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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN - ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL A DISTANCIA
POR: Lic. RAUL LUCAS HERMITAO
1
Universidad Nacional Daniel Alcides Carrin
MODALIDAD: SEMI PRESENCIAL - SEDE YANAHUANCA
LGICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIN
Hay tres clases de lenguaje mediante los cuales podemos
comunicarnos:
El lenguaje oral, que se manifiesta verbalmente; el
lenguaje escrito que es una traduccin del lenguaje oral
mediante frases impresas; y el lenguaje simblico que es una
traduccin de ,los anteriores,
mediante smbolos apropiados que siguen reglas bien definidas.
Tanto el lenguaje oral y el
lenguaje escrito sufren el defecto de que, muchas veces
la idea no se expresa en forma precisa-, dando lugar a las
ambigedades.
El lenguaje simblico utilizado en las matemticas es por el
contrario preciso y no da lugar a falsas interpretaciones.
En esta unidad los estudiantes evaluaran el manejo del lenguaje
simblico.
Cuando mencionamos la palabra
Lgico o Lgica nos viene a la mente su significado clsico
evidente, obvio.
Sin embargo esta palabra lleva
consigo toda una carga histrica y filosfica, formando la parte
esencial en la vida del hombre y del conocimiento, ya que
constituye elementos que implica un razonamiento.
Los principios y las reglas de la
lgica, se usan en la construccin del buen anlisis
de un problema especfico y nos permite establecer un
razonamiento que establece un juicio objetivo.
Por ejemplo si necesitas calcular el rea de un tringulo Qu
haras? Desde un punto de vista lgico.
LGICA MATEMTICA
Es la disciplina dedicada a identificar las formas del
razonamiento, si un argumento es o no vlido.
LGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lgica que estudia las proposiciones y las
funciones de las variables
proposicionales y los conectivos lgicos.
ENUNCIADO
Denominamos as, a toda frase u oracin.
Ejemplo:
Yanahuanca es capital del Per
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7x 5 = 2
Viva los maestros del Per!
PROPOSICIN LGICA Expresin u oracin que pueden
calificarse a bien verdadero (V) o
falsa (F) sin ambigedades; y se denotan con letras minsculas:
p, q, r, s, etc.
Ejemplo: p: 5 +4 = 8 ( ) q: Los estudiantes de la UNDAC
son mortales.. ( )
r: Daniel A. Carrin Naci en Pillao . ( )
s: 14 es un nmero
primo.( ) Ojo: A la veracidad o falsedad
de una proposicin se denomina Valor Veritativo o Valor de
verdad.
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
Son enunciados a los que no se les puede asignar un valor de
verdad; entre ellos tenemos a los exclamativas, interrogativas
o imperativas.
Ejemplo:
Arriba Per! Cmo ests?
Prohibido detenerse Dale U!
ENUNCIADOS ABIERTOS
Dependen de una variable expresado en palabra o smbolo
matemtico (l; ello; aquello, etc., x, y, z, etc.)
Ejemplo:
l es un escritor peruano
2x -3 < 7
CLASES DE PROPOSICIONES
1) Simples o Atmicas
No tienen conjunciones gramaticales o el adverbio
no. Ejemplo:
1) La matemtica es una ciencia
2) La tierra es ms grande que la luna
2) Compuestas o Moleculares
Contienen conjunciones gramaticales como y, o, . . . si, entonces, s y solo s, no, etc.
Ejemplo: Farfn estudia y practica
ftbol
No es cierto que Mireya se desaprob en matemticas.
El sol brilla y hace frio
CONECTIVOS LGICOS:
Son smbolos que se usan
para relacionar proposiciones;
para formar proposiciones
compuestas partiendo de las
proposiciones simples.
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SMBOLO NOMBRE LENGUAJE COMN
~ Negacin no, no es cierto que
no es el caso que
Conjuncin y, pero, sin embargo,
adems, aunque.
Disyuncin
inclusiva o
Disyuncin
exclusiva o, o... o...
Condicional
si... entonces...
si... dado que...
... siempre que...
Bicondiciona
l s y solo s
ESQUEMAS MOLECULARES
Es una frmula lgica que
resulta de la combinacin de las variables proposicionales,
constantes lgicas y signos de agrupacin; siempre y cuando
sea una frmula bien formada.
Ejemplo: (p q) (p ~q)
Un esquema molecular
posee un correspondiente
valor de verdad.
El nmero de resultados en
general proviene de las
combinaciones de los
valores de verdad de cada
variable proposicional, a
travs de una tabla de
verdad, si estas fuesen n
existen 2n combinaciones,
donde 2 es una constante.
Ejemplo:
Para 1 proposicin
21= 2 valores
P
V
F
Para 2 proposiciones.
22= 4 valores
p q
V V
V F
F V
F F
Para 3 proposiciones.
23= 8 valores
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
FORMALIZACIN DE
PRPOSICIONES
Toda proposicin compuesta o todo argumento ya sea natural
o cientfico se puede formalizar, para ello hay que distinguir las
proposiciones simples que la forman y los trminos de enlace
que las une; a las proposiciones simples se las remplaza por una
letra y al trmino de enlace llamado conector lgico con un
smbolo convencional.
Ejemplo: El sol es una estrella y la tierra
es un planeta
Formalizacin: p q
1. CONJUNCIN Une dos proposiciones mediante
el trmino y
Ejemplo:
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Juan es estudiante y juega ftbol p: Juan es estudiante
q: Juan juega ftbol
En smbolos p q
La Conjuncin es verdadera solo
cuando ambas proposiciones son verdaderas
p q p q V V V
V F F
F V F
F F F
Otras formas gramaticales a la conjuncin sern:
y
no slo p tambin q p del mismo modo q p pero aunque q p as como q p al igual que q Sin p tampoco puede haber q
2. DISYUNCIN INCLUSIVA ()
Une dos proposiciones mediante
el trmino o Ejemplo: Juan ir al cine o al estadio
p: Juan ir al cine
q: Juan ir al estadio
En smbolos p q
La Disyuncin Inclusiva es falsa nicamente cuando
ambos componentes son
falsos siendo verdadera cuando al menos uno de las
componentes es verdadero.
p q p q V V V
V F V
F V V
F F F
Otras formas gramaticales a la disyuncin inclusiva sern:
o
p a menos que q p salvo que q p excepto q p o de lo contrario q p o en tal sentido q p y/o q
3. DISYUNCIN EXCLUSIVA ()
Une dos proposiciones mediante
el conector o pero exclusivo. Ejemplo: Einstein era peruano o Judo
P: Einstein era Peruano q: Einstein era Judo
En smbolos p q
La Disyuncin Exclusiva es verdadera
cuando sus componentes tienen diferentes valores de verdad y es
falsa cuando tienen iguales valores de verdad o falsedad.
P q p q V V F
V F V
F V V
F F F
Otras formas gramaticales a la disyuncin exclusiva sern:
oo..
p no equivale a q p no se define como q p es diferente a q Ya bien p ya bien q Ya sea p ya sea q p excluye a q
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4. CONDICIONAL ()
Es la combinacin de dos
proposiciones mediante: si... entonces Ejemplo: Si trabajas tendrs dinero
P: Trabajas q: Tendrs dinero
En smbolos: p q
p q p q V V V
V F F
F V V
F F V
Otras formas gramaticales a la
condicional sern:
5. BICONDICIONAL ()
Es la combinacin de dos
proposiciones con ... si y solo si... Ejemplo:
Sers profesional si y solo si estudias.
P: Sers profesional q: Estudias
En smbolos p q
P q p q V V V
V F F
F V F
F F V
La bicondicional es verdadera cuando ambos componentes
tienen igual valor de verdad y es falso cuando sus componentes
son de diferentes valores.
6. NEGACIN (~)
Cambia el valor de verdad de la proposicin
Ejemplo: No es cierto que Juan sea
ingeniero y mdico
P: Juan es Ingeniero q: Juan es mdico
En smbolos ~(p q)
p ~p
V F
F V
SIMBOLOS AUXILIARES
Son los que se utiliza para separar las propiedades
moleculares de acuerdo a la jerarqua que le da el sentido
lgico.
1. PARNTESIS ( ) Para
separar proposiciones bsicas
(p q) ~q
2. CORCHETE [ ]: Para
separar formas lgicas
menores
La condicional es falsa cuando
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los
dems casos es verdadero.
entonces
Siempre por consiguiente Con tal de que..os obvio Cuando as pues. Cada vez que.. en
consecuencia Con que en este caso.. Dado que.. Segn lo cual
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Ejemplo:
De acuerdo a tu entendimiento construye
molecularmente la siguiente proposicin
compuesta.
Es falso que Pedro no hizo los ejercicios de matemtica entonces no aprobar el rea de
matemtica, adems estudiar ingeniera Sea:
p:
q: .
r:...
