ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE · Le variabili aleatorie geometriche godono di una...
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ESERCITAZIONE 20 : VARIABILIALEATORIE DISCRETE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamentoDipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
30 Aprile 2013
Esercizio 1
Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valore 1 con probabilita
1/3 e −2 con probabilita 2/3. Calcola il suo valor medio E[X] e la sua
varianza V ar[X].
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 2
In un’urna ci sono 5 palline Rosse e 3 Verdi.
a) Se si estraggono a caso 2 palline senza rimessa e X rappresenta ilnumero di palline Rosse estratte determinare la distribuzione diprobabilita di X.
b) Se si estraggono a caso 2 palline con rimessa e Y rappresenta ilnumero di palline Verdi estratte determinare la distribuzione diprobabilita di Y .
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 2 - Soluzione
a) Poiche l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline SENZA rimessa ed X rappresenta ilnumero di palline Rosse estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da
p(X = 0) =3
8
2
7=
3
28
p(X = 1) = 25
8
3
7=
15
28
p(X = 2) =5
8
4
7=
5
14
b) Poiche l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline CON rimessa ed Y rappresenta ilnumero di palline Verdi estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da
p(X = 0) =
(5
8
)2
=25
64
p(X = 1) = 23
8
5
8=
15
32
p(X = 2) =
(3
8
)2
=9
64
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 3
Si lanciano 3 dadi e si considerano le seguenti variabili aleatorie discrete
a) X: somma dei punteggi dei 3 dadi;
b) Y : prodotto dei punteggi dei 3 dadi.
Calcolare il valor medio e la varianza di X e Y .
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 3 - Soluzione
a) Consideriamo 3 dadi indistinguibili e supponiamo di lanciarli simultaneamente. Lasomma dei punteggi dei 3 dadi potra assumere valori compresi tra 3 e 18.
P (X = i) = ni
(1
6
)3
,
dove i e un valore intero compreso tra 3 e 18, e ni e il numero di modi in cui si puoottenere il valore i. Ad esempio il valore 6 puo essere ottenuto come 4+1+1, 3+2+1,2+2+2.
E(X) =18∑i=3
i P (X = i) =18∑i=3
i ni
(1
6
)3
V ar(X) =18∑i=3
(i− E(X))2P (X = i)
b) Per la variabile aleatoria Y si ragiona allo stesso modo, il valore minimo ottenibile e 1,mentre il massimo 216. Naturalmente non tutti i valori tra 1 e 216 saranno esprimibilicome prodotto di 3 interi minori o uguali a 6: pensate ad esempio al numero 7.
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 4
Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l’ultima. Decidi di
provare lo stesso scegliendo a caso l’ultima cifra, disponi di un massimo di 3
tentativi. Quanti tentativi farai in media?
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 4 - Soluzione
Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabilealeatoria puo assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primotentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentreX = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre itentativi. Quindi si ha
P (X = 1) =1
10P (X = 2) =
9
10
1
9=
1
10
P (X = 3) =9
10
8
9
1
8+
9
10
8
9
7
8=
8
10
quindi il valor medio e
E(X) =1
10+ 2
1
10+ 3
8
10=
27
10
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 5
Un arciere scocca delle frecce contro un bersaglio disponendo di unmassimo di 3 tentativi. Al primo tentativo la probabilita di colpire ilbersaglio e 1/5, ma ad ogni nuovo tentativo tale probabilita raddoppiarispetto al tentativo precedente. Calcola:
a) la probabilita di colpire il bersaglio;
b) il numero medio di frecce scoccate.
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 5 - Soluzione
a) La probabilita di colpire il bersaglio e data dalla somma delle tre probabilita di colpirloal primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilita di colpirlo alprimo colpo vale 1/5; la probabilita di colpirlo al secondo vale (4/5) (2/5) = 8/25 (noncolpisce al primo colpo e ha probabilita doppia di colpirlo al secondo); la probabilita dicolpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non colpisce al primo colpo, noncolpisce al secondo e ha probabilita doppia, rispetto al secondo tentativo, di colpirlo alterzo). La probabilita cercata e quindi
P =1
5+
8
25+
48
125=
113
125
b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X e una variabile aleatoriadiscreta che puo assumere i valori 1, 2, 3; calcoliamo le rispettive probabilita (ricorda chesi scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non lo sicolpisca):
P (X = 1) =1
5P (X = 2) =
8
25P (X = 3) = 1−
1
5−
8
25=
12
25
Il valor medio e allora
E[X] = 11
5+ 2
8
25+ 3
12
25=
57
25
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie discrete
Binomiale (o bernoulliana)Sia E un evento con probabilita p, e consideriamo la v.a. X che conta ilnumero di volte che E si e verificato in n esperimenti.
P (X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k
E(X) = n p
V ar(X) = n p (1− p) DS(X) =√V ar(X) =
√n p (1− p)
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie discrete
Distribuzione di PoissonSupponiamo di conoscere il numero medio di eventi µ che accadono in undato intervallo di tempo ed indichiamo con X la v.a. che conta il numero dieventi accaduti nel fissato intervallo di tempo per il fenomeno (di Poisson)in esame.
P (X = k) =µk
k!e−µ
E(X) = µ
V ar(X) = µ DS(X) =√V ar(X) =
õ
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie discrete
Distribuzione geometricaSia E un evento con probabilita p che chiamiamo “successo” e supponiamodi ripetere delle prove. Consideriamo la v.a. X che conta il numero di provenecessarie ad ottenere il primo successo.
P (X = k) = (1− p)k−1 p
E(X) =1
p
V ar(X) =1− pp2
DS(X) =√V ar(X) =
√1− pp2
Le variabili aleatorie geometriche godono di una proprieta rilevante, detta
assenza di memoria: se nei primi n tentativi non e stato ottenuto alcun
successo, la probabilita di dover attendere altri m tentativi prima del primo
successo non dipende da n.
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 6
In una serie di 15 prove una variabile aleatoria X con distribuzione
binomiale ha valor medio E(X) = 3. Quanto vale la sua varianza V ar(X)?
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 6 - Soluzione
Se una variabile aleatoria discreta X ha una distribuzione binomiale allora
E(X) = n p e V ar(X) = n p (1− p) ,
dove n e il numero delle prove e p il parametro della binomiale che rappresenta unaprobabilita. Dai dati dell’esercizio e dalle precedenti relazioni segue che
p =E(X)
n=
3
15=
1
5,
da cui
V ar(X) = 151
5
4
5=
12
5
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 7
In un sacchetto ci sono 8 biglie rosse, 2 gialle e 10 blu. Si estrae con rimessaper 5 volte. Calcola la probabilita di estrarre:
a) esattamente 4 rosse;
b) almeno 1 rossa.
c) Quante palline gialle saranno estratte in media?
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Esercizio 7 - Soluzione
Si hanno 20 palline in totale quindi
P (R) =8
20P (G) =
2
20P (B) =
10
20
a)
P (4R) =
(54
) (8
20
)4 ( 12
20
)
b)
P (almeno 1R) = 1− P (0R) = 1−(
12
20
)5
c) Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di palline gialleestratte: poiche l’estrazione e con rimessa, X ha una distribuzione binomiale conp = P (G) = 2/20 e n = 5, quindi
E[X] = n p =1
2
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 8
Scegliendo a caso tra tutte le parole di 6 lettere formate da un alfabetocomposto dalle sole lettere A,C,G,T calcola:
a) la probabilita di ottenere la parola AACGTA;
b) scegliendo a caso con rimessa, quante estrazioni dovrai fare in mediaper veder comparire questa parola?
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 8 - Soluzione
a) La probabilita di ottenere la parola AACGTA e
p =1
46
dove a denominatore c’e il numero di possibili parole di 6 lettere formate con l’alfabetodi 4 lettere in questione.
b) Indicando con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di estrazioni pervedere estratta la parola in questione, e facile notare che X ha una distribuzionegeometrica e quindi il suo valor medio vale E[X] = 1/p = 46.
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 9
Sia data una variabile aleatoria X. Sapendo che E[X] = 4 e E[X2] = 20
calcola la deviazione standard di X ed il valor medio della variabile
aleatoria (2 + 4X)2.
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 9 - Soluzione
La varianza di X puo essere ottenuta dalla relazione
V ar[X] = E[X2]− (E[X])
2= 20− 16 = 4
quindi la sua deviazione standard vale
σ[X] =√V ar[X] =
√4 = 2
Per calcolare il valor medio di (2 + 4X)2 si utilizzano le proprieta di linearita del valor medio ele informazioni a disposizione:
E[(2 + 4X)2] = E[4 + 16X + 16X
2] = E[4] + E[16X] + E[16X
2] =
4 + 16E[X] + 16E[X2] = 4 + 64 + 320 = 388
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 10
Sapendo che la probabilita di avere un figlio maschio in Italia vale
p ' 51.35%, quanti figli ti aspetti di dover fare in media per avere un figlio
maschio?
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete
Esercizio 11
In un gioco a premi investi 50 euro sapendo che hai una probabilita del 8%
di vincere 500 euro, una probabilita del 12% di vincere 100 euro, una
probabilita del 20% di vincere 50 euro ed una probabilita del 60% di non
vincere niente. Ti aspetti, in media, di guadagnare o perdere giocando?
Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete