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Matemáticas para ingeniería I
Ingeniería en Mecatrónica Lilia Meza Montes – IFUAP
Otoño 2017
1.1 Funciones de varias variables
Espacio n-dimensional Operaciones con funciones
Espacio n-dimensional
• Es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se denomina espacio númerico n-dimensional y se denota por Rn
• Cada n-ada ordenada (x1, x2, …,xn) se llama punto del espacio
• n es la dimensión del espacio
Espacio numérico
• Los elementos de las n-adas pueden ser números o representar cantidades físicas.
• Nosotros usaremos el espacio de números, es decir, el espacio númerico.
• Usualmente trabajaremos en R2 (representación geométrica es un plano) y R3
(espacio tridimensional)
Función • Una función de n variables es un conjunto de
pares ordenados de la forma (P,w) en el que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio N-dimensional y w es un número real
RN
Dominio. Conjunto de puntos P admisibles
P=(x1, x2, …,xN) R (P,w)
Contradominio. Conjunto de valores resultantes
w
Dominio de la función • Muchas funciones tienen como dominio
todo el espacio n-dimensional. • Otras solo para algunas regiones pues no
están definidas para ciertos puntos Ejemplo: 2225
1yx
z−−
=
Interior del radical debe ser mayor o igual a cero. Función definida solo para puntos en la bola abierta de radio 5 y centrada en el origenàesta bola es el dominio x2+y2 < 25
Dominio: ejemplos • El dominio puede ser una región de Rn
Ejemplos
• En R2
• En R3
)exp(),(),(
)cos(),(22
2
θθ Karrhxtbtaxtxgyaxxyxf
−=
++=
=
( )2222
2),,(
/)cosh(),,(),,(
zyzyx kkkm
kkkH
TPVaTVPgxyzzyxf
x++=
=
=
!
Operaciones con Funciones
a) Multiplicación por constante c= const à cf(x,y,z)=g(x,y,z) otra función b) Suma de funciones f(x,y,z)+g(x,y,z) otra función c) Producto de funciones fg=f(x,y,z)g(x,y,z)
d) División de funciones f/g=f(x,y,z)/g(x,y,z) e) Composición de funciones f[g(x,y,z)] Ejemplo: f(t) = ln t, g(x,y)=cos(xy) (f◦g)(x,y)=f[g(x,y)] = f[cos (xy)]= ln [cos(xy)]
Definición de una función
• En forma analítica (con una fórmula) • En forma númerica (sólo con valores
numéricos) Puede ser definida por regiones: Una sola expresión para todo el dominio Una expresión para cada subconjunto del
dominio
LMM 12
Funciones de dos variables
x
y
z=F(x,y) x1 y1 F(x1,y1) x1 y2 F(x1,y2) x1 ...
x2
... y1 F(x2,y1)
LMM 13
Ejemplo 1 Gaussiana
)exp( 22
)( 22
yxey yx
−−=
= +−
LMM 14
Contornos= “cortes” en z=constante
15
f(x,y)=cos x cos y f f2
16
f(x,y)=cos 2x cos y f(x,y)=cos x cos 2y
f2 f f f2
17
Funciones de tres variables
x
y
z x1 y1 z1
F(x1,y1, z1)
x1 y1 z2
F(x1,y1, z2)
x1 ...
x2
... y1 z1 F(x2,y1,
z1)
Color indica Valor de f(x,y,z)
18
Ejemplo