Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
-
Upload
alhamda-khairunnisa-ulfah -
Category
Documents
-
view
2.097 -
download
207
Transcript of Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 1/35
STATISTIK FERMI - DIRAC
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Statistik
DISUSUN OLEH :
KELOMPOK VII
DISUSUN OLEH :
KELOMPOK VII
1. 06101011006 MUHAMMAD FURQON
2. 06101011020 EVELINA ASTRA PATRIOT
3. 06101011037 RENY
DOSEN PENGAMPUH:
Drs. IMRON HUSAINI, M.Pd.
LENI MARLINA, S.Pd., M.Si.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2013
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 2/35
Fisika Statistik Page 2
STATISTIK FERMI-DIRAC
KATA PENGANTAR
Dengan menghaturkan puji dan syukur ke hadirat Allah Swt, penyusun
telah dapat menyelesaikan makalah Fisika Modern yang berjudul “ Statistik Fermi
- Dirac ” tepat waktu.
Tujuan utama penyusunan makalah ini adalah selain untuk memenuhi
salah satu tugas mata kuliah Fisika Statistik, juga untuk membantu para pembaca
khususnya mahasiswa yang nantinya akan menjadi calon pendidik agar lebih
mengetahui tentang statistik untuk fungsi distribusi fermi-dirac. Dengan demikian,
diharapkan para calon pendidik dapat melaksanakan tugasnya dengan sebaik
mungkin untuk menyongsong masa depan peserta didiknya sebagai generasi muda
yang akan menjadi motor pengerak pembangunan bangsa di masa yang akan
datang.
Dalam penyusunan makalah ini penyusun mengucapkan terima kasih
kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Fisika Modern, Bapak Drs. Imron Husaini,
M.Pd., Ibu Leni Marlina, S.Pd., M.Si. dan kedua orangtua kami yang senantiasa
memberikan dukungan dan nasihatnya, serta teman-teman Pendidikan Fisika
Angkatan 2010 yang selalu memberikan dukungan serta semangatnya dalam
penyusunan makalah ini.
Meskipun telah berusaha dengan segenap kemampuan, namun penyusun
menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, segala
tegur sapa, kritik, serta saran yang diberikan pembaca akan penyusun terima
dengan kelapangan hati guna perbaikan pada masa yang akan datang.Akhir kata, penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan
manfaat bagi para pembaca.
Palembang, Mei 2013
Penyusun
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 3/35
Fisika Statistik Page 3
STATISTIK FERMI-DIRAC
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................................................................................1
KATA PENGANTAR.............................................................................................2
DAFTAR IS. ...........................................................................................................3
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)..........................................................4
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.............................................................................................5
1.2 Rumusan Masalah........................................................................................7
1.3 Tujuan Penulisan..........................................................................................8
1.4 Manfaat Penulisan........................................................................................8
BAB II ISI
2.1 Distribusi Fermi - Dirac...............................................................................9
2.2 Konfigurasi Fermion..................................................................................13
2.3 Energi Fermi...............................................................................................20
2.4 Temperatur Fermi dan Gas Fermi..............................................................23
2.5 Contoh Soal beserta Penyelesaiannya........................................................29
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan................................................................................................34
3.2 Saran...........................................................................................................34
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................35
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 4/35
Fisika Statistik Page 4
STATISTIK FERMI-DIRAC
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
1. Identitas Mata Kuliah
Mata Kuliah : Fisika Statistik
Kode Mata Kuliah/Sks : GFI 10349/3 SKS
Fakultas/Jurusan,Prodi : FKIP/PMIPA, Prodi Pendidikan Fisika
Semester : Genap 2012/2013
Tempat : Indralaya
Dosen Pengasuh : Drs. Imron Husaini, M.Pd./Leni Marlina, M.Si.
2. Tujuan Mata Kuliah : Memberikan wawasan kepada mahasiswa untuk
memahami tentang statistik fungsi fermi-dirac.
3. Standar Kompetensi : Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang
statistik fungsi fermi-dirac
4.
Kompetensi Dasar : Memiliki wawasan dan pengetahuan tentangstatistik fungsi fermi-dirac
5. Indikator : 1. Menjelaskan distribusi energi fermi.
2. Menjelaskan konsep temperatur Fermi dan gas
elektron
6. Materi Pembelajaran : Statistik Fermi Dirac
7. Kegiatan Pembelajaran : Pertemuan Ke-7 (2 x 50 menit)
Kegiatan awal (10 menit)
1. Salam pembuka, mengecek kehadiran mahasiswa.
2. Dosen melakukan tanya jawab mengenai tugas yang diberikan, kelompok
yang presentasi harus duduk di depan.
