magistro tezes baigtas - COREstambesnius mazgus- funkcinius elementus (logines schemas, atminti es...

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

INFORMATIKOS FAKULTETAS

PRAKTINES INFORMATIKOS KATEDRA

Andrius Milinis

Hibridinis genetinis algoritmas ir jo modifikacijos

kvadratinio pasiskirstymo uždaviniui spresti

Vadovas: doc. dr. A. Misevicius

Kaunas, 2005

3

Turinys

1. PRATARME .............................................................................................................4

2. IVADAS .....................................................................................................................5

2.1. KVADRATINIO PASISKIRSTYMO UŽDAVINYS: BAZINES SAVOKOS...........................5

2.2. UŽDAVINIO PRITAIKYMAS .....................................................................................7

3. METODU KP UŽDAVINIUI SPRESTI APŽVALGA .......................................10

3.1. KLASIKINIAI LOKALIAI OPTIMALIU SPRENDINIU PAIEŠKOS ALGORITMAI .............10

3.2. ATKAITINIMO MODELIAVIMAS ............................................................................12

3.3. TABU PAIEŠKA ....................................................................................................13

3.4. GENETINIAI ALGORITMAI ....................................................................................15

4. TYRIMO DALIS ....................................................................................................18

4.1. GENETINIO ALGORITMO STRUKTURINE SCHEMA .................................................18

4.2. KRYŽMINIMO OPERATORIU MODIFIKACIJOS ........................................................21

5. EKSPERIMENTU REZULTATAI.......................................................................32

6. IŠVADOS.................................................................................................................41

7. LITERATURA........................................................................................................42

8. PAVEIKSLELIAI...................................................................................................44

9. SUMMARY .............................................................................................................45

10. PRIEDAS...............................................................................................................46

4

1. Pratarme

Siekis išspresti sudetingus optimizavimo uždavinius, paskatino euristiniu

optimizavimo algoritmu, tokiu kaip atkaitinimo modeliavimas (angl. simulated annealing)[3],

skruzdeliu koloniju elgsenos imitavimo (angl. ant colony optimization)[9], tabu paieška (angl.

tabu search) [15,16], godžioji randomizuota adaptyvioji paieškos proceduros (angl. greedy

randomized adaptive search procedures (GRASP)) [28] ir kitokiu algoritmu atsiradima.

Kuriant greitai veikiancius euristinius algoritmus, remiamasi procesais, kurie vyksta mus

supancioje aplinkoje. Kombinatorinio optimizavimo uždaviniams spresti vieni iš placiausiai

taikomu euristiniu algoritmu yra genetiniai algoritmai (GA). Svarbiausia genetiniu algoritmu

ypatybe yra ta, jog jie paremti naturalios atrankos biologiniais procesais, vykstanciais

gamtoje. Šiame darbe nagrinejamas praktinis GA panaudojimas, sprendžiant kvadratinio

pasiskirstymo (KP) uždavini. Tai gerai žinomas kombinatorinis optimizavimo uždavinys,

kuris turi platu praktini pritaikyma.

Terminas „genetinis algoritmas“ nereiškia kokio nors konkretaus algoritmo. Greiciau

šis terminas nusako tam tikra, gana universalu meta-metoda − algoritmu su panašiomis

savybemis klase. Viena iš tokiu savybiu yra turimu sprendiniu kryžminimas. Ši savybe

siejama su procedura, kuri vadinama „krosoveris“.

Sprendiniu kryžminimo procedura atlieka labai svarbu vaidmeni, kuriant efektyvius

genetinius algoritmus. Šiame darbe nagrinejamos konceptualios savybes ir specifines

charakteristikos ivairiu „krosoverio“ proceduru modifikaciju, sprendžiant kvadratinio

pasiskirstymo uždavini. Algoritmai išbandomi panaudojant KP uždavinio testinius pavyzdžius

iš testiniu pavyzdžiu bibliotekos − QAPLIB [6].

Darbas pradedamas ivadu, kuriame suformuluojamas kvadratinio pasiskirstymo

uždavinys ir aptariama viena iš KP uždavinio taikymo sriciu − elektronines aparaturos

projektavimas. Euristiniai optimizavimo metodai, orientuoti šiam uždaviniui, apžvelgti 3 sk.

Genetinio algoritmo šablonas ir sprendiniu kryžminimo algoritmo modifikacijos aprašomos

4 sk. 5 sk. pateikiami eksperimentiniu tyrimu rezultatai bei ju analize. Darbas baigiamas

išvadomis.

5

2. Ivadas

2.1. Kvadratinio pasiskirstymo uždavinys: bazines savokos

Kvadratinio paskirstymo (KP) uždavinys (angl. quadratic assignment problem)

formuluojamas taip [20]: duotos matricos A=(aij)n×n ir B=(bkl)n×n bei aibe Π, kuria sudaro visi

galimi naturiniu skaiciu 1, 2, …, n perstatymai. Reikia tarp visu perstatymu iš Π surasti toki

perstatyma π=(π(1), π(2), ..., π(n)), kuriam esant butu minimizuota funkcija

∑∑= =

=n

i

n

jjiijbaz

1 1)()()( πππ . (1)

Jeigu matricos A ir B yra simetrines, tai gaunamas simetrinio kvadratinio paskirstymo

uždavinio atvejis.

Kvadratinio paskirstymo uždavinys pasižymi ivairiais praktiniais taikymais, tarp kuriu

paminetini šie: pastatu išdestymas, planavimas [11]; irengimu išdestymas; vaizdu (pilku

atspalviu) formavimas; elektronines aparaturos projektavimas (paneliu, klaviaturu

projektavimas; elektroniniu komponentu išdestymas spausdinto montažo plokštese ar dideles

integracijos mikroschemose). Elektronines aparaturos projektavimas komponentu išdestymo

kontekste placiau aptariamas 2 sk.

Kvadratinio paskirstymo uždavinys priklauso NP-sunkiu kombinatorinio

optimizavimo uždaviniu klasei [29]. Tokie uždaviniai tiksliai išsprendžiami tik esant labai

nedidelems ju apimtims (n≤30). Todel vidutines ir dideles apimties KP uždaviniams spresti

naudojami Euristiniai algoritmai. Reikšminga tokiu algoritmu grupe sudaro atkaitinimo

modeliavimo (angl. simulated annealing) [3], lokaliosios paiškos [26], tabu paieškos (angl.

tabu search) [30] ir genetiniai (angl. genetic algorithms) [1], [12], [23], [31] algoritmai. Jie

apžvelgiami 3 sk.

Kadangi kvadratinio paskirstymo uždavinys yra vienas iš kombinatorinio

optimizavimo uždaviniu, trumpai apibrešime pagrindines savokas, susijusias su tokiais

uždaviniais.

Tarkime, kad S yra kombinatorinio (diskretinio) optimizavimo uždavinio sprendiniu

aibe, o f: S→R1 − tikslo funkcija. Be to, yra duota aplinkiniu sprendiniu (aplinkos) funkcija Ν:

S→2S, bet kuriam sprendiniui s∈S apibrežianti aibe Ν(s)⊆S − sprendinio s aplinkiniu

sprendiniu aibe. Bet kuris sprendinys s′∈Ν(s) gali buti betarpiškai pasiektas iš sprendinio s,

6

atlikus elementaria sprendinio s pertvarkymo operacija, vadinama perturbacija (perejimu).

Paprastai prieš darant perturbacija apskaiciuojama tikslo funkcijos f reikšme; sakoma, jog

atliekamas bandymas. Tikslas yra surasti toki sprendini s•∈S, kuris minimizuotu funkcija f, t.

y. )(minarg sfsSs∈

• = .

Labai dažnai kvadratinio paskirstymo uždaviniui, kaip ir kitiems kombinatorinio

optimizavimo uždaviniams, naudojama vadinamoji poriniu sukeitimu funkcija, kitaip tariant,

aplinka (žymima Ν2). KP uždavinio atveju ši funkcija apibrežiama taip:

}2),( , | {)(2 =′Π∈′′= πππππ d? , cia π − bet kuris sprendinys (perstatymas) iš Π, d(π, π′) −

atstumas tarp sprendiniu π ir π′, kuris gali buti išreikštas tokia formule

∑=

′−=′n

i

iid1

|)()(|sgn),( ππππ (n yra uždavinio apimtis). Taigi funkcija Ν2 apibrežia aibe,

sudaryta iš tokiu sprendiniu-kaimynu, kurie gaunami, duotame sprendinyje atlikus 2-ju nariu

sukeitima vietomis. Šiuo atveju priimta sakyti, kad atliekamas perejimas iš esamo sprendinio i

sprendini-kaimyna. Formaliai perejimas aprašomas panaudojant specialu operatoriu −

perturbacija, kurios metu sukeiciama vietomis i-tasis ir j-tasis sprendinio nariai (žymima pij

(1≤i,j≤n, i≠j)). (Tuomet perejimas iš sprendinio π i sprendini π′ galetu buti užrašytas, pvz.,

taip: ijp⊕=′ ππ .)

Dažniausiai kaimyniniai sprendiniai nagrinejami ne atsitiktinai („aklai“), o pagal tam

tikra griežta, fiksuota tvarka. Perturbaciju pij indeksai i, j, apibrežiantys sprendiniu

nagrinejimo eiliškuma, gali buti imami iš masyvo, kuriame indeksai kuriuo nors budu

„sumaišomi“ (atskiru atveju išdestomi tvarkingai, pvz., didejimo tvarka); svarbu tik, kad

kiekvienas indeksas pasitaikytu po viena karta. Tuomet bendru atveju sprendiniu nagrinejimo

tvarka galima aprašyti sudarant tokia seka { },...2,1)(ISM)(ISM )()(

=kji kkp , cia ISM − indeksu

„sumaišymo“ masyvas; indeksai i(k), j(k) apskaiciuojami pagal formule

++<=+−<<=

−−

−−−−

)1,1,if())1,1,1if(,,if(

)()1()1()(

)1()1()1()1()(

kkkk

kkkkk

ijnjjiniinji

, kur k − bandymo eiles numeris, i(k), j(k) −

nauji indeksai, i(k−1), j(k−1) − buve prieš tai indeksai (i(0)=1, j(0)=1). (Funkcija if aprašoma taip:

==

=FALSEsalyga,TRUEsalyga,

),if(salyga,2

121 x

xxx .)

7

Pastebesime, jog KP uždavinio atveju tikslo funkcijos pokytis ∆z(π, i, j) (1≤i, j≤n, i≠j),

gautas, sprendinyje π sukeitus vietomis i-taji ir j-taji narius, t. y., atlikus perturbacija pij,

apskaiciuojamas, atlikus O(n) operaciju:

[ ]∑≠=

−−+−−

+−−=n

jikkikjkkjkikikjjkik

jiijjiij

bbaabbaa

bbaajiz

,,1)()()()()()()()(

)()()()(

))(())((

))((),,(?

ππππππππ

πππππ

(2)

jeigu aii (arba bii)=const, i=1, 2, ..., n. (O tai reiškia, kad norint išnagrineti visus

aplinkos Ν2 sprendinius, reikia atlikti O(n3) operaciju.)

Jeigu matricos A ir/arba B yra simetriškos, tai pateiktoji formule žymiai supaprasteja.

Pavyzdžiui, jeigu tik vienintele matrica B yra simetriška, o matrica A − ne, tai galima

transformuoti nesimetriška matrica A i simetriška matrica A′, sudedant atitinkamus matricos A

viršutinio ir apatinio „trikampio” elementus. Tuomet gaunama tokia kompaktiška formule

tikslo funkcijos pokyciui apskaiciuoti:

∑≠=

−′−′=n

jikkkikjjkik bbaajiz

,,1)()()()( ))((),,(? πππππ , (3)

kur a′ik=aik+ aki, ∀i,k∈{1, 2, ..., n}, i≠k.

2.2. Uždavinio pritaikymas

Vienas iš aktualiu kvadratinio paskirstymo uždavinio taikymu yra elektronines

aparaturos projektavimas. Elektronines aparaturos, tame tarpe integraliniu mikroschemu,

automatizuotojo projektavimo procesas apima daug projektavimo etapu [29], iš kuriu

pagrindiniai yra:

1. loginis-funkcinis projektavimas;

2. schemotechninis projektavimas;

3. topologijos projektavimas.

Vienas iš sudetingiausiu yra topologijos projektavimo etapas, apimantis funkciniu

mazgu – elementu - komponavimo, išdestymo ir sujungimu trasavimo bei kontroles stadijas.

Kuriant automatizuotojo projektavimo sistemas, topologijos projektavimo etapas išskaidomas

i dvi santykinai savarankiškas stadijas:

1. Elementu išdestymas;

2. Sujungimu trasavimas.

8

Tai daroma, siekiant maksimaliai palengvinti labai sudetingo kompleksinio uždavinio

sprendima. Sujungimu trasavimo, taigi ir viso topologijos projektavimo etapo, atlikimo

kokybe tiesiogiai priklauso nuo išdestymo kokybes. Todel elementu išdestymo uždavinys yra

ypatingai aktualus topologijos projektavime, galima sakyti, nulemiantis galutinius rezultatus ir

projektavimo sekme.

Elektronineje aparaturoje placiai naudojamas dideles integracijos mikroschemas

sudaro tukstanciai topologiniu vienetu (tranzistoriu, rezistoriu ir pan.), kurie apjungiami i

stambesnius mazgus - funkcinius elementus (logines schemas, atminties lasteles ir pan.).

Funkciniai elementai (arba tiesiog elementai) - tai tam tikri nedalomi vienetai, kuriais

operuojama išdestymo uždavinyje.

Dideles integracijos mikroschemos dažnai realizuojamos vadinamuose baziniuose

matriciniuose kristaluose (BMK). Elementai destomi jiems skirtose matricinio kristalo

pozicijose. Reguliarios strukturos kristaluose šiu poziciju padetys yra griežtai apibrežtos:

pozicijos išdestomos horizontaliose eilutese ir vertikaliuose stulpeliuose. Poziciju gabaritai

(plotis, aukštis) ir forma yra vienodi. Matricinio kristalo konstrukcijoje paprastai išskiriamos

centrines dalies pozicijos bei periferines pozicijos (žr. 1 pav.).

1 pav. Matricinio kristalo struktura

Aprašant komponentu išdestymo uždavini kaip kvadratinio paskirstymo uždavini,

matrica A=(aij) interpretuojama kaip elektriniu ryšiu tarp komponentu matrica, kur aij yra

ryšiu („grandiniu”), jungianciu i-taji komponenta su j-tuoju komponentu, skaicius. Matrica

Matricoscentrines daliespozicijos

Matricosperiferinespozicijos

Trasavimovieta

9

B=(bkl) yra atstumu matrica, kur bkl − atstumas (staciakampeje arba Euklido metrikoje) tarp k-

tosios ir l-tosios destymo pozicijos. Perstatymas π=(π(1), π(2), ..., π(n)) apibrežia

komponentu išdestyma i pozicijas, t. y., išdestymo konfiguracija (cia π(i) − pozicijos, i kuria

paskirtas i-tasis komponentas, numeris). Tuomet z(π) yra bendras ryšiu (sujungimu) tarp

komponentu ilgis, kuri reikia minimizuoti tam, kad sudaryti kuo palankesnes salygas

tolimesniems projektavimo etapams.

