Lez6 Combinazioni variabili aleatorie - dimnp.unipi.it Didattico... · VAR x y x y. Algebra delle...
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Costruzione di macchine
Modulo di:
Progettazione probabilistica e affidabilità
Marco Beghini e Leonardo Bertini
Lezione 6:
Combinazioni di variabili aleatorie
Algebra delle variabili aleatorie 1/2
,z g x yDate due V.A. che assumono valori x e y e una funzione:
le proprietà della V.A. che assume valori z sono:
, , ,z E g x y g x y x y dxdy
22 , ,z zg x y x y dxdy
in particolare:
E x y E x E y
2 22x x y yVAR x y
2 2se scorrelate x yVAR x y
Algebra delle variabili aleatorie 2/2
Combinazioni lineari
x y x yE a x a y a E x a E y
2 2 2 22x y x x x y x y y yVAR a x a y a a a a
2 2 2 2se scorrelate x y x x y yVAR a x a y a a
Dati due paramenti deterministici non nulli: ,x ya a
Calcolo dell’affidabilità per carichi staticiEsempio 6.1Un tirante ha una resistenza definita da una V.A. S gaussiana con parametri: il carico L è anch’esso una V.A. gaussiana con parametri:determinarne l’affidabilità per una singola applicazione del carico.
30kN, 5kNS S 20kN, 6kNL L
0 20 40 600
0.05
0.1
f x
kNx
Sf x
Lf x
D S L
è la combinazione lineare di due V.A. gaussiane indipendenti
2 2,10, 5 6 ,10,7.81Df D N D N D
20 0 20 400
0.02
0.04
0.06
0.90R
D
Df D
Es. 6.1: I soluzione (1/2)
Es. 6.1: II soluzione (1/2)
Lf x Sf x
x1x 1x dx
per il carico nell’intervallo
Il contributo alla probabilità di non rottura (affidabilità) è
1 1,x x dx
1
1 1 1
1 1
L L Sx
L S
dR f x dx P S x f x dx f x dx
f x dx R x
1SR x
II soluzione (2/2)
A questo punto è necessario considerare tutte le possibilità per illivello di carico ed effettuarne la somma:
L SR dR f x R x dx
Definizioni
Safety Margin D
D
SM
è il reciproco del CV per la differenza S − L
2 2S L
S L
SM
D
Df D DF D
DDDSM
0rottura DP F 1 0DR F
Probabilità di rottura in funzione del SM
Hyp. S e L variabili aleatorie gaussiane
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10-2
0
10-4
10-6
10-8
10-10
10-12
10-14
10-16
SM
.rottP
Coefficiente di sicurezza statico?
Esempio 6.2Dati i seguenti valori di V.A. gaussiane (valori in MPa):
determinare il coefficiente di sicurezza convenzionale, il SM e la probabilità di rottura
,120,42 ; , 270,30L N x S N x
0 100 200 300 4000
0.005
0.01
0.015
x
Lf x Sf x
206MPamaxL 221MPaamS
Carico max: 98 percentile alto
Resistenza ammissibile 5 percentile basso
1.07am
max
SL
2.91; 0.81SM LR 31.83 10 0.183%rotturaP
Esempio 6.2 bisDati i seguenti valori di V.A. gaussiane (valori in MPa):
determinare il coefficiente di sicurezza convenzionale, il SM e la probabilità di rottura
,500,40 ; ,672,30L N x S N x
623 1.07582
am
max
SL
3.44; 0.80SM LR 40.291 10 0.029%rotturaP
Valori tipici di CV per resistenze meccaniche (leghe metalliche)
Resistenza CV
Ultimate stress 0.05
Yielding stress 0.07
Fatigue limit 0.10
Hardness (Brinnel) 0.05
Fracture strength (lower shelf) 0.08
Interpretazione dell’affidabilità statica (Trasformazione di Mellin)
L SR f u R u du
LX F u
SY R u L Lf u du dF u dX
R Y dX SY R
LX F1
1
R
RP
Metodo Montecarlo
• Strumento per effettuare simulazioni numeriche• Algoritmo per calcolare integrali• Permette di simulare in forma numerica situazioni complesse
Esempio Valutare la probabilità che una palla da biliardo lanciata a caso si fermi all’interno di una figura disegnata sul tavolo
• Lanciare un palla a caso significa che la posizione finale è definita da una distribuzione bivariata uniforme nel rettangolo
