MANTIK FELSEFES

FELSEFE LSANS PROGRAMI

DO. DR. NAZLI NN

STANBUL NVERSTES AIK VE UZAKTAN ETM FAKLTES

STANBUL NVERSTES AIK VE UZAKTAN ETM FAKLTES

FELSEFE LSANS PROGRAMI

MANTIK FELSEFES

DO. DR. NAZLI NN

1

NSZ

Mantk felsefesi dersinde incelenen konular unlardr:

1. MATEMATKSEL SOYUTLAMA I 2. MATEMATKSEL SOYUTLAMA II 3. GEORGE BOOLE

4. BOOLE CEBRNN DAHA SONRAK GELMELER 5. BAINTILAR MANTII 6. KMELER KURAMI

7. GOTTLOB FREGE I

8. GOTTLOB FREGE II

9. GOTTLOB FREGE III

10. FREGEDEN SONRA FORMEL GELMELER 11. FREGEDEN SONRA MATEMATK FELSEFES I 12. FREGEDEN SONRA MATEMATK FELSEFES II 13. ALFRED TARSKI VE KURT GDEL

14. WILLARD VAN ORMAN QUINE VE ALAN TURING

2

NDEKLER

NSZ ....................................................................................................................................... 1NDEKLER ........................................................................................................................... 2YAZAR NOTU .......................................................................................................................... 41. MATEMATKSEL SOYUTLAMA I .................................................................................... 5

1.1. Geometri ve Aksiyombilim ........................................................................................ 122. MATEMATKSEL SOYUTLAMA II ............................................................................. 24

2.1. Saylar ve Fonksiyonlar ............................................................................................. 313. GEORGE BOOLE ............................................................................................................... 433.1. GEORGE BOOLE ............................................................................................................ 50

3.1.1. Yaam (1815-1864) ............................................................................................... 503.1.2. almalar .............................................................................................................. 533.1.3. Boole Cebri ............................................................................................................. 55

4. BOOLE CEBRNN DAHA SONRAK GELMELER .................................................. 644.1. BOOLE CEBRNN DAHA SONRAK GELMELER ............................................... 70

4.1.1. John Venn ............................................................................................................... 704.1.2. William Stanley Jevons ........................................................................................... 714.1.3. Edward Vermilye Huntington ................................................................................. 72

5. BAINTILAR MANTII ................................................................................................... 805.1. BAINTILAR MANTII ................................................................................................ 86

5.1.1. Augustus De Morgan .............................................................................................. 865.1.2. Charles Sanders Peirce ............................................................................................ 87

6. KMELER KURAMI ......................................................................................................... 966.1. KMELER KURAMI .................................................................................................... 102

6.1.1. Frege ve adalar ............................................................................................... 1026.1.2. Georg Cantorun Kmeler Kuram ....................................................................... 104

7. GOTTLOB FREGE I ......................................................................................................... 1127.1. GOTTLOB FREGE I ...................................................................................................... 118

7.1.1. Begriffsschrift ....................................................................................................... 1188. GOTTLOB FREGE II ........................................................................................................ 1328.1. GOTTLOB FREGE II ..................................................................................................... 138

8.1.1. Anlam ve Gnderim: Nesneler ve Fonksiyonlar .................................................. 138

3

9. GOTTLOB FREGE III ....................................................................................................... 1509.1. GOTTLOB FREGE III .................................................................................................... 156

9.1.1. Grundgesetzenin (Temel Yasalar) Mant ......................................................... 1569.1.2. Fregenin Baars ................................................................................................. 163

10. FREGEDEN SONRA FORMEL GELMELER .......................................................... 16910.1. FREGEDEN SONRA FORMEL GELMELER ....................................................... 175

10.1.1. Sembolletirme eitleri ..................................................................................... 17510.1.2. Modal Mantk ...................................................................................................... 186

11. FREGEDEN SONRA MATEMATK FELSEFES I .................................................... 19611.1. FREGEDEN SONRA MATEMATK FELSEFES .................................................... 202

11.1.1. Kmeler Kuramnn Paradokslar ....................................................................... 20211.1.2. Russelln Mantksal Tipler Kuram ................................................................... 207

12. FREGEDEN SONRA MATEMATK FELSEFES II ................................................... 21112.1. David Hilbert (1862-1943) ............................................................................................ 21712.2. Bertrand Russell (1872-1970) ....................................................................................... 21913. ALFRED TARSKI VE KURT GDEL .......................................................................... 22613.1. ALFRED TARSKI VE KURT GDEL ....................................................................... 232

13.1.1. Alfred Tarski (1901-1983) .................................................................................. 23213.1.2. Kurt Gdel (1906-1978) ..................................................................................... 234

14. WILLARD VAN ORMAN QUINE VE ALAN TURING .............................................. 24114.1. WILLARD VAN ORMAN QUINE VE ALAN TURING ........................................... 247

14.1.1. Willard Van Orman Quine (19082000) ............................................................ 24714.1.2. Alan Turing (1912-1954) .................................................................................... 248

KAYNAKA ......................................................................................................................... 254

4

YAZAR NOTU

Mantk felsefesi dersinde ama, rencilerin zellikle modern dnemdeki mantk tartmalar hakknda bilgi edinmesini salamaktr. Bundan dolay konular Frege ve

sonrasn kapsayacak biimde geniletilmi ve eitli rnekler ile konunun anlalmasnn kolaylatrlmas planlanmtr. Ayrca konunun ncesinde ve sonrasnda sorulan sorular

araclyla rencilerin konuyla ilgili alglarnn younlamas beklenmektedir.

5

1. MATEMATKSEL SOYUTLAMA I

6

Bu Blmde Neler reneceiz? 1.1. MATEMATKSEL SOYUTLAMA I 1.2. Geometri ve Aksiyombilim

7

Blm Hakknda lgi Oluturan Sorular Matematiksel soyutlama nedir?

Geometri ve aksiyombilim nedir?

8

9

Blmde Hedeflenen Kazanmlar ve Kazanm Yntemleri

Konu Kazanm Kazanmn nasl elde

edilecei veya gelitirileceiMATEMATKSEL

SOYUTLAMA I

Geometri ve aksiyombilim Okuma

10

Anahtar Kavramlar

Geometri, Matematik, Aksiyombilim

11

Giri Yunanllar iin matematiin en nemli blm geometriydi. klid elerde ileri srd

tm teoremleri kendisi bulmamtr. Ancak o, nceki tm bulular nispeten az saydaki ortak kavram ve postulattan tretmedeki ustalyla n kazanmtr. Ortak kavramlar tm bilimlerde temel olduu sylenen nermelerdir, rnein, btn parasndan byktr; postulatlar da batan kabul etmemiz istenilen geometriye zg be nermedir. Daha sonraki dnemlerde bu iki basit nermeler kmesine zaman zaman aksiyomlar denilmitir.

klidin paralellik postulat dier postulatlarndan daha karmaktr. Bu postulat yledir: ki doruyu kesen bir doru ynde i alar iki dik adan daha kk hale getirirse, bu iki doru, sonsuza kadar uzatldklarnda, iki dik adan daha kk olan alarn tarafnda birleir. klidin almasn gelitirmek zere birok giriim daha sonraki geometriciler tarafndan yaplmtr. En ilgin olanlardan biri Saccherinin 1733 tarihli klidin Tm eleri ile ddia Ettikleri adl kitabndaki giriimidir. Bu eser kliti olmayan geometri teoremlerini barndran ilk eser olduundan nemlidir. kliti olmayan geometrinin bir eklini gelitirmi ilk eser 1826da yaynlanan Labochevskynin bir makalesidir. Bu, dar a hipotezi (yani, belli bir

noktadan belli bir doruya paralel iki dorunun bulunduu hiperbolik geometri) ile ilgilidir. Geni a hipotezini (yani, belli bir noktadan belli bir doruya paralel hibir dorunun bulunmad ve her dorunun ortaya ktnda kendi zerine dnd eliptik geometriyi) ise Riemann gelitirmitir.

Geometri almalar elbette fiziksel uzaydaki bantlar hakkndaki dnce ile balamtr, ancak gzde canlandrlamayan ekillerin dnlmesine kadar ilerlemitir. Bu soyutlama eilimi bahsetmi olduumuz kliti olmayan geometrilerde halihazrda fark edilebilir, ancak ok-boyutlu geometrilerde daha da ak grlr.

19. yzyl boyunca geometri sadece klidin paralellik postulatna alternatifleri dnerek ve onun boyut snrlamasn kaldrarak deil, ayn zamanda geometrik zelliklerin farkl seviyelerini ayrt ederek de gelimitir. ekiller belirli eit transformasyonlara maruz kaldklarnda onlarn deimeyen baz zelliklere sahip olduklar bilinmektedir. rnein, lastikten bir levhann zerine bir dairenin iine bir kare izer ve lastii istediimiz ekilde bkersek, iine izdiimiz ekil kare, hatta drtgenliini kaybetse de iinde kalr.

12

1.1. Geometri ve Aksiyombilim

Yunanllar iin matematiin en nemli blm geometriydi. klidin eler adl eserinde yle saf aritmetik teoremleri grrz ki bunlar rnein asal saylar hakkndadrlar, ancak dorularn ellebilirlii ya da ellemezlii hakkndaki nermeler olarak sunulmulardr. Yunanllar tarafndan matematiin dier dallarna olan greceli ilgisizliin onlarn numaralandrma sistemlerindeki yetersizlikten dolay olduu ne srlmtr; ancak geometrinin gerektirdii soyutlama abas cebir ve analiz iin gereken abadan daha az olduundan dolay ilk nce geometrinin gelitii daha mmkn grnmektedir.

klid elerde ileri srd tm teoremleri kendisi bulmamtr. Onun alt dnem olan M.. nc yzyln balangcndan nce geometri zerine eserler mevcuttur, rnein v. kitapta kulland orant kuram Platonun kendisinden gen ada Eudoxustan gelir. Ancak o, nceki tm bulular nispeten az saydaki ortak kavram ve postulattan tretmedeki ustalyla n kazanmtr. Ortak kavramlar tm bilimlerde temel olduu sylenen nermelerdir, rnein, btn parasndan byktr. Postulatlar ise kantsz olarak kabul etmemiz istenilen be geometri nermesidir. Daha sonraki dnemlerde bu iki basit nermeler kmesi zaman zaman

aksiyomlar ad altnda birletirilmitir.

klid ve tm takipileri son yzyla kadar postulatlarnn fiziksel uzay hakkndaki evrensel

ve zorunlu dorular olduklarn varsaymlardr. Ancak bunlar arasnda her zaman dierlerinden daha karmak grnen bir tanesi vardr. Bu nl paralellik postulatdr: ki doruyu kesen bir doru ynde i alar iki dik adan daha kk hale getirirse, bu iki doru, sonsuza kadar uzatldklarnda, iki dik adan daha kk olan alarn tarafnda birleir. lkada Ptolemaios ile Proclusun her ikisi de bu nermenin bir postulat olarak grlmemesi gerektiini, nk bunun bir teorem olarak kantlanabilir olduunu gstermeye almlardr. klidin almasn gelitirmek zere birok benzer giriim daha sonraki geometriciler tarafndan da yaplmtr. En ilgin olanlardan biri Saccherinin 1733 tarihli Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (klidin Tm eleri ile ddia Ettikleri) adl kitabndaki giriimidir. Kendisinin de syledii gibi, bu Logica Demonstrativa (Kantlama Mant) eserinde kulland consequentia mirabilis ilkesine dayanr ve Saccherinin dnm olduu gibi, bu

13

eser paralellik postulatnn zorunlu doruluunu ortaya koymada baarl olamamasna ramen, kliti olmayan geometri teoremlerini barndran ilk eser olduundan nemlidir.

Paralellik postulatn ispat ettiklerini iddia eden daha nceki geometricilerin ou ispat etmeye altklar nerme ile ayn dedktif gce sahip baka bir nermeyi ak ya da rtk bir ncl olarak varsaymlardr. rnein, John Wallis verilen herhangi bir ekil iin herhangi bir boyutta benzer bir eklin var olmas gerektiinin mmkn olduunu varsaymtr. Saccherinin giriimi daha cesurca olmutur: o, paralellik postulatnn kendi deillemesinden dahi ktndan zorunlu bir doruluk olduunu gstermek istemitir. AB doru parasnn biti noktalarndan eit uzunlukta iki dik doru paras AC ve BD ayn tarafta oluturulur ve daha sonra C ile D noktalar bir doru ile birletirilir. kan drtgende C ve D alar eit olmaldr, klidin paralellik postulat da bu alarn her ikisinin de dik a olduklar varsaymna edeerdir. Saccheri bundan dolay akla gelebilen dier iki hipotezi, yani (i) bu alarn geni a olduklar ve (ii) bu alarn dar a olduklar hipotezleri incelemitir. Bunlar srasyla kliti olmayan geometrinin sonradan eliptik ve hiperbolik olarak belirlenen formlarna karlk gelir ve o aratrmas srasnda bu geometrilerin baz karakteristik teoremlerini ispat etmitir.

