MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id
Transcript of MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id
![Page 1: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.1a Maksimum dan Minimum
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 2: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/2.jpg)
Apa yang TelahAnda PelajariSebelumnya
2.1 Dua Masalah Satu Tema
2.2 Turunan
2.3 Aturan Turunan
2.4 Turunan Fungsi Trigonometri
2.5 Aturan Rantai
2.6 Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi
2.7 Turunan Implisit
2.8 Laju yang Berkaitan
2.9 Diferensial dan Hampiran
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/3.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.1 Maksimum dan Minimum
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
memahami nilai maksimum dan nilai minimum fungsi
dapat menentukan nilai maksimum dan nilaiminimum dari suatu fungsi sederhana yang diberikan
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 3
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 4: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/4.jpg)
Motivasi
Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,
𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , kita kadang inginmengetahui pada selang mana 𝑓naik atau turun, dan di titik mana 𝑓 mencapai nilai maksimum ataunilai minimum, dan informasipenting lainnya.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 5: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/5.jpg)
Maksimumdan Minimum
Misalkan f : I→ R dan c є I. (Padaumumnya, I merupakan suatuselang di R).
Nilai f(c) disebut nilai maksimumapabila f(c) ≥ f(x) untuk setiap x є I.
Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x) untuk setiap x є I.
Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrem.
10/02/2013 5(c) Hendra Gunawan
maks
min
![Page 6: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh 1
-1 2
4
0
y
x
10/02/2013 6(c) Hendra Gunawan
Misalkan f(x) = x2, x є [-1,2].
Nilai maksimum f adalah 4 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnyaadalah 0 [= f(0)].
Perhatikan grafiknya →
![Page 7: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/7.jpg)
TeoremaEksistensi NilaiEkstrem
Jika f kontinu pada [a,b], maka f akanmencapai nilai maksimum dan nilaiminimum pada [a,b].
Catatan. Teorema ini mengatakan bahwakekontinuan pada selang tutup merupa-kan syarat cukup untuk eksistensi nilaiekstrem (maksimum dan minimum).
Sebagai contoh, fungsi pada Contoh 1 merupakan fungsi yang kontinu padaselang [-1,2], sehingga mempunyai nilaimaksimum dan minimum pada [-1,2].
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 8: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/8.jpg)
Fungsi yang tidak kontinu mungkinsaja mempunyai nilai ekstrem.
Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
f(x) = -1, jika x = 0,= x, jika 0 < x < 1,= 2, jika x = 1,
mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)].
Perhatikan grafiknya!
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Contoh 2
1
-1
0
2
1
![Page 9: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/9.jpg)
Ketakkontinuan tidak menjamineksistensi nilai ekstrem.
Sebagai contoh, fungsi
g(x) = ½, jika x = 0 atau 1,= x, jika 0 < x < 1,
tidak mempunyai nilai ekstrem, baik nilai maksimum maupun nilaiminimum.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 9
1
1
0
Contoh 3
![Page 10: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/10.jpg)
Kekontinuan pada selang bukatidak menjamin eksistensi nilaiekstrem.
Sebagai contoh, fungsi
g(x) = x, 0 < x < 1,
tidak mempunyai nilai ekstrem, baik nilai maksimum maupun nilaiminimum.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 10
1
1
0
Contoh 4
![Page 11: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/11.jpg)
Latihan
1. Tentukan nilai maksimum dan nilaiminimum fungsi
f(x) = |𝑥|, 𝑥 ∈ [−1,2],
dan di titik mana nilai-nilaitersebut tercapai.
2. Beri sebuah contoh fungsi yang mempunyai nilai maksimumtetapi tidak mempunyai nilaiminimum.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 11
![Page 12: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/12.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.1b Teorema Titik Kritis
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 13: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/13.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.1b Teorema Titik Kritis
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menggunakan Teorema Titik Kritis untukmenentukan nilai maksimum dan nilaiminimum dari suatu fungsi yang diberikan.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 14: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/14.jpg)
Motivasi
Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥
yang kontinu pada 𝑎, 𝑏 . MenurutTeorema Eksistensi Nilai Ekstrem,
𝑓 mencapai nilai maksimum dannilai minimum pada [𝑎, 𝑏].
Pertanyaannya, di mana nilaiekstrem tersebut dicapai.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 15: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/15.jpg)
TeoremaLokasi TitikEkstrem
Misalkan daerah asal f adalah selang Iyang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilaiekstrem, maka c haruslah merupakantitik kritis, yakni c merupakan
(i) titik ujung selang I, atau
(ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0, atau
(iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 16: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/16.jpg)
Catatan
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5
Teorema Lokasi Titik Ekstremmengatakan bahwa nilai ekstremhanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis.
