Álgebra II Práctica (clase...
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Algebra II Practica (clase 7)
Guido Arnone
Universidad de Buenos Aires
8 de Mayo de 2020
Prerrequisitos
Para leer estas diapositivas se recomienda haber leıdo el apunte teoricohasta 1.7.18 (inclusive).
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Algunos Ejemplos de Acciones
En los ejemplos 1.7.3 del apunte teorico vimos que tenemos una accionS(X ) y X definiendo ϕ · x = ϕ(x). Tambien sabemos que si G y X esuna accion y H ≤ G , restringiendo se tiene inducida una accion H y X .
En particular, si H ≤ S(X ), se tiene una accion H y X definiendoϕ · x = ϕ(x) para cada ϕ ∈ H, x ∈ X .
Tomando X = Rn y H = O(n) ≤ S(Rn), una transformacion ortogonalT ∈ H actua en un punto x ∈ Rn vıa T · x := T (x).
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Algunos Ejemplos de Acciones
En los ejemplos 1.7.3 del apunte teorico vimos que tenemos una accionS(X ) y X definiendo ϕ · x = ϕ(x). Tambien sabemos que si G y X esuna accion y H ≤ G , restringiendo se tiene inducida una accion H y X .
En particular, si H ≤ S(X ), se tiene una accion H y X definiendoϕ · x = ϕ(x) para cada ϕ ∈ H, x ∈ X .
Tomando X = Rn y H = O(n) ≤ S(Rn), una transformacion ortogonalT ∈ H actua en un punto x ∈ Rn vıa T · x := T (x).
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Algunos Ejemplos de Acciones
En los ejemplos 1.7.3 del apunte teorico vimos que tenemos una accionS(X ) y X definiendo ϕ · x = ϕ(x). Tambien sabemos que si G y X esuna accion y H ≤ G , restringiendo se tiene inducida una accion H y X .
En particular, si H ≤ S(X ), se tiene una accion H y X definiendoϕ · x = ϕ(x) para cada ϕ ∈ H, x ∈ X .
Tomando X = Rn y H = O(n) ≤ S(Rn), una transformacion ortogonalT ∈ H actua en un punto x ∈ Rn vıa T · x := T (x).
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
De forma similar, tenemos una accion de O(n) en los subconjuntos de Rn,
O(n)×P(Rn)→ P(Rn)(T , S) 7−→ T (S) = {T (x) : x ∈ S}
EjercicioVerificar que esto define una accion.
En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}. Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
De forma similar, tenemos una accion de O(n) en los subconjuntos de Rn,
O(n)×P(Rn)→ P(Rn)(T , S) 7−→ T (S) = {T (x) : x ∈ S}
EjercicioVerificar que esto define una accion.
En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}. Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
De forma similar, tenemos una accion de O(n) en los subconjuntos de Rn,
O(n)×P(Rn)→ P(Rn)(T , S) 7−→ T (S) = {T (x) : x ∈ S}
EjercicioVerificar que esto define una accion.
En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}.
Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
De forma similar, tenemos una accion de O(n) en los subconjuntos de Rn,
O(n)×P(Rn)→ P(Rn)(T , S) 7−→ T (S) = {T (x) : x ∈ S}
EjercicioVerificar que esto define una accion.
En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}. Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
Consideremos ahora un ejemplo analıtico. Tomamos el siguiente conjuntode soluciones a una ecuacion diferencial,
X = {y : R→ R : y ∈ C 1(R), y ′ = y2 + 38y}.
Aquı tenemos una accion R y X vıa (s · y)(t) := ys(t) = y(t + s).
Ejercicio (que usa un poquito de analisis)Verificar que ys ∈ X y que lo anterior define una accion.Probar que z ∈ Oy si y solo si existe s ∈ R tal que y(s) = z(0).Sugerencia: usar el teorema de existencia y unicidad.Intuitivamente, si pensamos a y como un proceso que depende deltiempo (digamos, en segundos) lo anterior nos dice que su orbitaconsiste en el mismo proceso, pero comenzando s segundos mas tarde(al menos para s > 0).
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
Consideremos ahora un ejemplo analıtico. Tomamos el siguiente conjuntode soluciones a una ecuacion diferencial,
X = {y : R→ R : y ∈ C 1(R), y ′ = y2 + 38y}.