10

3. Metodu KP uždaviniui spresti apžvalga

3.1. Klasikiniai lokaliai optimaliu sprendiniu paieškos algoritmai

Iš pradžiu aptarkime klasikinio lokaliai optimaliu sprendiniu paieškos algoritmo atveji,

grindžiama vadinamaja „nusileidimo“ („godžiosios“ paieškos) metodologija [26].

„Nusileidimo“ algoritmai yra santykinai labai paprasti, bet pakankamai efektyvus; jie laikytini

sudetingesniu euristiniu algoritmu ir metodu ištakomis. Išskiriamos šios dvi svarbios

„nusileidimo“ strategijos: a) „greiciausias nusileidimas“; b) „staigiausias nusileidimas“.

Abiem atvejais paieška pradedama nuo kurio nors pradinio sprendinio. Toliau paieškos

procesas vykdomas nuosekliai atliekant sprendiniu transformacijas ir „pereinant“ nuo vieno

sprendinio s prie kito s′ iš esamo sprendinio aplinkos N(s). Abieju tipu „nusileidimo“

algoritmuose sprendimas, ar pakeisti esama sprendini s nauju s′ (t.y., ar „pereiti“ prie naujo

sprendinio iš esamo aplinkos), ar ne, yra determinuotas. Jis yra teigiamas tik tada, kai naujasis

sprendinys yra geresnis už esamaji (kas minimizavimo uždavinio atveju reiškia, jog TF

reikšmiu, apskaiciuotu naujam ir esamam sprendiniui, pokytis ∆f = f(s′) − f(s) yra neigiamas

(∆f < 0)). Skirtumas tarp strategiju yra tik tas, kad pirmuoju atveju „pereinama“ prie pirmojo

„sutikto“ geresnio sprendinio iš esamo aplinkos, o antruoju atveju — prie geriausio sprendinio

iš esamo aplinkos. Del to pirmoji strategija yra vadinama „pirmojo pagerejimo“ strategija, o

antroji — „geriausio pagerejimo“. Paieškos procedura (procesas) tesiama tol, kol esamas

sprendinys s nera lokaliai optimalus, t.y. sprendinio s aplinkoje yra bent vienas geresnis

sprendinys (žr. 2 pav.).

2 pav. Paieškos „trajektorijos“ iliustracija

Klasikinio („nusileidimo“) algoritmo šablonas pateikta 3 pav.

Lokaliai optimalus

sprendinys

Pradinis

sprendinys

Sprendinio

aplinka

11

procedure klasikinis_lokaliosios_paieškos_algoritmas; // pradiniai duomenys: s° — pradinis sprendinys; // // rezultatai: s — rastas lokaliai optimalus sprendinys // begin s:=s°; while s nera lokaliai optimalus do begin // vykdomas „godžiosios paieškos“ ciklas // parinkti sprendini s′ iš esamo sprendinio s aplinkos N(s), ir toki, kad: f(s′) − f(s)<0; s:=s′ // esamas sprendinys s pakeiciamas nauju sprendiniu s′ // // („pereinama“ prie naujo sprendinio) // end // while // end.

3 pav. Klasikinio lokaliai optimaliu sprendiniu paieškos algoritmo šablonas

Akivaizdus klasikiniu euristiniu algoritmu trukumas yra paieškos ribotumas; t.y.

apsiribojama tik vieno lokaliai optimalaus sprendinio suradimu. Savaime suprantama, jog toks

surastas sprendinys, nors ir yra lokaliai optimizuotas, gali visai nebuti geros kokybes. Dar

daugiau, galima netgi prognozuoti, kad toks sprendinys tiketina kaip tik bus nepakankamos

kokybes — juk tai tik vienas galimas lokaliai optimalus sprendinys iš didžiulio lokaliuju

optimumu (LO) skaiciaus. Naturalu, kad siekiama sukurti tokius euristinius algoritmus (EA),

kurie leistu iveikti mineta esmini klasikiniu EA trukuma, t.y. igalintu bandyti išvengti

„ikritimu“ i lokaliuju optimumu „duobes“ be galimybiu iš ju „išeiti“. Naujai kuriamu,

vadinamuju moderniuju euristiniu (ME) (arba meta-euristiniu) metodu vienas iš tikslu ir buvo

jei ne išvengti, tai bent minimizuoti „lokaliuju optimumu duobiu“ fenomeno neigiamas

pasekmes. Supaprastintas (vienas iš galimu) moderniuju euristiniu metodu apibudinimas

galetu buti toks: modernioji euristika yra uždavinio sprendimo metodas, orientuotas keliu

(daugiau nei vieno) lokaliai optimaliu sprendiniu paieškai. Taigi ME algoritmu atveju

atsiranda didesnes potencialios galimybes surasti aukštesnes kokybes sprendinius, nes galima

mastyti taip: didejant surandamu LO skaiciui, dideja ir tikimybe, jog kuris nors surastas

sprendinys bus geresnis, negu pirmasis surastas lokaliai optimalus sprendinys. Aišku,

paieškos laikas atitinkamai pailgeja, taciau „racionalusis grudas“ yra tame, kad yra geriau

gauti aukštos kokybes rezultata per ilgesni laika, negu tenkintis blogu rezultatu, gautu per

labai trumpa laika. Esme gludi principe: „geresni rezultatai — per ilgesni (bet priimtina)

laika“. Net ir pakankamai ilgas (bet tenkinantis vartotoja ar tyrinetoja) paieškos laikas yra

pateisinamas, jeigu tik tai suteikia galimybes apciuopiamai pagerinti sprendiniu kokybe.

Žinoma, nuolatos turi buti stengiamasi, kad ir aukštos kokybes, kuo arciau globaliojo

optimumo esantys sprendiniai butu pasiekiami per kuo trumpesni laika — tai išliks

12

pagrindiniu siekiu tiems, kurie tobulina, modifikuoja esamus ar kuria naujus euristinius

algoritmus.

3.2. Atkaitinimo modeliavimas

Atkaitinimo modeliavimo (AM) metodo ištakos slypi statistineje mechanikoje, o jeigu

tiksliau, energetiniu procesu, vykstanciu sistemose, sudarytose iš didelio skaiciaus daleliu,

imitavime. Šio imitavimo esme slypi tame, jog iš pradžiu sistema „pervedama“ i dideles

energijos busena, o po to, palaipsniui mažinant energija, stengiamasi pasiekti busena,

atitinkancia žemiausia sistemos energetini lygmeni − tarsi kunas butu ikaitintas iki

pakankamai aukštos temperaturos, o paskui, ji atkaitinant, t.y. mažinant temperatura, jis butu

savotiškai „užgrudinamas“. Šio modeliavimo pradininkai (1953 m.) buvo Metropolis,

Rozenblutas ir kt. Jie pasinaudojo Bolcmano (eksponentiniu) pasiskirstymo desniu

apibreždami tikimybe, kad sistema, ivykus joje tam tikrai perturbacijai, pereis iš vieno

energijos lygio (E1) i kita (E2), kai temperatura lygi t:

≥∆<∆

= ∆− 0 ,e0, ,1

PE

EtCE B

, cia ∆E=E2−E1, o

CB − Bolcmano konstanta. Cerný (1982 m.) [2] ir Kirkpatrikas su bendraautoriais (1983 m.)

[5] buvo pirmieji, kurie panaudojo atkaitinimo modeliavimo metoda sprendžiant

kombinatorinio optimizavimo uždavinius.

Konkrecios atkaitinimo modeliavimo algoritmu realizacijos skiriasi viena nuo kitos

šiais veiksniais (faktoriais): aplinkos funkcija, atkaitinimo („atšaldymo“) schema ir baigimo

salyga. Viena iš dažniausiai naudojamu aplinkos funkciju yra vadinamoji poriniu sukeitimu

funkcija Ν2. Yra dvi galimos alternatyvos peržiurint „sprendinius-kaimynus“: pirma,

pasirinkti einamojo sprendinio „kaimyna“ atsitiktinai; antra, nagrineti einamojo sprendinio

aplinka pagal tam tikra fiksuota, determinuota tvarka, pvz., nuosekliai vykdant perturbacijas

pij, kai i kinta nuo 1 iki n−1, o j − nuo i+1 iki n (norint išnagrineti visus aplinkos Ν2

sprendinius, reikia atlikti O(n3) operaciju).

Atkaitinimo modeliavimo algoritmuose naudojamas vadinamasis ekvilibriumo testas

tam, kad nustatyti, kuriuo butent momentu turi buti mažinama temperatura. Ekvilibriumas

trumpai gali buti charakterizuojamas kaip tam tikra stabili, be žymesniu fliuktuaciju proceso

busena. Kombinatoriniu uždaviniu atveju ekvilibriumo kriterijumi galetu buti, pvz., tikslo

funkcijos reikšmiu svyravimu amplitude (jeigu ji nedidele, tai konstatuojama, jog

ekvilibriumas pasiektas). Atsižvelgiant i tai, kaip realizuojamas ekvilibriumo testas, skiriami

du atkaitinimo tipai: homogeninis ir nehomogeninis atkaitinimas. Pirmuoju atveju atliekama

13

daug bandymu esant tai paciai, fiksuotai temperaturai; tai tesiama tol, kol pasiekiamas

ekvilibriumas − tada temperatura sumažinama, ir procesas kartojamas. Antruoju atveju

temperatura mažinama po kiekvieno ivykdyto bandymo; galima sakyti, jog ekvilibriumo

testas iš viso neatliekamas.

Modeliuojant atkaitinima svarbu parinkti tinkama temperaturos mažinimo formule.

Praktiškai taikomuose atkaitinimo algoritmuose placiausiai naudojamos yra: geometrine

formule ( 1−⋅= kk tt α ; tk − einamoji temperaturos reikšme; k=1, 2, ...;

t0 = const; 0.8 ≤ α ≤ 0.99) ir Lundy-Mees formule ( )1( 11 −− += kkk ttt β ; k=1, 2, ...;

t0 = const; β << t0 ).

Tiesa, naujausiose atkaitinimo modeliavimo algoritmu versijose temperatura greiciau

keiciama periodiškai nei monotoniškai mažinama. Kai kuriu tyrimu rezultatai liudija, kad

vietoj tiesioginio atkaitinimo tikslingiau taikyti tam tikra „atkaitinimu“ ir „kaitinimu“ seka, t.

y., vadinamaji reatkaitinima (angl. reannealing), kuris suteikia papildomas, lankstesnes

galimybes atkaitinimo modeliavimo algoritmams.

Baigimo salyga. Atkaitinimo procesas teoriškai turetu buti tesiamas tol, kol galutine

temperatura tg tampa lygi 0. Taciau praktiškai atkaitinima galima baigti ir anksciau − kai

tampa mažai tiketina, jog bus pasiektas pagerinimas. Dažnai kaip baigimo salyga tarnauja

fiksuotas atliekamu bandymu skaicius.

3.3. Tabu paieška

Tabu paieškos (TP) metodas buvo pasiulytas Gloverio [15], [16]. Šis metodas remiasi

išplesta lokaliaja paieška. Skirtingai, negu iprasti klasikiniai algoritmai, kurie apsiriboja

lokaliai optimalaus sprendinio suradimu nagrinejamo sprendinio aplinkoje, TP pagristi

algoritmai tesia paieška ir tuo atveju, kai surandamas lokaliai optimalus sprendinys, t.y. duoto

sprendinio aplinkoje neimanoma surasti geresnio sprendinio. Tabu paieška yra iteracinis

geresniu sprendiniu paieškos procesas, igalinantis daug kartu „pereiti“ nuo vieno lokaliojo

optimumo (LO) prie kito isimenant geriausiaji iš surastu sprendiniu.

Pagrindine TP ideja yra leidimas atlikti „perejimus“ net ir tais atvejais, kai naujasis

sprendinys iš duotojo sprendinio aplinkos nera geresnis už duotaji sprendini. Taciau kai kurie

„perejimai“ turi buti draudžiami, t.y. tabu paieška yra pagrista draudimu metodologija:

draudimai yra butini tam, kad neleisti grižti i tuos pacius, jau nagrinetus sprendinius ir tokiu

budu išvengti pasikartojimu (ciklinimu).

14

Paieškos procesas pradedamas nuo pradinio, galbut atsitiktinai sugeneruoto, sprendinio s

iš aibes S, po to „perejimai“ iš vieno sprendinio i kita vykdomi iteraciniu budu. Paieškos

eigoje analizuojama einamojo sprendinio s aplinkos sprendiniu aibe N(s), ir „pereinama“ i ta

sprendini s′∈N(s), kuriam tikslo funkcijos f reikšme yra mažiausia. Taciau „perejimas“ gali

buti atliekamas ir tuo atveju, kai tikslo funkcijos (TF) pokytis yra teigiamas, t.y. „perejimas“

pablogina einamaja tikslo funkcijos reikšme. Trumpai tariant, pasirenkamas tas „perejimas“,

kuris mažiausiai pablogina TF reikšme − taip galima „pereiti“ nuo vieno lokaliai optimalaus

sprendinio prie kito. Grižimas i anksciau „aplankyta“ sprendini turi buti uždraudžiamas tam

tikram laikotarpiui − kad butu išvengta „ciklinimosi“, t.y. paieškos kartojimo iš naujo nuo to

pacio „taško“. Tokiu budu nagrinetieji sprendiniai tam tikrais momentais tampa „tabu“: jie

(arba atitinkamu „perejimu pedsakai“) itraukiami i specialu saraša − vadinamaji tabu saraša

(atminti) T. Taigi „perejimas“ i sprendini s′∈N(s) yra draudžiamas, traktuojamas kaip tabu,

jeigu tas sprendinys arba atitinkamas „perejimas“ duotu metu yra saraše T. Dydis h=|T| (tabu

sarašo ilgis) yra labai svarbus: jeigu jis yra labai mažas, tai gali buti gaunamas

nepageidaujamas ciklinimasis; jeigu – pernelyg didelis, tai gali buti apribota paieška atskirose

sprendiniu „erdves“ srityse.

Tiesmukiškas „perejimu“ draudimas gali sumažinti paieškos efektyvuma. Be to, grižimas

i anksciau nagrinetus sprendinius, praejus tam tikram laiko intervalui, gali buti labai

naudingas. Del šiu priežasciu, kartu su tabu sarašu naudojamas ir vadinamasis aspiracijos

kriterijus. Jo pagalba galima „nekreipti demesio“ i esama „tabu busena“, anuliuoti ja, esant

tam tikroms, „palankioms“ aplinkybems. Vienas iš aspiracijos kriteriju yra toks: „perejimas“

iš sprendinio s i sprendini s′ − nors jis ir yra tabu − leidžiamas, jeigu tenkinama salyga

f(s′)<f(s∗), kur s∗ yra geriausias iki duotojo momento surastas sprendinys. Tokiu budu tipine

TP algoritmuose naudojama sprendimo priemimo taisykle yra tokia: s pakeiciamas s′ su

salyga, kad: f(s′)<f(s∗) arba ( )(minarg)(

sfssTs

′′=′∈′′

ir s′ nera tabu).

Bendroji tabu paieškos algoritmu bazine struktura pateikiama žemiau:

15

procedure tabu_paieška; // pradiniai duomenys: s — pradinis sprendinys; rezultatai: s∗ — geriausias rastas sprendinys // begin s∗:=s; inicializuoti tabu saraša T; repeat // vykdomas tabu paieškos ciklas // rasti geriausia sprendini s′∈N′(s)⊆N(s), cia N′(s) — sprendinio s aplinkos poaibis, kurio sprendiniai (arba "perejimo" iš s i N(s) „pedsakai") nepriklauso tabu sarašui T arba tenkina aspiracijos salyga; s:=s′; // esamas sprendinys pakeiciamas nauju ir naudojamas kaip „išeities taškas“ // tolimesnese iteracijose // isiminti sprendini s (arba "perejimo" iš s i s′ „pedsaka") tabu saraše T; if f(s)<f(s∗) then s∗:=s; // isimenamas geriausias sprendinys // jei reikia, atnaujinti tabu saraša T until patenkinta baigimo salyga end.

4 pav. Tabu paieškos šablonas

Tabu paieškos algoritmai skiriasi vienas nuo kito, atsižvegiant i tabu sarašo

realizavima, aspiracijos kriterijaus parinkima bei kitus faktorius, tokius kaip papildoma

(„ilgalaike“) tabu atmintis, paieškos intensifikavimo, diversifikavimo mechanizmai ir kt. TP

algoritmu lankstumui padidinti tiek tabu sarašas, tiek aspiracijos kriterijus gali buti dinamiškai

atnaujinami paieškos vykdymo eigoje. TP vykdymas paprastai baigiamas, atlikus tam tikra

fiksuota paieškos iteraciju skaiciu. TP rezultatas yra geriausias paieškos proceso eigoje

„isimintas“ sprendinys.

3.4. Genetiniai algoritmai

Genetiniai algoritmai (GA) ir ju sudarymo principas buvo pasiulytas XX-ojo amžiaus

70-aisiais metais Hollando [22]. Pradedant Hollando pirmuoju darbu, genetiniai algoritmai

buvo sekmingai išbandyti, sprendžiant ivairius optimizavimo uždavinius, pvz., tokius, kaip

elektroniniu komponentu išdestymas [12], operaciju planavimas ir kt. Genetiniai algoritmai

(GA), ju veikimas yra pagristas evoliucijos, vykstancios gyvojoje gamtoje, t. y., naturaliosios

atrankos proceso imitavimu. Pagrindines savokos, kurios naudojamos modeliuojant

biologines evoliucijos procesus, yra „individas“ ir „populiacija“. „Individas“ yra tam tikras

elementarus, daugiau neskaidomas vienetas, objektas. Didesne ar mažesne „individu“ grupe

sudaro „populiacija“. Dar vienas svarbus dalykas yra vadinamasis „individo tinkamumas“ −

savotiška „individo verte“. „Individo verte“ galima traktuoti kaip „individo“ sugebejimo

16

sekmingai prisitaikyti (prie aplinkos), išlikti ir reprodukuotis laipsni. Šia prasme

„vertingesnis“ (grynai biologiškai) yra tas „individas“, kuris sugeba geriausiai prisitaikyti

(buti „stipresnis“ už kitus) ir, gal but, palikti didesni palikuoniu („vaiku“) skaiciu.

Optimizavime vietoje savoku „individas“, „populiacija“, „individo verte“ naudojamos

tradicines, iprastos savokos: „individui“ atitinka atskiras sprendinys, „populiacijai“ −

sprendiniu aibe (grupe, rinkinys), pagaliau, „individo verte“ yra asocijuojama su tikslo

funkcijos reikšme duotajam sprendiniui. Taip, kaip gyvosios gamtos evoliucijoje išlieka tik

„vertingiausi“ („stipriausi“) „individai“, taip ir optimizavime siekiama gauti kuo „geresni“

sprendini, t. y., sprendini su kuo mažesne (ar didesne) − nelygu, koks optimizavimo

uždavinys (minimizavimo ar maksimizavimo) sprendžiamas − tikslo funkcijos reikšme.

Iš tikruju, terminas „genetiniai algoritmai“ reiškia ne koki nors atskira, specifini

euristini optimizavimo algortima. Greiciau šis terminas nusako tam tikra bendra, gana

universalu metoda, strategija − metaeuristika, t. y., šeima euristiniu algoritmu su panašiais

veikimo principais ir savybemis. Taigi genetiniai algoritmai priklauso tai euristiku klasei,

kuriai budingos sekancias savybes:

1. Operuojama su viena ar daugiau leistinu sprendiniu „populiaciju“.

2. Atskiri sprendiniai iš vienos ar keliu „populiaciju“ parenkami (panaudojant kuria

nors euristine taisykle) tolimesniam nagrinejimui, apdorojimui, teikiant pirmenybe

tiems sprendiniams, kuri turi „geresnes“ tikslo funkcijos reikšmes.

3. Naudojamas tam tikras „mechanizmas“, kuris skirtas formuoti naujiems leistiniems

sprendiniams, kombinuojant (derinant) anksciau gautus sprendinius ar kurias nors

ju savybes, charakteristikas.

4. Esant reikalui, panaudojamas papildomas „mechanizmas“ generuoti naujiems

galimiems sprendiniams iš atskiru anksciau gautu sprendiniu (atliekant atsitiktinius

tu sprendiniu elementu perstatymus (perturbacijas)).

5. Atlikus (2)−(4) žingsnius, esama populiacija atnaujinama, pašalinant iš jos tam

tikrus sprendinius (paprastai, „blogesnius“) bei paliekant joje „geresniuosius“

sprendinius, tame tarpe, naujus suformuotus (sugeneruotus), jeigu jie pakankamai

„geri“.

Formalizuojant genetiniu algoritmu aprašyma, aukšciau minetos bendrosios savybes,

„mechanizmai“ susiejami su atitinkamomis proceduromis. Taip (2) savybe susiejama su

vadinamaja atrinkimo procedura, (3) „mechanizmas“ tradiciškai vadinamas krosoveriu, (4)

17

„mechanizmas“ − mutavimo procedura („krosoveris“). (5) etape (žingsnyje) atliekamas

„populiacijos“ atnaujinimas.

Egzistuoja daugybe ivairiu budu, kaip konkreciai realizuoti „sprendiniu-tevu“

parinkimo, krosoverio, mutavimo bei „populiacijos“ sprendiniu atnaujinimo proceduras [19].

Pavyzdžiui, mes galime operuoti su viena didele sprendiniu „populiacija“, taciau galime tureti

ir kelias mažesnes („lygiagrecias“) „populiacijas“ („sub-populiacijas“). Toliau, mes galime

pasirinkti „tevus“, atsižvelgiant i ju vertinguma (tinkamuma), t. y., absoliutine tikslo funkcijos

reikšme − arba i kokius nors kitus ivertinimus, charakteristikas ar kriterijus. Galima labai

ivairiai realizuoti krosoverio bei mutavimo proceduras, be to, galima nuspresti apjungti

krosoveri ir mutavima i viena procedura arba tai daryti atskiru, nepriklausomu proceduru

pagalba. Pagaliau, mes galime apsispresti pakeisti visus be išimties einamosios „populiacijos“

narius (sprendinius) naujai gautais „palikuonimis“ po kiekvieno algoritmo ciklo iteracijos

ivykdymo. Dar reikia pastebeti, kad genetinio algoritmo realizacijos gali priklausyti nuo to,

kaip yra vaizduojami, pateikiami sprendiniai, kitaip tariant, nuo sprendinio „kodavimo“

pobudžio. Konkreti GA realizacija pateikiama 4 sk.

18

4. Tyrimo dalis

4.1. Genetinio algoritmo strukturine schema

Genetini algoritma galima atvaizduoti strukturine schema (žr. 5 pav.), kuria sudaro

tokios dalys:

1. GA algoritmo pradžia.

2. Pradines populiacijos sudarymas.

3. Atskiru „populiacijos“ sprendiniu atrinkimas tolimesniam apdorojimui (pirmenybe

teikiama tiems sprendiniams, kurie turi geresne tikslo funkcijos reikšme).

4. Nauju sprendiniu sudarymas, kombinuojant turimus sprendinius. Šis operatorius

tradiciškai vadinamas kryžminimu („krosoveriu“).

5. Esant reikalui, panaudojamas papildomas randomizuoto sprendiniu pertvarkymo

mechanizmas – mutavimas (Hibridiniuose genetiniuose algoritmuose vietoj

mutavimo kartais naudojami lokaliojo sprendinio pagerinimo algoritmai).

6. Atliekamas savotiškas „populiacijos valymas (atnaujinimas)“ (pvz. pašalinant iš

jos blogesnius ir paliekant geresnius sprendinius).

7. Tikrinama algoritmo baigimo salyga.

8. Pabaiga.

Algoritmo žingsniai (3)-(7) kartojami tol kol gaunami rezultatai, tenkinantys baigimo

salyga.

Nustatyta (eksperimentais), kad „grynasis“ genetinis algoritmas (toks, kaip išdestyta

aukšciau) paprastai negali užtikrinti geru, priimtinu rezultatu esant ribotiems kompiuterio

centrinio procesoriaus laiko resursams. Kitaip tariant, siekiant gauti aukštos kokybes, artimus

optimaliems sprendinius, reikalingi pernelyg ilgi skaiciavimai. Dažnai šie laiko resursai esti

žymiai didesni negu panaudojant kitus euristinius algoritmus, pvz. atkaitinimo modeliavima,

tabu paieška ir pan. Del šiu priežasciu vietoje standartines GA strukturines schemos taikomos

išplestines (hibridizuotos) GA schemos, toliau vadinamos tiesiog hibridiniais genetiniais

algoritmais (HGA).

Hibridiniai genetiniai algoritmai labai sekmingai išbandyti sprendžiant daugeli

kombinatorinio optimizavimo uždaviniu, tarp ju, kvadratinio paskirstymo uždavini (žr. 2 sk.).

HGA principas slypi tame, jog kartu su tradiciniais genetiniais operatoriais panaudojamos

papildomos proceduros gaunamu sprendiniu pagerinimui. Tokiu proceduru vaidmenyje

19

galima naudoti ivairius žinomus euristinius algoritmus. Paprastai sprendinio papildomas

optimizavimas atliekamas po kryžminimo operacijos, nors galimi ir kiti variantai. Štai dažnai

euristines proceduros „tarnauja“ kaip aukštos kokybes pradiniu sprendiniu „populiaciju“

generatoriai. Tokiu budu GA operuoja su optimizuota „populiacija“, o ne su atsitiktiniais

pradines „populiacijos“ sprendiniais. Toki genetini procesa galime traktuoti kaip paieška

lokaliai optimaliu sprendiniu „erdveje“ − o tai yra daug efektyviau, jeigu lyginti su paieška

atsitiktiniu ar tik gana letai gerinamu sprendiniu „erdveje“.

5 pav. Genetinio algoritmo strukturine schema (šablonas)

Yra irodyta, kad „grynasis“ genetinis algoritmas (toks, kaip išdestyta aukšciau)

paprastai negali užtikrinti geru, priimtinu rezultatu esant ribotiems kompiuterio centrinio

procesoriaus laiko resursams. Kitaip tariant, siekiant gauti aukštos kokybes, artimus

optimaliems sprendinius, reikalingi pernelyg ilgi skaiciavimai. Dažnai šie laiko resursai esti

žymiai didesni negu panaudojant kitus euristinius algoritmus, pvz. atkaitinimo modeliavima,

tabu paieška ir pan. Del šiu priežasciu vietoje standartines GA strukturines schemos taikomos

išplestines (hibridizuotos) GA schemos (Moscato, 1999), toliau vadinamos tiesiog hibridiniais

genetiniais algoritmais (HGA).

Hibridiniai genetiniai algoritmai labai sekmingai išbandyti sprendžiant daugeli

kombinatorinio optimizavimo uždaviniu, tarp ju, kvadratinio paskirstymo uždavini (žr. 2 sk.).

Taip

Ne

GA

Pabaiga

Atrinkimas

Kryžminimas

Testi?

Pradines „populiacijos“ sudarymas

Atnaujinimas

Mutavimas / Pagerinimas

20

HGA principas slypi tame, jog kartu su tradiciniais genetiniais operatoriais panaudojamos

papildomos proceduros gaunamu sprendiniu pagerinimui. Tokiu proceduru vaidmenyje

galima naudoti ivairius žinomus euristinius algoritmus. Paprastai sprendinio papildomas

optimizavimas atliekamas po kryžminimo operacijos, nors galimi ir kiti variantai. Štai dažnai

euristines proceduros „tarnauja“ kaip aukštos kokybes pradiniu sprendiniu „populiaciju“

generatoriai. Tokiu budu GA operuoja su optimizuota „populiacija“, o ne su atsitiktiniais

pradines „populiacijos“ sprendiniais. Toki genetini procesa galime traktuoti kaip paieška

lokaliai optimaliu sprendiniu „erdveje“ − o tai yra daug efektyviau, jeigu lyginti su paieška

atsitiktiniu ar tik gana letai gerinamu sprendiniu „erdveje“.

Efektyvumui padidinti hibridine genetine paieška gali buti kombinuojama su

vadinamojo „restarto“ procedura. Šios strategijos esme − rekonstruoti sprendiniu

„populiacija“ tais atvejais, kai prarandama „populiacijos“ sprendiniu ivairove. Ivairoves

praradimas yra negatyvus faktorius, salygojantis per daug ankstu genetinio proceso

konvergavima i visai nebutinai aukštos kokybes lokaluji optimuma; tuo paciu pasireiškia

vadinamoji paieškos „stagnacija“, t.y. toks fenomenas, kai po tam tikro laiko − kad ir kiek

paieška besitestu − neimanoma (arba labai sunku tiketis) surasti nauju geresniu. Realizuojant

„restarta“ paprasciausiu atveju pakanka tiesiog iš naujo sugeneruoti sprendiniu „populiacija“

(gal but, tik paliekant iš buvusios „populiacijos“ viena geriausia sprendini), nors galimi ir

labiau rafinuoti budai. Perspektyvi yra „populiacijos“ rekonstravimo strategija, pagrista

specialios mutavimo proceduros taikymu „populiacijos“ sprendiniams. Mutavimas neturetu

buti nei per „stiprus“, nei per „silpnas“: pirmuoju atveju genetine paieška taptu panaši i

daugkartine atsitiktinio starto paieška; antruoju − nebutu garantuojamas pakankamai

„nutolusiu“ (nuo esamu) sprendiniu generavimas. Detalizuotas HGA KP uždaviniams

šablonas pateiktas 6 pav.

Magistro darbo tikslas – išnagrineti ivairias HGA modifikacijas, kurios skiriasi

sprendiniu kryžminimo operatoriais („krosoveriais“). Toliau ir nagrinejamos kryžminimo

operatoriu modifikacijos.

21

procedure hibridinis_genetinis_algoritmas; // pradiniai duomenys: PD − sprendiniu „populiacijos“ dydis // // rezultatai: s∗ − geriausias rastas sprendinys // begin sukurti pradine optimizuota „populiacija“ P⊂ S (|P|=PD) panaudojant viena ar daugiau konstrukciniu/euristiniu algoritmu; )(minarg sfs

Ps∈

∗ ← ; // isimenamas geriausias „populiacijos“ sprendinys //

repeat // vykdomas pagrindinis (generaciju) ciklas // repeat // vykdomas „sprendiniu-palikuoniu“ formavimo ciklas // parinkti "sprendinius-tevus" Pss ∈′′′, ; s ′′′ := krosoveris( ss ′′′, ); // „tevams“ atliekamas kryžminimas, gaunant „sprendini-palikuoni“ // pagerinti sprendini s ′′′ panaudojant viena iš euristiniu algoritmu; P := P ∪ { s ′′′ }; // pagerintas „palikuonis“ itraukiamas i „populiacija“ // if f( s ′′′ ) < f(s∗) then s∗:= s ′′′ // isimenamas geriausias rastas sprendinys // until turi buti pereinama i sekancia generacija; atnaujinti „populiacija“ P, pvz. atmetant blogesnius ir paliekant geresnius sprendinius; esant reikalui, vykdyti "restarta" („populiacijos“ P sprendiniu rekonstravima) until patenkinta baigimo salyga end.

6 pav. Hibridinio genetinio algoritmo šablonas

4.2. Kryžminimo operatoriu modifikacijos

Kryžminimo procedura - viena iš pagrindiniu genetines paieškos operaciju. Ji geba

sugeneruoti galima sprendini iš tevus apibudinancios informacijos. Krosoveris yra griežtai

strukturiškai apibrežtas ir tuo paciu metu atsitiktinis procesas, kuris užtikrina abieju tevu

charakteristiku paveldejima ir nauju savybiu sukurima. Matematiškai kryžminimo operacija

gali buti aprašoma kaip binarine funkcija ψ: Π × Π → Π tokia, jog

ψ(π′, π′′) ≠ π′ ∨ ψ(π′, π′′) ≠ π′′ jeigu π′ ≠ π′′; cia mes laikome, jog sprendinys yra

perstatymas. Kaip taisykle, visos kryžminimo proceduru modifikacijos turi užtikrinti, jog

palikuoniai neabejotinai paveldetu abiems tevams bendras charakteristikas. Formaliai galima

butu tai užrašyti taip: π′(i) = π′′(i) ⇒ π°(i) = π′(i) = π′′(i), i = 1, 2, ..., n. Likusiu

charakteristiku (genu) paveldimumas gali buti realizuojamas ivairiais budais.

Kryžminimo operatoriu nagrinejima pradedame nuo kryžminimo operacijos, kuria

1995 metais pasiule Tate ir Smith [31]. Šis krosoveris gali buti laikomas tolygiojo

pasiskirstymo krosoveriu rušies, be to yra adaptuotas perstatymams. Toliau ji vadinsime

tolygiojo pasiskirstymo krosoveriu (ULX – angl. uniform like crossover). Šios kryžminimo

operacijos veikimo principas aprašomas taip:

1. Visos vienodos tevu charakteristikos tose paciose pozicijose nukpijuojamos i ta

pacia pozicija palikuonyje.

22

2. Pozicijos, kuriose nepriskirtos charakteristikos, analiuzuojamos iš kaires i dešine:

tušciose pozicijose reikšme parenkama atsitiktinai iš kurio nors tevo, jeigu tik tokia reikšme

nebuvo priskirta palikuoniui anksciau.

3. Likusios pozicijos užpildomos atsitiktinai.

7 pav. Tolygiojo pasiskirstymo krosoverio pavyzdys

Tolygiojo pasiskirstymo kryžminimo operacija (ULX) yra labia lanksti ir galimos

ivairios algoritmo variacijos. Toliau pateikiamos trys klasikines ULX proceduros

modifikacijos. Kai kurias atvejais modifikacijos gali buti laikomos naujomis krosoverio

rušimis. Jas pavadinsime taip: Atsitiktinis ULX ( RULX – angl. randomized ULX),

modifikuotas ULX arba blokinis krosoveris (BX – angl. block crossover) ir išplestinis ULX

arba koreguojantis krosoveris (RX – angl. repair crossover).

Esminis skirtumas tarp standartinio tolygiojo pasiskirstymo krosoverio (ULX) ir

atsitiktinio (RULX) yra metode, kuris analizuoja charakteristiku pozicijas sprendinyje.

Standartiniame ULX algoritme poziciju analizavimo tvarka yra fiksuota – iš kaires i dešine.

Atsitiktiniame ULX algoritme pozicijos parenkamos atsitiktinai. Taip palikuonims suteikiama

daugiau atsitiktinumo ir ivairumo, tuo užtikrinant mažesne algoritmo priešlaikinio

konvergavimo tikimybe.

Kita standartinio ULX algoritmo modifikacija – vadinama blokinis krosoveris (BX) –

išsiskiria tuo, jog vietoj pavieniu elementu naudojami keliu elementu blokai (segmentai).

Vieno bloko dydis (BD) yra [1, n/2] intervalo ribose. Reiktu pastebeti, jog bloku dydis gali

buti skirtingas; pavyzdžiui uždavinio apimtis n=9 ir naudosime 4 blokus. Tuomet triju bloku

dydis bus 2 elementai, ir vienas blokas bus iš 3 elementu. Kopijuojant blokus turi buti

„išlaikytas“ perstatymas (žiureti 8 pav.). BD = n/2 reiškia, jog pirmas segmentas, kurio dydis

n/2, kopijuojamas palikuoniui iš vieno tevo (tarkime, π′). Like blokai kopijuojami iš „šalia“

esancio tevo (π′′) tokiu budu, jog butu išlaikytas galutinio sprendinio taisyklingumas. Jeigu

lieka nepriskirtu poziciju palikuonyje, tuomet trukstamos reikšmes gali buti parinktos iš bet

kurio tevo.

3 6 7 4 1 5 2 9 8 7 3 6 4 2 9 5 1 8 4 8 7 6 4 2 5 1 8 3 9 7 6 9 4 2 5 3 1 8

tevas 1

palikuonis

tevas 2

23

8 pav. Blokinio krosoverio pavyzdys

Esmine išplestinio ULX krosoverio ideja yra klasikinio ULX ir pataisymo proceduros,

pagristos lokaliu pagerinimu, kombinacija. Labiau sukonkretinat, bandoma pagerinti

palikuoni atliekant elementu porini sukeitima, bet tik tu elementu, kurie nera paveldeti iš tevu.

Sukuriamas kandidatu sarašas (KS), kur KS(i) = π°(i), KS(i) ≠ π′(i), KS(i) ≠ π′′(i) (π′, π′′, π° -

atitinkamai tevai ir palikuonis). Kandidatu sarašo nariai užima tam tikra dali gerinimo proceso

eigoje (žinoma, jeigu kandidatu sarašas yra tušcias (| KS | = 0), gerinimo procesas

neatliekamas). Aprašytos proceduros šablonas pateiktas 9 pav.

procedure dalinis_staigus_nusileidimas

// Tarkime π - palkuonis. Kiekvieno proceduros žingsnio metu,

// sprendinys pakeiciamas nauju sprendiniu kuris pagerina tikslo

// funkcijos reikšme.

// Procesas kartojamas kol gerinamas sprendinys egzistuoja

repeat

)(minarg:

)(,...,1)1(),...,1(

ij

wCLijwCLCLi

pz ⊕=

+=−=

• ππ ;

if z(π•) < z(π) then π := π• // Pakeiciamas senas sprendinys nauju

until π• ≠ π

end // dalinis_staigus_nusileidimas

9 pav. Dalinio lokalaus pagerino algoritmo, kuris naudojamas koreguojanciame

krosoveryje, šablonas. Pastaba nr. 1. pij – elementari perstatymo operacija, kuri paprašciausiai sukeicia i-taji ir j-taji elementus sprendinyje; šiuo atveju, išraiška ijp⊕π reiškia

perstatyma, kuris atliekamas sprendiniui π pritaikant sukeitimo operacija pij. Pastaba nr. 2. w = | KS |

Atlikus eksperimentus, paaiškejo, jog daugeliu atveju kandidatu sarašo (KS) dydis

žymiai mažesnis nei n (uždavinio apimtis). Todel dalinio lokalaus pagerinimo procedura

nereikalauja labai dideliu laiko sanaudu.

3 6 7 4 1 5 2 9 8 7 3 6 4 2 9 5 1 8 7 3 4 1 9 5 8 6 2 7 3 6 4 1 9 5 2 8

Tevas 1

Palikuoni

Tevas 2

Trukstamos reikšmes

24

Toliau aprašysime gerai žinomos kombinavimo (angl. recombination operator)

proceduros variacija – dalinio atvaizdavimo krosoveri (PMX - angl. partially-mapped

crossover). Pagrindine ideja šios proceduros yra ta, jog ji dirba tik su chromosomu dalimi –

atvaizdavimo sritimis – pasiskirsciusiose tarp dvieju krosoverio tašku [18]. Buvo irodyta, jog

PMX labai efektyvus sprendžiant komivojažieriaus uždavini [18], taciau standartine PMX

procedura neefektyvi sprendžiant kvadratinio pasiskirstymo uždavini. Del šios priežasties,

Migkikh ir kt. [24] pasiule PMX algoritmo modifikacija, kuri vietoj vieno atvaizdavimo

segmento naudoja keleta atsitiktinio atvaizdavimo tašku. Ši kryžminimo procedura vadinama

tolygiuoju PMX (UPMX - angl. uniform PMX). Pagrindiniai UPMX etapai yra šie:

1) Klonuojamas palikuonis π° iš pirmo tevo π′.

2) Atsitiktinai palikuonyje parenkama atsitiktine pozicija pos1.

3) Randama palikuonyje pozicija pos2, kurios turinys (reikšme) yra lygus antro tevo

π′′ turiniui (reikšmei), esanciam pozicijoje pos1. t. y. π°(pos2) = π′′(pos1).

4) Sukeiciamos tarpusavyje π°(pos1) ir π°(pos2) reikšmes.

5) Kartojame nuo pradžiu k kartu, kur k = n/3 (pagal [24]).

Algoritmo principas pateikiamas 10 pav.

10 pav. Tolygiojo dalinio planavimo krosoverio pavyzdys

Merz ir Freisleben [23] pasiule „išlaikancia atstuma“ kryžminimo operacija (DPX –

angl. distance preserving crossover) pritaikyta specialiai kvadratinio pasiskirstymo

uždaviniams spresti. (Ankstesnes šio algoritmo versijos buvo bandomos sprendžiant

komivojažieriaus uždavini). Pagrindine šio algoritmo ideja yra ta, jog kombinavimo

procedura stengsis, „kuriant“ sprendini, išsaugoti vienoda „atstuma“ iki tevu. Šis „atstumas“

yra lygus „atstumui“ tarp tevu.

„Atstumas“ ρ tarp dvieju perstatymu π1 ir π2 nusakomas elementu, kurie yra paskirti i

skirtingas pozicijas, skaiciumi. T. y. )}()(|{),( 2121 iii ππππρ ≠= . Taigi, elementai, kurie yra

vienodi tose paciose tevu (π′ ir π′′) pozicijose, kopijuojami i palikuoni (π°). Visi kiti genai yra

1 8 6 2 4 5 3 7 9 6 7 1 4 2 9 8 5 3 1 8 6 2 4 5 3 7 9 1 8 6 2 4 5 3 7 9 1 3 6 2 4 5 8 7 9 6 3 1 2 4 5 8 7 9 6 3 1 2 4 7 8 5 9

Pirmo tevo klonas

Tevas 1

Palikuonis

Tevas 2

Žingsnis nr. 2 Žingsnis nr. 1

Žingsnis nr. 3

25

Tevas 1 Tevas 2

Palikuonis

sukeiciami; t. y. likusios pozicijos atsitiktinai užpildomos dar nepriskirtomis reikšmemis,

užtikrinant, jog priskirta reikšme konkrecioje pozicijoje nesutaptu su tevu reikšmemis toje

pozicijoje. DPX krosoverio pavyzdys pateikiamas 11 pav.

11 pav. „Išlaikancio atstuma“ krosoverio pavyzdys

Toliau apžvelgsime ciklinio kryžminimo (CX – angl. cycle crossover) operacijos

principus. Esminiai šio algoritmo esminis principas yra tas, jog stengiamasi išsaugoti

abiejuose tevuose esama informacija. T. y. visos palikuonio reikšmes yra gautos iš kurio nors

tevo. Pagrindiniai ciklinio krosoverio žingsniai butu šie:

1) Visos reikšmes, rastos tose paciose pozicijose abiejuose tevuose, priskiriamos

atitinkamoje pozicijoje palikuoniui.

2) Pradedant nuo pirmos pozicijos (arba atsitiktinai prinktos) (atsižvelgiant i tai, jog

analizuojamas elementas dar nera priskirtas palikuoniui), elementas atsitiktinai parenkamas iš

vieno iš tevu. Atliekamas papildomas veiksmas, užtikrinantis, jog neivyktu atsitiktiniu

priskyrimu (mutaciju). Tas pats kartojama su sekancia tušcia pozicija ir kartojama tol kol bus

užpildytos visos pozicijos palikuonyje. Pavyzdys pateikiamas 12 pav.

12 pav. Ciklinio krosoverio pavyzdys

Ahuja ir kt. “godžiuose genetiniuose algoritmuose“ [1] naudoja poriniu sukeitimu

krosoveri (SPX – angl. swap path crossover). (Reiketu pastebeti, jog pagrindine šio algoritmo

ideja pirmasis pasiule Glover [14], kuris ivardino tai kaip „trajektoriju peradresavimas“).