Untuk menentukan nilai ekstrem suatufungsi, teorema ini menganjurkanuntuk mencari titik-titik kritisnya dulu.
![Page 17: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh 1-2
1. Fungsi f(x) = x2, x є [-1,2], mencapai nilai maksimum 4 di x = 2(titik ujung kanan) dan nilaiminimum 0 di x = 0 (titik stasioner).
2. Fungsi f(x) = |x|, x є [-1,2], mencapai nilai maksimum 2 di x = 2(titik ujung kanan) dan nilaiminimum 0 di x = 0 (titik singular).
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 6
-1 2
4
0
y
x
-1 2
2
0
y
x
![Page 18: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/18.jpg)
Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x).
Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada.
Dengan demikian terdapat empat titikkritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titikujung selang dan dua titik stasioner).
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh 3
Tentukan nilai maksimum dan nilaiminimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].
![Page 19: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/19.jpg)
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Menurut Teorema Eksistensi Nilai Ekstremdan Teorema Lokasi Titik Ekstrem, fmencapai nilai ekstrem di titik kritis tsb.
Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritistsb:
f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.
Jadi f mencapai nilai maksimum 6 di x = -1 (titik ujung kiri) dan nilai minimum -3 di x = 2 (titik ujung kanan).
Contoh 3
Jawab (lanjutan):
![Page 20: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/20.jpg)
Latihan
1. Tentukan nilai ekstrem fungsi
f(x) = 𝑥3 − 12𝑥, 𝑥 ∈ [−3,3].
2. Tentukan titik-titik kritis fungsi
g(x) = 50𝑥 −𝑥2
2, jika 0 ≤ x ≤ 20,
= 60𝑥 − 𝑥2, jika 20 < x ≤ 60.
Tentukan nilai maksimum dan minimumnya.
[Asal-muasal fungsi ini akan dijelaskandalam video yad. Ingat baik-baik fungsi ini; nanti akan ketemu lagi!]
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 21: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/21.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.2a Kemonotonan
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 22: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/22.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.2a Kemonotonan
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menentukan selang kemonotonan (dantitik ekstrem) dari suatu fungsi yang diberikan.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 23: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/23.jpg)
Motivasi
Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,
𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , kadang kita inginmengetahui pada selang mana 𝒇naik atau turun, dan di titik mana 𝑓 mencapai nilai maksimum ataunilai minimum, serta informasipenting lainnya.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 24: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/24.jpg)
Kemonotonan
Fungsi f dikatakan naik padaselang I apabila untuk setiap x, y є Idengan x < y berlaku
f(x) < f(y).
Fungsi f dikatakan turun padaselang I apabila untuk setiap x, y є Idengan x < y berlaku
f(x) > f(y).
Fungsi naik atau turun pada selangI dikatakan monoton pada I.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 25: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/25.jpg)
TeoremaKemonotonanFungsi
Misalkan f kontinu dan mempunyaiturunan pada I = (a,b).
Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, makaf naik pada I.
Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, makaf turun pada I.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5
xc
Catatan. Padagambar di samping, titik cmerupakantitik minimum.
![Page 26: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh
Diketahui f(x) = x3 – 12x. Kita hitungturunannya:
f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2).
Periksa tanda f ’(x) pada garis bilangan real:
Menurut Teorema Kemonotonan, fungsi fnaik pada selang (-∞,-2) dan pada selang(2,∞); dan f turun pada selang (-2,2).
[Catatan. x = -2 titik maksimum lokal, x = 2titik minimum lokal→ §3.4.]
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 6
-2 2
+ + + – – – + + +
![Page 27: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/27.jpg)
Latihan
Tentukan pada selang mana grafikfungsi di bawah ini naik atau turun:
1. f(x) = x3 – 2x2 + x + 1.
2. g 𝑥 = 𝑥 +1
𝑥, 𝑥 > 0.
Untuk soal 2, tentukan nilai ekstrem-nya, dan di mana tercapainya.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 28: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/28.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.2b Kecekungan
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 29: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/29.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.2b Kecekungan
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menentukan selang kecekungan (dantitik belok) dari suatu fungsi yang diberikan.
10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 30: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/30.jpg)
Kecekungan
Misalkan f mempunyai turunanpada I = (a,b).
Jika f ’ naik pada I, maka grafikfungsi f cekung ke atas pada I.
Jika f ’ turun pada I, makagrafik fungsi f cekung kebawah pada I.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 3
cekung ke atas
cekung ke bawah
![Page 31: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/31.jpg)
TeoremaKecekunganFungsi
Misalkan f mempunyai turunan keduapada I.
Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, makagrafik fungsi f cekung ke atas pada I.
Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, makagrafik fungsi f cekung ke bawah padaI.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Penjelasan. Jika f ’’(x) > 0, makaf ’(x) naik. Jadi f cekung ke atas. Jika f ’’(x) < 0, maka f ’(x) turun. Jadi f cekung ke bawah.
cekung ke atas
cekung ke bawah
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
![Page 32: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh
Diketahui f(x) = x3 – 12x. Maka, f ’(x) = 3x2 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tandaf ’’(x):
Menurut Teorema Kecekungan, grafik fungsi f cekung ke atas padaselang (0,∞) dan cekung ke bawahpada selang (-∞,0).
Catatan. Titik x = 0 merupakan titikinfleksi (titik belok) grafik fungsi f. Di titik ini, grafik fungsi f mengalamiperubahan kecekungan.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5
0
– – – + + +
![Page 33: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/33.jpg)
Grafik fungsif(x) = x3 – 12x.
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10/02/2013 6(c) Hendra Gunawan
titik belok
![Page 34: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/34.jpg)
Latihan
1. Tentukan pada selang mana grafikfungsi f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 cekungke atas atau cekung ke bawah, dantentukan titik beloknya.
2. Air dituangkan ke dalam tangkiberbentuk kerucut terbalik denganlaju 8 dm3/menit. Jika tinggi tangkitersebut adalah 24 dm dan jari-jaripermukaan atasnya 12 dm, dantinggi air (h) dipandang sebagaifungsi dari waktu (t), selidikikemonotonan dan kecekungangrafik fungsi h(t).
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 35: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/35.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.3 Maksimum dan Minimum Lokal
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 36: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/36.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.3 Maksimum dan Minimum Lokal
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menentukan nilai maksimum danminimum lokal dari suatu fungsi yang diberikan.
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 37: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/37.jpg)
Maksimumdan Minimum Lokal
Nilai f(c) disebut nilai maksimumlokal f jika terdapat δ > 0 sehinggaf(c) ≥ f(x) pada I ∩ (c-δ,c+δ).
Nilai f(c) disebut nilai minimumlokal f jika terdapat δ > 0 sehinggaf(c) ≤ f(x) pada I ∩ (c-δ,c+δ).
Nilai maksimum/minimum lokaldisebut nilai ekstrem lokal.
10/02/2013 3(c) Hendra Gunawan
0
y
x
maks lokal
min lokal
![Page 38: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/38.jpg)
Teorema (UjiTurunan Pertama):
Misalkan f kontinu di c.Jika f ’(x) > 0 di sekitar kiri c danf ’(x) < 0 di sekitar kanan c, makaf(c) merupakan nilai maksimumlokal.
Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c danf ’(x) > 0 di sekitar kanan c, makaf(c) merupakan nilai minimum lokal.
Jika f ’(x) bertanda sama di sekitarkiri dan kanan c, maka f(c) bukanmerupakan nilai ekstrem lokal.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 4
maks. lokal
min. lokal
bukan ekstrim
Uji TurunanPertama
![Page 39: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh
Tentukan nilai maksimum danminimum lokal f(x) = x3 – 12x.
Jawab: f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2)mempunyai tanda sbb:
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5
-2 2
+++ – – – +++
Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2)merupakan nilai maksimum lokal danf(2) merupakan nilai minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat padagrafiknya.
![Page 40: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/40.jpg)
Grafik fungsif(x) = x3 – 12x.
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
10/02/2013 6(c) Hendra Gunawan
maks lokal
min lokal
![Page 41: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/41.jpg)
Uji TurunanKedua
Teorema (Uji Turunan Kedua):
Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyaiturunan kedua pada suatu selangyang memuat c.
Jika f ’’(c) < 0, maka f(c) merupakannilai maksimum lokal.
Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakannilai minimum lokal.
Catatan: Dalam hal f ’’(c) = 0, tidakada kesimpulan apa-apa tentangf(c). Titik (c,f(c)) juga belum tentumerupakan titik belok.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
cekung ke atas
cekung ke bawah
Sila bahas dengan dosenkelas masing-masing ya.
![Page 42: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/42.jpg)
Contoh
Tentukan nilai maksimum danminimum lokal f(x) = x3 – 12x.
Jawab: f ’(x) = 3x2 – 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2. Dengan Uji Turunan Kedua, kita hitung
f ’’(x) = 6x < 0 di x = -2;
Jadi f(-2) merupakan nilai maksimum lokal.
