he olisivattarvinneet useampia yhteisia tapaamisia alussa,

– vanhemmat vaikuttivat tyytyvaisilta, jotkut ihmet-telivat aineiston vaativuutta, mutta tukivat kuiten-kin ajatusta ”vaatia saa, kunhan pysytaan kohtuu-dessa, siten nuoret saadaan oppimaan enemman”,

– eteneminen oli yleensa hyvin hidasta,

– koko esimerkin kirjoittaminen kaikkinevalivaiheineen tuntui toisille oppilaille ylivoimaisenvaikealta, mutta osa oppi sen hyvin,

– osa oppilaista ei yksinkertaisesti nayttanyt jaksavanponnistella juuri lainkaan.

Monisteiden ja kirjan kaytosta rinnakkain

– tuntuu onnistuneen, mutta oli myos ongelmia,

– keltaiseen monisteeseen olisi toivottu vastauksia,

– viittaukset aikaisempaan tekstiin olivat ongel-mallisia, koska aikaisempaa tekstiahan ei ollutkaytettavissa, ala-asteella taas ei valttamatta oltukasitelty tai opittu k.o. asioita.

Kotitehtavat

– tarkastettaessa kotitehtavia vain harvoilla oli oikealopputulos, mutta oppilaat eivat masentuneet tasta.Eras opettaja ehdotti vastausten antamista valmiik-si, jolloin vain kontrolloitaisiin, etta tehtavat on suo-ritettu mielekkaalla tavalla.

Oppilaiden vaikeuksia

Osalla oppilaista oli huono pohja. Esim. kertotaulua eiosattu eika aina haluttukaan oppia. Vaikeuksia tuot-tivat myos desimaaliluvut, supistaminen ja jakolaskut,potenssilausekkeiden sieventaminen, pitkat yhteen- javahennyslaskut, suurilla luvuilla laskeminen. Vaike-aa oli myos ymmartaa 0:lla kertomisen merkitys, sa-moin muuttaa ajattelutapaansa enemman omaa paatakayttavaksi. Vaikutti kuitenkin silta, etta naista opit-tiin selviamaan, jotkut oppilaat jopa erittain hyvin.

Iltapaivatunneilla ei tahdottu enaa jaksaa ajatella si-sukkaasti, materiaalin paljous tuntui liialta, monistei-den ulkoasu ei ollut kaikista kyllin korkeatasoinen japainovirheitakin niissa oli.

Opettajien vaikeuksia

Opettajat kaipasivat esimerkkeja samoista asioista pie-nemmilla luvuilla. Ajoittain opettaja koki tylsana mo-nisteen laskut, toisaalta oppikirjan laskut kontrolli-ryhman kanssa tuntuivat kovin lapsellisilta ja heppo-silta, koska kirjan operointi tapahtui vain lukualueella−10 – +10.

Ongelmia tuottivat pienet tuntimaarat. Osa oppilaistaoli huomattavasti jaljessa heikkojen pohjatietojen ta-kia, eteneminen oli kovin hidasta, oppilailla oli huonotja huolimattomat tyotavat. Toisaalta jotkut kaipasivatvielakin haasteellisempia tehtavia (8. luokka).

8 Solmu

Mita opittiin?

Oppilaat huomasivat ratkaisuvaiheiden merkitsemisentarkeyden silloin, kun oli tullut virheita. He oppivattarkastelemaan tehtavaa ensin kokonaisuutena, enaa eiesimerkiksi edetty suinpain vasemmalta oikealle.

Suuri osa oppilaista oppi laskemaan ilman laskinta,oman paan avulla, muutamat erittain hyvin. ”Alussatuntui vaikealta, mutta kun opin asiat, tuntui helpol-ta”. Joissain luokissa osaavampi oppilas auttoi heikom-paa.

Vaihdanta- ja liitantalakien opettelussa ”luvuilla leik-kimista” pidettiin hauskana ja oppilaat tuntuivatsisaistaneen sen.

Opettajista oli positiivista, etta 7.-luokkalaiset saivattodella uutta opittavaa. Alkutilanteen hankaluus tulipalkituksi oppilaiden ennakkoluulottomana suhtautu-misena myohemmin.

Monisteiden esitystavasta pidettiin kovastikin, tehtavatolivat aihepiiriltaan mukavia, mutta ne olisivat saaneetolla ehka hieman monipuolisempia.

Yleisvaikutelma oli kohtalaisen myonteinen, tarkeinasia onnistumiselle oli luoda positiivinen ilmapiiri luok-kaan, ”tekemisen meininki”, vaikka valilla oli tyolaskintunnelma. Huumori auttoi paljon, tarkeinta, ettei ku-kaan ollut ”pihalla”, vaan kaikilla oli hyva mieli osaa-misestaan. ”Hei, ma osasin!” kiljahduksia kuului.

Opettajat pitivat positiivisena olla yhteydessa yliopis-ton kanssa, heista oli mukavaa saada kirjeita kokeilunedetessa ja vaihtelu virkisti.

Monet opettajista ja vanhemmista toivottivat tervetul-leeksi vaativammat sisallot.