Tarkime π′, π′′ yra tevu pora. Pradedama nuo pirmo (arba atsitiktinai parinkto) geno ir tevai

tikrinami iš kaires i dešine tol kol visi genai bus ivertinti. Jeigu reikšme tose paciose

3 5 8 2 9 1 4 6 7 8 5 6 4 9 1 3 2 7 5 9 1 7 6 2 3 8 4 6 5 2 3 9 1 8 4 7

5),(),(),( =′′′=°′′=°′ ππρππρππρ

3 5 8 2 9 1 4 6 7 8 5 6 9 4 1 2 3 7 5 1 7 3 8 6 9 4 2 3 5 8 9 4 1 2 6 7

Tevas 1 Tevas 2

Palikuonis

Žingsnis nr. 2: pradine pozicija 3, elementas 8 Žingsnis nr. 3: pradine pozicija 4, elementas 9

Žingsnis nr. 1: elementai 5,1,7 paveleti iš tevu

26

vaikas 1

Tevas 1 TTevas 2

Geriausias vaikas vaikas 2

vaikas 3 vaikas 4

palikuonis = geriausias

Tevas 1

Palikuonis

Tevas 2 Elementai tevo 1 Elementai tevo 2

pozicijose yra vienoda, tuomet pereiname i sekancia pozicija; priešingu atveju atliekamas

elementu sukeitimas abiejuose tevuose (π′ ir π′′). Pavyzdžiui analizuojamas genas yra i ir

a = π′(i), b = π′′(i), tuomet po sukeitimo arba π′(i) igauna b, arba π′′(i) igauna a reikšme.

Ahuja et al. pasiule atlikti sukeitima tam sprendiniui, kurio verte mažesne (tikslo funkcijos

reikšme geresne). Elementai dviejuose gautuose sprendiniuose toliau nagrinejami pradedant

nuo sekancios pozicijos ir taip toliau. Geriausias sprendinys šio proceso eigoje (tinkamiausias

vaikas) tampa palikuoniu. Poriniu sukeitimu krosoverio algoritmo fragmentas iliustruojamas

13 pav.

13 pav. Poriniu sukeitimu krosoverio pavyzdys

Vieno taško krosoveris (OPX – angl. one point crossover) [17] yra klasikines

kombinavimo proceduros variantas, kuris buvo placiai taikomas ankstyvuosiuose genetiniuose

algoritmuose. Viena OPX algoritmo modifikacija buvo pasiulyta Lin et. al. [21]. Šios

proceduros pagrindine ideja pakankamai paprasta. Dalijimo taškas viename iš tevu

pasirenkamas atsitiktinai tarp 1 ir n – 1 poziciju. Galutinis sprendinys (palikuonis) gaunamas

sukeitus tevu chromosomas tarpusavyje, išlaikant galutinio sprendinio taisyklinguma.

Algoritmo principas pavaizduotas 14 pav.

14 pav. Vieno taško krosoverio pavyzdys

Taip vadinamas „paremtas tvarka“ operatorius [8] buvo sekmingai pritaikomas

sprendžiant tvarkarašciu sudarymo uždavinius, kur tikslas yra nustatyti tvarka (seka) kuria

5 2 3 4 1 7 6 8 9 2 1 3 4 6 5 7 8 9 2 5 3 4 1 7 6 8 9 5 1 3 4 6 2 7 8 9 2 5 3 4 1 7 6 8 9 2 5 3 4 1 7 6 8 9 2 1 3 4 6 5 7 8 9 2 1 3 4 5 7 6 8 9 2 5 3 4 6 1 7 8 9

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Nauja tevu pora

2 8 7 1 4 5 9 3 6 7 6 4 1 8 9 2 3 5 2 8 7 1 4 5 6 3 9 2 8 7 1 4 5 6 3 9

Dalijimo taškas

27

darbai priskiriami pagal grafika. Pagrindine „tvarka paremto“ krosoverio (OBX – angl.

order-based crossover) savybe yra ta, jog išsaugoma genu tvarka chromosomoje. Taigi,

keletas elementu parenkami iš vieno iš tevu ir nukopijuojami i palikuoni. Trukstami

elementai, laikantis tvarkos, nukopijuojant iš kito tevo. Šio krosoverio pavyzdys pateikiamas

15 pav.

15 pav. Tvarka paremto krosoverio pavyzdys

Neseniai, Drezner‘is pasiule ganetinai originalu kombinavimo operatoriaus

sprendima – surišanti kryžminimo operatoriu [10] (COHX – angl. cohesive crossover). Šiame

algoritme palikuonis gaunamas, atlikus kelis žingsnius. Pradžioje sukuriama atstumu matrica

M, kurios dydis n1 × n2. n1 ir n2 parenkami tokie, jog tenkintu salyga:

n1 ⋅ n2 = n ∧ n1 + n2 → min. Fiksuojama pradine padetis atstumu matricoje (i0, j0), kur

i0 ∈ {1, 2, ..., n1}, j0 ∈ {1, 2, ..., n2}. Atstumu matrica užpildoma pagal bangos sklidimo

principa (žiur. 16 pav.).

Egzistuoja n skirtingu atstumu matricos variantu: M(1), M(2), ..., M(k), ..., M(n), kur k, i0,

ir j0 yra ryšyje: k = n2⋅(i0 − 1) + j0, i0 = 1, 2, ..., n1, j0 = 1, 2, ..., n2. Tuomet k-tasis sprendinys

π(k) (k ∈ {1, 2, ..., n}) gaunamas atliekant šiuos žingsnius:

1) ≤+−+−

=atvejupriešingu ,0

))1) mod )1((,1) div )1(((),()( 22

)()( ηπ

πnknki

ik

geresnisk M;

8 6 4 2 1 5 9 3 7 2 3 4 6 7 1 5 9 8 0 1 0 1 1 0 0 0 1 6 2 1 7 3 4 5 9 8 3 6 4 2 1 5 9 8 7

Tevas 1 Tevas 2 Atsitiktine maske Elementai tevo 1 Trukstami elementai Palikuonis

2

2 1 2

2 1 0 1 2

2 1 2

2

16 pav. Atstumu matricos pildymas

28

Tevas 1 (Geriausias tevas) Tevas 2

Palikuonis π(k) (k = 2)

Tevas 1 “atvaizduotas” matricoje

kur i = 1, 2, ..., n, πgeresnis = argmin {z(π′), z(π′′)}, π′, π′′ yra sprendiniai - tevai, ir η yra

matricos M(k) mediana, t. y. 21

1 2)( ),(

nn

jin

i

n

j

k

⋅

∑∑=

M

η ;

2)

∧=>

=atvejupriešingu ,0

)(0)(),(0)(),(

)( )(loglog

)()(

)( kesnisb

kesnisb

kk

k onepriklausiiiii

i ππππππ

π ;

kur i = 1, 2, ..., n, πblogesnis = argmax {z(π′), z(π′′)};

3) kiekvienai nepriskirtai pozicijai i (π (k)(i) = 0), reikšme parenkama atsitiktinai iš

reikšmiu, kurios dar nera priskirtos palikuoniui.

Sprendinio generavimo pavyzdys pateikiamas 17 pav.

17 pav. Surišancio krosoverio pavyzdys

Drezner pasiulytas algoritmas yra pakankamai lankstus ir galimos ivairios jo

modifikacijos. Vienoje iš modifikaciju siuloma generuoti kvadratine atstumu matrica.

Atsiranda vienintele problema, jog uždavinio apimtis ne visuomet sekmingai „atvaizduojama“

i kvadratine matrica. Todel siuloma parinkti toki matricos kraštines dydi nd, jog

abs(nd2 – n) → min. Savaime suprantama, jog tokiu atveju liks matricoje nepanaudojamu

elementu. Tuo tikslu, sukuriama bitine kaukes matrica K nd x nd, kurioje pažymimi naudojami

ir nenaudojami matricos elementai. Pastarieji išdestomi paskutiniame matricos stulpelyje ir

paskutineje eiluteje pradedant nuo (nd, nd) elemento. Tarkime turime uždavini, kurio apimtis

n=11. Tada nd = 4. Kaip atrodys suformuota bitine kaukes matrica, pavaizduota 18 pav.

3 2 1 4 7 8 9 6 5 8 9 7 3 2 1 5 4 6 3 2 1 4 7 8 9 6 5 3 2 1 7 5 4 6 9 8 3 2 1 9 7 8 5 4 6

Kopijos iš tevo 1 Kopijos iš tevo 2 Atsitiktinai priskirtos reikšmes

Atstumu matrica M(k) (k = 2)

1 0 1

2 1 2

3 2 3

29

Tevas 1 (Geriausias tevas) Tevas 2

Palikuonis π(k) (k = 10)

Tevas 1 “atvaizduotas” kaukes matricoje

Atstumu matrica M(k) (k = 10) Bitine kaukes matrica K

18 pav. Bitine kaukes matrica K

Tolimesni algoritmo veiksmai atliekami atsižvelgiant i bitines kaukes matricos,

konkrecios pozicijos reikšme. T.y. esant reikšmei 1 – skaiciavimai atliekami, esant

0 – praleidžiami. Šio algoritmo pavyzdys, kai uždavinio apimtis n = 11 pateikiamas žemiau:

19 pav. Modifikuoto surišancio krosoverio pavyzdys

Keleto tevu kryžminimo procedura (MPX – angl. multiple parent crossover) apraše

Misevicius [25], nors ideja naudoti keleta sprendiniu pasiule Boese ir kt. [4] ir Fleurent ir

Glover [13]. Algoritmas MPX pasižymi tuo, jog palikuonis paveldi informacija iš keletos

tevu. Tai priešingybe ir šiuo metu pranašumas prieš tradicini kryžminima, kuri atliekant,

naudinga informacija gali buti praleista, nes naudojami tik du tevai. MPX algoritme i-tasis

elementas, pvz. chromosoma iš palikuonio π° sukuriamas pasirinkus toki skaiciu j (iš

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

1 0 0 0

3 2 1 4 7 8 11 6 10 9 5 2 9 7 3 5 11 10 4 8 1 6 3 2 1 4 7 8 11 6 10 9 5 1 8 11 6 10 9 2 3 5 4 7 2 4 1 3 5 8 11 6 10 9 7

Kopijos iš tevo 1 Kopijos iš tevo 2 Atsitiktinai priskirtos reikšmes

4 3 2 3

3 2 1

2 1 0

3

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 0

1 0 0 0

30

o

nepanaudotu reikšmiu), kurio tikimybe, kad π°(i) = j ))(( jiTk =°π yra maksimizuota. Cia

tikimybe ))(( jiTk =°π yra lygi ∑

n

jij

ij

d

d, kur dij – elementas iš „siekio“ matricos D = (dij)n×n.

Procesas kartojamas tol, kol visi palikuonio genai igaus reikšmes. Šio algoritmo

pavyzdys pateikiamas 20 pav.

20 pav. Keleto tevu krosoverio pavyzdys

Reiketu pamineti, jog šiame darbe „siekio“ matrica yra šiek tiek modifikuota. Vietoj

D = (dij)n×n, naudojame D′ = (d′ij)n×n, kur d′ij = dij + ε, cia ε pataisos (triukšmo) koeficientas.

Visi šia aptarti algoritmai, gali buti skirstomi ivairiomis kategorijomis atsižvelgiant i

tam tikrus kriterijus: tevu skaiciu, atsitiktinumo lygi (iškraipymus), pritaikymas konkrecios

problemos sprendimui, laiko ir atminties apribojimai, programavimo aspektai. Pabandysiu

detaliau aptarti atsitiktinumo faktoriu. Šiurkšciai tariant, šis faktorius gali buti vertinamas kaip

matas, kuris nurodo kiek palikuonis „atitoles“ nuo tevu. Pasinaudojant šiuo faktorium,

krosoverio operacijos gali buti klasifikuojamos kaip nedaug griaunancios ir daug

griaunancios. Radciffe ir Surry [27] atitinkamai naudoja terminus „pilnai išlaikantis tvarka“

(angl. assorting) ir „nepilnai išlaikantis tvarka“ (angl. respectful). (Reiktu pastebeti, jog

daugelis analizuotu krosoveriu gali buti laikomi „nepilnai išlaikanciais tvarka“, tik ciklinis

4 3 6 7 1 2 9 8 5 4 3 6 7 1 9 5 8 2 4 6 3 1 7 5 9 2 8 4 7 3 1 8 5 9 6 2 5 6 3 1 2 4 9 7 8

0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0

4 6 3 7 1 5 9 8 2

Penki tevai

„Siekio“ matricos elementai

Tarkime, jog indeksu seka yra tokia:

7, 3, 1, 8, 2, 6, 5, 4, 9;

Tuomet palikuonis yra kuriamas taip:

{ } { } 9maxarg))7(Pr(maxarg)7( 7 ==== jjj

djππ ;

{ } 3))3(Pr(maxarg)3(9

===≠

jj

ππ ; { } 4))1(Pr(maxarg)1(9,3

===≠

jj

ππ ;

π(8) = 8; ir t.t.

Palikuonis

31

krosoveris papuola i „pilnai išlaikanciu tvarka“ algoritmu kategorija. Pagrinde yra dvi

situacijos suliejimo procese: naturali mutacija ir iššaukiama mutacija. „Pilnai išlaikantys

tvarka“ kryžminimo algoritmai charakterizuojami naturalia mutacija, o „nepilnai išlaikantys

tvarka“ algoritmai charakterizuojami iššaukiama mutacija. Naturalios mutacijos situacija yra

tada, kai palikuonis skiriasi nuo abieju tevu, taciau kiekvienas vaiko elementas yra iš

atitinkamo geno iš kurio nors tevo. T.y. π° ≠ π′ ∧ π° ≠ π′′ ∧ (π°(i) = π′(i) ∨ π°(i) = π′′(i),

i = 1, 2, ..., n). Tai labai griežta salyga. Del šios priežasties „grupuojantys“ algoritmai sunkiai

realizuojami nekuriems uždaviniams. Tuo tarpu iššaukiama mutacija suteikia daugiau laisves.

Vienintelis reikalavimas - patenkinti salyga, jog palikuonis skirtusi nuo tevu (numatant, jog

palikuonis neišvengiamai paveldes bendras tevu chromosomas). Labiau konkretinant,

numatoma mutacija laikoma tuomet, kai egzistuoja (bent vienas) toks i, kuris

π°(i) ≠ π′(i) ∧ π°(i) ≠ π′′(i). Elementas gali buti laikomas „svetimu“, jeigu jo nera bent

viename iš tevu. Svetimu elementu kiekis gali buti laikomas kryžminimo algoritmo

„griovimo“ rodikliu.

32

5. Eksperimentu rezultatai

Algoritmu efektyvumo tyrimams pasinaudota kvadratinio pasiskirstymo uždavinio

testiniais pavyzdžiais (duomenimis) iš pavyzdžiu bibliotekos QAPLIB [6]. Tarp daugelio

pavyzdžiu išskirti atsitiktiniu budu sugeneruoti pavyzdžiai ir „realaus pasaulio“ duomenis

imituojantys pavyzdžiai. Pirmajai grupei priklauso šie konkretus pavyzdžiai: tai25a, tai30a,

tai35a, tai40a, tai50a, tai60a, tai80a ir tai100a (tai∗a), o antrajai − pavyzdžiai: tai25b,

tai30b, tai35b, tai40b, tai50b, tai60b, tai80b, tai100b ir tai150b (tai∗b). Eksperimentai

buvo vykdyti su programa OPTIQAP (OPTImizer for the QAP) ir 2,6 GHz taktinio dažnio

PENTIUM kompiuteriu.

Buvo pasirinkti šie algoritmu ivertinimo kriterijai:

a) vidutinis nuokrypis nuo geriausio žinomo sprendinio − δ ( gerger )(100 zzz −=δ [%], cia

z yra tikslo funkcijos reikšmiu vidurkis, apskaiciuotas, atlikus W (W = 10) algoritmo

pakartotiniu vykdymu, o zger yra geriausia žinoma (tikslo funkcijos) reikšme (GŽR));

b) sprendiniu, esanciu „1% optimalumo intervale“, skaicius;

c) surastu geriausiu žinomu (pseudo-optimaliu) sprendiniu skaicius.

Atlikta 4 eksperimantai su skirtingais testiniais pavyzdžiais ir generaciju skaiciumi:

Lentele nr. 1 Eksperimentu aprašymas

Pavyzdžiai Genera- ciju skaicius

Atsitiktinai sugeneruoti

Realaus pasaulio

7 I II

20 III IV

Eksperimentu rezultatai pateikiami sekanciose lentelese.

33

Lentele nr. 2 Eksperimento I rezultatai (1 dalis)

ULX RULX RX BX UPMX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.713 10 1 0.615 10 1 0.666 10 1 0.73 10 1 0.68 10 1

TAI025A 0.913 7 0 0.884 7 0 0.71 8 0 1.005 5 0 0.754 7 1

TAI030A 0.682 10 0 0.652 10 0 0.648 9 0 0.685 8 0 0.525 9 0

TAI035A 0.778 8 1 0.671 9 1 0.734 8 1 0.754 8 1 0.659 9 1

TAI040A 0.775 10 0 0.802 8 0 0.81 8 0 0.727 9 0 0.838 7 0

TAI050A 0.913 7 0 0.952 6 0 0.918 8 0 0.964 6 0 0.961 6 0

TAI060A 0.873 9 0 0.845 9 0 0.866 9 0 0.833 10 0 0.876 9 0

TAI080A 0.519 10 0 0.492 10 0 0.498 10 0 0.499 10 0 0.506 10 0

I

TAI100A 0.411 10 0 0.411 10 0 0.411 10 0 0.377 10 0 0.402 10 0


SPX CX DPX OPX OBX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.622 10 1 0.652 10 1 0.718 10 1 0.622 10 1 0.681 10 1

TAI025A 0.899 7 0 0.923 6 0 1.09 4 0 0.717 8 2 0.882 8 0

TAI030A 0.668 9 0 0.603 10 0 0.827 7 0 0.531 10 0 0.693 9 1

TAI035A 0.814 6 1 0.695 8 1 0.779 7 1 0.763 8 1 0.711 8 1

TAI040A 0.765 10 0 0.786 8 0 0.863 7 0 0.752 10 0 0.77 8 0

TAI050A 0.865 8 0 0.901 8 0 0.966 7 0 0.945 7 0 0.919 7 0

TAI060A 0.828 10 0 0.833 9 0 0.878 9 0 0.85 10 0 0.841 10 0

TAI080A 0.435 10 0 0.458 10 0 0.522 10 0 0.458 10 0 0.518 10 0

I

TAI100A 0.314 10 0 0.37 10 0 0.406 10 0 0.377 10 0 0.403 10 0

34


MPX COHX1 COHX 2 COHX 3 COHX 4

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.615 10 1 0.596 10 2 0.708 10 1 0.409 10 2 0.35 10 2

TAI025A 0.681 9 1 0.966 6 0 0.871 7 0 0.478 9 2 0.4 10 2

TAI030A 0.634 9 0 0.717 8 0 0.657 10 0 0.446 10 1 0.454 10 1

TAI035A 0.681 9 1 0.783 9 1 0.767 7 1 0.553 9 0 0.528 10 0

TAI040A 0.72 10 0 0.797 8 0 0.744 9 0 0.609 10 0 0.602 10 0

TAI050A 0.881 8 0 0.887 9 0 0.937 6 0 0.835 8 0 0.865 9 0

TAI060A 0.814 10 0 0.834 10 0 0.811 10 0 0.765 10 0 0.775 9 0

TAI080A 0.45 10 0 0.448 10 0 0.438 10 0 0.432 10 0 0.432 10 0

I

TAI100A 0.326 10 0 0.389 10 0 0.368 10 0 0.288 10 0 0.272 10 0

Lentele nr. 5 Eksperimento II rezultatai (1 dalis)

ULX RULX RX BX UPMX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s TAI020B 0.045 10 9 0.09 10 8 0.045 10 9 0.091 10 8 0.09 10 8

TAI025B 0.114 10 3 0.15 10 2 0.201 10 2 0.243 9 3 0.194 10 2

TAI030B 0.466 8 1 0.315 9 0 0.41 9 2 0.596 8 0 0.549 8 0

TAI035B 0.237 10 3 0.289 10 0 0.287 10 1 0.277 10 1 0.163 10 3

TAI040B 0.558 7 3 0.55 7 4 0.42 8 5 0.443 8 5 0.44 8 4

TAI050B 0.253 10 1 0.285 10 1 0.261 10 1 0.281 10 0 0.228 10 1

TAI060B 0.207 10 0 0.184 10 0 0.181 10 0 0.16 10 1 0.176 10 0

TAI080B 0.461 8 0 0.337 10 0 0.477 8 0 0.461 9 0 0.594 9 0

TAI100B 0.335 10 0 0.357 10 0 0.422 10 0 0.4 10 0 0.387 10 0

II

TAI150B 0.71 9 0 0.639 10 0 0.622 10 0 0.585 10 0 0.684 10 0

35


SPX CX DPX OPX OBX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020B 0.09 10 8 0.085 10 8 0.101 10 8 0.09 10 8 0.091 10 8

TAI025B 0.045 10 5 0.166 10 5 0.206 10 2 0.273 10 2 0.079 10 6

TAI030B 0.551 8 2 0.514 8 2 0.69 8 0 0.37 9 1 0.56 8 2

TAI035B 0.281 10 0 0.24 10 2 0.368 10 0 0.27 10 1 0.218 10 2

TAI040B 0.068 10 5 0.464 8 3 0.411 8 1 0.352 8 4 0.515 8 4

TAI050B 0.168 10 1 0.205 10 2 0.5 9 0 0.296 10 1 0.223 10 0

TAI060B 0.163 10 0 0.183 10 1 0.33 10 0 0.176 10 0 0.201 10 0

TAI080B 0.448 8 0 0.537 8 0 0.909 4 0 0.381 9 0 0.474 8 0

TAI100B 0.471 10 0 0.458 10 0 0.644 10 0 0.429 10 0 0.37 10 0

II

TAI150B 0.674 10 0 0.698 10 0 1.02 3 0 0.592 10 0 0.599 10 0


MPX COHX 1 COHX 2 COHX 3 COHX 4

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s TAI020B 0.09 10 8 0.045 10 9 0.045 10 9 0.056 10 9 0.056 10 9

TAI025B 0.115 10 5 0.197 10 4 0.137 10 4 0.277 10 4 0.029 10 6

TAI030B 0.346 9 0 0.381 9 0 0.338 9 1 0.384 9 1 0.259 10 1

TAI035B 0.287 10 1 0.248 10 1 0.255 10 2 0.399 9 0 0.223 10 1

TAI040B 0.245 9 6 0.542 7 4 0.036 10 6 0.263 9 6 0.423 8 5

TAI050B 0.298 9 1 0.282 10 0 0.133 10 2 0.276 10 0 0.195 10 0

TAI060B 0.137 10 0 0.212 10 0 0.144 10 0 0.198 10 0 0.174 10 1

TAI080B 0.591 7 0 0.465 8 0 0.435 8 0 0.58 10 0 0.56 10 0

TAI100B 0.305 10 0 0.399 10 0 0.362 10 0 0.41 10 0 0.407 10 0

II

TAI150B 0.646 10 0 0.647 10 0 0.582 10 0 0.737 10 0 0.738 10 0

36

Lentele nr. 8 Eksperimento III rezultatai (1 dalis)

ULX RULX RX BX UPMX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.183 10 4 0.238 10 4 0.216 10 4 0.216 10 4 0.238 10 4

TAI025A 0.185 10 6 0.154 10 6 0.191 10 5 0.19 10 5 0.117 10 7

TAI030A 0.112 10 7 0.079 10 8 0.097 10 7 0.091 10 7 0.111 10 7

TAI035A 0.29 10 2 0.348 10 1 0.388 10 0 0.175 10 5 0.284 10 2

TAI040A 0.483 10 0 0.465 10 0 0.474 10 0 0.454 10 0 0.455 10 0

TAI050A 0.678 10 0 0.628 10 0 0.609 10 0 0.638 10 0 0.565 10 0

TAI060A 0.655 10 0 0.646 10 0 0.629 10 0 0.608 10 0 0.623 10 0

TAI080A 0.274 10 0 0.267 10 0 0.295 10 0 0.219 10 1 0.265 10 0

III

TAI100A 0.224 10 0 0.219 10 0 0.203 10 0 0.192 10 0 0.191 10 0


SPX CX DPX OPX OBX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.207 10 5 0.268 10 3 0.221 10 4 0.202 10 5 0.268 10 3

TAI025A 0.151 10 6 0.158 10 6 0.231 10 4 0.19 10 5 0.159 10 6

TAI030A 0.091 10 7 0.04 10 9 0.074 10 7 0.12 10 6 0.112 10 7

TAI035A 0.283 10 2 0.312 10 1 0.433 10 0 0.209 10 4 0.324 10 0

TAI040A 0.444 10 0 0.424 10 0 0.503 10 0 0.441 10 0 0.425 10 0

TAI050A 0.585 10 0 0.627 10 0 0.693 10 0 0.602 10 0 0.579 10 0

TAI060A 0.609 10 0 0.619 10 0 0.689 10 0 0.596 10 0 0.613 10 0

TAI080A 0.24 10 0 0.251 10 0 0.33 10 0 0.268 10 0 0.26 10 0

III

TAI100A 0.142 10 0 0.165 10 0 0.23 10 0 0.178 10 0 0.219 10 0

37



Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020A 0.246 10 3 0.263 10 3 0.229 10 3 0.113 10 7 0.077 10 8

TAI025A 0.15 10 6 0.154 10 6 0.146 10 6 0.037 10 9 0.052 10 8

TAI030A 0.035 10 8 0.075 10 7 0.097 10 7 0.002 10 9 0.002 10 9

TAI035A 0.193 10 4 0.284 10 2 0.169 10 5 0.13 10 6 0.144 10 5

TAI040A 0.383 10 0 0.461 10 0 0.383 10 0 0.256 10 0 0.261 10 0

TAI050A 0.561 10 0 0.686 10 0 0.601 10 0 0.522 10 0 0.501 10 0

TAI060A 0.586 10 0 0.642 10 0 0.544 10 0 0.556 10 0 0.528 10 0

TAI080A 0.218 10 0 0.248 10 0 0.261 10 0 0.184 10 0 0.168 10 0

III

TAI100A 0.121 10 0 0.144 10 0 0.158 10 0 0.119 10 0 0.105 10 1

Lentele nr. 11 Eksperimento IV rezultatai (1 dalis)

ULX RULX RX BX UPMX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s TAI020B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI025B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI030B 0 10 9 0 10 9 0.018 10 7 0.001 10 8 0.001 10 6

TAI035B 0.048 10 7 0.049 10 7 0.014 10 9 0.049 10 7 0.019 10 9

TAI040B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI050B 0.003 10 9 0.035 10 6 0.003 10 9 0.001 10 9 0.006 10 8

TAI060B 0.011 10 7 0.024 10 5 0.004 10 8 0.012 10 6 0.012 10 4

TAI080B 0.049 10 3 0.004 10 7 0.067 10 3 0.012 10 4 0.119 10 6

TAI100B 0.074 10 5 0.104 10 3 0.091 10 2 0.115 10 1 0.117 10 1

IV

TAI150B 0.329 10 0 0.305 10 0 0.091 10 0 0.359 10 0 0.41 10 0

38


SPX CX DPX OPX OBX

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI025B 0 10 10 0 10 10 0.007 10 9 0 10 10 0 10 10

TAI030B 0.001 10 6 0.017 10 7 0.019 10 4 0.001 10 7 0 10 9

TAI035B 0.029 10 8 0.042 10 6 0.047 10 8 0.062 10 7 0.037 10 8

TAI040B 0 10 10 0 10 10 0.045 10 9 0 10 10 0 10 10

TAI050B 0.012 10 9 0.002 10 7 0.088 10 2 0 10 10 0 10 9

TAI060B 0.002 10 8 0.007 10 7 0.025 10 2 0.002 10 8 0.015 10 3

TAI080B 0.017 10 3 0.013 10 3 0.173 10 2 0.045 10 2 0.017 10 3

TAI100B 0.091 10 2 0.108 10 2 0.145 10 1 0.113 10 1 0.114 10 2

IV

TAI150B 0.232 10 0 0.36 10 0 0.608 10 0 0.261 10 0 0.338 10 0



Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

Vid

urki

o nu

okry

pis

1 %

inte

rval

e

Ger

iaus

iu k

ieki

s

TAI020B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI025B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0.007 10 9 0 10 10

TAI030B 0 10 9 0 10 9 0 10 9 0.014 10 8 0 10 9

TAI035B 0 10 10 0.048 10 7 0.024 10 9 0.031 10 8 0.052 10 7

TAI040B 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 10

TAI050B 0.001 10 9 0.001 10 9 0.006 10 8 0.004 10 7 0 10 10

TAI060B 0.012 10 6 0.005 10 5 0 10 8 0.029 10 4 0.005 10 9

TAI080B 0.003 10 7 0.1 10 3 0.016 10 1 0.16 10 2 0.059 10 4

TAI100B 0.07 10 5 0.116 10 0 0.081 10 2 0.114 10 0 0.098 10 3

IV

TAI150B 0.311 10 0 0.335 10 0 0.255 10 0 0.35 10 0 0.277 10 0

Pastaba:

ULX – tolygiojo pasiskirstymo krosoveris RULX – atsitiktinis ULX RX – koreguojantis krosoceris BX – blokinis krosoveris UPMX – tolygusis dalinio planavimo krosoveris SPX – poriniu sukeitimu krosoveris CX – ciklinis krosoveris DPX – išlaikantis atstuma krosoveris OPX – vieno taško krosoveris

OBX – tvarka paremtas krosoveris MPX – keleto tevu krosoveris COHX1 – surišantis krosoveris, nenaudojantis bitu kaukes ir nevertinantis tevu „gerumo“ COHX2 - surišantis krosoveris, nenaudojantis bitu kaukes ir vertinantis tevu „geruma“ COHX3 - surišantis krosoveris, naudojantis bitu kauke ir nevertinantis tevu „gerumo“ COHX4 - surišantis krosoveris, naudojantis bitu kauke ir vertinantis tevu „geruma“

39

Kadangi gautas labai didelis rezultatu kiekis, grafiškai pateikiamos tik vidutines

rezultatu reikšmes.

