Los vectores
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Los vectores Así como la derivada no existe en la naturaleza, y siendo, paradojalmente, su función esencial de explicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco existen en la naturaleza ... Y su función esencial es explicar parte del mundo físico. Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, explican de buena manera la naturaleza newtoniana. Nos referimos a los vectores que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea de la dirección donde lanzamos o aplicamos este vector. Veremos ahora un álgebra vectorial que nos permitirá tener la base para la realización de modelos matemáticos formidables...
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Los vectores
Así como la derivada no existe en la naturaleza, y siendo, paradojalmente, su función esencial de explicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco existen en la naturaleza ... Y su función esencial es explicar parte del mundo físico.
Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, explican de buena manera la naturaleza newtoniana.
Nos referimos a los vectores que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea de la dirección donde lanzamos o aplicamos este vector.
Veremos ahora un álgebra vectorial que nos permitirá tener la base para la realización de modelos matemáticos formidables...
P
Ox
y
z
x
y
z
( , , )x y z
yOz, zOy, xOy son los planos coordenados
Oxyz es un sistema de referencia derecha
y
P
Ox
y
z
x
z
( , , )x y z
MN
r
El segmento OP, extendido desde O hasta P, representa el vector OPr��������������
2 2 2 2 2ON OM MN x y 2 2 2 2 2 2OP ON NP x y z
La magnitud de es OP��������������
2 2 2OP x y z r��������������
Magnitud, longitud o norma de un vector son términos equivalentes
Un vector es libre de moverse bajo desplazamientos paralelos si queremos medirlo con nuestro sistema de referencia Oxyzx
yO
A
z
x
yO
A
B
Suma de vectores
OBABOA
),,( 321 aaaOA
),,( 321 bbbOB
),,( 332211 abababAB
a veces conocida como la ley del paralelogramo
C
ABOC
OBCBOC
OACB
Producto de un escalar por un vector
a a2 a21
aa
a23
Todos los vectores multiplos de a son paralelos
),, 321 aaa (a
)(a 321 ,a,aa
a
b
a - b a + b
La diferencia y suma de vectores
r
rr
r
14
1,
14
3,
14
2r
14132r
)1,3,2(r
222
Ejemplo
Vectores unitarios
La longitud de es unitariar
x
yO
i j
k
Los versores cartesianos
)001(ˆ ,,i
)0,1,0(ˆ j
)1,0,0(ˆ k
Los versores cartesianos como una base
z
yOx
y
z
x
r
P
MN
i j
k
OP OM MN NP ��������������������������������������������������������
ˆˆ ˆOP xi y j z k r��������������
Ejemplo: Un bote con una rapidez de U m/h está atravesando un río, donde el flujo de sus aguas lleva una rapidez de V m/h aguas abajo. ¿En qué dirección debe enfilar el bote para realizar el cruce perpendicular al flujo del río, y cuál es su verdadera velocidad? ¿es posible el viaje?
Supongamos que el bote toma una dirección en un ángulo respecto de la perpendicular a la rivera, como se indica en la figura. La verdadera velocidad del bote w es el vector suma de la velocidad u que lleva el bote en el agua y la velocidad v del río, esto es
w = u + v
i
jU
V
W
wu
v
i
jU
V
W wu
v
, ,U V W u v w
ˆ ˆ ˆ ˆsen cos , ,U i U j V i W j u v ww = u + v
ˆ ˆ ˆ( sen ) cosW j U V i U j
cos ; senW U V U
/arcsen U V
Este ángulo determina la dirección que debe tomar el bote
2 2W U V
Y esto nos indica que el viaje solo es posible si U > V