Eras opettaja kirjoitti otsikolla ”Ihanaa palautetta”:Aiti kertoi tyttarensa kysyneen, miten aiti ratkaisisieraan pinta-alatehtavan. Sitten tytar kertoi innostunee-na, miten han sen teki ja miten monella tavalla asianvoi ajatella ja ”ajatella, kaikki tavat ovat oikeita!”

Eraat vanhemmatkin olivat kiinnostuneita kokeilun tu-loksista.

Jotkut kokeiluun osallistuneista opettajista kertoi-vat, etta he olivat saaneet uutta nakokulmaapitkajanteisempaan opetustapaan. Talloin pidetaanmielessa esimerkiksi tehtavia valittaessa, etta matema-tiikka on kokonaisuus, jota alemmalla tasolla opetet-taessa rakennetaan samalla perustaa myohemmin vas-taan tulevalle.

Monisteiden vertailu

Keltaisesta (siis venalaisesta) pidettiin enemman, senesitys oli hyva, tehtavat monipuolisia, mutta eivat lii-

an helppoja (vastausta ei heti hoksannut). Oppilaatkininnostuivat ja huomasivat oppineensa jotain aivan uut-ta.

Kokeilun tilastollisista tuloksista

Lopputestit pidettiin toukokuun 1999 alussa. Syynatahan oli se, etta kaikkien tulisi tehda testi suunnil-leen yhtaaikaa ja etta vertailutesti on tapana tehdatoukokuun lopussa. Algebran testi oli standardi Kasse-lin testi, jonka tuloksista on vertailuaineistoa eri maistaeri ikaisilta oppilailta. Testikysymysten nakeminen olioppilaille ja opettajille jarkytys, kysymyksethan katta-vat koko koulualgebran. Tarkoitus oli kuitenkin ainoas-taan saada taso selvitettya, tehda vain ne tehtavat, jot-ka osasi ja olla huolehtimatta muista, mutta ilman erikannustusta oppilaat luovuttivat kauhistuneina. Tes-ti pidettiin monilla luokilla niin myohaan, etta oppi-laat paattelivat, ettei se vaikuttaisi enaa arvosanaan.Nain opettajan tehtavaksi jai keksia, miten motivoi-da vain arvosanastaan kiinnostuneet oppilaat tekemaanparhaansa.

Opettajat korjasivat testit heille lahetettyjen kalvojenavulla. Eras opettaja nurisi ”ilmaisesta tyosta rahoite-tussa projektissa”, tietamatta, etta myos vetajien te-kemasta tyosta suuri osa tehtiin samalla tavalla, omantyon lisaksi.

Keskiarvot kokeiluryhmissa olivat yleensa lievasti kor-keammat kuin vertailuryhmissa, mutta ero ei ollut ti-lastollisesti merkittava.

On mahdollista, etteivat kaytetyt koko koulualgebrankattavat Kasselin testit ja niiden suoritusajankohta ol-leet optimaalisia nain lyhyen kokeilun tulosten esiinsaamisessa; vrt. Olga Wolkoffin kokeilu.

Tarkein selittava tekija ryhman oppimismenes-tyksessa oli opettajan osuus. Lisaksi nayttaasilta, etta mita suurempi oli opettajan selittavaosuus, sita suurempi oli myos ryhman hajonta.Tama voitaisiin tulkita niin, etta opettaja, jonkaselittava osuus oli suuri, paneutui tosissaan ko-keiluun ja uuden materiaalin antamat haasteetsallivat suuren hajonnan.

Ryhmassa, jossa oli pitka tauko matematiikanoppitunneissa, testitulokset huononivat selvasti,vaikka kyseessa oli siis saman testin uusinta.Tama viittaa siihen, etta oppitunnit olisi oppi-mistulosten kannalta edullista sijoittaa tasaises-ti ilman katkoja.

Ongelmana oli myos se, ettei oppitunteja pystyt-ty resurssien puutteen takia seuraamaan. Nainolisi tiedetty, missa suhteessa kukin opettaja lo-pulta kaytti kokeilumateriaalia ja tavallista op-pikirjaa.

Solmu 9

Kokeilun tuloksista

Kokeilun tulokset tukevat sita, etta matema-tiikan oppitunnit olisi oppimistulosten kannaltaedullista sijoittaa kouluvuodelle tasaisesti ilmankatkoja.

Suomalaiset koululaiset pitivat kokeilumateriaa-lia varsin vaativana, vaikka se oli Venajalla tar-koitettu 1–2 vuotta nuoremmille.

Opetusmenetelmien muuttaminen onpitkajanteista tyota ja perusta pitaisi aloittaajo ala-asteelta. Algebran kokeilussamme opet-tivat kokeilumateriaalilla suomalaisen opetta-jankoulutuksen saaneet opettajat, joille pystyt-tiin jarjestamaan vain kahden illan lisakoulutus.Tassa tilanteessa siis Kasselin testia kayttamallaei tullut esille tilastollisesti merkittavia ero-ja. Sen sijaan oheisessa Olga Wolkoffin tut-kimuksessa tehtiin kokeilussamme mukana ol-leelle ryhmalle ja kontrolliryhmalle Wolkof-fin kehittama yksityiskohtainen testi. Kokei-lumateriaalia kayttava opettaja ei kayttanytlisana suomalaista kirjaa ja opettajan selityksetvenalaisen monisteen teoriaselvityksiin olivatvalttamattomia, vaikka ryhman taso oli melkohyva. Wolkoffin testi toi esille selvat erot op-pimistuloksissa verrattuna suomalaista materi-aalia kayttaneeseen kontrolliryhmaan. Kolmasryhma Wolkoffin tutkimuksessa oli Pietarista.