Sementara itu, f ’’(x) = 6x > 0 di x = 2; jadi f(2)merupakan nilai minimum lokal.
Catatan: Hasil ini sesuai dengan hasilsebelumnya.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 43: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/43.jpg)
Latihan
Menggunakan Uji Turunan Pertama, tentukan nilai ekstrem lokal fungsiberikut:
1. f(x) = x4 – 2x2 + 3.
2. h(x) = 𝑥
2– sin x, 0 < x < 2π.
Menggunakan Uji Turunan Kedua, tentukan nilai ekstrem lokal fungsiberikut:
3. g(x) = 𝑥 +1
𝑥, x ≠ 0.
4. F(x) = 64
sin 𝑥+
27
cos 𝑥, 0 < x <
𝜋
2.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 44: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/44.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.4 Pemodelan Matematika: MasalahMaksimum dan Minimum
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 45: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/45.jpg)
Sasaran BelajarTopik Ini
3.4 Pemodelan Matematika: MasalahMaksimum dan Minimum
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menyelesaikan masalah maksimum danminimum melalui pemodelan matematika
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 46: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh 1
Jawab: Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y)pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni
𝑠 = 𝑥 – 1 2 + 𝑦 − 2 2.
Karena meminimumkan s sama denganmeminimumkan s2, kita tinjau D = s2,
D = (x – 1)2 + (y – 2)2
= x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4
= 6 – 2x – 4 1 − 𝑥2.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 3
P
Tentukan titik pada lingkaranx2 + y2 = 1 yang terdekat ke titikP(1,2).
![Page 47: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/47.jpg)
Turunkan D terhadap x, kita peroleh
𝑑𝐷
𝑑𝑥= −2 +
4𝑥
1−𝑥2.
Perhatikan bahwa dD/dx = 0 bila 4𝑥 = 2 1 − 𝑥2, yaitu apabila x = 1/√5. [Kita pilih x > 0.]
Kita periksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5:
Berdasarkan Uji Turunan Pertama, dan karenaterdapat satu titik kritis, kita simpulkan bahwa Dmencapai nilai minimum di x = 1/√5.
Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 4
1/√5
– – – + + + Contoh
![Page 48: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/48.jpg)
Pak Dudi akan memagari lahan yang iamiliki dengan menggunakan 100 m pagardan ia ingin menjadikan sebagian atauseluruh sisi gudang yang panjangnya 20 msebagai bagian dari salah satu sisi lahan(lihat gambar). Tentukan luas lahanmaksimum yang dapat dipagari.
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 5
20
x
20
x
Contoh 2
Kasus 1 Kasus 2
![Page 49: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/49.jpg)
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 6
20
x
20
x
Contoh 2
Kasus 1: 0 ≤ 𝑥 ≤ 20. Misal lebarnya y. Maka 𝑥 + 2𝑦 = 100. Jadi luas
𝐿 = 𝑥𝑦 = 𝑥100−𝑥
2= 50𝑥 −
𝑥2
2.
Kasus 2: 20 < 𝑥 ≤ 60. Di sini 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 − 20 = 100. Jadi luas𝐿 = 𝑥𝑦 = 𝑥 60 − 𝑥 = 60𝑥 − 𝑥2.
Kasus 1 Kasus 2
y
y
![Page 50: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/50.jpg)
10/02/2013 (c) Hendra Gunawan 7
20
x
20
x
Contoh 2
Kasus 1 Kasus 2
y
y
Jadi luas lahan sbg fungsi dari x adalah
L(x) = 50𝑥 −𝑥2
2, jika 0 ≤ x ≤ 20,
= 60𝑥 − 𝑥2, jika 20 < x ≤ 60.
Titik-titik kritisnya adalah x = 0 (titik ujung kiri), x = 20 (titik singular), x = 30 (titik stasioner), dan x = 60 (titik ujung kanan). [Soal Latihan 3.1b, No.2]Luas di titik ujung sama dengan 0. Kita tinggal membandingkan luas di x = 20 dan di x = 30: L(20) = 800 m2, L(30) = 900 m2.
Jadi luas lahan maksimum adalah 900 m2, yang tercapai ketika x = 30.
![Page 51: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/51.jpg)
Tentukan panjang tangga terpendek yang menghubungkan lantai ke dinding. Tinggi tangga 1 m dan jaraknya ke dinding 2m.
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Jawab: Panjang tangga P = L1 + L2
dengan L1 = 1
sin 𝑡dan L2 =
2
cos 𝑡.
