Una proposición es una unidad semántica

que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.

Una proposición es una unidad semántica

que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.

Oraciones que son proposiciones.

Oraciones que no son proposiciones.

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.

Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podría utilizar cualquiera de ellas, pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario.

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores

de verdad que podría tomar una proposición.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones

y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

NEGACION

Si se tiene la proposición:

a: Tengo un billete de cinco dólares.

La negación de a es:

¬a: No tengo un billete de cinco dólares.

Si se tiene la proposición:

a: Tengo una bicicleta

La negación de a es:

¬a: No tengo una bicicleta.

Si se tiene la proposición:

a: Tengo un amor

La negación de a es:

¬a: No tengo un amor

Conjunción

Si se tienen las proposiciones:

a: Obtengo buenas notas.

b: Gano una beca.

La conjunción entre

a y b es:

A b: Obtengo buenas notas y gano una beca.

Si se tienen las proposiciones:

a: Me gusta esa chica.

b: Gano su amor.

La conjunción entre

a y b es:

A b: Me gusta esa chica y gano su amor.

Disyunción

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo un libro de Trigonometría.

b: Tengo un libro de Álgebra.

La disyunción entre

a y b es:

A b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra.

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo 50 centavos.

b: Tengo un dolar.

La disyunión entre

a y b es:

A b: Tengo 50 centavos o tengo un dolar

Disyunción exclusiva

Si se tienen las proposiciones:

a: Estoy en Quito.

b: Estoy en Guayaquil.

La disyunción exclusiva entre

a y b es:

A b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

Si se tienen las proposiciones:

a: Estoy en clase de matemáticas.

b: Estoy en clase de física.

La disyunción exclusiva entre

a y b es:

A b: O estoy en clase de matemáticas o en clase de física.

Condicional

Variaciones de la condicional

Bicondicional

Dadas las proposiciones:

a: Un triángulo es equilátero.

b: Un triángulo es equiángulo.

La bicondicional entre a y b es:

A ‹—› b: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo.

Dadas las proposiciones:

a: Un celular es táctil.

b: Un celular es Smartphone

La bicondicional entre a y b es:

A ‹—› b: Un es táctil si y sólo si es Smartphone.

Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico

alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras

proposiciones y operadores lógicos.

Traducción al lenguaje simbólico.

Tabla de verdad de una forma

proposicional

Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad

1, 0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición

resultante es verdadera.

Tautología, Contradicción, Contingencia

De la proposición (pq)[(~p)(~q)] hallar su tautología

Dada la proposición hallar su

valor de contradicción.

De la proposición hallar su

contingencia.

Propiedades de los operadores lógicos

Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y

algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las

denominadas Leyes del Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas. A

continuación se presentan las de uso más frecuente:

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por

la conjunción de proposiciones denominadas premisas o

hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una

proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis

corresponden al antecedente de la implicación,mientras que la

conclusión es su consecuente.

Validez de un razonamiento:Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que

represente estructura lógica es una tautología. Si dicha forma

proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el

razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

En matemáticas, a menudo nos ocupamos de la demostración lógica deciertas afirmaciones. Cualquier sistema lógico debe empezar con algunos términos fundamentales, definiciones, y axiomas o postulados. A partir deello, se pueden deducir por razonamientos válidos otras afirmaciones. Parallegar a demostrar algo, es necesario justificar cada paso de la demostraciónde manera lógica.

Demostraciones Directas También denominadas “marcha adelante”. Si queremos

demostrar que pq, examinamos los elementos que aparecen en p; y, con la atención puesta en q, intentamos deducir q a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en p y termine en q.

Observemos que hemos utilizado repetidamente la regla de

inferencia 1

Demostraciones por contraejemplo El dar un ejemplo o mil, que ilustren una proposición, no

demuestra que ésta sea verdadera. Sin embargo, sí podemos demostrar el hecho de que la proposición sea falsa, aportando por lo menos un ejemplo que lo confirme. Dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo.

El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición no es verdadera.