Algebran kokeilun tyonjako

MALU-projektissa olivat mukana dos. MarjattaNaatanen (vastuullinen johtaja, Helsingin yliopisto),professorit George Malaty ja Juha Alho (Joensuun yli-opisto). Kokeilun kaytannon jarjestelyt ja ranskankie-lisen tekstin kaantamisen suoritti Marjatta Naatanen,didaktisen koulutuksen, testien valinnan ja oppiteks-tien sovittamisen Suomen oloihin suoritti George Ma-laty, venalaisen tekstin kaansi Olga Wolkoff ja tilas-tollisesta analyysista vastasi Juha Alho. Olga Wolkoffteki oman vertailunsa kolmella aineistolla, joista yk-si oli samaa kuin kokeilussamme kaannetty. Tuloksetraportoidaan erikseen tassa Solmussa.

Kirjallisuutta

Goutodier, Michel: Les Carnets de 4e Mathematiques,cours/exercices, Hatier, Paris, 1991.

Algebra. Ucebnik dlja 6 klassa srednej skoly . Pod re-dakciej S. A. Teljakovskogo. Avtory: Ju. N. Makarycev,N. G. Mindjuk, K. S. Muravin, K. I. Neskov, S. B. Su-vorova. Moskva. Prosvescenije 1985.

Soro, Riitta ja Pehkonen, Erkki: KASSEL-projekti, osa1, Peruskoulun oppilaiden matemaattiset taidot kan-sainvalisessa vertailussa. Helsingin yliopiston opetta-jankoulutuslaitos, Tutkimuksia 197, 1998.

Taulukko 1. Kiinteiden vaikutustenregressiokertoimet, kun selitettavanaon algebran pistemaara.

Muuttuja Kerroin P-arvoAGE −.0268 .943

GIRL −1.47 .003GPA .740 .045

MATH 1.18 .000A .362 .000B .351 .013

EXPER −1.54 .110

Taulukko 2. Kiinteiden vaikutusten regressiokertoimet,kun selitettavana on kevaan 1999 Kasselin testeissa saatuosioiden A ja B pistemaara.

A BMuuttuja Kerroin P-arvo Kerroin P-arvo

AGE -.903 .002 -.414 .000GIRL -1.10 .087 -.0653 .878GPA .156 .574 -.00806 .940

MATH 1.30 .000 .231 .001A .439 .000 .0874 .000B .226 .037 .146 .000

EXPER -1.00 .389 -1.19 .008

Kiinteina vaikutuksina kaytetyt muuttujat:

AGE = oppilaan ika syksylla 1998 (vuosina),GIRL = 1, jos oppilas on tytto, = 0, jos oppilas on poika,GPA = viimeisin keskiarvo ennen syksya 1998 (4–10),MATH = viimeisin matematiikan arvosana ennen syksya 1998,A = syksyn 1998 pistemaara osiossa A (0,1,...,23),B = syksyn 1998 pistemaara osiossa B (0,1,...,6),EXPER = 1, jos oppilas kuului kokeiluryhmaan, = 0, jos oppilas kuului kontrolliryhmaan.

10 Solmu

Kuva. Laatikkokuviot oppilasryhmien testitulosten jakaumista. Oppilasryhmia oli 34 kappaletta. Vertailuryh-mien jakauma on musta, koemateriaalia kayttaneiden ryhmien jakaumat ovat viivoitettuja. Laatikko ulottuu 1.kvartiilista 3. kvartiiliin, ts. se kattaa keskimmaisen 50% datasta. Laatikon keskella oleva poikkiviiva on medi-aanin kohdalla, eli se halkaisee datan kahtia. Kuviossa vaaka-akselilla on oppilasryhmat numeroituna 1–34 japystyakselilla kunkin ryhman testista saamat pistemaarat.

Alkuopetusta Unkarista

Matematiikan opetusmetodien kehittaminen on hyva aloittaa aivan alkuopetuksesta. Unkarista tuli lukukau-den alussa elokuussa 2000 kaksi opettajaa pitamaan Varga-menetelmasta intensiivikurssin Jyvaskylassa ja Pol-vijarvella. Syksylla 2000 ovat kurssilla olleet opettajat kayttaneet tata menetelmaa opetuksessa. Tuloksia jamateriaalia kerataan matematiikkalehti Solmuun (http://www.math.helsinki.fi/Solmu).

Solmu 11

Oppikirjan sisallon vaikutus oppilaidenmatematiikan taitoon: Suomalaisen javenalaisen oppikirjan vertailua

Olga Wolkoffmatematiikan opettaja,nykyinen toimi Lappeenrannan Steinerkoulussa

JOHDANTO

Yleista

Minua on jo pitkaan kiinnostanut, miksi venalaisten op-pilaiden matematiikan taito on parempi kuin suoma-laisten oppilaiden. Lukuvuonna 1997–98 tyoskentelinmatematiikan opettajana Lappeenrannassa Kesamaenyla-asteella. Opetin matematiikkaa 7.-luokkalaisille.Silloin minulla oli mahdollisuus tutustua matematii-kan opetukseen Suomessa. Kaytossani oli oppikirjaPlussa 1. Taytyy sanoa, etta oppikirjojen ero oli en-simmainen havaintoni. Lisaksi minun piti usein etsiavastauksia kollegoitteni kysymyksiin, mita eroa on ma-tematiikan opetuksessa Suomessa ja Venajalla, sekamiksi minun mielestani venalaiset oppilaat osaavat ma-tematiikkaa paremmin. Tekijoita on tietysti paljon: op-pituntien maara, opetustavat ja tyomenetelmat, oppi-kirjat, vaatimukset jne.