3. Dosen menyampaikan indikator yang harus dicapai mahasiswa.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 5/35
Fisika Statistik Page 5
STATISTIK FERMI-DIRAC
4. Dosen memberikan arahan tentang tata tertib dalam bertanya dan disikusi
Kegiatan inti (75 menit)
5. Presentasi Kelompok 6
6. Penjelasan Ensambel Mikrokanonik
7. Penjelasan Ensambel Kanonik
8. Penjelasan Aplikasi Pada Suseptibilitas Bahan Magnet
9. Energi Rata Rata Gas Ideal
Penutup (15 menit)
10. Dosen menyampaikan intisari dari isi materi ajar yang dipresentasikan oleh
kelompok penyaji.
11. Dosen memberikan catatan perbaikan pada materi ajar dan untuk dijillid oleh
kelompok penyaji.
Penilaian
12. Penilaian Presentasi Kelompok 14.
13. Penulisan Tugas (Lembar Kriteria Tugas).
14. Penilaian Kognitif (Tanya Jawab Antar Kelompok dan Antar Individu)
15. Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan)
16. Penilaian Psikomotorik ( Lembar Pengamatan)
17. Alat Yang Digunakan : Laptop, Projektor, Papan Tulis, Alat Tulis
18. Sumber belajar : Buku-Buku Fisika Universitas dan Fisika
Statistik, Mahasiswa, Internet
19. Media : Pemrograman Materi Ajar dengan Program
Microsoft Power Point dan Microsoft Word
20. Penilaian : Teknik Penyajian (Lembar Pengamatan)
Penguasaan Materi (Lembar Pengamatan)
Penilaian Kognitif (Tes Tertulis, Tes Lisan)
Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan)
Penilaian Psikomotorik (Lembar Pengamatan)
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 6/35
Fisika Statistik Page 6
STATISTIK FERMI-DIRAC
21. Sumber Pembelajaran :
Internet/E-Book
Inderalaya, Mei 2013
Mengetahui,
Kaprodi Pendidikan Fisika Dosen Pengasuh I Dosen Pengasuh II
Taufiq, S.Pd., M.Pd. Drs. Imron Husaini, M.Pd. Leni Marlina, M.Si.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 7/35
Fisika Statistik Page 7
STATISTIK FERMI-DIRAC
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Fisika statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat atau perilaku
sistem yang terdiri dari banyak partikel. Generalisasi perilaku partikel merupakan
ciri pokok dari pendekatan statistik. Sampai saat ini pendekatan statistik cukup
memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan perilaku partikel
penyusunnya. Oleh karena itu perlu disusun cara memahami keadaan suatu sistem
dan perilaku partikel pada sistem partikel yang memenuhi hukum-hukum fisika
klasik maupun fisika modern.
Pada bagian awal dalam kuliah ini menerangkan tentang dasar-dasar statistik
dan fungsi distribusi partikel sebagai pengetahuan dasar dalam memahami
penerapan statistik pada sistem partikel. Sistem yang tersusun oleh partikel-
partikel tidak identik (terbedakan) dan mematuhi hukum-hukum fisika klasik
dapat didekati dengan statistik klasik Maxwell-Boltzmann. Sedangkan pada
sistem yang tersusun oleh partikel-partikel identik (tidak terbedakan), hukum-
hukum fisika klasik tidak cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan
sistem dan hanya dapat diterangkan dengan hukum-hukum fisika kuantum. Sistem
semacam ini dapat didekati dengan statistik modern, yaitu statistik Fermi-Dirac
dan Bose-Einstein. Statistik Fermi-Dirac sangat tepat untuk menerangkan perilaku
partikel-partikel identik yang memenuhi larangan Pauli, sedangkan statistik Bose-
Einstein sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang
tidak memenuhi larangan Pauli.
Fisika Statistik ini adalah mata kuliah wajib program studi pendidikan fisika.
Materi yang akan disajikan mengacu pada kurikulum dan pengalaman mengajar
fisika statistik. Topik-topik yang disajikan dalam pembelajaran disesuaikan
dengan kemampuan hamasiswa dan kurikulum. Materi fisika yang akan disajikanmenekankan pada pemahaman konsep dasar dan pengembangannya. Disamping
itu akan dibahas juga cara menyajikan materi disertai dengan terapannya dalam
kehidupan sehari-hari, terutama pada materi-materi yang dianggap sulit untuk
diajarkan kepada mahasiswa.
Mengingat begitu pentingnya Fisika Statistik bagi mahasiswa FKIP Fisika,
maka mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan memahami materi ajar Fisika
Statistik yang meliputi Pengantar Metode Statstik, Karakteristik Makroskopik dan
Kesetimbangan, Deskripsi Statistik Sistem Partikel, Entropi dan Temperatur,
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 8/35
Fisika Statistik Page 8
STATISTIK FERMI-DIRAC
Ensambel dan Sistem Interaktif, Statistik Maxwell-Boltzmann, Aplikasi Statistik
Maxwell-Boltzmann, Statistik Bose-Einstein, Aplikasi Statistik Bose-Einstein,
Statistik Fermi-Dirac, serta Aplikasi Statistik Fermi-Dirac. Dalam hal ini akan
membahas mengenai Ensambel dan Sistem Interaktif yang terdiri dari Ensambel
Mikrokanonik, Ensambel Kanonik, Aplikasi pada Suseptibilitas Bahan Magnet
dan Energi Rata-Rata Gas Ideal.
1.2 Rumusan Masalah
Beberapa rumusan masalah dalam makalah ini diantaranya:
1) Apa definisi Statistik Fermi-Dirac?
2) Apa definisi tentang energi Fermi ?
3)
Bagaimanakah perumusan temperatur Fermi dan gas elektron?
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dalam penyusunan makalah diantaranya:
1) Penulis dapat menjelaskan tentang statistik Fermi-Dirac
2) Penulis dapat menjelaskan tantang energi Fermi
3) Penulis dapat menjelaskan perumusan temperatur Fermi dan gas elektron
1.4 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:
1) Manfaat untuk mahasiswa
Penulis melakukan penulisan makalah ini diharapkan dapat bermanfaat
bagi para mahasiswa, diantaranya dapat dijadikan sebagai salah satu solusi
yang bisa menjembatani permasalahan yang dialami mahasiswa mengenai
statistik distribusi Fermi - Dirac sehingga nantinya dapat mengurangi
kesalahpahaman dalam penafsiran materi Fisika Statistik.
2) Manfaat untuk penulis
Manfaat untuk penulis yaitu memperluas wawasan dan pengetahuan
tentang Fisika Statistik, terutama statistik distribusi fungsi Fermi-Dirac serta
sebagai bahan acuan dalam pembuatan makalah selanjutnya.
3) Manfaat untuk penulis selanjutnya
Manfaat penulisan makalah ini untuk penulis selanjutnya adalah dapat
digunakan sebagai contoh dalam pembuatan makalah yang akan datang.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 9/35
Fisika Statistik Page 9
STATISTIK FERMI-DIRAC
BAB II
ISI
2.1 DISTRIBUSI FERMI – DIRAC
Distribusi fermi-Dirac ini adalah distribusi yang mematuhi asas
larangan pauli seperti partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2,
....) contohnya elektron atau nukleon, yang disebut dengan fermion, dan
fungsi distribusi yang berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi
Fermi-Dirac :
1
1
/
kT E FD
Ae E f (1)
untuk distribusi Fermi-Dirac, A sangat bergantung pada T, dan
ketergantungannya ini biasanya menghampiri bentuk eksponensial
sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
kT E F e A/
(2)
dengan demikian, fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi
1
1
/)(
kT E E FD
F e E f (3)
EF disebut energi Fermi. (Walaupun energi Fermi sendiri
bergantung pada suhu, ketergantungannya cukup lemah sehingga EF dapat
kita perlakukan sebagai sebuah tetapan).
Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara BE
f dan FD
f
pada suhu rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah,
dengan menganggap sementara A = 1, faktor eksponensial menjadi besar
untuk E yang besar; karena itu, 0 BE
f untuk keadaan dengan energi
yang besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki peluang besar
untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki 0 E ; karena faktor
eksponensial menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil,
dan dengan demikian BE
f . Jadi, bila T kecil, semua partikel dalam
sistem berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 10/35
Fisika Statistik Page 10
STATISTIK FERMI-DIRAC
0 1
EF
T = 0
f FD
sebagai “pengembunan” (condensation). Kelak akan kita lihat bagaimana
efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik
perhatian.