Aquı tenemos una accion R y X vıa (s · y)(t) := ys(t) = y(t + s).
Ejercicio (que usa un poquito de analisis)Verificar que ys ∈ X y que lo anterior define una accion.Probar que z ∈ Oy si y solo si existe s ∈ R tal que y(s) = z(0).Sugerencia: usar el teorema de existencia y unicidad.Intuitivamente, si pensamos a y como un proceso que depende deltiempo (digamos, en segundos) lo anterior nos dice que su orbitaconsiste en el mismo proceso, pero comenzando s segundos mas tarde(al menos para s > 0).
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
Consideremos ahora un ejemplo analıtico. Tomamos el siguiente conjuntode soluciones a una ecuacion diferencial,
X = {y : R→ R : y ∈ C 1(R), y ′ = y2 + 38y}.
Aquı tenemos una accion R y X vıa (s · y)(t) := ys(t) = y(t + s).
Ejercicio (que usa un poquito de analisis)Verificar que ys ∈ X y que lo anterior define una accion.Probar que z ∈ Oy si y solo si existe s ∈ R tal que y(s) = z(0).Sugerencia: usar el teorema de existencia y unicidad.Intuitivamente, si pensamos a y como un proceso que depende deltiempo (digamos, en segundos) lo anterior nos dice que su orbitaconsiste en el mismo proceso, pero comenzando s segundos mas tarde(al menos para s > 0).
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo mas. La conjugacionc : z ∈ C→ z ∈ C es una biyeccion de orden 2. Se tiene una accionZ2 y C, dada por
[0] · z := z , [1] · z := c(z) = z .
EjercicioVerificar que la anterior es una accion.Calcular Oz para cada z ∈ C.Calcular los puntos fijos CZ2 de esta accion.
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Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo mas. La conjugacionc : z ∈ C→ z ∈ C es una biyeccion de orden 2. Se tiene una accionZ2 y C, dada por
[0] · z := z , [1] · z := c(z) = z .
EjercicioVerificar que la anterior es una accion.Calcular Oz para cada z ∈ C.Calcular los puntos fijos CZ2 de esta accion.
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Orbitas
Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x .
Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.
Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es
Ox := {g · x : g ∈ G}.
Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.
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Orbitas
Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x . Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.
Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es
Ox := {g · x : g ∈ G}.
Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.
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Orbitas
Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x . Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.
Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es
Ox := {g · x : g ∈ G}.
Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.
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Orbitas
Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x . Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.
Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es
Ox := {g · x : g ∈ G}.
Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.
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Orbitas (cont.)
Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia.
Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .
Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo. Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos
X g = {x ∈ X : g · x = x}
a los elementos de X que quedan fijos al actuar por g .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Orbitas (cont.)
Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia. Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .
Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo. Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos
X g = {x ∈ X : g · x = x}
a los elementos de X que quedan fijos al actuar por g .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Orbitas (cont.)
Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia. Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .
Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo.
Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos
X g = {x ∈ X : g · x = x}
a los elementos de X que quedan fijos al actuar por g .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Orbitas (cont.)
Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia. Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .
Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo. Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos
X g = {x ∈ X : g · x = x}
a los elementos de X que quedan fijos al actuar por g .
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El Lema de Burnside
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑
g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑
x∈X |Gx |.Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.
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El Lema de Burnside
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑
g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑
x∈X |Gx |.Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.
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El Lema de Burnside
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑
g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑
x∈X |Gx |.
Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.
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El Lema de Burnside
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑
g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑
x∈X |Gx |.
Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.
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El Lema de Burnside
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑
g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑
x∈X |Gx |.Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.
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Lema de Burnside (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo.
Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).
Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .
EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.
Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n
p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.
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Lema de Burnside (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo.
Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .
EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.
Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n
p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Lema de Burnside (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo.
Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .
EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.
Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n
p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Lema de Burnside (cont.)
Antes de seguir, veamos un ejemplo.
Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .
EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.
Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n
p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.
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Acciones a Derecha
Una accion a derecha de un grupo G en un conjunto X es una aplicacion· : X × G → X que cumple las siguientes propiedades:
Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.
EjercicioProbar que dar una accion a derecha es lo mismo que dar un morfismo degrupos Gop → S(X ). Concluir que una accion a derecha de G en X esprecisamente una accion a izquierda de Gop en X.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha
Una accion a derecha de un grupo G en un conjunto X es una aplicacion· : X × G → X que cumple las siguientes propiedades:
Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .
Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.
EjercicioProbar que dar una accion a derecha es lo mismo que dar un morfismo degrupos Gop → S(X ). Concluir que una accion a derecha de G en X esprecisamente una accion a izquierda de Gop en X.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha
Una accion a derecha de un grupo G en un conjunto X es una aplicacion· : X × G → X que cumple las siguientes propiedades:
Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.
EjercicioProbar que dar una accion a derecha es lo mismo que dar un morfismo degrupos Gop → S(X ). Concluir que una accion a derecha de G en X esprecisamente una accion a izquierda de Gop en X.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha
Una accion a derecha de un grupo G en un conjunto X es una aplicacion· : X × G → X que cumple las siguientes propiedades:
Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.
EjercicioProbar que dar una accion a derecha es lo mismo que dar un morfismo degrupos Gop → S(X ). Concluir que una accion a derecha de G en X esprecisamente una accion a izquierda de Gop en X.
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Acciones a Derecha (cont.)
Como antes, si X x G es una accion a derecha se define una relacion deequivalencia en X donde x ∼ y si y solo si x = y · g para algun g ∈ G .
Las clases de equivalencia de esta relacion se dicen orbitas de la accion, ysi x ∈ X entonces su orbita es Ox := {x · g : g ∈ G}.
Notamos X/G al conjunto de orbitas y X g := {x ∈ X : x · g = x} paracada g ∈ G .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Como antes, si X x G es una accion a derecha se define una relacion deequivalencia en X donde x ∼ y si y solo si x = y · g para algun g ∈ G .Las clases de equivalencia de esta relacion se dicen orbitas de la accion, ysi x ∈ X entonces su orbita es Ox := {x · g : g ∈ G}.
Notamos X/G al conjunto de orbitas y X g := {x ∈ X : x · g = x} paracada g ∈ G .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Como antes, si X x G es una accion a derecha se define una relacion deequivalencia en X donde x ∼ y si y solo si x = y · g para algun g ∈ G .Las clases de equivalencia de esta relacion se dicen orbitas de la accion, ysi x ∈ X entonces su orbita es Ox := {x · g : g ∈ G}.
Notamos X/G al conjunto de orbitas y X g := {x ∈ X : x · g = x} paracada g ∈ G .
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Estas definiciones coinciden con las anteriores, cuando pensamos en unaaccion a derecha como una Gop-accion a izquierda.
Esta interpretacionsirve para recuperar los teoremas que ya sabemos ciertos para acciones aizquierda. Por ejemplo,
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionX x G, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Estas definiciones coinciden con las anteriores, cuando pensamos en unaaccion a derecha como una Gop-accion a izquierda. Esta interpretacionsirve para recuperar los teoremas que ya sabemos ciertos para acciones aizquierda. Por ejemplo,
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionX x G, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Estas definiciones coinciden con las anteriores, cuando pensamos en unaaccion a derecha como una Gop-accion a izquierda. Esta interpretacionsirve para recuperar los teoremas que ya sabemos ciertos para acciones aizquierda. Por ejemplo,
Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionX x G, se tiene que
|X/G | = 1|G |
∑g∈G|X g |.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Damos la definicion de accion a derecha principalmente para trabajar conel ejemplo que sigue:
EjemploSea G y X una accion a izquierda e Y un conjunto. Se tiene entoncesuna accion a derecha en las funciones Y X de X a Y , del siguiente modo:si f : X → Y es una funcion, definimos
(f · g)(x) := f (g · x).
EjercicioVerificar que la anterior es una accion a derecha.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Damos la definicion de accion a derecha principalmente para trabajar conel ejemplo que sigue:
EjemploSea G y X una accion a izquierda e Y un conjunto. Se tiene entoncesuna accion a derecha en las funciones Y X de X a Y , del siguiente modo:si f : X → Y es una funcion, definimos
(f · g)(x) := f (g · x).
EjercicioVerificar que la anterior es una accion a derecha.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Damos la definicion de accion a derecha principalmente para trabajar conel ejemplo que sigue:
EjemploSea G y X una accion a izquierda e Y un conjunto. Se tiene entoncesuna accion a derecha en las funciones Y X de X a Y , del siguiente modo:si f : X → Y es una funcion, definimos
(f · g)(x) := f (g · x).
EjercicioVerificar que la anterior es una accion a derecha.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Acciones a Derecha (cont.)
Damos la definicion de accion a derecha principalmente para trabajar conel ejemplo que sigue:
EjemploSea G y X una accion a izquierda e Y un conjunto. Se tiene entoncesuna accion a derecha en las funciones Y X de X a Y , del siguiente modo:si f : X → Y es una funcion, definimos
(f · g)(x) := f (g · x).
EjercicioVerificar que la anterior es una accion a derecha.
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Coloreos
Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para
Y = [[k]] := {1, . . . , k}.
Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.
Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia
c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).
Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Coloreos
Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para
Y = [[k]] := {1, . . . , k}.
Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X .
Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.
Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia
c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).
Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.
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Coloreos
Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para
Y = [[k]] := {1, . . . , k}.
Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.
Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia
c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).
Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.
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Coloreos
Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para
Y = [[k]] := {1, . . . , k}.
Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.
Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia
c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).
Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.
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Coloreos
Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para
Y = [[k]] := {1, . . . , k}.
Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.
Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia
c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).
Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.
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Coloreos (cont.)
Ahora supongamos que en nuestro conjunto X actua (a izquierda) ungrupo G . Como vimos, esto induce una accion (a derecha) en [[k]]X , losk-coloreos de X .
Por lo tanto, tiene sentido la nocion de k-coloreos equivalentes para estaaccion, y podemos preguntarnos cuantas formas de colorear a X con a losumo k colores hay, salvo equivalencia. Veamos un ejemplo.
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Coloreos (cont.)
Ahora supongamos que en nuestro conjunto X actua (a izquierda) ungrupo G . Como vimos, esto induce una accion (a derecha) en [[k]]X , losk-coloreos de X .
Por lo tanto, tiene sentido la nocion de k-coloreos equivalentes para estaaccion, y podemos preguntarnos cuantas formas de colorear a X con a losumo k colores hay, salvo equivalencia. Veamos un ejemplo.
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Collares
Podemos pensar en un collar de n cuentas cada una de k colores posiblescomo un k-coloreo de Gn.
Por ejemplo, sean n = k = 4 y pensemos a [[k]] como los colores rojo,azul, verde y naranja. Notemos G4 = 〈ω〉 con ω = e i2π
4 = i .En estos terminos el coloreo c(1) = 1, c(ω) = 2, c(ω2) = 3, c(ω3) = 2 secorresponde con el collar de la imagen:
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Collares
Podemos pensar en un collar de n cuentas cada una de k colores posiblescomo un k-coloreo de Gn.
Por ejemplo, sean n = k = 4 y pensemos a [[k]] como los colores rojo,azul, verde y naranja. Notemos G4 = 〈ω〉 con ω = e i2π
4 = i .En estos terminos el coloreo c(1) = 1, c(ω) = 2, c(ω2) = 3, c(ω3) = 2 secorresponde con el collar de la imagen:
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Collares (cont.)
Ası como los definimos, hay distintas representaciones de lo que deberıaser un collar: rotaciones y reflexiones tendrıan que ser indistinguibles paranuestro modelo.
Por ejemplo, en la siguiente imagen se tiene el coloreo de antes a laizquierda y a la derecha el dado dado porc ′(1) = 2, c ′(ω) = 1, c ′(ω2) = 2, c ′(ω3) = 3,
Ambas funciones representan al mismo collar, pues uno es una rotacion delotro. Formalicemos esto en terminos de acciones.
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Collares (cont.)
Ası como los definimos, hay distintas representaciones de lo que deberıaser un collar: rotaciones y reflexiones tendrıan que ser indistinguibles paranuestro modelo.
Por ejemplo, en la siguiente imagen se tiene el coloreo de antes a laizquierda y a la derecha el dado dado porc ′(1) = 2, c ′(ω) = 1, c ′(ω2) = 2, c ′(ω3) = 3,
Ambas funciones representan al mismo collar, pues uno es una rotacion delotro. Formalicemos esto en terminos de acciones.
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Collares (cont.)
Ası como los definimos, hay distintas representaciones de lo que deberıaser un collar: rotaciones y reflexiones tendrıan que ser indistinguibles paranuestro modelo.
