Linijsko kodovanje

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 81

5 LINIJSKO KODOVANJE

5.1 UVOD

5.1.1 Linijsko kodovanje

Osnovni zadaci linijskog kodovanja su:

⋅ oblikovanje spektra digitalnog signala,

⋅ ograničavanje pojave velikog broja uzastopnih nula.

Linijsko kodovanje unosi redundansu i pri tome je u kodovanom signalu moguće:

a) zadržati binarnu prirodu signala, a povećati digitalni protok;

b) povećati broj nivoa signala (M > 2), a zadržati istu brzinu signaliziranja;

c) povećati broj nivoa signala i sniziti brzinu signaliziranja.

Pseudoternarni (PT) kodovi imaju tri nivoa (-1,0,1). Ako su nastali linearnom transformacijom binarnog niza { }na , ( )}1,0{∈na , primenom relacije:

{ },1,0,1,2

11

0∑

+

=− −∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

K

knknkn bab μ

(5.1)

nazivaju se linearnim PT kodovima. Koeficijenti μk mogu imati samo celobrojne vrednosti.

Unipolarni linearni PT kod je:

10 =μ , 11 =+Kμ , i Kkk ...,,2,1,0 ==μ (5.2)

.1)1( −+= +− Knnn aab (5.3)

Za K = 0 to je poznati duobinarni kod.

Polarni linearni PT kod je:

10 =μ , 11 −=+Kμ , i Kkk ,...,2,1,0 ==μ (5.4)

.)1( +−−= Knnn aab (5.5)

Za K = 0 ovaj kod poznat je pod imenom dikod, a za K = 1 dobija se tzv. modifikovani duobinarni kod.

Ove linearne transformacije realizuju se linearnim kolima koja su okarakterisana kvadratom modula funkcije prenosa u obliku:

⎩⎨⎧

++

=kod. polarni )1(sin4

kod, unipolarni )1(cos4)(

2

22

fTK

fTKfH

ππ

(5.6)

Ako je spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala pre kodovanja bila S f( ) , tada će linearni linijski kodovani signal imati SGSS oblika:

.)()()(2

fHfSfSL ⋅= (5.7)

Prekodovani linearni PT kodovi eliminišu nedostatke PT kodova, koji se odnose na prostiranje greške do koje dolazi u toku prenosa i obrtanju polariteta originalnog niza.


Prekodovani dikod je tzv. bipolarni kod (AMI – Alternate Mark Inversion), koji se realizuje prethodnim diferencijalnim kodovanjem:

c a cn n n= ⊕ −1 . (5.8)

Nedostatak linearnih PT kodova, moguća pojava dugog niza nula u kodovanom signalu, prevazilazi se primenom nelinearnih PT kodova, od kojih su najpoznatiji PST i modifikovani alternativno bipolarni kodovi.

Kod PST koda par ili skup od tri binarna simbola zamenjuje se parom ternarnih simbola (2B-2T; 3B-2T). Najčešće korišćeni modifikovani bipolarni kodovi su B6ZS i HDBn (HDB3) kodovi.


5.2 ZADACI

5.2.1 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.1.1), koduje se binarni signal

∑∞

−∞=

−=n

n nTtatx )()( δ .

Slika 5.2.1.1 Dikod (Diferencirajući kod)

Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T.

a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika )( fG i impulsni odziv g(t).

b) Odrediti sve moguće vrednosti )(nTy . Odrediti strukturu dekodera koji na osnovu vrednosti )}({ nTy daje originalni niz { }an . Na primeru niza

}110110100010{}{ =na prikazati kodovane sekvence.

c) Odrediti niz { $ }an na izlazu dekodera na primeru niza iz predhodne tačke, ako u toku prenosa dođe do greške u prijemu 6-tog simbola. Pod istom pretpostavkom analizirati prenos korišćenjem kodera na slici (Slika 5.2.1.2).

