Lff t g F p f t e ptdt 0kolara/tutorial_Laplace.pdfAby re aln a funkce f(t) byla vzorem n ejak e...

Definice Laplaceovy transformace

Necht’ je f (t) realna funkce realne promenne. Pokud existujefunkce komplexnı promenne

L{f (t)} = F (p) =

∫ ∞0

f (t) e−ptd t

pak se tato funkce nazyva Laplaceova transformace funkce f (t).

Funkce f (t) se nazyva vzor, nebo predmet.

Funkce F (p) se nazyva obraz funkce f (t).

Edita Kolarova Laplaceova transformace

Definice Laplaceovy transformace

Necht’ je f (t) realna funkce realne promenne. Pokud existujefunkce komplexnı promenne

L{f (t)} = F (p) =

∫ ∞0

f (t) e−ptd t

pak se tato funkce nazyva Laplaceova transformace funkce f (t).

Funkce f (t) se nazyva vzor, nebo predmet.

Funkce F (p) se nazyva obraz funkce f (t).

Aby realna funkce f (t) byla vzorem nejake funkce F (p) musısplnovat nasledujıcı podmınky:

1 funkce f (t) je po castech spojita,

2 funkce f (t) = 0 pro t < 0,

3 funkce f (t) je exponencialnıho radu, tzn. existujı konstantyM, s, t0 ∈ R, M, t0 > 0, takove, ze pro vsechna t ≥ t0 platı|f (t)| ≤ Mest .

1. podmınka zarucuje integrovatelnost funkce f (t) e−pt

3. podmınka zarucuje konvergenci nevlastnıho integralu.

Jsou to prirozene podmınky, v podstate platı u vsech funkcı kterepouzıvame.

Aby realna funkce f (t) byla vzorem nejake funkce F (p) musısplnovat nasledujıcı podmınky:

1 funkce f (t) je po castech spojita,

2 funkce f (t) = 0 pro t < 0,

3 funkce f (t) je exponencialnıho radu, tzn. existujı konstantyM, s, t0 ∈ R, M, t0 > 0, takove, ze pro vsechna t ≥ t0 platı|f (t)| ≤ Mest .

1. podmınka zarucuje integrovatelnost funkce f (t) e−pt

3. podmınka zarucuje konvergenci nevlastnıho integralu.

Jsou to prirozene podmınky, v podstate platı u vsech funkcı kterepouzıvame.

2. podmınku nesplnuje skoro zadna znama funkce. Tato podmınkaje kvuli jednoznacnosti Laplaceovy transformace.

Naprıklad funkce f (t) = t a g(t) = |t| jsou stejne na 〈0,∞), proto

L{f (t)} = L{g(t)}.

Abychom zarucili jednoznacnost Laplaceovy transformace, budemenapr. vyrazem L{t} rozumet obraz funkce

f (t) =

⟨t pro t ≥ 0,

0 pro t < 0.

L{t} = 1p2 - prostudujte si vypocet ze Sbırky uloh, prıklad 7.1.1.

Laplaceova transformace je linearnı

L{a f (t) + b g(t)} = aL{f (t)}+ bL{g(t)}, a, b ∈ C.

Z definice se dajı odvodit Laplaceovy transformace elementarnıchfunkci (slovnık) a take nektere vlastnosti (gramatika), ktere sizapıseme do tabulky.

Jako nepovinne cvicenı si zkuste overit nektere vzorce z tabulky.Velice jednoduche je spocıtat L{1} a L{eat}.

Laplaceova transformace je linearnı

L{a f (t) + b g(t)} = aL{f (t)}+ bL{g(t)}, a, b ∈ C.

Z definice se dajı odvodit Laplaceovy transformace elementarnıchfunkci (slovnık) a take nektere vlastnosti (gramatika), ktere sizapıseme do tabulky.

Jako nepovinne cvicenı si zkuste overit nektere vzorce z tabulky.Velice jednoduche je spocıtat L{1} a L{eat}.

Slovnık Laplaceovy transformace

1. L{c} =c

2. L{tn} =n!

pn+1, n ∈ N

3. L{eat}

p − a

4. L{tneat

(p − a)n+1, n ∈ N

5. L{cosωt} =p

p2 + ω2

6. L{sinωt} =ω

p2 + ω2

7. L{eat cosωt

p − a

(p − a)2 + ω2

8. L{eat sinωt

(p − a)2 + ω2

Gramatika Laplaceovy transformace

Pokud L{f (t)} = F (p) =

∫ ∞0

f (t)e−ptd t, potom:

9. L{f ′(t)

}= pF (p)− f (0)

10. L{f ′′(t)

}= p2F (p)− pf (0)− f ′(0)

11. L{f ′′′(t)

}= p3F (p)− p2f (0)− pf ′(0)− f ′′(0)

12. L{f (n)(t)

}= pnF (p)−pn−1f (0)−pn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)

13. L{∫ t

0f (u)d u

14. L{f (t − a)} = e−apF (p)

Laplaceova transformace se pouzıva k hledanı partikularnıho resenı(linearnıch) diferencialnıch rovnic. Nejdrıv kazdy clen rovniceprevedeme pomocı tabulky, vyuzijeme linearitu a sestavıme rovniciv novem prostoru, nakonec tu rovnici vyresıme. Vsimnete si, zederivace se transformuje na soucin, integral na podıl. Proto potransformaci dostaneme algebraickou rovnici namısto diferencialnıev. integro-diferencialnı rovnice. A nakonec to resenıpretransformujeme zpatky.

Cely postup ukazeme na jednoduche rovnici, kterou umıme snadnoresit i jako linearnı rovnici druheho radu se specialnı pravoustranou.

Prıklad

Vyreste rovnici x ′′(t) + x(t) = t, x(0) = 0, x ′(0) = 1.

Oznacme si L{x(t)} = X (p), potom podle tabulky mame

L{x ′′(t)

}= p2X (p)− p · 0− 1 = p2X (p)− 1.

Jeste si pretransformujeme pravou stranu: L{t} =1

Po dosazenı do diferencialnı rovnice dostaneme algebraickourovnici:

p2X (p)− 1 + X (p) =1

p2kterou snadno vyresıme:

p2X (p)+X (p) =1

p2+1 ⇒ X (p)(p2+1) =

p2 + 1

p2⇒ X (p) =

Prıklad

Vyreste rovnici x ′′(t) + x(t) = t, x(0) = 0, x ′(0) = 1.

Oznacme si L{x(t)} = X (p), potom podle tabulky mame

L{x ′′(t)

}= p2X (p)− p · 0− 1 = p2X (p)− 1.

Jeste si pretransformujeme pravou stranu: L{t} =1

Po dosazenı do diferencialnı rovnice dostaneme algebraickourovnici:

p2X (p)− 1 + X (p) =1

p2kterou snadno vyresıme:

p2X (p)+X (p) =1

p2+1 ⇒ X (p)(p2+1) =

p2 + 1

p2⇒ X (p) =

Mame vyresenou rovnici v novem prostoru, ted’ uz zbyva jenom

najıt vzor funkce X (p) =1

p2. To je funkce x(t) = t, proto resenı

nası diferencialnı rovnice je x(t) = t.

Jeste si to overıme:

x(t) = t, x ′(t) = 1, x ′′(t) = 0⇒ x ′′(t) + x(t) = 0 + t = t

platı i pocatecnı podmınky: x(0) = 0, x ′(0) = 1.

Ilustrovali jsme cely postup na jednoduche rovnici. Vidıme, zetransformovat rovnici do noveho prostoru je pomocı tabulkytrivialnı, vyresit algebraickou rovnici umıme uz od zakladnı skoly.Nejtezsı na teto metode bude zrejme poslednı krok, tj. zpetnatransformace.

Zpetna Laplaceova transformace

Zpetna Laplaceova transformace je hledanı vzoru f (t) k danefunkci F (p). Znacıme

L−1{F (p)}.

Pri hledanı vzoru k dane funkci F (p) muzeme vyuzit tabulku:

Prıklad

p2 + 4p + 3

}= rozlozıme zlomek na parcialnı zlomky

= L−1

}+ L−1

2e−t − 1

2e−3t .

