Ma Triks

Pendahuluan MatriksOperasi MatriksInvers Matriks

Penerapan Matriks

Operasi Hitung Dasar 2Matriks

Yunita S. Anwar

Universitas Mataram

Mataram, April 2016

Yunita S. Anwar Operasi Hitung Dasar 2 Matriks

Penerapan Matriks

Definisi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang ditempatkan dalambaris-baris dan kolom-kolom yang selanjutnya dinotasikan dengan

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

am1 am2 · · · amn

Istilah dalam Matriks

Jika matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyakn, maka matriks A dikatakan mempunyai ukuran atau orderm × n.

Bilangan-bilangan penyusunnya disebut komponen-komponenatau entri-entri matriks.

Matriks dinotasikan dengan menggunakan huruf-huruf kapital,misalnya A, B, C , atau A = [aij ].

Entri aij adalah bilangan real yang berada pada baris ke-i dankolom ke-j .

Penerapan Matriks

Definisi Matriks

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

Penerapan Matriks

Definisi Matriks

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

Penerapan Matriks

Definisi Matriks

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

Penerapan Matriks

Definisi Matriks

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

Penerapan Matriks

Contoh matriks

A3×4 =

1 2 −3 14 8 −2 −1−2 1 0 −5

1 0 00 1 00 0 1

Penerapan Matriks

Contoh matriks

A3×4 =

1 2 −3 14 8 −2 −1−2 1 0 −5

1 0 00 1 00 0 1

Penerapan Matriks

Contoh matriks

A3×4 =

1 2 −3 14 8 −2 −1−2 1 0 −5

1 0 00 1 00 0 1

Penerapan Matriks

Penjumlahan Matriks

Misalkan diberikan matriks A = [aij ] dan B = [bij ] yangmasing-masing berukuran m × n. Jumlah matriks A dan B adalahmatriks C = [cij ] dengan cij = aij + bij

Contoh

[0 1 2 −34 −2 1 −3

], B =

[4 −2 1 −33 −4 8 −1

[0 + 4 1 + (−2) 2 + 1 (−3) + (−3)4 + 3 (−2) + (−4) 1 + 8 (−3) + (−1)

[4 −1 3 −67 −6 9 −4

A−B =

[0− 4 1− (−2) 2− 1 (−3)− (−3)4− 3 (−2)− (−4) 1− 8 (−3)− (−1)

[−4 3 1 01 2 −9 −2

Penerapan Matriks

Penjumlahan Matriks

Contoh

[0 1 2 −34 −2 1 −3

], B =

[4 −2 1 −33 −4 8 −1

[0 + 4 1 + (−2) 2 + 1 (−3) + (−3)4 + 3 (−2) + (−4) 1 + 8 (−3) + (−1)

[4 −1 3 −67 −6 9 −4

A−B =

[0− 4 1− (−2) 2− 1 (−3)− (−3)4− 3 (−2)− (−4) 1− 8 (−3)− (−1)

[−4 3 1 01 2 −9 −2

Penerapan Matriks

Penjumlahan Matriks

Contoh

[0 1 2 −34 −2 1 −3

], B =

[4 −2 1 −33 −4 8 −1

[0 + 4 1 + (−2) 2 + 1 (−3) + (−3)4 + 3 (−2) + (−4) 1 + 8 (−3) + (−1)

[4 −1 3 −67 −6 9 −4

A−B =

[0− 4 1− (−2) 2− 1 (−3)− (−3)4− 3 (−2)− (−4) 1− 8 (−3)− (−1)

[−4 3 1 01 2 −9 −2

Penerapan Matriks

Penjumlahan Matriks

Contoh

[0 1 2 −34 −2 1 −3

], B =

[4 −2 1 −33 −4 8 −1

[0 + 4 1 + (−2) 2 + 1 (−3) + (−3)4 + 3 (−2) + (−4) 1 + 8 (−3) + (−1)

[4 −1 3 −67 −6 9 −4

A−B =

[0− 4 1− (−2) 2− 1 (−3)− (−3)4− 3 (−2)− (−4) 1− 8 (−3)− (−1)

[−4 3 1 01 2 −9 −2

]Yunita S. Anwar Operasi Hitung Dasar 2 Matriks

Penerapan Matriks

Perkalian matriks dengan bilangan Real

[0 1 2 −34 −2 1 −3

[5 · 0 5 · 1 5 · 2 5 · (−3)5 · 4 5 · (−2) 5 · 1 5 · (−3)

[0 5 10 −15

20 −10 5 −15

Perkalian matriks

[1 2 34 5 6

−1 35 −20 1

[1 · (−1) + 2 · 5 + 3 · 0 1 · 3 + 2 · (−2) + 3 · 14 · (−1) + 5 · 5 + 6 · 0 4 · 3 + 5 · (−2) + 6 · 1

Penerapan Matriks

[0 1 2 −34 −2 1 −3

[5 · 0 5 · 1 5 · 2 5 · (−3)5 · 4 5 · (−2) 5 · 1 5 · (−3)

[0 5 10 −15

20 −10 5 −15

Perkalian matriks

[1 2 34 5 6

−1 35 −20 1

[1 · (−1) + 2 · 5 + 3 · 0 1 · 3 + 2 · (−2) + 3 · 14 · (−1) + 5 · 5 + 6 · 0 4 · 3 + 5 · (−2) + 6 · 1

Penerapan Matriks

[0 1 2 −34 −2 1 −3

[5 · 0 5 · 1 5 · 2 5 · (−3)5 · 4 5 · (−2) 5 · 1 5 · (−3)

[0 5 10 −15

20 −10 5 −15

Perkalian matriks

[1 2 34 5 6

−1 35 −20 1

[1 · (−1) + 2 · 5 + 3 · 0 1 · 3 + 2 · (−2) + 3 · 14 · (−1) + 5 · 5 + 6 · 0 4 · 3 + 5 · (−2) + 6 · 1

]Yunita S. Anwar Operasi Hitung Dasar 2 Matriks

Penerapan Matriks

Determinan Matriks

Determinan matriks

[a11 a12a21 a22

]dinotasikan |A| adalah bilangan real sedemikian hingga|A| = a11 · a22 − a12 · a21.

Contoh

Determinan matriks

[3 −51 −2

]adalah |A| = 3 · (−2)− (−5) · 1 = −6 + 5 = −1

Penerapan Matriks

Determinan Matriks

Determinan matriks

[a11 a12a21 a22

]dinotasikan |A| adalah bilangan real sedemikian hingga|A| = a11 · a22 − a12 · a21.

Contoh

Determinan matriks

[3 −51 −2

]adalah |A| = 3 · (−2)− (−5) · 1 = −6 + 5 = −1

Penerapan Matriks

Determinan Matriks

Determinan matriks

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

adalah

|A| = a11 ·∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣

Penerapan Matriks

Contoh

Determinan matriks

1 −7 2−3 0 −21 2 −4

adalah

|A| = 1 ·∣∣∣∣0 −22 −4

∣∣∣∣− (−7) ·∣∣∣∣−3 −2

1 −4

∣∣∣∣+ 2 ·∣∣∣∣−3 0

∣∣∣∣= 1 · (0 + 4) + 7 · (12 + 2) + 2 · (−6− 0)

= 4 + 98− 12 = 90

Penerapan Matriks

Contoh

Determinan matriks

1 −7 2−3 0 −21 2 −4

adalah

|A| = 1 ·∣∣∣∣0 −22 −4

∣∣∣∣− (−7) ·∣∣∣∣−3 −2

1 −4

∣∣∣∣+ 2 ·∣∣∣∣−3 0

∣∣∣∣= 1 · (0 + 4) + 7 · (12 + 2) + 2 · (−6− 0)

= 4 + 98− 12 = 90

Penerapan Matriks

Definisi Invers Matriks

Diberikan matriks bujursangkar A yang berukuran n × n. Jikaterdapat matriks bujursangkar B yang berukuran n × n sehingga

AB = BA = In

maka B disebut invers matriks A, dinotasikan dengan B = A−1.Demikian juga A disebut invers matriks B.

Contoh

Tentukan invers matriks

[3 −51 −2

1 −7 2−3 0 −21 2 −4

Penerapan Matriks

Definisi Invers Matriks

Diberikan matriks bujursangkar A yang berukuran n × n. Jikaterdapat matriks bujursangkar B yang berukuran n × n sehingga

AB = BA = In

maka B disebut invers matriks A, dinotasikan dengan B = A−1.Demikian juga A disebut invers matriks B.

Contoh

Tentukan invers matriks

[3 −51 −2

1 −7 2−3 0 −21 2 −4

Penerapan Matriks

Example

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel:4x − 3y = 102x + 2y = 12

Example

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel:3x + 2y + z = 142x + 4y − 2z = 4x + 3y + 2z = 20

Penerapan Matriks

Example

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel:4x − 3y = 102x + 2y = 12

Example

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel:3x + 2y + z = 142x + 4y − 2z = 4x + 3y + 2z = 20

Penerapan Matriks

Example

Untuk memenuhi suatu pasaran, seorang pengusaha perabotmemproduksi 20 meja, 100 kursi, dan 10 lemari buku. Diperlukan 10satuan bahan dan 8 jam buruh untuk membuat satu meja, 4 satuanbahan dan 5 jam buruh untuk membuat satu kursi, serta 30 satuanbahan dan 25 jam buruh untuk membuat satu lemari buku. Hitunglahbiaya total produksi jika harga bahan Rp. 50,00 per satuan dan hargatenaga buruh Rp. 100,00 per jam.

Penerapan Matriks

Example

Sebuah perusahaan mempunyai perencanaan kerja selama 3 bulan akanmemproduksi 3 jenis barang. Pada bulan pertama memproduksi 3 buahjenis barang pertama, 2 buah jenis barang kedua, dan 1 jenis barangketiga dengan biaya 11 satuan. Bulan kedua memproduksi 1 buah jenisbarang pertama, 4 buah jenis barang kedua, dan 2 jenis barang ketigadengan biaya 12 satuan. Bulan ketiga memproduksi 2 buah jenis barangpertama, 1 buah jenis barang kedua, dan 3 jenis barang ketiga denganbiaya 14 satuan. Tentukan besarnya biaya barang pertama, kedua, danketiga.

Ma Triks

Documents

Transcript of Ma Triks