Másodfokú egyenlőtlenségekMásodfokú egyenlőtlenségekGrafikus módszerGrafikus módszer

Mgr. Mihályi JurajMgr. Mihályi JurajSOŠ, ŠtúrovoSOŠ, Štúrovo

Aprobáció: matematika- fizika Aprobáció: matematika- fizika FordítottaFordította

Szabó Andor, 2.A, SOŠ, ŠtúrovoSzabó Andor, 2.A, SOŠ, Štúrovo20092009

TartalomTartalom

A bemutató céljaA bemutató céljaTémaleírásTémaleírásA másodfokú egyenlőtlenségek fajtáiA másodfokú egyenlőtlenségek fajtáiA grafikus módszer leírásaA grafikus módszer leírásaA módszer bemutatása példákkalA módszer bemutatása példákkalBefejezésBefejezésFelhasznált irodalom és weboldalakFelhasznált irodalom és weboldalak

A bemutató célja:A bemutató célja:

A másodfokú egyenlőtlenségek általában A másodfokú egyenlőtlenségek általában minden diáknak problémát jelentenek, főként minden diáknak problémát jelentenek, főként az eredmény értelmezésében. Az az eredmény értelmezésében. Az egyenlőtlenség levezetését (egyenlőtlenség levezetését (mechanizmusátmechanizmusát) ) a diákok többsége könnyedén megoldja, a diákok többsége könnyedén megoldja, viszont az eredmény meghatározása, viszont az eredmény meghatározása, magyarázata (a függvény segítségével) már magyarázata (a függvény segítségével) már nehézségeket okoz. nehézségeket okoz.

Ebből kifolyólag a bemutatóban a levezetés Ebből kifolyólag a bemutatóban a levezetés helyett, a grafikon adatainak helyes helyett, a grafikon adatainak helyes magyarázatára fektetjük a hangsúlyt.magyarázatára fektetjük a hangsúlyt.

Témaleírás:Témaleírás:

Az adott téma a szakközepiskolák tantervében Az adott téma a szakközepiskolák tantervében a másodfokú (a másodfokú (kvadratikuskvadratikus) függvények és ) függvények és egyenletek után következik, ez azt jelenti, egyenletek után következik, ez azt jelenti, hogy a diákok képesek felvázolni különböző hogy a diákok képesek felvázolni különböző együtthatójú parabolákat, valamint megoldani együtthatójú parabolákat, valamint megoldani bármilyen valós /reális/ megoldású másodfokú bármilyen valós /reális/ megoldású másodfokú egyenletet.egyenletet.

Ezt a tudást felhasználva a diákok az eddigi Ezt a tudást felhasználva a diákok az eddigi diszkrét típusú megoldások mellett az diszkrét típusú megoldások mellett az intervallumokkal való megoldást is elsajátítják. intervallumokkal való megoldást is elsajátítják.

Milyenek egyenlőtlenségek Milyenek egyenlőtlenségek ezek?ezek?

Nézzük a másodfokú Nézzük a másodfokú egyenlőtlenségek fajtáit:egyenlőtlenségek fajtáit:

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

2

2

2

2

2

ax

ax

ax

ax

ax

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

0cbx

2

2

2

2

2

ax

ax

ax

ax

ax

A legjobb eset: A legjobb eset:

Ha az adott másodfokú Ha az adott másodfokú egyenletnekegyenletnek valós megoldása van: valós megoldása van:

0cbxax 2

Konkrét példa:Konkrét példa:

4 x; 2 x:kapunkszámot két valós

nt,eredményké 36,D 0,82xx

:megoldjuk nt egyenletké

082xx

21

2

2

4 x; 2 x:kapunkszámot két valós

nt,eredményké 36,D 0,82xx

:megoldjuk nt egyenletké

082xx

21

2

2

Hogyan tovább?Hogyan tovább?

4-2 x

y

Függvényrajzolás

Mivel az egyenlőtlenség bal oladala Mivel az egyenlőtlenség bal oladala parabolaként a képernyőn látható, azt parabolaként a képernyőn látható, azt

a részt keressük, amelyikben a a részt keressük, amelyikben a parabola kisebb mint 0 vagy nullával parabola kisebb mint 0 vagy nullával

egyenlőegyenlő..

A kapott szakaszt az „x“ tengelyen a A kapott szakaszt az „x“ tengelyen a másodfokú egyenlőtlenségek másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának tekinthetjük. megoldásának tekinthetjük.