Saccherinin eserinin on dokuzuncu yzylda kliti olmayan geometriyi gelitiren matematikiler zerinde herhangi bir etkisi olup olmad kesin olarak bilinmemektedir, ancak bu kitap birtakm ktphanelere girmi ve Montuclann 1758 tarihli Historie des mathematiquesi (Matematik Tarihi) ile Klgelin 1763 tarihli Conatuum Praecipuorum

Theoriam Parallelarum Demonstrandi Recensiosu (Paralellik Teoremini Kantlama

abalarnn Yorumu) gibi baz referans eserlerinde bundan sz edilmitir. Bu eser, kliti olmayan geometriyi istikrarl bir ekilde gelitirme olasln ilk fark eden ve bunu fiziksel uzayda bulunan bir genin i alarnn iki dik aya eit olup olmadklarn gzlemleyerek zlmesi gereken bir soru olarak gren Gaussun (1777-1855) dikkatini bu yolla ekmi olabilir. Ancak Gauss parlak bulular yapt dier birok alanda olduu gibi, matematik aratrmasnn bu alannda da hibir ey yaynlamamtr. kliti olmayan geometrinin bir eklini gelitirmi ilk eser 1826da yaynlanan Labochevskynin bir makalesidir. Bu, dar a hipotezi (yani, belli bir noktadan belli bir doruya paralel iki dorunun bulunduu hiperbolik geometri) ile ilgilidir. Geni a hipotezini (yani, belli bir noktadan belli bir doruya paralel hibir dorunun bulunmad ve her dorunun ortaya ktnda kendi zerine dnd eliptik

14

geometriyi) ise Riemann gelitirmitir. Gerekten de Riemannn 1854 tarihli ber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Geometrinin Temelinde Yatan Hipotezler

zerine) adl al dersinin lmnden sonra 1867de yaynlanmasna kadar kliti olmayan geometri saf matematikle uraanlar tarafndan ciddiye alnmamtr ve bu tarihten sonra dahi Riemann ile rencisi Cliffordun kliti olmayan geometriyi fizikte kullanma olasl hakkndaki speklasyonlar bir nesilden uzun bir sre grmemezlikten gelinmitir.

Geometrideki bu ilerlemeler mantk iin aslnda aksiyombilime veya postulat kmeleri

kuramna dikkat ektiklerinden nemlidir. klidin tm dier aksiyomlarn koruyan bir sistem iinde onun paralellik postulatn deilleyerek bir elikinin ortaya kt gsterilseydi, paralellik postulatnn bu dier aksiyomlardan sonu olarak kt reductio ad absurdum yoluyla ispat edilmi olurdu. Dier taraftan, sadece bir eliki bulamama kliti olmayan geometrinin tutarlln ispat etmek iin kendi bana yeterli deildir. Bunun iin hibir zaman hibir elikinin tretilemeyeceini belirlemek gerekecektir. Bu ok byk bir gerekliliktir ve daha sonra greceimiz gibi, yerine getirilmesi hi kolay deildir. Ancak bu kadar ileri gitmeden, klid geometrisi tutarsz olmadan kliti olmayan bir geometrinin de tutarsz

olamayacan gstererek kliti olmayan bir geometrinin saygnl oluturulabilir. On dokuzuncu yzylda kliti olmayan geometriyi klid sistemi iinde gsterme yollarnn

bulunmasyla aslnda bu sonu elde edilmitir. Bu yollardan en bilineninde aada grld gibi, eliptik geometri listesindeki bir ifadenin klid geometrisindeki karl verilir:

Eliptik Geometri klid Geometrisi

dzlem bir krenin yzeyi

doru byk bir dairenin yay

iki doru arasndaki a iki byk dairenin dzlemleri arasndaki a

ki boyutlu eliptik geometride kullanlan dier ifadelerin klid geometrisindeki bu trden ifadelerin allm anlamlarn korumalarna izin verilirse, o zaman bu sistem bir btn olarak denizcilerin iyi bildikleri bir bilim olan klid kresi yzeyi geometrisine dntrlr ve iki boyutlu eliptik geometrinin kendine zg nermelerinin tmnn bu yeni yorumda doru olduu grlr. Verilen bir noktadan verilen dz bir doruya paralel hibir doru izilemez; dz bir dorunun maksimum bir uzunluu vardr ve herhangi bir genin i alarnn toplam

15

iki dik adan byktr. Bundan, eer klid geometrisi tutarl ise iki boyutlu eliptik geometrinin de tutarl olduu sonucu kar. Daha karmak trden uygun yorumlarla Felix Klein ve dierleri boyutlu eliptik ve hiperbolik geometrinin klid geometrisi iinde betimlenebileceini gstermilerdir. Bu kliti olmayan geometrilerin klid geometrisinin blmleriyle zde olduklar anlamna gelmez, sadece bunlarn klid geometrisi iinde, bir bakma Fransann yzeyinin ngilterenin yzeyinin bir blmnn zerine izilebilirmi gibi, izilebilir olduklar anlamna gelir.

O zaman klidin paralellik postulatnn stats iin unu syleyebiliriz: Eer klid geometrisi tutarl ise, bu postulatn reddedilmesinde hibir mantksal eliki yoktur; bunun deillemesi ile klidin dier aksiyomlarnn birleiminde de hibir mantksal eliki yoktur, bu onun dier aksiyomlardan mantksal olarak bamsz olduunu sylemektir. steyen bu postulatn fiziksel uzaydaki dorular iin doru olduunda srar edebilir; ancak saf matematikle uraan kiinin bu soruyla ilgilenmesi gerekmez. nk kliti olmayan geometrilerin geliimi kanlmaz olarak matematikiler arasnda klid geometrisi de dahil olmak zere tm

geometriye kar bir tavr deiiklii yaratmtr. Tm incelemeye deer alternatifler bulunduundan, alternatiflerden herhangi birini o alternatif yapan aksiyomlar ileri srmek matematikinin ii olamaz. Matematikinin grevi belli bir aksiyomlar kmesinden neyin mantksal olarak kacan sylemektir. Geleneksel geometriyi bu ekilde ele alma doal olarak onun tm varsaymlarnn ak bir formlasyonuna gerek duyulmasna, yani klide

atfettiimiz programn zenli bir ekilde yrtlmesine yol amtr. Bunun sonular da klid geometrisinin modern sunumlarnda, rnein, Hilbertin 1899 tarihli Grundlagen der Geometriesinde (Geometrinin Temelleri) grlebilir. Ancak geometriye bu bak ekli klidin ilgilerinden uzak olan bir tr soyutlamaya da yol amtr.

Bir nerme mantksal olarak bir dierinden karsa, bu iki nerme arasndaki bantnn sadece bunlarn formlarna, yani ieriklerinin aksine mantksal yaplarna, bal olduu grlebilecek ekilde ifade etmek mmkn olmaldr. Bu, geometri nermeleri iin yaplabilir. klid geometrisinin geleneksel gsteriminde aksiyomlarn formunun yakalanmas kolay

deildir, nk nokta, doru, dzlem, zerindedir, arasnda, paralel ve eleik gibi birok zel im kullanrz; ancak basit klid geometrisi iin ihtiya duyduumuz tm aksiyomlar, nokta szc ile eleimi noktalar arasnda drt terimli bir bant olarak ifade

16

eden Ann Bden uzakl Cnin Dden uzakl kadardr cmlesi dnda hibir zel im kullanmadan yazabiliriz. Bylece C, A ve B ile e dorusaldr (ayn doru zerindedir) yerine P ile Q yle herhangi iki nokta olur ise ki A ile P arasndaki uzaklk A ile Q arasndaki uzaklk

kadar olsun ve B ile P arasndaki uzaklk da B ile Q arasndaki uzaklk kadar olsun, o zaman C

ile P arasndaki uzaklk da C ile Q arasndaki uzaklk kadar olur diyebiliriz. Basit klid

geometrisi iin yeterli olan bir takm aksiyom formllerini bu ekilde yazmak akas bktrcdr, ancak bu i yapldnda, Ann Bden uzakl Cnin Dden uzakl kadardr ifadesi haricinde kullanlan yegane szckler formu ifade eden szcklerdir, rnein, ve, veya, deil, ise, her, vardr ile deiken olarak kullanlan harfler. Teoremler de bu notasyonda ifade edilebildiinden, aksiyomlarn teoremleri gerektirmesinin Ann Bden uzakl Cnin Dden uzakl kadardr cmlesinin algladmz eylere uygulanmasndaki anlamna bal olmadn saptamak hi phesiz mmkndr.

Saf geometri iin bu cmlenin allagelmi anlam olduka alakaszdr. Tm aksiyom formllerinde tutarl bir ekilde onun yerine geebilecek, iinde drt boluk bulunan herhangi baka bir cmle olsayd, o zaman ayn cmle sonrakinin ncekiyle olan bantlarnda bir deiiklik olmadan, teorem formllerinde de onun yerine geebilirdi. Geometricinin dedii olduka soyut bir nerme olan aksiyom formllerinde bildirilen tm mantksal artlar salayan herhangi drt terime sahip bir bant birka teorem formlnde belirtilen mantksal artlarn her birini de salamaldr ve o, eer isterse, tpk Aristotelesin kyas ilkelerini belirtirken harfleri kulland gibi, yukarda verilen cmle yerine bir harf kullanarak bunu ak hale getirebilir. eitli geometri formllerinde dier imler tarafndan ifade edilen artlar Aristoteles tarafndan dnlmemi karmaklktadr, ancak hepsi tamamen mantksaldr.

Bir geometri sisteminin aksiyom formllerinin hepsinin birlikte ierdikleri zel geometri

imlerinin rtk bir tanmn oluturduklar zaman zaman sylenir. 1818 kadar erken bir tarihte J. D. Gergonne tarafndan ne srlen bu konuma ekli faydaldr, ancak yanl anlalmalara yol aabilir. Bir geometri sisteminin aksiyom formlleri, ierdikleri bir mantk-d ifadeyi sadece bu ifadenin anlamnn iinde bulunmas gereken mantksal alan snrlama anlamnda

tanmlar. nk bu formller sadece formel artlar koyarlar ve profesyonel uranda A ile B arasndaki mesafe, C ile D arasndaki mesafe kadardr cmleciini kullanan bir geometricinin bu eleim bants tarafndan salanan formel artlar haricinde hibir eyle ilgilenmesi

17

gerekmese de, sradan kullanmda bu cmlenin o artlar tarafndan tketilmemi bir anlam vardr. Eer byle olmasayd, geometrinin algladmz dnyaya uygulanmasn konumann hibir anlam olmayacakt. nk bu trden bir uygulama bir takm formel artlar, bu artlar tarafndan tketilmeden salayan alglanabilir bir bant bulmaya dayanr. Ksacas, fiziksel uzaydaki eylerin algs olmadan saf bir akln soyut bir ekilde geometri yapabildii tasavvur edilebilir, ancak onun geometri bilgisi sahip olmad algnn yerine gemeyecektir. Bu nokta aa kavutuunda, kliti olmayan geometrinin geliiminin, baz filozoflarn dndkleri gibi, klid ile Kantn eski gr olan paralellik postulatnn alglanabilir uzay hakknda zorunlu bir doruluk olduu grn rtmedii grlebilir. nk klid geometrisinin aksiyomlarnn koyduu mantksal artlarn alglanabilir eleim bantsnda zorunlu olarak doru olduklar en azndan tartmaya aktr. Ancak eer bunlar zorunlu olarak doruysa, bunlarn doru olduklar nermesi formel mantn bir dorusu ve bylece geometrinin bir dorusu deildir. Matematik asndan kliti olmayan geometrinin aksiyomlar tarafndan konulan artlarn tutarl olmas, yani kendileriyle elikiye yol amamalar yeterlidir. Gsterme ya da eleme yntemi kliti geometrinin aksiyomlarnda bir tutarszlk olmad mddete eliptik ve hiperbolik geometrinin aksiyomlarnda da bir tutarszlk olamayacan gstermitir.

Uzay ve benzer kaynakl szckler saf matematikte ortaya ktklarnda, bunlar ok farkl

nesne sistemlerince rnek gsterilebilmesi mmkn olan soyut sralama ekillerini gsterirler. Geometri almalar elbette fiziksel uzaydaki bantlar hakkndaki dnce ile balamtr, ancak gzde canlandrlamayan ekillerin dnlmesine kadar ilerlemitir. Bu soyutlama eilimi bahsi geen kliti olmayan geometrilerde halihazrda fark edilebilir, ancak ok-boyutlu geometrilerde daha da ak grlr.

Descartesin at yoldan ok-boyutlu geometriye ulasalar da ulamasalar da matematikiler aksiyomatik ekilde oluturduklar herhangi bir geometrinin tutarllnn ispat iin aksiyom formllerinin saysal bir yorumuna gvenirler. boyutlu eliptik ve hiperbolik geometrinin de

gerekte boyutlu klid geometrisinin tutarl olduu varsaymna dayanarak tutarl olduu gsterilebilir ve klid geometrisinin tutarllnn ispatn istemek fazla ihtiyatl olmak olarak dnlebilir. Ancak fiziksel uzayn tm klid aksiyomlarn salad anlamda kliti olduu hibir ekilde ak deildir.