Slika 5.2.1.2 AMI koder (prekodovani dikod)

Rešenje:

a) Prenosna karakteristika predajnika je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤⋅=⋅−=

−

−

.2

1||0

,2

1||)sin(2

)()1()( 2

Tf

TfefTjT

fHefG

fTj

fTj

πππ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1|||)sin(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

Impulsni odziv predajnika je:

}.1,0{

,2

1||0

,2

1||

)(

∈

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

naT

f

TfT

fH


.)(

)(sinsin)()()())()(()(

TtT

TtT

tT

tT

TthththTtttg−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−=∗−−= π

π

π

π

δδ

Slika 5.2.1.3 prikazuje prenosna karakteristiku i impulsni odziv dikoda.

Slika 5.2.1.3 Prenosna karakteristika i impulsni odziv dikoda

b) Odziv linearnog sistema na linearnu kombinaciju δ -delta impulsa je:

∑∞

−∞=−=

nn nTtgaty )()( ,

i u trenutku odlučivanja je

[ ]∑∞

−∞=−=

nn TnkgakTy )()( .

Impulsni odziv dikoda je takav da je:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

=−=−

drugde.

,1

,

,0

,1

,1

)( kn

kn

Tnkg

1)( −−= nn aanTy i }1,0,1{)( −∈nTy .

an an−1 y nT( )

0 0 0

0 1 -1

1 0 1

1 1 0

Tabela 5.2.1.1 Vrednosti odmeraka kodovanog signala

Dakle, interferencija postoji samo od simbola koji prethodi - kontrolisana je i može se na prijemu eliminisati tako što će odlučivač uraditi inverznu operaciju sa prethodno primljenim simbolom:

1ˆ)(ˆˆ −+= nn anTya .

Dekoder je prikazan na slici (Slika 5.2.1.4).


Slika 5.2.1.4

Tabela 5.2.1.2 prikazuje kodovanje i dekodovanje informacione sekvence (bez grešaka u prenosu).

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{an-1} 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

{bn} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

{y(nT)} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

}ˆ{ 1n-a 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

}ˆ{ na 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.1.2 Kodovanje i dekodovanje dikoda

Pretpostavljene vrednosti su podvučene.

Dekodovani niz simbola jednak je originalnoj poruci, }{}ˆ{ nn a=a . Problem je što kada

nastane greška u prenosu, )()(ˆ nTynTy ≠ , ona će zbog povratne veze u odlučivanju prouzrokovati prostiranje greške.

Pomoću dikoda se eliminiše jednosmerna komponenta u spektru digitalnog signala. Impulsi u digitalnom signalu će naizmenično biti kodovani pozitivnim, odnosno negativnim nivoom, što će u relativno kratkom vremenskom intervalu eliminisati jednosmernu komponentu. To se jasno vidi i u prenosnoj karakteristici linijskog kodera (Slika 5.2.1.3), koja potiskuje jednosmernu komponentu (učestanosti oko 0 Hz).

c) Tabela 5.2.1.3 prikazuje kodovanje i dekodovanje dikoda sa greškom prenosu koja je nastala na šestom simbolu. Masnim brojevima je označen pogrešno dekodovani deo poruke.

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{an-1} 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

{bn} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

{y(nT)} 0 1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 1 0

)}(ˆ{ nTy 0 1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 1 0

}ˆ{ 1n-a 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ? ? ?

}ˆ{ na 0 1 1 0 1 1 1 1 2 ? ? ?

Tabela 5.2.1.3 Dekodovanje dikoda sa greškom u prenosu šestog simbola


Problem prostiranja greške kod linearnih linijskih kodova rešava se prekodovanjem originalne poruke, što se u slučaju dikoda i duobinarnog koda svodi na diferencijalno kodovanje.

Ako u linearnom sistemu formalno zamenimo redosled linijskog kodera i njegovog dekodera, novi, tzv. prekodovani linearni linijski koder imaće strukturu kao na slici (Slika 5.2.1.2). Ovo je tzv. AMI (Alternate Mark Inversion) kod.

Treba uočiti da operacija prekodovanja za razliku od starog dekodera ima sabirač po modulu 2. Novi dekoder, ))((2modˆ nTyan = biće bez memorije (bez povratne veze) i

neće doći do prostiranja greške.