Luego el esquema molecular es:
-------------------------------------------------------
[(p r) q] [(p ~q) (p q)]
3. LLAVES { }: Para separar formas lgicas mayores.
~{(q t) [q (p t)]}
EVALUACIN DE ESQUEMAS MOLECULARES
Consiste en obtener el valor o los valores del conjunto lgico de mayor jerarqua a partir de los valores veritativos de cada una de las variables proposicionales
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema:
(p~q) (q p)
p q (p ~q) (q p)
V
V
F
F
V
F
V
F
TAUTOLIGA CONTRADICCIN Y CONTINGENCIA
1. TAUTOLOGA
Cuando todos los valores del
operador principal son
verdaderos.
p q [( ~p q) ~q] ~q
V V V F F V F F
2. CONTRADICCIN
Cuando los valores de su operador principal son todos
falsos.
p q [(p q) q] ~q
V V V F
F V F F
3. CONTINGENCIA
Cuando los valores de su operador tiene por lo menos una
verdad y una falsedad.
p q (p q) (p q)
V V V F
F V F F
EQUIVALENCIA LGICA
Es aquella bicondicional que resulta ser una tautologa y se denota: p q
Compruebe si el siguiente esquema molecular es una equivalencia lgica:
MATRZ PRINCIPAL
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(p ~ q) ~ (~ p q)
PROPOSICIONES LGICAMENTE QUIVALENTES
Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes: p q
Ejemplo:
Comprobar si las proposiciones moleculares son equivalentes.
A: (p q)
B: ~q~p
LEYES DEL ALGEBRA PORPOSICIONAL
Son equivalencias lgicas que nos permite simplificar un problema y expresarlo en forma ms sencilla, las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
FUNCIN PROPOSICIONAL
Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable, las funciones proposicionales se pueden representar por P(x),
Q(x); R(x), etc. Donde x sera la variable.
Ejemplo:
P(x): x-2>18
Q(x): x2 + 4 =16
R(x): x, es u nmero primo.
Complete!
Trabaja en tu cuaderno:
Dar diferentes valores a x y luego diga cul es su valor de verdad de cada una de las funciones proposicionales.
CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Si a una funcin proposicional le anteponemos la expresin PARA TODO x estaremos indicando el sentido universal de dicha funcin proposicional obteniendo ahora una proposicin lgica.
[ ]
Se lee: Para todo x, tal que, se verifica P(x)
Ejemplo:
Si tenemos una funcin proposicional.
Ahora le agregamos el cuantificador universal
; remplazando:
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(Proposicin lgica)
Complete!
Trabaja en tu cuaderno:
Analiza el valor veritativo de la proposicin lgica anterior.
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Si a una funcin proposicional le anteponemos la expresin EXISTE UN x TAL QUE estaremos indicando el sentido existencial (que existe) de dicha funcin.
x:P(x) x/P(x) (x)[P(x)]
Se lee: existe un x tal que, se verifica P(x)
Ejemplo:
P(x): x-3>10
(Funcin proposicional)
Ahora le agregamos el cuantificador existencial.
; remplazando:
(Proposicin lgica)
Para verificar si es una proposicin lgica nos damos cuenta cuando x =15, se cumple la desigualdad, hemos encontrado por lo menos un x que verifica a P(x), por lo tanto, es una proposicin lgica, cuyo valor es verdadero.
NEGACIN DE PROPOSICIONES CUANTIFICADOS
Sean Las proposiciones cuantificadas:
Su negacin se denota:
[ ]
[ ]
Ejemplo:
1.
Como la proposicin es falsa su negacin es verdadera.
[ ]
CIRCUITOS LGICOS
Son arreglos de interruptores conocidos como compuertas lgicas, donde cada compuerta lgica tiene su tabla de verdad.
El valor de verdad de una proposicin pueda asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. As una proposicin es verdadera si el interruptor est cerrado (V o 1) y la corriente pasar. Si la proposicin es falsa el interruptor estar abierto y la corriente no pasar (F o 0).
A los conmutadores de un circuito se les designa con las letras: p, q, r, s,
Los circuitos pueden ser:
Circuitos en serie
Se dice que dos conmutadores estn conectados en serie, si est dispuesto uno a continuacin de otro. Un circuito con dos conmutadores p y q conectados en serie se relaciona
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con la proposicin conjuncin p q.
Circuitos en paralelo
Se, dice que dos conmutadores estn conectados en paralelo, si estn dispuestos de tal manera que basta uno est cerrado para que la corriente circule. Un circuito con dos conmutadores p y q conectados en paralelo se relaciona con la proposicin con-juncin "p v q".
Circuitos Mixtos
Es la combinacin de circuitos en serie y paralelo.
