Fermi-Dirac-Verteilung I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(") = 1 e(" )=kBT +1 I...
Transcript of Fermi-Dirac-Verteilung I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(") = 1 e(" )=kBT +1 I...
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
T = 0
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 0.1
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 0.2
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 0.3
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 0.5
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 1.0
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Fermi-Dirac-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/µ
kBT/µ = 1.0
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 1
Bose-Einstein-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 2
Bose-Einstein-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/|µ|
µ < 0, kBT/|µ| = 1.0
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 2
Bose-Einstein-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/|µ|
µ < 0, kBT/|µ| = 0.5
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 2
Bose-Einstein-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/|µ|
µ < 0, kBT/|µ| = 0.1
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
16.07.2013 | Michael Buballa | 2
Bose-Einstein-Verteilung
I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1
0
1
0 0.5 1 1.5 2
n(ε
)
ε/|µ|
µ < 0, kBT/|µ| = 0.1
I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2
∞∫0
k2dk n(Ek ) nicht konstant!
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Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
5e-06
1e-05
1.5e-05
2e-05
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 300 K
µ = -5.2 x 10-20
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
5e-06
1e-05
1.5e-05
2e-05
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 200 K
µ = -3.3 x 10-20
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
5e-06
1e-05
1.5e-05
2e-05
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 100 K
µ = -1.5 x 10-20
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
5e-06
1e-05
1.5e-05
2e-05
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 10 K
µ = -1.0 x 10-21
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
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Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.0005
0.001
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 10 K
µ = -1.0 x 10-21
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
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Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.0005
0.001
0 0.5 1 1.5 2
k [Angstroem-1
]
T = 1 K
µ = -5.6 x 10-23
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
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Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.05 0.1 0.15 0.2
k [Angstroem-1
]
T = 1 K
µ = -5.6 x 10-23
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.05 0.1 0.15 0.2
k [Angstroem-1
]
T = 0.1 K
µ = -1.1 x 10-24
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
n(ε
)
k [Angstroem-1
]
T = 0.1 K
µ = -1.1 x 10-24
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
n(ε
)
k [Angstroem-1
]
T = 0.1 K
µ = -1.1 x 10-24
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
Bose-Einstein-Verteilung
I (nicht ganz) realistisches Beispiel:
ideales 4He-Gas mit
I N = NA = 6, 022 · 1023
I V = Vmol = 22, 4 `
I mHe = 6, 65 · 10−27 kg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
n(ε
)
k [Angstroem-1
]
T = 0.1 K
µ = -1.1 x 10-24
J
I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.
⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation
16.07.2013 | Michael Buballa | 3
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I ,,schwarzer Körper”:
absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)
I thermisches Gleichgewicht:
Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?
I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!
I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:
16.07.2013 | Michael Buballa | 4
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I ,,schwarzer Körper”:
absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)
I thermisches Gleichgewicht:
Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?
I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!
I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:
16.07.2013 | Michael Buballa | 4
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I ,,schwarzer Körper”:
absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)
I thermisches Gleichgewicht:
Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?
I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!
I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:
16.07.2013 | Michael Buballa | 4
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I ,,schwarzer Körper”:
absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)
I thermisches Gleichgewicht:
Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?
I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!
I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:
16.07.2013 | Michael Buballa | 4
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I ,,schwarzer Körper”:
absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)
I thermisches Gleichgewicht:
Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?
I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!
I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:
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7.5 Schwarzkörperstrahlung
1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc
2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):
E = ~ω~p = ~~k
}1.⇒ k = ω
c
3. Photonen sind transversal polarisiert:
s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0
4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.
⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0
16.07.2013 | Michael Buballa | 5
7.5 Schwarzkörperstrahlung
1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc
2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):
E = ~ω~p = ~~k
}1.⇒ k = ω
c
3. Photonen sind transversal polarisiert:
s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0
4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.
⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0
16.07.2013 | Michael Buballa | 5
7.5 Schwarzkörperstrahlung
1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc
2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):
E = ~ω~p = ~~k
}1.⇒ k = ω
c
3. Photonen sind transversal polarisiert:
s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0
4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.
⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0
16.07.2013 | Michael Buballa | 5
7.5 Schwarzkörperstrahlung
1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc
2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):
E = ~ω~p = ~~k
}1.⇒ k = ω
c
3. Photonen sind transversal polarisiert:
s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0
4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.
⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0
16.07.2013 | Michael Buballa | 5
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk
e~ω/kB T−1
I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V
π2c3 ω2 dω
I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3
∞∫0
dω ω2
e~ω/kB T−1
I Gesamtenergie: E = Vπ2c3
∞∫0
dω ~ω3
e~ω/kB T−1
I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3
∞∫0
dν hν3
ehν/kB T−1≡ V
∞∫0
dν ρ(ν)
I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):
ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz
16.07.2013 | Michael Buballa | 6
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk
e~ω/kB T−1
I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V
π2c3 ω2 dω
I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3
∞∫0
dω ω2
e~ω/kB T−1
I Gesamtenergie: E = Vπ2c3
∞∫0
dω ~ω3
e~ω/kB T−1
I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3
∞∫0
dν hν3
ehν/kB T−1≡ V
∞∫0
dν ρ(ν)
I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):
ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz
16.07.2013 | Michael Buballa | 6
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk
e~ω/kB T−1
I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V
π2c3 ω2 dω
I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3
∞∫0
dω ω2
e~ω/kB T−1
I Gesamtenergie: E = Vπ2c3
∞∫0
dω ~ω3
e~ω/kB T−1
I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3
∞∫0
dν hν3
ehν/kB T−1≡ V
∞∫0
dν ρ(ν)
I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):
ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz
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7.5 Schwarzkörperstrahlung
I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk
e~ω/kB T−1
I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V
π2c3 ω2 dω
I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3
∞∫0
dω ω2
e~ω/kB T−1
I Gesamtenergie: E = Vπ2c3
∞∫0
dω ~ω3
e~ω/kB T−1
I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3
∞∫0
dν hν3
ehν/kB T−1≡ V
∞∫0
dν ρ(ν)
I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):
ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz
16.07.2013 | Michael Buballa | 6
7.5 Schwarzkörperstrahlung
I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk
e~ω/kB T−1
I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V
π2c3 ω2 dω
I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3
∞∫0
dω ω2
e~ω/kB T−1
I Gesamtenergie: E = Vπ2c3
∞∫0
dω ~ω3
e~ω/kB T−1
I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3
∞∫0
dν hν3
ehν/kB T−1≡ V
∞∫0
dν ρ(ν)
I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):
ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz
16.07.2013 | Michael Buballa | 6
Planck’sches Strahlungsgesetz
I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1
I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz
16.07.2013 | Michael Buballa | 7
Planck’sches Strahlungsgesetz
I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10
ρ(ν
) [1
0-1
5 J
/(m
3 H
z)]
ν [1014
Hz]
T = 2000 K
I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz
16.07.2013 | Michael Buballa | 7
Planck’sches Strahlungsgesetz
I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10
ρ(ν
) [1
0-1
5 J
/(m
3 H
z)]
ν [1014
Hz]
T = 4000 K
I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz
16.07.2013 | Michael Buballa | 7
Planck’sches Strahlungsgesetz
I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3
c31
ehν/kB T−1
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10
ρ(ν
) [1
0-1
5 J
/(m
3 H
z)]
ν [1014
Hz]
T = 6000 K
I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz
16.07.2013 | Michael Buballa | 7