Kesalla 1998 kaansin venalaisen oppikirjan Algebra6 (uudessa laitoksessa Algebra 7) muutamia kappa-leita suomeksi. Yhta kappaletta kaytettiin joillakin

ylaasteilla MALU 2002 -ohjelmassa algebran kokeilu-monisteena. Nain sain mahdollisuuden verrata eri ma-teriaalien mukaan opiskelevien oppilaiden taitoja.

Tyon tarkoitus

Tutkimukseni tavoitteena on saada tietoa vertailus-sa mukana olevien materiaalien hyvista ja huonoistapuolista, seka vertailla eri materiaalien mukaan opis-kelevien oppilaiden matematiikan taitoa. Valitsin ver-tailua varten venalaisen oppikirjan Algebra 6 kappa-leen ”Lausekkeet ja niiden muuntaminen” ja suoma-laisen oppikirjan Plussa 1 kappaleen ”Kirjainlaskenta”.Jatkossa oppikirjoista kirjoittaessani tarkoitan nimen-omaan niiden yllamainittuja kappaleita. Kappaleet vas-taavat hyvin pitkalle toisiaan ja oppilaiden oppimientaitojen pitaisi olla samoja materiaalista riippumatta.

Testiin osallistui kolme koeryhmaa: LappeenrannanSammonlahden ylaasteen 7. luokan oppilaita, jotkaopiskelivat Plussa 1 -oppikirjan mukaan (jatkossa P-ryhma), saman ylaasteen oppilaita, jotka opiskelivat

12 Solmu

kokeilumonisteen mukaan (jatkossa M-ryhma) ja Pie-tarin keskikoulun nro 91 oppilaita, jotka opiskelivat Al-gebra 7 -oppikirjan mukaan (jatkossa V-ryhma). Kiitankyseisten koulujen opettajia avusta ja vaivannaosta.

Tutkielmassani haen vastausta seuraaviin kysymyk-siin: Miten oppikirjan sisalto vaikuttaa oppilaidenmatematiikan taitoon? Mitka ovat muut vaikuttavattekijat? Vertailen ja analysoin oppikirjojen sisaltoa.Lisaksi analysoin jarjestamani testin tulokset, etsinsaannonmukaisuuksia ja tyypillisia virheita.

KAPPALEIDEN VERTAILU

Rakenne ja kasitellyt asiat

Kumpikin oppikirja kasittelee kokeiluun valitussa kap-paleessa seuraavat asiat:

– muuttujalauseke ja sen arvo,

– lausekkeen muuntaminen,

– yhtalo ja sen ratkaiseminen,

– sanallisten tehtavien ratkaiseminen yhtalon avulla.

Molemmissa kirjoissa jokainen aihe kasitellaan seuraa-van kaavan mukaan: teoria, esimerkkeja ja tehtavia.

Muuttujalauseke ja sen arvo

Jos analysoidaan oppikirjojen tehtavien tyyppeja, huo-mataan, etta tehtavat ja niiden lukumaarat ovat mel-ko samoja. Erona on kuitenkin esimerkiksi se, etta

venalaisessa oppikirjassa on tehtavia, joissa taytyy sel-vittaa, onko lauseke maaritelty tai milla muuttujan ar-voilla se on maaritelty. Siis venalainen kirja opettaaanalysoimaan tilannetta.

Suomalaisessa oppikirjassa voi taas hyvin usein lukeakysymyksen: Mieti, onko vastaus jarkeva. Ehka 7. luo-kan oppilaat ymmartavat paremmin tallaisen kysy-myksen, mutta vastaukselle taytyy olla myos teoreetti-nen pohja. Venalaisessa oppikirjassa teoreettinen poh-ja on hyvin vahva, mutta oppilaat eivat osaa aina yh-distaa sita arkielamaan. Kaavan kayton harjoittelemi-sessa Plussa 1 -oppikirja tarjoaa enemman mekaanisiatehtavia, joissa taytyy laskea kaavasta tai mielenkiin-toisia sanallisia tehtavia, joissa kaava on kuitenkin val-miina. Kaavan muodostamista harjoittavia tehtavia onvain kolme. Algebra 6 tarjoaa enemman tehtavia kaa-van muodostamisesta (7 kpl).

Voidaan sanoa, etta venalainen oppikirja harjoittaaselvasti enemman laskemista ja kaavan muodostamis-ta. Tassa tapauksessa voi olettaa, etta monisteen mu-kaan opiskelevat oppilaat ja venalaiset oppilaat laskevatparemmin, ja etta kaavan ja yhtalon muodostamisessaheilla on vahemman virheita.