Vidutines vidurkio nuokrypiu reikšmes

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ULXRULX RX BX

UPMX

SPX CX

DPX OPX OBX MPX

COHX1

COHX2

COHX3

COHX4

Algoritmai

Vid

urk

io n

uo

kryp

is

IIIIIIIV

21 pav. Vidutiniu vidurkiu nuokrypiu grafikas

Vidutiniai 1% intervale esanciu reikšmiu kiekiai

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

ULXRULX RX BX

UPMX

SPX CXDPX OPX OBX MPX

COHX1

COHX2

COHX3

COHX4

Algoritmai

Kie

kiai

I

II

III

IV

22 pav. Vidutiniu 1% intervale esanciu reikšmiu kiekiu grafikas

40

Vidutiniai geriausiu reikšmiu kiekiai

012345678

ULXRULX RX BX

UPMX

SPX CX

DPX OPX OBX MPX

COHX1

COHX2

COHX3

COHX4

Algoritmai

Kie

kiai

I

II

III

IV

23 pav. Vidutiniu geriausiu reikšmiu kiekiu grafikas

Iš rezultatu matome, jog algoritmas kur kas lengviau „susidoroja“ su „realaus

pasaulio“ duomenis imituojanciais pavyzdžiais. Padidinus generaciju kieki, rezultatai taip pat

gaunami geresni.

Geriausios vidurkio nuokrypio reikšmes gaunamos naudojant COHX3 ir COHX4

kryžminimo operacijas, pastarieji aprašyti kaip modifikuoti surišantieji krosoveriai. Skirtumas

tarp ju tik tas, jog COHX3 algoritme tevu „gerumas“ nevertinamas, kai COHX4 algoritme

pirmo tevo tikslo funkcijos reikšme turi buti geresne. Iš 21 pav. akivaizdu, jog toks tevu

ivertinimas pagerina HGA rezultatus.

Pagal vidutiniu 1% intervale esanciu reikšmiu kiekiu grafika, galima analizuoti tik I ir

II eksperimentu rezultatus. III ir IV eksperimentu metu, visi algoritmai parode vienodai gerus

rezultatus. Pirmu eksperimentu metu COHX3 ir COHX4 vel parode geriausius rezultatus.

Akivaizdu, jog ir pagal 1% intervale esanciu reikšmiu kieki, prieš atliekant kryžminimo

operacija, verta ivertinti tevu „geruma“.

Analizuojant gautus geriausiu reikšmiu kiekius, pastebimas vel COHX4 algoritmo

pranašumas. Taciau IV eksperimento metu dideli pagerejima pademonstravo MPX

algoritmas. Nors kitu eksperimentu metu, šio algoritmo vidutiniai rezultatai neišsiskyre iš kitu

algoritmu.

41

6. Išvados

1. Kvadratinio paskirstymo uždavinys, kaip ir daugelis kitu kombinatorinio

optimizavimo uždaviniu, del jo sudetingumo išsprendžiamas tiksliai tik tuomet, kai jo apimtis

labai ribota. Todel šiam uždaviniui spresti taikomi euristiniai algoritmai. Vienas iš tokiu

algoritmu − hibridinis genetinis algoritmas (HGA), kurio viena iš pagrindiniu daliu yra

kryžminimo operatorius.

2. Šiame darbe realizuotas sprendiniu kryžminimo algoritmas pagal aprašyma, pateikta

Z. Drezner straipsnyje “A New Genetic Algorithm for the Quadratic Assignment Problem“

[21]. Taip pat realizuota keleta šio algoritmo modifikaciju, kurio leis ivertinti Z. Drezner

pasiulyto algoritmo pranašumus arba trukumus.

3. Algoritmai buvo išbandyti su ivairiu tipu kvadratinio paskirstymo uždavinio

testiniais pavyzdžiais (duomenimis) iš kvadratinio paskirstymo uždavinio duomenu

bibliotekos QAPLIB. Rezultatai buvo palyginti su jau kitais gerai žinomais kryžminimo

algoritmu rezultatais.

4. Realizuoti surišancio „krosoverio“ algoritmai pademonstravo gerus rezultatus.

5. Net ir esant pasiektiems geriems rezultatams, tikslinga toliau ieškoti kitu

patobulinimo budu, strategiju ir ideju.

6. Kiti galimi hibridinio genetinio algoritmo patobulinimai galetu buti susije su kitu

genetiniu operatoriu, pvz. lokalios paieškos modifikavimu. Galetu buti išbandyti ir kiti

specialus mechanizmai, pvz., imigravimas, konkuruojancios populiacijos ir t.t.

7. Patobulintus hibridinius genetinius algoritmus, gaunancius gerus rezultatus

sprendžiant kvadratinio pasiskirstymo uždavini, butu galima išbandyti kitiems aktualiems

kombinatorinio optimizavimo uždaviniams, pvz., komivojažieriaus uždaviniui ir pan.

42

7. Literatura

[1] Ahuja R. K., Orlin J. B., Tiwari A., 2000. A greedy genetic algorithm for the quadratic assignment

problem. Computers and Operations Research 27, 917–934.

[2] Anily S., Federgruen A. Simulated annealing methods with general acceptance probability. Journal of

Applied Probability, 1987, vol.24, 657-667.

[3] Boelte A., Thonemann U. W. Optimizing simulated annealing schedules with genetic programming//

European Journal of Operational Research, 1996, p. 92, 402–416.

[4] Boese K.D., Kahng A.B., Muddu S. A new adaptive multi-start technique for combinatorial global

optimizations. Operations Research Letters, 1994, Vol.16, 101–113.

[5] Burkard R.E., Çela E., Pardalos P.M., Pitsoulis L.. The quadratic assignment problem. In D.Z.Du,

P.M.Pardalos (eds.), Handbook of Combinatorial Optimization, vol.3, Dordrecht: Kluwer, 1998, 241-337.

[6] Burkard R. E., Karisch S., Rendl F. QAPLIB – a quadratic assignment problem library. Journal of Global

Optimization, 1997, p. 10, 391–403.

[7] Cerný V. A thermodynamical approach to the traveling salesman problem: an efficient simulation algorithm.

Comenius University, Bratislava, CSSR, 1982.

[8] Davis L. Order-based genetic algorithms and the graph coloring problem. In L.Davis (ed.), Handbook of

Genetic Algorithms, Van Nostrand, New York, 1991, 72−90.

[9] Dorigo M., Di Caro G. The ant colony optimization metaheuristic. In D.Corne, M.Dorigo, F.Glover (eds.),

New Ideas in Optimization, New York: McGraw-Hill, 1999, 11-32.

[10] Drezner Z. A new genetic algorithm for the quadratic assignment problem. INFORMS Journal on

Computing, 2003, Vol.15, 320−330.

[11] Elshafei A. N. Hospital layout as a quadratic assignment problem. Operations Research Quarterly, 1977,

Vol.28, p. 167–179.

[12] Fleurent C., Ferland J.A., 1993. Genetic hybrids for the quadratic assignment problem. In: Pardalos, P.M.,

Wolkowicz, H., (Eds.), Quadratic Assignment and Related Problems. DIMACS Series in Discrete

Mathematics and Theoretical Computer Science

[13] Fleurent C., Glover F. Improved constructive multistart strategies for the quadratic assignment problem

using adaptive memory. INFORMS Journal on Computing, 1999, Vol.11, 198−204.

[14] Glover F. Genetic algorithms and scatter search: unsuspected potential. Statistics and Computing, 1994,

Vol.4, 131−140.

[15] Glover F. Tabu search: part I. ORSA Journal on Computing, 1989,

Vol.1, p. 190–206.

[16] Glover F. Tabu search: part II. ORSA Journal on Computing, 1990,

Vol.2, p. 4–32.

43

[17] Goldberg DE. Genetic algorithms in search, optimization and machine learning, Addison-Wesley, Reading,

MA, 1989

[18] Goldberg DE, Lingle R. Alleles, loci, and the traveling salesman problem. In J.J.Grefenstette (ed.),

Proceedings of the First International Conference on Genetic Algorithms and their Applications, Lowrence

Erlbaum, Hillsdale, 1985, 154−159.

[19] Johnson D.S. Local optimization and the traveling salesman problem. In Proceedings of the 17th

International Colloquium on Automata, Languages and Programming. Lecture Notes in Computer Science,

vol.443, Berlin: Springer, 1990, 446-461.

[20] Koopmans T., Beckmann M. Assignment problems and the location of economic activities. Econometrica,

1957, Vol.25, p. 53–76.

[21] Lim M. H., Yuan Y., Omatu S., Efficient Genetic Algorithms Using Simple Genes Exchange Local Search

Policy for the Qaudratic Assignment Problem. Kluwer Academic Publishers, 2000

[22] Lin S., Kernighan B.W. An effective heuristic algorithm for the traveling-salesman problem. Operations

Research, 1973, vol.21, 498-516.

[23] Merz P., Freisleben B., 1997a. A genetic local search approach to the quadratic assignment problem.

[24] Migkikh V.V., Topchy A.A., Kureichik V.M., Tetelbaum A.Y.. Combined genetic and local search

algorithm for the quadratic assignment problem. Proceedings of the First International Conference on

Evolutionary Computation and its Applications (EVCA'96), Presidium of the Russian Academy of

Sciences, Moscow, 1996, 335−341.

[25] Misevicius A., Rubliauskas D. Performance of hybrid genetic algorithm for the grey pattern problem.

Information Technology and Control, 2005, Vol.34, No.1, 15−24.

[26] Papadimitriou C.H., Steiglitz K. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Englwood

Cliffs: Prentice-Hall, 1982.

[27] Radcliffe N., Surry P. Fitness variance of formae and performance prediction. In L.D.Whitley, M.Vose

(eds.), Proceedings of the Third Workshop on Foundations of Genetic Algorithms, Morgan Kaufmann, San

Francisco, 1994, 51–72.

[28] M.G.C.Resende, C.C.Ribeiro. Greedy randomized adaptive search procedures. In F.Glover, G.Kochenberger (eds.),

Handbook of Metaheuristics, Norwell: Kluwer, 2002, 218-249.

[29] Sahni S., Gonzalez T. P-complete approximation problems// Journal of ACM, 1976, p. 23, 555–565.

[30] Skorin-Kapov J. Tabu search applied to the quadratic assignment problem// ORSA Journal on Computing,

1990, p. 2, 33–45.

[31] Tate D. M., Smith A. E., A genetic approach to the quadratic assignment problem. Computers and

Operations Research, 1995, Vol.1, 73–83.

44

8. Paveiksleliai

1 pav. Matricinio kristalo struktura .................................................................................. 8

2 pav. Paieškos „trajektorijos“ iliustracija ......................................................................... 10

3 pav. Klasikinio lokaliai optimaliu sprendiniu paieškos algoritmo šablonas.... .............. 11

4 pav. Tabu paieškos šablonas ........................................................................................... 15

5 pav. Genetinio algoritmo strukturine schema (šablonas)....................................................... 19

6 pav. Hibridinio genetinio algoritmo šablonas ...................................................................... 21

7 pav. Tolygiojo pasiskirstymo krosoverio pavyzdys ....................................................... 22

8 pav. Blokinio krosoverio pavyzdys ............................................................................... 23

9 pav. Dalinio lokalaus pagerino algoritmo, kuris naudojamas koreguojanciame

krosoveryje, šablonas............................................................................................. 23

10 pav. Tolygiojo dalinio planavimo krosoverio pavyzdys .............................................. 24 11 pav. „Išlaikancio atstuma“ krosoverio pavyzdys ......................................................... 25

12 pav. Ciklinio krosoverio pavyzdys .............................................................................. 25

13 pav. Poriniu sukeitimu krosoverio pavyzdys ............................................................... 26

14 pav. Vieno taško krosoverio pavyzdys ........................................................................ 26 15 pav. Tvarka paremto krosoverio pavyzdys .................................................................. 27

16 pav. Distanciju matricos pildymas ............................................................................... 27

17 pav. Surišancio krosoverio pavyzdys .......................................................................... 28

18 pav. Bitine kaukes matrica K ....................................................................................... 29

19 pav. Modifikuoto surišancio krosoverio pavyzdys ...................................................... 29

20 pav. Keleto tevu krosoverio pavyzdys ......................................................................... 30

21 pav. Vidutiniu vidurkiu nuokrypiu grafikas ................................................................. 39

22 pav. Vidutiniu 1% intervale esanciu reikšmiu kiekiu grafikas .................................... 39

23 pav. Vidutiniu geriausiu reikšmiu kiekiu grafikas ....................................................... 40

45

9. Summary

Hybrid Genetic Algorithm and its modifications

for the Qaudratic Assignment Problem

Genetic algorithms (GA) are among the widely used in various areas of computer

science, including optimization problems. Genetic algorithms (GA) are based on the

biological process of natural selection. Many simulations have demonstrated the efficiency of

GAs on different optimization problems, among them, bin-packing, qaudratic assignment

problem, graph partitioning, job-shop scheduling problem, set covering problem, traveling

salesman problem, vehicle routing.

The quadratic assignment problem (QAP) belong to the class of NP-hard

combinatorial optimization problems. The QAP can be formulated in many ways. We

consider a variant of the many equivalent forms as follows. Given a QAP of size n described

by two n x n cost matrices A = [aij] and B = [bij], the goal is to find a permutation π of the set

Π = {1, 2, 3, …, n}, which minimizes the objective function z(π).

One of the main operators in GA is a crossover (i.e. solution recombination). This

operator plays a very important role by constructing competitive genetic algorithms (GAs). In

this work, we investigate several crossover operators for the QAP, among them, ULX

(uniform like crossover), SPX (swap path crossover), OPX (one point crossover), COHX

(cohesive crossover), MPX (multiple parent crossover) and others. Comparison of these

crossover operators was performed. The results show high efficiency of the cohesive

crossover.