Na primer:

{an} 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

{cn-1} 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1

{cn} 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0

{bn} 0 1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 -1

{y(kT)} 0 1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 1 -1

)}(ˆ{ kTy 0 1 -1 0 1 1 0 0 -1 0 1 -1

}ˆ{ ka 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.1.4 Kodovanje i dekodovanje AMI koda sa greškom u prenosu šestog simbola

U slučaju AMI (Alternate Mark Inversion) koda (prekodovanog dikoda) nema prostiranja greške.

5.2.2 Na slici (Slika 5.2.2.1) je dat linijski koder kojim se koduje binarni signal

∑∞

−∞=−=

nn nTtatx )()( δ , sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima

},{ ddan −∈ .

Slika 5.2.2.1 Duobinarni kod

Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T.


b) Odrediti SGSS digitalnog signala na izlazu linijskog kodera. Koliki je propusni opseg potreban za prenos ovog signala?

c) Odrediti vrednosti signala )(ty u trenucima odabiranja kT. Odrediti strukturu dekodera.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||,0

,2

1||,

)(

Tf

TfT

fH


d) Na primeru poruke }10110010001010{}{ =ni koju generiše izvor prikazati

dekodovane nizove kada je greška nastala pri prenosu šestog simbola originalnog niza.

e) Ponoviti zadatak pod d) ako je prethodno izvršeno diferencijalno kodovanje.

Rešenje:

a) Slično kao u prethodnom zadatku, lako se dobija:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤⋅=⋅+=

−

−

.2

1||0

,2

1||)cos(2

)()1()( 2

Tf

TfefTT

jfHefG

Tfj

fTj

ππ

π

Amplitudska karakteristika i impulsni odziv predajnika su

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

,2

1||0

,2

1|||)cos(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

.1

sin

)(

)(sinsin)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

T

tt

T

tT

TtT

TtT

tT

tT

tgπ

π

π

π

π

π

Slika 5.2.2.2 prikazuje prenosnu karakteristika i impulsni odziv predajnika. Ovde treba spomenuti da se duobinarno kodovanje umesto digitalnim koderom može realizovati analognim kolima koja će uobličiti spektar tako da izgleda kao na slici (Slika 5.2.2.2). Ovakav impulsni odziv je daleko lakše aproksimarati i realizovati nego impulsni odziv minimalnog spektra kao što je )( fH . Naravno, mana (uslovno rečeno) ovakvog pristupa je to što sada postoji intersimbolska interferencija, ali ona je kontrolisana i može se lako eliminisati.

Slika 5.2.2.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv duobinarnog koda

b) Srednja vrednost i varijansa informacionog sadržaja digitalnog signala x t( ) su:

,)(2

1

2

1,0)(

2

1

2

1 22222 dddadda a =−+===−+= σ

pa je SGSS data sa T

d

TfS a

x

22

)( ==σ

.

SGSS linijski kodovanog signala je na osnovu izraza (3.19) data kao:


⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=⋅=

.2

1||0

,2

1||)(cos4

|)(|)()(

22

2

Tf

TffTTd

jfGfSfS xy

π

Vidi se da je propusni opseg potreban za prenos TB 21= , tj. isti je kao i za signal sa minimalnim spektrom sa idealno ravnom frekvencijskom karakteristikom.

c) Na izlazu iz predajnika, u trenucima kT interferiraju (na poznat način - kontrolisano) dva simbola:

1))(()( −

∞

−∞=+=−= ∑ kk

nn aaTnkgakTy .

Koder ima FIR (Finite Impulse Response), a dekoder IIR (Infinite Impulse Response) strukturu:

1ˆ)(ˆˆ −−= nn anTya .

Odlučivač je kvantizer sa onoliko nivoa koliki je alfabet (Slika 5.2.2.3). Dekoder uspešno eliminiše uticaje šuma i smetnji ukoliko su oni manji od polovine rastojanja susednih simbola u alfabetu. Međutim, kada dođe do greške, ona se prostire zbog povratne veze u IIR strukturi dekodera.

Slika 5.2.2.3 Duobinarni dekoder

d) Poruka koju generiše izvor je {in}. Odgovarajuća informaciona sekvenca {an} digitalnog signala x t( ) uzima vrednosti iz polarnog alfabeta {-d, d}.

Duobinarno kodovanje daje 1−+= nnn aab .

Kvaziternarni niz koji se prenosi je nbnTy =)( .

Dekodovanje poruke daje 1ˆ)(ˆˆ −−= nn anTya .

{in} 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

{an} d -d -d d -d -d -d d -d d -d d -d d d

{bn} 0 -2d 0 0 -2d -2d 0 0 0 0 0 0 0 2d

{y(nT)} 0 -2d 0 0 -2d -2d 0 0 0 0 0 0 0 2d

)}(ˆ{ nTy 0 -2d 0 0 -2d 0 0 0 0 0 0 0 0 2d

}ˆ{ na d -d -d d -d -d d -d d -d d -d d -d 3d

}ˆ{ ni 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ?

Tabela 5.2.2.1 Duobinarno kodovanje i dekodovanje sa greškom u prenosu šestog simbola


Greška nn aa ≠ˆ prostire se nakon pogrešno primljenog simbola. Pogrešno

dekodovane vrednosti označene su masnim znacima, a pretpostavljene vrednosti su podvučene. Dekodovana vrednost 3d predstavlja indikaciju da je došlo do greške.

e) Ako se pre duobinarnog prenosa izvrši diferencijalno kodovanje originalne poruke (prekodovanje), princip odlučivanja se menja i rad dekodera, ispravljač i komparator, više ne zavisi od prethodnih odluka, pa nema prostiranja greške.

Diferencijalno kodovana poruka je 1−⊕= nnn cic . Njoj je pridružena polarna binarna

informaciona sekvenca {an}.

Ona se dalje duobinarno koduje 1−+= nnn aab .

{in} 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

{cn} 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1

{an} d d d -d -d -d -d d d -d -d d d -d d

{bn} 2d 2d 0 -2d -2d -2d 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

{y(nT)} 2d 2d 0 -2d -2d -2d 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

}ˆ{ (nT)y 2d 2d 0 -2d -2d 0 0 2d 0 -2d 0 2d 0 0

}ˆ{ ni 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

Tabela 5.2.2.2

Dekoder prekodovanog linearnog linijskog kodera radi bez memorije; u ovom slučaju princip odlučivanja može eksplicitno da se opiše kao:

⎩⎨⎧

=±=

=.0)(ˆ1

,2)(ˆ0

nTy

dnTyin

Sada greška, nn ii ≠ˆ , postoji samo na pogrešno prenetom (šestom) simbolu i ne

prostire se dalje.

5.2.3 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.3.1), koduje se binarni signal

∑∞

−∞=−=

nTn nTthatx )()( sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima iz

alfabeta },{ ddan −∈ i spektrom elementarnog impulsa:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤+=

,1

||0

,1

||)cos(1)(

Tf

TffTT

fHT

π

Slika 5.2.3.1 Modifikovani duobinarni kod (1-2D)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1||

)(

Tf

TfT

fH


Linijski koder uobličava spektar, a filtar )( fH ga ograničava na Nikvistov opseg. 2D je kolo za kašnjenje za dva digitska takta.


b) Odrediti SGSS linijski kodovanog digitalnog signala y t( ) .

c) Ako se odabiranje signala )(ty vrši u trenucima kT, odrediti način dekodovanja.

Rešenje:

a) Amplitudska karakteristika predajnika je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

.2

1||0

,2

1|||)2sin(|2

|)(|

Tf

TffTT

fGπ

Impulsni odziv predajnika je:

.)2(

)2(sinsin)(

TtT

TtT

tT

tT

tg−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= π

π

π

π

Slika 5.2.3.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv modifikovanog duobinarnog koda (1-2D)

b) Statistički parametri informacionog sadržaja digitalnog signala na ulazu linijskog

kodera su 0=a i 22 da =σ ,

pa je njegova SGSS:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==.

1||0

,1

||2

cos4|)(|)(

42

22

Tf

Tf

fTTd

fHT

dfS Tx

π

SGSS kodovanog signala biće

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=⋅=

.2

1||0

,2

1||)2(sin)2/(cos16

|)(|)()(

2423

2

Tf

TffTfTdT

fGfSfS xy

ππ

c) Ovaj koder uobličava spektar uz kontrolisanu ISI Signal )(ty može se napisati u obliku:


∑∞

−∞=∗⋅=∗=

nTn tgthatgtxty ))()(()()()( , tako da je njegova vrednost u trenucima

odabiranja data sledećim izrazom:

222)( −−= nn aanTy i }2,0,2{)( −∈nTy .