Lausekkeen muuntaminen

Algebra 6:n kappale kasittelee laskutoimituksien omi-naisuuksia: vaihdantalakia, liitantalakia ja osittelula-kia. Plussa 1 -oppikirjassa niista kasitellaan vain vaih-dantalakia. Algebra 6 -kirjan teoreettiset perustelutovat paljon vahvemmat. Lisaksi siella on tehtavia, jois-sa taytyy perustella tehdyt muuntamiset tai todistaaidenttisyys.

Kappaleiden vastaavat aiheetAihe Plussa 1 Algebra 6

Muuttujalauseke ja sen arvo 2.1 Luvuista kirjaimiin 1.1 Lukulausekkeita

1.2 Muuttujalauseke1.3 Kaavoja

Lausekkeen muuntaminen 2.4 Kirjaimilla laskeminen 1.4 Laskutoimituksien

ominaisuuksia

2.5 Sulkeet 1.5 Lausekkeiden identtiset

muuttujalausekkeissa muuntamiset

Yhtalo ja sen ratkaiseminen 2.6 Yhtalo ja sen 1.7 Yhtalo ja sen juuret

ratkaiseminen

2.7 Yhtalon ratkaiseminen 1.8 Yhden muuttujan

laskemalla lineaarinen yhtalo2.8 Termien siirtaminen

Sanallisten tehtavien 2.9 Sanallisia tehtavia 1.9 Sanallisten tehtavien

ratkaiseminen yhtalon avulla ratkaiseminen yhtaloiden avulla

Solmu 13

Yhtalo ja sen ratkaiseminen

Molemmat oppikirjat esittelevat asian samalla tavalla:ensin selvitetaan, mika on yhtalo ja mika on yhtalonratkaisu ja sitten tutustutaan yhtalon ratkaisemistapoi-hin. Kumpikin kirja kasittelee seuraavat kasitteet:

– yhtalo,

– yhtalon ratkaisu/juuri,

– vakiotermi.

Algebra 6 -oppikirja kasittelee sen lisaksi yhtapitaviayhtaloita, kerrointa ja yhden muuttujan lineaaristayhtaloa.

Taytyy sanoa, etta venalainen oppikirja opettaa ratkai-semaan yhtalon nimenoman laskemalla ja ratkaisu pe-rustuu yhtalon muuntamiseen yhtapitavaksi yhtaloksi.Minun mielestani on hyva, etta Algebra 6 nayttaa,etta on olemassa yhtaloita, joilla ei ole juurta tai niitaon monta. Tata tietoa ei loydy Plussa 1:sta. Muttasuomalainen oppikirja esittelee erilaiset ratkaisutavat:paattelemalla, kokeilemalla ja laskemalla. Plussa 1 -oppikirjassa kaikki ratkaisutavat ovat samanarvoisia.Lisaksi Plussa 1 -oppikirja harjoituttaa seuraavia taito-ja: yhtalon muodostaminen, sanallisten tehtavien rat-kaiseminen ja yhtalon kirjoittaminen sanalliseen muo-toon.

Oppikirjojen tavoitteet ovat selvasti erilaiset. Plussa 1-oppikirja esittelee yhtaloa monipuolisemmin ja roh-kaisee etsimaan ratkaisua eri tavoin. Kirjan tehtavatovat monipuolisempia. Venalainen oppikirja harjoitut-taa ratkaisemaan laskemalla ja juuren tarkistamista,samalla se valmistaa oppilasta ratkaisemaan vaikeam-pia yhtaloita.

Sanallisten tehtavien ratkaiseminenyhtalon avulla

Kumpikin kirja opettaa sanallisten tehtavien ratkaise-mista melkein samalla tavalla. Molemmat kirjat esitte-levat seuraavat sanallisen tehtavan ratkaisemisvaiheet:

1. Tuntematonta lukua merkitaan kirjaimella.

2. Muodostetaan yhtalo tehtavan ehtojen mukaan.

3. Ratkaistaan yhtalo.

4. Viimeinen vaihe on esitetty kirjoissa hieman eri ta-voilla:

Plussa 1 ohjaa oppilaita miettimaan, onko tulosjarkeva, ja tarkistamaan saatu ratkaisu (Plussa 11996, s. 134). Lisaksi 5. vaiheena on vastauksen

kirjoittaminen sanalliseen muotoon. Minusta se onerittain hyodyllinen ohje 7.-luokkalaisille.

Algebra 6 esittelee 4. vaiheen nain: ”Saatu muut-tujan arvo tulkitaan sen mukaan, mita tehtavassapiti ratkaista” (Kokeilumoniste, s. 26). Se siis ohjaatarkistamaan vastauksen ja samalla tarkoittaa, ettaon mahdollista, ettei yhtalon ratkaisu riita tehtavanratkaisuksi. Lisaksi venalainen oppikirja esittelee esi-merkin, jossa ei ole mahdollista loytaa jarkevaa rat-kaisua.

TESTI

Testin tavoitteet

Oppilaiden matematiikan taidon tarkistamiseksi laadintestin (liite), joka koostuu eritasoisista tehtavista. Tes-tin tavoitteena on selvittaa, miten oppilaat osaavat:

– kirjoittaa lausekkeena sanallisessa muodossa olevanlaskun (tehtava 1),

– sieventaa lauseketta (tehtavat 2 ja 3),

– laskea lausekkeen arvon (tehtava 3),

– ratkaista yhtalon (tehtava 4),

– ratkaista sanallisia tehtavia.