18

Herhangi bir aksiyom kmesi iin tutarllk esas zorunluluktur. ki aksiyomun birbirinden bamsz olmas ayn ekilde zorunlu deildir. Yani, dedktif bir sistemin bir aksiyomunun dierlerinden tretilebildii fark edildiinde bu aksiyomun deersiz olduu gsterilmez.

Bir aksiyom formlleri kmesindeki mantk-d imler iin herhangi trden iki farkl aklama biiminin ikisi de dorular verirse ve bu yorumlamalarda bu formller tarafndan tanmlanan sistemler, birindeki her bir madde iin dierinde ona karlk gelen tek bir madde bulunacak ekilde bantl olurlarsa, o zaman bu iki aklama biimi izomorfiktir denir. Hatta belli bir aksiyom formlleri kmesi iin mmkn yorumlamalarn tm sonular (veya zaman zaman

adlandrldklar gibi modelleri) birbirleriyle izomorfik ise, bu aksiyomlar kmesine kategorik

veya monomorfik denir. 1887de Dedekind bu dnceye ainayd, ancak kategorik ad mantk Deweyin nerisiyle 1904de Veblen tarafndan ortaya atlmtr.

Monomorfik bir aksiyomlar kmesinin tamamen rtk tanm programn uygulad sylenebilir. nk kendisinin sunulduu formller birok farkl yorumu kabul edebilir, bu yorumlarn hepsi ayn mantksal yapya sahip olmaldr ve bylece sadece formel kriterlerle

ayrt edilemez olmaldrlar. Eer bir aksiyomlar kmesi monomorfik ise, ayn sembolizme daha fazla aksiyom forml ekleyerek bu kmenin formllerindeki mantk-d imlerin anlamlarn daha fazla aklama faydaszdr. nk hangi forml seersek seelim, ya o forml ya da

olumsuzu kabul ettikleri her yorum iin doru olmas anlamnda zaten aksiyom formllerinin bir sonucudur. Ancak bu monomorfik bir aksiyomlar kmesinin hibir ekilde yararl olarak geniletilemez olduu anlamna gelmez. Monomorfizm her zaman bir basit kavramlar aracna gredir, bu da en ak ekilde baka bir geometri rneini ele alarak grlebilir.

On dokuzuncu yzyl boyunca geometri sadece klidin paralellik postulatna alternatifleri

dnerek ve onun boyut snrlamasn kaldrarak deil, ayn zamanda geometrik zelliklerin farkl seviyelerini ayrt ederek de gelimitir. ekiller belirli eit transformasyonlara maruz kaldklarnda onlarn deimeyen baz zelliklere sahip olduklar uzun zamandr biliniyordu. Bylece Pascal on yedinci yzylda eer bir altgen konik bir kesitin iine izilirse kar kenarlarn kesitii noktann bir doru zerinde olmas gerektiini ispat etmitir. Bu teorem sadece daire iine izilen bir altgen iin deil, bu eklin bir noktadan bir dzleme projeksiyonu

19

ile elde edilen herhangi bir altgen iin de doru olduundan, burada metrik zellikten ok izdmsel bir zellik sz konusudur; yani bu teorem llere bakmadan greli pozisyonlar dndmz bir geometri seviyesine aittir. ekillerin izdmden daha da etkili transformasyonlara dayanan baka zellikleri de vardr. rnein, lastikten bir levhann zerine bir dairenin iine bir kare izer ve lastii istediimiz ekilde bkersek, iine izdiimiz ekil kare, hatta drtgenliini kaybetse de iinde kalr. Burada sadece mesafenin deil, dz bir izgi ile bir eri arasndaki farkn dahi gz ard edilebilecei topolojinin daha da derin bir seviyesine ait bir zellik sz konusudur. Belli seviyede bir geometri tanmnda Kleinn dilini kullanmak

ve bu geometrinin belirli bir grubun ilemleri altnda deimeyen tm zellikleri incelediini sylemek uygundur. Burada ilemler ile uzayda yer deimeler ve kendi etrafnda dnmeler, paralel ya da merkezi izdmler ve yukarda tanmlanan ekil bozulmalarn kastediyoruz; grup ile de u zellikleri tayan ilemler kmesini kastediyoruz: (a) kmenin herhangi iki ileminin ard arda yaplmasnn sonucu bu kmenin bir ilemidir ve (b) kmenin herhangi bir ileminin tersi de bu kmenin bir ilemidir. Tesadfen, ilk kez Galoisnn (1811-32) dnd bu grup dncesi imdi matematiin birok farkl alannda uygulama bulan o yksek soyutlamalardan biridir.

20

Bu Blmde Ne rendik zeti

Bir ifade iin verilen aksiyom kmesi dnda hibir basit mantk-d im gerektirmeyen herhangi bir nermeyi seelim. O zaman aksiyom kmesi tutarl olacaksa, hem o nermenin

ispatna hem de deilinin ispatna izin vermemelidir. Aksiyom kmesi eksiksiz olacaksa da bu nermenin ya ispatn salamal ya da deilinin ispatn salamaldr. lk bakta eksiksizlik artlar yukarda bahsedilen monomorfizmin artlarna benzer, yani aksiyomlar bir sonu olarak ya nermeye ya da deiline sahip olmaldr, ancak aslnda bu daha skdr. nk bir monomorfik aksiyom kmesinin sembolizminde ifade edilebilen ve aksiyomlarn bir sonucu

olan, ancak yine de tretilmesi sonsuz uzunlukta olacandan ve bundan dolay bir ispat olmayacandan onlardan tmdengelimsel olarak ispat edilemeyen bir nerme olabilir.

21

Blm Sorular

1. Aksiyom nedir?

2. klidin paralellik postulat nedir?

3. kliti olmayan geometrileri teoremlerini barndran ilk eser hangisidir?

4. kliti olmayan geometriler hangileridir?

5. Bir aksiyom kmesinin eksiksiz olmas ne demektir?

oktan Semeli Sorular

1. Aadakilerden hangisi tekil terime rnektir? a) stanbul b) Tm ehirler c) Baz ehirler d) ehir e) nsanlk

22

2. Aadakilerden hangisi bir nerme cmlesidir? a) Ah bir ocuk olsam!

b) Bugn naslsnz?

c) Baz kular hi sevmem! d) Aristotelesin pek ok kitab var.

e) Dnya gezegendir.

3. Aadakilerden hangisi postulatn tanmdr? a) Kantlanabilen bilimsel nermedir.

b) Mantksal usavurma ile kantlanan nermenin ya da zelliin bildirimi. c) Geometride ispatna gerek duyulmadan, doruluu kendiliinden apak olduu

dnlen nermedir. d) Verilmi iki nermeden, bu nermelerin ierdiini iinde bulunduran nc bir

nermeyi karma ilemidir. e) Bir olgunun srekli olarak dorulanm gzlem ve deneyler baz alnarak yaplan bir

aklamasdr.

4. Aadakilerden hangisi klidin postulatlarndan biri deildir? a) Bir noktadan bir noktaya tek doru izilebilir. b) Sonlu bir doru yine bir doru olarak uzatlabilir. c) Bir merkez ve bir mesafe emberi tanmlar.

d) Btn dik alar birbirine eittir. e) Bir dorunun dndaki noktadan bu doruya tam iki paralel izilir.

5. klidin Tm eleri ile ddia Ettikleri adl eser kime aittir? a) klid

b) Saccheri

c) Labochevsky

d) Boyle

e) John Wallis

23

Cevaplar

1)a, 2)e, 3)c, 4)e, 5)b

24

2. MATEMATKSEL SOYUTLAMA II

25

Bu Blmde Neler reneceiz? MATEMATKSEL SOYUTLAMA II

Saylar ve Fonksiyonlar

26

Blm Hakknda lgi Oluturan Sorular

Saylar ve fonksiyonlar arasnda nasl bir iliki vardr?

27

Blmde Hedeflenen Kazanmlar ve Kazanm Yntemleri

Konu Kazanm Kazanmn nasl elde

edilecei veya gelitirileceiMATEMATKSEL

SOYUTLAMA

Saylar ve Fonksiyonlar Okuma

28

Anahtar Kavramlar

Matematik, Say, Fonksiyon

29

Giri Bir, iki, gibi sfatlarn yannda en ilkel dillerde bile yarm, te bir, drtte bir gibi

say terimleri bulunur; ancak -1, 3/2, 2 ve -1 gibi imlerin saylar iaret ettii kullanm son birka yzyln rndr. Rakamlarn cins isimler olarak kullanlmas gibi, bu gelime de matematiksel hesaplarn detaylandrlmasyla balantldr. Bu gelime zellikle Descartesn cebir sembolizmini geometriye uygulamasndan esinlenmitir.

Say kavramnn art arda genilemesinin tarihesini aadaki emada zetleyebiliriz. Burada italik yazlan isimler bizim orijinal saylarmza eklenen yeni trden saylardr.

Doal

Tam

Negatif Rasyonel

Kesirli Reel

rrasyonel Saylar

Sanal

Doal saylar alan toplama, arpma ve st alma ilemleri altnda kapaldr. Ancak bu alan karma ilemi altnda kapal deildir. Dier taraftan, iaretli tam saylar alan ise toplama, karma, arpma ve st alma ilemleri altnda kapaldr, ancak blme ilemi altnda kapal deildir. Blme ileminin her zaman mmkn olduu bir alan iin rasyonel saylar dnmeliyiz. Ancak rasyonel saylar alannda da her zaman kk alma ilemini yapamayz. Bylece de reel saylar alann dnmeye ynlendiriliriz; reel saylar alannda tm pozitif saylarn istenilen her dereceden kk vardr. Son olarak, karmak saylar alannda tm bahsettiimiz ilemler snrlama olmadan yaplabilir.

Matematik dilinde fonksiyon szc, argman denilen bir sayya uygulandnda bu argman iin fonksiyonun deeri olarak tanmlanan bir sayy veren bir ilemi belirtmek iin kullanlr. Ya da ilem szc insan mdahalesini kuvvetli bir ekilde akla getiriyorsa, bir fonksiyondan matematiksel olarak sz etmenin fonksiyonun deeri denilen bir saynn fonksiyonun argman denilen bir sayya olan bantsndan sz etmekle edeer olduunu syleyebiliriz. Sklkla bu bant x harfinin bamsz deiken olup deerleri olarak

30

fonksiyonun argmanlarn ald, y harfinin ise deerleri olarak deiik mmkn argmanlar iin fonksiyonun deerlerini alp baml deiken olduu y = f (x) eklindeki bir fonksiyon denklemi tarafndan ifade edilir.

31

2.1. Saylar ve Fonksiyonlar

Geometriciler tutarllk ispatlar iin kendi aksiyom kmelerinin saysal yorumlamalarn sk

sk kullanmlardr. Bunu yaparak onlar bilimlerini tm matematik-d varsaymlardan kurtarmay mit etmilerdir. Ancak matematiin say ile uraan blmnn temeli nedir? Sreklilik kavramn ieren herhangi bir geometri sisteminin tatmin edici saysal bir yorumunu

vermek iin 2 ve gibi saylar kullanmamz gerekir. Antikada bu trden saylar kafa karklna yol amlardr.

Yaptklar bir karmla Pisagorcular evreni anlamann anahtarn oran dncesinde, yani iki doal say arasndaki bir bant kavramnda bulduklarna kendilerini inandrmlardr. Hi phesiz onlar orann mzikteki neminden etkilenmilerdir; ayrca orann Yunanca karl olan szcnn ayn zamanda neden veya aklama anlamna da geldii olgusundan da etkilenmi olabilirler. Dier bak asndan, onlar szcn matematiksel anlamda ilk kullananlar da olabilirler. Ancak metafizik iddialar ne olursa olsun, onlar karenin kegeninin bir kenaryla ellemezliini bulduklarnda ok rahatsz olmulardr. nk burada ok basit bir rnekte saduyu belirli bir iliki olmas gerektiinde srar etmekte felsefeyi destekler grnrken, iki dorunun uzunluu arasndaki oran bahsinin elikiye yol at gsterilmitir: aka kegen kenardan, kenarn yars kadar daha uzun deildir, kenarn te birinden biraz fazla daha uzundur.

lk rakamlar muhtemelen bir, iki, gibi sfatlardr. Yunancada ve dier birok dilde bu trden szckler basit sfatlar gibi ekimlenir, ancak bunlar isimleri dier sfatlarn nitelendirdii gibi nitelendiremezler. nk iki byk kpei (two large dogs) olduunu syleyen bir adam kpeklerden her birinin byk olduunu syler, o elbette her birinin iki tane olduunu sylemek istemez. Bu bir para kafa kartrcdr, ancak ngilizce de dahil baz dillerde ayn ses veya iaretlerin sk sk cins isim olarak da kullanlmalar daha da tuhaftr. rnein, iki en kk asal saydr deriz. Bu kullanm saylardan, saydmz eyler kmelerinden de, bunlar saydmz rakkamlardan da ayr nesneler olarak sz eder; nk iki says hakknda doru olan ey bir ift kpek ya da bir szck hakknda makul bir ekilde reddedilemez. Aritmetiin bir hesap olarak gelimesinden nce bu trden bir konuma da

32

yaplamazd. Bunun Platon dnemindeki Yunanllara kolay gelmediini gsteren baz kantlar mevcuttur.