Por ejemplo, en la siguiente imagen se tiene el coloreo de antes a laizquierda y a la derecha el dado dado porc ′(1) = 2, c ′(ω) = 1, c ′(ω2) = 2, c ′(ω3) = 3,
Ambas funciones representan al mismo collar, pues uno es una rotacion delotro. Formalicemos esto en terminos de acciones.
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Collares (cont.)
Tenemos una accion de Dn en Gn = 〈ω〉 con ω = e i2πn donde r rota 2π/n
grados y s refleja con respecto a la recta x = y . Concretamente, en losgeneradores de Dn la accion es
r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .
Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro. Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via
(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),
y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita. En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.
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Collares (cont.)
Tenemos una accion de Dn en Gn = 〈ω〉 con ω = e i2πn donde r rota 2π/n
grados y s refleja con respecto a la recta x = y . Concretamente, en losgeneradores de Dn la accion es
r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .
Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro.
Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via
(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),
y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita. En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.
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Collares (cont.)
Tenemos una accion de Dn en Gn = 〈ω〉 con ω = e i2πn donde r rota 2π/n
grados y s refleja con respecto a la recta x = y . Concretamente, en losgeneradores de Dn la accion es
r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .
Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro. Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via
(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),
y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita.
En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.
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Collares (cont.)
Tenemos una accion de Dn en Gn = 〈ω〉 con ω = e i2πn donde r rota 2π/n
grados y s refleja con respecto a la recta x = y . Concretamente, en losgeneradores de Dn la accion es
r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .
Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro. Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via
(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),
y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita. En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.
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Contando k-coloreos
Veamos ahora como dada una accion G y X podemos contar cuantasorbitas de k-coloreos de X hay.
Por el lema de Burnside la cantidad de orbitas de la accion inducida en[[k]]X es
|[[k]]X/G | = 1|G |
∑g∈G|([[k]]X )g |.
Queremos entonces dar una mejor descripcion de |([[k]]X )g | para cadag ∈ G .
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Contando k-coloreos
Veamos ahora como dada una accion G y X podemos contar cuantasorbitas de k-coloreos de X hay.
Por el lema de Burnside la cantidad de orbitas de la accion inducida en[[k]]X es
|[[k]]X/G | = 1|G |
∑g∈G|([[k]]X )g |.
Queremos entonces dar una mejor descripcion de |([[k]]X )g | para cadag ∈ G .
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.
o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.
o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.
o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.
De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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Contando k-coloreos
Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.
EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es
o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.
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El teorema de enumeracion de Polya
En estos terminos, tenemos el siguiente resultado:
Teorema (Polya)Sea G y X una accion. Para cada k ∈ N, la cantidad de orbitas dek-coloreos de X es
Πk = 1|G |
∑g∈G
ko(g).
Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g). Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .
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El teorema de enumeracion de Polya
En estos terminos, tenemos el siguiente resultado:
Teorema (Polya)Sea G y X una accion. Para cada k ∈ N, la cantidad de orbitas dek-coloreos de X es
Πk = 1|G |
∑g∈G
ko(g).
Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g).
Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .
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El teorema de enumeracion de Polya
En estos terminos, tenemos el siguiente resultado:
Teorema (Polya)Sea G y X una accion. Para cada k ∈ N, la cantidad de orbitas dek-coloreos de X es
Πk = 1|G |
∑g∈G
ko(g).
Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g). Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .
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Aplicaciones
A partir de esto, podemos contar la cantidad de collares de 4 cuentas,cada una de k colores posibles: aplicando el teorema de Polya a la accionD4 y G4 es
Πk = k4 + 2k3 + 3k2 + 2k8
y entonces por ejemplo hay Π5 = 120 collares de 4 cuentas, cada una de 5colores posibles.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Aplicaciones (cont.)
Π5 = 120.G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08
Un Ejercicio
En este sitio pueden encontrar un generador de collares de n cuentas y kcolores. Sobre el lema de Burnside, pueden pensar el siguiente ejercicio:
EjercicioSea G y X una accion transitiva, con G un grupo finito y X un conjuntofinito de cardinal mayor a 1. Probar que existe g ∈ G tal que g · x 6= xpara todo x ∈ X.
G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08