MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra...
![Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
8 Februari 2017
![Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/2.jpg)
Sasaran Kuliah Hari Ini
9.1 Barisan Tak Terhingga
Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung limitnya
9.2 Deret Tak Terhingga
Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya
9.3 Deret Positif: Uji Integral
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral
2/12/2014 2(c) Hendra Gunawan
![Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/3.jpg)
9.2 DERET TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya
![Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/4.jpg)
Berapa Luas Daerah yang Diarsir?
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 4
…. dst.
![Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/5.jpg)
Deret Tak Terhingga & Hampiran
Dengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran
Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitaakan dapatkan hampiran yang lebih baik
Kelak kita dapat menunjukkan bahwa
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5
.0,sin xuntukxx
.0,sin6
3
xuntukxx x
.,......sin!5!3
53
xuntukxx xx
![Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/6.jpg)
Deret Tak Terhingga & Hampiran
Pertanyaannya adalah: apa arti penjumlahan
dan bagaimana mengetahui jumlah tsb ada?
Secara umum, bila an ϵ R untuk tiap n ϵ N, apaarti penjumlahan
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …
dan bagaimana menghitungnya?
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 6
......!5!3
53
xxx
![Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/7.jpg)
Definisi Deret Tak Terhingga
Bentuk penjumlahan
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …
disebut sebagai deret tak terhingga atausingkatnya deret, dan biasanya dituliskandengan notasi sigma
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 7
.1
n
na
![Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/8.jpg)
Bagaimana Memaknai Deret
Diberikan suatu deret
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …
kita dapat menghitung jumlah parsial-nya:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
…
SN = a1 + a2 + … + aN…
Dalam hal ini kita peroleh barisan {SN}.2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/9.jpg)
Bagaimana Memaknai Deret
Jika {SN} konvergen ke S, maka deret tersebutdikatakan konvergen (ke S) dan kita definisikan
Bilangan S disebut sebagai jumlah deret tsb.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.lim...321
1
SSaaaa NN
n
n
![Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/10.jpg)
Deret Geometri
Deret geometri , dengan a ≠ 0 dan r ≠ 1,
mempunyai jumlah parsial
Jika |r|< 1, maka dan dalam hal ini
Jika |r| > 1 atau r = -1, {SN} div.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 10
1
1
n
nar
.1
)1(
r
raS
N
N
,0lim
N
Nr
.1
limr
aSN
N
![Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh
Deret merupakan deret geometri dengan
suku pertama a = ½ dan rasio r = ½. Jadi deret inikonvergen dan jumlahnya adalah S = 1.
Deret merupakan deret geometri
dengan suku pertama a = -1 dan rasio r = -1.
Jadi deret ini divergen.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 11
12
1
n
n
1
)1(n
n
![Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/12.jpg)
Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan
Jika deret konvergen, maka
Jika maka deret divergen.
Contoh. divergen karena
Catatan. Hati-hati! Walau belum
tentu konvergen. Contohnya2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 12
1n
na .0lim
nn
a
,0lim
nn
a
1n
na
1
)1(n
n.0)1(lim
n
n
,0lim
nn
a
1n
na
1
1 .n
n
![Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/13.jpg)
Deret Harmonik
Di sini Tapi deret ini divergen, karena:
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 13
1
1
n n
1
...1
...3
1
2
11
1
n nn
.01
lim nn
n
n
nS n
1...
2
1
2
1
2
11
1...
8
1...
5
1
4
1
3
1
2
11
1...
5
1
4
1
3
1
2
11
![Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/14.jpg)
Deret Kolaps (Berjatuhan)
Deret konvergen, karena
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 14
1 )1(
1
k kk
.11
11
1
11...
3
1
2
1
2
1
1
1
1
11
)1(
1
1 1
nbilan
nn
kkkkS
n
k
n
k
n
![Page 15: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/15.jpg)
Teorema Kelinearan Deret
Jika dan konvergen, dan c konstanta,
maka
(i)
(ii)
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 15
1n
na
1n
nb
1 1
,n n
nn acca
1 1 1
.)(n n n
nnnn baba
![Page 16: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/16.jpg)
Catatan
Jika divergen dan c ≠ 0, maka
divergen.
Sebagai contoh, divergen karena
divergen.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 16
1n
na
1n
nca
1 100
1
n n
1
1
n n
![Page 17: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/17.jpg)
9.3 DERET POSITIF: UJI INTEGRALMA1201 MATEMATIKA 2A
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral
![Page 18: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/18.jpg)
Deret Positif
Deret disebut deret positif apabila an ≥ 0
untuk tiap n ϵ N. Pada bagian ini, kita hanyaakan membahas deret positif.
Teorema (Uji Jumlah Terbatas). konvergen
jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 18
1n
na
1n
na
![Page 19: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh/Latihan
Buktikan bahwa deret berikut konvergen.
1.
2.
Petunjuk. Periksa keterbatasan jumlah parsial Sn.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 19
1 !
1
n n
12
1
n n
![Page 20: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/20.jpg)
Uji Integral
Misalkan f fungsi yang kontinu, tak negatif, dantak naik pada [1,∞), dan an = f(n). Maka deret
konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar
konvergen.
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 20
1n
na
1
)( dxxf
![Page 21: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh
Deret konvergen, karena integral
konvergen.
Deret konvergen jika dan hanya jika p > 1.
[Hasil ini mengukuhkan bahwa divergen.]
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 21
12
1
n n
1
2
1dx
x
1
1
npn
1
1
n n
![Page 22: MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.2 DERET TAK TERHINGGA MA1201 MATEMATIKA 2A 2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3 Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052211/5ca7e94188c993f3238bdd03/html5/thumbnails/22.jpg)
Latihan
Selidiki apakah deret di bawah ini konvergenatau divergen.
1. .
2. .
3. .
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 22
141n n
n
3 )ln(lnln
1
n nnn
2 ln
1
n nn