Lobos y conejos.
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Tercera Jornada localde Enseñanza de las Ciencias Naturales
27 de octubre de 2007
Instituto MurialdoVilla Bosch, Buenos Aires, Argentina
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Equilibrio de poblaciones(conejos, lobos y
cuentas)
Agustín Rela – Capacyt – 27 de octubre de 2007
Un tratamiento matemático sencillopropuesto por Alfred J. Lotka y Vito Volterra
en 1925 y 1926.
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La lucha por la vida hiere nuestra sensibilidad. A la cultura dominante le incomoda el hecho y lo oculta, o lo disfraza desde la más temprana
educación.
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Se nos enseña que habría animalesbuenos y animales malvados.
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Tambor, el amigo del cervatillo Bambi
Las presas se muestran a menudo como personajes bondadosos
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Rogger Rabbity su novia, la humana Jessica, de Gary K. Wolf, 1981...
...el Correcaminos de Chuck Jones, 1976...
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Zeque, el Lobo Feroz, de Walt Disney, 1933.
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Piolín y Silvestre (Tweety & Silvester), de Friz Freleng, 1947.
(Naturalmente, en esa ficción el gato nunca se come al pájaro.)
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Una reciente excepción: En El Rey León, de 1994, hay leones buenos. Pero las hienas son malvadas.
Jerónimo Rivera ve en esa historia una alegoría de la sociedad estadounidense, con sus aliados,
enemigos, y vecinos marginales y menesterosas.
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Casi siempre simpatizamos con la presa, más que con el predador.
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El resultado opuesto, el real, nos parece triste...
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...aunque lo aceptemos como natural, inevitable, y hasta
necesario, tanto para los lobos, como para los humanos.
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Lo que llamamos equilibrio ecológico o estabilidad de las
poblaciones, está lejos de la idea bucólica en la que fuimos criados.
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bucólico, ca.(Del lat. bucolĭcus, y este del gr. βουκολικoς, de βουκoλος, boyero).
1. adj. Dicho de un género de poesía o de una composición poética, por lo común dialogada: Que trata de cosas concernientes a los pastores o a la vida campestre.
2. adj. Perteneciente o relativo a este género de poesía.
3. adj. Dicho de un poeta: Que cultiva el género bucólico. U. t. c. s.
4. adj. Que evoca de modo idealizado el campo o la vida en el campo.
5. f. Composición poética del género bucólico.
Real Academia Española © Todos los derechos reservados
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El término ecología (Ökologie) fue introducido en 1866 por el biólogo y filósofo prusiano Ernst Haeckel, en su trabajo Morfología General del Organismo.
La palabra, de raíces griegas, significa estudio de las viviendas; y en sentido especial, el del hábitat.
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ecología.(De eco-1 y -logía).
1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno.
Real Academia Española (Edición 19, de 1979)
![Page 20: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/20.jpg)
ecología.(De eco-1 y -logía).
1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno.
2. f. Parte de la sociología que estudia la relación entre los grupos humanos y su ambiente, tanto físico como social.3. f. Defensa y protección de la naturaleza y del medio ambiente. La juventud está preocupada por la ecología.
Real Academia Española (Edición 22, de 2001)
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Vito Volterra(1860-1940) Físico matemático italiano, n. en Ancona y m. en Roma. Catedrático de la Universidad de Roma desde 1900, senador y presidente de la Accademia dei Lincei, durante la I Guerra Mundial se alistó en el cuerpo de Ingenieros, donde se interesó por la artillería aire-tierra, asegurándose haber sido el primero que disparó desde una aeronave. Su oposición al fascismo y el pretexto de su origen judío le supusieron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas, si bien en 1936 el Papa Pío XI lo recibió en la Pontificia Academia de Ciencias. Exiliado a...
![Page 22: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/22.jpg)
...Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solu-ción de ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre, y en 1926, sobre un problema de poblaciones de peces, diseñó la ecuación logística que serviría de base a Alfred J. Lotka (1880-1949) para desarrollar la ley de crecimiento de dos poblaciones competitivas (por ejemplo, depredadores y presas), expresada como sistema de doble ecuación diferencial (ecuaciones de Lotka-Volterra). Sus Opere matemati-che (Roma, 1954–62) se publicaron en cinco tomos.
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Alfred James Lotka(Lemberg, 1880-Nueva York, 1949) Matemático estadounidense. Especializado en estadística, se le considera el fundador de la demografía matemática. Estudió la evolución de las poblaciones y definió los conceptos de población estable, población estacionaria y tasa de crecimiento natural. Su obra más importante se titula Teoría analítica de las asociaciones biológicas.
http://www.biografiasyvidas.com
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Hipótesis simplificadas
• Los conejos disponen de alimento ilimitado.
• Los conejos siempre mueren comidos, y jamás llegan a viejos.
• Los lobos carecen de predadores y sólo mueren de hambre o de viejos.
• Los lobos sólo disponen de conejos como alimento
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Vienen las ecuaciones
¡Prepararse..!
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¡Aaaghh..!
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dx
)( xydt
dy
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Cantidad de conejos
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dx
)( xydt
dy
Variación de la cantidad de conejos en un cierto tiempo
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)( yxdt
dx
)( xydt
dy
Tiempo en el que ocurre esa variación
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dx
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dy
Cantidad de lobos
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dx
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dy
Variación de la cantidad de lobos en
el mismo tiempo
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dx
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dy
El mismo tiempo, en el que ocurre esa
otra variación
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dx
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dy
Tasa de natalidad de los conejos
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dx
)( xydt
dy
Probabilidad de que lo capturen
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dx
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dy
Tasa de natalidad de los lobos, mayor
cuando están bien alimentados
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dx
)( xydt
dy
Tasa de mortalidad de los lobos, por
vejez
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Procedimiento de cálculocon lápiz y papel
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• Elegimos las cantidades iniciales de conejos y lobos, por ejemplo x = 3000; y = 1000.