TALLER GUIADA
1. Cules de las siguientes
proposiciones compuestas son tautolgicas? I. (p ~q) (~p q)
II. (q ~p) (p ~q)
III. (~q p) (q ~ p)
2. De las siguientes
proposiciones I. (p q) (p ~q)
II. (p q) (~p q)
III. [(p ~q) q] ~p
IV. [(p q) q)] [(q p) q]
Son contingencias:
3. Si r s es falso y rs
es falso. Hallar el valor de
verdad r y s,
respectivamente.
4. Si w t es verdadero y
v t es falso, hallar el
valor de verdad de t, v y
w, respectivamente.
5. Si la proposicin
compuesta:
(p ~q) (r ~s)
Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.
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APLICO LO APRENDIDO 1. Si la proposicin:
(~p ~r) (r q)
Es falsa y las
proposiciones s y t tienen
valor de verdad
desconocido. Cul de las
siguientes proposiciones
son verdaderas?
I. (p s) q
II. (s t) r
III. (t q) p
A) Solo II B) Solo III
C) I y II D) II y III
E) Ninguna
2. Si la proposicin
compuesta:
(q s) (s t)
Es verdadera. Cules de
las siguientes
afirmaciones son
correctas?
I. q t es verdadera.
II. s t puede ser
verdadera o falsa.
III. q es falsa
A) Solo I B) I y II
C) II y III D) I y II
E) Ninguna
3. La proposicin compuesta:
(p q) (q r)
Es falsa, luego:
I. p q no es falsa
II. q r no es verdadera
III. q q es falsa
Son ciertas:
A) Solo I B) Solo II
C) I y II D) I y III
E) Todas
4. Sabiendo que la proposicin r
es verdadera. En cul de los
siguientes casos es suficiente
dicha informacin para
determinar el valor de verdad
de las proposiciones?
I. ~r (p q)
II. (p r) q
III. r (~q ~p)
A) Solo I B) Solo III
C) I y II D) I y III
E) Todas
5. Si la proposicin
compuesta:
~(s r) ~(r t)
Es falsa Cules de las
siguientes proposiciones
son falsas?
I. (s p) (r q)
II. (q s) (p t)
III. (r s) [(r p) (s t)]
A) Solo I B) Solo II
C) II y III D) Todas
E) Ninguna
6. Sabiendo que la
proposicin r es
verdadera En cul de los
siguientes casos es
suficiente dicha
informacin para
determinar el valor de
verdad de las
proposiciones?
I. ~r (p q)
II. (p r) q
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III. (p r) (r q)
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I y II
E) II y III
7. Si p es verdadera En cul
de los siguientes casos es
suficiente dicha informacin
para determinar el valor de
verdad de las proposiciones?
I. (~p r) [(r s) t]
II. (p r) [p (q s)]
III. [~p (q r)] [s (r t)]
A) Solo I B) Solo III
C) II y III D) I y III
E) Ninguna
8. Para determinar el valor de
verdad de la proposicin:
(p q) (r s)
Es suficiente para saber que:
A) r es falsa
B) s es verdadera
C) r s es falsa
D) q r es verdadera
p q es verdadera
9. Sabiendo que la proposicin p es falsa En cules de los siguientes casos es
suficiente dicha informacin para
determinar el valor de verdad de las
proposiciones? I. [(p q) r] [(q r) p]
II. (p ~p) (p p)
III. (p q) (r p)
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II
E) II y III
10. Si: {~[(p ~s) ~(r * s)] (p r)}
Es falsa, entonces r * s puede
ser:
I. r s II. r s
III. r s
IV. r s
A) I y II B) III y IV
C) II y IV D) I, I, y IV E) I, III y IV
11. Dada las proposiciones: p: Mercedes es cantante
q: Mercedes es una buena estudiante
r: Mercedes es obstetra Simboliza:
Si no sea el caso que Mercedes es una cantante y
un buen estudiante entonces es obstetra o no es
cantante
12. Si la siguiente proposicin:
(p q) v ( r s) es falsa, hallar el valor de verdad de
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los siguientes esquemas moleculares.
13. Dada la siguiente
proposicin:
(p q) ? (p q)
Qu conectivo lgico debe ir
en lugar de la interrogacin
para que la proposicin sea
una tautologa.
(a) (b) (c)
(d) (e)
14. Dado las siguiente frmulas:
Cules son lgicamente
equivalentes?
15. Simplificar el circuito.
16. Cul de las siguientes
proposiciones es falsa si:
17. Hallar el esquema molecular
equivalente al circuito
18. A = {1;2;3;4;5}; luego el
conjunto de validez de las
siguientes funciones lgicas
es respectivamente:
19. Seale cul de las siguientes proposiciones no
es la negacin de la proposicin; si x e y son
elementos del conjunto: