Lomené algebraické výrazy

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Lomené algebraické výrazy

Rozšiřování lomených výrazů


Rozšiřování lomených výrazů.S pojmem rozšiřování jsme se seznámili již při početních operacích se zlomky.

Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele i jmenovatele stejným výrazem, různým od nuly.

Rozšíření znamená násobení čitatele i jmenovatele stejným číslem, různým od nuly.

3

2

33

32

.

.

9

6

Podobně postupujeme i u lomených výrazů.

3

2x

)(.

)(.

x

xx

33

32

x

x

9

6 2

0x;


Rozšiřování lomených výrazů.Tak tedy ještě jednou. Rozšíříme lomený výraz

2

2

9

6

xy

yx

)(.

)(.

xyy

xyx

33

32

y

x

3

2

y

x

3

2

U lomených výrazů nesmíte nikdy zapomenout na určení podmínek řešitelnosti (tedy kdy má výraz smysl)!

09 2 xy

0x 02 y0y

výrazem xy3


Rozšiřování lomených výrazů.Rozšiřování lomených výrazů budeme potřebovat především při převádění výrazů na společného jmenovatele.Vyzkoušejme si tedy příklad rozšíření lomeného výrazu na požadovaného jmenovatele.

x

y

3

2Příklad: Rozšiřte lomený výraz

tak, aby jeho jmenovatel byl 6x2.

xx 36 2 : x2 xxx 236 2 .Daný výraz tedy rozšíříme výrazem 2x.

x

y

3

2

xx

xy

23

22

.

.26

4

x

xy

Zapomenout nesmíme na podmínky, pro které proměnné nemá výraz smysl.

0x


Rozšiřování lomených výrazů.Z řešení předcházejícího příkladu je zřejmé, že známe-li jmenovatele, na kterého musíme lomený výraz převést, musíme zjistit, čím budeme lomený výraz rozšiřovat.

Jak je vidět, tak ze součinového tvaru snadno určíme, čím budeme lomený výraz rozšiřovat, stejně jako podmínky, pro které má výraz smysl.

K tomu nám pomůže rozložení jmenovatele lomeného výrazu na součin v základním tvaru.

yxy 217

3

8

xx

Příklad: Rozšiřte lomený výraztak, aby jeho jmenovatel byl 7xy+21y.

)(. 37 xyVýraz rozšíříme výrazem

7y.

38

x

x

yx

yx

73

78

.)(

.

yxy

xy

217

56

3x 0y


Rozšiřování lomených výrazů.Jak již bylo řečeno, rozšiřování lomených výrazů budeme potřebovat především při převádění výrazů na společného jmenovatele.Společného jmenovatele výrazů musíme nejdříve zjistit. K tomu opět napomůže rozložení jmenovatelů na součin v základním tvaru.

xx 3293

822 x

x

xx

x;

Příklad: Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měly stejného jmenovatele a aby to byl co nejjednodušší výraz.

)(. 3xx

x

92x )).(( 33 xxspolečný jmenovatel by tedy mohl být x.(x+3).(x+3).(x-3)

To by ale nebyl jmenovatel v co nejjednodušším tvaru. Proto člen, který se vyskytuje v obou jmenovatelích, vezmeme vždy do společného jmenovatele jen jednou.

).( 3x ).( 3x


Rozšiřování lomených výrazů.

93

822 x

x

xx

x;

Příklad: Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měly stejného jmenovatele a aby to byl co nejjednodušší výraz.

Nejjednodušší společný jmenovatel tedy je x.(x+3).(x-3).

)).(.().( 333

8

3

82

xxxxx

x

xx

x x8

Ve jmenovateli „přibyl“ člen (x-3), tudíž aby došlo k rozšíření lomeného výrazu, musí tentýž člen „přibýt“ i v čitateli.

).( 3x

)).(.()).(( 333392

xxxxx

x

x

x x

Ve jmenovateli „přibyl“ člen x, tudíž aby došlo k rozšíření lomeného výrazu, musí tentýž člen „přibýt“ i v čitateli.

x.

Obě rovnosti platí, jestliže 0x 03x3x

03x3x


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

0p

p5

3

pp

p

25

23

.

.

210

6

p

p

pp2

5

3


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.

p

p

32

4

Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

)).((

).(

132

14

p

p

23

4

p

p

032 p

132

4

p

p

p

p

32

4

p

p

32

4

23 p

23 p

3

2p


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

0p 045 p

45

7

p

p

)).((

).(

pp

pp

345

37

pp

p

1215

212

2

45 p

5

4p

pp

p3

45

7

2

2

1512

21

pp

p


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.Doplňte, aby platila rovnost a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

0yx

)).(( yxyxyx

yx

yx

22 yxyx

yx

)).((

)).((

yxyx

yxyx

yx

yx

)(

)(22

2

yx

yx

yx

yx

0 yxyx


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.Doplňte, aby platila rovnost a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

052 x

2520452

522

xxx

x

2

5x

052 x

2

5x

2520452

522

xxx

x

25252

52

)(

xx

x

)).(( 525252

52

xxx

x

)).((

)).((

5252

5252

52

52

xx

xx

x

x

25204

254

52

522

2

xx

x

x

x


Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.Najděte společného jmenovatele a rozšiřte. Určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.

0x

).( 1

222

xx

x

xx

x

01x1x

).( 14

5

44

5

xx

44

5

x

;xx

x

2

2

).(.

).(

14

2422

xx

x

xx

x

).(.

.

14

5

44

5

xx

x

x



0 yx

).( yx

yx

yx

yx

222

0 yxyx

).( yx

yx

yx

yx

222

yx

yx

22

;yx

yx

22

)).(.(

)).((

yxyx

yxyx

yx

yx

222

)).(.(

)).((

yxyx

yxyx

yx

yx

222

).(

)(22

2

222 yx

yx

yx

yx

).(

)(22

2

222 yx

yx

yx

yx

yx



m

m

3

3

03m

3m

2

2

2

2

3

37

96

217

)(

).(

m

m

mm

m

;m

m

3

3

96

2172

2

mm

m

3

3

31

3

3

3

m

m

m

m

m

m

)).((

)).((

).(

33

37

96

217 2

2

2

mm

m

mm

m

)).((

)).((

33

33

3

3

mm

mm

m

m

)).((

).(

33

37

96

217 2

2

2

mm

m

mm

m


Závěr

Rozšiřování, stejně tak jako krácení lomených výrazů využijeme především při jejich zjednodušování, sčítání, odčítání, násobení a dělení.Proto je důkladně procvičujte.

Připomínám ještě jednu velmi důležitou věc. Uvádění podmínek, pro které mají lomené výrazy smysl, jsou nezbytnou a nutnou součástí řešení, i když to v zadání příkladu nemusí být výslovně uvedeno!

Lomené algebraické výrazy

Documents

Transcript of Lomené algebraické výrazy