Integral Lipat 2 Dan 3
-
Upload
cho-nana-evilkyu -
Category
Documents
-
view
739 -
download
90
description
Transcript of Integral Lipat 2 Dan 3
INTEGRAL TENTU
Perhatikan Gambar 1 berikut:
Gambar 1 Gambar 2
panjang selang bagian terpanjang dari partisi P.
Definisi:Misal fungsi yang terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Jika
ada, maka dapat diintegralkan pada [a,b].Selanjutnya integral tentu atau integral Riemann dari a ke b adalah:
.
Dengan cara yang sama dapat didefinisikan integral untuk fungsi dua peubah.
INTEGRAL LIPAT DUA
a b
D
y=f(x)
a=x1 c1 x2 c2 x3.… xn=b
D
1. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG
>
Definisi:Misal fungsi dua peubah yg terdefinisi pada suatu persegipanjang tertutup R. Jika
ada maka dapat diintegralkan pada R. Selanjutnya integral lipat dua pada R adalah:
Jika , maka menyatakan volume benja pejal
dibawah permukaan dan diatas persegi panjang R, yang dapat ditentukan dengan metode irisan sejajar yaitu:
Volume benda pejal dibawa atas R adalah :
Padahal :
Jadi diperoleh:
Secara analog diperoleh
=
Jika negatif pada bagian R, maka menghasilkan volume
bertanda dari benda pejal antara permukaan dan persegi panjang R dari bidang xy.
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA
1.
2.
3. jika f(x,y) g(x,y)
4. Jika R terdiri dari dua daerah bagian R1 dan R2 yang tidak mempunyai titik persekutuan kecuali titik-titik pada sebagian batasnya, maka:
Contoh:
Hitung jika:
dan
Penyelesaian:
Latihan:
Tentukan integral rangkap dua berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
2. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH BUKANPERSEGI PANJANG.
Misal S adalah daerah sebagai berikut:
MMissal
Untuk menghitung integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dilakukan dengan cara membentuk daerah persegi panjang R yang melingkupi S dan didefinisikan suatu fungsi baru, g(x,y) yaitu:
Nilai integral lipat dua dari g(x,y) atas R sama dengan integral lipat dua dari f(x,y) atas S ditulis:
Analog dengan pendefinisian pd daerah persegi panjang
1. Integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S denganS={ (x,y) : f1(x) ≤ y ≤ f2(x) , a≤x≤b }
Contoh:
Hitung integral lipat jika S ={ (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2, -x ≤ y ≤ x2 }
Penyelesaian:
2. Sedangkan integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S denganS={ (x,y) : y1(y) ≤ x ≤ y2(y) , c ≤ y ≤ d }
Contoh:
Hitung integral lipat jika S ={ (x,y) | 0 ≤ y ≤ 1, -y ≤ x ≤ y }
Prosedur menentukan batas integrasi
1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi y
Buatlah garis vertikal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.
3. Batas integrasi xBuat semua garis x (vertikal) pada S
Atau1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi x
Buatlah garis horisontal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.
3. Batas integrasi yBuat semua garis y (horisontal) pada S
Contoh:
Latihan:Hitung integral berikut:
1.
2.
3.
4. Hitung dengan S={ (x,y) : y = x2 , y = 1}
5.Hitung dg S segitiga yg titik sudutnya
(0,0) , (0,4) , (1,4)
Tugas
1.
2.
3. dengan S={ (x,y) : y = x2 , y = }
4. dengan S={ (x,y) : y = x , y = 3x - x2}
5. dengan S={ (x,y) : y = 2x , x+y = 2, sb x}
Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub.
Kurva-kurva tertentu pada suatu bidang, spt lingkaran, kardioid dan mawar lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat kutub daripada koordinat cartesius, sehingga lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.
Dalam koordinat kutub, suatu persegipanjang kutub R mempunyai bentuk:R = { (r,) | a r b , ≤ }
dengan a 0 dan - ≤ 2
Persamaan permukaan dapat ditulis sebagai
z = f(x,y) = f ( r cos , r sin ) = F(r,)
dengan
x = r cos y = r sin
x2 + y2 = r2 tan = y/x
Menghitung volume V dg menggunakan koordinat kutub:R = { (r,) | a r b , ≤ }
A(Rk) = ̄r rk k dengan ̄r : radius rata-rata Rk
Jadi
Contoh:Hitung integral lipat dua
Menggunakan Koordinat Cartesius
Menggunakan Koordinat Kutub/Polar
Tentukan volume dari benda padat diatas persegipanjang kutub
R = { (r,) | 1 r 3 , 0 ≤ /4 }
dan dibawah permukaan
Selanjutnya jika daerah S adalah 1. S = { (r,) | f1() r f2(), ≤ }
2. S = { (r,) | a r b, y1(r) ≤ y2(r) }
Contoh:
Hitung dengan S daerah kuadran pertama yang berada diluar
lingkaran r=2 dan didalam kardioid r = 2(1+cos).
Jawab:
Latihan
1. Hitung integral lipat berikut:
a. c.
b. d.
2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung
bila:
a. S adalah daerah didalam lingkaran r = 4cos() dan diluar
lingkaran r = 2.
b. S adalah daerah yg kecil yg dibatasi oleh = /6 dan
r = 4sin()
c. S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2)
d. S adalah daerah didalam kardioid r = 6 - 6sin()
>
;
Penerapan Integral Lipat Dua Volume Benda Pejal
Contoh:Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6-2x-3y.
Massa dan Pusat MassaMassa
Menghitung massa total dari lamina (pelat tipis) yang terbuat dari bahan tak homogen ( kerapatannya berubah)
Misal suatu lamina mencakup suatu daerah S di bidang xy dan misal kerapatan (massa persatuan luas) di xy dinyatakan oleh (x,y) maka :
Contoh 1.Tentukan massa total sebuah lamina dengan kerapatan dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan kurva
Jawab: Massa total
Pusat massa ( Titik Kesetimbangan)
dengan : momen total terhadap sumbu ym : massa total
dengan : momen total terhadap sumbu xm : massa total
Titik kesetimbangan =
Contoh 2.
Tentukan pusat massa/titik kesetimbangan dari lamina pada Contoh 1.
Jawab:Momen total terhadap sumbu y
Momen total terhadap sumbu x
Pusat massa =
Latihan:
Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang
mempunyai daerah S dan dg kerapatan yg ditunjukkan.
a. S={(x,y)|0≤x4, 0y3} dan (x,y)= y+1
b. S={(x,y)|-1≤x1, 0y1} dan (x,y)= x2
c. S daerah segitiga dengan titik sudut (0,0), (1,1),
(4,0) dan (x,y)= x+y
d. S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh
y=x2 dan garis y=1serta (x,y)= xy
e. S daerah yg dibatasi oleh x=y2 dan garis y=x-2
serta (x,y)=3
Integral Lipat Tiga
I. Jika B daerah didalam R3 yang berbebtuk balok yang
dibatasi enam bidang x=a1, x=a2, y=b1, y=b2, z=c1 dan z=c2
dengan a1<a2, b1<b2, c1<c2.
Diket fungsi tiga peubah kontinu pada daerah B. Partisi
daerah B menjadi balok-balok siku-siku B1,B2,…,Bn
dengan menarik bidang-bidang yang sejajar dengan
bidang-bidang koordinat. Nyatakan partisi ini dengan Vk
dan n menyatakan banyaknya balok.
Misal volume balok ke-k adalah Vk=xkykzk
Pilih titik pada balok ke-k kemudian dibentuk
jumlahan
Misal Padalah panjang diagonal terpanjang dari semua
balok didefinisikan integral lipat tiga:
asalkan limitnya ada.
Jika maka
volume daerah B.
Contoh:
Hitung dengan B adalah balok
B = {(x,y,z)| 1 x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}
II. Jika daerah S dinyatakan oleh
S={(x,y,z)|a1≤x≤a2, f1(x)≤y≤f2(x), y1(x,y)≤z≤y2(x,y) }
Maka integral lipat tiga dari fungsi f adalah:
Contoh:
Hitung integral lipat tiga
Latihan
Hitung integral lipat berikut:
1.
2.
3.
4.
Penerapan integral
Latihan:
1. Tentukan luas daerah S jika S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2)
2. Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0
3. Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang mempunyai daerah S dan dg
kerapatan yg ditunjukkan.
S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh y=x2 dan garis y=1serta (x,y)= xy
4.