Bir, iki, gibi sfatlarn yannda en ilkel dillerde bile yarm, te bir, drtte bir gibi

say terimleri bulunur; ancak -1, 3/2, 2 ve -1 gibi imlerin saylar iaret ettii kullanm son birka yzyln rndr. Rakamlarn cins isimler olarak kullanlmas gibi, bu gelime de matematiksel hesaplarn detaylandrlmasyla balantldr. Bu gelime zellikle Descartesn cebir sembolizmini geometriye uygulamasndan esinlenmitir.

nce, bir problemin bizi x + 3 = 2 denklemini zmeye gtrdn farz edelim. rnein, bir kii 3 lira deyerek banka hesabn 2 lira yaparsa onun nceden bankada ka paras olduunu bilmek isteyebiliriz. Aka bu denklem doal saylar cinsinden zlemez, ancak eksi saylardan bahsedebilirsek, x = -1 yazabiliriz. Bir doru zerindeki 0 ile gsterilen noktann soluna eit aralklarla iaretler koyarak bu trden saylar rahatlkla gsterebiliriz:

kinci olarak, eer 2 x - 3 = 0 gibi denklemleri zmekten bahsedeceksek, 3/2 gibi saylar fark edilmelidir. Bunlarla birlikte bir doru zerinde gsterilebilen saylara ok byk bir ekleme yaparz. nk her iki kesir arasnda baka bir kesir bulmak her zaman mmkndr ve bu unu sylemekle ayndr: 0 ile 1 saylar arasnda olduu gibi, herhangi bir aralkta sonsuz sayda kesir bulunur. Ancak bu genileme ile bir doru zerindeki tm noktalara karlk gelen saylar fark ettiimizi zannetmemeliyiz: kenar bir birim uzunluunda olan bir kare meydana getirirsek ve daha sonra onun kegenini balang noktasndan itibaren doru boyunca koyarsak, son noktas imdiye kadar say verdiimiz noktalarn arasnda yer almaz. Bu boluk ve sonsuz sayda dier boluklar ancak say kavramnn 2 gibi cebirsel irrasyonelleri ve gibi transandantal (veya cebirsel olmayan) irrasyonelleri kapsayacak ekilde nc bir genilemesi

0 1-1-2 -3 2 3

33

ile kapatlr. Cebirsel irrasyonel saylar ile x2 2 = 0 gibi cebirsel denklemleri zme hakk

kazanrz, transandantal irrasyonel saylar ile de dorusal sreklilii tamamlayabiliriz. Son olarak drdnc bir genileme bizim x2 + 1 = 0 denkleminin bir kk olarak sanal say -1i fark etmemizi gerektirir. Burada genileme drts tamamen formel cebirden gelir. Doru zerinde -1 saysna karlk gelen bir nokta yoktur ve sanal saylar kullanan on sekizinci yzyl matematikileri bunlar sadece hesaplarn daha kolay ve daha genel hale getirmek iin

kullanmlardr. Ancak sanal saylar sadece bu nedenden dolay kabul edildii srece statleri ok gizemli olarak dnlmtr. Bu gizemli grnt 1797de Wessel, 1806da da Argand sanal saylar bir dzlemdeki harekete balama yolunu gsterdiklerinde yok olmutur. Descartesn analitik geometrisinde saylar noktalarla, bu noktalarn belli koordinatlardan

uzaklklarna gre ilikilidir; ancak bir sayy bir vektr ya da bir paracn bir noktaya varmak iin yapaca yer deitirme ls olarak dnmek de mmkndr ve bu taslakta bir vektrn -1 ile arpm aka hareket ynn tersine evirmeyi belirtir. Bir vektrn -1 ile arpm bir dik a boyunca rotasyonu, yani tekrar tam tersine evirmeyi meydana getiren bir ilemi gsterir.

Say kavramnn art arda genilemesinin tarihesini aadaki emada zetleyebiliriz. Burada italik yazlan isimler bizim orijinal saylarmza eklenen yeni trden saylardr.

Doal

Tam

Negatif Rasyonel

Kesirli Reel

rrasyonel Saylar

Sanal

Aka tam saylar kesirlere kar, rasyonel saylar irrasyonellere kar, reel saylar da sanal saylara kar adlandrlmlardr ve bu adlandrma sistemi doal olarak bir cins iinde trlerin bir snflandrmasn verir. Ancak gelimeyi bu ekilde tanmlama hataldr. Be deiik eit saynn hiyerarisinden bahsetmeliyiz, yle ki her st eit her alt eide karlk gelen bir alt-

34

kme barndrr. Aadaki emada her say eidi yatay bir doruyla, karlk gelenler de dikey dorularla gsterilir:

Karmak saylar

Reel saylar

Rasyonel saylar

aretli tam saylar

Doal saylar

Pozitif bir tamsay olan +2 bir doal say olan 2 ile ayn deildir ve bizim +2 sembol yerine 2 semboln yazma adetimiz pozitif tamsaylarla hesap yapma kurallarmzn doal saylarla hesap yapma kurallarmza tam olarak karlk geldii olgusundan dolaydr. Benzer ekilde +2/+1 rasyonel says kat kuramda +2 pozitif saysndan ve 2 doal saysndan, hesap yaptmzda bu fark dikkate almadmzda hataya dmeyecek olsak da ayrlmaldr. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 denkleminde ayn 2 imini bu sefer de baka bir ekilde, yani bir reel say olarak kullanrz. Belli balamlarda da bunu daha uzun olan 2 + 0 -1 iminin bir ksaltmas olarak, yani sanal ksm sfr olan bir karmak saynn sembol olarak kullanabiliriz.

Doal saylar alan toplama, arpma ve st alma ilemleri altnda kapaldr, yani 0 ile ilgili baz zel durumlar haricinde, bir doal say ile baka bir doal sayy topladmzda, arptmzda ya da bir doal saynn bir doal say stn aldmzda sonu olarak her zaman bir doal say elde ederiz. Ancak bu alan karma ilemi altnda kapal deildir. Dier taraftan, iaretli tam saylar alan ise toplama, karma, arpma ve st alma ilemleri altnda kapaldr, ancak blme ilemi altnda kapal deildir. Blme ileminin her zaman mmkn olduu bir alan iin rasyonel saylar dnmeliyiz. Ancak rasyonel saylar alannda da her zaman kk alma ilemini yapamayz. Bylece de reel saylar alann dnmeye ynlendiriliriz; reel saylar alannda tm pozitif saylarn istenilen her dereceden kk vardr. Son olarak, karmak saylar alannda tm bahsettiimiz ilemler snrlama olmadan yaplabilir. Bunlardan baka reel saylar

35

alannda zaten uygulanabilen (yaknsak sonsuz bir dizinin limitini almak gibi) baka ilemler de vardr, ancak karmak saylar alan zellikle ilgintir, nk burada fonksiyon kavram en geni uygulamaya sahiptir.

Matematik dilinde fonksiyon szc, argman denilen bir sayya (veya birden fazla argman olan bir fonksiyonsa, bir sral saylar kmesine) uygulandnda bu argman iin fonksiyonun deeri olarak tanmlanan bir sayy veren ilemi belirtmek iin kullanlr. Ya da ilem szc insan mdahalesini kuvvetli bir ekilde akla getiriyorsa, bir fonksiyondan matematiksel olarak sz etmenin fonksiyonun deeri denilen (normal olarak tek) bir saynn fonksiyonun argman denilen bir sayya olan bantsndan sz etmekle edeer olduunu syleyebiliriz. Sklkla bu bant x harfinin bamsz deiken olup deerleri olarak fonksiyonun argmanlarn ald, y harfinin ise deerleri olarak deiik mmkn argmanlar iin fonksiyonun deerlerini alp baml deiken olduu y = f (x) eklindeki bir fonksiyon denklemi tarafndan ifade edilir. Bazen de bir fonksiyonun bu fonksiyonun olas argmanlarnn

alan denilen belli bir snftan fonksiyonun olas deerlerinin alan olan belli bir snfa olduu sylenir.

Bu modern fonksiyon doal saylar alan iinde uygulanabilir ekilde yazlmtr. rnein, n2 tarafndan gsterilen fonksiyonun 2 argman iin 4 deerini aldn syleyebiliriz. Ancak bu terminoloji mekanikten alnmtr ve tarihsel olarak srekli deiim dncesiyle birletirilir. Gnmzde matematik metinlerinde belli ekillerde ortaya kan harfleri adlandrmada kullanlan deiken szc balangta zaman ile deien fiziksel byklklere uygulanmtr, rnein, bir paracn dierine olan mesafesi veya bir gazn basnc gibi. y = f (x) eklindeki formllerde x ve y harfleri geen sre ve geilmi mesafe gibi ifadelerin ksaltmalar olarak grlmtr. Saf matematikiler deikenler ve fonksiyonlardan sz etmeye baladklarnda, bunu baz fizik yasalarnca ortaya konan matematiksel modellerle ilgilendiklerinden dolay yapmlardr. Ancak onlar kullandklar harflerin yukarda sz edilen ifadelerin ksaltmalar olduunu syleyememilerdir ve o zaman benimsedikleri kullanmlar, zellikle harflerin kendilerine deikenler adn verme adeti byk karmaklk ve kafa bulanklna yol amtr.

36

Aka daha yksek trden say ifadelerini basit rakamlar kullandmz ekilde kullanamayz; rnein odada 5+3-1 kii var demek sama olur. Bu gelime sresince say kavramn kullanmaya devam ediyoruz. Say kavramn geniletmek aslnda say szcnn kullanmn eitli trden varlklar kapsayacak ekilde yaymaktr. Bylece cebrin her zamanki temel kurallarna gre bu varlklar yerine geen sembollerle hesap yapma olanamz olur; rnein, deiim kurallar:

x + y = y + x ve x y = y x,

birleim kurallar:

(x + y) + z = x + (y + z) ve (x y) z = x (y z)

ve datma kural:

x (y + z) = x y + x z.

Geniletilmi anlamda bir saylar sistemi aslnda sadece tm bu yasalarn uygun toplama ve arpma tanmlaryla birlikte doru olduu bir varlklar kmesidir. Bu nokta nemlidir, nk doal saylar hesabnda uygun olan toplama ve arpma kavramlar baka trden saylarn hesabnda uygulanamaz. rnein, eer iaretli tam saylarn arpmndan sz etmek istersek, nce arpma szcn bu balamda nasl kullandmz aklamamz gerekir, yani u kurallara gre:

(+a) (+b) = +a b, (+a) (-b) = -a b, (-a) (-b) = +a b.

Bu, cebrin temel kurallarnn sistematik olarak belirsiz olduklarn sylemektir ya da daha

doru bir ifadeyle, bunlarn saylarla hesap dediimiz herhangi bir hesabn ilemlerince salanacak belli mantksal durumlar soyut bir ekilde verdiini sylemektir.

Karmak saylarn ne srlmesi de dahil bu dneme kadarki gelime, matematikilerin say szcnn kullanmn tam olarak ne yaptklarnn farknda olmadan geniletmeleri anlamnda, bilinsizce olmutur. Onlara hi phesiz 1833de G. Peacockun edeer formlarn korunmas ilkesi dedii ilke, yani yukarda belirtilen cebrin genel kurallarn devam ettirme arzusu yol gstermitir. Ancak onlar birbirini izleyen her yenilii bir nceki safhada karlalan problemleri zmek iin benimsemeleri gereken bir ey olarak dnmlerdir; cebri rneklerinden soyutlayarak ya da gelimeyi gidebildii kadar ileriye gtrme uruna yeni

37

hesaplar bulmaya alma eklinde dnmemilerdir. On dokuzuncu yzylda bu durum deimitir. Her eyden nce, birka nemli matematiki cebri soyut bir ekilde dnmeye balamlardr. Peacocktan bahsedildi, ancak bakalar da vardr. rnein, D. F. Gregory 1838de Sembolik Cebrin Gerek Doas zerine adl bir makale yazmtr, De Morgan da 1839 ile 1844 arasnda Cebrin Temelleri hakknda drt makalelik bir dizi yaynlamtr. kinci olarak, yeni hesaplar bulma gayretleri olmutur. rnein, H. Grassmann 1844de Leibnizin geometri hesab projesini devam ettiren Ausdehnungslehre (Genileme Bilimi) zerine bir kitap karmtr. 1844de quaternionlar zerine ilk makalesini yaynlamasndan itibaren Dublinli Sir William Rowan Hamilton yksek-karmak saylarn yeni cebrini mkemmelletirmek iin byk enerji sarf etmitir. Hamiltonun tamamen bolukta uramad fark edilmelidir. Onun abalar karmak saylarn dzlemdeki hareket iin gayet tatmin edici ekilde yaptklarn boyutlu uzaydaki hareket iin yapacak bir hesab yaratma arzusundan esinlenmitir. Karmak saylar i harfinin -1 saysn gsterdii x + yi eklinde ifade edilebilirken, onun quaternionlar i, j, k harflerinin her ikisi birbirine dik dzlemdeki rotasyonlar temsil ettii x + yi + zj + wk eklinde ifade edilebilir. Ancak karmak saylar kuramnn aksine, onun sistemi cebrin tm temel kurallarn salamaz. Dier kurallar korumak uruna, onun arpma iin deiim kuraln terk edip i j = - j i kuraln kabul etmesi gerekmitir. Bu nedenden dolay quaternionlar say olarak genel kabul grmemilerdir. Ayn ey dier neriler iin de geerlidir, rnein say kavramnn karmak saylar alannn tesine genilemesini salad dnlebilen matrisler gibi. nk bu trden bir genilemenin say szcnn anlamn belirten kurallardan bazlarndan vazgemeden yaplamayaca artk bilinmektedir. Bu, ar-karmak saylar hakknda konumann aptalca olduunu sylemek deil, bunlar hakknda konuursak kullanmmzn say kavramna sadece kism bir benzerlik tadn sylemektir.