Jadi, P = 1
sin 𝑡+
2
cos 𝑡.
Turunannya adalah
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −
cos 𝑡
sin2𝑡+
2 sin 𝑡
cos2𝑡,
sehingga
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 0 j.h.j.
cos 𝑡
sin2𝑡=
2 sin 𝑡
cos2𝑡
atau tan3 t = ½.
1
2
P
t
tContoh 3
![Page 52: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/52.jpg)
Contoh 3
Jadi titik stasionernya adalah
t = arc tan 132
≈ 0,67 rad.
Turunan di sebelah kirinya negatif, dandi sebelah kanannya positif (periksa!).
Jadi, titik tersebut adalah titikminimum.
Dengan demikian panjang tanggaterpendek adalah
P ≈ 1
sin 0,67+
2
cos 0,67≈ 4,16 meter.
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 9
1
2
P
t
t
![Page 53: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/53.jpg)
Latihan
1. Tentukan titik pada hiperbola x2 – 4y2 = 4yang terdekat ke titik Q(5,0).
2. Sebuah pulau kecil berjarak 2 km dari titikterdekat P pada garis pantai sebuah pulaubesar. Jika seseorang di pulau tersebutdapat mendayung perahunya dengan laju3 km/jam dan berjalan kaki di pantai 4 km/jam, di mana ia harus berlabuh agar sampai di Q yang berjarak 5 km dari Pdalam waktu yang paling singkat?
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 54: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/54.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.5 Menggambar Grafik Fungsi
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 55: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/55.jpg)
SasaranBelajarTopik Ini
3.5 Menggambar Grafik Fungsi
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menggambar grafik fungsi secaracermat, dengan menggunakan kalkulus
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 56: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/56.jpg)
MenggambarGrafik Fungsi
Kita telah melihat bagaimanainformasi tentang kemonotonandan kecekungan dapat dipakaiuntuk menggambar grafik fungsif(x) = x3 – 12x.
10/09/2013 3(c) Hendra Gunawan
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
![Page 57: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/57.jpg)
Catatan
Dalam menggambar grafik fungsi, informasi tentang apakah fungsi tersebutmerupakan fungsi genap atau ganjil jugamerupakan informasi penting yang membantu kita.
Sebagai contoh, fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥merupakan fungsi ganjil; jadi grafiknyasimetris terhadap titik asal.
Secara umum, ada beberapa hal yang perludiperhatikan --- lihat Contoh 1.
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 58: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/58.jpg)
Contoh 1
Gambarlah grafik fungsi
f(x) = 𝑥.(𝑥 − 5)2,
dengan memperhatikan:
daerah asal dan daerah hasilnya,
titik-titik potong dengan sumbukoordinat,
asimtot datar dan asimtot tegak (bilaada),
kemonotonan dan titik-titik ekstrimlokalnya,
kecekungan dan titik-titik beloknya(bila ada).
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 5
![Page 59: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/59.jpg)
Grafik Fungsif(x) = √x.(x – 5)2
Daerah asal f adalah [0,∞) dan daerahhasilnya juga [0,∞), sehingga grafiknyaakan terletak di kuadran pertama. Titikpotong dengan sumbu x adalah x = 0 danx = 5, sedangkan titik potong dengansumbu y adalah y = 0. Asimtot tidak ada.
Untuk x > 0, turunan pertama f adalah
Jadi, titik-titik stasionernya adalah x = 1dan x = 5, dan tanda f ’(x) adalah
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 6
.2
)5)(1(5)('
x
xxxf
−−=
0 1 5
+ – – – + +
![Page 60: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/60.jpg)
Grafik Fungsif(x) = √x.(x – 5)2
Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naik pada (5,∞). Menurut UjiTurunan Pertama, f(1) = 16 merupakannilai maksimum lokal, sedangkan f(0) = f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal(sekaligus global).
Selanjutnya kita hitung turunankeduanya:
Menggunakan rumus akar persamaankuadrat, kita dapatkan f ’’(x) = 0 ketika
x = 1 + 2
36 ≈ 2,6.
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 7
.4
)563(5)(''
2/3
2
x
xxxf
−−=
![Page 61: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/61.jpg)
Grafik Fungsif(x) = √x.(x – 5)2
Periksa tanda f’’(x):
Jadi grafiknya cekung ke bawah di sebelah kiri2,6; dan cekung ke atas di sebelah kanan 2,6.
Jadi (2,6 ; f(2,6)) merupakan titik belok.
