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Algebra II Practica (clase 16)
Ivan Sadofschi Costa
Universidad de Buenos Aires
19 de Junio de 2020
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Prerrequisitos
Para leer estas diapositivas se recomienda haber leıdo el apunte teoricohasta 3.9.
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El Lema de Schur
LemaSean M,N dos R-modulos y f : M → N un morfismo. Entonces(i) Si M es simple entonces f es inyectivo o 0.(ii) Si N es simple entonces f es sobreyectivo o 0.
LemaSean M y N dos modulos simples y f : M → N un morfismo. Entonces fes 0 o un isomorfismo.
Si M es simple entonces EndR(M) es un anillo de division.
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El Lema de Schur
LemaSean M,N dos R-modulos y f : M → N un morfismo. Entonces(i) Si M es simple entonces f es inyectivo o 0.(ii) Si N es simple entonces f es sobreyectivo o 0.
LemaSean M y N dos modulos simples y f : M → N un morfismo. Entonces fes 0 o un isomorfismo.
Si M es simple entonces EndR(M) es un anillo de division.
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El Lema de Schur
LemaSean M,N dos R-modulos y f : M → N un morfismo. Entonces(i) Si M es simple entonces f es inyectivo o 0.(ii) Si N es simple entonces f es sobreyectivo o 0.
LemaSean M y N dos modulos simples y f : M → N un morfismo. Entonces fes 0 o un isomorfismo.
Si M es simple entonces EndR(M) es un anillo de division.
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Modulos semisimplesUn R-modulo semisimple es un R-modulo isomorfo a una suma directa deR-modulos simples.
LemaSean I,J finitos. Entonces
Hom
⊕i∈I
Mi ,⊕j∈J
Nj
'⊕Hom(Mi ,Nj)
.
ProposicionSean M1, . . . ,Mk simples distintos (no isomorfos) dos a dos. Entonces hayun isomorfismo de anillos
EndR(⊕
Mnii ) '
∏Mni (Di )
donde Di = EndR(Mi ).
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Modulos semisimplesUn R-modulo semisimple es un R-modulo isomorfo a una suma directa deR-modulos simples.
LemaSean I,J finitos. Entonces
Hom
⊕i∈I
Mi ,⊕j∈J
Nj
'⊕Hom(Mi ,Nj)
.
ProposicionSean M1, . . . ,Mk simples distintos (no isomorfos) dos a dos. Entonces hayun isomorfismo de anillos
EndR(⊕
Mnii ) '
∏Mni (Di )
donde Di = EndR(Mi ).
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Modulos semisimplesUn R-modulo semisimple es un R-modulo isomorfo a una suma directa deR-modulos simples.
LemaSean I,J finitos. Entonces
Hom
⊕i∈I
Mi ,⊕j∈J
Nj
'⊕Hom(Mi ,Nj)
.
ProposicionSean M1, . . . ,Mk simples distintos (no isomorfos) dos a dos. Entonces hayun isomorfismo de anillos
EndR(⊕
Mnii ) '
∏Mni (Di )
donde Di = EndR(Mi ).I. Sadofschi Costa Algebra II Practica (clase 16) 2020/06/19
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.
Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.
¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?
Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ).
Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.
Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ?
Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.
¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?
Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?
Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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Mas sobre kG-modulosVimos ya que podemos dar a R3 una estructura de R[S3]-modulo vıapermutar las coordenadas. Llamamos M a este modulo.Tambien podemos considerar el R[S3] modulo M = RA3 (que es isomorfoa R3 como R-espacio vectorial), con la accion dada por g · σ = gσg−1.¿Seran M y M isomorfos como R[S3]-modulos?Vimos que M es suma directa de dos submodulos (el subespacio Vgenerado por (1, 1, 1) y su complemento ortogonal W ). Estos sumandosson simples.Sea e1, e(1,2,3), e(1,3,2) la base de M. Tenemos que V = 〈e1〉 yW = 〈e(1,2,3), e(1,3,2)〉 son submodulos.
¿Vale que V ' V ? Sı, la accion es trivial en ambos casos.¿Son W y W isomorfos como R[S3]-modulos?Parece que no. ¿Como lo podemos probar?Tenemos W A3 = 0 y W A3 = W . Luego los modulos no son isomorfos.
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El modulo W
¿Es W simple?
No, 〈e(1,2,3) + e(1,3,2)〉 y 〈e(1,2,3)− e(1,3,2)〉 son submodulos.
El primero es isomorfo a V El segundo, llamemoslo S, no resulta isomorfoa V . Por que?
En resumen, M = V ⊕W y M = V ⊕ V ⊕ S.
Por lo tanto M y M NO son isomorfos.
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El modulo W
¿Es W simple? No, 〈e(1,2,3) + e(1,3,2)〉 y 〈e(1,2,3)− e(1,3,2)〉 son submodulos.
El primero es isomorfo a V El segundo, llamemoslo S, no resulta isomorfoa V . Por que?
En resumen, M = V ⊕W y M = V ⊕ V ⊕ S.
Por lo tanto M y M NO son isomorfos.
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El modulo W
¿Es W simple? No, 〈e(1,2,3) + e(1,3,2)〉 y 〈e(1,2,3)− e(1,3,2)〉 son submodulos.
El primero es isomorfo a V El segundo, llamemoslo S, no resulta isomorfoa V . Por que?
En resumen, M = V ⊕W y M = V ⊕ V ⊕ S.
Por lo tanto M y M NO son isomorfos.
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El modulo W
¿Es W simple? No, 〈e(1,2,3) + e(1,3,2)〉 y 〈e(1,2,3)− e(1,3,2)〉 son submodulos.
El primero es isomorfo a V El segundo, llamemoslo S, no resulta isomorfoa V . Por que?
En resumen, M = V ⊕W y M = V ⊕ V ⊕ S.
Por lo tanto M y M NO son isomorfos.
I. Sadofschi Costa Algebra II Practica (clase 16) 2020/06/19
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El modulo W
¿Es W simple? No, 〈e(1,2,3) + e(1,3,2)〉 y 〈e(1,2,3)− e(1,3,2)〉 son submodulos.
El primero es isomorfo a V El segundo, llamemoslo S, no resulta isomorfoa V . Por que?
En resumen, M = V ⊕W y M = V ⊕ V ⊕ S.
Por lo tanto M y M NO son isomorfos.
I. Sadofschi Costa Algebra II Practica (clase 16) 2020/06/19