Lukujono raja-arvo CAS-laskin ja GeoGebra Jussi Kytömäki Jussi.kytomaki@ylojarvi.fi FB-Naavaparran matikka

o

o

3 1

1

1

2 ,

0,5; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, 0,00001

n

nLukujono a

n

Määritä raja arvo a

Määritä n kun on

Ratkaisut CAS laskimella ja GeoGebralla

Määritellään lukujonon yleinen termi a(n). Huomaa sijoitusoperaattori := Tällä rivillä tehdään kaksi peräkkäistä komentoa: Ensin sijoitetaan e:n arvoksi etäisyys raja-arvosta. Kaksoispisteen jälkeen voidaan kirjoittaa etäisyys- epäyhtälön ratkaiseva komento. Tehtävän eri epsilonin e arvoa vastaavat kriittiset n:n arvot löytyvät helposti: Mennään nuolella ylös ja poimitaan epäyhtälö editoitavaksi. Muuta vain e:n arvoa ja sitten Enter.

Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot CAS-laskimella

Laskin urputtaa määrittelyjoukosta, ihan aiheesta:

Ratkaisu CAS-laskimella suoraan lausekkeiden avulla

Itseisarvomerkit voidaan poistaa: |n+1|=n+1, koska on kokonaisluku ja n>0

Jos epäyhtälöön jätetään lausekkeen itseisarvo, ratkaisujoukko laajenee. Pitää muistaa, että n >0.

Vastaus: Jonon jäsenten etäisyys raja-arvosta 3 on pienempi kuin 0,001 n:n arvosta 4000 lähtien.

Tässä epsilon eli etäisyys raja-arvosta on 0,001

Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot GeoGebralla

GeoGebran CAS- laskimella.

Seuraavissa dioissa kriittiset n:n arvot on määritetty graafisesti. 1. Grafiikaikkunan rajat muutetaan: valitaan väli xMin - xMax ja yMin - yMax

sopivasti (y-arvot rajakohdan a=3 läheltä huomioiden epsilon eli etäisyys. 2. Ohjelma piirtää punaiset pisteet sopivasti x:n rajojen mukaisesti. Kohta, missä

tunkeudutaan alle epsilonin päähän raja-arvosta, löytyy sitten valitsemalla sopivat luvut syöttökenttiin Tarkka ala n ja Tarkka lopeta n. Kriittinen n löydetään liu’un n_epsilon avulla.

Huomaa: kun n kasvaa kymmenkertaiseksi ja y pienenee kymmenesosaan, lukujono säilyy ”yhdenmuotoisena” eli ”kaarevuus ei muutu”.

7, ( ) 0,5Kunn on a n a

39, ( ) 0,1Kunn on a n a

399, ( ) 0,01Kunn on a n a

3999, ( ) 0,001Kunn on a n a