Doal saylardan karmak saylara bu gelime meydana gelirken matematikilerin bu gelime hakknda dndklerine gelince, ilk bata her adm bir rahatszlk uyandrmtr, ancak bir sre sonra her biri kanlmaz hale gelmitir. En azndan reel saylar iin bu gelime uzamsal kayglar tamtr; balangta belirli hesap modellerinin genelliini korumak zere ileri srlen sanal saylar dahi uzamsal bir yorumla bir karmak saylar kuramna dahil edildikten sonra matematiksel sylemin tamamen saygn konular olarak kabul edilmilerdir. Ancak esas gelime tamamlandktan hemen sonra reel saylarn sreklilii hakkndaki savlarn temeli olan uzamsal sezginin gvenirlii hakknda pheler olumaya balamtr. rnein, 1830da

38

Bolzano tarafndan, daha sonra da Weierstrass tarafndan baz srekli fonksiyonlarn

trevlenebilir olmadklar gsterilmitir. Geometri dilinde bu tanjantlar olmayan srekli erilerin olabilecei anlamna gelir. Bunu daha ilgin paradokslar da takip etmitir.

Matematik bilgisi olarak uzamsal sezginin gvenirliinden bir kez phe duyulduunda son zamanlarda kabul edilen ispatlar tekrar inceleme zorunluluu ortaya kmtr ve sonu Cauchy (1789-1857) ve Weierstrass (1815-97) gibi kiilerce matematiin radikal bir biimde yeniden yaplandrlmas olmutur. On dokuzuncu yzyldan nce analizde hi bir eyin tatmin edici bir ekilde ispat edilmedii gerekten sylenmitir. Geometride olduu gibi analizde de kesinlik bir kant iin gerekli olan her eyin aka ifadesini gerektirir; bylece on dokuzuncu yzylda dikkatin say ifadelerinin eitli trlerinin rtk tanmlarn veren formllere ynlendii grlmtr. stersek Hamiltonun quaternionlar bulduunu syleyebiliriz, ancak ne o ne de baka biri karmak saylar iin geerli olan tm cebir yasalarn salayan bir ar-karmak saylar sistemi meydana getirebildi. Konunun netlemesi bakmndan ilk adm o zamana kadar kabul edilen eitli hesaplarn kurallarn ak ve kesin bir ekilde ifadelendirme olmutur ve bu adm on dokuzuncu yzylda atlmtr.

Say kavramn geniletmenin her aamasnda yeni bir hesap ileminin kurallarnca rtk olarak tanmlanan yeni tr varlklarla i grmemiz gerekir. Ancak genellikle iaretli tam saylardan veya rasyonel saylardan sz ettiimiz baz balamlarda tm sylemek istediimizi yeni trden saylardan sz etmeden sylemek mmkndr. Bylece 3 - 5 = - 2 denklemi yerine

3 + 2 = 5 yazabiliriz ve 5 / 3 = 10 / 6 yerine de 5 6 = 10 3 yazabiliriz. aretli tam saylar ya da rasyonel saylarla uramay uygun bulduumuzda dahi bunlar bir alt trden seilmi ve zel ilemlere tbi saylarn sral iftleri olarak grebiliriz. rnein, iaretli saylar hesab aadaki trden kurallardan gelitirilebilir:

(a, b) = (c, d) ancak ve ancak a + d = b + c,

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) (c, d) = (a c + b d, a d + b c)

lk bakta bu bilinmedik grnebilir, ancak her zamanki gsterim yntemini elde etmek iin iki standart form olan (a, 0) ve (0, a) yerine ksaltma olarak sadece + a ve a yazmamz gerekir.

39

Bizim yeni saysal ifadelerimiz zel eitlik kurallarmzla (a, 0) ve (0, a)ya indirgenebilirdir. Rasyonel saylar hesabnn zel kurallar elbette farkldr, ancak daha karmak deildir. Bu sral iftler ile aklama olaslnn sonu da deildir; nk 1835de Hamilton karmak saylar hesabnn uygun tasarlanm eitlik, toplama, arpma, vs. kurallar ile reel saylarn sral iftlerinin bir hesab olarak sunulabildiini gstermitir. Reel saylar hakkndaki konumann benzer bir ekilde rasyonel saylar hakkndaki konumayla ilgili olduu gsterilebilirse, zincir tamamlanacakt; biz de Bertrand Russelln terminolojisiyle daha yksek trden tm saylarn

doal saylardan retilen mantksal yaplar olduunu syleyebilecektik. Bu u demektir: uzamsal ve zamansal sreklilik sezgisince bulunan yeni varlklar olarak daha yksek trden

saylar ileri srmek zorunlu olmayacakt, nk bunlar hakknda konuma doal saylar ve onlarn zellikleri hakkndaki daha karmak konumaya prensipte edeer olacakt. Daha sonraki felsefeye ilham kayna olan bu programa analizin aritmetikletirilmesi ad verilir.

Reel saylar maalesef Pisagor okulu iin olduu kadar modern matematikiler iin de skntlyd. Bunun nedeni reel saylar hesabnn herhangi bir sonlu rasyonel saylar kmesi ile

yaplan bir hesap olarak gsterilemez oluudur. Reel saylar hesaba katmaya balar balamaz, kendimizi tm zorluklaryla birlikte sonsuzluk hakknda konumaya kaptrrz.

Reel saylarn sonsuz rasyonel saylar kmelerince tanmlanmas reel saylar hesabnda

beklediimizi verdiinden dolay ve bunu daha nce gelen rasyonel saylar hesabyla ilikilendirdiinden dolay tatmin edici grnr. Ancak analizin aritmetikletirilmesi szyle Kroneckerin aka demek istedii gibi, tm matematik ifadelerini doal saylar hakkndaki ifadelere indirgemeyi kastediyorsak bu, analizin aritmetikletirilmesine izin vermez. nk rasyonel saylarn sonsuz bir kmesine iaret eden bir ifade, belirli rasyonel saylarn sadece sonlu bir kmesine iaret eden bir ifadenin indirgenebilecei gibi, kat anlamda indirgenemez.

40

Bu Blmde Ne rendik zeti Tam indirgeme programndan vaz geersek, reel saylar hesabmz iin benimsediimiz zel

kurallarn tutarlln ispat etme zorluuyla yzlememiz gerekir. Bu iddiay, yani kurallarn tanmlamas gereken saylarn varln kabul etmeksizin bu nasl yaplmaldr? On dokuzuncu yzyl boyunca bu eletiriler detayl bir ekilde incelenmemi olduu halde, bunlar baz matematikilerin zihinlerinde kayg uyandracak kadar iyi anlalmtr. Frege rnein, Kronecker gibi kendi dnemindeki reel saylar kuramlarndan hibir zaman tam olarak tatmin

olmamtr.

41

Blm Sorular

1. Sanal saylar bir dzlemde nasl gsterilir?

2. Say kavramnn genilemesinin zetini bir emayla gsteriniz. 3. Matematikte bir say alannn belli ilemler altnda kapal olmas ne demektir? 4. Matematikte fonksiyon nedir?

5. Matematiksel analizin aritmetikletirilmesi ne anlama gelir?

oktan Semeli Sorular

1. Aadakilerden hangisi Montuclann eseridir? a) klidin Tm eleri ile ddia Ettikleri b) Matematik Tarihi

c) Paralellik Teorisini Kantlama abalarnn Yorumu

d) Geometrinin Temelinde Yatan Hipotezler zerine

e) Geometrinin Temelleri

2. Aadakilerden hangisi geni a hipotezini gelitirmitir? a) Saccheri

b) Labochevsky

c) Boyle

d) John Wallis

e) Riemann

3. Aadakilerden hangisi dar a hipotezini gelitirmitir? a) Saccheri

b) Labochevsky

c) Boyle

d) John Wallis

e) Riemann

4. Aadakilerden hangisi Logica Demonstrativa(Kantlama Mant)nn yazardr?

42

a) Saccheri

b) Labochevsky

c) Boyle

d) John Wallis

e) Riemann

5. Kantlama Mant eserinin nemi nedir? a) Paralellik postulatnn zorunlu doruluunu ortaya koymadaki baars b) Paralellik postulatnn kendi deillemesinden ktn ispatlam olmas c) kliti olmayan geometri teoremlerini barndran ilk eser olmas

d) Mantk teoremlerini barndran ilk eser olmas

e) klid nermelerinin bir postulat olarak grnmelerinin yanlln ispatlamas

Cevaplar

1)b 2)e 3)b 4)a 5)c

43

3. GEORGE BOOLE

44

Bu Blmde Neler reneceiz? 3.1. George Boole

45

Blm Hakknda lgi Oluturan Sorular George Boole kimdir?

George Booleun hangi kitaplarn yazardr?

Boole cebri hangi esaslara dayanmaktadr?

46

Blmde Hedeflenen Kazanmlar ve Kazanm Yntemleri

Konu Kazanm Kazanmn nasl elde

edilecei veya gelitirileceiGEORGE BOOLE George Booleun kiilii,

eserleri ve en ok bilinen

almalar hakknda detayl bilgiler.

Okuma

47

Anahtar Kavramlar

Boole, almalar, Boole Cebri

48

Giri George Boole 1815de domu ve 1864de lm ngiliz matematikidir. Kk yata klasik

dillere ilgi duymu ve Latince ile klasik Yunanca renmitir. niversite okumayp kendi kendini yetitirmitir. rlandada Corkda bulunan Queens Kolejinde matematik blm bakanl yapm, ksa zamanda rektrle atanmtr. 1855de Mary Everest ile evlenmi ve be kz ocuu olmutur. Krk dokuz yanda zatrreden lmtr.

1838de Boole ilk makalesi olan Varyasyon Hesabndaki Belirli Teoremler zerine adl

makaleyi yazmtr. 1843de Boole Kraliyet Topluluuna Analizde Genel bir Metot zerine adl makalesini sunmu ve bu makalesiyle Topluluun 1841 ile 1844 arasnda yazlan en iyi makaleye verdii altn madalya dln kazanmtr. Booleun n bu makaleyle pekimitir. 1847de Mantn Matematiksel Analizi adl kk bir kitap yazmtr. Ancak en nl eseri Dnce Yasalar adl kitabdr. Yazldndan yarm yzyl sonra Russell bu kitab saf matematiin kefedildii eser olarak tanmlamtr.

Boole bu eserde sonradan Boole cebri olarak anlan mantk cebrini ne srmtr. Snflar x, y, z gibi harflerle belirtmi ve bunlara seici semboller adn vermitir. x ve y snflarnn kesiimini x y olarak gstermitir. Ayrca evren snfn her eyin ye olduu snf, bo snf da hibir eyin ye olmad snf olarak tanmlam ve bunlar srasyla 1 ve 0 sembolleri ile gstermitir. Boole cebrinde x bir snf belirtirse, o snfn kendisiyle kesiimi ayn snftr, yani xx = x. Boole x ile belirtilen snfn tamlayann 1 - x ile gstermitir. Bylece sisteminin zel ilkesini x (1 - x) = 0 formlyle ifade etmitir. Boole A, E, I, O nermelerini aadaki denklemlerle gstermitir:

Her X Ydir.........................x (1 - y) = 0

Hibir X Y deildir..........x y = 0

Baz Xler Ydir...............x y = v

Baz Xler Y deildir..... x (1 y) = v

49

Burada v harfi bo olmayan bir snf simgeler. Boole aadaki doru nermeleri ncl olarak varsaymtr:

(1) x y = y x (2) x + y = y + x

(3) x (y + z ) = x y + x z (4) x (y z) = x y x z

(5) x = y ise, o zaman x z = y z (6) x = y ise, o zaman x + z = y + z

(7) x = y ise, o zaman x z = y z (8) x (1 x) = 0

50

3.1. GEORGE BOOLE

3.1.1. Yaam (1815-1864) George Boole 2 Kasm 1815de ngilterenin kuzeyinde Lincolnde domutur.

Lincolnshireda yz yllardr yaayan bir aileden gelen babas John Boole bir ayakkabc olarak yetitirilmi olmasna ramen bilim aletleriyle, zellikle de teleskoplarla ilgiliydi. Georgeun kendisinden kk bir kz, iki erkek kardei daha vardr.