• Elegimos un lapso, p.ej. dt = 1 mes.
• Elegimos las dos tasas de natalidad, p.ej. = 0,5 nacimiento por conejo y por mes. = 0,0002 nacimientos por lobo y por mes.
• Elegimos las tasas de captura y de mortalidad, p.ej. = 0,0002 capturas por mes, por lobo y por conejo. = 0,5 muertes por mes y por lobo.
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x = 3000
y = 1000
dt = 1
= 0,5
= 0,0002
= 0,5
= 0,0002
![Page 41: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/41.jpg)
• Usamos la primera ecuación
dx/dt = x(–y)
dx/1 = 3000 (0,5 –0,00021000)
dx = 3000 (0,3)
dx = 900
Entre nacimientos y muertes, hay 900 conejos más. Había 3000; ahora hay 3900.
![Page 42: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/42.jpg)
• Usamos la segunda ecuación
dy/dt = –y( –x)
dy/1 = –1000 (0,5–0,00023900)
dy = –1000 (–0,28)
dy = 280
Entre nacimientos y muertes, hay 280 lobos más. Había 1000; ahora hay 1280.
![Page 43: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/43.jpg)
• Volvemos a usar la primera ecuación, con las nuevas cantidades de lobos y
conejos:
x = 3900
y = 1280
Resulta una nueva cantidad de conejos:
x = 4852 (redondeamos a un valor entero)
![Page 44: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/44.jpg)
• Volvemos a usar la segunda ecuación con la nueva cantidad de conejos y la que
teníamos de lobos:
x = 4852
y = 1280
Resulta una nueva cantidad de lobos:
y = 1882 (redondeamos a un valor entero)
![Page 45: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/45.jpg)
Y así sucesivamente.
![Page 46: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/46.jpg)
Gráficamente
Lobos
2000 4000 6000
2000
4000
0
Condición inicial
Conejos
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Según los parámetros elegidos (alfa, beta, gamma y delta) puede ocurrir, como en este caso, que las poblaciones oscilen, pero que sin embargo se mantengan entre límites estables.
Con otros parámetros, las poblaciones languidecen, o al contrario una explota y causa la extinción de la otra, o de ella misma.
Y hay parámetros que determinan cierta clase de equilibrio de apariencia caótica entre las poblaciones.
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Procedimiento de cálculocon computadora
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Con planilla de cálculo
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100 SCREEN 9:KEY OFF:CLS:I=1120 A=.5130 B=.0002140 C=.5150 D=.0002160 X=3000:Y=1000:WINDOW(0,0)-(X*2,Y*6)165 REM i=i+1:LOCATE I,1: PRINT I;TAB(5); INT(X); INT(Y):IF I>20 THEN STOP180 X=X+A*X-B*X*Y : X=INT(X+.5)200 Y=Y-C*Y+D*X*Y : Y=INT(Y+.5)210 CIRCLE(X,Y),25:I=I+1:FOR PT=1 TO 1000000!:NEXT PT220 GOTO 165:REM AR 2007.Oct.15:save"amano3.bas",a
Con el vetusto y precámbrico GW Basic que usaba en mi juventud; disculpen. Se
resaltan las instrucciones principales.
PT significa perder tiempo.
![Page 51: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/51.jpg)
Nuestro ejemplo, calculado en Basic.
![Page 52: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/52.jpg)
Con diferentes parámetros alfa, beta, gamma y delta, y diferentes poblaciones iniciales.
![Page 53: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/53.jpg)
Curioso caso, que resulta de determinadas condiciones iniciales.
![Page 54: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/54.jpg)
Lo mismo, con el agregado de colores.
![Page 55: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/55.jpg)
Ciertos parámetros dan lugar a comportamientos extraños de las poblaciones. Parecen estables...
![Page 56: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/56.jpg)
...pero después de miles de generaciones, y sin que nadie intervenga...
![Page 57: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/57.jpg)
...estalla una catástrofe poblacional, consecuencia de las reglas establecidas.
(Desborde en la instrucción 50 significa que la cantidad de animales es gigantesca.)
![Page 58: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/58.jpg)
Esto ha sido sólo una simplificación de una teoría de la que no se sabe hasta qué punto es
verdadera.
![Page 59: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/59.jpg)
Nuestras ideas actuales de la naturaleza quizá sean muy distantes de la verdad.
(Visión artística de Quino)
![Page 60: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/61.jpg)
Sin embargo, el modelo presentado, aun dentro de su simplicidad, da cuenta de hechos que se observan realmente en la naturaleza, y sirve de base para planear la explotación y conservación de recursos.
Por ejemplo, en qué momento conviene cazar, pescar, faenar la hacienda y cosechar, y cuándo es más favorable dejar que las poblaciones de organismos se recuperen.
![Page 62: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/63.jpg)
Versión del 19.Oct.2007 - 19:02H
Fin
Corregida el 9.Abr.2008 - 17:25H
![Page 64: Lobos y conejos.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061418/55874ec7d8b42a9f468b4622/html5/thumbnails/64.jpg)
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