Intervallum formájában ábrázoljuk:Intervallum formájában ábrázoljuk:

08x2x 2 08x2x 2

4 ; 2-P 4 ; 2-P

Ha az egyenlőtlenségben Ha az egyenlőtlenségben szigorú egyenlőtlenség szigorú egyenlőtlenség

szerepel:szerepel:

az intervallum nyitott.az intervallum nyitott. Ha az egynelőtlenségben nem szigorú Ha az egynelőtlenségben nem szigorú

egyenlőtlenség szerepel: egyenlőtlenség szerepel:

akkor az intervallum zárt, ahogyan az akkor az intervallum zárt, ahogyan az

előző példában.előző példában.

, ,

, ,

Gyakorlópélda: Gyakorlópélda:

Oldd meg az adott egyenlőtlenséget Oldd meg az adott egyenlőtlenséget grafikusan is, majd haladj tovább.grafikusan is, majd haladj tovább.

012xx 2 012xx 2

Számítások Számítások ::

alakja , fölött van tengely x" " az

csúcsaparabola a hogy jelenti,azt ez1,a

4x ;3x ,49 21

D

alakja , fölött van tengely x" " az

csúcsaparabola a hogy jelenti,azt ez1,a

4x ;3x ,49 21

D

Kész vázlat: Kész vázlat:

típusú parabola, amelynek csúcsa az típusú parabola, amelynek csúcsa az „x“ tengely fölött van. „x“ tengely fölött van.

4;3x 4;3x

Próba Próba !!!!....!!!!....

A bA biztonság kedvéért érdemes iztonság kedvéért érdemes behelyettesíteni a „P“ halmazból behelyettesíteni a „P“ halmazból valamilyen számot az valamilyen számot az egyenlőtlenségbe.egyenlőtlenségbe.

Valamikor egyszerValamikor egyszerűűbb a „P“ bb a „P“ halmazon kívüli számot halmazon kívüli számot behelyettesíteni, így természetesen behelyettesíteni, így természetesen hamis ítéletet kapunk.hamis ítéletet kapunk.

A másodkokú egyenlőtlenségek A másodkokú egyenlőtlenségek további típusai:további típusai:

Grafikusan oldjátok meg az Grafikusan oldjátok meg az egyenlőtlenséget az „R“ halmazban: egyenlőtlenséget az „R“ halmazban:

Csak akkor lapozzatok tovább, ha Csak akkor lapozzatok tovább, ha eljutottatok a kész grafikonig:eljutottatok a kész grafikonig:

010x3x 2 010x3x 2

Kész grafikon...Kész grafikon...

Az egyenlőtlenség állítása: Az egyenlőtlenség állítása:

A parabola nem negatív része az „x“ tengelyen és fölötte van. Ebből következik, hogy az „x“ tengely adott része két intervallum egyesítése ként (unió) írható le.

;52;P ;52;P

Megjegyzés Megjegyzés ......

Szigorú egyenlőtlenség esetén, az intervallumok Szigorú egyenlőtlenség esetén, az intervallumok

nyíltak.nyíltak.,,

Gyakorlópéldák:Gyakorlópéldák:

Először oldd meg a következő példákat a Először oldd meg a következő példákat a valós számok „R“ halmazán, majd haladj valós számok „R“ halmazán, majd haladj tovább.tovább.

03x..5

02x..4

0x3.3

012.2

03x5.1

1-2x

5-x

2x

3x

2x

2

2

2

03x..5

02x..4

0x3.3

012.2

03x5.1

1-2x

5-x

2x

3x

2x

2

2

2

Összesített eredmények:Összesített eredmények:

;5,03;P ;5,03;P 2;2P 2;2P ;05,1;P ;05,1;P

;52;P ;52;P

;33;

2

1

2

1;P

;33;

2

1

2

1;P

Mi történik, ha D=0 Mi történik, ha D=0 ????????

D=0, akkor a másodfokú egyenletnek pontosan egy megoldása van, tehát a parabola érinti az „x“ tengelyt abban a számban, amelyik a függvény megoldása.Ez azt jeleni, hogy az a parabola, amelyik az egyenlőtlenség bal oldalát képviseli Ha ezt az összehasonlítjuk az egyenlőtlenségre vonatkozó követelménnyel, könnyen eredményre jutunk.

0 , 0 0 , 0

Példa: Példa:

Oldd meg az egyenlőtlenséget a valós Oldd meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán.számok halmazán.

04x4x 2 04x4x 2

Az ábrából látszik, hogy az egyenlőtlenség követelményének egyetlen pont felel meg, ha: x=2 .

2P 2P

...? 0ha D történik,Mi ...? 0ha D történik,Mi

Ha a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása , a parabolának (a>0 esetben ) az „x“ tengely felett kell lennie vagy (a<0 esetben) az „x“ tengely alatt. Ebben az esetben a masodfokú egyenlőtlenség megoldása vagy .

