SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESUnsistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.Para tener una idea de que como se resuelve problemas con sistema de ecuaciones lineales.Les presentamos algunos ejemplos:Ejemplo I:Una compaa minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de nquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de nquel y 5% de cobre. Qu cantidad de mineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de nquel y 9 toneladas de cobre?

Solucin:

Cul es el problema? Qu se busca? Queremos saber el nmero de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina, asignemos variables a esos nmeros.

Sean el nmero de toneladas que se extrae de la mina I.

Y el nmero de toneladas que se extrae de la mina II.

Primera variable:

Segunda variable: Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las variables.Cunto se obtiene de nquel de la mina I?

Y de la mina II?

Luego:

Anlogamente para el cobre tenemos:

As, para saber cuntas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con las dos variables:

Ejemplo II:En una fbrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos estiloa, estilob y estiloc. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del estilo a se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el estilo b, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el estilo c, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. Cuntos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solucin:Queremos saber cuntos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos variables.

Sea el nmero de lotes de camisas del estilo a que se pueden producir.

Sea el nmero de lotes de camisas del estilo b que se pueden producir.

Sea el nmero de lotes de camisas del estilo c que se pueden producir.

Primera variable:

Segunda variable:

Tercera variable: Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

El nmero de minutos que se emplean en cortar una camisa del estiloa es , del estilo b es , y del estilo c es .

El nmero total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:

Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar

Anlogamente en coser se tiene:

En planchar y empaquetar tenemos:

Luego s queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas.

Ejemplo III:Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. Cuntas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material qumico disponible?

Solucin:Queremos saber cuntas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, asignemos variables.

Sea el nmero de unidades del fertilizante del tipo I.

Sea el nmero de unidades del fertilizante del tipo II.

Sea el nmero de unidades del fertilizante del tipo III. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.

La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es , del tipo II es , y del tipo III es . El nmero total de kilogramos del compuesto A es:

Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A:

Anlogamente para el compuesto B se tiene:

Para el compuesto C se tiene:

As, para saber cuntas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con las tres variables.

MTODO DE GAUSS-JORDANLlamada as debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior.Carl Friedrich Gauss:Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 30 de abril de 1777 Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemtico, astrnomoy fsico alemn que contribuy significativamente en muchos campos, incluida la teora de nmeros, el anlisis matemtico, la geometra diferencial, la estadstica, el lgebra, el magnetismo y la ptica. Considerado el prncipe de las matemticas y el matemtico ms grande desde la antigedad, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemtica y de la ciencia, y es considerado uno de los matemticos que ms influencia ha tenido en la historia.

Wilhelm Jordan:Wilhelm Jordan (18421899) fue un geo desista alemn que hizo trabajos de topografa en Alemania y frica.Es recordado entre los matemticos por su algoritmo de Eliminacin de Gauss-Jordan que aplic para resolver el problema de mnimos cuadrados. Esta tcnica algebrica apareci en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

MTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEn esta seccin del presente trabajo de investigacin aprenderemosa hallar la solucin de sistemas de ecuaciones lineales usando el Mtodo de Gauss-Jordan. El tema se presenta en 4 secciones: a) Mtodo de Gauss-Jordn para sistemas de ecuaciones lineales con solucin nica.b) Mtodo de Gauss-Jordn para sistemas de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.c) Mtodo de Gauss-Jordn parasistemas de ecuaciones lineales sin solucin.d) Mtodo de Gauss-Jordn para sistemas de ecuaciones lineales homogneas.

MTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON SOLUCIN NICAEjemplo I:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordn.

Solucin:a) Escribimos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales:

Debemos llevar a dicha matriz aumentada a su forma escalonada reducida (si todas las filas cero estn en la parte inferior de la matriz y si el primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, est a la derecha del pivote de la fila anterior;esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero) mediante operaciones elementales en las filas de dicha matriz.

En la solucin de dichos problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo de Gauss-Jordan;escribiremos la matriz aumentada y a continuacin una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operacin(es) que estamos efectuando para que se pueda entender el desarrollo de la solucin. Tambin cabe resaltar que las tres rayas separan a la columna que nos mostrara los datos de la solucin a nuestro sistema de ecuaciones por el mtodo ya mencionado.

La matriz aumentada contiene los coeficientes de las variables y las igualdades de estas ecuaciones.

Notacin para las operaciones elementales en las filas:

Nueva fila de la matriz aumentada.

Intercambio de la filacon la fila.

Nueva fila de la matriz aumentada.

b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida:

c) Interpretacin del resultado:La ltima matriz escalonada reducida indica que: La solucin del sistema de ecuaciones lineales es:

Ejemplo II:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin: Escribimos la matriz aumentada y reducimos:

As , , y .

MTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONESEjemplo I:Obtener la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

La ltima matriz est en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir ms, de donde obtenemos que:

Despejando , :

Luego , dependen de, si , ,tenemos

;

Es decir, el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de habr un valor para , y .

Por ejemplo, si entonces , y , es una solucin para el sistema de ecuaciones lineales.

Sientonces , y , es otra solucin para el sistema de ecuaciones lineales.

Si entonces , y , tambin es solucin para el sistema de ecuaciones lineales. As una vez ms, remarcamos, el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones.Ejemplo II:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

S, tenemos:

, con .Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones para este sistema de ecuaciones lineales.

MTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIN SOLUCINEjemplo I:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

No hay necesidad de seguir reduciendo, ya que en la segunda fila se tiene que da la igualdad de que es algo incorrecto, por la tanto, el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.Ejemplo II:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

Dela tercerafila se tiene que da la igualdad de (incorrecto)por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.Ejemplo III:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

De la cuartafilase tieneque da la igualdad de (incorrecto) por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.

MTODO DE GAUSS-JORDN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESHOMOGNEASUn sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGNEO si cada una de las ecuaciones est igualada a cero es decir:

Los sistemas homogneos SIEMPRE tienen solucin ya que:

Esta solucin es llamada la solucin trivial, as un sistema homogneo de ecuaciones lineales tiene solucin nica o tiene una infinidad de soluciones.Ejemplo I:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

Luego, , el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica,y es la solucin trivial.Ejemplo IIResolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

De donde:

;

Hacemos , y la solucin se expresa como:

En ste caso el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones.

ANLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO SOLUCINEn esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinan valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no solucin.Ejemplo I:

Obtener el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales:

Tenga: a) Solucin nica. b) Infinidad de soluciones.c) Carencia de solucin. Solucin:Aplicando el mtodo de Gauss-Jordan tenemos:

Ahora queremos multiplicar la segunda fila por, para poder hacerlo debemos garantizar que sea distinto de cero, es decir, si podemos multiplicar, entonces:

De donde se tiene que:

Luego si el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica.

Ahora, si, al substituir en la tercera matriz tenemos:

Dela segunda fila se tieneque da la igualdad

Lo cual nos dice que siel sistema de ecuacioneslineales no tiene solucin. Remarcamos:

Si el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.

Si el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica.

Para ningn valor deel sistema de ecuaciones lineales tendr infinidad de soluciones.

Ejemplo II:

Determinar el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no solucin.

Solucin:

S entonces:

Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que es un sistema de ecuaciones lineales con solucin nica si .

Pero si , la cuarta matriz queda en la forma:

De la matriz se obtiene que:

Es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.

Y si , la cuarta matriz se transforma en:

En el tercera fila se tiene que , que da la igualdadLo cual nos indica que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.En conclusin:

S , el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica

S , el sistema de ecuaciones lineales tieneinfinidad de soluciones.

S , el sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin.

MTODO DE GAUSS- JORDANPARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZEjemplo I:Obtener la inversa de la matriz mediante el mtodo de Gauss- Jordan

Solucin:Para obtener la inversa de una matriz primero se procede a describir una matriz aumentada que contiene a la matriz anterior ms una matriz identidad; dicha matriz identidad est separada por tres rayas, la cual se convertir en la matriz inversa de la anterior.

La inversa es:

1