Límites de funciones. Continuidad.

Límite de una función en un punto. Límites laterales.

Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia

a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe:

Ejemplo.-

limx a

f x L

2

2

4Si lim 4

2 x

xf x f x

x

Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y

se representan simbólicamente por: lim limx a x a

f x y f x

Ejemplo.-

1

1

1Si

2 1

lim 1

lim 2x

x

x si xf x

si x

f x

f x

El límite limx af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos

son iguales, o sea: lim limx a x a

f x f x L

s ≤

Límites en el infinito. Asíntotas.

Si

Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se

aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla)

lim o limx x

f x k f x k

Ejemplo.- Si como

Si

Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se

aproxima la función, pero nunca llega a cortarla)

lim o limx a x a

f x f x

12

1f x

x

1 1

lim 2 lim ; lim ; limx x x x

f x f x f x f x

La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1

2,01 2,001 2,0001

4.41 4.0401 4.004001 4.00040001

Cálculo de límites en un punto.

Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con

sustituir en la función f(x)

Ejemplo.-2 2

3 33

2 3 2.3 15 3lim

2 3 2 25 5x

x x

x

Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán -

y/o +, resultado una asíntota vertical en dicho punto

Ejemplo.-3

3

3

2lim

32 5lim ;

3 0 2lim

3

x

x

x

x

xx

x x

x

Cálculo de límites en un punto.

Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar

cada caso en particular (en ocasiones simplificando)

Ejemplo.-

22

22 2 2

24 4 2 0lim lim lim 0

2 8 2 4 4 6x x x

xx x x

x x x x x

Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar

cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado)

Ejemplo.-

5 5 5

5

1 2 1 21 2 5lim lim lim

5 5 1 2 5 1 2

1 1 1lim

41 2 5 1 2

x x x

x

x xx x

x x x x x

x

Cálculo de límites en el infinito.

Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera

inmediata

Ejemplos.- ya que en el

primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -

3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en

valor absoluto, 1/x es mas pequeño.

3 1lim ; lim 3 2 ; lim 0;x x xx x x

x

Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el

denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se

calcula el límite en cada uno de los términos del numerador y

denominador.

Ejemplo.-3 2 3

3 2

3

3 413 4 1 0 0 1

lim lim4 62 4 6 2 0 0 22

x x

x x x xx x

x x

Cálculo de límites en el infinito.

Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /.

Ejemplo.-

2 2 32 3

2 2

4 3 2 2 3

3 2

2 3

3 2 5 4 1 3 5 13 3 5 1lim lim

1 2 5 4 1 2 5 4

5 9 1122 5 9 11 2 0 0 0

lim lim7 9 42 7 9 4 2 0 02

x x

x x

x x x x x xx x x

x x x x x x

xx x x x x x xx x x

x x x

0

Cálculo de límites en el infinito.

Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y

divide por la expresión conjugada

Ejemplo.-

1 1 1 1lim 1 1 lim

1 1

2lim 0

1 1

x x

x

x x x xx x

x x

x x

Límites trigonométricos

Veamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas

Ejemplos.-

0 0

Teniendo en cuenta:

sen tg 11

sen sen sen cos1

lim lim 1sen cosx x

x x x

x x x xx

x x

2

22 2

2 2

2

20 0

Teniendo en cuenta que:

cos 1 cos 1cos 1 cos 1

cos 1 cos 1

1

cos 1 cos 1 cos 1

cos 1 1 1lim lim 0 1 02cos 1x x

x xx x

x x x x x

x sen xsen x sen xx

x x x x x x

x sen xx

x x x

-- lim

- 1

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de GAUSS del Ministerio

de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate

maticas.htm)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/msa

daall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva