ทฤษฎเซตี SetTheory...T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T...

ทฤษฎเซตSet Theory

ธนชยศ จำปาหวาย

สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2561

MAP1404ทฤษฎเซตSet Theory

อาจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทาเอกสารประกอบการสอนวชาทฤษฎเซต ภาคเรยนท 1 ป การศกษา 2561

สารบญ

1 ความรเบ องตน 11.1 ตรรกศาสตรเชงสญลกษณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 วธการพสจน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 ปฏทรรศน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 สจพจนของทฤษฎเซต 392.1 ประวตและการเขยนเซต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 สจพจนการเทากน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 สจพจนเกยวกบการดำเนนการ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 สจพจนของเซตกำลง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5 สจพจนของเซตอนนต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 ความสมพนธ 753.1 เซตของคอนดบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 ความสมพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3 ความสมพนธสมมล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 ฟงกชน 1014.1 ฟงกชน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 ฟงกชนผกผนและฟงกชนประกอบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 ภาพและภาพผกผน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.4 เซตดรรชน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 การเรยงอนดบบางส วน 1395.1 เซตซงเรยงอนดบบางสวนได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2 เซตทเปนอนดบดแลว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.3 สจพจนของการเลอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6 จำนวนธรรมชาต 1616.1 สจพจนเปอาโน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2 การดำเนนการบนจำนวนธรรมชาต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 การเปนอนดบของจำนวนธรรมชาต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

ก

ข สารบญ

7 ระบบจำนวน 1817.1 จำนวนเตม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 จำนวนตรรกยะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.3 จำนวนจรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8 เซตจำกดและเซตอนนต 2078.1 การเทยบเทาของเซต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2 เซตจำกด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.3 เซตอนนต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.4 เซตนบได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9 จำนวนเชงการนบ 2339.1 จำนวนเชงการนบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.2 การดำเนนการของจำนวนเชงการนบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.3 จำนวนเชงอนดบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

บทท 1ความรเบ องตน

1.1 ตรรกศาสตรเชงสญลกษณขอความทตดสนใจไดวา ตองเปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน จะเปนทงสอง

อยางไมได กลาวคอถาขอความใดไมเปนจรงแลวขอความนนตองเปนเทจ ในนยกลบกน ถาขอความใดไมเปนเทจแลวขอความนนตองเปนจรง (พฒน อดมกะวานช. 2559. หนา 2) เรยกขอความหรอประโยคเหลานนวา ประพจน (proposition หรอ statement)บทนยาม 1.1.1 ประพจน คอประโยคหรอขอความทมคาความจรง (truth value) เปนจรง (true)หรอคาความจรงเปนเทจ (false) อยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยวตวอยาง 1.1.2 จงพจารณาวาประโยคตอไปน เปนประพจนหรอไม ถาเปนประพจนใหบอกคาความจรงของประพจนเหลานน

1. พระอาทตย ขนทางทศตะวนออก2. เขาเปนคนองกฤษ3. กรณา เป ดหนาตางใหฉนหนอย

4. คณมาทำอะไรทน

5. จงหวดเลยไมอยในภาคเหนอของประเทศไทย6. คณพระชวย !

7. พตองพาฉนไปดหนงนะ8. x > 1

บทนยาม 1.1.3 ประโยคเป ด คอประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร (variable) เมอแทนทตวแปรดวยสมาชกในขอบเขตทกำหนด แลวประโยคนนจะเปนประพจน

1

2 บทท 1. ความร เบองตน

ประพจนทางคณตศาสตรท เราพบมกจะเกดจากหลายประพจนท ถกเชอมกนดวยตวเชอมตาง ๆ ทำใหเกดประพจนใหม ตวเช อม (connective) ระหวาง 2 ประพจนในทางตรรกศาสตรมอย 4 ชนดคอ

1. และ (and) เขยนแทนดวย ∧

2. หรอ (or) เขยนแทนดวย ∨

3. ถา...แลว (if...then) เขยนแทนดวย →

4. กตอเมอ (if and only if) เขยนแทนดวย ↔

สรปคาความจรงในแตละกรณตามตารางดงตอไปน ซงเรยกวา ตารางคาความจรง (truthtable) เมอ p และ q เปนประพจน และ T แทนคาความจรงเปนจรง F แทนคาความจรงเปนเทจ

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

T T T T T TT F F T F FF T F T T FF F F F T T

นเสธของประพจน (Negation of proposition) เขยนแทนดวย ¬p แทนนเสธของประพจนp ซงจะมคาความจรงตรงกนขามกบ p

p ¬pT FF T

ตวอยางเช นนเสธของประพจน "ประเทศองกฤษอยในทวปยโรป" คอ "ประเทศองกฤษไมอยในทวปยโรป" เปนตน

บทนยาม 1.1.4 ประพจน P สมมล (equivalence) กบ Q เขยนแทนดวย P ≡ Q กตอเมอประพจนทงสองมคาความจรงตรงกนทกๆกรณ

จากประพจนทวา p ↔ q มความหมายวา (p → q) ∧ (q → p) ดงนนp ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

ตวอยาง 1.1.5 จงแสดงวาประพจน p → q สมมลกบ ¬q → ¬p

p q p → q ¬q ¬p ¬q → ¬pT T T F F TT F F T F FF T T F T TF F T T T T

1.1. ตรรกศาสตร เชงสญลกษณ 3

ดงนน p → q ≡ ¬q → ¬p เราเรยกสมบตน วากฎแยงสลบท (contrapositive law) ตวอยางเช น "ถาแดงไปโรงเรยนแลวแดงจะไดกนขนม" โดยใชกฎแยงสลบทจะสมมลกบประพจน "ถาแดงไมไดกนขนมแลวแดงไมไปโรงเรยน" เปนตน

เมอกำหนดให p, q และ r เปนประพจนใด ๆ จะไดสมมลดงตอไปน

(E1) p ∧ p ≡ p กฎนจพล (Idempotent law)p ∨ p ≡ p

(E2) p ∧ q ≡ q ∧ p กฎการสลบท (Commutative law)p ∨ q ≡ q ∨ p

(E3) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r กฎการเปลยนหม (Associative law)p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

(E5) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) กฎการแจกแจง (Distributive law)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(E6) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q กฎเดอมอรแกน (De Morgan's law)¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

(E7) ¬(¬p) ≡ p กฎนเสธซอน (Double negation law)(E8) p → q ≡ ¬q → ¬p กฎแยงสลบท (contrapositive law)(E9) p → q ≡ ¬p ∨ q

(E10) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (q ↔ p)

(E11) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (¬p → ¬q)

(E12) p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q

(E13) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

(E14) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

(E15) (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)

(E16) (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

บทนยาม 1.1.6 ประพจนท มรปแบบทมคาความจรงเปนจรงเสมอเราจะเรยกวา สจนรนดร(tautology) และเรยกนเสธของสจนรนดรวา ขอความขดแยง (contradiction)ตวอยาง 1.1.7 จงแสดงวาประพจน p → (p ∨ q) เปนสจนรนดร

p q p ∨ q p → (p ∨ q)

T T T TT F T TF T T TF F F T


ดงนน p → (p ∨ q) เปนสจนรนดร เราเรยกวาการเพม (addition)ประพจนตอไปน เปนสจนรนดร เมอให p, q และ r เปนประพจนใด ๆ

(T1) p ∧ p ↔ p กฎนจพล (Idempotent law)p ∨ q ↔ p

(T2) p ∧ q ↔ q ∧ p กฎการสลบท (Commutative law)p ∨ q ↔ q ∨ p

(T3) p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r กฎการเปลยนหม (Associative law)p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r

(T4) p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) กฎการแจกแจง (Distributive law)p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(T5) ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q กฎเดอมอรแกน (De Morgan's law)¬(p∧) ↔ ¬p ∨ ¬q

(T6) ¬(¬p) ↔ p กฎนเสธซอน (Double negation law)(T7) ¬p ∨ p หรอ ¬(¬p ∧ p)

(T8) p → p

(T9) p → p ∨ q Addition(T10) p ∧ q → p Simplification

p ∧ q → q

(T11) p ∧ (p → q) → q Modus ponens(T12) ¬q ∧ (p → q) → ¬p Modus tollens(T13) (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) Hypothetical syllogism(T14) (p ∨ q) ∧ ¬p → q Disjunctive syllogism

(p ∨ q) ∧ ¬q → p

(T15) (¬p → c) → p

ให p แทนประพจน x > 2 เมอ x ∈ {1, 2, 3, 4}

x p : x > 2 คาความจรง1 1 > 2 F2 2 > 2 F3 3 > 2 T4 4 > 2 T

จากตารางจะเหนไดวาคาความจรงของประพจน p เปลยนไปตามคา x นยมใช p(x) แทนประพจนp และเรยก {1, 2, 3, 4} วา เอกภพสมพทธ (universe) นยมเขยนแทนดวย U เมอกลาววา


" ม x ใน U ทสอดคลอง p(x) "

ประพจนน มคาความจรงเปนจรงเพราะวาม x = 3 ซงทำให p(3) มคาความจรงเปนจรง เขยนแทนคำวา "ม" ดวย ∃ ดงนนเขยนประพจนดงกลาวไดเปน ∃x ∈ U , p(x) ในทำนองเดยวกน ถากลาววา

" ทก ๆ x ใน U ทสอดคลอง p(x) "

ประพจนน จะมคาความจรงเปนเทจเพราะวาม x = 1 ททำให p(1) มคาความจรงเปนเทจ เขยนแทนคำวา "ทก ๆ " ดวย ∀ ดงนนเขยนประพจนดงกลาวไดเปน ∀x ∈ U , p(x) เรยก 2 สญลกษณวา ตวบงปรมาณ (quantifier) และเรยกวธการน วา วธบงปรมาณ (quantification) ซงมได2 แบบ ดงนยามดงตอไปนบทนยาม 1.1.8 ให U เปนเอกภพสมพทธ และ p(x) เปนประพจน

แบบท 1 นำหนา p(x) ดวยวลบงปรมาณ

ทก x ใน U / สำหรบแตละ x ใน U / ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U

สำหรบแตละ x ใน U ซงมสมบต p(x) เขยนแทนดวย

∀x ∈ U [ p(x) ] หรอ ∀x [ p(x) ] หรอ ∀x ∈ U , p(x)

เรยก ∀ วา ตวบงปรมาณทงหมด (universal quantifier)แบบท 2 นำหนา p(x) ดวยวลบงปรมาณ

ม x ใน U ซง / บาง x ใน U มสมบตวา

มบาง x ใน U ซงมสมบต p(x) เขยนแทนดวย

∃x ∈ U [ p(x) ] หรอ ∃x [ p(x) ] หรอ ∃x ∈ U , p(x)

เรยก ∃ วา ตวบงปรมาณมอยางนอยหนง (existential quantifier) เรยกสน ๆ วา ม

เพอความสะดวกในการเขยนตรรศาสตรสญลกษณ กำหนดให

C แทนเซตของจำนวนเชงซอนR แทนเซตของจำนวนจรงQ แทนเซตของจำนวนตรรกยะ

Qc แทนเซตของจำนวนอตรรกยะZ แทนเซตของจำนวนเตมN แทนเซตของจำนวนนบ


ตวอยาง 1.1.9 จงเขยนขอความตอไปน ในรปสญลกษณพรอมบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ

1. มจำนวนเตม x ซง x2 = x

2. ไมวา x จะเปนจำนวนจรงใดกตาม จะไดวา x > 0

3. จำนวนจรงทกจำนวนมคาเปนลบเสมอ

4. มจำนวนตรรกยะทมคาเปนลบ

5. จำนวนเตมทกจำนวนเปนจำนวนบวกหรอจำนวนลบ

ตวอยาง 1.1.10 จงเปลยนสญลกษณตอไปน ในรปขอความ1. ∀n ∈ N, n > 1

2. ∃x ∈ Z, (x = 1) → (x2 > 1)

3. ∀x ∈ R+, (x < 1) ↔ (x2 < x)

บทนยาม 1.1.11 ให U เปนเอกภพสมพทธ และ p(x) เปนประพจน

ขอความ ∀x ∈ U , p(x) มคาความจรงเปนจรงกตอเมอ

ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U p(x) มคาความเปนจรง นอกนนขอความน เปนเทจ

ขอความ ∃x ∈ U , p(x) มคาความจรงเปนจรงกตอเมอ

ม x อยางนอยหนงตวใน U ทำให p(x) มคาความเปนจรง นอกนนขอความน เปนเทจ


ตวอยาง 1.1.12 ให U = {1, 2, 3, 4} เปนเอกภพสมพทธ พจารณาคาความจรงของ

∀x ∈ U , x > 0

x ขอความ x > 0 คาความจรง1

2

3

4

∃x ∈ U , x < 2

x ขอความ x < 2 คาความจรง1

2

3

4

ตวอยาง 1.1.13 ใหเอกภพสมพทธ U = {−2,−1, 0, 1, 2} พจารณาคาความจรงของขอความตอไปน

1. ∀x ∈ U , (x2 = x) → (x > 0)

x ขอความ (x2 = x) → (x > 0) คาความจรง−2

−1

0

1

2

2. [∀x ∈ U , x2 = x] → [∀x ∈ U , x > 0]

x ขอความ x2 = x คาความจรง ขอความ x > 0 คาความจรง−2

−1

0

1

2


หลายครงมกจะพบประพจนท ซบซอนมากขนเช น "มจำนวนเตมจำนวนหนงซงบวกกบทกจำนวนเตมแลวเทากบศนย " เขยนสญลกษณไดเปน

∃x ∈ Z∀y ∈ Z, x+ y = 0

ประพจนลกษณะนกลาวไดวามตวบงปรมาณ 2 ตวตวอยาง 1.1.14 จงแปลงประพจนตอไปน ในรปสญลกษณ

1. ทกจำนวนจรง x มจำนวนจรง y ซง x+ y = 0

2. สำหรบจำนวนนบ n และ m จะไดวา n+m > 1

3. มจำนวนเตม x ซง x = y + 1 ทก ๆ จำนวนเตม y

4. มจำนวนจรง x และ y ถา x > 0 และ y > 0 แลว 1

x+

1

y= 1

ตวอยาง 1.1.15 ให U = {−1, 0, 1} เปนเอกภพสมพทธ พจารณาขอความ x + y = 0 โดยสรางแผนภาพตนไมไดดงน

x y x+ y = 0 คาความจรง

−1

−1 −1 + (−1) = 0 F0 −1 + 0 = 0 F1 −1 + 1 = 0 T

0

−1 0 + (−1) = 0 F0 0 + 0 = 0 T1 0 + 1 = 0 F

1

−1 1 + (−1) = 0 T0 1 + 0 = 0 F1 1 + 1 = 0 F


ให p(x, y) แทนประพจน x+ y = 0 เขยนตารางไดดงน−1 ◦ ◦ •

0 ◦ • ◦

1 • ◦ ◦

−1 0 1

จะเรยกตารางน วา ตารางจด (Dot table) โดยใหแนวนอนเปนคา x และแนวตงเปนคา y จงตรวจสอบคาความจรงของประพจน ∀x ∈ U ∃y ∈ U , x+ y = 0 และ ∃x ∈ U ∀y ∈ U , x+ y = 0

ตวอยาง 1.1.16 ให U = {−1,−2, 0, 1, 2} เปนเอกภพสมพทธ พจารณาขอความp(x, y) : |x|+ y ≥ x+ |y|

จงตรวจสอบคาความจรงของประพจน

1. ∀x ∈ U ∀y ∈ U , p(x, y)

2. ∀x ∈ U ∃y ∈ U , p(x, y)

3. ∃x ∈ U ∀y ∈ U , p(x, y)

4. ∃x ∈ U ∃y ∈ U , p(x, y)


ตอมาจะกลาวถงการหานเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ เชน "ไมมจำนวนเตม x ใดเลยทสอดคลอง x2 + x+ 1 = 0" เขยนเปนสญลกษณคอ

¬∃x ∈ Z, x2 + x+ 1 = 0

หมายถง "ทกจำนวนเตม x จะสอดคลอง x2 + x+ 1 = 0" เขยนเปนสญลกษณคอ∀x ∈ Z, x2 + x+ 1 = 0

สรปไดดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 1.1.17 ให U เปนเอกภพสมพทธของประพจน p(x) นเสธของตวบงปรมาณนยามโดยนเสธของ ∀x ∈ U , p(x) คอ ¬∀x ∈ U , p(x) ≡ ∃x ∈ U , ¬p(x)

นเสธของ ∃x ∈ U , p(x) คอ ¬∃x ∈ U , p(x) ≡ ∀x ∈ U , ¬p(x)

ตวอยาง 1.1.18 จงหานเสธของประพจนตอไปน1. ∃x ∈ R, x2 = x

2. ∀x ∈ R , x = x+ 0

3. ∀x ∈ Z∃y ∈ Z, xy > 0 → x+ y > 0

4. ไมวา x เปนจำนวนจรงใดกตาม ถา x = 0 แลว x2 > 0

5. ไมวา x จะเปนจำนวนจรงใดกตาม x > 0 กตอเมอ x2 > 0


ตวอยาง 1.1.19 จงหานเสธของประพจนตอไปน1. มจำนวนเตม x และ y ซง xy = 1

2. ผลบวกของจำนวนตรรกยะเปนจำนวนตรรกยะ

ตวอยาง 1.1.20 จงหานเสธของประพจนตอไปน1. ∃x ∈ U , p(x) → q(x)

2. ∀x ∈ U , p(x) ∨ q(x)

3. ∃x ∈ U ∀y ∈ U , ¬p(x, y) → q(x, y)

4. ∀x ∈ U ∀y ∈ U , p(x, y) ↔ q(x, y)

5. ∃x ∈ U , p(x) → ∀x ∈ U , q(x)


แบบฝ กหด 1.11. พจารณาประโยคตอไปน วาเปน ประพจน หรอ ประโยคเป ด หรอไมเปนทงสองอยาง

1.1 หามเดนลดสนาม1.2 ป ปจจบนเปนป ระกา1.3 นานเปนจงหวดในภาคใต1.4 มจำนวนนบทนอยกวา 1

1.5 5 หาร 11 ลงตว1.6 ใครเปนคนนดพวกเราทสยามพารากอน1.7 รถไฟมสองหว1.8 ถา 1 > 1 แลวประเทศไทยจะม 100 จงหวด

2. จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน2.1 ถา 20 = 02 แลว 2 = 0

2.2 ปมาไมมขากตอเมอลงไมมห2.3 จำนวนนบเปนจำนวนเตมหรอตรรกยะ

2.4 ถา 2 = 9 แลว นกขมนบนไมได2.5 ถาชางเปนสตวป กแลวชางเปนตกแตน2.6 กระตายไมมฟน กตอเมอ 1 > 2

3. จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน3.1 (p → ¬q) ∨ (q → p)

3.2 p ∧ (¬q → r) ↔ (r ∨ q)

3.3 ¬[¬p ∧ (q → ¬r)] → (p ∧ ¬r)

3.4 ¬p ∧ (q ∨ r) → (p → r ∧ s)

4. ประพจน p, q, r, s มคาความจรงเปน T, F, F, T ตามลำดบ จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน4.1 p → (q ∨ ¬(p ∧ r))

4.2 ¬[(p ↔ ¬q) ∧ (q → ¬r)] → ¬s

4.3 ¬(r ∧ ¬s) ↔ (p ∨ ¬q)

4.4 [(¬p ∨ (¬p → (q ∧ r) ∨ s) → p) ∧ r] ↔ p

5. กำหนดให p, q, r เปนประพจนใด จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน สมมลกนหรอไม โดยใชตารางคาความจรง5.1 q และ ¬p ∨ (p ∧ q)

5.2 ¬p → q และ ¬q → p

5.3 (p ∨ r) → q และ p → (q ∨ r)

5.4 p ↔ (q ∨ r) และ (p ∨ r) ↔ q

5.5 (p ∨ q) ↔ r และ p ∨ (q ↔ r)

5.6 p → (q → r) และ p ∧ q → r

6. ให p, q, r เปนประพจนใด ๆ จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม ถาสมมลกนจงแสดงโดยใชทฤษฎบท ถาไมสมมลจงยกตวอยางคาน


6.1 ¬(p → ¬q) และ p ∧ (p → q)

6.2 p → (q ↔ r) และ (p → q) ↔ r

6.3 p ∧ (q ∨ r) และ (p ∧ q) ∨ r

6.4 p ↔ ¬q และ ¬p ↔ q

6.5 p → (q ∨ r) และ ¬(¬r → q) → ¬p

6.6 ¬(p ∧ ¬q) และ ¬q → ¬p

6.7 ¬p → q และ (¬p → q) ∧ (q → ¬p)

6.8 p → (q → r) และ (p → q) → r

7. จงหานเสธของประพจนตอไปน7.1 รองเทาเปนเครองแตงกายชนดหนง7.2 ถาแดงไปโรงเรยน แลวดำจะไมทำการบาน7.3 2 > 4 และ 3 = 5

7.4 x+ 1 = 3 หรอ π เปนจำนวนตรรกยะ7.5 ถา 2 เปนจำนวนค แลว 1 เปนจำนวนเฉพาะ7.6 5 เปนจำนวนเตมบวก กตอเมอ e เปนจำนวนอตรรกยะ7.7 ab = 0 กตอเมอ a = 0 หรอ b = 0

7.8 ถา xy > 0 แลว (x > 0 และ y > 0 ) หรอ (x < 0 และ y < 0 )7.9 x+ y = 0 กตอเมอ x = −y หรอ y = −x

7.10 ถา 2 หาร x ลงตว หรอ 3 หาร x ลงตว แลว 6 หาร x ลงตว8. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชตารางคาความจรง

8.1 (p ∨ q) ∨ ¬(p ∧ q)

8.2 (p → ¬q) → (p ∧ q)

8.3 ¬p → (p ∨ q)

8.4 ¬(p ∧ q) → ¬p ∧ ¬q

8.5 (¬p → ¬q) ∨ (p ↔ q)

8.6 (¬p → q) ↔ ¬(p ∨ q)

9. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชทฤษฎบท9.1 (p → q) ↔ ¬(p ∧ q)

9.2 (p ↔ q) ↔ (¬p → q)

9.3 ¬(p → ¬q) ↔ (p ∧ q)

9.4 (p ∨ q) ↔ (p ∧ q)

9.5 (p → ¬q) ↔ ¬(p ∧ q)

9.6 [p → (q → r)] ↔ (p → r)

9.7 (p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]

9.8 [¬p ∨ (r → s)] ↔ [(r ∨ s) → p]

9.9 [p → (r → s)] ↔ [(¬r ∧ s) → p]

9.10 [(p ∧ q) → r] ↔ [¬r → (¬p ∨ ¬q)]

10. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชวธขดแยง10.1 ¬(p → q) → ¬q10.2 [p → (q → p)] → p

10.3 ¬p ∧ q → p

10.4 (p ∧ q) → (p ∨ q)

10.5 (p → q) ∧ (p → r) → (p → q ∨ r)

10.6 (p → r) ∨ (q → r) → (p ∨ q → r)

10.7 (p ∧ q) ∨ ¬(p ∨ q)

10.8 ((p → q) → r) → (p → (q → r))

10.9 ¬(p → q) → (¬p ↔ q)

10.10 ¬[p ∨ (¬p ∧ q)] → (¬p ∧ ¬q)10.11 (p → q) → (q → p)

10.12 (p → r) → [(p → q) ∧ (q → r)]


11. จงเขยนขอความตอไปน ในรปสญลกษณพรอมบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ11.1 มจำนวนเตม x ซง |x| = x

11.2 ไมวา x จะเปนจำนวนจรงใดกตามจะได x2 > 0

11.3 จำนวนนบทกจำนวนมคามากกวา 1

11.4 ไมมจำนวนตรรกยะใดเลยทเปนจำนวนบวก11.5 มจำนวนจรง x และ y ซง x+ y > 0

11.6 มจำนวนเตม m ซง m > n ทก ๆ จำนวนเตม n

12. ให A = {−1, 0, 1}, B = {−2,−1, 0, 1, 2} และ C = {1, 2, 3, 4} พจารณาคาความจรงของขอความตอไปน12.1 ∀x ∈ A [ x+ 1 ≥ x ]

12.2 ∃x ∈ C [ x(x+ 1) = x ]

12.3 ∀x ∈ B [ x > 0 → x2 > x ]

12.4 ∀x ∈ A ∀y ∈ A [x = y → x > y ]

12.5 ∀x ∈ B ∃y ∈ B [xy = 1 ]

12.6 ∃x ∈ C ∃y ∈ C [x+ y < xy ]

13. ใหเอกภพสมพทธเปนจำนวนจรง จงหานเสธของขอความตอไปน13.1 ∀x [

√x ≥ 0 ]

13.2 ∀x [x = 1 → |x| > 2 ]

13.3 ∃x [ (x < 3) ∧ (x > 3) ]

13.4 ∀x∀y [ xy > 0 → xy> 0 ]

13.5 ∃x∀y [ x = y ↔ x2 = y2 ]

13.6 ∃x∃y [ (xy = 10 ∧ x > 5) → y > 2 ]

14. ใหเอกภพสมพทธเปนจำนวนจรง จงหานเสธของขอความตอไปน14.1 ไมมจำนวนจรงใดเลยทมากกวาศนย14.2 มจำนวนจรง x ซง x+ y = y สำหรบทก ๆ จำนวนจรง y

14.3 ทก ๆ จำนวนเตม m,n ถา m+ n = mn แลว nm = 1

1.2. วธการพสจน 15

1.2 วธการพสจนผเขยนจะมการนำเสนอวธการพสจนไวทงหมด 6 วธ ประกอบไปดวย

1. การพสจนขอความแบบมเงอนไข2. การพสจนโดยการแจกแจงกรณ3. การพสจนขอความแบบผนกลบได4. การพสจนโดยวธขดแยง

5. การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว6. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

1. การพสจนขอความแบบมเงอนไขการพสจนขอความทอย ในรปแบบ p → q เรยกวา การพสจน ขอความแบบมเงอนไข

(proof of conditional statements) ตองการแสดงวา p → q เปนจรง ตองแสดงใหไดวาเมอไรกตามท p เปนจรง ตองแสดงใหไดวา q เปนจรงดวย เขยนเปนโครงพสจนไดดงน

สมมต p เปนจรง...

ดงนน q เปนจรง (ขอสรป) �

จะเรยกวธน วาการพสจน โดยวธตรง (direct proof) นยมใชเครองหมาย � วางไวบรรทดสดทายเพอบอกวาจบการพสจน ในสวนทเวนวางไวนนคอสวนทจะเตมรายละเอยดใหสมบรณอาจจะไดจากนยาม ทฤษฎบททพสจนมากอนหนา หรอสจพจน เพอใหนำไปสขอสรปอยางเปนเหตเปนผลกน เพอใชในการพสจนในตวอยางตอไปจากน จะนยาม

บทนยาม 1.2.1 เรยกจำนวนเตม a ทไมใช ศนยวาหารจำนวนเตม b ลงตว เขยนแทนดวย a | b

ถามจำนวนเตม k ซง b = ak

และเรยก a วาตวหาร (divisor) หรอตวประกอบ (factor) ของ b ถา a หาร b ไมลงตวเขยนแทนดวย a - b

บทนยาม 1.2.2 จำนวนค (even number) คอจำนวนเตมทหารดวย 2 ลงตว หรอกลาวไดวา

ถา a เปนจำนวนค แลว 2 | a หรอมจำนวนเตม k ซง a = 2k

และจำนวนเตม a ทมจำนวนเตม k ซง a = 2k + 1 เรยกวา จำนวนค (odd number)


ตวอยาง 1.2.3 จงพสจนวา " ถา n เปนจำนวนค แลว n2 เปนจำนวนค "

ตวอยาง 1.2.4 จงพสจนวา " ถา m และ n เปนจำนวนค แลว m+ n เปนจำนวนค "

ตวอยาง 1.2.5 จงพสจนวา "สำหรบจำนวนเตม a, b และ c ซง a = 0 ถา a | b และ a | c แลวa | (2b+ 3c)"


ตวอยาง 1.2.6 จงพสจนวา "ถา n2 เปนจำนวนค แลว n เปนจำนวนค"แนวคด มโครงพสจนดงน

สมมต n2 เปนจำนวนค...

ดงนน n เปนจำนวนค �

จะเหนไดวาการพสจนโดยวธตรงน ทำไมได แตสามารถทำไดโดยใชกฎแยงสลบทซ งมความหมายเดยวกบขอความทตองการจะพสจนคอ p → q ≡ ¬q → ¬p ดงนนจะทำการพสจน

∀n ∈ Z, n เปนจำนวนค → n2 เปนจำนวนค

บทพสจน . ให n เปนจำนวนเตมใด ๆ สมมตวา n เปนจำนวนค จะไดวามจำนวนเตม k ซงn = 2k + 1 แลว

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1

ให p = 2k2 + 2k เนองจาก k เปนจำนวนเตม ดงนน p เปนจำนวนเตม นนคอมจำนวนเตม p ซงทำให n2 = 2p+ 1 สรปไดวา n2 เปนจำนวนค

การพสจน p → q ในตวอยาง 1.2.6 เรยกวา การพสจนโดยวธการแยงสลบท (contrapositiveproof) มโครงการพสจนดงน

สมมต ¬q เปนจรง...

ดงนน ¬p เปนจรง �

อนงในกรณทพยายามใชทง 2 วธแลวแตยงไมสามารถพสจนไดยงมอกหนงวธคอ วธขดแยง(contradiction) ซงจะกลาวในวธท 4 ดงนนการพสจนขอความในรปแบบ p → q ได 3 วธคอ

1. พสจนโดยวธตรง (direct proof)

2. พสจนโดยวธการแยงสลบท (contrapositive proof)3. พสจนโดยวธขดแยง (proof by contradiction)


ตวอยาง 1.2.7 จงพสจนวา "ถา n3 เปนจำนวนค แลว n เปนจำนวนค"

การพสจนขอความ p → (q ∨ r) เนองจาก p → (q ∨ r) ≡ p → (¬q → r) ดงนน

สมมต p และ ¬q เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง

ตวอยาง 1.2.8 จงพสจนวา " ถา m+ n เปนจำนวนค แลว m หรอ n เปนจำนวนค "

ตวอยาง 1.2.9 จงพสจนวา " ถา mn เปนจำนวนค แลว m หรอ n เปนจำนวนค "


การพสจนขอความ p → (q ∧ r) เนองจาก p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ดงนน ตองพสจนวาทง 2 ขอความเปนจรง

1. p → q

2. p → r


ดงนน q เปนจรง


ดงนน r เปนจรงตวอยาง 1.2.10 จงพสจนวา " ถา a เปนจำนวนค แลว 4|a2 และ a2 + 1 เปนจำนวนค "

ตวอยาง 1.2.11 จงพสจนวา " ถา m เปนจำนวนค แลว 4|(m2 + 3) และ 4|(m2 − 1) "

ตวอยาง 1.2.12 ขอความ "ถา m + n เปนจำนวนค แลว m และ n เปนจำนวนค" เปนจรงหรอเทจ


2. การพสจนโดยการแจกแจงกรณจะกลาวถงการพสจนขอความในรปแบบ (p∨q) → r เนองจาก (p∨q) → r ≡ (p → r)∧(q → r)

ดงนนตองพสจนทง 2 กรณคอ

กรณท 1 p → r


ดงนน r เปนจรง

กรณท 2 q → r

สมมต q เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง �

เรยกวาการพสจนโดยแจกแจงกรณ (proof by cases) ดงจะยกตวอยางตอไปน

ตวอยาง 1.2.13 จงพสจนวา "ถา a เปนจำนวนค หรอ a เปนจำนวนค แลว a2 + a เปนจำนวนค"


ตวอยาง 1.2.14 จงพสจนวา "ถา n เปนจำนวนเตม แลว n2 + 3n+ 4 เปนจำนวนค"

สำหรบจำนวนเตมแลวไมจำเปนตองแบงเปน 2 กรณคอจำนวนคและจำนวนค บางครงอาจจะแบงมากกวา 2 กรณ เช นกรณจำนวนเตมบวก จำนวนเตมลบ และจำนวนเตมศนย แบงเปน 3กรณ หรอจะแบงเปนหลาย ๆ กรณขนอยกบขอความทตองการพสจนโดยมหลกวาตองพจารณาใหครบทกกรณ ในกรณอน ๆ ทไมใช จำนวนเตม ยอมสามารถพจารณาโดยใชหลกเดยวกน

สำหรบกรณทวไป (p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ pn) → r ตองพสจนวาทง n กรณเปนจรง

กรณท 1 p1 → r

กรณท 2 p2 → r

...กรณท n pn → r


3. การพสจนขอความแบบผนกลบไดการพสจนในรปแบบ p ↔ q ซงทำ 2 ขนตอนดงน

1. p → q เรยกวาขน sufficient part (p เปนเงอนไขทเพยงพอสำหรบ q)

2. q → p เรยกวาขน necessily part (p เปนเงอนไขทจำเปนสำหรบ q)

เหตผลทตองพสจนทง 2 ขนตอนเพราะวา p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) และเรยกวา การพสจนขอความแบบผนกลบได (proof of biconditional statements)ตวอยาง 1.2.15 จงพสจนวา "จำนวนเตม a ใด ๆ a เปนจำนวนค กตอเมอ a+ 3 เปนจำนวนค"

ตวอยาง 1.2.16 จงพสจนวา

"สำหรบจำนวนเตม a และ b ใด ๆ ab เปนจำนวนค กตอเมอ a และ b เปนจำนวนค"


การพสจนขอความ p ↔ q โดยการสรางขอความทสมมลตอเนองกนจากขอความ p ไปยงขอความ q

p ↔ p1 เขยนแทนดวย p ↔ q1

q1 ↔ q2 ↔ q2

q2 ↔ q3 ↔ q3... ...

qn ↔ q ↔ q

เรยกวธการพสจนน วา iff-stringตอไปจะกลาวถงการพสจนขอความทสมมลกนเปนค เช น

(p1 ↔ p2) ∧ (p2 ↔ p3) ∧ (p3 ↔ p1)

สามารถพสจนไดจาก(p1 → p2) ∧ (p2 → p3) ∧ (p3 → p1)

ตวอยาง 1.2.17 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกนทกค

p1 : a เปนจำนวนคp2 : a2 หารดวย 4 ลงตวp3 : a2 เปนจำนวนค


4. การพสจนโดยวธขดแยงถาการพสจนขอความโดยวธตาง ๆ ทผานมาแลวไมสามารถทำได ในหวขอน จะนำเสนอทาง

เลอกอกวธหนง ถาตองการพสจน p เปนจรงโดยการสมมตวา ¬p เปนจรง แลวนำไปสขอความขดแยง c หรอเกดประพจน r ∧ ¬r การพสจนแบบน ไดจากสจนรนดร (T15) (¬p → c) → p

เรยกวธน วา การพสจนโดยวธขดแยง (proof by contradiction) มโครงการพสจนดงนสมมต ¬p เปนจรง

...ดงนน เกดขอขดแยง �

ตวอยาง 1.2.18 จงพสจนวา "ไมวา x จะเปนจำนวนจรงใดกตามทไมใช ศนย จะไดวา x−1 = 0"

แนวคด ให p แทนขอความ ∀x ∈ R, x = 0 → x−1 = 0 สมมตวา ¬p เปนจรง นนคอ∃x ∈ R, x = 0 ∧ x−1 = 0

บทพสจน . สมมตวา มจำนวนจรง x ซง x = 0 และ x−1 = 0

เนองจาก x = 0 โดยสมบตจำนวนจรงจะไดวา x(x−1) = 1 แตจากการสมมต x−1 = 0 จะไดวา1 = x(x−1) = x(0) = 0

เกดขดแยง ดงนนขอความน เปนจรงตวอยาง 1.2.19 จงพสจนวา "ไมมจำนวนเตม x ซง x2 + x = 1"

ตวอยาง 1.2.20 จงพสจนวา "ถา x, y เปนจำนวนเตม แลว x2 − 4y = 2"


ตวอยาง 1.2.21 จงพสจน ∀a ∈ R+, (∀ϵ > 0, a < ϵ) → (a = 0)

ตวอยาง 1.2.22 จงพสจน ∀a, b ∈ R, (∀ϵ > 0, a ≤ b+ ϵ) → (a ≤ b)

บทนยาม 1.2.23 จะเรยกจำนวนเตมบวก p ทมากกวา 1 วาเปนจำนวนเฉพาะ (prime number)กตอเมอ ตวหารของ p มแค 1 กบ p เทานนตวอยาง 1.2.24 จงพสจนวา " มจำนวนเฉพาะเปนจำนวนอนนต "


5. การพสจนขอความซงเป นไปไดอยางเดยวขอความทเปนไปไดอยางเดยวเทานนเขยนแทนดวย ∃!x ∈ U , p(x) ขอความนสมมลกบ

(∃x ∈ U , p(x)) ∧ (∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y)

ดงนนการพสจน ∃!x ∈ U , p(x) แบงการพสจนออกเปน 2 สวนคอ1. ∃x ∈ U , p(x) แสดงวาม x ∈ U อยางนอยหนงตว (existence)2. ∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y แสดงวาม x ∈ U เพยงหนงตวเทานน (uniqueness)

ตวอยาง 1.2.25 จงพสจนวา "มจำนวนจรง x เพยงตวเดยวเทานนซง 2x = 1"แนวคด เขยนในรปสญลกษณไดเปน ∃!x ∈ R, 2x = 1

บทพสจน . ขนท 1 มอยางนอยหนงตว เลอก x = 0 จะไดวา2x = 20 = 1

ขนท 2 มเพยงตวเดยว ให x, y ∈ R สมมต 2x = 1 และ 2y = 1 แลว2x = 1 = 2y ดงนน 2x = 2y

จากสมบตของเลขยกกำลงจะไดวา x = y

ตวอยาง 1.2.26 จงพสจนวา "มจำนวนจรง x เพยงตวเดยวททำให x3 + 1 = 0"

ตวอยาง 1.2.27 จงพสจนวา "ทก ๆ จำนวนจรง x จะมจำนวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซงx+ y = 1"


ตวอยาง 1.2.28 จงพสจนวา "ทก ๆ จำนวนจรง x จะมจำนวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซงx− y = 1"

ตวอยาง 1.2.29 จงพสจนวา

"มจำนวนจรง x เพยงจำนวนเดยวเทานนททำให x+ y = y สำหรบทกจำนวนจรง y"

ตวอยาง 1.2.30 พจารณาคาความจรงของ ∃!x ∈ R, x2 = 1

ตวอยาง 1.2.31 จงพสจนวา ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0 เปนเทจ


6. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรหลกโดมโน (domino principle) มวธการกคอตองผลกชนแรกใหลมเสยกอน เรยกขน

น วาขนฐาน (basic step) จากนนตองตรวจสอบวาแตละชนจะลมไปไมมทส นสดจรงหรอไมดวยการตรวจสอบขนท 2 คอตรวจสอบโดมโนทก ๆ ค โดยทช นท k ตองลมไปทบชนท k+1เสมอเรยกขนน วาขนอปนย (inductive step) ดงรป

1 2 3 4 5 6 k k + 1

การเปรยบเทยบหลกโดมโนกบหลกอปนยเชงคณตศาสตร

การพสจนประพจน ∀n ∈ N, P (n) เปนจรงทำได 2 ขนตอน ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 1.2.32 ให P (n) เปนประโยคเป ด ถา

1. ขนฐาน : P (1) เปนจรง และ

2. ขนอปนย : ∀k ∈ N, P (k) → P (k + 1) เปนจรง

สรปไดวา ∀n ∈ N, P (n) เปนจรง

ตวอยาง 1.2.33 จงแสดงวา 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2สำหรบทกจำนวนนบ n


ตวอยาง 1.2.34 จงแสดงวา 1 +1

2+

1

4+

1

8+ · · ·+ 1

2n−1= 2− 1

2n−1สำหรบทก n ∈ N

ตวอยาง 1.2.35 จงพสจนวา ∀n ∈ N, 4 | (5n − 1) สำหรบจำนวนนบ n

ตวอยาง 1.2.36 จงแสดงวา ∀n ∈ N, 2n < 2n+1


ตอไปจะกลาวถงการพสจนแบบอปนยเชงคณตศาสตรทเรมขนฐานดวย n0

ทฤษฎบท 1.2.37 ให n0 ∈ N และ P (n) เปนประโยคเป ด ถา

1. ขนฐาน : P (n0) เปนจรง

2. ขนอปนย : ∀k ∈ N, k ≥ n0, P (k) → P (k + 1) เปนจรง

สรปไดวา ∀n ∈ N, n ≥ n0, P (n) เปนจรง หรอ P (n) เปนจรงทกจำนวนนบ n ≥ n0

ตวอยาง 1.2.38 จงหาจำนวนนบเรมตนททำใหขอความน เปนจรงพรอมทงพสจน 2n ≥ n2

ตวอยาง 1.2.39 จงหาจำนวนนบเรมตนททำใหขอความน เปนจรงพรอมทงพสจน 2n ≤ n!


แบบฝ กหด 1.21. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม

1.1 ถา n เปนจำนวนค แลว n4 เปนจำนวนค1.2 ถา x เปนจำนวนค แลว 3x เปนจำนวนค1.3 ถา m และ n เปนจำนวนค แลว 3n+ 5m เปนจำนวนค1.4 ถา m เปนจำนวนค และ n เปนจำนวนค แลว nm เปนจำนวนค1.5 ถา 3mn เปนจำนวนค แลว m เปนจำนวนค หรอ n เปนจำนวนค1.6 ถา m3 เปนจำนวนค แลว m เปนจำนวนค1.7 สำหรบจำนวนเตม a, b และ c ทไมใช ศนย ถา a | b และ b | c แลว a | c

1.8 สำหรบจำนวนเตม a, b และ c ทไมใช ศนย ถา a | b และ a | c แลว a | (b+ c)

1.9 สำหรบจำนวนจรง x และ y ถา xy = 0 และ x = 0 แลว y = 0

1.10 ถา n เปนจำนวนเตม แลว 7n2 + n+ 2 เปนจำนวนค1.11 ถา n เปนจำนวนเตม แลว n2 + n+ 1 เปนจำนวนค1.12 ไมวา m จะเปนจำนวนเตมใดกตาม m3 −m+ 3 + 1 เปนจำนวนค1.13 ไมวา m จะเปนจำนวนเตมใดกตาม m2 −m เปนจำนวนค

2. จงพจารณาขอความตอไปน วาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน2.1 ถา n เปนจำนวนเตม แลว n3 − n เปนจำนวนค2.2 ถา m เปนจำนวนเตม และ 4m เปนจำนวนค แลว 3m เปนจำนวนค2.3 ถา m และ n เปนจำนวนค แลว n−m เปนจำนวนค2.4 ถา m เปนจำนวนเตม และ 4m เปนจำนวนค แลว 3m เปนจำนวนค2.5 ถา n เปนจำนวนเตม และ n5 − n เปนจำนวนค แลว n เปนจำนวนค2.6 สำหรบจำนวนเตม m,n ถา m2 + n2 เปนจำนวนค แลว m เปนจำนวนค หรอ n เปน

จำนวนค2.7 ถา n เปนจำนวนเตม แลว n3 − n เปนจำนวนค2.8 สำหรบจำนวนเตม a, b และ c ทไมใช ศนย ถา a | b2 แลว a | b

2.9 ∀x, y ∈ R, x < y → x2 < y2

2.10 ∀x, y ∈ R, x < y → x3 < y3

2.11 ∀a, b ∈ R, [ (a = 0 ∧ b = 0) → a+ b = 0 ]


3. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม

3.1 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ a เปนจำนวนค กตอเมอ a3 เปนจำนวนค3.2 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ a2 เปนจำนวนค กตอเมอ a3 เปนจำนวนค3.3 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ a เปนจำนวนค กตอเมอ a2 + 1 เปนจำนวนค3.4 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ a เปนจำนวนค กตอเมอ a2 + 3 เปนจำนวนค3.5 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ a+ 1 เปนจำนวนค กตอเมอ a3 เปนจำนวนค3.6 สำหรบจำนวนเตม x, y ใด ๆ xy = 1 กตอเมอ x = 1 และ y = 1

3.7 มจำนวนจรง x และ y ใด ๆ x < y กตอเมอ x3 < y3

3.8 ∀x ∈ R [x3 = 1 ↔ x = 1 ]

3.9 ∀x ∈ R [x < 0 ↔ 1x< 0 ]

3.10 ∀x, y ∈ R [x2 + y2 = 0 ↔ (x = 0 ∧ y = 0) ]

3.11 ∀x, y ∈ R, [x3 = y3 ↔ x = y ]

4. จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกนทกค

p1 : n เปนจำนวนเตมทหารดวย 3 แลวเหลอเศษ 1p2 : n3 เปนจำนวนเตมทหารดวย 3 แลวเหลอเศษ 1p3 : n3 + 4 เปนจำนวนเตมทหารดวย 3 แลวเหลอเศษ 2

5. จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกนทกค

p1 : a เปนจำนวนคp2 : a+ 3 เปนจำนวนคp3 : a4 เปนจำนวนค

6. จงพสจนขอความตอไปน

6.1 สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ ถา a2 + 2a+ 5 เปนจำนวนค แลว a เปนจำนวนค6.2 ถา a เปนจำนวนเตม แลว a2 = 4a+ 3

6.3 ไมวา x จะเปนจำนวนจรงใดกตาม ถา x < 0 แลว x−1 < 0

6.4 ไมวา x จะเปนจำนวนจรงบวกใดกตาม จะไดวา √x <

√x+ 1

6.5 สำหรบจำนวนจรง x ≥ 0 ถา ทก ๆ จำนวนจรงบวก ε ซง x < ε แลว x = 0

6.6 ∀a, b ∈ R [ (∀ε > 0, a ≤ b+ ε) → a ≤ b ]

6.7 ∀x, y ∈ R, x2 + xy + y2 ≥ 0


6.8 ∀x, y ∈ R+, x+ y > 2√xy

7. จงพสจนขอความตอไปน

7.1 ทก ๆ จำนวนจรง x จะมจำนวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซง x+ y = 5

7.2 ทก ๆ จำนวนจรง x จะมจำนวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซง x+ y = 0

7.3 มจำนวนจรง x เพยงจำนวนเดยวเทานนททำให xy = x สำหรบทกจำนวนจรง y

7.4 มจำนวนจรง x เพยงจำนวนเดยวเทานนททำให xy = y สำหรบทกจำนวนจรง y

7.5 มจำนวนตรรกยะ x เพยงจำนวนเดยวเทานนซงทำให xy เปนจำนวนตรรกยะ สำหรบทกจำนวนอตรรกยะ y

7.6 ∃!x ∈ R, x ∈ [0, π2] → sin x = cos x

8. จงพสจนวาขอความตอไปน เปนเทจ

8.1 มจำนวนจรง x ซง x = x+ 1

8.2 มจำนวนจรง x ซง x2 + x+ 1 = 0

8.3 ∃x ∈ Z, −1 < x < 0

8.4 ∃x ∈ Z, 4x2 = 1

8.5 ∃n ∈ N, 3 | 2n

9. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร

9.1 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6สำหรบทกจำนวนนบ n

9.2 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

[n(n+ 1)

2

]2สำหรบทกจำนวนนบ n

9.3 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 สำหรบทกจำนวนนบ n

9.4 2 + 4 + 6 + · · ·+ (2n) = n2 + n สำหรบทกจำนวนนบ n

9.5 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 2 สำหรบทกจำนวนนบ n

9.6 1 · 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + · · ·+ n · 2n = (n− 1)2n+1 + 2 สำหรบทกจำนวนนบ n

9.7 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + · · ·+ n(n!) = (n+ 1)!− 1 สำหรบทกจำนวนนบ n

9.8 (1− 12)(1− 1

3) · · · (1− 1

n) = 1

nสำหรบทกจำนวนนบ n

10. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร10.1 ∀n ∈ N, 2n > n

10.2 ∀n ∈ N, 2n ≤ 2n+1 − 2n−1 − 1

10.3 ∀n ∈ N, 1 + 2−1 + 2−2 + · · ·+ 2−n ≤ 2

34 บทท 1. ความร เบองตน10.4 ∀n ∈ N, n ≥ 10, 2n−10(1000) < 2n − 2n−6

10.5 ให x ∈ R ซง x > −1 จงพสจนวา ∀n ∈ N, (1 + x)n ≥ 1 + nx

11. จงหาจำนวนนบเรมตนททำใหขอความน เปนจรงพรอมทงพสจน11.1 2n−1 ≤ n!

11.2 4n > n4

11.3 (2n)! < 22n(n!)2

11.4 n2 < (32)n

1.3. ปฏทรรศน 35

1.3 ปฏทรรศนปฏทรรศน (paradox) คอประโยคหรอขอความทเกดขดแยงในตวเอง หรอความขดแยงกนแตจรง หรอขอความทมลกษณะยอนแยงในตวเอง หมายถงเหตการณของประโยคทเปนจรงชดเจนแตสดทายนำไปสความขดแยงในตวเอง หรอสถานการณท อยนอกความคดทวไป หรอปฏทรรศนใชกนในความหมายของขอความทตรงกนขาม หรอขดแยงกบความเชอท คนทวไปมหรอยอมรบวาเปน “สามญสำนก (common sense)”

ตวอยางรปภาพทเกดปฏทรรศน

ตอไปจะกลาวถงปฏทรรศนทมช อเสยงในเรองทฤษฎเซต นำเสนอโดยนกคณตศาสตรชาวองกฤษชอวา เบอรตแรนด รสเซลล (Bertrand Russull) ในป ค.ศ. 1901 ในเวลาตอมาเรยกวาปฏทรรศนรสเซลล (Russull's paradox) เขาไดยกตวอยางสถานการณในหมบานเลก ๆ แหงหนงทมช างตดผมเพยงคนเดยว ช างตดผมคนนนกลาวขนมาวา

“ผชายทกคนในหมบานถาไมตดผมเอง กตองถกช างตดผมเปนคนตดให”

คำถามคอ ใครเป นคนตดผมชางตดผม พจารณา 2 กรณตอไปน• ถาเขาตดผมของตนเอง แสดงวาเขาเปนคนทไมไดตดผมของตนเอง• ถาเขาไมไดตดผมของตนเอง แสดงวาเขาถกตนเองตดผมให

จะเหนวาเกดขอความขดแยงเพราะเขาเปนทงช างตดผมขณะเดยวกนกเปนผชายในหมบาน การพดประโยคดงกลาวจงเกดปฏทรรศนขน บางครงจะเรยกวา ปฏทรรศนช างตดผม (the baberparadox)

การนำเสนอปฏทรรศนของรสเซลลทำใหนกคณตศาสตรตองระมดระวงมากขน เมอจะนยามหรอสรางระบบสจพจนใหม ๆ ในทางคณตศาสตร เพอไมใหขดแยงกนเองอนจะนำไปสการไมยอมรบทางคณตศาสตร

ในป 1905 นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ จลส รชารด (Jules Richard) ไดนำเสนอปฏทรรศนในดานประโยคทางตรรกศาสตร ตวอยางเช น มนกศกษาผหนงพดขนวา

" นกศกษาทกคนพดโกหก "


ประโยคนสรปไดวานกศกษาคนนพดจรงหรอพดโกหก พจารณา 2 กรณตอไปน

• ถานกศกษาคนน พดจรง แสดงวานกศกษาคนน พดโกหก

• ถานกศกษาคนน พดโกหก แสดงวานกศกษาคนน พดจรง

จะเหนวาเกดขอขดแยงเพราะนกศกษาคนทพดประโยคน กลาวถงนกศกษาทกคนอนหมายรวมตวเขาเองเขาไปดวย เรยกปฏทรรศนน วา ปฏทรรศนของรชารด (Richard's paradox)

ปฏทรรศนมอกหลายรปแบบซงพบเจอในสาขาวชาอน ๆ เช น

1. กรณทมการยอนกลบไปแกไขเหตการณในอดต ทจะสงผลใหเกดเหตการณในปจจบน เช นการยอนกลบไปฆาพอแมของตนเองกอนทตนจะเกด กจะเกดขอขดแยงทางเวลาวา ตวของเราเกดมาไดอยางไร เมอพอแมถกฆาไปแลว เรยกวา ปฏทรรศนเวลา (time paradox)หรอปฏทรรศนคณป (grandfather paradox)

2. ปฏทรรศนฝาแฝด (twin paradox) ซงเปนผลลพธอนนาฉงนทสดอนหนงในทฤษฎสมพทธภาพของไอนสไตน ในสาขาวทยาศาสตร

3. ในวชาเศรษฐศาสตร กลาวถงกรณท วาทำไมนำจงถกกวาเพชร ทง ๆ ทคนตองการนำมากกวา เรยกวา diamond-water paradox

4. ปฏทรรศนซโน (Zeno's paradox) ในวชาปรชญา กลาวถงขอสรปทฟงดแลวขดกนของซโนจากตวอยางอนมชอเสยงทสดของเขากคอ อาคลสแขงกบเตา กลาวคอ " เตาแขงกบอาคลส โดยเตาบอกใหอาคลสตอใหสบเมตร ซงอาคลสกตกลง แตกอนจะเรมแขงกน เตากบอกกบอาคลสวาถาอาคลสจะเดนทนเตาจะตองเดนผานครงทางใหไดซะกอน อาคลสกเหนดวยกบทเตาบอก "

1.3. ปฏทรรศน 37

แบบฝ กหด 1.3จงอธบายปฏทรรศนของแตละเหตการณตอไปน1. ยกษกนคนจบเหยอได และเลนกบเหยอวาถาเหยอสามารถทายใจของตนได เหยอจะถก

ปลอยไป เหยอผหนาสงสารกเลยทายวา "ทานคดวาทานจะกนขา" สรปวาเหยอถกปลอยหรอถกกนกนแน

2. ชายคนหนงสอบถามนาย A และ B นาย A พดวา "นาย B พดแตเรองโกหก" สวนนาย B กพดวา "นาย A พดแตความจรง" แลวใครพดความจรง ใครพดโกหกกนแน

3. เผากนคน จบเหยอไดและเสยงทายกบเหยอวาใหเลาเรองมาเรองหนง ถาหวหนาเผาคดวาเรองนนเปนเรองจรง ใหจบไปตม แตถาเปนเรองโกหกใหจบไปยาง เหยอจงเลาวา "เขาจะถกจบไปยาง" หวหนาเผาคดอยนานกคดไมออกวาจะตมหรอ ยางด จนในทสดกเอาเหยอผนนไปขงไวรอวนคดเสรจ และเหยอผนนกถกขงอยตงแตวนนนจนถงปจจบน เกดไรขนกบเหตการณน

4. (Crocodile Dilemma) จระเขขโมยลกของชายผหนงไป แตมนใหคำสญญาวา มนจะคนลกใหหากชายผนนทายใจมนไดถกตองวามนจะทำอะไร ชายผนนเดาใจมนวา "เขาจะไมไดลกกลบคนมา"

5. เตาแขงกบอาคลส โดยเตาบอกใหอาคลสตอใหสบเมตร ซงอาคลสกตกลง แตกอนจะเรมแขงกน เตากบอกกบอาคลสวา ถาอาคลสจะเดนทนเตาจะตองเดนผานครงทางใหไดซะกอน อาคลสกเหนดวยกบทเตาบอก อาคลสจะชนะเตาไดหรอไม

บทท 2สจพจนของทฤษฎเซต

2.1 ประวตและการเขยนเซตในทางคณตศาสตรถอวา “เซต (set)” เปนมลฐาน เพราะวาทฤษฎบทตาง ๆ ลวนมเซตเขา

มาเกยวของเปนพนฐานเกอบทงหมด (กรรณกา กวกเพฑรย . 2542. หนา 79) ผท เรมใชคำวาเซตเปนคนแรกคอ เกอรก คนทอร (Georg Cantor: 1845-1918) ซงเปนนกคณตศาสตรชาวเยอรมน ซงขณะนนเขากำลงสนใจศกษาเกยวกบการลเขาของอนกรมฟเรยร (Fourier series)

a1sinx+ a2sin2x+ a3sin3x+ · · ·

และอนกรมของจำนวนจรงตาง ๆ ทำใหเขาเหนความสำคญของการเปรยบเทยบขนาดของเซตอนนตในระบบจำนวนจรง คนทอรไดแนะนำการเปรยบเทยบขนาดทเทากนไววา

" เซตสองเซตมขนาดเทากน ถาสมาชกของเซตหนงจบคกบแตละสมาชกของเซตหนงได "

ในกรณเซตจำกดสองเซตจะเทากนกตอเมอทงสองมจำนวนสมาชกเทากน จงจะสามารถจบคกนแบบตวตอตวไดพอด แนวคดน เปนรากฐานทำใหเกดการนบจำนวนไดอยางไมสนสด จนกระทงไดจำนวนทเรยกวา จำนวนเชงอนนต (tranfinite number) ตอมาในป 1873 ไดตพมพผลงานทไดแสดงวา เราไมสามารถจบคแบบตวตอตวระหวางจำนวนจรงกบจำนวนเตมได ทำใหนกคณตศาสตรตนตวเรองราวเกยวเซต

คนทอรไดอธบายเซตอยางงาย ๆ เพอความเขาใจเบองตนวา "เซตคอการรวมกนอยของสงซงมสมบตซงมสมบตเดยวกน" การพสจนทฤษฎของเขาเกอบทงหมด เขาพสจนจากสจพจน 3ขอ คอ

1. The Axiom of Extensionalityเซตสองเซตเหมอนกน (เซตทเทากน) เมอมนมสมาชกเปนอนเดยวกน

2. The Axiom of Abstractionเมอกำหนดคณสมบตใดยอมมเซตประกอบดวยคณสมบตนน ๆ เสมอ

3. The Axiom of Choiceสำหรบเซต A ใด ๆ มฟงกชน f ซงสบเซต B = ∅ ใด ๆ ของ A แลว f(B) ∈ B

39

40 บทท 2. สจพจน ของทฤษฎเซต

นกคณตศาสตรไดนำทฤษฎเซตของคนทอร เปนรากฐานในคณตศาสตรสาขาตางๆ และถกใชอยางแพรหลายในเวลาตอมา และมการถกเถยงกนเกยวกบขอขดแยงกนเอง (paradox) มอย2 ลกษณะ

1. ความเป นอนนต การสรางระบบจำนวนในรปเซต สามารถนยามจำนวนขนไดเรอย ๆ จนไดจำนวนเชงอนนต โดยเฉพาะการศกษาการลเขาของอนกรมของจำนวนจรงซงมจำนวนขนาดใหญมากจนไมสามารถแทนดวยจำนวนจำกดใด ๆ ได แตเมอพจารณาปญหาทมชอเสยงของ ซโน (Zeno of Elea : 490-430 กอนครสตกาล) ทกลาวถงการแขงขนการวงของอาคลสแขงกบเตาทวา" เตาแขงกบอาคลส โดยเตาบอกใหอาคลสตอใหสบเมตร ซงอาคลสกตกลง แตกอนจะเรมแขงกน เตากบอกกบอาคลสวา ถาอาคลสจะเดนทนเตาจะตองเดนผานครงทางใหได

ซะกอน อาคลสกเหนดวยกบทเตาบอก "อปมาเหมอนกบการแบงช วง (0, 1) ออกเปนจด

1

2,1

4,1

8, ...,

1

2n, ...

แสดงไดดงแผนภาพ

0 · · · 18

14

12

1

ทำใหช วงมขนาดเลกลงเรอย ๆ ถงแมวาแตละชวงจะถกแบงเลกเทาใดกตาม ขนาดชวงเลก ๆ เหลานนสามารถวดขนาดไดและไมเปนศนย ซงทำใหซโนสรปเปนขอแยงกนเองแตจรงทเรยกวา ปฏทรรศนซโน (Zeno's paradox) ทกลาววา

" ผลรวมของชวงทมความยาวจำกดเปนอนนตช วง จะยงคงไดช วงทมความยาวจำกด "การแกปญหาลกษณะน ไดมการตกลงกนวา เมอกลาวถงอนนต ในทางคณตศาสตรจะมอย 2 ลกษณะ คอ การเปนอนนต ในลกษณะไมมท ส นสด (actual infinite) และการเปนอนนตในลกษณะทมคามากเกนกวาจำนวนจำกดทก ๆ ตว (virtual infinite)

2. การกำหนดนยามเซตทไมแจมชด จากทคนทอรกลาวไววา เซตคอการรวมกนอยของสงซงมสมบตซงมสมบตเดยวกน เช นเมอสมมตวา p เปนสมบตหนง ซงถา x มสมบต p(x)น แลว

{x : p(x)} เปนเซต

แตคนทอรกพบปญหาความขดแยงในตวเอง (Cantor's paradox) เมอเขากำหนดA = {x : x = x}

จะไดวา A คอเซตของทก ๆ เซต ถา P(A) คอเซตกำลง (power set) ของ A จะไดวา

2.1. ประวตและการเขยนเซต 41

X ∈ P(A) −→ X ∈ A

ทำใหไดขอสรปวา จำนวนสมาชกของ P(A) นอยกวาหรอเทากบจำนวนสมาชกของ A ซงขดแยงกบทฤษฎบทในทฤษฎเซต และ ในป 1902 รสเซลลไดอธบายวาเกดปฏทรรศน ซงขดแยงกบสจพจนขอท 2 ของคนทอร เมอกำหนด p เปนสมบตของการไมเปนสมาชกของตวมนเอง หรอกลาววาเซต ๆ หนงนยามโดยเซตทกเซตทไมไดมตวเองเปนสมาชก จะพบปญหาคอเซตนนมตนเองเปนสมาชกหรอไม นนคอสามารถสรางเซต

B = {x : x /∈ x}

ลกษณะน ไดหรอไม มคำถามตามมาวา B เปนสมาชกของ B หรอไม การตอบคำถามนทำใหเกด

B ∈ B → B /∈ B และ B /∈ B → B ∈ B

ทำใหเกดขอขดแยงแตสมมลกน ซงรจกกนในชอ ปฏทรรศนรสเซลล (Russull's paradox)ดงนนไมสามารถสรางเซตของเซตทมสมาชกเปนตวเองไดนนเอง

จากขอขดแยงลกษณะท 2 ทำใหนกคณตศาสตรตนตวทจะหาวธแกไข ในทสดไดมผพยายามนำการศกษาระบบสจพจนมาใชแทนทฤษฎเซตทำใหขจดปญหาดงกลาวไปได เรยกการศกษาทฤษฎเซตในลกษณะน วา ระบบสจพจนของทฤษฎเซต (axiomatic set theory) ทใชกนแพรหลายม 2 ระบบคอ

1. ระบบของแซรมโลแซรมโล (Ernst Zermelo : 1871–1953) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน ไดตงระบบสจพจนของทฤษฎเซตขน โดยไมอนญาตใหการรวมกนอยของเซตทงหมดอย ในระบบโดยการกำหนดวา " การรวมของสงจะเปนเซตกตอเมอ สงตางๆของการรวมกนอย นนเปนสงท ถกเลอก หรอถกแบงมาจากการรวมกนอยหรอเซตทมอยกอนแลวในระบบ เฉพาะสงท สอดคลองกบสมบตท กำหนดขนมาใหมสมบตหนง " นนคอจะกลาวถงเซตทเปนสบเซตของอกเซตหนงเสมอ ซงเรยกวาการกำหนด เอกภพสมพทธ (universe) ระบบแซร มโลเปนทนยมอยางกวางขวาง อยางไรกตามระบบน เกดกอนระบบตรรกศาสตร เชงสญลกษณ ทำใหยากตอการเขาใจในเวลาตอมา เฟอรนเคล (Fraenkel) และสโคเลน (Skolen)ไดเพมเตมและดดแปลงระบบแซรมโลในรปภาษาตรรกศาสตร และไดรบความนยมสงสดชอ " ระบบสจพจนของแซรมโลและเฟอรนเคล"

2. ระบบของนอยมนนจอหน ฟอน นอยมนน (John von Neumann : 1903-1957) เปนนกคณตศาสตรชาวอเมรกนเชอสายฮงการ เปนอกคนทพยายามกำหนดระบบสจพจนของทฤษฎเซตขน สวนใหญในระบบนอยมนนสอดคลองกบระบบของแซรมโล นอกจากสวนทกลาววา " สงทมลกษณะเดยวกบเซตแตมขนาดมหาศาล จะถกเรยกในชอทตางกนวา พวก หม หรอ กลม (classor family) เปนตน " นนคอนอยมนนแกไขความขดแยงทเกดขนในทฤษฎเซตของคนทอร


ดวยการกำหนดใหมบาง "พวก" หรอบาง "หม" ซงมขนาดใหญเกดกวาจะเปนเซตได ดงนนการรวมกนของทก ๆ เซตจงไมเปนเซต แตหากเปน "พวกของทก ๆ เซต" เปนตน ระบบนอยมนนเปนทนยมในกลมคนทสนใจศกษาเกยวกบเซตทขนาดใหญมหาศาล เช น หมของจำนวนเชงอนดบท เปนตน

เนองจากขดแยงตาง ๆ เกดขนเฉพาะกรณเซตทขนาดใหญมหาศาลเทานน ดงนนในสาขาใดทไมเกยวของกบจำนวนขนาดใหญ จงยงคงยอมรบและศกษาทฤษฎเซตของคนทอรในรปแบบเดม หรอรปแบบทไมเกยวกบระบบสจพจน ซงเรยกวา ทฤษฎเซตไรรปสจพจน (Naive settheory) แตในวชาน เราจะศกษาระบบของแซร มโล เนองจากตองศกษาเซตทมขนาดใหญโตมหาศาล

คนทอรไดใหคำจำกดความของเซตวา คอกลมของสงซงมสมบตบางประการคลายกน และสงของดงกลาวนนเรยกวา สมาชก (element) ดงนนระบบสจพจนของทฤษฎเซตจงกำหนดให"สมาชก" และ "เปนสมาชก" เปนอนยาม และเปนความสมพนธอนยาม ตามลำดบ

เมอกำหนดเซตใด ๆ กตามมาให เราตองบอกไดวา อะไรเปนสมาชกหรอไมเปนสมาชกของเซตไดเสมอ นนคอ ประพจน

............ เปนสมาชก ............

เปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนง เมอเตมสมาชก และเซตในชองวางตามลำดบ ถาประพจนดงกลาวเปนจรง

สำหรบสมาชก x และเซต A เขยนแทนดวย x ∈ A

ในทำนองเดยวกนเขยน ¬(x ∈ A) เขยนแทนดวย x /∈ A หมายถง x ไมเปนสมาชกของ A

ตวอยาง 2.1.1 จงตรวจสอบวา 1, {1} และ {1, {1}} เปนสมาชกของเซตตอไปนหรอไม1. A = {1} 2. B = {1, {1}} 3. C = {{1}}

เซตทมแนวคดของการนำสงตาง ๆ ท มลกษณะเดยวกน การเขยนเซตจงนยมเขยนในรปสมบตทกำหนดให ถา p เปนสญลกษณแทนสมบตดงกลาว แลว p(x) หมายถงขอความซง x

สอดคลองกบ p โดยท x เปนตวแปรแทนสมาชกของเซต ดงนนจะไดประโยคเป ดp(x) : x มสมบต p

เราสามารถเขยนสญลกษณแทนเซตของสมาชกทสอดคลองสมบต p ไดดวยสญลกษณดงน

{x : p(x)}


ตวอยาง 2.1.2 จงเขยนเซตตอไปน ในรปสญลกษณ

1. เซตของจำนวนเตมบวกทนอยกวา 10 และ 3 หารลงตว

2. เซตของเลขฐานสบสามหลกทสรางจากเลขโดด 1, 2 และ 3 โดยแตละหลกไมซำกน

3. เซตประเทศสมาชกประชาคมอาเซยน (AEC)

4. เซตของคอนดบทเกดจาก 1, 2 และ 3

5. เซตเลขฐานสองทม 3 หลก

บางครงเราทราบสมาชกทงหมดของเซตอาจเขยนดวยการแจกแจงสมาชกไดตวอยาง{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

นนคอ {x : x เปนจำนวนคบวกทไมเกน 14} สรปไดวาการเขยนเซตประกอบดวย 2 วธคอ1. วธแจกแจงสมาชก (Tabular form) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก คอการเขยนเซต

โดยเขยนสมาชกลงในเครองหมายวงเลบป กกา และใชเครองหมายจลภาค คนระหวางสมาชกแตละตว ตวอยางเช น {1, 2, 3}, {4, 5, 6} และ {a, b, c} เปนตน มขอตกลงในการเขยนดงน(ก) ถาสมาชกในเซตซำกนจะเขยนสมาชกตวนนเพยงครงเดยว เช น {1, 1, 2, 3} เขยนแทน

ดวย {1, 2, 3}

(ข) สมาชกในเซตเดยวกนสามารถเขยนลำดบแบบใดกไดซงความหมายของเซตนนไมเปลยนแปลง เช น {1, 2, 3} เขยนเปน {3, 1, 2} หรอ {2, 1, 3} กได ถอวาทง 3 เซตเปนเซตเดยวกน


(ค) สำหรบเซตทมสมาชกจำนวนมากและบอกสมาชกท ตามมาไดแนชด เขยน ... แทนดวยสมาชกลำดบถดไปจนถงตวสดทาย ตวอยางเช น

{1, 2, 3, ..., 10} หมายถง {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

ทำนองเดยวกบสำหรบเซตทมสมาชกไมมท ส นสด เช น {1, 2, 3, ...} หมายถงเซตทประกอบดวยสมาชก 1, 2, 3 และลำดบถดไปไมมทส นสด

2. วธบอกเงอนไขของสมาชก (Set builder form) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขประกอบดวย 2 สวน สวนแรกหมายถงสมาชก และสวนทสองคอเงอนไขของสมาชก โดยมเครองหมาย: คนระหวางสองสวนนน อานวา "โดยท"

A = { สมาชก : เงอนไขของสมาชก }

ตวอยางเช น A = {x : x เปนจำนวนเตมบวกทนอยกวา 5} และเขยนแจกแจงสมาชกไดเปน A = {1, 2, 3, 4, 5}

ขอสงเกต 2.1.3 การเขยนเซตแตละชนดมขอสงเกตดงน1. เซตทเขยนโดยวธแจกแจงสมาชกจะสามารถเขยนโดยวธบอกเงอนไขสมาชกได แตในบาง

เซตทเขยนโดยวธบอกมเงอนไขสมาชกไมสามารถเขยนโดยวธแจกแจงสมาชกได เช น{x : x เปนจำนวนอตรรกยะทอยระหวาง 0 ถง 1}

2. การเขยนเซตแบบมเงอนไขเขยนไดหลายรปแบบขนอยกบผเขยน ตวอยางเช น{x : x เปนจำนวนเตมบวกทนอยกวา 5} หรอ {x : x เปนจำนวนเตมทอยระหวาง 0 ถง 6}หมายถงเซตเดยวกนคอ {1, 2, 3, 4, 5}

ตวอยาง 2.1.4 จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน1. A = {x : x เปนจำนวนเตมบวกทนอยกวา 10 ท 3 หารไมลงตว }

2. B = {x : x เปนจำนวนเตมซง x2 = 4}

3. C = {(x, y) : x, y เปนจำนวนนบซง x+ y = 5}

4. D = {x : x เปนจำนวนนบทหารดวย 2 ลงตว }

5. E = { จงหวด : จงหวดในประเทศไทยทมพยางคเดยว }


ตวอยาง 2.1.5 จงเขยนเซตตอไปน แบบมเงอนไข1. A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

2. B = {10, 20, 30, 40}

3. C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

4. D = {ทศเหนอ,ทศใต,ทศตะวนออก,ทศตะวนตก}

ตวอยาง 2.1.6 จงเขยนเซตตอไปน แบบมเงอนไข

1. A =

{1

2,2

3,3

4,4

5, ...

} 2. B = {1, 11, 111, 1111, ...}


แบบฝ กหด 2.11. จงเขยนเซตตอไปน ในรปสญลกษณ

1.1 เซตของจำนวนเตมบวกทนอยกวา 101.2 เซตของจำนวนจรงทอยระหวาง 0 ถง 11.3 เซตของจำนวนตรรกยะทมากกวา 51.4 เซตของจำนวนคทหารดวย 3 ลงตว1.5 เซตของสธงชาตไทย1.6 เซตของอกษรภาษาองกฤษทเปนสระ1.7 เซตของจงหวดในประเทศไทยทตดชายแดน

2. จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน2.1 {x : x เปนจำนวนนบทนอยกวา 7 }

2.2 {x : x เปนจำนวนคทหารดวย 3 ลงตว }

2.3 {x2 : x เปนจำนวนนบทนอยกวา 3}

2.4 {(x, y) : x, y เปนจำนวนเตมซง |x|+ |y| = 1 }

2.5 {(x, y, z) : x, y, z เปนจำนวนเตมบวกซง x+ y + z < 5 }

2.6 {x+ y : x, y เปนจำนวนเตมบวกซง xy = 12}

2.7 {(x, y) : x, y เปนจำนวนเตมซง xy = 36 + x}

3. จงเขยนเซตตอไปน ในรปแบบมเงอนไข3.1 {1, 3, 5, 7, 9}

3.2 {−2, 0, 2, 4, 6, 8}

3.3 {1, 8, 27, 64}

3.4 {14, 41, 23, 32}

3.5 {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}

3.6 {HH,HT, TH, TT}

3.7 {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

3.8 {0.1, 0.01, 0.001, ...}

3.9{1

2,3

4,5

8,7

16, ...

}3.10 {0.1, 0.12, 0.123, 0.1234, ...}

3.11 {1, 2, 6, 24, 120, ...}

2.2. สจพจน การเทากน 47

2.2 สจพจนการเทากนสจพจน 2.2.1 The Existential Axiomมเซตอยางนอยหนงเซตสจพจน 2.2.2 The Axiom of Extensionalityเซตสองเซตเทากนกตอเมอเซตทงสองตางมสมาชกเหมอนกน หรอมสมาชกชดเดยวกน

∀x ∀y [∀z (z ∈ x ↔ z ∈ y) → (x = y)]

จะกลาวไดวาเซต A และ B มสมาชกชดเดยวกน หมายความวาทก ๆ สมาชกของ A เปนสมาชกของ B และในทางกลบกนทก ๆ สมาชกของ B เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A = B

จะไดวาA = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)

A = B ↔ ∀x [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]

A = B ↔ ∃x [(x /∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ B)]

ตวอยาง 2.2.3 จงตรวจสอบวาเซตตอไปน เทากนหรอไม1. {0, 1} และ {1, 0}

2. {0, {1}} และ {1, 0}

3. {0, {1}, {2}} และ {1, {2}, 0}

4. {0, 1, {0, 1}} และ {{1, 0}, 1, 0}

ตวอยาง 2.2.4 จงตรวจสอบวาเซตตอไปน เทากนหรอไม1. {x ∈ N : x < 3} และ {|x| : x ∈ Z, x2 + 3x+ 2 = 0}

2. {x ∈ R : |x| = x3} และ {x ∈ R : x3 = x}


ทฤษฎบท 2.2.5 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A = A กฎสะทอน (Reflexive law)2. ถา A = B แลว B = A กฎสมมาตร (Symmetric law)3. ถา A = B และ B = C แลว A = C กฎการถายทอด (Transitive law)

ทฤษฎบท 2.2.6 ให A1, A2, ..., An เปนเซต เมอ n ∈ N และ n ≥ 2 จะไดวาถา (A1 = A2) ∧ (A2 = A3) ∧ ... ∧ (An−1 = An) แลว A1 = An


สจพจน 2.2.7 The Axiom of Specificationสำหรบแตละเซต A และคณสมบต p จะมเซต B ซงประกอบดวยสมาชกของเซต A ทสอดคลองสมบต p

∀A ∃B [x ∈ B ↔ x ∈ A ∧ p(x)]

ตวอยาง 2.2.8 ให A = {1, 2, 3, ..., 10} จงสรางเซต B โดยใชสจพจน 2.2.7 เมอกำหนดสมบตดงตอไปน

1. p(x) : x เปนจำนวนค

2. p(x) : x เปนจำนวนค

3. p(x) : x2 = x

ทฤษฎบท 2.2.9 ไมมเซต A ใด ๆ ทสอดคลอง

ทก ๆ เซต x ซง x ∈ A


ทฤษฎบท 2.2.10 มเซตทไมมสมาชกเพยงเซตเดยวเทานน

บทนยาม 2.2.11 เซตในทฤษฎบท 2.2.10 เรยกวา เซตวาง (empty set หรอ null set) เขยนแทนดวย ∅ หรอ {}

บทนยาม 2.2.12 ให A และ B เปนเซต แลว A เปน สบเซต (subset) ของ B เขยนแทนดวยA ⊆ B หรอเรยกวา B เปนซเปอรเซต (super set) ของ A เขยนแทนดวย B ⊇ A ถาสมาชกทก ๆ ตวใน A เปนสมาชกใน B ถา A ⊆ B แต A = B ใชสญลกษณแทนดวย A ⊂ B เรยกวาA เปน สบเซตแท (proper subset) ของ B

A ⊆ B ↔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]

A * B ↔ ∃x [x ∈ A ∧ x /∈ B]

A ⊂ B ↔ A ⊆ B ∧ A = B

A

B

เขยน A ⊆ B แทนดวยแผนภาพดงน

ตวอยาง 2.2.13 จงตรวจสอบวาเซตตอไปน เปนสบเซตของ A = {0, 1, {1}, {0, 1}}

1. {0, 1} 2. {1, {1}} 3. {{1}} 4. {{0}}

ตวอยาง 2.2.14 ให A = {1, 2, 3, 4, 5} จงหาสบเซตของ A ทงหมด ทสอดคลองเงอนไขตอไปน1. มสมาชกตวเดยว

2. มสมาชก 2 ตว

3. มสมาชก 2 ตวซงผลคณนอยกวา 6

4. มสมาชก 3 ตวซงผลบวกเทากบ 9


ตวอยาง 2.2.15 จงเตมความสมพนธ ∈, /∈, ⊆, *, ⊂, ⊂/ ในชองวางตอไปน ใหสมบรณ

{1, 2} ........................ {1, 2, 3}{{1}} ........................ {1, 2}{1} ........................ {1, {1}, 2}{1, 3} ........................ {3, 1}{1, {2}} ........................ {1, 2}

ทฤษฎบท 2.2.16 เซตวางเปนสบเซตของทก ๆ เซต

ทฤษฎบท 2.2.17 ให A,B และ C เปนเซต จะไดวา1. A ⊆ A กฎการสะทอน (Reflexive law)2. ถา A ⊆ B และ B ⊆ C แลวA ⊆ C กฎการถายทอด (Transitive law)

ทฤษฎบท 2.2.18 ให A1, A2, ..., An เปนเซต เมอ n ∈ N และ n ≥ 2 จะไดวาถา (A1 ⊆ A2) ∧ (A2 ⊆ A3) ∧ ... ∧ (An−1 ⊆ An) แลว A1 ⊆ An


ทฤษฎบท 2.2.19 ให Aและ B เปนเซต จะไดวา

A = B กตอเมอ A ⊆ B และ B ⊆ A

ทฤษฎบท 2.2.20 สำหรบแตละเซต A ใด ๆ จะไดวา A = ∅ กตอเมอ A ⊆ ∅

ตวอยาง 2.2.21 ให A,B และ C เปนเซต จงพสจนวาถา A ⊆ B และ B ⊆ C และ C ⊆ A แลว A = B = C

ตวอยาง 2.2.22 จงยกตวอยางเซต A,B และ C ซงสอดคลอง A ⊆ B และ A ⊆ C และ C ⊆ B


ตวอยาง 2.2.23 ให A เปนเซตของจำนวนคทงหมด และ B เปนเซตของจำนวนเตมทเกดจากผลบวกของจำนวนคสองจำนวน จงแสดงวา A = B

สจพจน 2.2.24 The Axiom of Pairing for Setsสำหรบเซต x และ y ใด ๆ จะมเซตซงประกอบไปดวยสมาชกทเปน x และ y เทานน

∀x∀y ∃z ∀w (w ∈ z ↔ w = x ∨ w = y)

โดยสจพน 2.2.7 จะเขยนเซตไดเปน {x, y} เนองจากอนดบการเขยนสมาชกเซตไมเกดความแตกตางกน และเซตดงกลาวมสมาชก 2 ตว บางครงจงเรยกวา เซตไมเปนคอนดบ (unorderedpair) หรอเซตค ในกรณท x = y จะไดวาเซตนนมสมาชกเพยงตวเดยวคอ

{y} = {x : x = y}

เรยกเซตทมสมาชกเพยงตวเดยววา เซตเดยว (singleton set) หรอ เซตหนวย (unit set)ทฤษฎบท 2.2.25 {x, y} และ {x} เปนเซต


แบบฝ กหด 2.21. ให A = {x ∈ Z : 0 < |x| < 4}.จงหาสบเซตของ A ทงหมด ทสอดคลองเงอนไขตอไปน

1.1 เปนเซตเดยว1.2 มสมาชก 2 ตว1.3 มสมาชก 3 ตว และผลบวกเทากบ 01.4 มสมาชก 2 ตว ซงผลคณเปนจำนวนบวก1.5 กำลงสองของสมาชกมากกวา 2

2. ให A และ B เปนเซต จงแสดงวามเซต P ซง P = {A,B}

3. ให A = {x : p(x)} และ B = {x : q(x)} จงแสดงวา A ⊆ B ↔ ∀x (p(x) → q(x))

4. ให A1, A2, ..., An เปนเซต เมอ n ∈ N และ n ≥ 2 จงพสจนวา

ถา (A1 ⊆ A2) ∧ (A2 ⊆ A3) ∧ ... ∧ (An−1 ⊆ An) ∧ (An ⊆ A1) แลว A1 = A2 = ... = An

5. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา5.1 ถา A = B และ B ⊆ C แลว A ⊆ C

5.2 ถา A ⊆ B และ B = C แลว A ⊆ C

5.3 ถา A ⊂ B และ B ⊆ C แลว A ⊂ C

5.4 ถา A ⊆ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C

6. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา ถา A ⊆ B และ B ⊆ ∅ แลว A = ∅

7. จงแสดงวาเซตวางไมมสบเซตแท8. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จงตรวจสอบประพจนตอไปน วาเปนจรงหรอเทจพรอมพสจน

8.1 ถา A ⊆ B และ A ⊆ C แลว B ⊆ C

8.2 ถา A ⊆ B และ B * C แลว A * C

9. จงแสดงวา ถา A ∈ B แลว{A} ⊆ B

10. ให A = {n : n = 2k + 2, k ∈ Z} และ B = {m : m = 2p+ 4, p ∈ Z} จงแสดงวา A = B

11. ให A = {2n+ 1 : n ∈ Z} และ B = {2n+ 3 : n ∈ Z} จงแสดงวา A = B

12. จงแสดงวา {3n+ 1 : n ∈ Z} = {3n+ 4 : n ∈ Z}

13. ให A เปนเซตของจำนวนคทงหมด และ B เปนเซตของจำนวนเตมทเกดจากผลบวกของจำนวนคและจำนวนค จงแสดงวา A = B

2.3. สจพจน เกยวกบการดำเนนการ 55

2.3 สจพจนเกยวกบการดำเนนการทฤษฎบท 2.3.1 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามเซต C เพยงเซตเดยวทสอดคลองเงอนไข

x ∈ C ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

บทนยาม 2.3.2 เซต C ในทฤษฎบท 2.3.1 เรยกวา อนเตอร เซกชน (intersection) ของ A

และ B เขยนแทนดวย A ∩B นนคอA ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} หรอ x ∈ A ∩B ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

A B

เขยนแทนดวยแผนภาพดงนน

ตวอยาง 2.3.3 จงหาผลลพธของเซตตอไปน

1. {1} ∩ {1, 2} 2. {1} ∩ {1, {1}} 3. {0, 1} ∩ {0, 1, {0, 1}}

ทฤษฎบท 2.3.4 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A ∩∅ = ∅

2. A ∩ A = A กฎนจพล (Idempotent law)

3. A ∩B = B ∩ A กฎการสลบท (Commutative law)

4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C กาฎการเปลยนหม (Associative law)


ทฤษฎบท 2.3.5 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A ∩B ⊆ A และ A ∩B ⊆ B

2. A ∩B = A กตอเมอ A ⊆ B

ทฤษฎบท 2.3.6 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

1. A ⊆ B ∩ C กตอเมอ A ⊆ B และ A ⊆ C

2. ถา A ⊆ B แลว (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)


ทฤษฎบท 2.3.7 ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. ถา A ⊆ B และ C ⊆ D แลว A ∩ C ⊆ B ∩D

2. ถา A = B และ C = D แลว A ∩ C = B ∩D

ตวอยาง 2.3.8 จงยกตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 2.3.7

ทฤษฎบท 2.3.9 ให A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn เปนเซต สำหรบ n ∈ N จะไดวา1. ถา A1 ⊆ B1 ∧A2 ⊆ B2 ∧ ...∧An ⊆ Bn แลว (A1 ∩A2 ∩ ...∩An) ⊆ (B1 ∩B2 ∩ ...∩Bn)

2. ถา A1 = B1 ∧A2 = B2 ∧ ... ∧An = Bn แลว (A1 ∩A2 ∩ ... ∩An) = (B1 ∩B2 ∩ ... ∩Bn)

58 บทท 2. สจพจน ของทฤษฎเซตสจพจน 2.3.10 The Axiom of Unionให A และ B เปนเซตใด ๆ จะมเซต C ทสอดคลองสมบตเงอนไข

x ∈ C ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

ทฤษฎบท 2.3.11 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามเซต C เพยงเซตเดยวทสอดคลองเงอนไขx ∈ C ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

บทนยาม 2.3.12 เซต C ในทฤษฎบท2.3.11 เรยกวา ยเนยน (union) ของ A และ B เขยนแทนดวย A ∪B นนคอ

A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} หรอ x ∈ A ∪B ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

A B



1. {1} ∪ {1, 2} 2. {1} ∪ {{1}} 3. {0, 1} ∪ {0, {1}}

ทฤษฎบท 2.3.14 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A ∪∅ = A

2. A ∪ A = A กฎนจพล (Idempotent law)

3. A ∪B = B ∪ A กฎการสลบท (Commutative law)

4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C กฎการเปลยนหม (Associative law)


ทฤษฎบท 2.3.15 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A ⊆ A ∪B และ B ⊆ A ∪B

2. A ∪B = B กตอเมอ A ⊆ B

ทฤษฎบท 2.3.16 ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. ถา A ⊆ B และ C ⊆ D แลว A ∪ C ⊆ B ∪D

2. ถา A = B และ C = D แลว A ∪ C = B ∪D

60 บทท 2. สจพจน ของทฤษฎเซตทฤษฎบท 2.3.17 กฎการแจกแจง (Distributive law)ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

ทฤษฎบท 2.3.18 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามเซต C เพยงเซตเตยวทสอดคลองเงอนไขx ∈ C ↔ (x ∈ A ∧ x /∈ B)

บทนยาม 2.3.19 เซต C ในทฤษฎบท 2.3.18 เรยกวา ผลตาง (different) ของ A และ B เขยนแทนดวย A−B นนคอ

A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} หรอ x ∈ A−B ↔ (x ∈ A ∧ x /∈ B)

A B



1. {1} − {1, 2} 2. {1, {1}} − {1} 3. {1, 0} − {{1}, 0}


ทฤษฎบท 2.3.21 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A− A = ∅ 2. A−∅ = A 3. ∅− A = ∅ 4. A−B ⊆ A

ทฤษฎบท 2.3.22 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

1. A ⊆ B กตอเมอ A−B = ∅

2. ถา A ⊆ B แลว (A− C) ⊆ (B − C)

3. ถา A = B แลว (A− C) = (B − C)

ทฤษฎบท 2.3.23 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

2. A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C)


บทนยาม 2.3.24 เอกภพสมพทธ (Universe) คอเซตทถกกำหนดขนโดยมขอตกลงวาจะกลาวถงสงทเปนสมาชกของเซตน เทานน และนยมใช U แทนเอกภพสมพทธบทนยาม 2.3.25 ให U เปนเอกภพสมพทธ และ A เปนเซต แลว สวนเตมเตม (complement)ของ A เขยนแทนดวย Ac นยามโดย

Ac = U − A = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A}

นนคอ x ∈ Ac ↔ (x ∈ U ∧ x /∈ A)

A

U


ตวอยาง 2.3.26 กำหนดให U = {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} จงหาผลลพธของเซตตอไปน

1. {1, 2}c 2. {1, {1}}c ∩ {2} 3. {{1}}c − {1, {2}}c

ทฤษฎบท 2.3.27 ให A เปนเซต และ U เปนเอกภพสมพทธ จะไดวา1. (Ac)c = A

2. ∅c = U

3. U c = ∅

4. A ∩ Ac = ∅

5. A ∪ Ac = U


ทฤษฎบท 2.3.28 ให A และ B เปนเซต และ U เปนเอกภพสมพทธ จะไดวา1. A−B = A ∩Bc

2. A ⊆ B กตอเมอ Bc ⊆ Ac

ทฤษฎบท 2.3.29 กฎเดอมอรแกน (De Morgan's Law)ให A และ B เปนเซต และ U เปนเอกภพสมพทธ จะไดวา

1. (A ∩B)c = Ac ∪Bc

2. (A ∪B)c = Ac ∩Bc


แบบฝ กหด 2.31. กำหนดให U = {0,∅, {∅}, {0}, {0,∅}} จงหาผลลพธของเซต

1.1 ∅ ∩ {∅}

1.2 {0}c ∪ {∅}c1.3 {{∅}} − {∅}

1.4 {0,∅} ∩ {{0,∅}}

1.5 ∅c ∩ {0}

1.6 ({0}c − {∅})c

2. ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ จงพสจนวา

2.1 (A ∩B) ⊆ (A ∪B)

2.2 A ∩ (A ∪B) = A

2.3 A ∪ (A ∩B) = A

2.4 (A−B) ∪ A = A

2.5 (A−B) ∪ (A ∩B) = A

2.6 (A−B) ∪B = A ∪B

2.7 A− (A−B) = A ∩B

2.8 A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C)

2.9 A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

2.10 (A−B)∪(C−D) = (A−D)∩(C−B)

2.11 Ac −Bc = B − A

2.12 (A ∪Bc)c = B − A

2.13 Ac − (C ∪Bc) = B − (A ∪ C)

2.14 A ∩ (B ∩ C)c = (A−B) ∪ (A− C)

3. ให A,B และ C เปนเซตของจำนวนเตมทหารดวย 6, 9 และ 15 ลงตวตามลำดบ จงเขยนสมบตของเซต

3.1 A ∩B ∩ C 3.2 A ∩ (B ∪ C) 3.3 A ∪ (B ∩ C)

4. ให A และ B เปนเซต โดยท A ⊆ A ∩B จงแสดงวา

4.1 A ⊆ B 4.2 A ∩B = A

5. ให A และ B เปนเซต โดยท A ∪B ⊆ A จงแสดงวา

5.1 B ⊆ A 5.2 A ∪B = A

6. ให A,B และ C เปนเซต โดยท A = B จงพสจนวา

6.1 A ∩B = A 6.2 A ∪B = A 6.3 C ∩A = C ∩B 6.4 C ∪A = C ∪B

7. ให A,B และ C เปนเซต จงพสจนวา7.1 A ⊆ (B ∩ C) ↔ (A ⊆ B ∧ A ⊆ C)

7.2 A ⊆ B → (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)

7.3 A = B → A ∩ C = B ∩ C

7.4 A ∩B = ∅ → A−B = A

7.5 A ⊆ B → (A−B) ∩ C = ∅


8. ให A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn เปนเซต จงพสจนวา สำหรบ n ∈ N จะไดวา8.1 ถา A1 ⊆ B1∧A2 ⊆ B2∧ ...∧An ⊆ Bn แลว (A1∪A2∪ ...∪An) ⊆ (B1∪B2∪ ...∪Bn)

8.2 ถา A1 = B1∧A2 = B2∧ ...∧An = Bn แลว (A1∪A2∪ ...∪An) = (B1∪B2∪ ...∪Bn)

9. ถาสบเซตแททงหมดของ X คอ ∅, {{1}} และ {2} และ Y = {1, {2}} จงหา X ∩ Y

10. กำหนดให A = {a, {a}, {b}, {b, c}} จงหาเซต10.1 (A− {b, c}) ∪ {b} 10.2 (A− {a, {b}})− {a}

11. กำหนดให A = {x : x เปนจำนวนนบทหารดวย 3 ลงตว }B = {x : x เปนจำนวนบทหารดวย 4 ลงตว }C = {x : x เปนจำนวนเตม และ −100 ≤ x ≤ 100}

แลว A ∩B ∩ C มจำนวนสมาชกเทาใด12. ให X และ Y เปนเซตในเอกภพสมพทธ Z นยาม

X + Y = {x+ y : x ∈ X, y ∈ Y } และ XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }

ถา A = {1, 2, 3} และ B = {2, 3, 4} จงหาเซตตอไปน

12.1 A+B

12.2 A+ A

12.3 B +B

12.4 A+ (A+B)

12.5 AB

12.6 AA

12.7 AB +BA

12.8 A(A+B)


2.4 สจพจนของเซตกำลงสจพจน 2.4.1 The Axiom of Power setให A เปนเซต แลวจะมเซต C ทสอดคลอง

x ∈ C ↔ x ⊆ A

ทฤษฎบท 2.4.2 ให A เปนเซต แลวจะไดวามเซต C เพยงเซตเดยวทสอดคลองเงอนไขx ∈ C ↔ x ⊆ A

บทนยาม 2.4.3 เซต C ในทฤษฎบท 2.4.2 เรยกวา เซตกำลง (power set) ของ A เขยนแทนดวย P(A) นนคอ

P(A) = {x : x ⊆ A} หรอ x ∈ P(A) ↔ x ⊆ A

ตวอยาง 2.4.4 จงหาเซตกำลงของ1. A = {1, 2} 2. B = {∅} 3. C = {∅, {∅}}

ทฤษฎบท 2.4.5 ให A เปนเซต จะไดวา1. A ∈ P(A) 2. ∅ ∈ P(A) 3. P(∅) = {∅}

2.4. สจพจน ของเซตกำลง 67

ตวอยาง 2.4.6 จงเขยน แผนภาพเฮสเซ (Hasse diagram) แสดงความสมพนธของสมาชกในเซตกำลงของ A = {x, y, z}

ทฤษฎบท 2.4.7 จำนวนสมาชกของเซตกำลงของเซตทมสมาชก n ตว เทากบ 2n ตว

ตวอยาง 2.4.8 จงหาจำนวนสมาชกของ P(A) เมอกำหนดให

1. A = {x ∈ N : x < 100 และ 3 | x}

2. A = {x2 : x ∈ Z, |x| < 100 และ 5 | x}


ทฤษฎบท 2.4.9 ให A และ B เปนเซต จะไดวา

1. A ⊆ B กตอเมอ P(A) ⊆ P(B)

2. A = B กตอเมอ P(A) = P(B)

3. ถา P(A) ∈ P(B) แลว A ∈ B

ตวอยาง 2.4.10 จงยกตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 2.4.9 ขอ 3


ทฤษฎบท 2.4.11 ให A และ B เปนเซต จะไดวา1. P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B)

2. P(A ∪B) ⊇ P(A) ∪ P(B)

ตวอยาง 2.4.12 จงยกตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 2.4.11 ขอ 2

70 บทท 2. สจพจน ของทฤษฎเซตสจพจน 2.4.13 The Axiom of Regularityทก ๆ เซต x ทไมใช เซตวาง แลวจะมเซต y ทเปนสมาชกของ x โดยท x ∩ y = ∅ นนคอ

∀x [∃a (a ∈ x) → ∃y (y ∈ x ∧ ¬∃z (z ∈ x ∧ z ∈ y))]

ทฤษฎบท 2.4.14 สำหรบเซต A ใด ๆ จะไดวา A /∈ A

ทฤษฎบท 2.4.15 สำหรบเซต A และ B ใด ๆ จะไดวา A /∈ B หรอ B /∈ A


แบบฝ กหด 2.31. ให A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U จงพสจนวา

1.1 P(A ∩B) ⊆ P(A)

1.2 P(A) ⊆ P(A ∪B)

1.3 ถา A ⊆ B แลว P(Bc) ⊆ P(Ac)

2. จงแจกแจงสมาชกของ P(P(∅))

3. จงแจกแจงสมาชกของ P(A) เมอกำหนดให3.1 A = {a, b} 3.2 A = {4, 5, 6} 3.3 A = {0,∅, {∅}}

4. ให A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U จงตรวจสอบขอความตอไปน วาเปนจรงหรอเปนเทจ พรอมทงพสจน4.1 P(Ac) = P(U)−P(A)

4.2 P(A−B) = P(A)−P(B)

4.3 P(A ∪B) = P(A) ∪ P(B)

4.4 A−B = ∅ ↔ P(A)− P(B) = ∅

4.5 P(A) ⊆ P(B) → P(A−B) = ∅

4.6 P(A) ⊂ P(A ∪B)

4.7 P({∅}) ∩∅ = P(∅)

4.8 P(A ∩B)− P(A ∪B) = ∅

4.9 ถา A−B = A แลว P(A ∩B) = {∅}

4.10 ถา A−B = B แลว P(A) = P(B)

4.11 ถา A ∩B = ∅ แลว P(A)− P(B) = P(A)

5. ถาสบเซตแททงหมดของ A คอ ∅, {{∅}} และ {1} จงหาเซตของ P(A)− A

6. ถา A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แลวจำนวนสมาชกของ (P(A) − A) ∪ (A − P(A))

เทากบเทาใด7. ให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} กำหนดให

X = {xy : xy เปนเลขสองหลก x, y ∈ A และ x+ y = 4}

จงหาจำนวนสบเซตทงหมดของ X


2.5 สจพจนของเซตอนนตจากสจพจน 2.2.2 (การเทากน) สจพจน 2.2.24 (เซตค) และสจพจน 2.3.10 (ยเนยน) ทำใหเกดการสรางเซตไดอยางไมมทส นสด เช นเราทราบวามเซตวาง ∅ ดงนนจะเกดเซต

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ...

ดวยสจพจน 2.4.1 (เซตกำลง) เรากอาจสรางเซตไดไมมทส นสดเช นกน∅, P(∅), P(P(∅)), P(P(P(∅))), ...

ในหวขอกอนหนาน ยงไมไดกลาวถงการนำเซตเหลานนมารวมกนยงเปนเซตหรอไม ดงนนสำหรบหวขอน จะกลาวถงสจพจนททำใหการรวมกนของเซตเหลานนยงคงเปนเซตอยบทนยาม 2.5.1 สำหรบเซต x ใด ๆ จะเรยก x∪{x} วา ตวตามหลง (successor) ของ x เขยนแทนดวย x+ นนคอ

x+ = x ∪ {x}

และเรยก x วา ตวนำหนา (presuccessor) ของ x+

ตวอยาง 2.5.2 จงหาตวตามหลงตอไปน

1. ∅+ 2. ∅++ 3. P(∅)+

บทนยาม 2.5.3 ถา A เปนเซตทสอดคลองเงอนไข 2 ขอคอ1. ∅ ∈ A

2. สำหรบเซต x ใด ๆ ถา x ∈ A แลว x+ ∈ A

จะเรยก A วา เซตของตวตามหลง (successor set) หรอ เซตอปนย (inductive set)

หรอเขยนไดวา A เปนเซตอปนย กตอเมอ ∅ ∈ A ∧ ∀x[x ∈ A → x+ ∈ A]

ขอสงเกต 2.5.4 จะเหนไดวาเซตอปนยเปนเซตทมสมาชกอยเปนจำนวนนบไมถวน

2.5. สจพจน ของเซตอนนต 73

สจพจน 2.5.5 มเซตอปนย

ทฤษฎบท 2.5.6 มเซตอนนตทเลกทสด


แบบฝ กหด 2.51. จงหาเซตตอไปน

1.1 ∅+++

1.2 (∅+ ∪∅++)+

1.3 P(∅)++

1.4 (P(∅) ∪ P(∅)+)+

2. สำหรบเซต A และ B ใด ๆ พจารณาขอความตอไปน วาเปนจรงหรอเทจ พรอมพสจน

2.1 (A ∪B)+ = A+ ∪B+

2.2 (A ∩B)+ = A+ ∩B+

2.3 (A−B)+ = A+ −B+

2.4 (A+)+ = A

3. ขอความทกลาววา " ถา A เปนเซตอปนย แลว A ∪ {A} เปนเซตอปนย " เปนจรงหรอไมเพราะเหตใด

4. กำหนดให A = {x ∪ {x} : x เปนเซต } แลว A ∪ {∅} เปนเซตอปนยหรอไม จงพสจน

บทท 3ความสมพนธ

3.1 เซตของคอนดบจากสจพจน 2.2.24 (เซตค) คอเซตไมมอนดบนนคอ {x, y} ไมแตกตางกบ {y, x} แตการกลาวถง x และ y บางครงอาจจะใหความหมายทตางกน นกคณตศาสตรจงพยายามใหคำจำกดความของ "คอนดบ (ordered pair)" ในป 1914 วเนอร (Wiener) นกคณตศาสตรชาวอเมรกนไดใหคำจำกดความของคอนดบเปนคนแรก โดยใช

(x, y) แทนคอนดบ หมายถง {{{x},∅}, {{y}}}

และตอมาในป 1921 กราตอฟสก (Kuratowski) ชาวโปแลนด ไดพฒนาสญลกษณ (x, y) ใหงายขน โดยนยามเปน

(x, y) แทนคอนดบ หมายถง {{x}, {x, y}}

สจพจน 3.1.1 The Axiom of Pairing for Elementsสำหรบ a และ b ใด ๆ จะมเซตซงประกอบไปดวยสมาชกทเปน x และ y เทานน

∀a ∀b ∃y ∀x [x ∈ y ↔ (x = a ∨ x = b)]

ทฤษฎบท 3.1.2 สำหรบ a, b, c และ d ใด ๆ จะไดวา{a, b} = {c, d} ↔ (a = b ∧ b = d) ∨ (a = d ∧ b = c)

75

76 บทท 3. ความสมพนธ

บทแทรก 3.1.3 สำหรบ a ใด ๆ จะไดวา {a, a} = {a}

บทแทรก 3.1.4 สำหรบ a และ b ใด ๆ จะไดวา {a} = {b} ↔ a = b

บทนยาม 3.1.5 เรยกเซต {{a}, {a, b}} วา คอนดบ (ordered pair) ของ a และ b เขยนแทนดวย (a, b) นนคอ

(a, b) = {{a}, {a, b}}

ทฤษฎบท 3.1.6 สำหรบ a, b, c และ d ใด ๆ จะไดวา(a, b) = (c, d) ↔ a = c ∧ b = d

3.1. เซตของค อนดบ 77

ทฤษฎบท 3.1.7 ให a ∈ A และ b ∈ B จะไดวา (a, b) ∈ P(P(A ∪B))

ทฤษฎบท 3.1.8 ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามเซต C เพยงเซตเดยวทสอดคลองเงอนไขx ∈ C ↔ ∃a∃b [a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ x = (a, b)]

บทนยาม 3.1.9 เซต C ในทฤษฎบท 3.1.8 เรยกวา ผลคณคารทเซยน (Cartesian product)ของ A และ B เขยนแทนดวย A×B นนคอ

A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

หรอกลาวไดวาx ∈ A×B ↔ ∃a ∈ A∃b ∈ B[x = (a, b)]

(a, b) ∈ A×B ↔ a ∈ A ∧ b ∈ B

ตวอยาง 3.1.10 ให A = {1, 2} และ B = {3, 4} จงหา1. A×B

2. B × A

3. A× A

4. B ×B


ตวอยาง 3.1.11 ให A = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {5, 6, 7, ..., 20}จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน

1. {(x, y) ∈ A×B : y = 2x+ 1}

2. {(x, y) ∈ A× A : y + x = 6}

3.{(x, y) ∈ B × A : y =

x

2− 1}

4. {(x, y) ∈ B ×B : yx = x+ 15}

ตวอยาง 3.1.12 จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน

1. {(x, y) ∈ N× N : x+ y = xy}

2. {(x, y) ∈ N× N : xy = x+ 6}

3. {(x, y) ∈ Z× Z : yx+ y = x+ 11}

4. {(x, y) ∈ R×R : y2+x2+2 = 2x−2y}


ทฤษฎบท 3.1.13 สำหรบเซต A และ B ใดๆ จะไดวาA×B = ∅ ↔ A = ∅ ∨B = ∅

ทฤษฎบท 3.1.14 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ สมมตวา A ⊆ B แลว1. (A× C) ⊆ (B × C) 2. (C × A) ⊆ (C ×B) 3. (A× A) ⊆ (B ×B)

ทฤษฎบท 3.1.15 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ สมมตวา A ⊆ B แลว1. (A× C) = (B × C) 2. (C × A) = (C ×B) 3. (A× A) = (B ×B)


ทฤษฎบท 3.1.16 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ เมอ C = ∅ จะไดวา1. (A× C) ⊆ (B × C) → A ⊆ B

2. (C × A) ⊆ (C ×B) → A ⊆ B

3. (A× C) = (B × C) → A = B

4. (C × A) = (C ×B) → A = B


ทฤษฎบท 3.1.17 ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A = B → A×B = B × A

2. A ⊆ B ∧ C ⊆ D → (A× C) ⊆ (B ×D)

3. A = B ∧ C = D → (A× C) = (B ×D)


ทฤษฎบท 3.1.18 ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ ทไมใช เซตวาง จะไดวา1. A×B = B × A → A = B

2. (A× C) ⊆ (B ×D) → A ⊆ B ∧ C ⊆ D

3. (A× C) = (B ×D) → A = B ∧ C = D


ทฤษฎบท 3.1.19 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา1. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

2. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

บทแทรก 3.1.20 ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ ซง B ∩ C = ∅ แลว (A×B) ∩ (A× C) = ∅


แบบฝ กหด 3.11. ให A = {1, 2, 3, ..., 20} และ B = {2, 4, 6, 8, ..., 40} จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน

1.1 {(x, y) ∈ A×B : y = 2x+ 1}

1.2 {(x, y) ∈ A× A : y + x = 7}

1.3{(x, y) ∈ B × A : y =

x

2+ 1}

1.4 {(x, y) ∈ B ×B : yx = x+ 36}

2. จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน2.1 {(x, y) ∈ N× N : x+ y < 5}

2.2 {(x, y) ∈ N× N : xy = 3x+ 12}

2.3 {(x, y) ∈ Z× Z : yx+ y = x+ 13}

2.4 {(x, y) ∈ R× R : y2 + x2 − 2x+ 4y + 5 = 0}

3. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จงพสจนวา3.1 A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

3.2 (B − C)× A = (B × A)− (C × A)

3.3 (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C)

3.4 (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

4. สมมตวา a = b จงพสจนวา (a, b) = {{a}}

5. จงพสจนวา {a} × {a} = {{{a}}}

6. จงพสจนวา ถา a /∈ A แลว (a, b) /∈ A×B

7. ให A และ B เปนเซตใด ๆ ซง A ⊆ B จงพสจนวา7.1 A×B ⊆ B ×B

7.2 B × A ⊆ B ×B

7.3 A× A ⊆ B × A

7.4 A× A ⊆ B ×B

8. ให A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U จงแสดงวา(A×B)c = (Ac ×Bc) ∪ (Ac ×B) ∪ (A×Bc)

9. ให A,B,C และ D เปนเซตใด ๆ จงพสจนวา9.1 A ⊆ B ∧ C ⊆ D → C × A ⊆ D ×B

9.2 A = B ∧ C = D → C × A = D ×B

10. ให A,B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U จงตรวจสอบวาขอความตอไปน วาเปนจรงหรอเปนเทจพรอมพสจน10.1 (Ac ×Bc)c = (A×B)

10.2 A×B = B × A → A = B

10.3 A× C = B × C → A = B

10.4 A× C = B × C → A = B

3.2. ความสมพนธ 85

3.2 ความสมพนธบทนยาม 3.2.1 เรยกเซต r วา ความสมพนธ (relation) กตอเมอ

∀z[z ∈ r → ∃x∃y[z = (x, y)]]

ทฤษฎบท 3.2.2 เซตวางเปนความสมพนธ

ขอสงเกต 3.2.3 ในกรณท r = ∅ เรากลาวไดวาr วาความสมพนธ กตอเมอ r เปนเซตของคอนดบ

ทฤษฎบท 3.2.4 ผลคณคารทเซยน A×B เปนความสมพนธ

ทฤษฎบท 3.2.5 สบเซตของความสมพนธเปนความสมพนธ

ทฤษฎบท 3.2.6 ให r และ s เปนความสมพนธ จะไดวา

1. r ∩ s เปนความสมพนธ 2. r ∪ s เปนความสมพนธ 3. r − s เปนความสมพนธ


บทนยาม 3.2.7 ให r เปนความสมพนธ แลว โดเมน (domain) ของ r เขยนแทนดวย Dom(r)

นยามโดยDom(r) = {x : (x, y) ∈ r}

และ เรจน (range) ของ r เขยนแทนดวย Ran(r) นยามโดยRan(r) = {y : (x, y) ∈ r}

ขอสงเกต 3.2.8 สำหรบเซต A และ B ใด ๆ จะไดวา1. Dom(∅) = ∅ และ Ran(∅) = ∅

2. Dom(A×B) = A และ Ran(A×B) = B

ตวอยาง 3.2.9 จงหาโดเมนและเรจน ของความสมพนธตอไปน

1. r = {(1, 2), (3, 4), (2, 3)} 2. s = {(x, y) ∈ N× N : x+ y = 5}

ทฤษฎบท 3.2.10 ให r และ s เปนความสมพนธ จะไดวา1. Dom(r ∩ s) ⊆ Dom(r) และ Ran(r ∩ s) ⊆ Ran(r)2. Dom(r) ⊆ Dom(r ∪ s) และ Ran(r) ⊆ Ran(r ∪ s)

3. Dom(r − s) ⊆ Dom(r) และ Ran(r − s) ⊆ Ran(r)


ทฤษฎบท 3.2.11 ให r และ s เปนความสมพนธ จะไดวา1. Dom(r ∩ s) ⊆ Dom(r) ∩ Dom(s) และ Ran(r ∩ s) ⊆ Ran(r) ∩ Ran(s)2. Dom(r)− Dom(s) ⊆ Dom(r − s) และ Ran(r)− Ran(s) ⊆ Ran(r − s)

ทฤษฎบท 3.2.12 ให r และ s เปนความสมพนธ จะไดวา1. Dom(r ∪ s) = Dom(r) ∪ Dom(s)

2. Ran(r ∪ s) = Ran(r) ∪ Ran(s)


บทนยาม 3.2.13 ให r เปนความสมพนธ แลว ความสมพนธผกผน (inverse relation) ของr เขยนแทนดวย r−1 นยามโดย

r−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ r}

ขอสงเกต 3.2.14 สำหรบเซต A และ B ใด ๆ จะไดวา1. ∅−1 = ∅

2. (A×B)−1 = B × A

3. (A× A)−1 = A× A

ตวอยาง 3.2.15 จงหาความสมพนธผกผนของ1. r = {(1, 0), (0, 1), (1, 3)} 2. s = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

ทฤษฎบท 3.2.16 สำหรบความสมพนธ r ใด ๆ จะไดวา (r−1)−1 = r

ทฤษฎบท 3.2.17 ให r และ s เปนความสมพนธ จะไดวา1. (r ∪ s)−1 = r−1 ∪ s−1 2. (r ∩ s)−1 = r−1 ∩ s−1 3. (r − s)−1 = r−1 − s−1


ทฤษฎบท 3.2.18 สำหรบความสมพนธ r ใด ๆ จะไดวา1. Dom(r−1) = Ran(r) 2. Ran(r−1) = Dom(r)

บทนยาม 3.2.19 ให A และ B เปนเซตใด ๆ เรยก r วาความสมพนธจาก A ไป B ถาr ⊆ A×B

ในกรณท r เปนความสมพนธจาก A ไป A จะเรยกวาความสมพนธบน A

บทนยาม 3.2.20 ให r เปนความสมพนธ ถา (x, y) ∈ r เขยนแทนไดดวย x r y

บทนยาม 3.2.21 ให iA เปนความสมพนธบนเซต A และนยามโดยiA = {(a, a) : a ∈ A}

เรยก iA วา ความสมพนธเอกลกษณ (identity relation)ตวอยาง 3.2.22 จงหาความสมพนธจาก A ไป B ทงหมดเมอกำหนดให A = {1, 2} และ B = {3, 4}

ตวอยาง 3.2.23 ให A = {1, 2, 3, 4} จงแจกแจงสมาชกของความสมพนธบน A

1. ความสมพนธ "เทากบ"2. ความสมพนธ "นอยกวา"3. ความสมพนธ "หารลงตว"


บทนยาม 3.2.24 ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ s เปนความสมพนธจาก B ไป C

ความสมพนธ r ประกอบกบ s ( r composed with s) จะเขยนแทนดวย s◦r คอความสมพนธจาก A ไป C กำหนดโดย

s ◦ r = {(x, z) ∈ A× C : ∃y ∈ B, (x, y) ∈ r ∧ (y, z) ∈ s}

sr

x

A

y

B

z

C

s ◦ r

ตวอยาง 3.2.25 กำหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7} และ C = {2, 4, 6, 8, 9}ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ s เปนความสมพนธจาก B ไป C ดงน

r = {(1, 3), (3, 3), (3, 5), (4, 7)} และ s = {(3, 2), (5, 4), (6, 6), (7, 9)}

จงหา s ◦ r

ตวอยาง 3.2.26 ให A = {1, 2, 3, 4, 5} โดย r และ s เปนความสมพนธบนเซต A ดงนr = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} และ s = {(1, 2), (2, 5), (3, 4), (4, 1), (5, 3)}

จงหาความสมพนธตอไปน

1. r ◦ s

2. s ◦ r

3. r ◦ r

4. (s ◦ r)−1

5. s−1 ◦ r−1

6. r−1 ◦ s−1


ทฤษฎบท 3.2.27 ให r, s และ t เปนความสมพนธ จะไดวา1. (r ◦ s)−1 = s−1 ◦ r−1 2. (r ◦ s) ◦ t = r ◦ (s ◦ t)

บทนยาม 3.2.28 ให A เปนเซตใดๆ และ r เปนความสมพนธบน A จะกลาววา r มสมบต

1. สะทอน (reflexive) กตอเมอ ∀a ∈ A, a r a

2. สมมาตร (symmetric) กตอเมอ ∀a, b ∈ A, a r b → b r a

3. ปฏสมมาตร (antisymmetric) กตอเมอ ∀a, b ∈ A, (a r b ∧ b r a) → a = b

4. ถายทอด (transitive) กตอเมอ ∀a, b, c ∈ A, (a r b ∧ b r c) → a r c

5. เปรยบเทยบได (comparable) กตอเมอ ∀a, b ∈ A, a r b ∨ b r a

a

สมบตสะทอน

a b

สมบตสมมาตร

a ba = b

สมบตปฏสมมาตร

ab

c

สมบตถายทอด

ตวอยาง 3.2.29 ให A = {1, 2, 3, 4} จงตรวจสอบวาความสมพนธตอไปน มสมบตใดบาง

1. ความสมพนธ "เทากบ"2. ความสมพนธ "นอยกวา"3. ความสมพนธ "นอยกวาหรอเทากบ"4. ความสมพนธ "หารลงตว"

92 บทท 3. ความสมพนธทฤษฎบท 3.2.30 ความสมพนธเอกลกษณ iA มสมบตสะทอน

ทฤษฎบท 3.2.31 ทก ๆ x และ y จะไดวา (x, y) ∈ iA กตอเมอ x = y

ทฤษฎบท 3.2.32 ให r เปนความสมพนธบน A จะไดวา

r มสมบตสะทอน กตอเมอ iA ⊆ r


r−1 มสมบตสมมาตร กตอเมอ r−1 = r



r มสมบตปฏสมมาตร กตอเมอ r ∩ r−1 ⊆ iA


r มสมบตเปรยบเทยบได กตอเมอ r ∪ r−1 ⊆ A× A

ทฤษฎบท 3.2.36 ให r เปนความสมพนธบน A จะไดวาถา r มสมบตเปรยบเทยบได แลว r มสมบตสะทอน


แบบฝ กหด 3.21. จงหาโดเมนและเรจนของความสมพนธตอไปน

1.1 r = {(x, y) ∈ N× N : y = 5− |x|}1.2 r = {(x, y) ∈ N× Z : xy + 3x = 12}1.3 r = {(x, y) ∈ Z× Z : x+ y = xy + 1}1.4 r = {(x, y) ∈ Z× R : y = sinπx}1.5 r = {(x, y) ∈ R× R : y =

√1− sinx}

1.6 r = {(x, y) ∈ R× R : y =√1− x2}

1.7 r = {(x, y) ∈ R× R : y = sinx+ cosx}1.8 r =

{(x, y) ∈ R× R : y = 1 +

x

1− x2

}1.9 r =

{(x, y) ∈ R× R : y =

x− 3

x+ 3

}1.10 r =

{(x, y) ∈ R× R : y =

ℓn(3− x)√x2 − 4

}2. ให r, s และ t เปนความสมพนธ จงพสจนวา r ∩ (s ∪ t) เปนความสมพนธ3. จงพสจนวา Dom((A× A)−1) = A ทก ๆ เซต A

4. ให A ไมใช เซตวาง และ B เปนเซต จงแสดงวา Dom((A×B)−1) = A

5. ให r, s, t และ u เปนความสมพนธ จงพสจนวา5.1 (r ⊆ s ∧ t ⊆ u) → t ◦ r ⊆ u ◦ s5.2 (r ∪ s) ◦ t = (r ∪ t) ◦ (s ∪ t)

5.3 (r ∩ s) ◦ t ⊆ (r ∩ t) ◦ (s ∩ t)

6. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา6.1 ถา A ∩B = ∅ แลว (A×B) ◦ (A×B) = A×B

6.2 ถา A ∩B = ∅ แลว (A×B) ◦ (A×B) = ∅

6.3 ถา B = ∅ แลว (B × C) ◦ (A×B) = A× C

7. ให r และ s เปนความสมพนธจาก A ไป B จงพสจนวา7.1 r ∩ s เปนความสมพนธจาก A ไป B

7.2 r ∪ s เปนความสมพนธจาก A ไป B

7.3 r − s เปนความสมพนธจาก A ไป B

8. ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B จงพสจนวา r−1 เปนความสมพนธจาก B ไป A

9. จงแจงกแจงความสมพนธบน A = {0,±1,±2} ทกำหนดใหตอไปน พรอมทงตรวจสอบสมบตทง 5 ชนด


9.1 r = {(x, y) : y = x2}

9.2 s = {(x, y) : y ≤ x}

9.3 t = {(x, y) : y =√|x|}

9.4 u = {(x, y) : x < 1 และ x2 > 1}

10. ให r และ s เปนความสมพนธบน A และ r ⊆ s จงพสจนวา ถา r มสมบตสะทอน แลว s

จะมสมบตสะทอนดวย11. จงตรวจสอบวาความสมพนธบน N ตอไปน มสมบตใดบางใน 5 ชนด

11.1 r = {(x, y) : 2 | (x+ y)}

11.2 r = {(x, y) : 2 | (x− y)}

11.3 r = {(x, y) : 2 | (x2 − y2)}

11.4 r = {(x, y) : 2 | (x2 + y2)}


3.3 ความสมพนธสมมลบทนยาม 3.3.1 ความสมพนธ r บนเซต A จะเรยกวา ความสมพนธ สมมล (equivalentrelation) กตอเมอ r มสมบตสะทอน สมมาตร และถายทอดตวอยาง 3.3.2 ให A = {1, 2, 3} ขอใดตอไปน เปนความสมพนธสมมลบน A

1. r = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

2. r = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

3. r = {(1, 1)}

4. r = A× A

5. r = ∅

ตวอยาง 3.3.3 ความสมพนธ r ทนยามโดยx r y กตอเมอ 3 | (y − x) สำหรบ x, y ∈ Z

จงแสดงวา r เปนความสมพนธสมมลบน Z

ตวอยาง 3.3.4 ให n ∈ Z ซง n > 1 และความสมพนธ r บน Z นยามโดยx r y กตอเมอ n | (y − x)

จงแสดงวา r เปนความสมพนธสมมลบน Z

3.3. ความสมพนธ สมมล 97

บทนยาม 3.3.5 ให r เปนความสมพนธสมมลบนเซตA = ∅ และ a ∈ A ชนสมมล (equivalenceclass) ของ a มอดโล r เขยนแทนดวย [a]r หรอ [a] หรอ a หมายถงเซตของสมาชกใน A ทสมพนธกบ a นนคอ

[a]r = {x ∈ A : x r a}

และเซตของชนสมมลเรยกวา เซต A มอดโล r (A mudulo r) เขยนแทนดวย A/r ดงนนA/r = {[a]r : a ∈ A}

ตวอยาง 3.3.6 จงหาเซต Z/r ของความสมพนธ r บน Z นยามโดย x r y กตอเมอ 3|(x− y)

ขอสงเกต 3.3.7 สงเกตไดวาเซต Z ถกแบงออกเปนเซตยอยได 3 เซตเทานนคอ [0], [1] และ [2]

จะเหนวาแตละเซตยอยไมมสมาชกซำกน และเมอรวมสมาชกทงหมดของเซตยอยเหลานนยอมเทากบ Z ในทำนองเดยวกนจากตวอยาง 3.3.4 เมอ

[k] = {nq + k : q ∈ Z} ทก k ∈ {0, 1, 2, ..., n− 1}

จะไดวาZ/r = {[0], [1], [3], ..., [n− 1]}

เรยกเซตน วา เซตของจำนวนเตมมอดโล n เขยนแทนดวย Zn


ทฤษฎบท 3.3.8 ให r เปนความสมพนธสมมลบนเซต A = ∅ แลว1. ∀a ∈ A, [a]r = ∅

2. ∀a, b ∈ A, [a]r ∩ [b]r = ∅ ↔ a r b

3. ∀a, b ∈ A, [a]r = [b]r ↔ a r b

4. ∀a, b ∈ A, [a]r = [b]r ↔ [a]r ∩ [b]r = ∅

บทนยาม 3.3.9 ให A เปนเซตทไมใช เซตวาง และ Λ เปนเซตรรชน จะกลาววาΠ = {Aα : ∅ = Aα ⊆ A และ α ∈ Λ}

เปน ผลแบงกน (partition) ของ A ถา(1) ∪

α∈Λ

Aα = A

(2) ∀α, β ∈ Λ, Aα = Aβ หรอ Aα ∩ Aβ = ∅

ตวอยาง 3.3.10 กำหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} จงยกตวอยางผลแบงกนของ A มาอยางนอย 2 เซต

3.3. ความสมพนธ สมมล 99

ทฤษฎบท 3.3.11 ให A เปนเซตไมใช เซตวาง และ r เปนความสมพนธสมมลบน A แลว A/r

เปนผลแบงกนหนงของ A

บทนยาม 3.3.12 ให Π เปนผลแบงกนของเซต A นยามความสมพนธ A/Π บน A เรยกวา A

มอดโล Π โดย

(x, y) ∈ A/Π กตอเมอ ม B ∈ Π ซง {x, y} ⊆ B

ตวอยาง 3.3.13 ให A = {a, b, c, d} และ Π = {{a, b}, {c}, {c, d}} จงหา A/Π

ตวอยาง 3.3.14 กำหนดให A = N และ Π = {{1, 3, 5, 7, ...}, {2, 4, 6, 8, ...}} จงหา A/Π

ทฤษฎบท 3.3.15 ถา Π เปนผลแบงกนของเซต A = ∅ แลว

A/Π เปนความสมพนธสมมลบน A


แบบฝ กหด 3.31. ให A = ∅ และ r เปนความสมพนธบนเซต A จงแสดงวา

r เปนความสมพนธสมมล กตอเมอ r−1 เปนความสมพนธสมมล

2. ให A = ∅ เปนเซตใด ๆ ให r และ s เปนความสมพนธบน A จงพจารณาขอความตอไปนถาเปนจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน

2.1 ถา r ∪ s เปนความสมพนธสมมล แลว s ◦ r = r ◦ s

2.2 ถา r ∪ s = r ◦ s แลว r ∪ s เปนความสมพนธสมมล

3. กำหนดให A = {a, b, c, d} จงพจารณาวาความสมพนธบน A ตอไปน มขอใดเปนความสมพนธสมมล3.1 r = {(a, b), (b, a)}

3.2 r = {(c, d), (c, c)}

3.3 r = {(a, a), (b, b)}

3.4 r = {(d, c)}

4. จงพจารณาความสมพนธตอไปน เปนความสมพนธสมมล4.1 r = {(x, y) ∈ R× R : y > x}

4.2 r = {(x, y) ∈ N× N : x+ y = 2}

4.3 r = {(x, y) ∈ Z× Z : 4|(x− y)}

4.4 r = {(x, y) ∈ N× N | 5 : (2x− 2y)}

4.5 ให S เปนเซต และ A,B ∈ P(S) กำหนดให ArB มความหมายวา A ⊆ B

5. ให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Π = {{1, 2, 4}, {3, 5, 6}, {7, 8}}และ r = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 2), (2, 1)}จงหาสมาชกของ5.1 A/r

5.2 [3]r

5.3 A/Π

5.4 [3]A/Π

5.5 A/(A/r)

5.6 A/(A/Π)

6. ให n ∈ N และ rn = {(x, y) ∈ Z× Z : n | (y − x)} นยาม [x]n = [x]rn และ Zn = N/rnจงหา6.1 [2]3

6.2 [3]4

6.3 [5]4

6.4 Z3

6.5 Z4

6.6 Z7

6.7 [2]N/Z3

6.8 [3]N/Z5

7. ให Π เปนผลแบงกนของเซตหนง ให A,B และ C เปนสมาชกใน Π

จงแสดงวา ถา B ∩ C = ∅ แลว B = C

บทท 4ฟงกชน

4.1 ฟงกชนบทนยาม 4.1.1 ความสมพนธ f จะเรยกวา ฟงกชน (function) กตอเมอ

∀x∀y∀z [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f → y = z]

ขอสงเกต 4.1.2f เปนฟงกชน ↔ ∀x∀y∀z [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f → y = z]

f ไมเปนฟงกชน ↔ ∃x∃y∃z [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ∧ y = z]

ตวอยาง 4.1.3 จงตรวจสอบความสมพนธตอไปน เปนฟงกชนหรอไม เพราะเหตใด1. r1 = {(1, 2), (2, 1), (3, 5)}

2. r2 = {(1, 2), (1, 1)}

3. r3 = {(x, y) ∈ R× R : x < y}

4. r4 = {(x, y) ∈ Z× Z : xy = x+ y}

5. r5 = {(x, y) ∈ Q×Q : y = |y|+ |x|}

6. r6 = {(x, y) ∈ Z×Z : 2x+y2 = x2+2y}

101

102 บทท 4. ฟงก ชน

ตวอยาง 4.1.4 จงตรวจสอบวาความสมพนธตอไปน เปนฟงกชนหรอไม พรอมพสจน

1. f = {(x, y) ∈ R× R : 3x+ 2y = 6}

2. g = {(x, y) ∈ R× R : y = x2 + 1}

3. h = {(x, y) ∈ R× R : xy2 = x+ 1}

ทฤษฎบท 4.1.5 เซตวางเปนฟงกชน

4.1. ฟงก ชน 103

บทนยาม 4.1.6 ให f เปนฟงกชน ถา (x, y) ∈ f เขยนแทนดวย y = f(x) นนคอ(x, y) ∈ f ↔ y = f(x)

ตวอยาง 4.1.7 ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} และ g = {(1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 2)} จงหา1. f(1) + f(2)

2. g(3)− g(4)

3. f(4) · g(2)

4. f(g(3))− g(f(3))

บทนยาม 4.1.8 ให f และ g เปนฟงกชน1. ผลบวก (sum) ของ f และ g เขยนแทนดวย f + g นยามโดย

f + g = {(x, y) : y = f(x) + g(x) และ x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)}

2. ผลคณ (difference) ของ f และ g เขยนแทนดวย f − g นยามโดยf − g = {(x, y) : y = f(x)− g(x) และ x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)}

3. ผลคณ (product) ของ f และ g เขยนแทนดวย fg นยามโดยfg = {(x, y) : y = f(x)g(x) และ x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)}

4. ผลหาร (quotient) ของ f และ g เขยนแทนดวย f

gนยามโดย

f

g=

{(x, y) : y =

f(x)

g(x), x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g) และ g(x) = 0

}

ตวอยาง 4.1.9 ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} และ g = {(1, 3), (3, 5), (4, 1), (6, 0)} จงหา1. f + g

2. f − g

3. g − f

4. fg

5. f

g

6. g

f


ทฤษฎบท 4.1.10 ให f และ g เปนฟงกชน จะไดวา f + g, f − g, fg และ f

gเปนฟงกชน

จากบทนยาม 4.1.8 จะไดวา(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f − g)(x) = f(x)− g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)เมอ g(x) = 0

ตวอยาง 4.1.11 กำหนดใหf(x) =

x

1− x2และ g(x) =

1− x

2x2

จงหา1. (f + g)(x)

2. (f − g)(x)

3. (fg)(x)

4.(f

g

)(x)

4.1. ฟงก ชน 105

ตวอยาง 4.1.12 ให

f(x) = x+ 1 และ g(x) =1

1 + 1x

และ h(x) =x

x+ 1

จงหา1. (fg)(x)

2. (fh)(x)

3.(gh

)(x)

4.(h

g

)(x)

จากบทนยาม 4.1.8 จะไดวาDom(f + g) = Dom(f − g) = Dom(fg) = Dom(f) ∩ Dom(g)

Dom(f

g

)= Dom(f) ∩ Dom(g)− {x : g(x) = 0}

ตวอยาง 4.1.13 ให

f(x) =√9− x2 และ g(x) =

1√x2 − 4

จงหา1. Dom(f + g)

2. Dom(f − g)

3. Dom(fg)

4. Dom(f

g

)


เนองจาก f และ g เปนเซตจะไดวา f = g กตอเมอ ∀x∀y [(x, y) ∈ f ↔ (x, y) ∈ g]