Dekodovanje je jednostavno, 2ˆ2

)(ˆˆ −+= nn a

nTya , a prostiranje greške rešava se

prekodovanjem.

5.2.4 Kodovati informacionu sekvencu 10000000011000010000 pomoću:

a) AMI koda,

b) HDB3 (High Density Bipolar 3) koda.

Rešenje:

Kodovanje pomoću AMI koda je prikazano u tabeli (Tabela 5.2.4.1). Postupak kodovanja je vrlo jednostavan, jedinice se naizmenično koduju pozitivnim i negativnim impulsima, pri čemu je izbor početne vrednosti proizvoljan (ovde je izabrana pozitivna vrednost). Obično se umesto vrednosti ±1, koristi oznaka B, što je skraćeno od Bipolar.

informaciona sekvenca

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

+1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 AMI kodovana sekvenca B 0 0 0 0 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 B 0 0 0 0

Tabela 5.2.4.1

a) Problem koji postoji kod AMI koda je to što je moguća pojava dugog niza nula, što može dovesti do gubitka sinhronizacije između predajnika i prijemnika. Da bi se ovo sprečilo u praksi se često koriste HDBn kodovi, npr. za linijsko kodovanje PDH (Plesiochronus Digital Hierarchy) i ISDN signala. Pritom je n oznaka nekog prirodnog broja. HDBn kodovi su slični AMI kodu, uz jednu bitnu razliku – ukoliko dođe dođe do pojave sekvence sa 1+n uzastopnom nulom ova sekvenca se zamenjuje sekvencom koja se završava veštački umetnutim impulsom. Umetnuti impuls je istog polariteta kao i prethodna jedinica (prethodni B impuls), što ga na prijemu jasno identifikuje i lako ga je ukloniti, i obično se označava sa V (skraćeno od Violation - povreda alternativne promene znaka). Postoji još jedan dodatni koncept kod HDBn kodova, a to je da se mora obezbediti da uzastopni V impulsi budu suprotnog polariteta, jer se na taj način srednja vrednost digitalnog signala održava na nivou 0. Uzevši u obzir gore navedeno, dolazi se do sledećeg algoritma za HDBn kodovanje:


HDBn kodovanje originalna sekvenca broj B impulsa između

dve zamene neparan broj B impulsa između dve

zamene paran (ili nula)

48476 1

00000+

⋅⋅⋅⋅⋅n

48476 1

V0000+

⋅⋅⋅⋅⋅n

48476 1

V000B+

⋅⋅⋅⋅⋅n

Na ovaj način se postiže da je u kodovanoj sekvenci maksimalno moguće da se pojavi n nula. Treba primetiti da se postoje dve vrste zamene, koje obezbeđuju da uzastopni V simboli budu suprotnog polariteta, kao i da se u drugoj vrsti zamene, pored V impulsa forsira i B impuls na početku sekvence.

HDB3 je jedan iz familije HDBn kodova. Konkretno za HDB3 kod, algoritam kodovanja je:

HDB3 kodovanje originalna sekvenca broj B impulsa između

dve zamene je neparan broj B impulsa između dve zamene je paran (ili nula)

0000 000V B00V

Tabela 5.2.4.2 prikazuje HDB3 kodovanje date informacione sekvence (zasenčeni su delovi sekvence koji su pretrpeli zamenu). Prvu zamenu u informacionom nizu smo proizvoljno izabrali da bude 000V.

informaciona sekvenca

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

+1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 AMI kodovana sekvenca B 0 0 0 0 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 B 0 0 0 0

+1 0 0 0 +1 -1 0 0 -1 +1 -1 +1 0 0 +1 -1 0 0 0 -1 HDB3 kodovana sekvenca B 0 0 0 V B 0 0 V B B B 0 0 V B 0 0 0 V

Tabela 5.2.4.2

Na kraju treba reći da su HDBn kodovi uobičajen primer nelinearnih PT linijskih kodova.

Linijsko kodovanje

Documents

Transcript of Linijsko kodovanje