Zpetna Laplaceova transformace

Zpetna Laplaceova transformace je hledanı vzoru f (t) k danefunkci F (p). Znacıme

L−1{F (p)}.

Pri hledanı vzoru k dane funkci F (p) muzeme vyuzit tabulku:

Prıklad

p2 + 4p + 3

}= rozlozıme zlomek na parcialnı zlomky

= L−1

}+ L−1

2e−t − 1

2e−3t .

Prıklad

a) L−1

{p − 3

p2 + 25

}= L−1

p2 + 25

}− 3

5L−1

p2 + 25

= cos 5t − 3

5sin 5t.

b) L−1

p2 + 4p + 13

}= jmenovatel je nerozlozitelny polynom,

proto zlomek je uz parcialnı zlomek. Doplnıme kvadraticky clen nauplny ctverec a upravıme na vzorce 7. a 8. z nasi tabulky.

= L−1

(p + 2)2 + 9

}= L−1

{p + 2− 2

(p + 2)2 + 9

= L−1

{p + 2

(p + 2)2 + 9

}− 2

3L−1

(p + 2)2 + 9

= e−2t cos 3t − 2

3e−2t sin 3t.

Spocıtejte si prıklady 7.2.1 a 7.2.2. ze Sbırky uloh.

Pri hledanı vzoru k dane racionalnı lomene funkci F (p) muzemepouzit i Heavisideovu vetu o rozkladu:

Heavisideova veta

Necht’ je funkce F (p) =M(p)

N(p)ryze racionalnı lomena funkce, kde

M(p) a N(p) jsou polynomy a stupen polynomu M(p) je mensınez stupen polynomu N(p).

Oznacme pk poly funkce F (p) =M(p)

N(p). Potom

f (t) = L−1{F (p)} =∑pk

resp=pk

[F (p) ept

], t > 0.

Prıklad

Pomocı Heavisideovy vety najdete vzor funkce

F (p) =p − 2

p3 − 4p2 − 5p

Rozlozıme jmenovatel na soucin a tak najdeme vsechny poly:

p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).

⇒ p1 = 0, p2 = 5 a p3 = −1 jsou poly prvnıho radu.

⇒ f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

= resp=0

F (p) ept + resp=5

F (p) ept + resp=−1

F (p) ept

Prıklad

F (p) =p − 2

p3 − 4p2 − 5p

p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).

⇒ f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

= resp=0

F (p) ept + resp=5

F (p) ept

Prıklad

F (p) =p − 2

p3 − 4p2 − 5p

p3 − 4p2 − 5p = p(p − 5)(p + 1).

⇒ f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

= resp=0

F (p) ept + resp=5

F (p) ept

= limp→0

(p − 2)ept

p(p2 − 4p − 5)

)+ lim

((p − 5)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

+ limp→−1

((p + 1)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

Vykratıme postupne p, p − 5 ev. p + 1 a do kazde limity dosadıme.Dostaneme:

f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

10e5t − 1

2e−t .

= limp→0

(p − 2)ept

p(p2 − 4p − 5)

)+ lim

((p − 5)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

+ limp→−1

((p + 1)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

10e5t − 1

2e−t .

= limp→0

(p − 2)ept

p(p2 − 4p − 5)

)+ lim

((p − 5)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

+ limp→−1

((p + 1)

(p − 2)ept

p(p − 5)(p + 1)

f (t) = L−1

{p − 2

p3 − 4p2 − 5p

10e5t − 1

2e−t .

Prıklad

F (p) =1

(p − 4)3.

Funkce F (p) ma pouze jeden pol 3.ho radu, a to p1 = 4. Proto

f (t) = L−1

(p − 4)3

}= res

p=4F (p) ept =

2limp→4

[(p − 4)3 ept

(p − 4)3

]′′=

2limp→4

(ept)′′ =

2limp→4

(tept)′ =1

2limp→4

t2ept =1

2t2e4t .

Prıklad

F (p) =1

(p − 4)3.

f (t) = L−1

(p − 4)3

}= res

p=4F (p) ept =

2limp→4

[(p − 4)3 ept

(p − 4)3

]′′=

2limp→4

(ept)′′ =

2limp→4

(tept)′ =1

2limp→4

t2ept =1

2t2e4t .

Prıklad

F (p) =1

(p − 4)3.

f (t) = L−1

(p − 4)3

}= res

p=4F (p) ept =

2limp→4

[(p − 4)3 ept

(p − 4)3

]′′=

2limp→4

(ept)′′ =

2limp→4

(tept)′ =1

2limp→4

t2ept =1

2t2e4t .

Spocıtejte si samostatne prıklady 7.2.3 a), b), c) a 7.2.4.a) d) zeSbırky uloh.

Pokud funkce ma pouze realne poly, k inverznı Laplaceovytransformace doporucuji pouzit Heavisideovu vetu. Pokud mafunkce komplexnı poly, pouzijte radeji tabulku, protoze pocıtanı skomplexnımi cısly je zdlouhave a narocne.

Pokud ma funkce pol p1 = α + jβ, potom ma i pol p2 = α− jβ.V takovem prıpade muzeme vyuzıt nasledujıcı vztah:

Jestlize F (p) = M(p)N(p) ma komplexnı poly p1,2 = α± jβ, potom:

resp=α+ jβ

F (p) ept + resp=α− jβ

F (p) ept = 2Re resp=α+ jβ

F (p) ept

Spocıtejte si samostatne prıklady 7.2.3 a), b), c) a 7.2.4.a) d) zeSbırky uloh.

Pokud funkce ma pouze realne poly, k inverznı Laplaceovytransformace doporucuji pouzit Heavisideovu vetu. Pokud mafunkce komplexnı poly, pouzijte radeji tabulku, protoze pocıtanı skomplexnımi cısly je zdlouhave a narocne.

Pokud ma funkce pol p1 = α + jβ, potom ma i pol p2 = α− jβ.V takovem prıpade muzeme vyuzıt nasledujıcı vztah:

Jestlize F (p) = M(p)N(p) ma komplexnı poly p1,2 = α± jβ, potom:

resp=α+ jβ

F (p) ept + resp=α− jβ

F (p) ept = 2Re resp=α+ jβ

F (p) ept

Prıklad

F (p) =2p − 1

p2 + 9.

Funkce F (p) ma dva komplexnı poly 1. radu, a to p1,2 = ±3 j.

f (t) = L−1

{2p − 1

p2 + 9

}= res

p=3 jF (p) ept + res

p=−3 jF (p) ept =

= 2Re resp=3 j

F (p) ept = 2Re limp→3 j

(p − 3 j)2p − 1

(p − 3 j)(p + 3 j)ept =

Prıklad

F (p) =2p − 1

p2 + 9.

Funkce F (p) ma dva komplexnı poly 1. radu, a to p1,2 = ±3 j.