Dengan semua informasi ini, kita dapatmenggambar grafik fungsi f(x) = 𝑥.(𝑥 − 5)2
sebagai berikut:
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 8
0 2,6
– – – + + +
![Page 62: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/62.jpg)
Grafik Fungsif(x) = √x.(x – 5)2
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 9
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
![Page 63: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/63.jpg)
Latihan
1. Gambarlah grafik fungsi
g(x) = 50x – x2/2, jika 0 ≤ x ≤ 20,= 60x – x2, jika 20 < x ≤ 60,
dengan memperhatikan:
daerah asal dan daerah hasilnya,
titik-titik potong dengan sumbukoordinat,
asimtot datar dan asimtot tegak (bilaada),
kemonotonan dan titik-titik ekstrimlokalnya,
kecekungan dan titik-titik beloknya (bilaada).
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 64: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/64.jpg)
Latihan
Dengan memperhatikan:
daerah asal dan daerah hasilnya, titik-titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot (bila ada), kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada),
gambarlah grafik fungsi berikut:
2. f(x) = 𝑥 +1
𝑥.
3. .
4. h(x) = x – 2 sin x.
10/09/2013 (c) Hendra Gunawan 11
( ) .1
xg x
x=
+
![Page 65: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/65.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.6 Teorema Nilai Rata-Rata
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 66: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/66.jpg)
SasaranBelajarTopik Ini
3.6 Teorema Nilai Rata-Rata
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menentukan nilai rata-rata dari suatufungsi yang diberikan
dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-Ratauntuk memecahkan masalah yang relevan
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 67: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/67.jpg)
JanganBerbohong.NantiKetahuan!
Pak Djono mengatakan bahwadengan mobil baru yang dikendarainya ia telahmenempuh 183 km dalam 3 jam tanpa pernah melampaui 60 km/jam.
Bagaimana mungkin?
Hmm…, so pasti ia telahberbohong!
Namun, bagaimana kita dapatmembuktikannya?
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 68: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/68.jpg)
Teorema NilaiRata-Rata
Jika f kontinu pada [a,b] danmempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b)sedemikian sehingga
Catatan. Nilai𝑓 𝑏 – 𝑓 𝑎
𝑏 – 𝑎disebut
nilai rata-rata f pada [a,b].
Secara fisis, bayangkankecepatan rata-rata padasuatu selang waktu!
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 4
.)()(
)('ab
afbfcf
−
−=
![Page 69: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/69.jpg)
Ilustrasi: Teorema NilaiRata-Rata
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 5
f’(c) = gradien garis singgung di c;𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏 – 𝑎= gradien ruas garis yang
menghubungkan (a,f(a)) dan (b,f(b)).
a bc
![Page 70: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/70.jpg)
PenjelasanTeorema NilaiRata-Rata
Tinjau kasus f(a) = f(b).* Teorema NilaiRata-Rata menjamin adanya c ϵ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0.
Bagaimana kita dapat membuktikannya?
Asumsikan f tidak konstan. [Bila f bernilaikonstan, f’(c) = 0 di setiap titik c ϵ (a, b).] Menurut Teorema Eksistensi NilaiEkstrem, f mestilah mencapai nilaiekstrem di suatu titik c ϵ (a, b).
Nah, titik c bukan titik ujung selang, bukan pula titik singular. MenurutTeorema Titik Kritis, c mestilahmerupakan titik stasioner: f’(c) = 0.
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 6
*Tinjau 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎𝑥.
![Page 71: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/71.jpg)
KebohonganPak Djono
Untuk membuktikan bahwa Pak Djonobohong, misalkan f(t) menyatakan jarakyang ditempuh dalam t jam. Maka fkontinu dan turunannya, f ’(t), menyatakan kecepatan pada saat t.
Menurut Teorema Nilai Rata-rata, mestilah terdapat t1 є (0, 3) sedemikiansehingga
f ’(t1) = 𝑓 3 – 𝑓 0
3 – 0= 61.
Ini berarti bahwa Pak Djono pernahmemacu mobilnya dengan kecepatan diatas 60 km/jam.
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 72: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/72.jpg)
Contoh 1
Diketahui f(x) := x2, x є [0,1]. Hitung nilairata-rata f pada [0,1] dan tentukan c є (0,1) sedemikian sehingga f ’(c) sama dengannilai rata-rata f pada [0,1].
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Jawab: Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah
𝑓 1 – 𝑓 0
1 – 0= 1.
Sementara itu f ’(x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = ½.
Jadi, c = ½ adalah bilangan yang kita cari.