Jokaisesta asiasta on testissa eritasoisia tehtavia:Tehtavat A ovat perustehtavia, tehtavat B ovat vahanvaativampia ja tehtavat C vaikeimpia; niiden ratkai-su vaatii asian sisaistamista ja ajattelemista. Kuiten-kin kunkin oppimateriaalin mukaan opiskelevien oppi-laiden pitaisi pystya ratkaisemaan kaikki tehtavat.

Testin tulokset

Liitteen taulukossa ”Tulosten yhteenveto” esitetaantestin tulokset. Taulukossa on esitetty oikein tehty-jen tehtavien maara jokaisessa ryhmassa ja tekemattajaaneiden tehtavien maara. Tummanharmaalla taustal-la merkityt tulokset ovat parhaita, vaaleanharmaallataustalla merkityt ovat toiseksi parhaita ja valkoisellataustalla on merkitty huonoimmat tulokset.

Taulukosta nakyy, etta P-ryhman oppilaat olivatselvasti heikoimpia muissa tehtavissa paitsi tehtavassa5C, jonka suurin osa P-ryhman oppilaista ratkaisipaattelemalla.

V-ryhmalle lausekkeiden arvojen vertailu oli helppoa;tehtavassa 3 kohdan C valitsi 87% oppilaista ja 75%teki sen oikein, mutta 12% M-ryhman oppilaista ei

14 Solmu

ymmartanyt tata tehtavaa ollenkaan. Selitys on help-po loytaa, V-ryhman oppikirjassa (Algebra 7) on kap-pale ”Lausekkeiden arvojen vertaileminen”, joten oppi-laat olivat harjoitelleet kyseista asiaa. Ryhmien P ja Mtiedot riittivat taman tehtavan ratkaisemiseksi, muttatehtavan muoto ei ollut tuttu ja lisaksi varmasti monetluulivat, ettei vertailun tulosta tarvitse kirjoittaa.

Virheiden laatu

Lausekkeiden sieventaminen

Virheiden laadusta voidaan sanoa esimerkiksi, ettatehtavan 2C tuloksista nakyy selvasti, etta M- ja V-ryhmien oppilaille todistaminen oli tuttu asia, kun taasP-ryhman oppilaista suurin osa tarkisti lausekkeen ar-von jollakin x:n arvolla ja osoitti, etta lausekkeen ar-

vo on 10. Oppilaista 27% laski lausekkeen arvon, kunx = 10 ja 20% laski jollakin muulla arvolla tai jopakahdella arvolla.

Sieventaminen ja lausekkeen arvon laske-minen

Seuraavat kuvat esittavat tehtavissa 3A ja 3B teh-tyja virheita. Kuvista kay ilmi, etta P-ryhman oppilaateivat sieventaneet lauseketta ennen laskemista. Niinpanailla oppilailla olikin sitten laskujarjestysvirheita, joi-ta ei ollut M- ja V-ryhmilla, mutta M- ja V-ryhmanoppilaat tekivat virheet sieventamisessa. M-ryhma tekieniten laskuvirheita. Tama voisi johtua siita, etta heil-le tuli siirtymavaiheessa uuden opetustyylin omaksu-misen takia paljon uutta opittavaa eika laskutekniikanharjoitteluun jaanyt kylliksi aikaa.

Tehtävän 3A virheet

Plussa Moniste Venäläinen

Ei ole sievennetty Sieventämisessä Laskuvirhe Laskujär jestysvirhe

0

20

40

60

80

100

Ei ole sievennetty Sieventämisessä Laskuvirhe Laskujärjestysvirhe

0

20

40

60

80

100

Plussa Moniste Venäläinen

Tehtävän 3B virheet

Solmu 15

Yhtalon ratkaiseminen

P-ryhman oppilaiden yhtalon ratkaisemistaito on huo-noin. Kuitenkin Plussa 1 -oppikirja sisaltaa jopaenemman harjoituksia yhtalon ratkaisemisesta kuinmuut oppimateriaalit. Harjoituksen puute ei siis voiolla huonon tuloksen syyna. Jos katsotaan tehtavan2A tuloksia, huomataan, etta P-ryhman oppilaat te-kivat virheet termien yhdistamisessa (13%) ja M- ja V-ryhmien oppilaat eivat tehneet yhtaan virhetta termienyhdistamisessa. P-ryhman oppilaat eivat siis olleet val-miit ratkaisemaan yhtaloita.

Sanallisten tehtavien ratkaiseminen

Tehtavasta 5 saatiin mielenkiintoiset tulokset. P- jaM-ryhmien oppilaat eivat ehtineet kasitella ”Sanal-listen tehtavien ratkaisua yhtalon avulla” ennen tes-tin pitamista. Kuitenkin tehtavassa 5A M-ryhmanoppilaat saivat jopa parhaat tulokset ratkaistessaantehtavan laskemalla ja paattelemalla. Melkein samamaara P-ryhman oppilaista ja V-ryhman oppilaista rat-kaisi oikein tehtavan 5C vain silla erolla, etta P-ryhmaratkaisi paattelemalla ja V-ryhma yhtalon avulla.