George Boole tm yaam boyunca gsterecei utanga ve ekingen karakterine ramen yerel okullarda fark edilir bir ne sahip olmutur. Snftaki eitimini snf dnda rendikleriyle desteklemitir. lk ocuk olarak ailesinin gz bebei olmu, babas ile akamlarn kameralar, kaleydoskoplar, mikroskoplar, teleskoplar ve gne saatleri yaparak geirmilerdir.

Ancak Boole ilk nn klasik dillere ilgisi ile kazanmtr. Yerel bir kitapdan Latince rendikten sonra kendi kendine klasik Yunanca renmitir. On drt yanda Yunanl air Meleager tarafndan yazlm bir kasidenin vezinli evirisini yapmtr. Bu eviri Booleun babasn o kadar etkilemitir ki o bunun evirmeninin ya ile birlikte yaynlanmas iin yerel gazete Lincoln Herald ikna etmitir. Yerel bir okul mdr editre evirinin herhangi bir on drt yandaki ocuun yapabileceinin ok stnde olduunu yazmtr.

Henz onlu yalarnda dini adan Angilikan Kilisesine kar tavr gelitirmitir. ngiliz Ortodoks Kilisesine bal olarak yetimesine ramen dillere olan yetenei Hristiyan teolojisinin byk blmn okumasna imkan vermitir. Baz ilk defterlerde Boole Hristiyanlktaki lemeyi uzayn boyutu ile karlatrmtr. Erken yata eski Musevi gr olan mutlak bir birlik olarak Tanr grne ilgi gelitirmitir. Bir sre Musaevilie dnme fikrini bile dnmtr. Sonunda Anglikan Kilisesine bal olmayan bir niteryen olmutur.

On yedi yanda Doncasterda okul retmeni olmutur. Anglikan Kilisesine kar dini grleri orada ksa sre kalmasna neden olmu ve bir sene iinde Liverpoolda bir greve

51

gitmitir. Bir retmen ve ynetici olarak yeteneklerinden emin bir ekilde alt ay sonra Liverpooldaki grevini brakp Lincolne geri dnm ve 1834 sonbaharnda gen erkek ve kz ocuklar iin gndzl bir okul olan Klasik Ticaret ve Matematik Akademisini amtr.

1838de ise Waddingtonda daha byk bir akademinin tm ynetimini stlenmitir. Lincolnden sadece drt mil uzaklkta olan Waddington ile Boole Lincolndeki yardm ve

eitim enstitleri ile balarn srdrebilmitir. Yirmi yanda tutarsz kadnlarn rehabilitasyonu iin bir merkez olan Lincolndeki Kadn Tvbekarlar Evinin e kurucusu ve mtevellisi olmutur. Ayn zamanda alma saatlerine makul snrlar arayan bir organizasyon olan Erken Kapanma Birliinin de bir memuru olmutur.

Booleun Lincolndeki en nemli yurttalk birlii, kuruluu onun 1834deki dnyle akan Mekanik Estitsdr. Bu enstit alan snfn ilerlemesi iin bir ticaret okuluyla kitap dn veren bir ktphanenin birleimidir. Babas burann ilk mdr olmu ve ktphanede Royal Society yaynlar ile Newtonun Principias, Laplacen Mcanique cleste ve

Lagragen Mcanique analytique gibi byk ngiliz ve kta Avrupas eserlerinin bulunmalarn salamtr. George Boole bu kitaplar iyice anlamak iin gerektiinde defalarca okuyarak adeta yutmutur.

Boole, Kraliyet Topluluunun bir yesi ve Mekanik Enstitsnn balarndan biri olan Sir Edward Bromhead ile tanklndan da byk fayda grmtr. Bromhead Cambridge mezunudur ve matematik dahisinden anlayan kabiliyetli amatr bir matematikidir. Boole,

Bromheadi hemen Lincolnn dnda aile malikanesi olan Thurlby Hallda defalarca ziyaret etmi ve ktphanesinden birok kitap dn almtr.

1843de yazd makaleyle en iyi makale dln almasna ramen Boole, kendi almasn sekin matematikilerin almalarndan daha dk seviyede grerek onlarla tanmay reddetmitir. Aslnda 1845de neredeyse otuz yandayken Cambridgede lisans yapmay dnmtr. Ebeveynleri iin devam eden finansal sorumluluundan kaamayacan fark ettiinde Boole yn deitirmi ve niversite profersrl aramaya karar vermitir. Booleun

52

ansna hkmet 1846da rlandada yeni kolej kurmak iin kanun tasars geirmitir. Boole hemen bu yeni kolejlerde profesrle bavurmu ve bir yl iinde atanacan mit etmitir. Ancak Booleun gneybat rlandada Corkda bulunan Queens Kolejine atanmas babasnn lmnden ksa sre sonra ancak Austos 1849da gereklemitir. Queens Kolejinde Boole ksa zamanda rektrle atanmtr.

Boole Corka vardnda Yunanca profesr ve Kolejin rektr yardmcs olan John Ryall ile ksa zamanda yakn arkada olmutur. 1850de Boole Ryalln on sekiz yandaki yeeni Mary Everest ile tanmtr. Marynin babas Thomas Anglikan Kilisesinde Papazdr. Aabeyi Sir George Everest Hindistann Yer lmc Generali ve kendisinin ismini verdii dnyann en yksek dan ilk tetkik eden kiidir.

Bir ocuk olarak sadece ngilterenin kuzeyini bilen Booleun aksine Mary Everest dnyay grmtr. Babas verem hastasdr ve Fransann daha salkl ikliminde homeopati tedavisi grmek zere birka seneliine izin almtr. Papaz Everest zindelik veren sabah egzersizleri olarak uzun yrylere ve kahvaltdan nce souk banyolara da inanrd. Tedavi Everest ailesinin evine dnmesini salayacak kadar iyi gelmitir.

Gnlnde Boole sk sk ak olup sonradan vazgeen mitsiz bir romantik olduunu itiraf etmitir. Buna ramen Mary Evereste ilk tantklarnda romantik bir ilgi duymutur. 1855de Thomas Everest kzn muhta brakarak lnce George Boole hemen evlilik teklifinde

bulunmutur. Mary kabul etmi ve Eyll 1855de evlenmilerdir. Be kz ocuklar dnyaya gelmitir.

24 Kasm 1864de Boole evinden Koleje iddetli yamur atnda uzun bir yry yapmtr. Islak kyafetlerle ders verdikten sonra eve uzun bir yryn ardndan geri dnmtr. Eve vardnda yataa yklm ve atelenmitir. Homeopatinin doruluundan hl emin olan Mary Boole kocasn iyiletirmek amacyla stne kova kova souk su dkmtr. Ancak Booleda broniyal zatrre gelimitir. Souk su tedavisi onu daha kt yapmtr. Mary Boole

53

sonunda 5 Aralkta bir doktor armay kabul etmitir. Ancak artk ok ge olmutur. O zamana kadar Boole ateli derin bir komaya girmi, gn sonra da lmtr.

Boole yaam boyunca birok dl almtr. Dublindeki Trinity Koleji ve Oxford niversitesi onu fahri doktora ile dllendirmitir. 1857de Kraliyet Topluluunun bir yesi olmutur. Ancak belki de gelecek nesiller Boolea en byk onuru vermilerdir. Birok bilgisayar dilinde DORU ve YANLI deeri alan nesneler mevcuttur. Bunlara Boole deikenleri denir.

3.1.2. almalar 1838de Boole ilk makalesi olan On Certain Theorems in the Calculus of Variations

(Varyasyon Hesabndaki Belirli Teoremler zerine) adl makaleyi yazmtr. lk makaleleri geni bir konu alann kaplamtr: diferansiyel denklemler, entegral alma, mantk, olaslk, geometri ve linear transformasyonlar. Tm bu makaleler yeni yayn hayatna balayan Cambridge Mathematical Journalda yaynlanmtr. 1843de Boole, ngiliz biliminin zirvesi saylan Kraliyet Topluluuna On a General Method in Analysis (Analizde Genel bir Metot zerine) adl makalesini sunmutur. Kraliyet Topluluu Booleun makalesini neredeyse dikkate almamtr, nk Topluluk kurulunda kimse Booleu tanmyordu. Bereket versin ki Topluluun matematik komitesinin bakan iki uzmann makaleyi incelemesini nermitir. Uzmanlardan biri makaleyi reddetmek istemitir. Ancak onun fikri baskn kmamtr. Dier uzman makalenin sadece yaynlanmasn nermemi, ayn zamanda onu Topluluun 1841 ile 1844 arasnda yazlan en iyi makaleye verdii altn madalyaya aday gstermitir. Onun nerisi galip gelmi ve Boole ngiliz matematik topluluunun vgsn kazanmtr.

Booleun n bu makaleyle pekimitir. Bu makalede o zamanki tabiriyle sembollerin ayrlmas denilen yneticiler hesabnn serbest kullanmn salayarak cebirsel akl yrtmenin genellemesine katkda bulunmutur. Bu makalesi mantkta r aan almasnn bir n habercisidir. Matematiksel analiz nesnelerinin yaps ve formu zerine odaklanm, bylece dikkatinin temelini mantn yaps ve formuna yerletirmitir. Makalesine bir dipnotta Boole unu yazmtr: Kabul ettirmeyi en ok istediim gr daha yksek analizde herhangi byk bir ilerleme sembollerin kombinasyon yasalarna daha fazla dikkat edilerek aranmaldr. Bu

ilkenin deeri pek abartlm olamaz.

54

Boole o zamana kadar yaynlanm eserlerden iki nemli buluu karabilmitir: (i) allagelmi anlamda say olmayan varlklarn bir cebrinin olabildii ve (ii) sayal saylar da iine alan say eitleri iin doru olan yasalarn bu trden saylara uygulanmayan bir cebir sistemi iinde hep birlikte tutulmalarnn gerekmedii. Genelleme yapma dehasyla o, eitli yorumlamalar yapabilen soyut bir hesaplama olarak bir cebrin gelitirilebileceini grmtr.

Geometri ile cebir matematiksel mantn geliimine farkl ekillerde katkda bulunmulardr. Cebir bir mantksal hesap oluturmada taklit edilecek bir model salarken, geometri aksiyombilim kavramlarn tasarlamak iin bir alan yaratmtr. Leibniz daha on yedinci yzylda kavramlarn ayrm ve birleimi ile saylarn toplanmas ve arplmas arasnda bir benzerlik olduunu fark etmitir, ancak bu benzerlii tam olarak formle etmeyi ve bunu daha sonra mantksal hesabn temeli olarak kullanmay kolay bulmamtr. Mathematical Analysis of Logicde (Mantn Matematiksel Analizi) George Booleun yapt tam da budur. Cebir formllerinin mantk bantlarn ifade etmede kullanlabilecei fikri ilk kez onlu yalarnda Lincolnda zel bir okulda gzc olarak alrken ve ok okuyarak kendini eitirken aklna gelmitir. Ancak 1847de bu kk kitab yazmasna yol aan manta yeniden balayan ilgisi bir zamanlar nl olan tartma zerine yazlm mektuplarn dergilerde boy gstermesinden kaynaklanmtr. Bu tartma Edinburghlu Sir William Hamiltonun yklem nicelemesi retisini kabullenmede ncelik iddia etmesinden, Augustus De Morgan hrszlkla sulamasndan ve eitimde bir e olarak matematie kar sarf ettii sama sapan szlerden domutur. Eserini yaynlamadan nce Boole ilgilerini paylat De Morgana mektup yazmtr; ancak bu tarihte De Morgan Formal Logic (Formel Mantk) adl kitabn bitirmek zeredir ve o her ikisinin de sonular zerinde grmeden kitaplarn yaynlamalar gerektiini nermitir. ki kitap aa yukar ayn zamanda ortaya kmtr; bir hikayeye gre dkkanlara ayn gn ulamlardr.