![Page 73: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/73.jpg)
Contoh 2
Buktikan ketaksamaan
|sin x – sin y| ≤ |x – y|
untuk setiap x, y є R.
Jawab: Misal 𝑥 < 𝑦.Tinjau f(t) = sin t pada selang[x, y]. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata,
sin 𝑥 − sin 𝑦
𝑥 − 𝑦= cos 𝑡
untuk suatu 𝑡 ∈ 𝑥, 𝑦 . Namun, | cos 𝑡| ≤ 1, berapapun t. Jadi kita peroleh
|sin x – sin y| ≤ |x – y|
dan ketaksamaan ini berlaku pula untuk x = y.
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 74: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/74.jpg)
Latihan
1. Diketahui g(x) := 𝑥3
3, x є [-1, 1].
Hitung nilai rata-rata g pada [-1, 1]dan tentukan c є (-1, 1) sedemikiansehingga g’(c) sama dengan nilairata-rata g pada [-1,1].
2. Buktikan jika f ’(x) = 0 untuk setiapx є (a, b), maka f(x) bernilai konstanpada selang (a, b).
10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 75: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/75.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.8 Anti Turunan
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 76: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/76.jpg)
SasaranBelajarTopik Ini
3.8 Anti Turunan
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menentukan anti-turunan atau integral tak tentu dari suatu fungsi yang diberikan
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 77: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/77.jpg)
Anti-Turunan
Fungsi F disebut anti-turunan f pada Iapabila
F’(x) = f(x)untuk setiap x є I.
Sebagai contoh, F1(x) = x4 + 1 merupakananti-turunan f(x) = 4x3 pada R.
Demikian juga F2(x) = x4 + 5 merupakananti-turunan f(x) = 4x3 pada R.
Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C (dengan C konstanta) merupakan anti-turunan f(x) = 4x3 pada R, karena F’(x) = 4x3
= f(x) untuk setiap x є R.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 78: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/78.jpg)
Integral TakTentu
Keluarga fungsi anti-turunan dari f(x)disebut integral tak tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx.
Fungsi dalam keluarga ini adalahfungsi yang memiliki turunan f(x).
Jadi, sebagai contoh,
∫ 4x3 dx = x4 + C,
dengan C menyatakan konstantasembarang.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 4
![Page 79: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/79.jpg)
Ilustrasi: Integral TakTentu
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 5
Secara grafik, bila kitamengetahui sebuah anti-turunan dari f(x), makaintegral tak tentu dari f(x)adalah keluarga fungsiyang anggotanyamerupakan pergeseran keatas atau ke bawah darianti-turunan tsb.
Semua anggota keluargafungsi tsb mempunyaiturunan yang sama, yaituf(x).
Keluarga fungsi yang memiliki
turunan yang sama
![Page 80: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/80.jpg)
Aturan Integral TakTentu (1)
Terkait dengan aturan turunan yang telah kita pelajari sebelumnya, kitamempunyai teorema-teorema berikuttentang integral tak tentu.
Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q, r ≠ -1, maka
∫ xr dx = 𝑥𝑟+1
𝑟+1+ C.
Contoh 1(a) ∫ x2 dx =
𝑥3
3+ C.
(b) ∫ x-2 dx = - x-1 + C.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 6
![Page 81: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/81.jpg)
Aturan Integral TakTentu (2)
Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dancos x)
∫ sin x dx = –cos x + C;
∫ cos x dx = sin x + C.
Catatan. Jangan tertukar: turunan darisin x adalah cos x, sedangkan anti-turunan dari sin x adalah –cos x + C.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 82: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/82.jpg)
Aturan Integral TakTentu (3)
Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)
Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka
∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dxdan
∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.
Contoh 3. ∫ (6x2 + sin x) dx
= 2 ∫ 3x2 dx + ∫ sin x dx
= 2x3 – cos x + C.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 83: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/83.jpg)
Aturan Integral TakTentu (4)
Teorema 4 (Aturan Pangkat Diperumum)
Jika r є Q, r ≠ -1 dan g adalah fungsi yang mem-punyai turunan, maka
∫ [g(x)]r.g’(x) dx = 𝑔 𝑥 𝑟+1
𝑟+1+ C.
Bukti. Dengan Aturan Rantai, turunanfungsi di ruas kanan adalah [g(x)]r.g’(x). Teorema terbukti.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 9
![Page 84: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/84.jpg)
Contoh 4
Tentukan ∫ (x2 + 1)5.2x dx.
Jawab: Misal 𝑢 = g(x) = x2 + 1, du = 2x dx. Maka
∫ (x2 + 1)5.2x dx = ∫ 𝑢5 𝑑𝑢
= 𝑢6
6+ C
= 𝑥2+1 6
6+ C.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 85: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/85.jpg)
Tentukan ∫ sin x.cos x dx.