• Le coordinate della posizione finale della palla sono V.A. indipendenti uniformemente distribuite
• Un generatore di numeri casuali tra 0 e 1 definisce una coordinata
• L’insieme di punti che si ottengono per ripetizione della procedura si chiama campo di Poisson
• Non serve avere l’espressione analitica del contorno della figura, basta una funzione che stabilisca se il punto è dentro o fuori
• Il risultato si ottiene applicando la definizione statistica di probabilità (si prendono tantissimi punti a caso)
• Si comprende l’uso del metodo per il calcolo degli integrali
Generatori di numeri (pseudo)casuali
0 1?; mod ; /i i i ix x c a x m r x m
0m modulus
0 a m multiplier
0 c m increment
• c e m primi tra loro, • a−1 è divisibile per tutti i fattori primi di m, • a−1 è multiplo di 4 se m è multiplo 4
Esempim a c
• Numerical Recipes 232 1664525 1013904223• Borland C/C++ 232 22695477 1
Esempio 6.3Stimare con il metodo Montecarlo
4P
4P
Probabilità che il punto stia dentro lo spicchio di cerchio:
Si genera una distribuzione di Poisson di n punti e si calcola la frazione degli nint punti interni :
4 intnn
Generazione di numeri casuali con distribuzione voluta (1/2)
xdFdy dx f x dxdx
Numero di punti nell’intervallo: dy
Densità di corrispondenti valori di x: xdy f xdx
Se la densità di y è costante e pari a: 1/1 1yf y
dy
dxx
F x1
y
Generazione di numeri casuali con distribuzione voluta (2/2)
1x F y
Applicando a una V.A. distribuita uniformemente in (0,1) la funzione cumulata inversa di una distribuzione nota, si genera una V.A. con tale distribuzione
Esempio 6.3Generare n=20 valori distribuiti secondo una Weibull con parametri:
0
0
0
0
0 , , ,
1 x x
x xF x x
e x x
01, 2, 3x
yk xk
0.394 4.001
0.586 4.763
0.480 4.310
0.102 3.215
0.425 4.107
0.692 5.355
0.387 3.977
0.780 6.025
0.420 4.088
0.155 3.338
0.461 4.236
0.547 4.583
0.310 3.743
0.073 3.152
0.040 3.081
0.617 4.921
0.797 6.188
0.057 3.117
0.735 5.655
0.170 3.373
xsk
3.081
3.117
3.152
3.215
3.338
3.373
3.743
3.977
4.001
4.088
4.107
4.236
4.31
4.583
4.763
4.921
5.355
5.655
6.025
6.188
k1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14
16
17
18
19
20
Fsk
0.034
0.083
0.132
0.181
0.230
0.279
0.328
0.377
0.426
0.475
0.525
0.574
0.623
0.672
0.721
0.770
0.819
0.868
0.917
0.966
0.5k
kFsn
Esempio 6.4La sollecitazione di un elemento meccanico è definita da una V.A. di Weibull con parametri:
e la resistenza è una V.A. di Weibull con parametri:
Determinare l’affidabilità per un singolo caricamento statico.
050, 2.0, 100L L Lx
0100, 3.0, 120S S Sx
0L
L SxR f u R u du
0
min(1, )S
S
S
u x
SR u e
01
00
LL L
L
u xLL
L LL L
u xf u e u x
Soluzione con Montecarlo
1 1000 20000.9
0.95
1
R
n
Soluzione numerica in funzione della numerosità del campione di valori del metodo Montecarlo
Precisione e convergenza con Montecarlo
Indichiamo con n il numero di tentativi della simulazione e rispet.:
la probabilità teorica da calcolare e quella ottenuta con Montecarlo
, nP P
È stato dimostrato che:
1Prob 2 0.95n
P PP P
n
Oppure, equivalentemente, che con la confidenza del 95% l’incertezza relativa sulla probabilità (semiampiezza dell’intervallo relativo di previsione) è:
1 12 1nP Pe
P P n
Nel caso esaminato: 0.948P
10 100 1000 10000
0.01
0.1
0.001
e
n
Stima della semiampiezza dell’intervallo relativo di previsione
La formula mostra che l’incertezza relativa è più alta per la stima di probabilità basse (necessità di n elevati)
2000 4000 6000 8000 1 1040
0.05
0.1
e
n
Stima della semiampiezza dell’intervallo relativo di previsione: scala lineare