ทฤษฎบท 4.1.14 ให f และ g เปนฟงกชน จะไดวา

f = g กตอเมอ Dom(f) = Dom(g) และ f(x) = g(x) ทก ๆ x ∈ Dom(f)

ตวอยาง 4.1.15 ให f(x) = x และ g(x) =x2

xจงแสดงวา f = g

ตวอยาง 4.1.16 ให f(x) = x

|x|และ g(x) =

|x|x

แลว f = g หรอไมเพราะเหตใด

4.1. ฟงก ชน 107

บทนยาม 4.1.17 ฟงกชน f จะเรยกวา ฟงกชนหนงตอหนง (injective หรอ one-to-one)กตอเมอ

∀x1∀x2[f(x1) = f(x2) → x1 = x2]

ขอสงเกต 4.1.18f เปนฟงกชนหนงตอหนง ↔ ∀x1∀x2[f(x1) = f(x2) → x1 = x2]

↔ ∀x1∀x2[x1 = x2 → f(x1) = f(x2)]

f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ↔ ∃x1∃x2[f(x1) = f(x2) ∧ x1 = x2]

ตวอยาง 4.1.19 จงตรวจสอบวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไมพรอมพสจน เมอ f ⊆ R× Rกำหนดโดย

1. f(x) = 2x+ 1

2. f(x) = x2

3. f(x) = x3 + 3x2 + 3x

4. f(x) = x|x|


บทนยาม 4.1.20 ให f เปนความสมพนธจาก A ไป B เรยก f วาฟงกชนจาก A ไป B ถา

1. f เปนฟงกชน 2. Dom(f) = A 3. Ran(f) ⊆ B

ตวอยาง 4.1.21 ให A = {1, 2, 3} และ B = {4, 5, 6} ฟงกชนในขอใดเปนฟงกชนจาก A ไป B

1. f1 = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

2. f2 = {(1, 2), (2, 5), (3, 6)}

3. f3 = {(1, 4), (1, 5), (3, 6)}

4. f4 = {(1, 4), (2, 5)}

ตวอยาง 4.1.22 จงเขยนฟงกชนจาก A ไป B ทงหมด เมอ A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2}

ตวอยาง 4.1.23 ให f =

{(x, y) ∈ R× R : y =

1

x2 + 1

}จงแสดงวา f ฟงกชนจาก R ไป R

4.1. ฟงก ชน 109

บทนยาม 4.1.24 ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B ถา Ran(f) = B จะเรยก f วา ฟงกชนทวถง(surjective) หรอ ฟงกชนจาก A ไปทวถง B

บทนยาม 4.1.25 ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงและฟงกชนทวถงจะเรยกวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง (bijective) หรอเปนฟงกชนหนงตอหนงจากA ไปทวถง B

ตวอยาง 4.1.26 จงเขยนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ทงหมด เมอ A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2}

ตวอยาง 4.1.27 กำหนดใหf = {(x, y) : x+

√x = y +

√y}

จงแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก R+ ไปทวถง R+


ทฤษฎบท 4.1.28 เซตวาเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ∅ ไปทวถง ∅

ทฤษฎบท 4.1.29 ให A เปนเซตใด ๆ แลวความสมพนธเอกลกษณ iA เปนฟงกชนจาก A ไป A

บทนยาม 4.1.30 สำหรบเซต A ใด ๆ เรยกiA = {(x, x) : x ∈ A}

วา ฟงกชนเอกลกษณ (identity function)ทฤษฎบท 4.1.31 ให A เปนเซต แลวฟงกชนเอกลกษณ iA เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง

4.1. ฟงก ชน 111

แบบฝ กหด 4.11. จงตรวจสอบความสมพนธตอไปน เปนฟงกชนหรอไม พรอมพสจน

1.1 f1 = {(x, y) ∈ R× R : y = 3x− 1}

1.2 f2 = {(x, y) ∈ R× R : y = 2x2 − 3}

1.3 f3 = {(x, y) ∈ Z× Z : xy = y2}

1.4 f4 = {(x, y) ∈ Z× Z : y|x| = x|y|}

1.5 f5 = {(x, y) ∈ Z× N : yx− y = 35 + x}

1.6 f6 = {(x, y) ∈ R× R : x2 + y2 + 2 = 2x+ 2y}

2. จงตรวจสอบฟงกชนตอไปน วาเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม พรอมพสจน2.1 f1 = {(x, y) ∈ R× R : yx+ y = x− 1}

2.2 f2 = {(x, y) ∈ R× R : 3x = xy − 2y}

2.3 f3 = {(x, y) ∈ R× R : y = x3 − 3x2 + 3x+ 1}

2.4 f4 = {(x, y) ∈ Z× Z : x2y + y = 1}

3. กำหนดใหf(x) =

x เมอ x ≥ 0

−x2 เมอ x < 0

จงพสจนวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไปทวถง R

4. จงแสดงวา ∅ เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ A = ∅

5. จงเขยนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ทงหมด เมอ A = {4, 5, 6} และB = {1, 2, 3, 4}

6. จงแสดงวาสบเซตของฟงกชนหนงตอหนงเปนฟงกชนหนงตอหนง7. ให f(x) = 1

1 + 1x

และ g(x) =x

1 + xแลว f = g หรอไม พรอมใหเหตผล

8. ให f : N → N กำหนดโดย f(x) =

x2+ 1 เมอ x เปนจำนวนค

x+12

เมอ x เปนจำนวนคจงพจารณาวา f พรอมทงใหเหตผล

8.1 f เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม8.2 f เปนฟงกชนทวถงหรอไม

9. ให f, g : A → B จงพจารณาขอความตอไปน วาจรงหรอไม พรอมทงพสจน9.1 f ∪ g : A → B

112 บทท 4. ฟงก ชน9.2 f ∩ g : A → B

9.3 ถา f ∪ g : A → B แลว f = g

9.4 ถา f ∩ g : A → B แลว f = g

9.5 ถา f และ g เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว f ∪ g : A → B เปนฟงกชนหนงตอหนง9.6 ถา f และ g เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว f ∩ g : A → B เปนฟงกชนหนงตอหนง9.7 ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว f ∪ g : A → B เปนฟงกชนทวถง9.8 ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว f ∩ g : A → B เปนฟงกชนทวถง

10. ให f = {(1, 0), (2, 2), (3, 5), (4, 6)} และ g = {(1, 1), (2, 1), (4, 3), (5, 0)} จงหา10.1 f + g

10.2 f − g

10.3 f + f

10.4 g − f

10.5 fg

10.6 gg

10.7 f

g

10.8 g

f

11. จงหา Dom(f + g), Dom(f − g), Dom(fg) และ Dom(fg) เมอกำหนดให

11.1 f(x) =√x และ g(x) = x+ 1

11.2 f(x) =√1− x2 และ g(x) =

x

x+ 2

11.3 f(x) =√x3 + 1 และ g(x) =

x√x2 − 1

12. ให f และ g เปนฟงกชน จงแสดงวา f + g = g + f และ fg = gf

13. ให

f(x) = x, g(x) = elnx, h(x) =x− 1

x+ 1และ k(x) =

1− 1x

1 + 1x

จงหา13.1 (f + g)(x)

13.2 (fg)(x)

13.3 (h− k)(x)

13.4 (hk)(x)

13.5(

fg

)(x)

13.6 (hk

)(x)

14. ให

f(x) =

x เมอ x > 0

−x เมอ x ≤ 0และ g(x) =

x− 1 เมอ x > 1

1− x เมอ x ≤ 1

จงหา14.1 (f + g)(x) 14.2 (f − g)(x) 14.3 (fg)(x) 14.4

(f

g

)(x)

4.2. ฟงก ชนผกผนและฟงก ชนประกอบ 113

4.2 ฟงกชนผกผนและฟงกชนประกอบบทนยาม 4.2.1 ให f : A → B จะกลาววา f เปนฟงกชนผกผนได (invertible) กตอเมอ

f−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f} เปนฟงกชนและเรยก f−1 วาฟงกชนผกผน (inverse function) ของ f

ตวอยาง 4.2.2 ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} และ g = {(1, 2), (2, 1), (3, 2)} จงตรวจสอบวา f

และ g เปนฟงกชนผกผนไดหรอไม

ทฤษฎบท 4.2.3 ให f : A → B แลวจะไดวา

f เปนฟงกชนผกผนได กตอเมอ f เปนฟงกชน 1-1

ทฤษฎบท 4.2.4 f : A → B เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง กตอเมอ f−1 : B → A เปนฟงกชน1-1 แบบทวถง


ตวอยาง 4.2.5 จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนผกผนไดหรอไม พรอมใหเหตผล1. f : R → R นยามโดย f(x) = x2

2. f : R → R นยามโดย f(x) = 2x+ 1

ตวอยาง 4.2.6 จงหา f−1(x) เมอกำหนดให

1. f(x) = 3x− 2

2. f(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 2

3. f(x) =x+ 1

x− 1

4. f(x) =1− x

1 + x


ตวอยาง 4.2.7 ให f : R → R กำหนดโดยf(x) = x|x|

จงแสดงวา f−1 เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง และหา f−1(x)


ถาเปรยบเทยบฟงกชนคอเครองจกรชนหนงเรยกวา f เมอใส x หรอ input เขาไปในเครองจะได f(x) ออกมาตามหนาท ของเครองจกรชนดนน จากแนวคดน เมอประกอบเครองจกรอกเครองทเรยกวา g อกชน โดยนำ f(x) หรอ output จากเครองจกร f ใส เขาไปในเครองจกร g

แลวไดผลเปน g(f(x)) เรยกเครองจกรประกอบจากสองชนน วา h ดงภาพ

g(f(x))x f gf(x)

h

จะเรยกฟงกชน h ทไดจากแนวคดน วา ฟงกชนประกอบ (composite function) ซงมนยามดงตอไปนทฤษฎบท 4.2.8 ให f และ g เปนฟงกชน

h = {(x, z) : (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g} เปนฟงกชน

บทนยาม 4.2.9 ให f และ g เปนฟงกชน ฟงกชน h ในทฤษฎบท 4.2.8 เรยกวาฟงกชนประกอบ(composite function) ของ f และ g เขยนแทนดวย g ◦ f นนคอ

(x, z) ∈ g ◦ f ↔ (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g

ตวอยาง 4.2.10 ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (5, 4)} และ g = {(1, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 1)} จงหา1. f ◦ g

2. g ◦ f

3. f ◦ f

4. (f ◦ g) + f


ตวอยาง 4.2.11 ใหf = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)}g = {(1, 4), (2, 2), (3, 1), (4, 3)}h = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 2)}

จงหา (f ◦ g) ◦ h และ f ◦ (g ◦ h)

โดยบทนยาม 4.2.9(x, z) ∈ g ◦ f ↔ (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g

z = (g ◦ f)(x) ↔ f(x) = y ∧ g(y) = z

↔ g(f(x)) = z

ดงนน

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

ตวอยาง 4.2.12 ให f(x) = x− 1

x+ 1และ g(x) =

x+ 1

x+ 3จงหา (f ◦ g)(x) และ (g ◦ f)(x)


ทฤษฎบท 4.2.13 ให f, g และ h เปนฟงกชน แลวf ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h


1. ถา f และ g เปนฟงกชน 1-1 แลว g ◦ f เปนฟงกชน 1-12. ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว g ◦ f เปนฟงกชนทวถง3. ถา f และ g เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง แลว g ◦ f เปนฟงก 1-1 แบบทวถง



1. ถา g ◦ f เปนฟงกชน 1-1 แลว f เปนฟงกชน 1-12. ถา g ◦ f เปนฟงกชนทวถง แลว g เปนฟงกชนทวถง3. ถา g ◦ f เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง แลว f เปนฟงก 1-1 และ g เปนฟงกชนแบบทวถง

ทฤษฎบท 4.2.16 ให f : A → B แลว1. f ◦ iA = f

2. iB ◦ f = f

ทฤษฎบท 4.2.17 ให f : A → B เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง จะไดวา1. f ◦ f−1 = iB

2. f−1 ◦ f = iA


ทฤษฎบท 4.2.18 ให f, g และ h เปนฟงกชน1. ถา f = g แลว h ◦ f = h ◦ g

2. ถา f = g แลว f ◦ h = g ◦ h

ทฤษฎบท 4.2.19 ให f เปนฟงกชน 1-1 และ Dom(f) = A และ Ran(f) = B

1. g ◦ f = f กตอเมอ g = iB

2. f ◦ g = f กตอเมอ g = iA


ตวอยาง 4.2.20 กำหนดให f(x) =1− x

1 + xและ A = Dom(f) จงแสดงวา f = f−1 และ

f ◦ f = iA

ทฤษฎบท 4.2.21 ให f เปนฟงกชนผกผนได แลว

f−1 เปนฟงกชนผกผนได และ (f−1)−1 = f

ทฤษฎบท 4.2.22 กำหนดให f และ g เปนฟงกชน 1-1 จะไดวา(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1


แบบฝ กหด 4.21. จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนผกผนไดหรอไม เมอโดเมนเปนสบเซตของจำนวนจรง

1.1 f(x) = 5 + 7x

1.2 f(x) =√x+ 1

1.3 f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 3

1.4 f(x) = x3|x|

1.5 f(x) = |x|+ |x+ 1|

1.6 f(x) = tanx

1.7 f(x) =1 + 2x

2 + x

1.8 f(x) =1

1 + 2x

1.9 f(x) =1

1 + 1x

1.10 f(x) = xsinx

2. จงหาฟงกชนผกผน f−1(x) ของฟงกชนตอไปน2.1 f(x) = 11x+ 22

2.2 f(x) =√x

2.3 f(x) = x3 + 12x2 + 6x

2.4 f(x) = tanx2.5 f(x) = ex

2.6 f(x) =3 + x

2− x

3. ให f = {(0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 2)} และ g = {(0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 1)} จงหา3.1 f ◦ g 3.2 g ◦ f 3.3 (f + g) ◦ (f − g)

4. ให f(x) =3x เมอ x > 0

2x เมอ x ≤ 0และ g(x) =

x2 − 1 เมอ x > 1

1− x2 เมอ x ≤ 1จงหา

4.1 (f ◦ g)(x) 4.2 (g ◦ f)(x) 4.3 (f ◦ g) ◦ f(1) 4.4 (f − g) ◦ g(1)

5. ให f(2x+ 1) = 4x2 + 4x+ 5 และ g

(1 + x

1− x

)= x จงหา f(x), g(x) และ (f ◦ g)(x)

6. จงยกตวอยางฟงกชน 1-1 f ทสอดคลอง f(x+ y) = f(x) + f(y) ทก ๆ x และ y

7. ให f และ g เปนฟงกชน จงพสจนวา7.1 Dom(g ◦ f) ⊆ Dom(f) 7.2 Ran(g ◦ f) ⊆ Ran(g)

8. ให f : A → B และ g : B → C จงพสจนวา g ◦ f : A → C

9. ให f : A → B และ g : B → C ถา f และ g เปนฟงกชนแบบทวถง จงพสจนวาg ◦ f : A → C เปนฟงกชนแบบทวถง

10. ให f : A → B และ g : B → C ถา f และ g เปนฟงกชน 1-1 จงพสจนวา g ◦ f : A → C

เปนฟงกชน 1-111. ให f : A → B และ g : B → C ถา f เปนฟงกชน 1-1 และ g เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง

จงพสจนวา (g ◦ f)−1 เปนฟงกชน 1-1 C ไปทวถง A

4.3. ภาพและภาพผกผน 123

4.3 ภาพและภาพผกผนทฤษฎบท 4.3.1 ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ S ⊆ A ถา

g(x) = f(x) ทก ๆ x ∈ S

แลว g เปนฟงกชนจาก S ไป B

บทนยาม 4.3.2 ฟงกชน g จากทฤษฎบท 4.3.1 เรยกวา ฟงกชนกำกด (restriction function)ของ f บน S เขยนแทนดวย f |S และ f เรยกวา ฟงกชนภาคขยาย (extension function) ของf |S นนคอ

f |S = {(x, y) : (x, y) ∈ f และ x ∈ S}

f |S เปนฟงกชนกำกดของ f บน S ↔ f |S(x) = f(x) ทก ๆ x ∈ S

ตวอยาง 4.3.3 ให f เปนฟงกชนบนจำนวนจรง จงหา f |S

1. f(x) = 2x+ 1 และ S = {−1, 0, 1}

2. f(x) = x2 และ S = N

3. f(x) =√x2 และ S = R+

4. f(x) = cosx และ S = [0, π]


ทฤษฎบท 4.3.4 ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ S ⊆ A แลวf |S ∪ f |A−S = f

ทฤษฎบท 4.3.5 ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ S ⊆ A

ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลว f |S เปนฟงกชน 1-1 จาก S ไป B


บทนยาม 4.3.6 ให f : A → B และ U ⊆ A นยาม ภาพ (image) ของ U ภายใต f เขยนแทนดวย f(U) กำหนดโดย

f(U) = {y ∈ B : ∃x ∈ A และ f(x) = y}

และ V ⊆ B นยาม ภาพผกผน (inverse image) ของ V ภายใต f เขยนแทนดวย f−1(V )

กำหนดโดยf−1(V ) = {x ∈ A : f(x) ∈ V }

จะไดวา

y ∈ f [U ] กตอเมอ ∃x ∈ U, y = f(x) x ∈ f−1[V ] กตอเมอ f(x) ∈ V

fA

U

B

f(U)

fA

f−1(V )

B

V

ตวอยาง 4.3.7 ให f เปนฟงกชนบน R นยามโดย f(x) = 2x+ 1 จงหา f(U) และ f−1(V )

1. U = {1, 2, 3, 4, 5}

2. V = {1, 2, 3, 4, 5}

3. U = [−3, 7]

4. V = (−6,∞)

5. U = {x ∈ R : x2 > 1}

6. V = {x ∈ R : 1 < |x| < 3}

126 บทท 4. ฟงก ชนทฤษฎบท 4.3.8 ให f : A → B และ U ⊆ A และ V ⊆ B แลว

1. f(∅) = ∅ และ f−1[∅] = ∅

2. f(U) ⊆ Ran(f) และ f(A) = Ran(f)3. f(U) ⊆ f(A) ⊆ B

4. f−1(V ) ⊆ Dom(f) และ f−1(B) = Dom(f)

ทฤษฎบท 4.3.9 ให f : A → B และ X,Y ⊆ A และ U, V ⊆ B แลว1. ถา X ⊆ Y แลว f(X) ⊆ f(Y )

2. ถา X = Y แลว f(X) = f(Y )

3. ถา U ⊆ V แลว f−1(U) ⊆ f−1(V )

4. ถา U = V แลว f−1(U) = f−1(V )


ทฤษฎบท 4.3.10 ให f : A → B และ X,Y ⊆ A และ U, V ⊆ B แลว1. f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y )

2. f(X ∩ Y ) ⊆ f(X) ∩ f(Y )

3. f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V )

4. f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V )

ทฤษฎบท 4.3.11 ให f : A → B

f เปนฟงกชน 1-1 กตอเมอ f(U ∩W ) = f(U) ∩ f(W ) ทก ๆ U,W ⊆ A

ทฤษฎบท 4.3.12 ให f : A → B และ V ⊆ B แลว f−1(B − V ) = f−1(B)− f−1(V )

128 บทท 4. ฟงก ชนทฤษฎบท 4.3.13 ให f : A → B และ U ⊆ A และ V ⊆ B แลว

1. U ⊆ f−1(f(U)) 2. f(f−1(V )) ⊆ V

ทฤษฎบท 4.3.14 ให f : A → B เปนฟงกชน 1-1 และ U ⊆ A แลวf−1(f(U)) = U

ทฤษฎบท 4.3.15 ให f : A → B เปนฟงกชนทวถง และ V ⊆ B แลวf(f−1(V )) = V


แบบฝ กหด 4.31. ให f(x) = x2 + 1 จงหา

1.1 f({1, 2, 3})

1.2 f([−3, 3])

1.3 f−1({−1, 0, 1, 2})

1.4 f−1((−1, 5])

2. ให f(x) =2x เมอ x > 1

x+ 1 เมอ x ≤ 1จงหา f |S

2.1 S = {0, 1, 2} 2.2 S = [−2, 5] 2.3 S = (7,∞) 2.4 S = (−∞, 2)

3. ให f : R → R โดย f(x) = |x| จงหาภาพและภาพผกผนตอไปน พรอมทงพสจน

3.1 f([0, 1])

3.2 f((−1, 1))

3.3 f−1((−1, 1))

3.4 f−1([1, 3))

4. ให f : R → R โดย f(x) = 1− x2 จงหาภาพและภาพผกผนตอไปน พรอมทงพสจน

4.1 f([0, 2])

4.2 f([−2, 1))

4.3 f−1((−1, 2])

4.4 f−1((−2, 2))

5. ให f : A → B และ g : B → C และ D ⊆ C จงแสดงวา (g ◦ f)−1(D) = f−1(g−1(D))

6. ให f : A → B และ U ⊆ A และ V ⊆ B จงพสจนวาf(U) ⊆ V ↔ U ⊆ f−1(V )

7. ให f : A → B และ U ⊆ A และ V ⊆ B จงพสจนวา(f |U)−1(V ) = A ∩ f−1(V )

8. ให f : A → B และ U,W ⊆ A จงพสจนวา

8.1 f เปนฟงกชน 1-1 กตอเมอ f(A− U) ⊆ B − f(U)

8.2 f เปนฟงกชนทวถง กตอเมอ B − f(U) ⊆ f(A− U)

8.3 f เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง กตอเมอ B − f(U) = f(A− U)


4.4 เซตดรรชนพจารณาตวอยาง {A1, A2, A3, A4} เมอ

A1 = [0, 1]

A2 = {0.5, 1, 2}

A3 = {x ∈ Z : x > 1}

A4 = {x ∈ Q : 0 < x < 4}

เรยก {1, 2, 3, 4} วา เซตดรรชน (index set) หรอเขยนไดวา Aα เมอ α ∈ {1, 2, 3, 4} ของ{Aα : α ∈ Λ}

ในกรณท Λ = N เรยก {Aα : α ∈ N} วาอนดบของเซตตวอยาง 4.4.1 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจำนวนนบ ให Λ เปนเซตดรรชน และ

Aα = {1, 2, 3, ..., α}

สำหรบแตละ α ∈ Λ จงหา Aα ทงหมด เมอ1. Λ = {1, 3, 5} 2. Λ = {1, 2, 3, 4}

ตวอยาง 4.4.2 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจำนวนจรง ให Λ เปนเซตดรรชน และAx = (x− 1, x+ 1)

สำหรบแตละ x ∈ Λ จงหา Aα ทงหมด เมอ1. Λ = {1, 2, 3, 4}

2. Λ = {−1, 0, 1}

3. Λ = {0.5, 1.2, 4}

4. Λ = (1, 5)

4.4. เซตดรรชน 131

บทนยาม 4.4.3 ให Λ เปนเซตดรรชน นยามยเนยนและอนเตอรเซกชนใด ๆ ดงน

1. ∪α∈Λ

Aα = {x : ∃α ∈ Λ, x ∈ Aα}

2. ∩α∈Λ

Aα = {x : ∀α ∈ Λ, x ∈ Aα}

กรณ Λ = {1, 2, 3, ..., n} เขยนเปนn∪

i=1

Ai และn∩

i=1

Ai

และกรณ Λ = N เขยนเปน∞∪i=1

Ai และ∞∩i=1

Ai

ตวอยางเช น3∪

i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ A3 และ4∩

i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

ตวอยาง 4.4.4 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจำนวนนบ ให Ai = {1, 2, 3, ..., i} จงหา

1.10∪i=1

Ai และ10∩i=1

Ai

2.∞∪i=1

Ai และ∞∩i=1

Ai


ตวอยาง 4.4.5 จงหาเซตตอไปน

1.∞∪n=1

An และ∞∩n=1

An เมอ An = (n− 1, n+ 1)

2. ∪x∈(0,1)

Ax และ ∩x∈(0,1)

Ax เมอ Ax = [1− x, 1 + x]

ตวอยาง 4.4.6 กำหนดให An = (1− n, 1 + n) จงหาเซตตอไปน

1. ∪n∈N

An 2. ∩n∈N

An


ตวอยาง 4.4.7 จงหา

1. ∪n∈N

(1− 1

n, 1 +

1

n

)2. ∩

n∈N

(1− 1

n, 1 +

1

n

)

ทฤษฎบท 4.4.8 ให Λ เปนเซตดรรชน และ Aα เปนเซตซง α ∈ Λ แลว

1.(∪

α∈Λ

Aα

)c

=∩α∈Λ

(Aα)c 2.

(∪α∈Λ

Aα

)c

=∩α∈Λ

(Aα)c


ทฤษฎบท 4.4.9 ให Λ เปนเซตดรรชน และ Aα เปนเซตซง α ∈ Λ และ B เปนเซตใด ๆ

1. B ∩

(∩α∈Λ

Aα

)=∩α∈Λ

(B ∩ Aα)

2.(∩

α∈Λ

Aα

)∩B =

∩α∈Λ

(Aα ∩B)

3. B ∪

(∩α∈Λ

Aα

)=∩α∈Λ

(B ∪ Aα)

4.(∩

α∈Λ

Aα

)∪B =

∩α∈Λ

(Aα ∪B)


ทฤษฎบท 4.4.10 ให Λ เปนเซตดรรชน และ Aα เปนเซตซง α ∈ Λ และ B เปนเซตใด ๆ

1. B ∪

(∪α∈Λ

Aα

)=∪α∈Λ

(B ∪ Aα)

2.(∪

α∈Λ

Aα

)∪B =

∪α∈Λ

(Aα ∪B)

3. B ∩

(∪α∈Λ

Aα

)=∪α∈Λ

(B ∩ Aα)

4.(∪

α∈Λ

Aα

)∩B =

∪α∈Λ

(Aα ∩B)


ทฤษฎบท 4.4.11 ให I และ J เปนเซตดรรชน และ Ai เปนเซตซง i ∈ I และ Bj เปนเซตซงj ∈ J เปนเซตใด ๆ

1.(∪

i∈I

Ai

)×

(∪j∈J

Bj

)=

∪(i,j)∈I×J

(Ai ×Bj)

2.(∩

i∈I

Ai

)×

(∩j∈J

Bj

)=

∩(i,j)∈I×J

(Ai ×Bj)


พจารณาเซต A ของฟงกชนทงหลายทมโดเมนคอเซตดรรชน Λ และแตละ α ∈ Λ จะไดf(α) ∈ Aα หรอนนคอ

A = {f : f : Λ → Aα}

หรอกลาวไดวาจำนวนสมาชกทงหลายใน A เปนฟงกชนจาก Λ ไปยง ∪α∈Λ

Aα ดงนน

A =

{f : Λ →

∪α∈Λ

Aα : ∀α ∈ Λ, f(α) ∈ Aα

}

ตวอยาง 4.4.12 พจารณา {Aα : α ∈ Λ} ให Aα = {1, 2, ..., α} และ α ∈ Λ จงหา A เมอ1. Λ = {1}

2. Λ = {1, 2}

3. Λ = {1, 2, 3}

ทฤษฎบท 4.4.13 ให Λ = {1, 2} ฟงกชนg : A → A1 × A2 นยามโดย g(f) = (f(1), f(2))

เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง


แบบฝ กหด 4.41. กำหนดใหเอกภพสมพทธเปนจำนวนจรง จงหาเซตตอไปน

1.1 ∪n∈N

[− 1

n,1

n]

1.2 ∪n∈N

(− 1

n, 1 +

1

n)

1.3 ∪n∈N

(1− 1

n, 2 +

1

n]

1.4 ∪n∈N

[−1,1

n)

1.5 ∪n∈N

(1− 1

n, 1)

1.6 ∪x∈R+

(−x, x)

1.7 ∪x∈R+

(1− x, 1 + x)

1.8 ∪y∈R+

(−y

2,y

2)

1.9 ∩n∈N

[− 1

n,1

n]

1.10 ∩n∈N

(− 1

n, 1 +

1

n)

1.11 ∩n∈N

(1− 1

n, 1)

1.12 ∩x∈R+

(−x, x)

2. กำหนดให {Ai : i ∈ I} และ {Bi : i ∈ I} เปนการรวมกนอยของเซตในรปดรรชนและมสมบต Ai ⊆ Bi ทก ๆ i ∈ I จงพสจนวา

2.1 ∪i∈I

Ai ⊆∪i∈I

Bi 2.2 ∩i∈I

Ai ⊆∩i∈I

Bi

3. กำหนดให {Ai : i ∈ I} และ {Bj : j ∈ J} เปนการรวมกนอยของเซตในรปดรรชนจงพสจนวา

3.1 ∪i∈I

Ai −∪j∈J

Bj =∪i∈I

(∩j∈J

(Ai −Bj)

)

3.2 ∩i∈I

Ai −∪j∈J

Bj =∩i∈I

(∪j∈J

(Ai −Bj)

)

3.3 ถาแตละ i ∈ I ม j ∈ J ซง Bj ⊆ Ai แลว∩j∈J

Bj ⊆∩i∈I

Ai

บทท 5การเรยงอนดบบางส วน

5.1 เซตซงเรยงอนดบบางส วนไดบทนยาม 5.1.1 เรยกความสมพนธ r บนเซต P วา การเรยงอนดบบางส วน (partial ordering)กตอเมอ r มสมบตสะทอน ปฏสมมาตร และถายทอด โดยทวไปนยามเขยน - แทนอนดบทละสวน และเรยกคอนดบ (P,-) วาเซตซงเรยงอนดบบางส วนได (partially ordered set) หรอโพเซต (poset)

สำหรบโพเซต (P,-) นยามความสมพนธ ≺ บน P โดยสำหรบ a, b ∈ P

a ≺ b กตอเมอ a - b และ a = b

ตวอยาง 5.1.2 กำหนดให P = {1, 2, 3} จงพจารณาวาขอใดเปนการเรยงอนดบบางสวนบน P

1. ความสมพนธเอกลกษณ2. ความสมพนธเซตวาง3. ความสมพนธ "นอยกวา"4. ความสมพนธ "นอยกวาหรอเทากบ"5. ความสมพนธ "หารลงตว"

ตวอยางโพเซตอนๆ เช น (R,≤), (N, |) และ (P(A),⊆) เมอ A เปนเซตทไมใช เซตวางในกรณทเซต P เปนเซตจำกดทไมเซตวาง นยมแทน (P,-) ดวยแผนภาพเฮสเซ (Hasse

diagram) ซงประกอบไปดวยจดหรอวงกลมเลกๆแทนสมาชกใน P และสวนของเสนตรงเชอมระหวางจด a และจด b เมอ a ≺ b และไมม c ∈ P ซง a ≺ c ≺ b โดยจด b จะถกเขยนไวเหนอจด a ดงตวอยางตอไปน

1. (N,≤) 2. (Z,≤) 3. (R,≤)

139

140 บทท 5. การเรยงอนดบบางสวน

ตวอยาง 5.1.3 ให P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซตตอไปน

1. (P, |)

1

52 3

4 6

2. (P,≤)

1

2

3

4

5

6

ตวอยาง 5.1.4 จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P, |) เมอกำหนดให1. P = {2, 3, 4, 6, 8, 12}

2. P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

3. P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

4. P = {1, 2, 3, ..., 20}

5.1. เซตซงเรยงอนดบบางสวนได 141

ตวอยาง 5.1.5 จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P(A),⊆) เมอ A = {x, y, z}

∅

{y} {z}{x}

{x, z} {y, z}{x, y}

{x, y, z}

ตวอยาง 5.1.6 จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P,⊆) เมอกำหนดให

1. P = P({1, 2})

2. P = {∅, {∅}, {1}, {3}, {1, 2}}

3. P = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}}

4. P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}}

142 บทท 5. การเรยงอนดบบางสวนตวอยาง 5.1.7 จากแผนภาพเฮสเซของโพเซต จงหาโพเซตและอนดบบางสวน

ab

c

d

e

บทนยาม 5.1.8 ให (P,-) เปนโพเซต m และ n เปนสมาชกใน P จะกลาววา

1. m เปนสมาชกตวใหญเฉพาะกลม (maximal element) ของ P

กตอเมอ ไมม x ∈ P ซง m ≺ x นนคอ ∀x ∈ P, m - x → m = x

M เปนสมาชกตวใหญสด (the greatest element) กตอเมอ x - M ทก ๆ x ∈ P

2. n เปนสมาชกตวเลกเฉพาะกลม (minimal element) ของ P

กตอเมอ ไมม x ∈ P ซง x ≺ n นนคอ ∀x ∈ P, x - n → n = x

N เปนสมาชกตวเลกสด (the least element) กตอเมอ N - x ทก ๆ x ∈ P

ตวอยาง 5.1.9 จงหา สมาชกตวใหญสด สมาชกใหญเฉพาะกลม สมาชกตวเลกสด และสมาชกเลกเฉพาะกลม ของโพเซต (P, |) เมอ

1. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. P = {2, 4, 6, 8, 9, 10}

3. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

4. P = {2, 3, ..., 20}

5.1. เซตซงเรยงอนดบบางสวนได 143ตวอยาง 5.1.10 จงหา สมาชกตวใหญสด สมาชกใหญเฉพาะกลม สมาชกตวเลกสด และสมาชกเลกเฉพาะกลม ของโพเซต (P,⊆) เมอ

1. P = {∅, {∅}, {1}, {2}}

2. P = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}}

3. P = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

4. P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}

144 บทท 5. การเรยงอนดบบางสวนตวอยาง 5.1.11 จงหา สมาชกตวใหญสด สมาชกใหญเฉพาะกลม สมาชกตวเลกสด และสมาชกเลกเฉพาะกลม ของโพเซตตอไปน

1. (N,≤)

2. (Z,≤)

3. (R,≤)

4. (N, |)

ทฤษฎบท 5.1.12 ถาโพเซตมสมาชกตวใหญสดจะไดมไดเพยงตวเดยว และถาโพเซตมสมาชกตวเลกสดจะไดมไดเพยงตวเดยว

ทฤษฎบท 5.1.13 กำหนดให (P,-) เปนโพเซต จะไดวา

1. ถา (P,-) มสมาชกตวใหญสดเปน M แลว M จะเปนสมาชกใหญเฉพาะกลม

2. ถา (P,-) มสมาชกตวเลกสดเปน N แลว N จะเปนสมาชกเลกเฉพาะกลม


บทนยาม 5.1.14 ให (P,-) เปนโพเซต และ B ⊆ P

1. เรยกสมาชก a ∈ P ทสอดคลองเงอนไข a - x ทก ๆ x ∈ B

วา ขอบเขตลาง (lower bound) ของ B

และให L(B) แทนเซตของขอบเขตลางทงหมดของ B นนคอL(B) = {a ∈ P : a - x ทก ๆ x ∈ B}

2. เรยกสมาชก b ∈ P ทสอดคลองเงอนไข x - b ทก ๆ x ∈ B

วา ขอบเขตบน (upper bound) ของ B

และให U(B) แทนเซตของขอบเขตบนทงหมดของ B นนคอB(U) = {b ∈ P : x - b ทก ๆ x ∈ B}

ตวอยาง 5.1.15 พจารณา (N, |) จงหา L(B) และ U(B) เมอกำหนดให1. B = {1, 2}

2. B = {2, 3, 6, 12}

3. B = {3, 5, 9, 15}

4. B = {3, 9, 12, 18}

5. B = {30, 45, 75}

6. B = {50, 125, 325}


ตวอยาง 5.1.16 พจารณา (R,≤) จงหา L(B) และ U(B) เมอกำหนดให

1. B = (0, 1)

2. B = [0, 1]

3. B = [−2, 5] ∪ (6, 9)

4. B = {1, 2, 3}

ตวอยาง 5.1.17 พจารณา (P(A),⊆) โดยท A = {1, 2, 3, 4} จงหา L(B) และ U(B) เมอ1. B = {∅, {1}, {2}, {3}}

2. B = {{1}, {2}, {3}, {4}}

3. B = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

4. B = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}


ทฤษฎบท 5.1.18 ให (P,-) เปนโพเซต และ ∅ = B ⊆ P ถา -B เปนความสมพนธบน B ซงสอดคลอง

∀x, y ∈ B , x -B y ↔ x - y

แลว (B,-B) เปนโพเซต เรยกวาสบโพเซต (subposet) ของ (P,-) เขยนแทนดวย (B,-)

บทนยาม 5.1.19 ให (P,-) เปนโพเซต และ ∅ = B ⊆ P ถา L(B) และ U(B) ไมใช เซตวาง

1. ถา a เปนสมาชกตวใหญสดของ (L(B),-) เรยก a วาขอบเขตลางมากสด (greatestlower bound หรอ infimum) ของ B เขยนแทนดวย infB

2. ถา b เปนสมาชกตวเลกสดของ (U(B),-) เรยก b วาขอบเขตบนนอยสด (least upperbound หรอ supremum) ของ B เขยนแทนดวย supB

ตวอยาง 5.1.20 จงหา infB และ supB ของตวอยาง 5.1.15-5.1.17


ทฤษฎบท 5.1.21 ให (P,-) เปนโพเซต และ B ⊆ P ถา B มขอบเขตลางมากสด แลวมขอบเขตลางมากสดเพยงตวเดยว และถา B มขอบเขตบนนอยสด แลวมขอบเขตบนนอยสดเพยงตวเดยว

บทนยาม 5.1.22 ให (P,-) เปนโพเซต และ ∅ = B ⊆ P ถา - มสมบตเปรยบเทยบได(comparable) บน B จะเรยก (B,-) เปน เซตอนดบแบบเชงเสน (linearly ordered set)หรอ เซตทเป นอนดบโดยส นเชง (totally ordered set) หรอ โซ (chain) หรอ สบเซตเชงเสน (linear subset)ตวอยาง 5.1.23 จงตรวจสอบวาโพเซตใดตอไปน เปนโซ

1. (P(A),⊆) เมอ A = {1, 2}

2. (C,⊆) เมอ C = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}

3. (A, |) เมอ A = {1, 2, 3, 6}

4. (A, |) เมอ A = {1, 2, 4, 8}

5. (N, |)

6. (N,≤) และ (R,≤)

5.1. เซตซงเรยงอนดบบางสวนได 149บทนยาม 5.1.24 จะกลาววาความสมพนธ r บนเซต A สอดคลอง กฎไตรวภาค (trichotomylaw) ถาทก ๆ x, y ∈ A เปนจรงเพยงอยางเดยวใน 3 ขอตอไปน

1. x r y 2. x = y 3. y r x

ทฤษฎบท 5.1.25 ให (P,-) เปนโพเซต จะไดวา

(P,-) เปนโซ กตอเมอ - สอดคลองไตรวภาค


แบบฝ กหด 5.11. กำหนดให A = {a, b, c, d} จงพจารณาวาความสมพนธบน A ตอไปน มขอใดเปนโพเซต

1.1 r = {(a, b), (b, a)}

1.2 r = {(c, d), (c, c)}

1.3 r = {(a, a), (b, b)}

1.4 r = {(d, c)}

2. จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P, |) พรอมทงหา สมาชกตวใหญสด สมาชกใหญเฉพาะกลม สมาชกตวเลกสด และสมาชกเลกเฉพาะกลม ของโพเซตเหลานน2.1 P = {1, 2, 4, 8}

2.2 P = {2, 8, 12, 15}

2.3 P = {3, 6, 9, 12, 15}

2.4 P = {2, 4, 8, 24, 60}

2.5 P = {3, 5, 6, 15, 18, 48}

2.6 P = {2, 3, 4, .., 30}

3. จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P,⊆) พรอมทงหา สมาชกตวใหญสด สมาชกใหญเฉพาะกลม สมาชกตวเลกสด และสมาชกเลกเฉพาะกลม ของโพเซตเหลานน3.1 P = {∅, {2}, {2, 3}

3.2 P = {∅, {∅}, {2}}

3.3 P = {{1}, {3}, {1, 3}, {2, 3}}

3.4 P = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3}}

4. พจารณา (N, |) จงหา L(B), U(B), infB และ supB (ถาม)4.1 B = {4, 5, 10}

4.2 B = {6, 8, 12, 18}

4.3 B = {5, 10, 25, 45, 50}

4.4 B = {100, 150, 450}

5. พจารณา (P(A),⊆) เมอ A = {1, 2, 3, 4} จงหา L(B), U(B), infB และ supB (ถาม)5.1 B = {∅}

5.2 B = {{1}, {3}}

5.3 B = {{1, 3}, {2, 4}, {2, 3}}

5.4 B = {{1, 2, 3, 4}}

6. พจารณา (R,≤) จงหา L(B), U(B), infB และ supB (ถาม)6.1 B = (−1, 3)

6.2 B = (−3, 0]

6.3 B = (1, 2) ∪ (3, 4)

6.4 B = (1, 3) ∪ {5}

6.5 B = {2, 4, 6, 8, ...}

6.6 B = {3n : n ∈ Z}

7. จงตรวจสอบวาโพเซตใดตอไปน เปนโซ

7.1 (P(A),⊆) เมอ A = {∅}

7.2 (C,⊆) เมอ C = {{1}, {2}, {1, 3}}

7.3 (E, |) เมอ E = เซตของจำนวนคบวก7.4 (A, |) เมอ A = {2n : n ∈ N}

8. ให A และ B เปนสบเซตโพเซตของ (R,≤) ซงมขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสด ถา A ⊆ B จงพสจน inf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B)

9. ใน (R,≤) กำหนดให Aα = {x ∈ R : x < α} เมอ α ∈ R จงแสดงวา sup(Aα) = α

5.2. เซตทเปนอนดบดแลว 151

5.2 เซตทเป นอนดบดแลวบทนยาม 5.2.1 เรยกโพเซต (P,-) วา เซตทเป นอนดบดแลว (well-ordering set) กตอเมอทกสบโพเซตทไมใช เซตวางมสมาชกตวเลกสด

ตวอยาง 5.2.2 จงตรวจสอบโพเซตตอไปน วาเปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม1. ({1, 2, 3},≤)

2. ({−3,−1, 1, 5, 9},≤)

3. (N,≤)

4. (R,≤)

ตวอยาง 5.2.3 จงตรวจสอบโพเซตตอไปน วาเปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม1. ({1, 2, 3}, |)

2. ({1, 2, 4, 8}, |)

3. ({3, 9, 27}, |)

4. (N, |)

ตวอยาง 5.2.4 จงตรวจสอบโพเซต (P,⊆) วาเปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม1. P = {∅}

2. P = {∅, {1}, {1, 2}}

3. P = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

4. P = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}}


บทนยาม 5.2.5 ให (P,-) เปนเซตทเปนอนดบดแลว และ a, b ∈ P ถาa - b และ a = b

เรยก b วาตวตามหลง (successor) ของ a หรอเรยก a วาตวนำหนา (predecessor) ของ b

ตวอยางเช น ({1, 2, 3, 4, 5, 6},≤) แสดงดงแผนภาพ

1 2 3 4 5 6

สรปไดดงตารางสมาชก ตวนำหนา ตวตามหลง ตวนำหนาตวสดทาย ตวตามหลงตวแรก

1 ไมม 2, 3, 4, 5, 6 ไมม 22 1 3, 4, 5, 6 1 33 1, 2 4, 5 2 44 1, 2, 3 5, 6 3 55 1, 2, 3, 4 6 4 66 1, 2, 3, 4, 5 ไมม 5 ไมม

ตวอยาง 5.2.6 พจารณาเซตทเปนอนดบดแลว ({1, 2, 4, 8, 16}, |) จงเตมตารางตอไปน ใหสมบรณ

สมาชก ตวนำหนา ตวตามหลง ตวนำหนาตวสดทาย ตวตามหลงตวแรก124816

ตวอยาง 5.2.7 พจารณาเซตทเปนอนดบดแลว ({∅, {1}, {2}, {1, 2}},⊆) จงเตมตารางตอไปนใหสมบรณ

สมาชก ตวนำหนา ตวตามหลง ตวนำหนาตวสดทาย ตวตามหลงตวแรก∅{1}{2}{1, 2}

5.2. เซตทเปนอนดบดแลว 153กำหนดให ω แทนเซตของจำนวนธรรมชาต หมายถง

ω = {0, 1, 2, 3, ...}

ให (P,-) เปนโพเซต จงตอบคำถามตอไปน1. ให P = ω และนยาม

x - y กตอเมอ ( x เปนจำนวนค ∧ y เปนจำนวนค )∨ ( x เปนจำนวนค ∧ y เปนจำนวนค ∧ x < y )∨ ( x เปนจำนวนค ∧ y เปนจำนวนค ∧ x < y )

จงวาดแผนภาพเฮลเซของ (P,-) และพจารณาตวนำหนาตวสดทาย และตวตามหลงตวแรก ของ 0 และ 1

2. ให P = ω ∪ {ω} และนยาม

x - y กตอเมอ (x ∈ ω ∧ y ∈ ω ∧ x < y) ∨ (x ∈ ω ∧ y = ω)

จงวาดแผนภาพเฮลเซของ (P,-) และพจารณาตวนำหนาตวสดทาย และตวตามหลงตวแรก ของ 0 และ ω

154 บทท 5. การเรยงอนดบบางสวนทฤษฎบท 5.2.8 หลกการอปนยเชงอนนต (Principle of Transfinite induction)กำหนดให (W,-) เปนเซตทอนดบดแลว และ P (x) แทนขอความซงมคาความจรงเปนจรงหรอเทจสำหรบแตละสมาชก x ∈ W ถาขอความ

ถา P (y) เปนจรงสำหรบทก ๆ ตวนำหนา y ของ x แลว P (x) เปนจรง

เปนจรง แลว P (x) เปนจรงสำหรบทก ๆ x ∈ W

5.2. เซตทเปนอนดบดแลว 155

ประยกตหลกการอปนยเชงอนนตกบเซตทเปนอนดบดแลวของจำนวนธรรมชาต (ω,≤)

จะไดขอความตอไปน[∀n ∈ ω, [∀y ∈ ω, y < n → P (y) เปนจรง] → P (n) เปนจรง] → ∀n ∈ ω, P (n) เปนจรง... (ก)

ทฤษฎบท 5.2.9 ขอความ (ก) สมมลกบขอความตอไปน

[(P (0) เปนจรง ) ∧ ∀n ∈ ω, [P (n) เปนจรง → P (n+ 1) เปนจรง] → ∀n ∈ ω, P (n) เปนจรง


แบบฝ กหด 5.21. จงตรวจสอบโพเซตตอไปน วาเปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม

1.1 ({2, 3, 5, 7, 11, 13, ...},≤)

1.2 ({...,−5,−4,−3,−1, 0},≤)

1.3 ({−x : x ∈ N},≤)

1.4 (Q,≤)

1.5 ({1, 3, 6, 12, 24}, |)

1.6 ({−1, 2, 4, 6, 12}, |)

1.7 ({∅, {∅}, {1}},⊆)

1.8 ({∅, {1,∅}, {1}},⊆)

2. โพเซต (P, |) เปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม2.1 P = {2n+1 : n ∈ N}

2.2 P = {2n + 1 : n ∈ N}

2.3 P = {3n : n ∈ N}

2.4 P = {n3 : n ∈ N}

3. พจารณาโพเซต (ω,-) เมอนยาม

m - n กตอเมอ ∃c ∈ ω, n = cm

วาเปนเซตทเปนอนดบดแลวหรอไม4. ให P = ω+ ∪ {ω+} เมอ ω+ = ω ∪ {ω} และนยาม x - y กตอเมอ

(x ∈ ω ∧ y ∈ ω ∧ x < y) ∨ (x ∈ ω ∧ y = ω) ∨ (x ∈ ω ∧ y = ω+) ∨ (x = ω ∧ y = ω+)

จงวาดแผนภาพเฮลเซของ (P,-) และพจารณาตวนำหนาตวสดทาย และตวตามหลงตวแรก ของ 0, ω และ ω+

5. ให (A, r) และ (B, s) เปนโพเซต ถา (A×B, t) สอดคลองเงอนไข((x1, y1), (x2, y2)) ∈ t ↔ [(x1, y1) ∈ s ∨ (y1 = y2 ∧ (x1, x2) ∈ r)]

จงแสดงวา (A×B, t) เปนเซตทเปนอนดบดแลว

6. ให (Y,-Y ) เปนโพเซต และกำหนดให f : X → Y เปนฟงกชนแบบหนงตอหนง ถานยาม

x -X y กตอเมอ f(x) -Y f(y)

จงแสดงวาถา -Y เปนอนดบดแลวบน Y แลว -X จะเปนอนดบดแลวบน X

5.3. สจพจน ของการเลอก 157

5.3 สจพจนของการเลอกในกรณท A = ∅ เราสามารถเลอกสามาชกตวหนงจากเซต A ไดเสมอ แตเมอเราหยบ

สมาชกจาก A มากกวาหนงครงโดยเฉพาะกรณหยบเปนจำนวนอนนตครง เมอ A เปนเซตอนนตในประสบการณของมนษย ยงไมอาจยอมรบวาทำไดหรอไม แมวาเราจะหยบไดครงแลวครงเลาอยางไมรจบกตาม

ในกรณท A เปนเซตอนนตทเปนอนดบดแลว ทกสบเซตทไมใชเซตวาง เราเลอกสมาชกตวเลกสดไดเสมอ และสบเซตมไดเปนจำนวนอนนตเซตในกรณนทำใหเชอมนไดวาสามารถทำได

กำหนดให A = ∅ เปนโพเซต ถา A ไมมสมาชกตวใหญสดเฉพาะกลมแลวจะไดวามอนดบแบบอนนตทเพมขน

x1 < x2 < x3 < ...

ของสมาชกใน A พสจนไดคอ เนองจาก A ไมใช เซตวางจงสามารถเลอกสมาชกมาหนงตว เรยกวา x1 ตอไปสมมตโดยอปนยเชงคณตศาสตรจะไดวามอนดบสมาชกใน A ดงน

x1 < x2 < ... < xn

และนยามเซตAn = {x ∈ A : x > xn}

เหนไดชดวา An = ∅ และไมมสมาชกตวใหญสดเฉพาะกลม เราจงเลอกหยบสมาชกใน An มาไดอยางนอยหนงตว เรยกวา xn+1 ซง

x1 < x2 < ... < xn < xn+1

โดยอปนยเชงคณตศาสตรสามารถนยามเซตไดดงน

Sn = {x1, x2, x3, ..., xn}

ทำใหไดวาS =

∪n∈N

Sn

แลว S เปนเซตของสมาชกทเปนอนดบอนนตแบบเพมขนตามตองการวธการเลอกทผานมาถอไดรบการยอมรบ แตเปนการเลอกทไมแจมชด ในป 1904 แซรมโล

ไดใหความสำคญกบการเลอกดงกลาวจงไดกำหนดเปนหนงสจพจนในทฤษฎเซต ซงเรยกวาสจพจนของการเลอก (Axiom of choice)


บทนยาม 5.3.1 กำหนดให A เปนเซต เรยกฟงกชนF : P(A)− {∅} → A

วา ฟงกชนเลอก (Choice function) ถาสำหรบแตละ B ∈ P(A) − {∅} จะไดวา F (B) ∈ B

และเรยก F (B) วา ตวแทน (representative) ของ B

ตวอยาง 5.3.2 จงหาฟงกชนการเลอกทงหมดของเซตตอไปน

1. A = {1}

2. A = {1, 2}

3. A = {1, 2, 3}

5.3. สจพจน ของการเลอก 159

สจพจน 5.3.3 สจพจนของการเลอก (Axiom of Choice)มฟงกชนเลอกสำหรบทกเซต

ทฤษฎบท 5.3.4 สจพจนของการเลอกสมมลกบขอความตอไปนถา A เปนเซตทประกอบดวยสมาชกทตางกนทไมใช เซตวาง และเปนเซตตางสมาชกกน แลวจะไดวามเซต C ซงประกอบดวยสมาชกตวหนงและตวเดยวเทานนจากแตละเซตใน A โดยเรยกเซต C น วา เซตของการเลอก (choice set)


ทฤษฎบททมชอเสยงเกยวกบการเลอกคอ

1. ทฤษฎบทการเรยงเป นอนดบอยางด (Well Ordering Theorem) ทกลาวไววามความสมพนธการเปนอนดบดแลวสำหรบเซตทกเซต

2. บทตงของซอรน (Zorn's Lemma) ทกลาวไววาถาแตละสบเซตเชงเสนของเซตของโพเซต P มขอบเขตบนใน P แลว P จะมสมาชกตวใหญสดเฉพาะกลม

สดทายเราพสจนไดวา ทฤษฎบททง 2 สมมลกบสจพจนของการเลอก หรอกลาวไดอกนยไดวาทง 3 สงทไดมความเดยวกนในทางทฤษฎเซต

แบบฝ กหด 5.31. จงหาฟงกชนการเลอกทงหมดของเซตตอไปน

1.1 A = {a, b, c} 1.2 A = {1, 2, 3, 4}

2. เซตวางมฟงกชนเลอกหรอไม ถามคอฟงกชนใด3. ให A มสมาชกมากกวาหนงตว จงแสดงวามฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง f : A → A ซง

f(x) = x สำหรบแตละ x ∈ A

4. กำหนดให A เปนเซตทไมวาง แตละคสมาชกของ A เปนเซตตางสมาชก จงแสดงวามฟงกชน f ซง Dom(f) = Aและแตละ A ∈ A จะไดวา f(A) ∈ A

5. จงแสดงวาบทตงของซอรนสมมลกบขอความ

ถา A เปนเซตอปนย และ a ∈ A แลว A จะประกอบไปดวยสมาชกใหญสดเฉพาะกลมทมากกวาหรอเทากบ a

บทท 6จำนวนธรรมชาต

จำนวนคออะไร ไมเคยมใครเหนจำนวนมากอนสงท รจกเช น 2 และ 3 เปนสญลกษณท มนษยกำหนดขนเพอใชแทนจำนวนเทานน เปนเพยงสงทเราจนตนาการขนมา เพอใหเราเขาใจตรงกนเมอนกถงสงเหลานน

มนษย รจกการนบหรอใชระบบจำนวนมานานแลว และวชาการตาง ๆ กถกพฒนาในทกวนบนรากฐานของจำนวนทงสน (ฉววรรณ รตนประเสรฐ : 2536)

6.1 สจพจนเปอาโนเราเรมตนมองหาเซตทเหมาะสมเพอนยาม จำนวนธรรมชาต คำวา เซตทเหมาะสม หมาย

ถงเซตทสามารถเปน จำนวน ไดอยางสมบรณ ในป 1908 แซรมโล ไดเสนอเซต∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, ...

แทนจำนวนธรรมชาต 0, 1, 2, 3, ... ตามลำดบ แตนอยมนนไดเสนอกลมเซตอกลกษณะหนง ท มสมบตพเศษสามารถประยกตในการพฒนาระบบจำนวนไดทกรปแบบ จนกลายเปนมาตรฐานของการแสดงสญลกษณของจำนวนธรรมชาต โดยเรมตนจากเซตทไมมอะไรเลยคอ ∅ เปนท ยอมรบกนวาสญลกษณ 0 และเซต {∅} แทนนามธรรมของการมอยหนง ดวยแนวคดในทำนองเดยวกนจงนยามเซตแทนจำนวนธรรมชาตสจำนวนแรกไดดงน

0 := ∅

1 := {∅}2 := {∅, {∅}}3 := {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

จากการนยามจะไดสมบตดงน0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ ...

และ0 ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 ⊆ ...

161

162 บทท 6. จำนวนธรรมชาต

เมอพจารณานยามของจำนวนธรรมชาต

0 := ∅

1 := {∅} = ∅+ = 0+

2 := {∅, {∅}} = ∅++ = 1+

3 := {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = ∅+++ = 2+

ซงสอดคลองกบความหมายเชงนามธรรมของจำนวนธรรมชาตแตละจำนวน0, 1, 2, 3, ...

เปนตวตามหลงของกนและกนสบเนองกนไปโดยมตนกำเนดจาก 0 เมอพจารณาบทนยามของตวตามหลง และสจพจนของเซตอปนย จะเหนไดวาจำนวนธรรมชาตแตละจำนวนเปนสมาชกของเซตอปนยทก ๆ เซต

บทนยาม 6.1.1 เรยกเซตอนนตท เลกทสดในทฤษฎบท 2.5.6 วา เซตของจำนวนธรรมชาต(The set of natural numbers) เขยนแทนดวย ω

จากบทนยามจะไดวาx ∈ ω ↔ x เปนจำนวนธรรมชาต

↔ x เปนสมาชกของเซตอปนยทก ๆ เซต

และทำใหสรปไดวา ω เปนเซตอปนยทเลกทสด (เหนไดชดจากพสจนในทฤษฎบท 2.5.6) หรอกลาวอกนยหนงเรยกวา หลกอปนย ของ ω กลาวคอ

เซตอปนยทเปนสบเซตของ ω จะมเพยง ω เทานนโดยการนำไปใชพสจนโดยการเขยนเซต

S = {n ∈ ω : P (n)}

ถาพสจนไดวา T เปนเซตอปนยแลวเราจะสรปจากหลกอปนยของ ω ไดวา S คอ ω หลกการนเรยกวา การพสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical induction)

ม นกคณตศาสตร หลายทานพยายามสรางระบบสจพจนของระบบจำนวนขน โดยกำหนดสจพจนดวยสมบตเบองตนของจำนวนธรรมชาต ระบบสจพจนทมช อเสยงและเปนทยอมรบคอสจพจน เปอาโน (Peano's postulates) ซงกำหนดโดยนกคณตศาสตรชาวอตาลท ช อวา จเซปเป เปอาโน (Giuseppe Peano: 1858-1932) กลาวถงสงท กำหนดการมจรงของจำนวนธรรมชาต (natural number) ไว 5 ขอดงน

6.1. สจพจน เปอาโน 163

(P1) มจำนวนธรรมชาตทเรยกวา ศนย (zero) เพยงจำนวนเดยวเทานน0 ∈ ω

(P2) จำนวนธรรมชาตทกจำนวนตองม ตวตามหลง (successor) ทเปนจำนวนธรรมชาตเพยงตวเดยวเทานน∀n ∈ ω, n+ ∈ ω

(P3) ศนยไมเปนตวตามหลงของจำนวนธรรมชาตใด∀n ∈ ω, n+ = 0

(P4) ถาจำนวนธรรมชาตสองจำนวนมตวตามหลงตวเดยวกน แลวจำนวนธรรมชาตทงสองยอมเปนจำนวนเดยวกน∀n,m ∈ ω, n+ = m+ → n = m

(P5) ถาเซต S เปนสบเซตของจำนวนธรรมชาตทสอดคลอง 2 เงอนไขตอไปน(1) 0 เปนสมาชกของ S(2) ถา n เปนสมาชกของ S แลวตวตามหลงของ n เปนสมาชกของ Sเราจะไดวาเซต S เปนเซตของจำนวนธรรมชาตทงหมด∀S ⊆ ω, [(0 ∈ S) ∧ (∀n ∈ S, n ∈ S → n+ ∈ S)] → (S = ω)

ในทน ศนย เปนจำนวนเรมตนของจำนวนธรรมชาต และ ตวตามหลง คอจำนวนทถดจากตวท สนใจ เช น 1 เปนตวตามหลงของ 0 ซงเราจะเขยนเปนแผนภาพไดดงน

0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ · · ·

ตวอยาง 6.1.2 ให S = {a, b, c, d} จงตรวจสอบวาแผนภาพตอไปน สอดคลองสจพจนเปอาโนหรอไมเพราะเหตใด

1. a b c d

2.a b c d

3. a b c

d

4. a b

cd


ตวอยาง 6.1.3 ให S = {a, a′, a′′, a′′′, ...} จงตรวจสอบวาแผนภาพตอไปน สอดคลองสจพจนเปอาโน หรอไมเพราะเหตใด

1. a a′ a′′ a′′′ ...

2. a a′ a′′

a′′′

a′′′′ ...

ตวอยาง 6.1.4 ให S = {a, a′, a′′, a′′′, ...} ∪ {b, b′, b′′, b′′′, ...} จงตรวจสอบวาแผนภาพตอไปนสอดคลองสจพจนเปอาโน หรอไมเพราะเหตใด

a a′ a′′ a′′′ ...b b′ b′′ b′′′ ...

6.1. สจพจน เปอาโน 165

เราพสจนวาสมบตเบองตนของจำนวนธรรมชาต ทกลาวไวในสจพจนเปอาโน สามารถพสจนไดในระบบทฤษฎเซต นนคอ ω ในสจพจนเปอาโนเปนเซตอปนยทเลกทสด

ในสจพจนเปอาโน (P5) จะถกนำไปใชพสจนขอความตาง ๆ เกยวกบประพจนของจำนวนธรรมชาตซงเรยกวา อปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical induction) กลาวคอให S ⊆ ω ซงสอดคลองสมบตตอไปน

1. 0 ∈ S และ2. ถา n ∈ S แลว n+ ∈ S

แลว S = ω

ทฤษฎบท 6.1.5 สำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไดวา n /∈ n

ทฤษฎบท 6.1.6 ถา m เปนจำนวนธรรมชาต แลว m = 0 หรอมจำนวนธรรมชาต p เพยงตวเดยวเทานนซง m = p+


แบบฝ กหด 6.11. จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกน

(ก) ∀x, x ∈ a ∈ A → x ∈ A

(ข) a ∈ A → a ⊆ A

2. จงพสจนวา ∀x, x ∈ a ∈ ω → x ∈ ω

3. ให A และ B เปนเซตใด ๆ จงแสดงวาถา A = B แลว A+ = B+

4. จงแสดงวา A ∈ ω แลว A+ ∈ ω

5. จงแสดงวาไมมจำนวนธรรมชาตใดทเปนเซตของตวตามหลง

6.2. การดำเนนการบนจำนวนธรรมชาต 167

6.2 การดำเนนการบนจำนวนธรรมชาตบทนยาม 6.2.1 ให m และ k เปนจำนวนธรรมชาต แลวนยาม m + k คอ ผลบวก (Sum) ซงสอดคลองเงอนไขตอไปน(A1) m+ 0 = m และ(A2) m+ k+ = (m+ k)+

ตวดำเนนการ + เรยกวา การบวก (Addition) บน ω

ทฤษฎบท 6.2.2 สำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไดวา n+ = 1 + n โดยท 0+ = 1

ตวอยาง 6.2.3 จงหาคาตอไปน

1. 2 + 2

2. 2 + 3

3. 4 + 3

4. 5 + 4


ทฤษฎบท 6.2.4 สมบตการสลบทกำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา m+ n = n+m

ทฤษฎบท 6.2.5 สมบตการเปลยนกลมกำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา m+ (n+ k) = (m+ n) + k

ทฤษฎบท 6.2.6 การมเอกลกษณการบวกสำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไดวา n+ 0 = n = 0 + n


ทฤษฎบท 6.2.7 สมบตการตดออกสำหรบการบวกกำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา

m = n กตอเมอ m+ k = n+ k

ตวอยาง 6.2.8 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวาถา m+ n = m แลว n = 0


ทฤษฎบท 6.2.9 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต ถา m ≤ n แลวจะไดวาไมมจำนวนธรรมชาต k เพยวตวเดยวเทานนซง n = m+ k

บทนยาม 6.2.10 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาตซง m ≤ n

เรยก k ในทฤษฎบท 6.2.9 วา ผลตาง (difference) ของ m และ n เขยนแทนดวย n−m ดงนน

k = n−m กตอเมอ n = m+ k

ทฤษฎบท 6.2.11 กำหนดให m,n, r และ s เปนจำนวนธรรมชาต ถา m ≤ n และ r ≤ s แลว

n−m = r − s กตอเมอ m+ s = n+ r


บทนยาม 6.2.12 ให m และ k เปนจำนวนธรรมชาต แลวนยาม m · k คอ ผลคณ (Product)ซงสอดคลองเงอนไขตอไปน(M1) m · 0 = 0 และ(M2) m · k+ = (m · k) +m

ตวดำเนนการ · เรยกวา การคณ (Multiplication) บน ω

ทฤษฎบท 6.2.13 สำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไดวา n · 0 = 0 = n · 0

ตวอยาง 6.2.14 จงหาคาตอไปน

1. 1 · 2

2. 2 · 3

3. 3 · 5

4. 8 · 6


ทฤษฎบท 6.2.15 สมบตการสลบทกำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา m · n = n ·m

ทฤษฎบท 6.2.16 สมบตการเปลยนกลมกำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา m · (n · k) = (m · n) · k

ทฤษฎบท 6.2.17 การมเอกลกษณการบวกสำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไดวา n · 1 = n = 1 · n


ทฤษฎบท 6.2.18 สมบตการแจกแจงกำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา m · (n+ k) = (m · n) + (m · k)

ทฤษฎบท 6.2.19 สมบตการตดออกสำหรบการคณกำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา

1. ถา m = n แลว m · k = n · k

2. ถา m · k = n · k และ k = 0 แลว m = n


ทฤษฎบท 6.2.20 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวาถา m · n = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0

ตวอยาง 6.2.21 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวาถา m · n = n และ m = 0 แลว n = 1