Jawab: Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x.
Jadi, menurut Aturan PangkatDiperumum, kita peroleh
∫ sin x.cos x dx = ∫ g(x) g’(x) dx
= 𝑔 𝑥 2
2+ C
= sin2 𝑥
2+ C.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 11
Contoh 5
![Page 86: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/86.jpg)
Latihan
Tentukan integral tak tentu di bawah ini.
1. ∫ (x2 + x-2) dx.
2. ∫ (x3 + 1).x2 dx.
3. ∫ sin2 x.sin 2x dx.
4. ∫ cos2 x.sin 2x dx.
5. ∫ sin 2x dx.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 12
![Page 87: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/87.jpg)
MA1101 Matematika 1A3.9 (Pengantar) Persamaan Diferensial
Hendra GunawanFMIPA ITB
![Page 88: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/88.jpg)
SasaranBelajarTopik Ini
3.9 (Pengantar) Persamaan Diferensial
Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:
dapat menyelesaikan persamaan diferensialsederhana, dengan atau tanpa syarattambahan
10/17/2020 (c) Hendra Gunawan 2
BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)
![Page 89: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/89.jpg)
PersamaanDiferensial
Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalam bahasa diferensial: Jika F’(x) = f(x), maka
(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
sehingga
∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Persamaan (*) merupakan contohpersamaan diferensial yang (paling) sederhana.
Persamaan diferensial banyak dijumpaidalam matematika, fisika, dan bidang ilmulainnya.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 90: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/90.jpg)
Contoh 1
Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebutadalah y = f(x). Maka, menggunakan notasidiferensial, informasi di atas mengatakanbahwa
dy = 2x dx.
Integralkan kedua ruas,∫ dy = ∫ 2x dx.
sehingga kita perolehy + C1 = x2 + C2
atau y = x2 + C,
dengan C = C2 – C1.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Tentukan persamaan kurva yang melaluititik (1,2) dan mempunyai turunan 2x disetiap titik (x,y) yang dilaluinya.
![Page 91: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/91.jpg)
Persamaan y = x2 + C menyatakankeluarga kurva yang mempunyaiturunan 2x di titik (x,y).
Sekarang kita akan mencari anggotakeluarga kurva tersebut yang melaluititik (1,2).
Dalam hal ini kita mempunyaipersamaan
2 = 12 + C,sehingga mestilah C = 1.
Jadi persamaan kurva yang kita cariadalah
y = x2 + 1.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 5
(1,2)
Contoh 1
![Page 92: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/92.jpg)
Contoh 2
Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 mdengan kecepatan awal 0 m/s. Karenagravitasi, benda tersebut mengalamipercepatan -9,8 m/s2. Tentukan ketinggianbenda tersebut pada saat t.
Jawab. Misal v = v(t) = kecepatan benda danh = h(t) = ketinggian benda pada saat t. Maka
dv = -9,8 dt,
sehingga v = -9,8t + C. Karena v(0) = 0, makaC = 0. Selanjutnya dh = -9,8t dt, sehingga
h = -4,9t2 + D.
Diketahui h(0) = 100, maka D = 100. Jadi
h = 100 – 4,9t2.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 6
![Page 93: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/93.jpg)
Catatan
Persamaan ketinggian h = 100 – 4,9t2
tentu saja berlaku ketika benda ber-ada di atas permukaan tanah. Karenaitu daerah asal fungsi ini adalahhimpunan bilangan t ≥ 0 yang membuat h ≥ 0, yaitu 0 ≤ t ≤ 4,517.
Dalam hal ini, benda tsb mencapai permukaan tanah dalam 4,517 detik.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 7
![Page 94: MA1101 Matematika 1A - cdn-edunex.itb.ac.id](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020705/61fbc77faaba4653560d22aa/html5/thumbnails/94.jpg)
Latihan
1. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikiansehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.
2. Diketahui suatu persamaan kurvamelalui titik (0,3) dan mempunyaiturunan x/y di setiap titik (x,y) yang dilaluinya. Tentukan persamaan kurvatersebut.
3. Sebuah benda jatuh dari ketinggian80 m dengan kecepatan awal -5 m/s(g = -9,8 m/s2). Tentukan kecepatandan ketinggiannya pada saat t = 1 s.
10/16/2013 (c) Hendra Gunawan 8
Ini adalah akhirdari Bab 3. Materiselanjutnyaadalah tentangintegral.