Efek “pengembunan” ini tidak mungkin terjadi pada sistem
fermion, seperti sistem elektron, karena sebagaimana telah kita ketahui,
elektron-elektron dalam sebuah atom, misalnya tidak semuanya
menempati keadaan energi terendah, berapapun rendahnya suhu. Marilah
kita lihat bagaimana distribusi Fermi-Dirac mencegah terjadinya hal ini.
Faktor eksponensial dalam penyebut FD
f adalah kT E E F e/)( . Untuk E > EF,
ceritanya sangat berbeda, karena E – EF negatif, sehingga untuk T yang
kecil, faktor kT E E F e/)( menuju nol, dan 1
FD f . Dengan demikian,
probabilitas populasi hanyalah satu fermion per satu keadaan kuantum,
sesuai dengan yang disyaratkan oleh asas Pauli. Jadi, pada suhu yang
rendah sekalipun, sistem fermion tidak “mengembun” ke tingkat energi
yang terendah. Pada
Gambar ... Pengisian berbagai tingkat energi elektron menurut distribusi Fermi-Dirac pada T = 0
Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah N
fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total E . Seperti pada
pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan
dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita
E
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 11/35
Fisika Statistik Page 11
STATISTIK FERMI-DIRAC
mengandung sejumlah s
g keadaan dengan energi yang berada dalam
interval s dan s sd . Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai sn yang
menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai s .
Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total
haruslah memenuhi syarat
s
s
n N s s
s
n E
Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan
menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat
dibedakan). Selanjutnya jira terdapat s
w cara menyusun s
n sistem diantara
pita energi s yang memiliki s
g keadaan, maka jumlah total konfigurasi
adalah
s
s
W w
yang tentu saja W tak lain adalah robot konfigurasi.
Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang
dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika
sejumlah s
n sistem telah ditempatkan dalam s
g keadaan, maka terdapat
s s g n dari
s g keadaan yang masih kosong. Maka banyaknya cara
mengisi adalah
s
s
s s s
g !w
n ! g n !
Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikutmemperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan
(digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara,
nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3
Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan
mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni
s
s s s s
g !W
n ! g n !
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 12/35
Fisika Statistik Page 12
STATISTIK FERMI-DIRAC
Oleh karena s
g dan s
n cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan
Stirling
s
s s s s
g !lo g W lo g
n ! g n !
= s s s s s s s s g lo g g n lo g n g n lo g g n
Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah
s s
s s
log W d n 0
n
Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga s
manapun
s
s
lo g W 0
n
Dari persamaan 5.5
s s
s s
g nlog W lo g
n n
s s
s
s
g nlo g 0
n
s
s
s
g e x p 1n
Nilai s
n yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar
s
s
s
g n
e x p 1
Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 13/35
Fisika Statistik Page 13
STATISTIK FERMI-DIRAC
Bentuk s1 / exp secara umum dikenal dengan nama fungsi
Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk
F
1 f
exp / kT 1
Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís 1 / kT dan
F / k T .
F dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan
dengan energi berada di antara dan d , maka jumlah sistem yang berada
dalam interval energi tersebut adalah
n d f g d
2.2 KONFIGURASI FERMION
Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip
ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan
kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya
ditempati oleh satu fermion.
Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion
harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan
sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel
yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang
tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun
boson yang jumlahnya berapa pun.
Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan
memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok
sebagai berikut :
Kelopok-1 mengandung g 1 keadaan dengan energi rata-rata E 1
Kelopok-2 mengandung g 2 keadaan dengan energi rata-rata E 2.
.
.
Kelopok-s mengandung g s keadaan dengan energi rata-rata E s
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 14/35
Fisika Statistik Page 14
STATISTIK FERMI-DIRAC
.
.
.
Kelopok-M mengandung g M keadaan dengan energi rata-rata Mg ME
Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan
n1 sistem menempati keadaan-1
n2 sistem menempati keadaan-2
.
.
.
n s sistem menempati keadaan-s
.
.
.
n M sistem menempati keadaan-M
Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus
terpenuhi n1 g 1, n2 g 2, … , n s g s, n M g M .
Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pada g 1
keadaan, n2 sistem pada g 2 keadaan, …, n M sistem pada g M keadaan. Tinjau
kelompok-1. Di sini ada keadaan dan menampung sistem. Kembali kita
menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sitem sebagai benda yang akan
ditempatkan pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 15/35
Fisika Statistik Page 15
STATISTIK FERMI-DIRAC
Gambar : Contoh penyusunan fermion analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi
ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak
ditempati fermion).
Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi-kursi
tersebut, kita tempelkan benda pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya
boleh ditempelkan satu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh
lebih dari satu benda berada pada satu lursi. Akibatnya kita dapatkan :
Ada buah kursi yang ditempeli benda
Ada buah kursi yang kosong.
Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang
kosong maupun yang ditempeli benda, karena benda sudah menempel pada kursi
maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung
lebih dari satu benda. Jumlah kursi yang dipermutasi adalah kursi sehingga
menghasilkan jumlah permutasi sebanyak cara. tetapi, karena buah
kursi kosong tidak terbedakan dan buah kursi yang ditempeli benda juga tidak
dapat dibedakan maka jumlah permutasi buah kursi harus dibagi dengan
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 16/35
Fisika Statistik Page 16
STATISTIK FERMI-DIRAC
permutasi buah kursi kosong, tidak terbedakan dan buah kursi yang
ditempeli benda untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah
penyusunan yang berbeda hanyalah
(6.1)
Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan sistem
pada keadaan adalah
(6.2)
Begitu seterusnya. Akhirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama
– sama sistem pada keadaan, sistem pada keadaan,…, sistem pada
keadaan adalah
x
x … x
Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa sistem dari
luar untuk didistribusikan ke dalam keadaan – keadaan di dalam assembli. Seperti
yang kit bahas pada assembli boson, untuk partikel tak terbedakan jumlah cara
tersebut adalah . Akhirnya, jumlah cara penyusunan fermion untuk
konfigurasi di atas adalah
atau dalam notasi logaritma
(
umlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing – masing adalah
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 17/35
Fisika Statistik Page 17
STATISTIK FERMI-DIRAC
dan
ntuk sistem terisolasi di mana tidak terjadi pertukaran partikel
maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu
konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N
dan U adalah
(
(
Konfigurasi Maksimum
Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan
memaksimalkan atau dengan memperhatikan konstrain pada persamaan
(6.5) dan (6.6). Sebelum ke arah itu kita coba sederhanakan pada persamaan
(6.4)
Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial,
yaitu
Dengan demikian bentuk dapat diaproksimasi sebagai berikut.
(
Selanjutnya, ambil diferensial ke dua ruas persamaan (6.7)
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 18/35
Fisika Statistik Page 18
STATISTIK FERMI-DIRAC
(
Mari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8)
i.
ii.
iii.
Dari hasil di atas maka bentuk dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana
sebagai berikut.
(
Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencari
solusi untuk persamaan , atau
(
Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi yang sembarang maka harus
terpenuhi
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 19/35
Fisika Statistik Page 19
STATISTIK FERMI-DIRAC
yang memberikan ungkapan untuk sebagai
(
Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter memenuhi
. Dengan parameter ini maka kita dapat menulis persamaan (6.11)
secara lebih eksplisit sebagai
(
Persamaan (6.12) merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
fermion.
Tabel 1 Fungsi Distribusi Statistik
Tipe Distribusi Sifat-sifat Fungsi contoh
Maxwell-
Boltzmann
Partikel identik
yang dapat
dibedakan
kT E
MBA E F
Semua Gas
Bose-Einstein Partikel identik
yang tak dapat
dibedakan
berspin bulat
1
1)(
kT
E BE
e
E F He cair (spin 0)
Foton (spin 1)
Fermi-Dirac Partikel identik
yang tak dapat
dibedakan
berspin
tengahan.
1
1
kT
E E FD F
e
F Elektron (spin ½)
Proton
nertron
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 20/35
Fisika Statistik Page 20
STATISTIK FERMI-DIRAC
2.3 ENERGI FERMI
Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati
elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan
suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah
fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang
saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil
(
..........). Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi
gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap
pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik.Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum
tertentu dari sistem tersebut.
a. Sistem dua partikel yang terbedakan
Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a
dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat
dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi
gelombang :
Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel
tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah:
Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan
kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam
keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip
ekslusi Pauli).
b. Sistem dua partikel tak terbedakan
Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masing-
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 21/35
Fisika Statistik Page 21
STATISTIK FERMI-DIRAC
masing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya
harus merupakan kombinasi dari
dan
, untuk mencerminkan peluang yang sama.