f (t) = L−1

{2p − 1

p2 + 9

}= res

p=3 jF (p) ept + res

p=−3 jF (p) ept =

= 2Re resp=3 j

F (p) ept = 2Re limp→3 j

(p − 3 j)2p − 1

(p − 3 j)(p + 3 j)ept =

= 2Re 2 · 3 j− 1

6 je3 jt = Re 6 j− 1

3 j· jje3 jt =

= Re −6− j

−3e3 jt =

3Re (6 + j) e3 jt =

3Re (6 + j) (cos 3t + j sin 3t) = 2 cos 3t − 1

3sin 3t

Stejny prıklad pomocı tabulky

f (t) = L−1

{2p − 1

p2 + 9

}= L−1

p2 + 9

}− L−1

p2 + 9

= 2L−1

p2 + 9

}− 1

3L−1

p2 + 9

}= 2 cos 3t − 1

3sin 3t

= 2Re 2 · 3 j− 1

6 je3 jt = Re 6 j− 1

3 j· jje3 jt =

= Re −6− j

−3e3 jt =

3Re (6 + j) e3 jt =

3Re (6 + j) (cos 3t + j sin 3t) = 2 cos 3t − 1

3sin 3t

Stejny prıklad pomocı tabulky

f (t) = L−1

{2p − 1

p2 + 9

}= L−1

p2 + 9

}− L−1

p2 + 9

= 2L−1

p2 + 9

}− 1

3L−1

p2 + 9

}= 2 cos 3t − 1

3sin 3t

Pomocı Laplaceovy transformace resıme diferencialnı aintegro-diferencialnı rovnice. Postup je jednoduchy. Kazdy clenrovnice, vcetne prave strany, pretransformujeme do novehoprostoru pomocı tabulky. Novou rovnici vyresıme a najdeme vzortohoto resenı.

Prıklad

Vyreste integro-diferencialnı rovnici

x ′(t)− 4

0x(s)d s = 4t2, x(0) = 0.

L{x(t)} = X (p) ⇒ L{x ′(t)

}= pX (p),

L{∫ t

0x(s)d s

pX (p) a L

p3. Dosadıme do rovnice:

Pomocı Laplaceovy transformace resıme diferencialnı aintegro-diferencialnı rovnice. Postup je jednoduchy. Kazdy clenrovnice, vcetne prave strany, pretransformujeme do novehoprostoru pomocı tabulky. Novou rovnici vyresıme a najdeme vzortohoto resenı.

Prıklad

Vyreste integro-diferencialnı rovnici

x ′(t)− 4

0x(s)d s = 4t2, x(0) = 0.

L{x(t)} = X (p) ⇒ L{x ′(t)

}= pX (p),

L{∫ t

0x(s)d s

pX (p) a L

p3. Dosadıme do rovnice:

pX (p)− 4

pX (p) = 4

p3⇒ p2X (p)− 4X (p) =

Z toho

X (p) =8

p2(p2 − 4)=

p2(p − 2)(p + 2).

Mame vyresenou rovnici v novem prostoru. Ted’ uz zbyva jenomnajıt vzor teto funkce. Funkce X (p) ma pouze realne poly, protomuzeme pouzıt na hledanı vzoru Heavisideovu vetu.

p1 = 0 je pol 2. radu, p2,3 = ±2 jsou poly 1. radu.

x(t) = L−1

p2(p2 − 4)

= resp=0

X (p) ept + resp=2

X (p) ept + resp=−2

X (p) ept =

pX (p)− 4

pX (p) = 4

p3⇒ p2X (p)− 4X (p) =

Z toho

X (p) =8

p2(p2 − 4)=

p2(p − 2)(p + 2).

Mame vyresenou rovnici v novem prostoru. Ted’ uz zbyva jenomnajıt vzor teto funkce. Funkce X (p) ma pouze realne poly, protomuzeme pouzıt na hledanı vzoru Heavisideovu vetu.

p1 = 0 je pol 2. radu, p2,3 = ±2 jsou poly 1. radu.

x(t) = L−1

p2(p2 − 4)

= resp=0

X (p) ept + resp=2

X (p) ept + resp=−2

X (p) ept =

= limp→0

[p2 8ept

p2(p2 − 4)

]′+ lim

p→2(p − 2)

p2(p − 2)(p + 2)+

+ limp→−2

(p + 2)8ept

p2(p − 2)(p + 2)=

= limp→0

[ 8ept

p2 − 4

16− 8e−2t

= limp→0

8tept(p2 − 4)− 8ept2p

(p2 − 4)2+

2− e−2t

=8t(−4)− 8 · 0

(−4)2+

2− e−2t

2= −2t +

2− e−2t

Resenı integro-diferencialnı rovnice je funkce

x(t) =1

(e2t − e−2t − 4t

Spocıtejte si priklady 7.3.1 a), b), c), e), f) a 7.3.2 ze Sbırky uloh.

Lff t g F p f t e ptdt 0kolara/tutorial_Laplace.pdfAby re aln a funkce f(t) byla vzorem n ejak e...

Documents

Transcript of Lff t g F p f t e ptdt 0kolara/tutorial_Laplace.pdfAby re aln a funkce f(t) byla vzorem n ejak e...