;P ;P

P P

02xx 2 02xx 2 D=-7

P=(-∞;∞)

Indoklás: a teljes parabola pozitív: az állításnak az egész „x“ tengely megfelel.

05x2x 2 05x2x 2

D=-16

Megoldás:P={ }

Indoklás: a parabola egyik része sem ≤ 0, mert az egész parabola az „x“ tengely fölött van, tehát pozitív.

A másodfokú egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlőtlenségek felhasználása:felhasználása:

Gyakori probléma a különböző függvények Gyakori probléma a különböző függvények értelmezési tartományának megállapítása, ahol értelmezési tartományának megállapítása, ahol másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani pl. másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani pl.

2x3xarcsiny

)x82log(y9x

3xy

2

2

2

2x3xarcsiny

)x82log(y9x

3xy

2

2

2

Tovább…Tovább…

A másodfokú egyenlőtlenség gyakran része A másodfokú egyenlőtlenség gyakran része más, bonyolultabb egyenletnek, avagy más, bonyolultabb egyenletnek, avagy egyenlőtlenségnek:egyenlőtlenségnek:

x22x3x

x59x6x

2x3x3x2x

2

2

22

x22x3x

x59x6x

2x3x3x2x

2

2

22

A gyakorlati problémákból csak A gyakorlati problémákból csak egyet említenék a ballisztika egyet említenék a ballisztika

területéről területéről ::

A torony tetejéről 12 óra 20perckor A torony tetejéről 12 óra 20perckor 108m magasból vízszintesen kilőttek 108m magasból vízszintesen kilőttek egy lövedéket. Állapítsátok meg azt egy lövedéket. Állapítsátok meg azt az időintervallumot, amelyben a az időintervallumot, amelyben a lövedék magassága meghaladja a lövedék magassága meghaladja a torony talppontjától mért 10 métert. torony talppontjától mért 10 métert. ( a súrlódást elhanyagoljuk)( a súrlódást elhanyagoljuk)

Olyan mozgásról van szó, amely Olyan mozgásról van szó, amely egyenesvonalú egyenletes mozgásból és egyenesvonalú egyenletes mozgásból és

szabadesésből áll.szabadesésből áll. A szituáció vázlata:A szituáció vázlata:

Matematikai nyelven a következő Matematikai nyelven a következő egyenlőtlenség megoldásáról van egyenlőtlenség megoldásáról van

szó:szó:

0985t vagy 105108

után kerekítés 10msg és sítésbehelyette

2

22

2-

2

0

t

hgt

h

0985t vagy 105108

után kerekítés 10msg és sítésbehelyette

2

22

2-

2

0

t

hgt

h

A számítás után: A számítás után:

43,4;43,4t 43,4;43,4t

amennyiben minket nem a negatív időintervallum érdekel, a kapott eredményt így módosítjuk:

43,4;0t 43,4;0t

A kiindulási feltételekkel A kiindulási feltételekkel összehasonlítva a következő választ összehasonlítva a következő választ

adhatjuk:adhatjuk: A lövedék a torony talppontjától mért A lövedék a torony talppontjától mért

10 méternél magasabban 12:20:00-10 méternél magasabban 12:20:00-tól 12:20:04,43 - ig fog repülni.tól 12:20:04,43 - ig fog repülni.

Ha figyelembe vesszük a kilőtt lövedék Ha figyelembe vesszük a kilőtt lövedék sebességét, akkor kiszámítható, hogy sebességét, akkor kiszámítható, hogy milyen távolságban ér a földet. Ez a milyen távolságban ér a földet. Ez a megállapítás az ehhez hasonló kísérletek megállapítás az ehhez hasonló kísérletek biztonságánál jelentős.biztonságánál jelentős.

Ahogy a matematika Ahogy a matematika általában…általában…

A másodfokú egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlőtlenségek megoldása is fejleszti a diákok megoldása is fejleszti a diákok gondolkodásmodját, hozzásegít a gondolkodásmodját, hozzásegít a bonyolultabb problémák bonyolultabb problémák feltárásához. Aki ezekkel a feltárásához. Aki ezekkel a részletekkel bánni tud, jobban részletekkel bánni tud, jobban megállja helyét a mai megállja helyét a mai bonyolult ,valós helyzetek világában. bonyolult ,valós helyzetek világában.

Felhasznált irodalom és Felhasznált irodalom és weboldal weboldal

Jirásek F. : Matematikai Jirásek F. : Matematikai feladatgyfeladatgyűűjtemény a jtemény a szakközépiskolák számára, 1. rész, szakközépiskolák számára, 1. rész, Bratislava 1987.Bratislava 1987.

www.google.skwww.google.sk