Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

LOGIKA

6. Előadás

TECHNIKAI ADATOK

Elérehetőség:• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/• szilagyi@aszt.inf.elte.hu

Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szobaJegyzet:

Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ

TÁRGYALÁSA

http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_matematikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html

TEMATIKA

BevezetésA 0. rendű logika (Itéletkalkulus)

• Szintaxis• Szemantika• 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)• Szemantikus következmény• Normálformák• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)• Szintaxis• Szemantika• 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)• Szemantikus következmény• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

FEJTÖRŐ

Ἀριστοτέλης Πλάτων Εὐκλείδης(i.e. 384-322) (i.e 427.) (i.e 300.) szillogizmus) ideatan, filozófus geometria axiomatizálás

TEMATIKA

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis

• abc, term, formula, szintaktikai definíció,

• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió

• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése

• Logikai összettetség

• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens

• Változó átnevezés, Termhelyettesítés

Szemantika• Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész)

• változó kiértékelés( )

• L-értékelés (term és formula)

• Term és formula értéktáblája

• Quine-féle táblázat

• Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia

• 1. rendű logikai törvények

• Szemantikus következmény

• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

Abc

NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA

Abc

Logikai rész: • , , , , , , • Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan

végtelen, adott fajtájúak

• Elválasztó jelek („(„ „)”)

• (ítélet változók)

Logikán kívüli rész:•Függvény, predikátum és konstans szimbólumok•Elemfajták halmaza

Abc

FEJTÖRŐHogyan nézne ki az a azonos b -vel formalizálása másodrendű logikai nyelvén?

Abc, szignatúra

Abc, term, formula

Példa:Term: f(x,f(c,y))

• f: függvényszimbólum : U x U U• c: konstansszimbólum: c ϵ U• x: indivíduum változó: U elemeit futja be

Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3))

• f: függvényszimbólum: U x U x U U• c: konstansszimbólum

• x, y1,y2,y3: indivíduum változók: U elemeit futják be

• H: predikátum szimbólum: U {i,h}• S: predikátum szimbólum: U x U {i,h}

SZEMANTIKA: Zérusrendben

• A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).  • Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. • Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. • Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét

megadtuk. • Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:

Emlékeztető: Formula

• minden ítéletváltozó ( Vv) JFF

• ha AJFF akkor AJFF• ha A,BJFF akkor (A○B)JFFminden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.  Egyszerű állítás Összetett állítás interpretáció Boole-értékelés { i , h } { i , h }  Formula jelentése mindig igazságérték!

Szemantika: 1 rendben1. Interpretáció (I)

+ 2. változó kiértékelés ( )

+ 3. L-értékelés (I + -n alapuló) 

1. Interpretáció: 1. rendbenA leíró nyelv ábécéje (Vv)

 

A logikai jelkészlet:• az indivíduumváltozók, • az egyenlőségreláció neve (=), • a logikai összekötőjelek és a • kvantorok • kiegészítő elemek az elválasztójelek. A nem logikai jelkészlet a relációk, műveletek és a konstansok nevei. Az = <Tp, Pr,, Fn, Kn > struktúra egy logikai nyelv megadását jelenti, ahol • Tp: típusok halmaza• Pr: Predikátum szimbólumok halmaza• Fn: függvényszimbólumok halmaza• Kn: konstansok halmaza (kitüntetett U-beli elemek) (1,2,3): a struktúra szignatúrája

Mindezeket interpretálni kell!

Itt nem csak a változókat kell interpretálni!

1. Interpretáció: 1. rendbenAz Interpretáció első rendben a következők megadását

jelenti:1. Individuum változók milyen individuum halmazt (univerzum) futnak be2. Konstans szimbólumok: melyik individuumokat jelölik3. Függvényszimbólumok: milyen matematikai műveleteket (függvényeket) jelentenek4. Predikátumszimbólumok: milyen matematikai relációkat (predikátumokat / logikai függvényeket) jelentenek

Kell hozzá keresni egy megfelelő matematikai struktúrát!

1. Interpretáció : matematikai struktúra

Matematikai struktúraAz (U; R; M; C) négyes matematikai struktúra vagy modell, ahol:• U nem üres halmaz, az értelmezési tartomány,

univerzum, vagy individuumhalmaz,• R az U-n értelmezett (alap) relációk (logikai

függvények/leképezések) halmaza: Un{i,h} • M az U-n értelmezett (alap)műveletek (matematikai

függvények/leképezések) halmaza: UnU.• C pedig U-beli elemek halmaza

1. Interpretáció : matematikai struktúra

Definíció: A struktúra szignatúrájaAz (U; R; M; C) matematikai struktúra szignatúrája a 1,2,3 hármassal jellemezhető, ahol:

• ha R R és R: Un{i,h}, akkor 1(R)=n

• ha FF és F: UnU, akkor 2(F)=n

• a 3 megadja C elemeinek számát.

 Definíció: A struktúra típusaA struktúra típusa- a szignatúra egy másik megadási módja.A típus megadásának az a módja, hogy az univerzum megadása után az alaprelációk , és az alapműveletek aritásának, majd pedig a konstansoknak a felsorolása történik meg: <U; r1, r2, …, rn; m1, m2, …, ms; c1, c2, …, cq>

1. Interpretáció : logikán kívüli rész

Definíció: Interpretáció

Az L(Vv ) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > = elsőrendű logikai nyelvnek egy az L nyelvvel azonos szignatúrájú S = <U, R, M, C>

matematikai struktúrával történő I interpretációja az: I= <ISrt, IPr. IFn, ICnst> függvénynégyes, ahol

- ISrt: U Ha Srt egyelemű, akkor az interpretáció U univerzuma egyfajtájú elemekből áll.- IPr: P PI , ahol PI a struktúra R halmaza

- IFn: ffI , ahol fI a struktúra M halmaza

- ICnst: ccI , ahol cI a struktúra K halmaza

1. Interpretáció: logikán kívüli rész

A formalizált egyfajtájú nyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat.

Megjegyezzük, hogy ha egy elsőrendű logikai nyelvben az egyenlőség (=) predikátumszimbólum is szerepel, szokás a nyelvet egyenlőségjeles elsőrendű nyelvnek is nevezni.

1. Interpretáció: logikán kívüli rész

A formalizált többfajtájú nyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat.

struktúra 

struktúraábécé

L mat. log. nyelvábécé

jelölés minőség

összefoglaló jel

az U univerzum elemei és a fajták halmaza (k-féle)

individuum változók

individuum változók az egyes fajtákhoz rendelve

xf1,yf1, ...,...xfk,yfk, ...,

logikai Tp

alapműveletek.arg. szám (0,1...) és fajták.

Alapműveletek nevei.

függvény szimbólumok (a konstansok is)arg. szám (0,1...) és fajták.

f (ti1, ..., tin, tf), g(tj1, ..., tjn, tg),

 logikán

Fn

alaprelációkarg. szám.(1,2...)

alaprelációk nevei

predikátum szimbólumokarg. szám.(1,2...) és fajták

P (tk1, ..., tkn), Q(ts1, ..., tsn,), ...

kívüli  Pr

egyenlőség reláció

= az egyenlőségpredikátum

= logikai  

1. Interpretáció : szignaturák

Nyelv szignaturája:

<P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k , k1, k2, …, kq>

I

Struktúra szignaturája:<U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk; m1,…, mn ; mn+1 …, mn+k c1, c2, …, cq>

x,y, ... Individum változók

A formalizált egyyfajtájú nyelv szignaturája és a matematikai struktúra szignaturája közötti kapcsolat.

Szemantika: 1 rendben1. Interpretáció (I)

+ 2. változó kiértékelés ( )

+ 3. L-értékelés (I + -n alapuló) 

2. Változó kiértékelés: indivíduum változók

Definíció: : változó kiértékelés( ): VU, ahol V: indivíduum változók halmaza,

U: univerzum|x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot

x

u1

V U

y

u2

Szemantika: 1 rendben1. Interpretáció (I)

+ 2. változó kiértékelés ( )

+ 3. L-értékelés (I + -n alapuló)

 

L-értékelés: Informális (I, )

A L-értékelésEgy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}.A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven íródott

1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával

2. lépés.  a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I)

3. lépés.  Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött változóinak az összes lehetséges változókiértékelése mellett

4. lépés.  Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes lehetséges változókiértékelése mellett

L-értékelés (term)Definíció: Termek = I, L-értékelése

1. xs individuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés)

c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem.2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn| I, )

L-értékelés (Példa: term)

  (x) (y) x+ x*y

  1 1 2

  2 3 8

  0 4 0

Példa:logikai nyelv struktúra nyelve

I: L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2) S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )

= I,

Term interpretációja:t = (f1(x, f2(x,y))) = f1

(x, f2 (x,y)) = + ( x, * (x ,y)) = x+ x*y

L-értékelés (variáns)

Példa: U = {1, 2, 3, 4} : x y z 2 3 4* x variánsai: x y z 1 3 4 3 3 4 4 3 4

L-értékelés (formula)Definíció: Formulák =I, L-értékelése

1. |P(t1, t2, ..., tn))|I, = i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol

PI jelöli a PI reláció igazhalmazát. 2. |A|I, =|A|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, 3. |xA|I, = i, ha |A|I,* = i minden * x variánsára |xA|I, = i, ha |A|I,* = i legalább egy * x variánsára

(A a formula törzse/mátrixa)

L-értékelés (variáns)Példa: |xA|I, = i, ha |A|I,* = i minden * x variánsára

Legyen U={a,b,c}

|xP(x,y)|I, = |xP(x,a)|I = P(a,a) P(b,a) P(c,a)(y)=a|xP(x,y)|I, = |xP(x,b)|I = P(a,b) P(b,b) P(c,b)(y)=b|xP(x,y)|I, = |xP(x,c)|I = P(a,c) P(b,c) P(c,c)(y)=c

L-értékelés (kvantormentes formula)

Egy kvantormentes formula kiértékelése

(x) (y) (x+ x*y)<( y+ x*y)

A formula minden alap előfordulását generáljuk

1 1 h

és így minden állítás előáll

2 3 i

Példa: Kvantormentes formula interpretációja: =I,

(P1(t, f1(y, f2(x,y)))) = P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )=

P1 (t, f1

(y, f2 (x,y))) =

< (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = < ( x+ x*y, y+ x*y) = (x+ x*y)<( y+ x*y)

L-értékelés (kvantált formula)

Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(x+x)

  0 h

  1 i

Nézzük meg az értéktábláját (x) 0<(1+x)

  0 i

  1 i

Univerzális formula interpretálása: =I,

(x P1(a, f1(b,x))) = i, ha (P1(a, f1(b,x))) (x/u)=i minden uUMivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.

Egzisztenciális formula interpretálása: =I,

(x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uUebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uNMivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i.

FEJTÖRŐKit ábrázol? Miről híres?

Marie Curie Isaac Newton 1867-1934 1642- 1727

Fizikus, rádió aktivitás fizikus, csillagász, tömegvonzás törvénye

Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelvAz AR nyelv az elemi aritmetika struktúrájának leírására alkalmas nyelv.

Az elemi aritmetikát leíró matematikai struktúra a következő:

Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelvAz elemi aritmetika struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük AR

nyelvnek. Azaz az elemi aritmetika matematikai struktúra egy interpretációja az AR nyelvnek. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKAAz AR nyelv ábécéje:

Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv

Az AR nyelv szintaxisa:

Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv

Az AR nyelv szemantikája:

Példa: xy =def z(y+z)=x

A RÉSZH nyelv

Egy halmaz részhalmazait leíró logikai nyelvet nevezzük RÉSZH nyelvnek. Azaz a részhalmazt leíró matematikai struktúra egy interpretációja az RÉSZH nyelvnek.

A RÉSZH nyelv

A RÉSZH nyelvnek abc-je és szintaxisa

A RÉSZH nyelv

A RÉSZH nyelv szemantikájaAz Ar nyelvéhez hasonlóan határozható meg.

Term• Konstans: nincs• Változók: x ϵ P(H)Formula• Atomi formula : P(H) P(H)• Összetett állítások

Néhány fontosabb reláció formalizálása:X = y =def (x y) (y x)

A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. Azaz háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúra egy interpretációja az GEOM nyelvnek. A háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúrája:

A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. A GEOM nyelv ábécéje:

A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

A GEOM nyelv szintaxisa:

e

A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

A GEOM nyelv szemantikája:

Hasonló az AR nyelvnél elmondottakhoz, figyelembe véve a fajtákat.

AR, RÉSZH GEOM nyelvek: összefoglalás

FEJTÖRŐHogyan nézne ki a teljes indukció formalizálása az elemi aritmetika másodrendű logikai nyelvén?

Term és formula értéktáblája: Ismétlés

X Y Z (ZXYZ)

i i i i

i i h i

i h i i

Egy 1. rendű formula primformulái • az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a • kvantált formulák

Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.

Példa:P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:P(X) Q(X) -ben: P(X) prímkomponens isxP(x) Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula

Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Term és formula értéktáblájaEgy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba

• a szabad indivíduum változók • a primkomponensek és a • formula kerülne.

Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká. Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé.

• Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek• A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek • A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési

értékek találhatók.

Term és formula értéktáblájaPéldaA formula xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z)A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)). A szabad indivíduum változók: v, w.Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)},Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állításokAz értéktábla:

(V)

(w) (xP(x))

(y(Q(w,y))

P(v) (zQ(w,z))) (xP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z))

1 1….

h y(Q(1,y))=i

P(1)=i zQ(1,z)=h i mivel a feltételrész hamis ….