Boole 1849da Corkda yeni kurulan Queens Kolejinde matematik blm bakanlna atanr atanmaz mantk kuram hakknda daha geni bir kitabn hazrlna balamtr. Yaamnn bu dneminde urasnn zihin bilim olduunu, matematiin ise dinlencesi olduunu sylemitir. Bu onun matematikte retken olmad anlamna gelmez (bu dnemde quaternionlar zerine notlar yazmtr), ancak mantn temelleri hakknda filozoflar tarafndan yazlanlarn bilgisini edinmeye byk enerji harcamtr. almasnn sonucu An

55

Investigation of the Laws of Thought on which are founded The Mathematical Theories of

Logic and Probabilities (Mantk ve Olasln Matematiksel Kuramlarnn zerine Kurulduu Dnce Yasalarnn Bir ncelemesi) adl kitap olmutur. Boole ve bir arkadann parasyla 1854te yaynlanan bu eser ok satmamtr, ancak Mantn Matematiksel Analizini grmemi birok kii tarafndan okunmu ve genellikle Booleun bayapt olarak grlmtr. Bu kitaptaki esas yenilik fikirlerinin olaslklar hesabna uygulanmasdr. Bu gayet gzel

baarlmtr; ancak geri kalan bakmndan bu kitap ok zgn deildir. Formel bakmdan nemli bir deiiklik yoktur ve temel fikirlerin nceki eserde sunulduundan daha ak seik sunulduu sylenemez. Ancak Boole almasn akla kavuturmas bakmndan bu eserde ilgin baz zenle hazrlanm rnekler ile baz metafiziksel paragraflar bulunur. Yazldndan yarm yzyl sonra Bertrand Russell Dnce Yasalarn saf matematiin kefedildii eser olarak tanmlamtr.

Yaylmas gereken temel nvanlarndan biri Booleun mant epistemolojinin egemenliinden kurtard ve bylece onun bamsz bir bilim olarak canlanmasn gerekletirdiidir. On yedinci ve on sekizinci yzyllarn karmak gelenei ile ilk krlma, kendisi bir filozof-matematiki olan Bolzano tarafndan gerekletirilmitir, ancak mantn zihnimizin srelerine dayanmadan faydal bir ekilde incelenebildiini aka gsteren Booleun almasdr. O phesiz dnce yasalar ile bu ifadenin psikolojik anlamnda uratna inanmtr, ancak o aslnda dnlebilir olanlarn en genel yasalarnn bazlar ile uramtr.

3.1.3. Boole Cebri

x ve y gibi harflerin snflar simgelediklerini ve iki snf sembol arasnda = sembol

kullanmann sz konusu snflarn ayn elemanlara sahip olduklarn gsterdiini varsayalm. O zaman iki snfn kesiimi, yani bu snflarn her ikisine de ait tm eylerden oluan snf xy gibi karmak bir sembol ile belirtilebilir. Bu uzlama dar tanml bir snf belirtmeye altmzda sfatlar birlikte sraladmz yntem tarafndan ileri srlr. rnein, byk, krmz, kare eyler snfndan sz edebiliriz. Boole aslnda sfatlar ile snf sembolleri arasnda ok keskin bir ayrm yapmamtr; o zaman zaman x, y, z, vs. harflerini baz eyleri dikkat edilmesi iin seen semboller olarak dnerek bunlara seici semboller adn vermitir.

56

Ancak, tm ayrt edilebilir snflar arasnda iki snrlandrc rnek vardr ki bunlar iin zel

semboller bulunmas uygundur. Bunlar evren snf ya da her eyin ye olduu snf ve bo snf ya da hibir eyin ye olmad snftr. Boole sembolizminde bunlar srasyla 1 ve 0 sembolleri ile gsterilmitir. 1x = x ile 0x = 0 denklemleri her zamanki saysal yorumlamada olduklar kadar bu aklanan snf yorumlamasnda da geerlidir. Boole evren snf ve bo snf hakknda yazdnda, snf szcnn alldk kullanmna nemli bir geniletme yapmtr. Uygulamada Booleun 1 imi De Morgann konuma evreni dedii eyi, yani, herhangi bir trden dnlebilir nesnelerin btnn deil, daha ziyade tartlmakta olan eylerin belirli bir kategorisinin tmn belirtir. Bylece rnein, Ali ve yabanc terimlerinin tamamlayc snflar belirledikleri bir balamda konuma evreni insanoludur.

Booleun snflarn kesiimi sembolizmi ile uzun sredir yerlemi olan saylarn arpm sembolizmi arasnda apak benzerlikler bulunduundan, iki snfn kesiimini bunlarn mantksal arpm olarak tanmlamak adet olmutur. Ancak kesiim sembolizminin kurallarnda saysal arpma kurallarnda bulunmayan ok nemli bir zellik bulunur. Eer x bir snf belirtirse, o snfn kendisiyle kesiimi ayn snftr, yani, xx = x. Mantn Matematiksel Analizinde Boole bu doruluu genellikle xn = x formlyle ifade etmi ve bunun kendi hesabnn ayrt edici zellii olduunu sylemitir.

Blme saysal cebirde arpmann tersi olarak grnr, ancak Boole snflardan bahsederken

genel olarak blmeye benzeyen bir ileme izin vermemitir. Eer x, y, z harfleri snflar belirtirlerse, xz = yz denkleminden x = y denklemini iddia edemeyiz. Bekar hocalar snf

krmz-sal hocalar snfyla e olabilir, ancak bundan tm bekarlarn krmz-sal olduklar kmaz.

Boole + sembolnn sadece kesiimi olmayan snflar iin kullanm ve semboln de + sembolnn tersi olarak kullanmtr. zellikle x ile belirtilen snfn tamlayan iin 1 - x yazmtr. Bu kullanm onun sisteminin zel ilkesini x (1 - x) = 0 formlnde ifade etmesini salamtr.

57

Bu notasyon sistemi geleneksel mantn A, E, I ve O nermelerinin ifadesi iin yeterlidir, ancak A ve E nermeleri varlksal anlamlar dnda alnmalar artyla. x harfinin X eylerin snfn, y harfinin de Y eylerin snfn gsterdiini varsayarsak, u tasla elde ederiz:

Her X Ydir.........................x (1 - y) = 0

Hibir X Y deildir..........x y = 0

Baz Xler Ydir.................x y 0

Baz Xler Y deildir.......x (1 - y) 0

Drt nermenin her biri cebirsel olarak bunlara edeer olan, ancak bu kadar basit olmayan baka eitli ekillerde de gsterilebilir. Ancak bu taslakta tmel nermeler denklemlerle ifade edilirken tikel nermeler eitsizliklerle ifade edilmilerdir. Boole tm geleneksel trden kategorik nermeleri denklemlerle ifade etmeyi tercih etmi ve bundan dolay taslan son iki satr yerine unlar yazmtr:

Baz Xler Ydir...............x y = v

Baz Xler Y deildir..... x (1 y) = v

Tikel nermeleri ifade etmek amacyla ileri srd v harfi, baz szcne karlk geliyor gibi grnr; ancak onun biri hari tm bakmlardan belirsiz bir snf belirttii, dier bir deile, bir ye ya da yeleri ierdii (yani, bo snfa eit olmad) sylenir. Bu aklama ok tatmin edici deildir. Eer X bir ey Y ise, xy ile belirtilen snf en azndan bir yeden oluur. Ancak xy denilen snf tek tanmlayc zellii bir ye veya yeler barndrma olan bir snfla eitleyerek bunu syleyemeyiz; nk byle bir snf yoktur.

Snflar ve snflar zerindeki ilemler cinsinden bu sistemin yorumu iin, Booleun ak veya rtk ekilde ncller olarak varsayd aadaki formllerin hepsi doru nermeleri ifade ederler:

(1) x y = y x

(2) x + y = y + x

(3) x (y + z ) = x y + x z

58

(4) x (y z) = x y x z

(5) x = y ise, o zaman x z = y z

(6) x = y ise, o zaman x + z = y + z

(7) x = y ise, o zaman x z = y z

(8) x (1 x) = 0

Aslnda yeni bir ilke ekleyerek Booleun sistemini iki-deerli bir cebre dntrmek mmkndr:

(9) Ya x = 1 ya da x = 0.

Mantn Matematiksel Analizinde ve tekrar Dnce Yasalarnda Boole x = 1 denkleminin X nermesi dorudur anlamnda alnabilecei, x = 0 denkleminin de X nermesi yanltr anlamna gelebilecei bir dzen nermitir. Bu kullanma uygun olarak daha karmak nermelerin doruluk-deerleri kk harflerin kombinasyonlar eklinde, rnein, X ve Y nermelerinin tmel-evetlemesinin doruluk-deeri xy kombinasyonu tarafndan; X ve Y nermelerinin tekil-evetlemesinin doruluk-deeri ise x + y kombinasyonu ile gsterilebilir. Burada doru ve yanl iin srasyla 1 ve 0 sembolleriyle nermelerin doruluk-deerleri cinsinden Boole sisteminin bir yorumu iin gerekli olan her eye sahip olduumuz grlecektir. Bu yorum da, tpk saysal yorum gibi, (9) nolu ilkeyi salar. nermelere ilikin yaplan bu yorum Boole tarafndan bu ekilde yaplmtr, ancak daha sonra Frege tarafndan bulunan doruluk-deeri ifadesi kullanlmamtr.

Boole sisteminin formel deerlendirmesindeki temel ilem geliim dedii ilemdir. Farz edelim ki f (x) ifadesi x harfini ve muhtemelen baka seici sembolleri ieren, ancak bunlardan baka sadece daha nce tarttmz her zamanki cebir imlerini ieren bir ifade iin bir ksaltma olsun. O zaman, uygun a ve b katsaylar iin, f (x) = a x + b (1 - x) olur. a ve b deerlerini belirlemek iin de sadece xin 1 ve 0 deerlerini aldn varsaymamz gerekir. nk o zaman f (1) = a ve f (0) = b denklemlerini yerlerine koyarak unu elde ederiz:

59

f (x) = f (1) x + f (0) (1 - x)

Bu forml f (x) ifadesinin xe gre geliimini verir.

Buna dayanarak dier nemli bir ilem olan zm ilemini tanmlamak da mmkndr. Farz edelim ki verilen bilginin tm tek bir f (x) = 0 denkleminde ierilsin. Burada f (x) ifadesi

x harici seici semboller ieren bir ifadenin ksaltmasdr ve y, z, vesairenin dier seici semboller olduu x = (y, z, ...) formunda bir denklem bulma arzulanr. lk denklemimizi xe gre gelitirerek unu elde ederiz:

f (1) x + f (0) (1 - x) = 0.

Bu aadaki ekilde yeniden yazlabilir:

f (1) f (0) x + f (0) = 0,

o zaman unu karmak kolaydr:

x = f (0)

f (0) f (1)

Son olarak Boole eliminasyon ilemi iin kurallar vermitir. Bilgimizin ksaltlm ekilde f (x) = 0 denklemi ile gsterildiini farz edelim ve eer varsa, f (x)in tam halinde sembolize edilen dier snflarn arasnda hangi bantlarn bamsz olarak doru olduunun bulunmas arzu edilsin. zm ilemi ile unu elde ederiz:

x = f (0)

f (0) f (1)

bundan unu da elde edebiliriz:

1 - x = _ f (1)

60

f (0) f (1)

Ancak cebrin temel kurallarndan birine gre

x (1 - x) = 0,

bunu zmmzn iki sonucuyla birlikte ele aldmzda Boolea gre unu karabiliriz:

- f (0) f (1) = 0

f (0) f (1)2 yani, f (0) f (1) = 0.

Bu hesap ilemlerinin eitli kombinasyonlar ile Boole geleneksel mantkta kabul edilen her trl akl yrtmenin cebirsel gsterimini verebilmitir. zellikle kyas akl yrtmesi iki snf denkleminin bir denkleme indirgenmesi olarak gsterilebilir, onu orta terimin elimine edilmesi

ve sonucun zne teriminin zm izler. Basit bir rnei ele almak gerekirse, eer h insanlar snf, a hayvanlar snf, m de lmller snfn gsterirse, her insan bir hayvandr ve her

hayvan lmldr nclleri yerine u denklemler konulabilir: h (1 - a) = 0

a (1 - m) = 0

Bu denklemleri tek denkleme indirgediimizde unu elde ederiz: h h a + a a m = 0

bundan da srayla aya gre gelitirme yaparak unu elde ederiz: (h h 1 + 1 1 m) a + (h h 0 + 0 0 m) (1 - a) = 0

veya

(1 m) a + h (1 a) = 0.

Daha sonra kurallara gre ay elimine ederek u sonuca varabiliriz: (1 - m) h = 0.

Bu denklem her insan lmldr anlamnda yorumlanabilir ekildedir. Bylece Booleun ileri srd yntemlerin mekanik bir ekilde uygulanabildii grlmtr.

Boole formel mantn prototipi olan Boole cebrini yaratmtr. Boole cebri nermelerin doruluk deerlerini bulmak iin saf hesaplama kullanan ilk mantk sistemidir. Boole doru iin 1, yanl iin 0 deerini kullanmtr. Bilgisayar uzmanlar bu deerler dnda

baka deerler alamayan nesneler olarak hl Boole deikenlerini kullanmaktadrlar.