∑∑= =

=n

i

n

jjiijbaz

1 1)()()( πππ

46

10. Priedas

Surišancio krosoverio, naudojancio bitu kauke, išeities tekstas pateiktas žemiau:

unit cohesive;

interface

{$I header.dcl}

const CMatrixMax = 50;

Type TBitMatrix = array[1..CMatrixMax, 1..CMatrixMax] of boolean;

TDistMatrix = array[1..CMatrixMax, 1..CMatrixMax] of integer;

procedure cohesive_crossover(p_1, p_2: fixed_int_array;var o: fixed_int_array);

procedure cohesive_merge(dydis:integer; poz:integer;s1,s2:fixed_int_array;

var s3:fixed_int_array);

function exist(reiksme, mas_dydis: integer; mas: fixed_int_array;

var poz: integer):integer;

function add2arr(reiksme: integer;

var mas_dydis: integer; var mas: fixed_int_array):integer;

function get_pozic(dydis_x, poz_x, poz_y: integer):integer;

procedure get_koord(dydis_x, poz: integer; var x: integer; var y: integer);

procedure get_size(ilgis: integer; var x_size: integer; var y_size: integer);

function med_dist(x1, y1, x2, y2: integer): integer;

procedure get_koord_new(SSize, nx, ny, poz: integer;

var x: integer; var y: integer);

function get_pozic_new(SSize, nx, ny, poz_x, poz_y: integer):integer;

implementation

uses objectiv, protocol, utils;

{****}

Procedure PrintBitMatrix(mat:TBitMatrix; size:integer);

var x, y: integer;

begin

writeln;

for y:=1 to size do begin

for x:=1 to size do if mat[x,y] then write('1':2)

else write('0':2);

47

writeln;

end;

end;

Procedure PrintDistMatrix(mat:TDistMatrix; size, maxDist:integer);

var x, y: integer;

begin

writeln;

for y:=1 to size do begin

for x:=1 to size do if mat[x,y]>=0 then write(mat[x,y]:3)

else write(' .');

writeln;

end;

Writeln('Max. Distance ',maxDist);

end;

procedure PrintArray(s:fixed_int_array; dydis, SSize, ny:integer);

var ix, iy, i: integer;

begin

writeln;

for i:=1 to dydis do begin

write(s[i]:3);

if (SSize - ny) * SSize >= i then begin

if i mod SSize = 0 then writeln

end else

if (i - (SSize - ny)*SSize) mod (SSize-1) = 0 then writeln

end;

writeln;

end;

{***************************************************************************}

{**** Medianinis atstumas tarp dvieju tasku ********************************}

{***************************************************************************}

function med_dist(x1, y1, x2, y2: integer): integer;

begin

med_dist := abs( x1 - x2 ) + abs( y1 - y2 );

end;

{***************************************************************************}

{**** Randamas matricos dydis, kurios krastiniu suma maziausia *************}

{***************************************************************************}

procedure get_size(ilgis: integer; var x_size: integer; var y_size: integer);

var i, x, y: integer;

begin

x_size := ilgis;

y_size := 1;

48

for i:=1 to (round(sqrt(ilgis))) + 1 do

if ilgis mod i = 0 then

if x_size + y_size > i + ilgis div i then begin

x_size := ilgis div i;

y_size := i;

end;

end;

{***************************************************************************}

{**** Konvertuoja adresa is 1d i 2d (apkarpytoje matricoje) ****************}

{***************************************************************************}

procedure get_koord_new(SSize, nx, ny, poz: integer; var x: integer; var y:

integer);

begin

if SSize * (SSize - ny) >= poz

then get_Koord(SSize,poz,x,y)

else begin

get_Koord(SSize-1,poz - SSize * (SSize - ny),x,y);

y := y + (SSize - ny);

end;

end;

{***************************************************************************}

{**** Konvertuoja adresa is 1d i 2d ****************************************}

{***************************************************************************}

procedure get_koord(dydis_x, poz: integer; var x: integer; var y: integer);

begin

y:= (poz-1) div dydis_x+1;

x:= poz - ((y-1) * dydis_x);

end;

{***************************************************************************}

{**** Konvertuoja adresa is 1d i 2d (apkarpytoje matricoje) ****************}

{***************************************************************************}

function get_pozic_new(SSize, nx, ny, poz_x, poz_y: integer):integer;

var pag: integer;

begin

if poz_y <= (SSize - ny) then begin

pag := get_pozic(SSize,poz_x,poz_y);

end else begin

pag := get_pozic(SSize-1,poz_x,poz_y) + (SSize - ny);

end;

get_pozic_new := pag;

end;

49

{***************************************************************************}

{**** Konvertuoja adresa is 2d i 1d ****************************************}

{***************************************************************************}

function get_pozic(dydis_x, poz_x, poz_y: integer):integer;

var pag:integer;

begin

pag := dydis_x * (poz_y - 1) + poz_x;

get_pozic := pag;

end;

{***************************************************************************}

{**** Tikrina ar reiksme unikali masyve ************************************}

{***************************************************************************}

function exist(reiksme, mas_dydis: integer; mas: fixed_int_array; var

poz:integer):integer;

var pag: integer;

i: integer;

kp, dp, vp: integer; //Kaire puse, Desine puse, Vidurine puse

begin

pag := 0;

poz := 1;

if mas_dydis>0 then begin

kp := 1; //Kaire masyvo Reiksme

dp := mas_dydis; //Desine masyvo Reiksme

vp := (mas_dydis+1) div 2; //Vidurine masyvo Reiksme

while (vp<>kp) and (vp<>dp)

and (mas[kp] <> reiksme)

and (mas[vp] <> reiksme)

and (mas[dp] <> reiksme) do begin

if reiksme < mas[vp] then begin

dp := vp;

vp := kp + ((dp - kp+1) div 2);

end else begin

kp := vp;

vp := kp + ((dp - kp+1) div 2);

end;

end;

if reiksme = mas[kp] then pag := kp;

if reiksme = mas[dp] then pag := dp;

if reiksme = mas[vp] then pag := vp;

50

//Jeigu nerasta reiksme tuomet grazinama kur turetu buti

poz := pag;

if pag = 0 then begin

if reiksme < mas[kp] then poz := kp

else if reiksme < mas[dp] then poz := dp

else poz:= dp + 1;

end;

end;

exist := pag;

end;

{***************************************************************************}

{**** Reiksme patalpinama i masyva issaugant masyve didejimo tvarka ********}

{***************************************************************************}

function add2arr(reiksme: integer; var mas_dydis: integer; var mas:

fixed_int_array):integer;

var i, k, poz, kur: integer;

begin

kur := exist( reiksme, mas_dydis, mas, poz);

if kur = 0 then begin

if poz>mas_dydis then begin

mas_dydis := poz;

mas[poz] := reiksme;

end else begin

for i := mas_dydis downto poz do mas[i+1]:= mas[i];

mas[poz] := reiksme;

mas_dydis := mas_dydis + 1;

end;

add2arr := poz;

end else add2arr := kur;

end;

{***************************************************************************}

{**** Sukryzmina tevus ir gaunamas "vaikas" ********************************}

{***************************************************************************}

{mx, my - matricos dydis

fx, fy - kordinates nuo kurios formuojamas distanciju matrica

median - mediana}

procedure merge(Dydis, SSize, nx, ny: integer;

MaxDist: integer;

51

MMat: TBitMatrix;

DMat: TDistMatrix;

s1, s2: fixed_int_array; var s3: fixed_int_array);

var ix, iy, ip, i, ii, truk_ilg: integer;

truk: fixed_int_array; {Poziciju ir trukstanciu reiksmiu masyvai}

yra: boolean;

pag: integer;

yra_vidur: boolean;

domin,panaudoti,pozicijos, vidurio_poz, pvid_poz: fixed_int_array;

domin_ilg, panaudoti_ilg, pozicijos_ilg,

vidurio_poz_ilg, pvid_poz_ilg: integer;

median: real;

begin

median := MaxDist / 2 + 0.001;

if MaxDist mod 2 = 0 then yra_vidur:=true

else yra_vidur:=false;

//Sulipinami tevai

domin_ilg := 0;

pozicijos_ilg := 0;

vidurio_poz_ilg := 0;

for iy:=1 to SSize do begin

for ix:=1 to SSize do begin

if MMat[ix, iy] then begin

//Jeigu atstumas kaip tik "vidurinis" tuomet uzsaugome ji atskirai

ip := get_pozic_new(SSize, nx, ny, ix, iy);

if (yra_vidur) and (DMat[ix,iy]=round(median)) then begin

//Issaugomos pozicijos kuriose galetu buti is 1-mo tevo

add2arr( ip, vidurio_poz_ilg, vidurio_poz );

end;

//Maziau uz Mediana priskiriame is pirmo tevo, daugiau is antro

if DMat[ix,iy]< median then begin

s3[ip] := s1[ip]; {is pirmo tevo - geresnio sprendinio}

add2arr( s3[ip], domin_ilg, domin );

end

else begin

s3[ip] := s2[ip];{is antro tevo}

end;

end;

end;

end;

52

//ismaisomos vidurines reiksmes

pvid_poz_ilg := 0;

if yra_vidur then begin

for ix:=1 to vidurio_poz_ilg do begin

i := random(vidurio_poz_ilg)+1;

ii := vidurio_poz[ix];

vidurio_poz[ix] := vidurio_poz[i];

vidurio_poz[i] := ii;

end;

//Puse ju surasomos i rezultato sprendini

for ix:=1 to vidurio_poz_ilg div 2 do begin

s3[ vidurio_poz[ix] ] := s1[ vidurio_poz[ix] ];

add2arr( vidurio_poz[ix], pvid_poz_ilg, pvid_poz );

add2arr( s3[ vidurio_poz[ix] ], domin_ilg, domin );

end;

end;

//Isrenkamos pasikartojancios reiksmes

//ir issaugoma pozicijos kuriose tos reiksmes kartojasi

panaudoti := domin;

panaudoti_ilg := domin_ilg;

for iy:=1 to SSize do begin


//i := med_dist(fx, fy, ix, iy);

if MMat[ix,iy] then begin

ip := get_pozic_new(SSize, nx, ny, ix, iy);

if (DMat[ix,iy] > median) and

(exist(ip, pvid_poz_ilg, pvid_poz, pag)=0) then begin

if exist(s3[ip], domin_ilg, domin, pag) > 0 then begin

add2arr( ip, pozicijos_ilg, pozicijos );

s3[ip] := 0;

end else add2arr( s3[ip], panaudoti_ilg, panaudoti );

end;

end;

end;

end;

//Isrenkamos nepanaudotos reiksmes

truk_ilg:=0;

for i:=1 to SSize * SSize do begin

53

if (i<=dydis) then begin

get_koord_new(SSize, nx, ny, i, ix, iy);

if exist(i, panaudoti_ilg, panaudoti, pag) = 0 then begin

truk_ilg := truk_ilg + 1;

truk[truk_ilg]:=i;

end;

end;

end;

//Atsitiktinai ismaisomos nepanaudotos reiksmes

for i:=1 to truk_ilg do begin

ii := random(truk_ilg) + 1;

ip := truk[i];

truk[i] := truk[ii];

truk[ii] := ip;

end;

//Atsitiktinai uzpildomos tuscios pozicijos

for i:=1 to truk_ilg do begin

s3[ pozicijos[i] ] := truk[i];

end;

end;

{***************************************************************************}

{**** Cohesive merge *******************************************************}

{***************************************************************************}

procedure cohesive_merge(dydis:integer; poz:integer;s1,s2:fixed_int_array;

var s3:fixed_int_array);

var i, l: integer;

nx, ny: integer;

median: real;

fx, fy: integer;

ix, iy, ip: integer;

SSize: integer;

BitMat: TBitMatrix;

DistMat: TDistMatrix;

MaxDist: integer;

pp: fixed_int_array;

54

begin

SSize := round(sqrt(dydis));

if sqr( SSize ) < dydis then begin

SSize := SSize + 1;

end;

//Formuojama MASKES matrica

for iy:=1 to SSize do


BitMat[ix, iy] := true;

end;

//Suskaiciuojama nuliu kiekis maskes krastinese

if (SSize * SSize - dydis) mod 2 = 0 then begin

nx := round((SSize * SSize - dydis + 0.001) / 2);

ny := round((SSize * SSize - dydis + 0.001) / 2) + 1;

end else begin

nx := round( (SSize * SSize - dydis + 0.001) / 2 );

ny := round( (SSize * SSize - dydis + 0.001) / 2 );

end;

if (nx = 0) or (ny = 0) then begin

nx := 0;

ny := 0;

end;

for i:=1 to nx do BitMat[SSize - (i-1),SSize] := false;

for i:=1 to ny do BitMat[SSize,SSize - (i-1)] := false;

//Formuojama DISTANCE matrica

MaxDist := -1;

get_koord_new(SSize, nx, ny, poz, fx, fy);

for iy:=1 to SSize do

for ix :=1 to SSize do begin

if BitMat[ix,iy] then

begin

DistMat[ix, iy] := med_dist(ix, iy, fx, fy);

if DistMat[ix,iy] > MaxDist then MaxDist := DistMat[ix,iy];

end

else DistMat[ix, iy] := -1;

end;

55

merge(dydis, SSize, nx, ny, MaxDist, BitMat, DistMat, s1, s2, s3);

end;

procedure cohesive_crossover(p_1, p_2: fixed_int_array; var o: fixed_int_array);

var l_sp, l_sp_min: longint; //Laikinas sprendinys isrenkant geriausia

o_sp: fixed_int_array; //Laikinas perstatymas isrenkant geriausia

Fp1, Fp2: longint; //Tevu tikslo func. reiksmes

i: integer;

begin

prot_lf_text('p_1:');

for i:=1 to N do prot_text(' '+numtostr(p_1[i],2,0));

prot_lf_text('p_2:');

for i:=1 to N do prot_text(' '+numtostr(p_2[i],2,0));

l_sp := INFINITY; //Maxsimali reiksme

l_sp_min := INFINITY;

for i := 1 to N do begin

cohesive_merge(N, i, p_1, p_2, o_sp);

l_sp := objective_function_value( o_sp );

if l_sp < l_sp_min then begin

l_sp_min := l_sp;

move(o_sp, o, N_Intsize);

end;

end;

prot_lf_text('o :');

for i:=1 to N do prot_text(' '+numtostr(o[i],2,0));

end;

begin

end.

magistro tezes baigtas - COREstambesnius mazgus- funkcinius elementus (logines schemas, atminti es...

Documents

Transcript of magistro tezes baigtas - COREstambesnius mazgus- funkcinius elementus (logines schemas, atminti es...