แบบฝ กหด 6.21. ให m และ k เปนจำนวนธรรมชาต จงพสจนวา

1.1 0 +m = m 1.2 k+ +m = (k +m)+

2. ให m และ k เปนจำนวนธรรมชาต จงพสจนวา2.1 0 ·m = 0 และ 2.2 k+ ·m = (k ·m) +m

3. จงหาคาตอไปน โดยใชนยาม3.1 3 + 4 3.2 5 + 7 3.3 10 + 15 3.4 11 + 13

4. จงหาคาตอไปน โดยใชนยาม4.1 2 · 6 4.2 3 · 7 4.3 5 · 9 4.4 10 · 3

5. ให ⊗ เปนตวดำเนนการบน ω นยามโดย(ก) m⊗ 0 = m++ และ (ข) m⊗ k+ = m+ (m⊗ k)

จงหาคาตอไปน

5.1 1⊗ 3 5.2 3⊗ 5 5.3 4⊗ 7 5.4 7⊗ 9

6. ให ⊗ เปนตวดำเนนการบน ω นยามโดย20 = 1 และ 2k

+

= 2k · 2

จงแสดงวา 2m+n = 2m · 2n

7. กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวาถา m = n แลวจะไดวาไมมจำนวนธรรมชาต k ซง m = n+ k

8. กำหนดให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวาถา m = n + k แลวจะไดวาไมมจำนวนธรรมชาต k ซง n = m+ k

9. กำหนดให m,n, p, q และ r เปนจำนวนธรรมชาตซง m = p + q และ p = n + r จงแสดงวามจำนวนธรรมชาต t ททำให m = n+ t

10. กำหนดให m, p, y, q และ z เปนจำนวนธรรมชาตซง x = py และ y = qz จงแสดงวามจำนวนธรรมชาต r ททำให x = rq


6.3 การเป นอนดบของจำนวนธรรมชาตในหวขอน จะกลาวถงความสมพนธ นอยกวาหรอเทากบ ≤ บนจำนวนธรรมชาต ω ซงเปน

เรยงอนดบบางสวน (โพเซต) และศกษาสมบตทเกดขนของความสมพนธนบทนยาม 6.3.1 ให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต เรยก m วา นอยกวา (less than) n เขยนแทนดวย m < n หรอ n > m กตอเมอ มจำนวนธรรมชาต k ทไมใช ศนย ททำให n = m+ k

สญลกษณ m ≤ n เรยกวานอยกวาหรอเทากบ หมายถง m < n หรอ m = n

ตวอยาง 6.3.2 จงแสดงวา1. 3 < 5 2. 10 > 8

ทฤษฎบท 6.3.3 ถา n เปนจำนวนธรรมชาต แลว 0 ≤ n

ทฤษฎบท 6.3.4 กำหนดให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา

1. ถา m < n แลว m+ ≤ n

2. m < n กตอเมอ m+ < n+

6.3. การเปนอนดบของจำนวนธรรมชาต 177ทฤษฎบท 6.3.5 กฎไตรวภาค (Trichonomy Law)ให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา

m < n หรอ m > n หรอ m = n

ทฤษฎบท 6.3.6 ความสมพนธ ≤ เปนอนดบดแลวบน ω

ทฤษฎบท 6.3.7 สำหรบแตละจำนวนธรรมชาต n จะไมมจำนวนธรรมชาต m ซง n < m < n+


ทฤษฎบท 6.3.8 ให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต

ถา m < n แลวจะมจำนวนธรรมชาต p ซง n = m+ p+

ทฤษฎบท 6.3.9 ให m,n, p และ q เปนจำนวนธรรมชาตถา m < n และ q < p แลว mq + np < mp+ nq

6.3. การเปนอนดบของจำนวนธรรมชาต 179

ทฤษฎบท 6.3.10 ให m,n และ k เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวา

1. m < n กตอเมอ m+ k < n+ k

2. m < n กตอเมอ m · k < n · k เมอ k = 0

3. m = n กตอเมอ m · k = n · k เมอ k = 0

ทฤษฎบท 6.3.11 หลกอารคมดส (Archimedean Principle)ให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต ถา n = 0 แลวจะมจำนวนธรรมชาต k ซง m < k · n


แบบฝ กหด 6.31. ให m เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวา ถา m < 1 แลว m = 0

2. จงแสดงวา ถา m เปนจำนวนธรรมชาต และ n เปนจำนวนธรรมชาตทไมใช ศนย แลวจะไดวามจำนวนธรรมชาต q, r ททำให m = nq + r โดยท r < n

3. ให m และ n เปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวา3.1 ถา m < n+ 1 แลว m ≤ n

3.2 ถา m < 1 แลว m = 0

3.3 ถา m+ n = 1 แลว m = 1 หรอ n = 1

3.4 ถา m · n = 1 แลว m = 1 และ n = 1

4. ให m,n, p และ q เปนจำนวนธรรมชาต ถา m < p และ n < q จงพสจนวา4.1 m+ n < p+ q

4.2 m · n < p · q

4.3 mp+ nq < mn+ pq

5. ให m และ nเปนจำนวนธรรมชาต จงแสดงวา ถา m > 1 และ n > 1 แลว m+ n ≤ mn

บทท 7ระบบจำนวน

7.1 จำนวนเตมเมอนำจำนวนธรรมชาตสองจำนวนอาจเปนจำนวนลบเช น 1 − 2 จงกลาวไดวาจำนวนเตม

เกดจากผลลบของสองจำนวนธรรมชาต และเขยนแทนดวยคอนดบ (1, 2) แตจะเหนไดวาผลลบอาจเกดจากหลาย ๆ เช น (3, 4) และ (7, 8) เปนตน ดงนนคาของ 1− 2 = −1 อาจรวมอยในเซต

{(a, b) ∈ ω × ω : a− b = −1}

เขยนแทนดวย −1Z ซงเปนชนสมมลของความสมพนธ ∼ ใน ω × ω ซงนยามดงน

(a, b) ∼ (c, d) กตอเมอ a− b = c− d

หรอ(a, b) ∼ (c, d) กตอเมอ a+ d = b+ c

ทฤษฎบท 7.1.1 ความสมพนธ ∼ ใน ω × ω ทนยามขางตน เปนความสมพนธสมมล

181

182 บทท 7. ระบบจำนวน

บทนยาม 7.1.2 เรยกแตละชนสมมลของความสมพนธ ∼ วา จำนวนเตม (integer) และเรยกเซตของชนสมมล ω × ω/ ∼ วา เซตของจำนวนเตม (the set of integers) เขยนแทนดวย Z

ดงนนZ := ω × ω/ ∼

ตวอยางเช น จำนวนเตม −1Z คอชนสมมล−1Z = [(1, 2)] = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), ...}

และ จำนวนเตม 3Z คอชนสมมล3Z = [(3, 0)] = {(3, 0), (4, 1), (5, 2), ...}

เปนตน ทำใหไดวาเซตของจำนวนเตมคอZ = {...,−2Z,−1Z, 0Z, 1Z, 2Z, ...}

ทฤษฎบท 7.1.3 ให m,n, p, q และ m′, n′, p′, q′ เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวาถา (m,n) ∼ (m′, n′) และ (p, q) ∼ (p′, q′) แลว (m+ p, n+ q) ∼ (m′ + p′, n′ + q′)

บทนยาม 7.1.4 จะเรยกฟงกชน +Z : Z× Z → Z สำหรบแตละคจำนวนเตม a, b ∈ Z ดวยเซตa +Z b := {(x, y) : ∃(m,n) ∈ a ∃(p, q) ∈ b, (x, y) ∼ (m+ p, n+ q)}

วา การบวก (addition) บน Z และเรยก a +Z b วา ผลบวก (sum) ของ a และ b

ตวอยางเช น1Z +Z 2Z = [(2, 1)] +Z [(2, 0)]

= [(2 + 2, 1 + 0)]

= [(4, 1)]

= 3Z

7.1. จำนวนเตม 183

ทฤษฎบท 7.1.5 ให a, b และ c เปนจำนวนเตม จะไดวา

1. a +Z b = b +Z a สมบตการสลบท (commutative)2. a +Z (b +Z c) = (a +Z b) +Z c สมบตการเปลยนกลม (associative)

ทฤษฎบท 7.1.6 ให a เปนจำนวนเตม และ 0Z = [(0, 0)] จะไดวา1. a +Z 0Z = a = 0Z +Z a การมเอกลกษณสำหรบการบวก (identity)

2. ม b ∈ Z ซง a +Z b = 0Z = b +Z a การมตวผกผนสำหรบการบวก (additive inverse)

ตวอยาง 7.1.7 จงแสดงวาสำหรบแตละจำนวนเตมใด ๆ ตวผกผนสำหรบการบวกของจำนวนเตมตวนนจะมเพยงตวเดยวเทานน (ตอไปจะเขยนตวผกผนการบวกของ a ดวย −a)


ทำใหนยาม การลบ (substraction) บนจำนวนเตมไดดงนa− b := a +Z (−b)

ทฤษฎบท 7.1.8 ให m,n, p, q และ m′, n′, p′, q′ เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวาถา (m,n) ∼ (m′, n′) และ (p, q) ∼ (p′, q′) แลว (mp+ nq,mq+ np) ∼ (m′p′ + n′q′,m′q′ + n′p′)

บทนยาม 7.1.9 จะเรยกฟงกชน ·Z : Z× Z → Z สำหรบแตละคจำนวนเตม a, b ∈ Z ดวยเซตa ·Z b := {(x, y) : ∃(m,n) ∈ a ∃(p, q) ∈ b, (x, y) ∼ (mp+ nq,mq + np)}

วา การคณ (multiplication) บน Z และเรยก a ·Z b วา ผลคณ (product) ของ a และ b

ตวอยางเช น2Z ·Z −3Z = [(2, 0)] ·Z [(1, 4)]

= [(2 · 1 + 0 · 4, 0 · 1 + 2 · 4)]= [(2 + 0, 0 + 8)]

= [(2, 8)]

= −6Z



1. a ·Z b = b ·Z a สมบตการสลบท (commutative)2. a ·Z (b ·Z c) = (a ·Z b) ·Z c สมบตการเปลยนกลม (associative)

ทฤษฎบท 7.1.11 ให a เปนจำนวนเตม และ 1Z = [(1, 0)] จะไดวา1. a ·Z 1Z = a = 1Z ·Z a การมเอกลกษณสำหรบการคณ (identity)2. a ·Z 0Z = 0Z

3. −a = (−1Z) ·Z a


ทฤษฎบท 7.1.12 ให m,n, p, q และ m′, n′, p′, q′ เปนจำนวนธรรมชาต จะไดวาถา (m,n) ∼ (m′, n′) และ (p, q) ∼ (p′, q′) แลว m+ q < p+ n และ m′ + q′ < p′ + n′

ทฤษฎบท 7.1.13 ความสมพนธ

≤Z := {(a, b) ∈ Z× Z : (m,n) ∈ a ∧ (p, q) ∈ b → m+ q ≤ p+ n}

เปนอนดบเชงเสนบน Z

บทนยาม 7.1.14 เรยกอนดบ<Z วา นอยกวา (less than) บน Z และกลาวไดวาเปนจำนวนเตมb เปน จำนวนเตมบวก (positive integer) ถา 0Z <Z b

ขอสงเกต b <Z 0Z กตอเมอ 0Z <Z −b

ทำใหไดกฎไตรวภาคสำหรบจำนวนเตม กลาวคอ สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ จะไดวาขอความตอไปน เปนจรงเพยงขอเดยวเทานน

1. a เปนจำนวนเตมบวก 2. a = 0Z 3. −a เปนจำนวนเตมบวก



1. a ≤Z b กตอเมอ a +Z c ≤Z b +Z c

2. สำหรบ 0Z <Z b จะไดวา a ≤Z b กตอเมอ a ·Z c ≤Z b ·Z c


1. a +Z c = b +Z c กตอเมอ a = b

2. a ·Z c = b ·Z c และ c = 0Z กตอเมอ a = b


แบบฝ กหด 7.11. จงพสจนวา 0Z = 1Z

2. ให a, b และ c เปนจำนวนเตม จงพสจนวา2.1 −(−a) = a

2.2 −(a ·Z b) = (−a) ·Z b = a ·Z (−b)

2.3 −(a +Z b) = (−a) +Z (−b)

2.4 (a− b) +Z (b− c)) = a− c

2.5 (−a) ·Z (−b) = a ·Z b

3. ให a, b และ c เปนจำนวนเตม จงแสดงวา a ·Z (b +Z c) = (a ·Z b) +Z (a ·Z c)

4. ให a และ b เปนจำนวนเตม จงพสจนวา

a ·Z b = 1 กตอเมอ (a = 1 และ b = 1 ) หรอ (a = −1 และ b = −1 )

5. ให a และ b เปนจำนวนเตม จงพสจนวา

a ·Z b = 0 กตอเมอ a = 0 หรอ b = 0

7.2. จำนวนตรรกยะ 189

7.2 จำนวนตรรกยะในหวขอน จะกลาวถงการขยายจำนวนเตมโดยสรางเซตทม ตวผกผนสำหรบการคณของ

จำนวนเตมทไมใช ศนย ทงหมด สำหรบการบวก +Z และการคณ ·Z บนจำนวนเตม จะเขยนโดยยอคอ + และ · ตามลำดบ ในกรณ a · b เขยนแทนดวย ab เมอพจารณา

ax = 1 เมอ a = 0

จำนวน x ทไดจะอยในรปเศษสวนเช น1

2,−1

3,−4

1,6

2, ...

เปนตน เราพบวาเศษสวนของจำนวนเตมทแตกตางกนอาจจะเขยนแทนจำนวนเดยวกนไดเช น1

2=

2

4=

3

6=

4

8= ...

เมอพจารณากรณทวไป จะไดวาa

b=

c

dกตอเมอ ad = bc

เมอ b = 0 และ d = 0 ทำใหเรานยามความสมพนธบน Z× Z∗ เมอ Z∗ เปนเซตของจำนวนเตมทไมใช ศนย ทงหมด หรอ Z∗ = Z− {0}

ทฤษฎบท 7.2.1 ความสมพนธ ∼ ใน Z× Z∗ นยามโดย

(a, b) ∼ (c, d) กตอเมอ ad = bc

เปนความสมพนธสมมล


บทนยาม 7.2.2 เรยกแตละชนสมมลของความสมพนธ ∼ วา จำนวนตรรกยะ (rational number)และเรยกเซตของชนสมมล Z × Z∗/ ∼ วา เซตของจำนวนตรรกยะ (the set of rationalnumbers) เขยนแทนดวย Q ดงนน

Q := Z× Z∗/ ∼

ตวอยางเช น จำนวนตรรกยะ 1Q = [(1, 1)], −12Q = [(−1, 2)] และ 0Q = [(0, 1)] เปนตน

ทฤษฎบท 7.2.3 ให m,m′, p, p′ ∈ Z และ n, n′, q, q′ ∈ Z∗ จะไดวาถา (m,n) ∼ (m′, n′) และ (p, q) ∼ (p′, q′) แลว (mq + np, nq) ∼ (m′q′ + n′p′, n′q′)

บทนยาม 7.2.4 จะเรยกฟงกชน +Q : Q×Q → Q สำหรบแตละคจำนวนตรรกยะ a, b ∈ Q ดวยเซต

a +Q b := {(x, y) : ∃(m,n) ∈ a ∃(p, q) ∈ b, (x, y) ∼ (mq + np, nq)}

วา การบวก (addition) บน Q และเรยก a +Q b วา ผลบวก (sum) ของ a และ b

ตวอยาง 7.2.5 จงหาผลบวกตอไปน

1. 1Q +Q 2Q 2. −1Q +Q12Q


ทฤษฎบท 7.2.6 ให a, b และ c เปนจำนวนตรรกยะ จะไดวา

1. a +Q b = b +Q a สมบตการสลบท (commutative)

2. a +Q (b +Q c) = (a +Q b) +Q c สมบตการเปลยนกลม (associative)

ทฤษฎบท 7.2.7 ให a เปนจำนวนตรรกยะ และ 0Q = [(0, 1)] จะไดวา1. a +Q 0Q = a = 0Q +Q a การมเอกลกษณสำหรบการบวก (identity)

2. ม b ∈ Z ซง a +Q b = 0Q = b +Q a การมตวผกผนสำหรบการบวก (additive inverse)

ตวอยาง 7.2.8 จงแสดงวาสำหรบแตละจำนวนตรรกยะใด ๆ ตวผกผนสำหรบการบวกของจำนวนตรรกยะตวนนจะมเพยงตวเดยวเทานน (ตอไปจะเขยนตวผกผนการบวกของ a ดวย −a)


ทำใหนยาม การลบ (substraction) บนจำนวนตรรกยะไดดงนa− b := a +Q (−b)

ทฤษฎบท 7.2.9 ให m,m′, p, p′ ∈ Z และ n, n′, q, q′ ∈ Z∗ จะไดวาถา (m,n) ∼ (m′, n′) และ (p, q) ∼ (p′, q′) แลว (mp, nq) ∼ (m′p′, n′q′)

บทนยาม 7.2.10 จะเรยกฟงกชน ·Q : Q×Q → Q สำหรบแตละคจำนวนตรรกยะ a, b ∈ Q ดวยเซต

a ·Q b := {(x, y) : ∃(m,n) ∈ a ∃(p, q) ∈ b, (x, y) ∼ (mp, nq)}

วา การคณ (multiplication) บน Q และเรยก a ·Z b วา ผลคณ (product) ของ a และ b

ตวอยาง 7.2.11 จงหาผลบวกตอไปน1. 1Q ·Q −2Q 2. 1

3Q ·Q 35Q



1. a ·Q b = b ·Q a สมบตการสลบท (commutative)

2. a ·Q (b ·Q c) = (a ·Q b) ·Q c สมบตการเปลยนกลม (associative)

ทฤษฎบท 7.2.13 ให a เปนจำนวนตรรกยะ และ 1Q = [(1, 1)] จะไดวา1. a ·Q 1Z = a = 1Q ·Q a การมเอกลกษณสำหรบการคณ (identity)

2. ถา a = 0 จะม b ∈ Q ซง a ·Q b = 1Z = b ·Q a

3. a ·Q 0Z = 0Z

4. −a = (−1Q) ·Q a


ตวอยาง 7.2.14 จงแสดงวาสำหรบแตละจำนวนตรรกยะทไมใช ศนย ตวผกผนสำหรบการคณของจำนวนตรรกยะตวนนจะมเพยงตวเดยวเทานน

ตอไปจะเขยนตวผกผนการคณของ r ดวย r−1 ดงนนr−1 = [(a, b)]−1 = [(b, a)]

สามารถนยามการหารบน Q∗ ไดดงน

s÷ r := s ·Q r−1

หรอ[(a, b)]÷ [(c, d)] = [(a, b)] ·Q [(c, d)]−1

= [(a, b)] ·Q [(d, c)]

= [(ad, bc)]

ทฤษฎบท 7.2.15 ถา (a, b) ∼ (a′, b′) และ (c, d) ∼ (c′, d′)

โดยท b, b′, d และ d′ เปนจำนวนเตมบวก แลวad < cb กตอเมอ a′d′ < c′b′



≤Q := {(r, s) ∈ Q×Q : (a, b) ∈ r ∧ (c, d) ∈ s → ad ≤ cb}

เปนอนดบเชงเสนบน Q

บทนยาม 7.2.17 เรยกอนดบ<Q วา นอยกวา (less than) บนQ และกลาวไดวาเปนจำนวนตรรกยะb เปน จำนวนบวก (positive) ถา 0Q <Q b

ขอสงเกต b <Q 0Q กตอเมอ 0Q <Q −b

ทำใหไดกฎไตรวภาคสำหรบจำนวนตรรกยะ กลาวคอ สำหรบจำนวนตรรกยะ r ใด ๆ จะไดวาขอความตอไปน เปนจรงเพยงขอเดยวเทานน

1. r เปนจำนวนบวก 2. r = 0Q 3. −r เปนจำนวนบวก



1. a ≤Q b กตอเมอ a +Q c ≤Q b +Q c

2. สำหรบ 0Z <Q b จะไดวา a ≤Q b กตอเมอ a ·Q c ≤Q b ·Q c


1. a +Q c = b +Q c กตอเมอ a = b

2. a ·Q c = b ·Q c และ c = 0Q กตอเมอ a = b


แบบฝ กหด 7.21. จงพสจนวา 0Q = 1Q

2. จงแสดงวาผลคณของจำนวนตรรกยะทไมใช ศนย ทงคยอมไมใช ศนย

3. ให r และ s เปนจำนวนตรรกยะ จงแสดงวา3.1 ถา rs > 0 และ r > 0 แลว s > 0

3.2 ถา rs > 0 และ r < 0 แลว s < 0

3.3 ถา r > 0 แลว r−1 > 0

3.4 ถา r < 0 แลว r−1 < 0

3.5 ถา 0 < r < s แลว 0 < s−1 < r−1

4. ให r และ s เปนจำนวนตรรกยะ จงแสดงวา ถา rs = r และ r = 0 แลว s = 1

5. ให r และ s เปนจำนวนตรรกยะ จงพสจนวา

r ·Q s = 0 กตอเมอ r = 0 หรอ s = 0

6. จงแสดงวาไมมจำนวนตรรกยะ r ซง r2 = 2 เมอ r2 = r ·Q r


7.3 จำนวนจรงในสตรของปทาโกรส a2 + b2 = c2 เราไดพบวาความยาวดานมมฉากไมสามารถแทนดวย

จำนวนตรรกยะได เช นเมอดานประกอบมความยาวดานละ 1 หนวย นนคอc2 = 12 + 12 = 2

เราไดพสจนไวในแบบฝกหด 7.2 ขอ 6 วาไมมจำนวนตรรกยะใดทมสมบตเช นน ทำใหเราจำเปนตองมระบบจำนวนทครอบคลมถงกรณน ดวย นนคอรวมจำนวนอตรรกยะเขาไปดวยนนเองจะเรยกวาจำนวนจรง

วธการสรางจำนวนจรงมหลายรปแบบ เช น

1. การแทนจำนวนจรงแตละจำนวนในรปทศนยม นนคอใหแตละจำนวนจรงเปนลำดบ หรอฟงกชนจาก ω ไปยง {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. ใหเซตจำนวนจรงคอเซตปนสวน C/ ∼ โดย C เปนเซตของลำดบโคช (Cauchy sequence)ของจำนวนตรรกยะทมคาลมต นนคอ

{xn} ∈ C ↔ ∀0 < ε ∈ Q∃k ∈ ω ∀m > k∀n > k, , |xm − xn| < ε

และ ∼ เปนความสมพนธสมมลใน C ซงกำหนดโดย

{xn} ∼ {yn} กตอเมอ {xn} และ {yn} มคาลมตเดยวกน

3. ในแตละจำนวนจรงเปนสวนตดเดเดคนด (Dedekind cut) เราจะกลาวถงการสรางในหวขอน

บทนยาม 7.3.1 ให x เปนสบเซตของ Q ซงมสมบตตอไปน

1. x ไมเปนเซตวาง และ x ไมใช Q นนคอ∅ = x = Q

2. x ม สมบตป ดสมาชกขางนอย (closed downward) นนคอ∀q, r ∈ Q, q ∈ x ∧ r < q → r ∈ x

3. x ไมมสมาชกตวมากสด นนคอ∀r ∈ x∃q ∈ x, r < q

แลวจะเรยก x วา สวนตดเดเดคนด (Dedekind cut) หรอเรยกสน ๆ วา สวนตด (cut)บทนยาม 7.3.2 เรยกแตละสวนตดวา จำนวนจรง (real number) และ R แทน เซตของจำนวนจรง (the set of real numbers)

7.3. จำนวนจรง 199


≤R := {(x, y) ∈ R× R : x ⊂ y หรอ x = y}

เปนอนดบเชงเสนบน R

บทแทรก 7.3.4 กฎไตรวภาคเปนจรงบน R

ทฤษฎบท 7.3.5 สำหรบแตละจำนวนตรรกยะ r จะไดวา {q ∈ Q : q < r} เปนจำนวนจรง

บทนยาม 7.3.6 สำหรบแตละจำนวนตรรกยะ r จะเรยกจำนวนจรง {q ∈ Q : q < r} วาจำนวนจรงตรรกยะ เขยนแทนดวย rR ดงนน

rR := {q ∈ Q : q < r}

สำหรบจำนวนจรงทไมใช จำนวนตรรกยะเรยกวา จำนวนอตรรกยะ (irrational number)


ทฤษฎบท 7.3.7 ให x และ y เปนจำนวนจรง แลว

{q + r : q ∈ x และ r ∈ y} เปนจำนวนจรง

บทนยาม 7.3.8 จะเรยกฟงกชน +R : R×R → R สำหรบแตละคจำนวนจรง a, b ∈ R ดวยเซตx +R y := {q + r : q ∈ x และ r ∈ y}

วา การบวก (addition) บน R และเรยก a +R b วา ผลบวก (sum) ของ x และ y

ทฤษฎบท 7.3.9 ให a, b และ c เปนจำนวนจรง จะไดวา

1. a +R b = b +R a สมบตการสลบท (commutative)2. a +R (b +R c) = (a +R b) +R c สมบตการเปลยนกลม (associative)


ทฤษฎบท 7.3.10 จำนวนจรงศนย 0Q = {r ∈ Q : r < 0} เรยกสน ๆ วา ศนย (zero) เปนเอกลกษณสำหรบการบวก +R

∀x ∈ R, x +R 0R = x = 0R +R x

บทนยาม 7.3.11 เรยกจำนวนจรง x วาจำนวนบวก (positive) ถา 0R <R x แตถา x <R 0R

เรยก x วาจำนวนลบ (negative)ทฤษฎบท 7.3.12 ให x เปนจำนวนจรง และ p เปนจำนวนตรรกยะทเปนจำนวนบวก แลวจะมq ∈ x ซง p+ q /∈ x


ทฤษฎบท 7.3.13 ให x เปนจำนวนจรง แลว{r ∈ Q : ∃s > r, −s /∈ x}

เปนจำนวนจรงทเปนตวผกผนสำหรบการบวกของ x และจะเขยนแทนดวย −x นนคอ∀x ∈ R ∃ − x ∈ R, x +R −x = 0R = −x +R x

บทแทรก 7.3.14 ให x, y และ z เปนจำนวนจรง จะไดวาx +R z = y +R z กตอเมอ x = z


บทนยาม 7.3.15 ให x เปนจำนวนจรง นยาม|x| := x ∪ −x

และเรยกวา คาสมบรณ (absolute value) ของ x

ทฤษฎบท 7.3.16 ให x เปนจำนวนจรง และ y เปนจำนวนจรงทไมเปนจำนวนลบ แลวเซต0R ∪ {rs : 0 ≤ r ∈ x และ 0 ≤ s ∈ y}

เปนจำนวนจรง

204 บทท 7. ระบบจำนวนบทนยาม 7.3.17 สำหรบแตละคจำนวนจรง x และ y จะนยาม ผลคณ (product) x ·R y

ดงตอไปน1. ถา x และ y ตางไมเปนจำนวนลบ จะนยาม

x ·R y := 0R ∪ {rs : 0 ≤ r ∈ x และ 0 ≤ s ∈ y}

2. ถา x และ y ตางเปนจำนวนลบ จะนยามx ·R y := |x| ·R |y|

3. ในกรณทเหลอ จะนยามx ·R y := −(|x| ·R |y|)

เรยกการดำเนนการ ·R : R× R → R วา การคณ(multiplication) บน R

จะไดวาการคณ ·R สอดคลองสมบตการสลบท เปลยนกลม และการแจกแจงเหนอ +R

ทฤษฎบท 7.3.18 ให x และ y เปนจำนวนจรง จะไดวา1. x ·R 0R = 0R

2. ถา 0R ≤R x และ 0R ≤R y แลว 0R ≤R x ·R y


ทฤษฎบท 7.3.19 สำหรบจำนวนจรง x ใด ๆ แลวจำนวนจรง 1R = {r ∈ Q : r < 1} เปนเอกลกษณสำหรบการคณ ·R นนคอ

∀x ∈ R, x ·R 1R = x = 1R ·R x

ทฤษฎบท 7.3.20 สำหรบจำนวนจรง x ทไมใช ศนย จะมจำนวนจรง y เพยงตวเดยวเทานน ซงx ·R y = 1R เรยก y วาตวผกผนสำหรบการคณของ x เขยนแทนดวย x−1 หรอกลาวคอ

∀x ∈ R∗ ∃x−1 ∈ R, x ·R x−1 = 1R = x−1 ·R y


แบบฝ กหด 7.31. กำหนดให r เปนจำนวนตรรกยะ จงแสดงวา {t ∈ Q : t > r} ไมเปนสวนตดเดเดคนด

2. กำหนดให r และ s เปนจำนวนตรรกยะ x เปนจำนวนจรง จงแสดงวา

2.1 ถา r ∈ x และ s /∈ x แลว s > r

2.2 ถา s /∈ x และ r > s แลว r /∈ x

3. จงพสจนวา การคณ ·R สอดคลองสมบตการสลบท เปลยนกลม และการแจกแจงหนอ +R

4. จงแสดงวา 0R = 1R

5. ให x และ y เปนจำนวนจรง จงพสจนวา5.1 −(−x) = x

5.2 −(x ·R y) = (−x) ·R y = x ·R (−y)

5.3 −(x +R y) = (−x) +R (−y)

5.4 ถา x +R y = x แลว y = 0R

5.5 x <R y กตอเมอ −y <R −x

5.6 ถา x = 0R แลว (x−1)−1 = x

5.7 ถา x = 0R และ x = 0R แลว (x ·R y)−1 = y−1 ·R x−1

6. สำหรบแตละจำนวนจรง x จงแสดงวา |x| เปนจำนวนจรง7. สำหรบแตละจำนวนจรง x จงแสดงวา 0R ≤R |x|

8. ให x และ y เปนจำนวนจรง จงพสจนวา

x ·R y = 0R กตอเมอ x = 0R หรอ y = 0R

9. ให x, y และ z เปนจำนวนจรง จงพสจนวา

x ·R y = x ·R z และ x = 0R กตอเมอ y = z

บทท 8เซตจำกดและเซตอนนต

8.1 การเทยบเทาของเซตบทนยาม 8.1.1 ให A และ B เปนเซตทไมใช เซตวาง จะกลาววา A เทยบเทา (equivalent)กบ B เขยนแทนดวย A ∼ B ถามฟงกชน f : A → B เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง หรอ

A ∼ B กตอเมอ ∃ f : A → B เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถงตวอยางเช น {1, 2, 3} ∼ {a, b, c} โดยเลอกฟงกชน f ดงแผนภาพ

1

2

3

f

a

b

c

ตวอยาง 8.1.2 จงแสดงวาเซตแตละคตอไปน เทยบเทากน

1. A = {1, 2, 3} และ B = {2, 3, 5}

2. A = {−3,−2,−1, 0} และ B = {2, 4, 6, 8}

207

208 บทท 8. เซตจำกดและเซตอนนต

ตวอยาง 8.1.3 จงแสดงวา A ∼ B ในแตละขอตอไปน เมอ f : A → B

1. A = {1, 2, 3, ...} และ B = {2, 4, 6, ...} กำหนดให f(x) = 2x

2. A = {1, 2, 3, ...} และ B = {1, 3, 5, ...} กำหนดให f(x) = 2x− 1

3. A = {2, 4, 6, ...} และ B = {1, 3, 5, ...} กำหนดให f(x) = x− 1

8.1. การเทยบเทาของเซต 209

ทฤษฎบท 8.1.4 N ∼ Z

ตวอยาง 8.1.5 จงแสดงวาเซตแตละคตอไปน เทยบเทากน

1. N และ {2n : n ∈ Z}

2. Z และ {2n : n ∈ N}

210 บทท 8. เซตจำกดและเซตอนนตตวอยาง 8.1.6 จงแสดงวา [1, 4] ∼ [1, 5]

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

f

ตวอยาง 8.1.7 จงแสดงวาเซตแตละคตอไปน เทยบเทากน1. A = [0, 1] และ B = [1, 2]

2. A = (0, 1) และ B = (−1, 1)


ทฤษฎบท 8.1.8 (0, 1) ∼ R

ทฤษฎบท 8.1.9 ให A,B และ C เปนเซตทไมใช เซตวาง แลว1. A ∼ A

2. ถา A ∼ B แลว B ∼ A

3. ถา A ∼ B และ B ∼ C แลว A ∼ C

บทแทรก 8.1.10 สำหรบแตละเซต A ถา A = B แลว A ∼ B


ทฤษฎบท 8.1.11 ให A,B และ C เปนเซต จะไดวา1. A ∼ A สมบตสะทอน (Reflexive)2. ถา A ∼ B แลว B ∼ A สมบตสมมาตร (Symmetric)3. ถา A ∼ B และ B ∼ C แลว A ∼ C สมบตถายทอด (Transitive)

ทฤษฎบท 8.1.12 ให a และ b เปนจำนวนจรงซง a < b จะไดวา1. (a, b) ∼ (0, 1)

2. (a, b) ∼ R


ทฤษฎบท 8.1.13 ให A,B,C และ D เปนเซต จะไดวา1. A×B ∼ B × A

2. ถา A×B แลว A× C ∼ B × C

3. ถา A ∼ B และ C ∼ D แลว A× C ∼ B ×D

ตวอยาง 8.1.14 สำหรบเซต A ทไมใช เซตวาง จงแสดงวา A× {a} ∼ A


แบบฝ กหด 8.11. จงแสดงวาเซตแตละคตอไปน เทยบเทากน

1.1 {1, 2, 3, ..., 100} และ {10, 20, 30, ..., 1000}

1.2 {1, 2, 3, ...} และ {a1, a3, a5, ...}

1.3 {2, 4, 6, ...} และ {2, 23, 25, ...}

1.4 N และ {3n− 1 : n ∈ Z}

1.5 Z และ {n2n : n ∈ N}

2. ให A,B และ C เปนเซต จงแสดงวา2.1 ถา A ∼ B และ A ∩ C = B ∩ C = ∅ แลว A ∪ C ∼ B ∪ C

2.2 ถา A = B แลว A ∼ B

2.3 ถา A ∼ B และ B = C แลว A ∼ C

2.4 A = ∅ กตอเมอ A ∼ ∅

3. จงแสดงวา3.1 [0, 1] ∼ [1, 3]

3.2 [−1, 1] ∼ [2, 3]

3.3 [0, 1] ∼ (0, 1)

3.4 [0, 1] ∼ [2, 1)

4. ให A,B และ C เปนเซต จงพสจนวา A× (B × C) ∼ (A×B)× C

5. ให A เปนเซตใด ๆ และ B = {b} จงพสจนวา B × A ∼ A

8.2. เซตจำกด 215

8.2 เซตจำกดบทนยาม 8.2.1 จะกลาววา A เปนเซตจำกด (finite set) กตอเมอ

A เปนเซตวาง หรอ A ∼ {1, 2, ..., k} สำหรบบางจำนวนนบ k

บทนยาม 8.2.2 ให A เปนเซตจำกด และ k เปนจำนวนนบA = ∅ จะกลาววา A มสมาชก 0 ตว เขยนแทนดวย n(A) = 0

A ∼ {1, 2, 3, ..., k} จะกลาววา A มสมาชก k ตว เขยนแทนดวย n(A) = k

สำหรบ k ∈ N ถา A เปนเซตจำกดทไมใช เซตวาง และ n(A) = k อาจจะเขยนแทนเซต A

ดวย {a1, a2, ..., ak} ในกรณท A = {1, 2, 3, ..., k} เหนไดชดวา {1, 2, ..., k} ∼ {1, 2, ..., k} (โดยเลอกฟงกชนเอกลกษณบน A) ดงนน A เปนเซตจำกดทสมาชก k ตว จะเรยกเซตน วา สวนตด(section) ของจำนวนนบ เขยนสญลกษณแทนดวย Nk หรอ

Nk = {1, 2, 3, ..., k}

ทำใหไดวา A ∼ Nk เมอ A เปนเซตทไมใช เซตวางและ n(A) = k

ตวอยาง 8.2.3 กำหนดให A = {2, 4, 6, 8, 10}พจารณาแผนภาพ

N5

1

2

3

4

5

fA

2

4

6

8

10


ทฤษฎบท 8.2.4 ให k ∈ N และ A เปนเซตใด ๆ โดยท a ∈ A แลวจะไดวา

A มสมาชก k + 1 ตว กตอเมอ A− {a} มสมาชก k ตว


ทฤษฎบท 8.2.5 ถา A ∼ Nn สำหรบบางจำนวนนบ n แลวจะไมมฟงกชน 1-1 จากสบเซตแท Bของ A ใดๆไปทวถง Nn ยงไดอกวา B เปนเซตจำกด และจำนวนสมาชกของ B นอยกวา n ตว

ขอสงเกต โดยทฤษฎบทนสรปไดวาสบเซตของเซตจำกดยอมเปนเซตจำกดเสมอ

บทแทรก 8.2.6 ถา A เปนเซตจำกดทไมใช เซตวาง จะไดวาไมมฟงกชน 1-1 จาก A ไปทวถงสบเซตแทใด ๆ ของ A

บทแทรก 8.2.7 จำนวนสมาชกของเซตจำกด A มเพยงจำนวนเดยวเทานน


ทฤษฎบท 8.2.8 ให A เปนเซตทไมใช เซตวาง และ n ∈ N จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

1. มฟงกชนจาก {1, 2, ..., n} ไปทวถง A

2. มฟงกชน 1-1 จาก A ไป {1, 2, ..., n}

3. A เปนเซตจำกด และมสมาชกอยางมาก n ตว

บทแทรก 8.2.9 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา A ∩B และ A−B เปนเซตจำกด


ทฤษฎบท 8.2.10 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา A ∪B เปนเซตจำกดโดยเฉพาะอยางยงถา A ∩B = ∅ แลว

n(A ∪B) = n(A) + n(B)

บทแทรก 8.2.11 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา n(A) = n(A−B) + n(A ∩B)

บทแทรก 8.2.12 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)


บทแทรก 8.2.13 ให A,B และ C เปนเซตจำกด จะไดวาn(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) + n(A ∩B ∩ C)

ทฤษฎบท 8.2.14 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา A×B เปนเซตจำกด

บทพสจน . ให A และ B เปนเซตจำกด ให A = {a1, a2, ..., an} และ B = {b1, b2, ..., bm}

พจารณากราฟตอไปน

•

•

•

...•

•

•

•

...•

•

•

•

...•

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

•

•

•

...•

a1 a2 a3 · · · an

b1

b2

b3

...bm

กำหนดให f : A×B → Nnm โดยf((ai, bj)) = (i− 1)m+ j ทก (ai, bj) ∈ A×B

แสดงไดโดยงายวา f เปนไปไดอยางแจมชด ตอไปจะแสดงวา f เปนฟงกชน 1-1 ให (ai, bj), (ak, bt) ∈A × B สมมตวา f((ai, bj)) = f((ak, bt)) นนคอ (i − 1)m + j = (k − 1)m + t สมมตวา i = k

โดยไมเสยนยทวไป i < k นนคอ i ≤ k − 1 ทำใหสรปไดวา(i− 1)m+ j ≤ (i− 1)m+m = im ≤ (k − 1)m < (k − 1)m+ t

ทำใหไดวา f((ai, bj)) = f((ak, bt)) ซงขดแยงกบสมมตฐาน ทำใหไดวา i = k แลว(i− 1)m+ j = (k − 1)m+ t = (i− 1)m+ t

จะไดวา j = t นนคอ (ai, bj) = (ak, bt) ดงนน f เปนฟงกชน 1-1 โดยทฤษฎบท 8.2.8 จะไดวาA×B เปนเซตจำกด


แบบฝ กหด 8.21. จงตรวจสอบวาเซตตอไปน เปนเซตจำกดหรอไม

1.1 {2, 4, 6, ..., 100}

1.2 N ∩ {n3: n ∈ N}

1.3 {1, 5, 9, 13, 17}

1.4 {n ∈ Z : |n| ≤ 10}

1.5 {x : x = 2n+ 3, n = 0, 1, 2, ..., 10}

1.6 P({1, 2, 3})

2. ถา A เปนเซตจำกด จงแสดงวา A× {a} เปนเซตจำกด

3. จงแสดงวา A ∪B เปนเซตจำกด กตอเมอ A และ B เปนเซตจำกด4. ให A และ B เปนเซตจำกด จงแสดงวา n(A ∪B) = n(A−B) + n(B)

5. ให A และ B เปนเซต จงแสดงวา5.1 ถา A ∪B เปนเซตจำกด แลว A และ B เปนเซตจำกด5.2 ถา A−B เปนเซตจำกด แลว A เปนเซตจำกด

6. ให A และ B เปนเซต และ F = {f | f : A → B} จงแสดงวา ถา A และ B เปนเซตจำกดแลว F เปนเซตจำกด

7. ให A,B และ C เปนเซตจำกด จงพสจนวา A× (B × C) เปนเซตจำกด

8. ให {Aα}α∈Λ เมอ Aα เปนเซตจำกดทกๆ α ∈ Λ จงพสจนวา

8.1 ∪α∈Λ

Aα เปนเซตจำกด

8.2 ∪α∈Λ


8.3 ∏α∈Λ


9. A = {2, 4, 6, ..., 100} และ B = {3, 9, 12, ..., 99} จงหา9.1 n(A)

9.2 n(B)

9.3 n(A ∩B)

9.4 n(A ∪B)

9.5 n(A−B)

9.6 n(B − A)


8.3 เซตอนนตบทนยาม 8.3.1 เซตอนนต (infinite set) คอเซตทไมใช เซตจำกดอาศยกฎแยงสลบทจากบทแทรก 8.2.6 จะไดวา

ถามฟงกชน 1-1 จาก A ไปทวถง สบเซตแทบางเซตของ A แลว A เปนเซตอนนตหรอกลาวอกนยหนงคอ ถามสบเซตแท B ของ A ซง B ∼ A แลว A เปนเซตอนนตทฤษฎบท 8.3.2 N เปนเซตอนนต

โดยบทแทรก 8.2.6 ทำใหไดขอสรปดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 8.3.3 เซตทมสบเซตเปนเซตอนนตยอยเปนเซตอนนต

เนองจาก N เปนเซตอนนต และ N เปนสบเซตของ Z,Q และ R ดงนน Z,Q และ R เปนเซตอนนตทฤษฎบท 8.3.4 ให A เปนเซต จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

1. มฟงกชนหนงตอหนง f : N → A

2. มฟงกชน 1-1 จาก A ไปทวถง สบเซตแทบางเซตของ A

3. A เปนเซตอนนต

8.3. เซตอนนต 223

ตวอยาง 8.3.5 จงแสดงวาเซตตอไปน เปนเซตอนนต

1. (0, 1)

2. (1, 3)

ทฤษฎบท 8.3.6 ให A เปนเซตอนนต ถา A ∼ B แลว B เปนเซตอนนต


แบบฝ กหด 8.31. จงแสดงวาเซตตอไปน เปนเซตอนนต

1.1 {1, 4, 7, 11, ...}

1.2 {1, 1.5, 2, 2.5, ...}

1.3 (0, 5)

1.4 [−3, 5]

2. จงแสดงวา A ∪B เปนเซตอนนต กตอเมอ A หรอ B เปนเซตอนนต3. ให A และ B เปนเซต จงพสจนหรอยกตวอยางคานขอความตอไปน

3.1 A ∩B เปนเซตอนนต กตอเมอ A และ B เปนเซตอนนต3.2 A ∩B เปนเซตจำกด กตอเมอ A หรอ B เปนเซตจำกด3.3 A−B เปนเซตจำกด กตอเมอ A เปนเซตจำกด3.4 A−B เปนเซตอนนต กตอเมอ A เปนเซตอนนต

4. ให A เปนเซตอนนต จงแสดงวา A ∪B เปนเซตอนนต ทก ๆ เซต B

5. จงยกตวอยางคานขอความ ถา A ∩B เปนเซตอนนต แลว A และ B เปนเซตอนนต

8.4. เซตนบได 225

8.4 เซตนบไดในหวขอน จะกลาวในการแยกแยะชนดของเซตแตละชนดออกจากกน โดยดความสามารถในการนบจำนวนสมาชกของเซตนน ๆ

บทนยาม 8.4.1 จะกลาววาเซต A เปนเซตอนนตแบบนบได (countably infinite set หรอdenumerable set) ถา A ∼ N

ขอสงเกต เนองจาก N ∼ N ดงนน N เปนเซตอนนตแบบนบไดทฤษฎบท 8.4.2 Z เปนเซตอนนตแบบนบได

864213579

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

ทฤษฎบท 8.4.3 ให A เปนเซตอนนตแบบนบได และ B ∼ A แลว B เปนเซตอนนตแบบนบได

ตวอยาง 8.4.4 ให A เปนเซตอนนตแบบนบได จงแสดงวา A× {a} เปนเซตอนนตแบบนบได


ตวอยาง 8.4.5 จงแสดงวาเซตตอไปน เปนเซตอนนตแบบนบได

1. {1, 4, 7, 11, ...}

2. {0, 4, 8, 12, ...}

3.{1

3,1

5,1

7, ...

}

4. {1, 3, 9, 27, ...}


บทนยาม 8.4.6 จะกลาววาเซต A เปนเซตนบได (countable set) ถา A เปนเซตจำกด หรอเปนเซตอนนตแบบนบไดตวอยาง 8.4.7 จงแสดงวา E = {2n : n ∈ Z} เปนเซตนบได

ทฤษฎบท 8.4.8 ให A เปนเซตไมใช เซตวาง จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

1. มฟงกชนทวถง f : N → A

2. มฟงกชนหนงตอหนง g : A → N

3. A เปนเซตนบได

บทแทรก 8.4.9 สบเซตของเซตนบไดยอมเปนเซตนบไดขอสงเกต ถา A และ B เปนเซตนบได แลว A∩B และ A−B เปนเซตนบได เพราะวา A∩B ⊆ A

และ A−B ⊆ A

บทแทรก 8.4.10 ถา A เปนเซตซงมฟงกชนจากเซตนบไดไปทวถง A แลว A เปนเซตนบได


ตอไปจะพจารณาการนบสมาชกของ N× N ดงกราฟตอไปน

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

รปท 15 แสดงการนบสมาชกของเซต N× N

จากกราฟสามารถสรางฟงกชน f : N×N → N โดย f((x, y)) = 2x−1(2y − 1) ถาพสจนไดวา f

เปนฟงกชน 1-1 แบบทวถง จะสรปไดวา N × N เปนเซตนบได แตการพสจนดงกลาวมความยงยากและตองตรวจสอบทง 2 อยาง ดงนนจะใชทฤษฎบท 8.4.8 ในการพสจนดงทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท 8.4.11 N× N เปนเซตนบไดจากทฤษฎบททำใหไดขอสรปวา N × N ∼ N ทำใหเพยงพอในการพสจนเซตอนนตแบบนบไดโดยแสดงวาเซตนนสมมลกบสบเซตของ N× N

ทฤษฎบท 8.4.12 ให A และ B เปนเซตนบได แลว A ∪B เปนเซตนบได


ทฤษฎบท 8.4.13 ให A และ B เปนเซตนบไดแลว A×B เปนเซตนบได

จากทฤษฎบทนจะไดวา Z× Z เปนเซตอนนตแบบนบได เนองจาก Z เปนเซตอนนตแบบนบได

ทฤษฎบท 8.4.14 Z× Z เปนเซตอนนตแบบนบได

ทฤษฎบท 8.4.15 Q เปนเซตอนนตแบบนบได

จากทฤษฎบทนทำใหสรปไดวา Q×Q เปนเซตอนนตแบบนบได


บทนยาม 8.4.16 เซตนบไมได (uncountable set) คอเซตทไมใช เซตนบไดการพสจนเซตนบไมไดมความยงยากและซบซอนเมอใชบทนยามดงกลาว จำเปนตองอาศย

ผลทไดจากทฤษฎบทตางๆทไดมาในหวขอกอนน ซงสรปไดดงน

1. เซตนบไมไดเปนเซตอนนต (โดยนยามของเซตนบได)2. ถา A ⊆ B และ A เปนเซตนบไมได แลว B เปนเซตนบไมได (โดยบทแทรก 8.4.9)3. ถา A ∼ B จะไดวา A เปนเซตนบไมได กตอเมอ B เปนเซตนบไมได (โดยทฤษฎบท 8.4.3)

4. ให A เปนเซตทไมใช เซตวาง จะไดวา A เปนเซตนบไมได กตอเมอ ไมมฟงกชนจาก N ไปทวถง A (โดยทฤษฎบท 8.4.8)

ทฤษฎบท 8.4.17 เซตของสบเซตทงหมดของ N หรอ P(N) เปนเซตนบไมได

ทฤษฎบท 8.4.18 (0, 1) เปนเซตนบไมได


ทฤษฎบท 8.4.19 R เปนเซตนบไมได

ทฤษฎบท 8.4.20 Qc เปนเซตนบไมได


แบบฝ กหด 8.41. จงแสดงวาเซตตอไปน เปนเซตอนนตแบบนบได

1.1 {3, 6, 9, 12, ...}

1.2 {−1,−3,−5, ...}

1.3 {1, 4, 9, 15, ...}

1.4 {2, 7, 12, 17, ...}

2. จงแสดงวาเซตตอไปน เปนเซตนบไมได

2.1 (0, 1) 2.2 (0, 1) ∩Q 2.3 (1,∞) 2.4 (−1, 1)

3. เซตของจำนวนคเปนเซตนบได4. สบเซตของเซตนบไดยอมเปนเซตนบได5. เซตใดกตามมสบเซตทเปนเซตนบไมไดยอมเปนเซตนบไมได6. ถา A เปนเตจำกด และ B เปนเซตนบได จงแสดงวา A ∪B เปนเซตนบได7. ถา A เปนเซตนบไมได จงแสดงวา A ∪B เปนเซตนบไมได8. ให A เปนเซตอนนต และ B เปนเซตอนนตแบบนบได จงแสดงวา A ∪ B เปนเซตอนนต

แบบนบได9. ให A และ B เปนเซตอนนตแบบนบได จงแสดงวา A ∪B เปนเซตอนนตแบบนบได10. ให A และ B เปนเซต ถา A ∼ B และ A เปนเซตนบได แลว B เปนเซตนบได

บทท 9จำนวนเชงการนบ

9.1 จำนวนเชงการนบทฤษฎบท 9.1.1 ให A และ B เปนเซตจำกด จะไดวา

n(A) = n(B) กตอเมอ A ∼ B

สจพจน 9.1.2 สจพจนของจำนวนเชงการนบ (Axiom of Cardinality)จะมหมของเซต A เพยงหมเดยวซงสำหรบแตละเซต A จะมเซต B ใน A เพยงเซตเดยวเทานนท A ∼ B

บทนยาม 9.1.3 สำหรบเซต A ใด ๆ เรยกเซต B ในสจพจน 9.1.2 วา จำนวนเชงการนบ(cardinal number) ของ A เขยนแทนดวย #(A)

ทฤษฎบท 9.1.4 สำหรบเซต A และ B ใด ๆ จะไดวา#(A) = #(B) กตอเมอ A ∼ B

233

234 บทท 9. จำนวนเชงการนบ

ตวอยาง 9.1.5 จงหาจำนวนเชงการนบของเซตตอไปน

1. A = {1, 2, 3} 2. A = {x ∈ Z : −3 ≤ x < 7}

บทนยาม 9.1.6 ให A เปนเซต ใด ๆ1. เรยก #(A) วา จำนวนเชงการนบแบบจำกด (finite cardinal number)

ถา A เปนเซตจำกด2. เรยก #(A) วา จำนวนเชงการนบแบบอนนต (infinite cardinal number)

ถา A เปนเซตอนนตขอสงเกต ในกรณท A เปนเซตจำกด จำนวนเชงการนบ #(A) คอ n(A)

ตวอยาง 9.1.7 จงตรวจสอบชนดของจำนวนเชงการนบของเซตตอไปน

1. {1, 2, 3}

2. {2n : n ∈ N}

3. [0, 1]

4. Z

ทฤษฎบท 9.1.8 กำหนดให a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ จะไดวา1. a = a สมบตสะทอน (reflexive)2. ถา a = b แลว b = a สมบตสมมาตร (symmetric)3. ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบตถายทอด (transitive)

9.1. จำนวนเชงการนบ 235

บทนยาม 9.1.9 ให A และ B เปนเซต แลว#(A) นอยกวา (less than) #(B) เขยนแทนดวย #(A) < #(B) กตอเมอ

1. ม B0 ⊆ B ซง A ∼ B0 และ

2. ไมมเซต A0 ⊆ A ซง A0 ∼ B

และเรยก #(B) is มากกวา (greater than) #(A) เขยนแทนดวย #(B) > #(A) นนคอ

#(B) > #(A) กตอเมอ #(A) < #(B)

บทนยาม 9.1.10 ให A และ B เปนเซต แลว#(A) ≤ #(B) กตอเมอ #(A) < #(B) หรอ #(A) = #(B)

ทฤษฎบท 9.1.11 กำหนดให a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ จะไดวา1. a ≤ a สมบตสะทอน (reflexive)2. ถา a ≤ b และ b ≤ a แลว a = b สมบตปฏสมมาตร (antisymmetric)3. ถา a ≤ b และ b ≤ c แลว a ≤ c สมบตถายทอด (transitive)

ทฤษฎบท 9.1.12 สำหรบแตละเซต A จะไดวา #(∅) ≤ #(A)

ทฤษฎบท 9.1.13 สำหรบแตละเซต A ถา A เปนเซตอนนตแบบนบได แลว #(A) = #(N)

236 บทท 9. จำนวนเชงการนบบทนยาม 9.1.14 เรยก #(N) วา อะเลฟศนย (aleph null) เขยนแทนดวย ℵ0

ทฤษฎบท 9.1.15 ให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา

1. ถา A เปนเซตจำกด แลว #(A) < ℵ0

2. ถา A เปนเซตอนนต แลว ℵ0 ≤ #(A)

ทฤษฎบท 9.1.16 #(N) < #(R)

บทนยาม 9.1.17 เรยก #(R) วา อะเลฟหนง (aleph one) เขยนแทนดวย ℵ1

สมมตฐานของภาวะความตอเนอง (Continuum Hypothesis)ไมมเซต B ซง ℵ0 < #(B) < ℵ1

การวางนยทวไปของสมมตฐานของภาวะความตอเนอง (General Continuum Hypothesis)ถา A เปนเซตอนนต แลวไมมเซต B ซง #(A) < #(B) < #(P(A))

9.1. จำนวนเชงการนบ 237

แบบฝ กหด 9.11. ให A และ B เปนเซตจำกด โดยท A ⊆ B และ A ∼ B จงแสดงวา n(A) < n(B)

2. จงแสดงวา มเซต A และ B ซง A ⊆ B แต A = B สอดคลอง #(A) = #(B)

3. ให A และ B เปนเซตอนนตแบบนบได จงแสดงวา #(A) = #(B)

4. ให A เปนเซตจำกด B เปนเซตอนนตแบบนบได จงแสดงวา #(A) < #(B)

5. จงแสดงวา จำนวนเชงการนบแบบจำกดนอยกวาจำนวนเชงการนบแบบอนนต6. เซตใดตอไปน มขนาดเปน ℵ0 หรอ ℵ1 พรอมใหเหตผลประกอบ

6.1 Q

6.2 Z

6.3 Qc

6.4 N× N

6.5 Z× Z

6.6 Q×Q

7. ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ จงตรวจสอบขอความตอไปน วาจรงหรอเทจ7.1 ถา #(A) < #(B) และ #(B) < #(C) แลว #(A) < #(C)

7.2 ถา #(A) ≤ #(B) และ #(A) ≥ #(B) แลว #(A) = #(B)

7.3 ถา #(A) ≤ #(B) และ #(A) = #(C) แลว #(A) < #(C)

7.4 ถา #(A) < #(B) และ #(B) = #(C) แลว #(A) < #(C)

8. จงแสดงวาจำนวนเชงการนบสอดคลอง กฎไตรวภาค (Trichonomy Law) นนคอ สำหรบจำนวนเชงการนบ a และ b จะสอดคลองขอใดขอหนงใน 3 ขอตอไปน

8.1 a < b 8.2 a = b 8.3 a > b


9.2 การดำเนนการของจำนวนเชงการนบบทนยาม 9.2.1 ให A และ B เปนเซตโดยท A ∩B = ∅ ถา #(A) = a และ #(B) = b นยาม

a+ b = #(A ∪B) และ a · b = #(A×B)

ตวอยาง 9.2.2 จงหา 3 + 4 และ 3 · 4

ทฤษฎบท 9.2.3 สมบตการสลบท (Commutative)ให a และ b เปนจำนวนเชงการนบ แลว

1. a+ b = b+ a 2. a · b = b · a

ทฤษฎบท 9.2.4 สมบตการเปลยนกลม (Associative)ให a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ แลว

1. a+ (b+ c) = (a+ b) + c 2. a · (b · c) = (a · b) · c

9.2. การดำเนนการของจำนวนเชงการนบ 239

ทฤษฎบท 9.2.5 สมบตการแจกแจง (Distributive)ให a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ แลว

1. a · (b+ c) = a · b+ a · c

2. (b+ c) · a = b · a+ c · a

ทฤษฎบท 9.2.6 ให a เปนจำนวนเชงการนบ แลว1. a+ 0 = a = 0 + a

2. a · 1 = a = 1 · a

3. a · 0 = 0 = 0 · a


ทฤษฎบท 9.2.7 ให a และ b เปนจำนวนเชงการนบ แลว

a · b = 0 กตอเมอ a = 0 หรอ b = 0

ทฤษฎบท 9.2.8 ให a เปนจำนวนเชงการนบแบบอนนต แลว1. a+ a = a

2. a · a = a

9.2. การดำเนนการของจำนวนเชงการนบ 241

ทฤษฎบท 9.2.9 ให a เปนจำนวนเชงการนบแบบจำกด แลว a+ ℵ0 = ℵ0

ทฤษฎบท 9.2.10 ℵ0 + ℵ0 = ℵ0

ทฤษฎบท 9.2.11 ให a เปนจำนวนเชงการนบแบบจำกด แลว1. a+ ℵ1 = ℵ1

2. ℵ0 + ℵ1 = ℵ1

3. ℵ1 + ℵ1 = ℵ1


แบบฝ กหด 9.21. ให a และ b เปนจำนวนเชงการนบ จงแสดงวา

a ≤ b กตอเมอ มจำนวนเชงการนบ c ททำให b = a+ c

2. ให a, b, c และ d เปนจำนวนเชงการนบ จงแสดงวา2.1 a · b = 1 กตอเมอ a = 1 และ b = 1

2.2 a = b กตอเมอ a+ c = b+ c

2.3 ถา a = b แลว a · c = b · c

2.4 ถา a = b และ c = d แลว a+ c = b+ d

2.5 ถา a = b และ c = d แลว a · c = b · d

3. พจารณาขอความตอไปน วาเปนจรงหรอเทจ พรอมใหเหตผลประกอบ

ถา a · c = b · c แลว a = b

เมอ a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ4. ให a, b และ c เปนจำนวนเชงการนบ จงแสดงวา

4.1 ถา a ≤ b แลว a+ c ≤ b+ cb

4.2 ถา a ≤ b แลว a · c ≤ b · c

5. ให a เปนจำนวนเชงการนบ และ b เปนจำนวนเชงการนบแบบอนนต จงแสดงวา5.1 ถา a ≤ b แลว a+ b = b

5.2 ถา a ≤ b และ a = 0 แลว a · b = b

9.3. จำนวนเชงอนดบท 243

9.3 จำนวนเชงอนดบทสจพจน 9.3.1 สจพจนของจำนวนเชงอนดบท (Axiom of Ordinaly)กำหนดให (A,-) เปนเซตอนดบดแลว จะไดวามจำนวนเชงอนดบทของ (A,-)

บทนยาม 9.3.2 Ordinal number กำหนดให (A,-) เปนเซตอนดบดแลว จำนวนเชงอนดบท(ordinal number) ของ (A,-) เขยนแทนดวย ord(A,-) และมสมบตดงน

ord(A,-A) = ord(B,-B) กตอเมอ

1. มฟงกชน 1-1 แบบทวถง f : A → B และ2. ถา a - b แลว f(a) - f(b)

ตวอยาง 9.3.3 จงตรวจสอบวาจำนวนเชงอนดบทใดเทากนบาง พรอมใหเหตผลประกอบ1. ({1, 2, 3},≤)

2. ({0, 1, 3, 4},≤)

3. ({2, 4, 8}, |)

4. ({∅,N1,N2,N3},⊆)


ทฤษฎบท 9.3.4 ให a, b และ c เปนจำนวนเชงอนดบท จะไดวา

1. a+ b = b+ a สมบตการสลบท (commutative)2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c สมบตการเปลยนกลม (associative)


บทนยาม 9.3.5 ให (A,-A) และ (B,-B) เปนจำนวนเชงอนดบท โดยท A ∩B = ∅ถา a = ord(A,-A) และ b = ord(B,-B) นยาม การบวก (addition) ของ a และ b ดวย a+ b

หมายถงa+ b = ord(A ∪B,-A∪B)

เมอ a -A∪B b ↔ [(a -A b ∨ a -B b) ∨ (a ∈ A ∧ b ∈ B)] ทก ๆ (a, b) ∈ A ∪B

ตวอยาง 9.3.6 จงหาผลบวกและผลคณของจำนวนเชงอนดบทของ

1. ({1, 3, 5, 7},≤) และ ({2, 4, 6},≤)

2. ({1, 2, 4}, |) และ ({5, 6, 7},≤)

3. ({∅, {1}},⊆) และ ({1, 2, 3},≤)


บทนยาม 9.3.7 ให (A,-A) และ (B,-B) เปนจำนวนเชงอนดบท โดยท A ∩B = ∅ถา a = ord(A,-A) และ b = ord(B,-B) นยาม การคณ (multiplication) ของ a และ b ดวยab หมายถง

ab = ord(A×B,-A×B)

เมอ (x1, y1) -A×B (x2, y2) ↔ [(y1 - y2) ∨ (y1 = y2) ∧ (x1 -A x2)]

ทก ๆ (x1, y1), (x2, y2) ∈ A×B

ตวอยาง 9.3.8 จงหาผลคณของจำนวนเชงอนดบทเมอ

1. ({1, 3, 5, 7},≤) และ ({2, 4, 6},≤)

2. ({1, 2, 4}, |) และ ({5, 6, 7},≤)

3. ({∅, {1}},⊆) และ ({1, 2, 3},≤)


ทฤษฎบท 9.3.9 ให a, b และ c เปนจำนวนเชงอนดบท จะไดวา

1. ab = ba สมบตการสลบท (commutative)2. a(bc) = (ab)c สมบตการเปลยนกลม (associative)


แบบฝ กหด 9.31. จงหาผลบวกและผลคณของจำนวนเชงอนดบทเมอ

1.1 ({1, 2},≤) และ ({3, 4, 5},≤)

1.2 ({1, 2, 8}, |) และ ({3, 6, 12}, |)

1.3 ({1, 2, 4}, |) และ ({∅, {∅}},⊆)

1.4 ({{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}},⊆) และ ({∅, {∅}, {∅, 1}},⊆)

2. ให a, b และ c เปนจำนวนเชงอนดบท จงแสดงวา2.1 a · (b+ c) = a · b+ a · c

2.2 ถา a = b แลว a+ c = b+ c

2.3 ถา a = b แลว ac = bc

3. กำหนดให ({1, 2, 3},≤) และ ({6, 7},≤) เปนเซตอนดบดแลว จงหาความสมพนธ t ใน(A ∪B, t) โดยท ord({1, 2, 3, 6, 7}, t) = ord({1, 2, 3},≤) + ord({6, 7},≤)

9.3. จำนวนเชงอนดบท 249บรรณานกรม

กรรณกา กวกเพฑรย . (2542). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สำนกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ฉววรรณ รตนประเสรฐ. (2536). ทฤษฎเซต. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตรคณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.

พฒน อดมกะวานช. (2559). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สำนกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

พมพเพญ เวชชาชวะ. (2558). ระบบจำนวน. กรงเทพฯ: ว.พร นท(1991).ไพโรจน เยยระยง. (2559). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สำนกพมพแหง

จฬาลงกรณมหาวทยาลย.มานะ เอกจรยวงศ. (2542). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตำราและเอกสารทางวชาการ

มหาวทยาลย สถาบนราชภฏเทพสตร ลพบร.Arthur Benjamin. (2015). Magic of math. New York: Hachette book group, Inc.Brian Clegg. (2003). A brief history of infinity. UK: CPI group (UK) Ltd.Pual Glendinning. (2012). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.


ประวตผเขยน

นายธนชยศ จำปาหวาย• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2557Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2014

• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2552M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2009

• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง),จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2549B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),Chulalongkorn University, 2006

• ปจจบนดำรงตำแหนงอาจารยประจำสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

Email: [email protected]: www.facebook.com/Jampawai

Office: 1145Block: www.eledu.ssru.ac.th/thanatyod_ja

ผลงานทางวชาการ1. เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสำหรบคร, 25592. ตำราวชาทฤษฎจำนวน, 2559

3. หนงสอความจรงทตองพสจน, 2560

ทฤษฎเซตี SetTheory...T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T...

Documents

Transcript of ทฤษฎเซตี SetTheory...T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T...