Laskuvirheet

Kaikkien ryhmien tyyppillisin virhe on laskuvirhe.Tehtavan 3 tarkoitus oli muun muuassa tarkistaa ni-menoman oppilaiden laskutaitoa. Parhaat tulokset oli-vat V-ryhmalla ja huonoimmat M-ryhmalla. Tuloksetnakyvat seuraavassa taulukossa:

Laskuvirheiden maara tehtavassa 3.

P-ryhma M-ryhma V-ryhma3A 0% 5,9 % 0 %3B 27 % 71 % 13 %3C 13 % 24 % 8 %

Tilanne on melko sama muissakin tehtavissa. Voidaantodeta, etta samaa oppimateriaalia kayttavien ryhmien(M ja V) laskutaito on hyvin eri tasolla. Sieventaminenoli vaikeaa kaikille ryhmille. Jos kerataan tehtavien 2ja 3 tulokset yhteen, saadaan seuraava taulukko:

Virheet sieventamisessa tehtavissa 2 ja 3.

P-ryhma M-ryhma V-ryhmaVirhe termien

yhdistamisessa2A 13 % 0 % 0 %2B 0 % 5,9 % 0 %

Virheet sulkei-den avaamisessa

2B 13 % 18 % 8 %3B 6,7 % 0 % 4 %

Sulkeiden avaaminen on vaikeaa kaikille. Termien yh-distaminen sen sijaan sujuu selvasti paremmin M- jaV-ryhmilla. Niin kuin on sanottu aikaisemmin, se vai-kuttaa voimakkaasti yhtalon ratkaisemisen taitoon. P-ryhma etsi rohkeasti sanallisten tehtavien ratkaisujaja onnistui hyvin. P-ryhman oppilaat on siis opetettukayttamaan erilaisia ratkaisutapoja. Lopuksi katsotaanviela kerran testin tulokset diagrammina.

Testin tulokset (%)

Plussa Moniste Venäläinen

Oikein Ei ole tehty Väärin

01020

3040

506070

8090

100

Testin tulokset on laskettu seuraavalla tavalla: Kaik-kien oikein tehtyjen tehtavien maara on jaettu ryhmanoppilaiden maaralla ja esitetty prosentteina. Samallatavalla on laskettu ”Ei ole tehty” ja ”Vaarin”.

Oikein Ei ole tehty VaarinPlussa 20,3 24,4 55,2

Moniste 45,5 7,6 41,6Venalainen 55,6 22,4 21,6

16 Solmu

YHTEENVETO

Oppilaiden matematiikan taitoihin vaikuttavia te-kijoita ovat mielestani ainakin oppikirjan sisalto, opet-taja, hanen opetustapansa ja oma matemaattinen taus-tansa seka oppituntien maara. Oppikirjan antama vah-va teoreettinen pohja tarjoaa oppilaille tyokalut rat-kaista tehtavat.

Algebra 6 -oppikirja opettaa ratkaisemaan ja kirjoitta-maan ratkaisuvaiheet tasmallisesti. Se opettaa oppilai-ta kunnioittamaan matematiikkaa ja antaa hyvat ma-tematiikan periaatteet.

Plussa 1 taas antaa oppilaille paljon vapautta, eiteoreettista pohjaa. Kirjassa on vahan tasmallisiamaaritelmia ja systemaattista teorian rakentamista.Oppilaille ei siis anneta tyokaluja tehtavien ratkaise-miseen. Tassa tulee mieleeni vertaus venalaiseen Neu-vostoliiton aikaiseen arkielamaan. Tyokalujen puuteoli tavallista tyopaikoilla ja tama kehitti erinomaises-ti kekseliaisyytta, mutta ei aina parantanut tuotteidenlaatua. Matematiikan opetuksessa kekseliaisyyden ke-hittaminen on tarkeaa, mutta se ei riita. Tallainen ma-tematiikka saattaa olla 13-vuotiaille helpompaa, mut-ta 7. luokan oppilaillahan on enaa edessaan vain kaksivuotta opiskelua peruskoulussa, eiko siis olisi jo aikaalkaa opiskella matematiikkaa syvallisemmin?

Mielestani ylaasteen matematiikan tulisi jo alkaa tu-tustuttaa oppilaita omien vaitteiden todistamiseen jakayttamaan tietoa tyokaluna tehtavien ratkaisemises-sa. Suosittelisin Plussa 1 -oppikirjaa kayttaville opet-tajille, etta sita taydennettaisiin erillisella teoreettisenpohjan antavalla materiaalilla.

Lahteet

1. Matti Heinonen, Alpo Kupiainen, Esko Sainio, 1996.Ylaasteen Plussa 1 matematiikka. Keuruu: Kustan-nusosakeyhtio Otavan painolaitokset, 3, 79–150.

2. Kokeilumoniste.

3. Algebra. Ucebnik dlja 6 klassa srednej skoly . Podredakciej S. A. Teljakovskogo. Avtory: Ju. N. Maka-rycev, N. G. Mindjuk, K. S. Muravin, K. I. Neskov,S. B. Suvorova. Moskva. Prosvescenije 1985.

4. Algebra. Ucebnik dlja 7 klassa obsceobrazovatel’nyhucre denij. Pod redakciej S. A. Teljakovskogo. Avto-ry: Ju. N. Makarycev, N. G. Mindjuk, K. I. Neskov,S. B. Suvorova. Moskva. Prosvescenije 1997, 1–41.

Solmu 17

Liitteet

TESTI (7. luokka. Muuttujalausekkeita ja niiden muuntaminen. Yhtalo)

NIMI

LK YLAASTE

1A. Kirjoita lausekkeena

a) lukujen a ja b summa

b) lukujen x ja y tulo

c) luvun a nelio

1B. Kirjoita lausekkeena

a) luvun b ja lukujen a ja c erotuksen tulo

b) lukujen a ja b summan ja lukujen c ja d tulon osamaara

2A. Sievenna

6a− 7− 3a− 5

2B. Sievenna

3,2x+ 3(1,7x− 1,8)

2C. Todista, etta kaikilla x:n arvoilla lausekkeen 5(2− x) + 5x arvo on 10.

3A. Sievenna lauseke 2(a+ 3) ja laske sen arvo, kun a = 9.

3B. Sievenna lauseke −3(2c− 5)− 7c− 1 ja laske sen arvo, kun c = 1,1.

3C. Vertaile lausekkeiden 5a− 8 ja 2a+ 25 arvoja, kun a = 8.

4A. Ratkaise yhtalo

3 + 2x = x+ 4.

4B. Ratkaise yhtalo

x− 5 + 2x = 3− x− 16.

4C. Milla muuttujan arvolla lausekkeiden 12x− 4 ja 5(2x− 1) arvot ovat yhta suuret?

5A. Kahden luvun summa on 29. Toinen luvuista on 5 suurempi kuin toinen. Mitka luvut ovat kyseessa?

5B. Kolmella hyllylla on 55 kirjaa. Toisella hyllylla on kirjoja 2 kertaa niin paljon kuin ensimmaisella ja 5 kirjaaenemman kuin kolmannella hyllylla. Kuinka monta kirjaa on kullakin hyllylla?

5C. Ensimmaisessa sakissa on jauhoja 4 kertaa niin paljon kuin toisessa. Kun ensimmaisesta sakista otetaan 7kg ja toiseen lisataan 14 kg, kummassakin sakissa on yhta paljon jauhoja. Paljonko jauhoja oli kussakinsakissa alussa?

OHJEET TESTIN JARJESTAJALLE

1. Testi jarjestetaan 7. luokalle, jossa kaytetaan opetuksessa Plussa 1 -oppikirjaa tai kokeilumonistetta. Plussa 1:nkappale ”Kirjainlaskentaa” ja kokeilumonisteen kappale ”Lausekkeet ja niiden muuntaminen” taytyy ollakasitelty.

2. Kestoaika 45 min.

3. Testissa on A-, B- ja C-tehtavat. Tehtavat A ovat perustehtavia, tehtavat B ja C ovat vaativampia. On tarkeaaselittaa oppilaille tata systeemia, etteivat he kayta liikaa aikaa tehtavien B ja C ratkaisemiseen.

4. Opettaja voi ottaa oppilaiden toista kopiot ja arvostella ne omien vaatimustensa mukaan.

18 Solmu

TULOSTEN YHTEENVETO

PLUSSA MONISTE VENAJA

Oppilaiden maara ryhmassa 15 17 24

TULOS op. lukumaara % op. lukumaara % op. lukumaara %

1A oikein 1 6,7 6 35 23 96

ei ole tehty 0 0 0 0 0 0

1B oikein 7 47 10 59 13 54

ei ole tehty 0 0 0 0 0 0

2A oikein 4 27 12 71 10 42

ei ole tehty 0 0 0 0 3 13

2B oikein 2 13 12 71 13 54

ei ole tehty 4 27 1 5,9 2 8

2C oikein 0 0 9 53 5 21

ei ole tehty 6 40 2 12 18 75

3A oikein 2 13 12 71 16 67

ei ole tehty 1 6,7 0 0 2 8

3B oikein 1 6,7 3 18 8 33

ei ole tehty 4 27 0 0 6 25

3C oikein 2 13 6 35 18 75

ei ole tehty 6 40 0 0 3 13

4A oikein 5 33 14 82 20 83

ei ole tehty 4 27 0 0 1 4

4B oikein 3 20 7 41 18 75

ei ole tehty 5 33 0 0 3 13

4C oikein 1 6,7 3 18 8 33

ei ole tehty 10 67 6 35 13 54

5A oikein yhtalon avulla 1 6,7 0 0 14 58

oikein laskemalla 3 20 6 35 3 13

oikein paattelemalla 3 20 9 53 0 0

ei ole tehty 3 20 0 0 3 12,5

5B oikein yhtalon avulla 0 0 1 5,9 8 33

oikein laskemalla 0 0 0 0 0 0

oikein paattelemalla 2 13 4 24 0 0

ei ole tehty 4 27 4 24 8 33

5C oikein yhtalon avulla 1 6,7 2 12 10 42

oikein laskemalla 0 0 0 0 0 0

oikein paattelemalla 5 33 4 24 0 0

ei ole tehty 4 27 5 29 14 58

Tummanharmaa tausta osoittaa parasta tulosta, vaaleanharmaa tausta seuraavaksi parasta ja valkoinen taustahuonointa tulosta.