Untuk fermion, fungsi gelombang anti simetriknya adalah :
Faktor
diperlukan untuk menormalisasi fungsi gelombang tersebut.
Penentuan Besarnya Energi Fermi
Bayangkan sebuah elektron bebas bergerak dalam sebuah sumur
potensial (daerah yang membatasi gerak elektron, dimana daerah
tersebut memiliki energi potensial tak hingga ), yang lebarnya L dan
kedalamannya . Asumsikan bahwa pada daerah 0 – L energi
potensialnya sama dengan 0. Jika partikel tidak memiliki energi
potensial, maka persamaan eigen valuenya ( P.S ) adalah:
Untuk 1 dimensi
Besarnya harga adalah
P.S :
=
dimana pada elektron bebas: V ( x) = 0
= ...................................(1)
Dan solusinya adalah : Asin kx + Bcos kx
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 22/35
Fisika Statistik Page 22
STATISTIK FERMI-DIRAC
Agar = = 0 maka besarnya x haruslah sama
dengan 0. Untuk x = 0, maka :
= Asin k0 + Bcos k0
s dan
cos 0 = 1, agar = 0 maka B = 0
...............................................(2)
Jika persamaan (2) disubtitusikan ke dalam persamaan (1), maka didapat:
=
bila k = bila k =
..............k(1)
Karena = = 0, maka :
→ A sin kL
sin kL → kL n
k = ..........................................................k(2)
Bila persamaan k(1) disubtitusikan ke dalam persamaan k(2), maka:
=
→ L
a. Untuk harga n terkecil
n = 1→ L =
Panjang gelombang yang diperoleh kecil (minimum)
b. Untuk harga n terbesar
n = 3→ L =
panjang gelombang yang diperoleh besar (maksimum)
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 23/35
Fisika Statistik Page 23
STATISTIK FERMI-DIRAC
Bila
maka jumlah tingkat energi yang terisi ”penuh” oleh elektron
pada n = dimana N adalah jumlah elektron dan angka 2 menunjukan spin
elektron (spin up dan spin down), sebesar :
Energi tersebut dinamakan energi Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang
ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar, yang elektronnya terisi
penuh). Jika suhu T = 0 K , maka:
1. Elektron akan mampu bertransisi (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi.
2. Sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang bersamaan, tidak dapat
bertransisi ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan
berlakunya prinsip ekslusi Pauli.
Dari persamaan-persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa
semakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan semakin tinggi
tingkat energinya.
2.4 TEMPERATUR FERMI DAN GAS FERMI-DIRAC
Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh
fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi
F . Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar
berikut. Ketika temperatur mutlak T 0, suku F 0 / kT memiliki
dua nilai yang mungkin.
(i) Untuk F 0 , F
0 / kT dan
(ii) Untuk F 0 , F
0 / kT
Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni
untuk F 0 ,
1 f 0
e 1
dan
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 24/35
Fisika Statistik Page 24
STATISTIK FERMI-DIRAC
untuk F 0 ,
1 f 1
e 1
Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang
bahwa keadaan dengan energi F 0 terisi sama dengan satu, dengan
kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan dengan
energi F 0 kosong. Bentuk fungsi Fermi untuk temperatur mutlak
nol ditunjukkan pada gambar berikut.
Sifat fungsi f dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Pada
temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling
rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan,
maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua
fermion berada dalam tingkatan energi tersebut. Singkatnya dapat dikatakan
bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang didudukioleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di
atasnya tidak terisi.
Nilai F 0 dapat dicari dari persamaan 5.11 dengan menggunakan syarat
bahwa
s
s 0
n n d N
F
0
1
f
0
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 25/35
Fisika Statistik Page 25
STATISTIK FERMI-DIRAC
Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada T 0 K, n g untuk F
( 0 ) ,
ketika n 0 untuk F ( 0 ) syarat di atas dapat ditulis menjadi
F E ( 0 )
0
n d N
Karena fermion merupakan sistem kuantum maka bentuk fungsi rapat keadaan
g dapat diambil dari persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin
fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi.
Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat
memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga 1
2dan
1
2 . Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi
3
21
2
2
2 m g V 4
h
dalam sebuah ruang V . Persamaan 5.13b menjadi
3
F 21
2
( 0 )
2
0
2 mV 4 d N
h
2 / 32
F
h 3 N 0
2 m 8 V
Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal
kT dengan mendefenisikan temperatur Fermi F
T melalui hubungan
F F kT 0
Dalam tabel berikut disajikan nilai F 0 dan
F T untuk berbagai gas Fermi-Dirac
; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium 3
2H pada tekanan standar
dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 26/35
Fisika Statistik Page 26
STATISTIK FERMI-DIRAC
Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi
Gas F 0 eV T ( K )
Helium 0,94 x 10- 10
Gas elektron dlm lithium 4,7 54.000
Gas elektron dalam natrium 2.1 24.000
Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya
relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.
GAS ELEKTRON
Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi,
diperkirakan bahwa kenaikan temperatur T dari temperatur mutlak ke nilai di
sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan
energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut
dengan asumís bahwa F
kT dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai
harga khusus (yang lebih mudah dihitung).
F kT
1
1 f
e 1
0,73
F
0
1 f
e 1
0,5
F kT
1 f
e 1
0,27
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 27/35
Fisika Statistik Page 27
STATISTIK FERMI-DIRAC
Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara
fungsi distribusi dengan rapat keadaan
n d f g d
Bentuk grafik n dapat dilihat pada gambar berikut.
Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung daridistribusi integral dengan mengambil batas integral dari 0 sampai F
0 . Contoh
energi rata-rata elektron pada T 0 adalah :
0
0
n d
n d
sehingga f 1 untuk F
dan f 0 untuk F
,
ε F ε F + kT ε F - kT
ε
f (ε)
T > 0
T = 0
n
g(ε ~ ε1/2
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 28/35
Fisika Statistik Page 28
STATISTIK FERMI-DIRAC
F ( 0 )
0 F
0
g d 3
0 05
g d
nilai g diambil dari persamaan 5.14
Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak
dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi
temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan
0
n d N
Maka 0
f g d N
Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas
integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah F
T T .
Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan
dengan
22
F F
F
T 0 1
1 2 T
Untuk F
T 3 0 .0 0 0 K , nilai
22
F
T
1 2 T
pada temperatur kamar kira-kira sama
dengan 8 x 10-5.
Energi rata-rata elektron pada temperatur T diperoleh dengan menghitung
nilai integral 0
f g d
untuk memperoleh
22
F
F
3 T 0
5 T 4
Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 29/35
Fisika Statistik Page 29
STATISTIK FERMI-DIRAC
2
A
v
F
N R T C
T 2 T
Dengan temperatur Fermi F
T 3 0 .0 0 0 K pada temperatur kamar nilai panas jenis
Kira-kira 0,05 R.
2.5 CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1. Hitunglah energi Fermi EF dari logam Natrium
Pemecahan :
Karena setiap atom natrium menyumbangkan satu elektron valensi, maka
jumlah elektron per satuan volume, N/V, sama dengan jumlah atom natrium
per volume. Nilai ini dapat ditentukan dari kerapatan atom natrium dan massa
atom natrium :
V
N Jumlah atom per volume
M
N A
eV
nm
mm
eV
nmeV
mmc
hc
V
N
m
h E
m
cm
mol g
mol atomcm g
F
15,3
101009,2
10511,02
.1240
1054,28
3
2
8
3
2
1054,2
1054,2
/0,23
/1002,6/971,0
29
218
6
2
328
2
2
2
328
322
23
3
32
32
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 30/35
Fisika Statistik Page 30
STATISTIK FERMI-DIRAC
1
2
1
/
/
2/1
21
kT E E
F F
kT E E
F
F
e
E n E
E
E n
e
CE dE dE E n
2. Suatu metal mempunyai energi Fermi EF = 4,0 eV dan suhu T = 400 K.
Hitung cacah elektron bebas persatuan energi n(E) untuk (a) E = EF + kT (b) E
= EF – kT
Pemecahan :
Untuk 2/12/12
2
F F F F F E E nC E
C E n E E
Dari persamaan
a) sehingga untuk E = EF + kT
1
/2
/
21
kT E kT E
F F F
F F F e
E n E kT E kT E n
dengan T = 400 K
eV E
eV eV J K K J kT
F 0,4
034,0/106,1400/1038,111923
eV neV n
e
E n E kT E eV n
F F F
0,454,0034,4
1
/2034,4
21
b) untuk E = EF – kT
eV neV n
eV neV n
e
E n E kT E kT E n
F F F
F
0,45,1966,3
0,40,4/966,32966,3
1
/)(2
21
21
1
3. 15 molekul helium masing-masing menpunyai spin total dan berada
pada bidang potensial L x L. Tentukan
a. energi Fermi
b. energi total system
Penyelesaian :
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 31/35
Fisika Statistik Page 31
STATISTIK FERMI-DIRAC
a. merupakan contoh fermion karena menmpunyai spin tengahan,
atau . Tingkat energi diberikan oleh pers.(2.14) untuk Lz = Ly = L
Setiap titik (m,n) ditempati dua molekul yaknin dengan spin up dan spin-down. 15 berturut menempati dan berenergi sebagai berikut :
N0 m n E/E0
1 1 1 2
2 1 2 5
3 2 1 5
4 2 2 85 1 3 10
6 3 1 10
7 2 3 13
8 3 2 13
Dengan demikian energi Fermi yakni energi tertinggi adalah 13E0
Salah satu dari keadaan no.7 dan no.8 ditempati satu molekul danlainnya dua.
b. Energi total system 15
E = 2(2+5+5+8+10+10+13+13)E0 + 3 x 13 E0
= 119 E0
4. 4,2 x 1021
elektron berada di dalam kotak bervolume 1 cm3. Hitung :
a. Besar vector gelombang Fermi b. Energi Fermi system
c. Energi dan vector gelombang Fermi jika electron diganti proton.
Penyelesaian :
a. Dari pers.(6.52) diperoleh
Maka
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 32/35
Fisika Statistik Page 32
STATISTIK FERMI-DIRAC
PF =
Dan panjang vector gelombang Fermi
b. Energi Fermi
c. Bila electron diganti proton massa proton kira-kira 1836 massa electron
m p = 1836 me
5. System gas electron bebas di dalam logam pad atemperatur nol
mempunyai kerapatan N = 1022 elektron/cm3. Tentukan potensial kimia
dari electron konduksi di dalam logam tersebut.
Penyelesain :
Dari rapat keadaan
Maka
6. Bintang neutron Reaksi di dalam bintang neutron adalah p + e + , MeV→n
Hitung :
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 33/35
Fisika Statistik Page 33
STATISTIK FERMI-DIRAC
a. Kerapatan minimum electron bebas
b. Kerapatan minimum bintang neutron agar reaksi di atas dapat
berlangsung
Penyelesaian :
a. Menggunakan per.(6.7)
Reaksi berlangsung jika
b. Rapat massa minimum bintang neutron
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 34/35
Fisika Statistik Page 34
STATISTIK FERMI-DIRAC
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian-uraian yang telah dijabarkan oleh penulis di atas dapat
disimpulkan bahwa:
1. Elektron atau fermion dalam sebuah atom memiliki tingkatantingkatan
energi yang dapat diserap atau dipancarkan. Elektron ini memenuhi
prinsip eksklusi Pauli, yang menyebutkan bahwa tidak ada elektron yang
memiliki bilangan kuantum yang sama, kehadiran partikel dalam keadaan
kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam
keadaan itu. Peluang elektron untuk menempati tingkat energi tertentu
(loncat ke tingkat energi tertentu) dapat dinyatakan melalu distribusi
Fermi-Diract, yang memiliki persamaan :
2. Temperatur Fermi pada T = 0 K adalah :
3. Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada
suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu
kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah
fermion).
3.2 Saran
Setelah membahas dan mengkaji tentang statistik Fermi-Dirac ini
adapun beberapa saran yang ingin disampaikan penulis dari pembahasan
materi ini yaitu dengan untuk bisa memahami perkembangan statistik Fermi-
Dirac maka kita harus menggunakan banyak referensi. Sehingga, semakin
banyak referensi yang kita baca, maka pemahaman mengenai materi tersebut
akan semakin bertambah.
7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 35/35
STATISTIK FERMI-DIRAC
DAFTAR PUSTAKA
Abdullah, Mikrajuddin.2009. Pengantar Fisika Statistik . Bandung : InstitutTeknologi Bandung.
Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik . Yogyakarta: Gaya Media.
Sudiarta, I Wayan. 2012. Diktat Kuliah Fisika Statistik . Mataram: Universitas
Mataram.