MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang...
![Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
5 April 2017
![Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/2.jpg)
Kuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/3.jpg)
Kuliah Hari Ini
13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
13.2 Integral Berulang
13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang
13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar
13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/4.jpg)
13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIPANJANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisi
![Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/5.jpg)
Ingat: Integral Tentu untukFungsi Satu PeubahJumlah Riemann untuk f , ,
merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]didefinisikan sebagai
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
b
a
dxxf )(
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
n
i
ii xtf1
).(
1¾ 0 1/3 ½ 7/8
![Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/6.jpg)
Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah
Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann
yg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6
n
i
iii Ayxf1
),(
S
![Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/7.jpg)
Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,
disebut integral lipat dua dari f pada S.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7
n
i
iiiP
Ayxf1
0||||),(lim
n
i
iiiP
S
AyxfdAyxf1
0||||),(lim:),(
![Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
Diketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.
Taksir nilai
dengan jumlah Riemann, dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik-titik tengahtiap persegi sebagai titiksampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8
S
dAyx
16
864 2
![Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/9.jpg)
Jawab: Kita hitung nilai f di titik-titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.
Lalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.138)89654941105816557(16
4
),(16
864 8
1
2
i
iii
S
AyxfdAyx
![Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema Keterintegralan
Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S, maka f terintegralkan pada S.
Contoh: Setiap polinom dua peubah(misal f(x,y) = x2 + y2) merupakan fungsiyang terintegralkan pada sembarangpersegi panjang.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/11.jpg)
Sifat-Sifat Integral Lipat Dua
1. Linear: Jika k ϵ R, maka
a. .
b.
2. Aditif: Jika S = S1 U S2, dgn … , maka
3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) ϵ S, maka
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11
SS
dAyxfkdAyxkf ),(),(
SSS
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
21
),(),(),(SSS
dAyxfdAyxfdAyxf
.),(),( SS
dAyxgdAyxf
![Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/12.jpg)
13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Menghitung integral lipat dua (pada persegipanjang) sebagai integral berulang
![Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/13.jpg)
Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = [a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:
atau
Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu-x terlebih dahulu.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13
d
c
b
aS
dxdyyxfdAyxf ),(),(
.),(),(
b
a
d
cS
dydxyxfdAyxf
![Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh 1
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14
S
dAyx
16
864 2
8
0
4
0
22
1624
16
864dxdy
yxdA
yx
S
.3
2138
12
51296
412
8
0
2
dy
y
![Page 15: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 2
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],
hitung sbg integral berulang
dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15
S
dAyx
16
864 2
4
0
8
0
22
1624
16
864dydx
yxdA
yx
S
![Page 16: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/16.jpg)
Catatan
Pengintegralan berulang:
Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,
lalu terhadap x: lalu terhadap y:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16
S S
![Page 17: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/17.jpg)
Soal
Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],
hitung sebagai integral berulang.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17
S
xydAxe
![Page 18: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/18.jpg)
13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHBUKAN PERSEGI PANJANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Menghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang
![Page 19: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/19.jpg)
Bagaimana menghitung integral lipatpada daerah bukan persegi panjang?
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19
S
![Page 20: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/20.jpg)
Integral pada Daerah y-Sederhana
Himpunan S disebut y-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},
dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20
b
a
xu
xuS
dydxyxfdAyxf
)(
)(
2
1
.),(),( a b
S
![Page 21: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/21.jpg)
Integral pada Daerah x-Sederhana
Himpunan S disebut x-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},
dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21
d
c
yv
yvS
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
2
1
.),(),(
d
c
S
![Page 22: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh 1
Hitung apabila S adalah daerah tertutup
yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22
S
xydA
![Page 23: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 2
Hitung apabila S adalah daerah tertutup
yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu-x.
Jawab:
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23
S
x dAe2
![Page 24: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/24.jpg)
Soal 1
Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang-bidang koordinat.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24
![Page 25: MA1201 MATEMATIKA 2A - … file13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... Contoh: Setiap polinom](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012403/5d3867b988c99366578c3481/html5/thumbnails/25.jpg)
Soal 2
Hitung apabila S
adalah daerah cincin ygdibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 25
S
dAx2
1 20