61

Bu Blmde Ne rendik zeti Boole bu eserde sonradan Boole cebri olarak anlan mantk cebrini ne srmtr. Snflar x,

y, z gibi harflerle belirtmi ve bunlara seici semboller adn vermitir. x ve y snflarnn kesiimini x y olarak gstermitir. Ayrca evren snfn her eyin ye olduu snf, bo snf da hibir eyin ye olmad snf olarak tanmlam ve bunlar srasyla 1 ve 0 sembolleri ile gstermitir. Boole cebrinde x bir snf belirtirse, o snfn kendisiyle kesiimi ayn snftr, yani xx = x. Boole x ile belirtilen snfn tamlayann 1 - x ile gstermitir. Bylece sisteminin zel ilkesini x (1 - x) = 0 formlyle ifade etmitir.

62

Blm Sorular

1. Aadakilerden hangisi Cebrin Temelleri adl makale dizisinin yazardr? a) Boole

b) H. Grassmann

c) D. F. Gregory

d) De Morgan

e) Sir William Rowan Hamilton

Cevap: D

2. Varyasyon Hesabndaki Belirli Teoremler zerine adl makaleyi yazan matematiki

aadakilerden hangisidir? a) klid

b) Saccheri

c) Labochevsky

d) Boole

e) John Wallis

Cevap: D

3. Mantn Matematiksel Analizi adl eser kime aittir? a) klid

b) John Wallis

c) Saccheri

d) Labochevsky

e) Boole

Cevap: E

4. Boolenin hangi eseri Russell tarafndan saf matematiin kefedildii eser olarak tanmlanmtr?

a) Dnce Yasalar b) Analizde Genel bir Metot zerine

c) Varyasyon Hesabndaki Belirli Teoremler zerine

d) Cebrin Temelleri

e) Genileme Bilimi

63

Cevap: A

5. Aadakilerden hangisi Boole sisteminin zel ilkesidir? a) X (1 + X)= 0

b) X (1 + Y)= 0

c) X (1 - X)= 0

d) X (1 - Y)= V

e) X (1 - X)= 1

Cevap: C

64

4. BOOLE CEBRNN DAHA SONRAK GELMELER

65

Bu Blmde Neler reneceiz? 4.1. John Venn

4.2. William Stanley Jevons

4.3. Edward Vermilye Huntington

66

Blm Hakknda lgi Oluturan Sorular

John Venn kimdir ve mantk alanna katklar nelerdir?

William Stanley Jevons kimdir ve mantk alanna katklar nelerdir?

Edward Vermilye Huntington kimdir ve mantk alanna katklar nelerdir?

67

Blmde Hedeflenen Kazanmlar ve Kazanm Yntemleri

Konu Kazanm Kazanmn nasl elde

edilecei veya gelitirileceiBOOLE CEBRNN

DAHA SONRAK GELMELER

John Venn

William Stanley Jevons

Edward Vermilye

Huntington

Okuma

68

Anahtar Kavramlar

John Venn, William Stanley Jevons, Edward Vermilye Huntington

69

Giri Boole sisteminin esas yenilii onun semeli fonksiyonlar kuram ile bunlarn geliimidir.

Booleun kitab Mathematical Analysis of Logicden (Mantn Matematiksel Analizi) Boolecu gelimelerin ak bir gsterimi iin Fregenin 1879 tarihli Begriffsschriftindeki (Kavram Yazs) doruluk-tablolar kullanmna ufak bir adm kalmt. Bir makalesinde Amerikal mantk C. S. Peirce zorunlu olarak doru bir formln bileenlerine tm doruluk-deerleri verildiinde doru kalan forml olduu grn eklemitir.

1881 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantk) eserinde Booleun hayran olan J. Venn snflar

arasndaki bantlar gstermek iin akan alanlara sahip emalar kullanmtr. Onun emalar Euler emalarndan farkldr, o nce tm olas kombinasyonlar farkl alanlarla gstermi, sonra verilen bir nermeyi gstermek iin hangi kombinasyonlarn bo, hangilerinin bo olmamas gerektiini deiik alanlar iaretleyerek belirtmitir.

Boole yntemleri parmak hesabna indirgenebildiinden dolay makineletirmeye uygundur. Bunu ilk fark eden Jevons olmu, 1869da bir mantk makinesi yapmay baarm ve bunu bir sonraki yl Kraliyet Topluluuna sunmutur. Boole cebri 1936da elektrik iletiimi mhendisliinde anahtar ve rle devreleri almas iin kullanlmtr. Anahtar ve rlelerden oluan bir devre doru Boole ifadesiyle tanmlandnda, belli yollarn belirli durumlarda ak olup olmayacan cebirsel olarak belirlemek mmkndr.

Ancak en nemli gelime bu hesabn kat aksiyomlatrlm formda sunumudur. E. V. Huntington Mantk Cebri iin Bamsz Postulatlar Kmeleri zerine iki makale yazmtr. Huntington bu makalelerinde mantk cebrinden sz ettii halde, postulatlarn soyut bir ekilde, yani hibir zel yoruma iaret etmeden sunmutur. Huntingtonun ilk kmesi toplama ile arpma ilemlerini temel ilemler olarak almas bakmndan Boole sistemine en yakn olandr.

Daha yakn zamanda A. Tarski geniletilmi bir Boole cebri sistemi iin birka edeer postulat kmesi vermitir. Bu kmelerde snrsz sayda postulat bulundurma zelliine sahip iki ilem vardr; bunlar belirli bir elemanlar kmesinin tm elemanlarnn mantksal toplamn veya birleimini alma ve belirli bir elemanlar kmesinin tm elemanlarnn mantksal arpmn veya kesiimini almadr.

70

4.1. BOOLE CEBRNN DAHA SONRAK GELMELER Boole sisteminin esas yenilii onun semeli fonksiyonlar kuram ile bunlarn geliimidir; yani

gnmzdeki deile, onun doruluk-fonksiyonlar kuram ile bunlarn tikel-evetlemeli yasal biimde ifade edilmesidir. Megaral Philo belirli semeli fonksiyonlar tartm ve bunlarn nasl gelitirilebileceini aklamtr; ancak bu konular genel olarak ilk ele alan Boole olmutur. Booleun kitab Mathematical Analysis of Logicden (Mantn Matematiksel Analizi) Boolecu gelimelerin ak bir gsterimi iin Fregenin 1879 tarihli Begriffsschriftindeki (Kavram Yazs) doruluk-tablolar kullanmna ufak bir adm kalmt. 1885 tarihli bir makalesinde Amerikal mantk C. S. Peirce zorunlu olarak doru bir formln bileenlerine tm doruluk-deerleri verildiinde doru kalan forml olduunu belirtmitir: Bir formln zorunlu olarak doru olup olmadn bulmak iin harfler yerine f ve v koyun ve bu trden deerlerin konulmas sonucu yanl varsaylabilip varsaylamayacan grn. Bu iki kavramla birlikte de 1920de Post ve Wittgenstein tarafndan popler hale getirilen temel

mantktaki tablolama yntemi iin tm gerekenlere sahip olmu oluruz.

4.1.1. John Venn

1881 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantk) eserinde Booleun dier bir hayran olan J. Venn snflar arasndaki bantlar ya da nermelerin doruluk-koullarn gstermek iin akan alanlara sahip emalar (yani, topolojik modeller) kullanmtr. Onun emalar Euler emalarndan farkldr, o nce tm olas kombinasyonlar farkl alanlarla gstermi, sonra verilen bir nermeyi gstermek iin hangi kombinasyonlarn bo, hangilerinin bo olmamas gerektiini deiik alanlar iaretleyerek belirtmitir. Jevons gibi, o da aklamaya alt eyin Booleun temel bulularndan biri olduunu dnm ve emalarn Booleun eitli hesap ilemlerini dorulad geliim kuramnn gsterimleri olarak grmtr. Bylece her insan bir hayvandr, her hayvan lmldr, bundan dolay her insan lmldr rnei, insan terimi h ile, hayvan terimi a ile, lml terimi de m ile gsterildiinde aadaki ekille gsterilebilir:

m

ah

71

Bu emada kare konuma evrenini, daire alan da insanlar, hayvanlar ve lmllerden meydana gelen snf gsterir. Bir alann taranmas bir nclde belirtildii gibi karlk gelen snfn, rnein hayvan olmayan insanlar snfnn bo olduunu belirtir; bir alana yldz koymak ise karlk gelen snfn bo olmadn belirtir. 1896 tarihli Symbolic Logic (Sembolik Mantk) eserinde Lewis Caroll kyaslarn geerliliini belirlemek iin ileri srd bir yntemde benzer bir ema kullanmtr.

4.1.2. William Stanley Jevons Boole yntemleri parmak hesabna indirgenebildiinden dolay makineletirmeye uygundur.

Bunu ilk fark eden Jevons olmu, 1869da bir mantk makinesi yapmay baarm ve bunu bir sonraki yl Kraliyet Topluluuna (Royal Society) sunmutur. Bir betimlemesinde bu aletin grntsnn diklemesine duran ok kk bir piyanoya benzediini sylemitir, ancak modern gzler iin daha ziyade bir yazarkasaya benzer, nk elemanlarn (snflarn ya da

nermelerin) deiik olas kombinasyonlarn belirten imler tulara basarak ortaya kar veya yok olur. 1885de Allan Marquand, Jevonsun makinesinin elektrikle ileyen bir benzerini nermitir ve 1947de zellikle on iki mantksal deikene (yani, nerme ya da snf harflerine) kadar Boole problemlerini zmek iin farkl bir tasarma sahip elektrikli bir bilgisayar T. A.

Kalin ve W. Burkhart tarafndan Harvardda yaplmtr.

Genel amalar iin tasarlanm herhangi modern bir elektronik bilgisayar Boole cebriyle i grebilmelidir. nk eer bu basit matematiksel hesabn mantksal ifadelendirmesini takip edecekse, tmel-evetlemeyi, tikel-evetlemeyi, deillemeyi ve koullu bamll hesaba katmaldr. rnein, komutlar yle olabilir: eer belli bir ilemin yaplmasnda A ve B koullarnn her ikisi de salanrsa, bu ilem Cyi yapmal ve o zaman eer Cnin sonucu D veya E ise, ilem Fyi yapmal, yoksa Gyi yapmal gibi. Tm bunlar seri ve paralel dizililerin eitli kombinasyonlar iinde elektrik impalslar gnderen anahtarlar olarak termiyonik tpler veya transistrler kullanlarak yaplr. Boole cebri 1936 gibi erken bir tarihte elektrik iletiimi mhendisliinde anahtar ve rle devreleri almas iin kullanldndan uygun devrelerin retilebilmesi ok artc deildir. Eer iki durumdan birinde olmas gereken elektrik devresinin almas bir nermenin dorulanmasna benzetilirse, devrenin kapanmas da ayn nermenin reddedilmesine benzetilebilir; iki devrenin paralel balanmas iki nermenin veya ile balanmasna benzetilebilirken, iki devrenin seri balanmas iki nermenin tmel-evetlemesine benzetilebilir. Anahtar ve rlelerden oluan karmak bir devre bu benzetmelere uygun bir ekilde doru Boole ifadesiyle tanmlandnda, belli yollarn belirli durumlarda ak

72

olup olmayacan cebirsel olarak belirlemek mmkndr ve bu ifadenin cebirsel transformasyonlar ile daha az aletle ayn sonular verecek bir devre bulmak dahi mmkn

olabilir.

Boole sistemi baz bakmlardan kolay ilemeye elverili olduu halde, baz estetik kusurlar barndrr; rnein x ve ynin ayrk snflar (yani, xy = 0 denkleminin doru) olduunu bilmeden x + y yazamayacamz snrlamasnda olduu gibi. Boole sistemi ayrca varlksal nermelerin ifadesi iin v harfinin kullanm, 1 ve 0 harici katsaylarn kabul ve mantkta sabit bir anlam

atfedilmeyen blme ileminin kullanm gibi baz kesinlik kusurlar da barndrr. The Laws of Thought (Dnce Yasalar) eserinin yaynlanmasndan sonraki yarm yzyl iinde bu eksikler takipilerince giderilmitir. Jevons bu reformu yazd Pure Logic, or the Logic of Quality apart from Quantity (Saf Mantk veya Nicelikten Ayr Olarak Nitelik Mant) eseriyle 1864 ylnda balatmtr ve burada + sembolnn aralarnda bulunduu imlerde hibir snrlama olmayan kapsaml veya olarak kullanmn nermitir. Bu byk bir sadeletirmeyi mmkn klm ve bundan dolay Venn haricindeki daha sonraki tm mantk cebri yazarlarnca kabul grmtr. C. S. Peircen 1867 tarihli bir yazsnda iaret ettii gibi bu, mantksal toplama ieren teoremler ile mantksal arpma ieren teoremler arasnda tam bir paralellik ortaya karmtr. Bu avantaj en eksiksiz ekliyle E. Schrder tarafndan Vorlesungen ber die Algebra der Logik (Mantk Cebri zerine Dersler) (1890-5) eserinde bu trden teoremler hazrladnda gsterilmitir. Yaklak 1880 tarihli bir yazsnda Peirce sadeletirme ynnde daha da ileri gitmi ve Boole