Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

บทท�� 2 เวกเตอร์� (Vector)

เนื้��อหาปร์ะกอบด้�วย2.1 ระบบพิ�ก�ด2.2 เวกเตอร�2.3 สิ�วนประกอบของเวกเตอร�2.4 การบวกเวกเตอร�2.5 เวกเตอร�ต�าแหน�ง2.6 การคู�ณเวกเตอร�

เวกเตอร�เป�นเคูร� องมื�อทางคูณ�ตศาสิตร�อย่�างหน% ง ซึ่% งด�เหมื�อนไมื�มื(คูวามืจำ�าเป�นแตเป�นเคูร� องมื�ออย่�างแรกท( ต*องใช้* อย่�างไรก-ตามืในการศ%กษาทางฟิ�สิ�กสิ�เวกเตอร�เป�นเคูร� องมื�อท( มื(คูวามืสิ�าคู�ญ เพิ� อช้�วย่ในอ�านวย่คูวามืสิะดวกในการคู�านวณ

2.1 ร์ะบบพิ�ก�ด้ (แกนื้อ�างอ�ง)

ระบบพิ�ก�ดมื(คูวามืสิ�าคู�ญเพิ� อช้�วย่ในการว�ดมื(คูวามืหมืาย่ เช้�นอ(ก 800 m ถึ%งอาคูารว�ทย่าศาสิตร�เป�นการบอกท( ไมื�สิมืบ�รณ� เน� องจำากไมื�ทราบว�าเร� มืต*นท( ต�าแหน�งใด

ด�งน�1นในการก�าหนดระบบพิ�ก�ดต*องทราบก. จำ2ดเร� มืต*นข. ช้น�ดของระบบพิ�ก�ด (พิ�ก�ดฉาก ; พิ�ก�ดเช้�งข�1ว ; พิ�ก�ดทรงกระบอก)

คู. ท�ศตามืแกน

ร์ะบบพิ�ก�ด้แบบมาตร์ฐานื้ในื้ 2 ม�ต�ได*แก�ระบบพิ�ก�ดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิ�ก�ดเช้�งข�1ว (Polar)

ร�ปท( 2.1 แสิดงระบบพิ�ก�ดใน 2 มื�ต�

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

13

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ต�วอย�างท�� 2.1 จำงหาระบบพิ�ก�ดเช้�งข�1วของจำ2ด ด�งร�ปท( 2.2

ว�ธี�ท!า จำากทฤษฎี(พิ�ธากอร�สิ

= =

=

=

=

ร�ปท( 2.2

ร์ะบบพิ�ก�ด้แบบมาตร์ฐานื้ในื้ 3 ม�ต�ได*แก�ระบบพิ�ก�ดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิ�ก�ดทรงกระบอก (Cylindrical) และ

ระบบพิ�ก�ดทรงกลมื (Spherical)

ร�ปท( 2.3

ระบบพิ�ก�ดฉากใน 3 มื�ต�

2.2 เวกเตอร์�สิเกลาร� : ปร�มืาณท( มื(เฉพิาะขนาดอย่�างเด(ย่วเวกเตอร� : ปร�มืาณท( มื(ท�1งขนาดและท�ศทาง

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

14

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ต�วอย�างท�� 2.2 น�กศ%กษาคูนหน% งเด�นทางไปทางท�ศตะว�นออกเฉ(ย่งไปทางเหน�อได*ระย่ะทาง ด�งร�ปท( 2.4 ขวามืมื�อ จำงเข(ย่นร�ปแสิดงการเด�นทางในร�ปของเวกเตอร�

ว�ธี�ท!า เราสิามืารถึเข(ย่นให*อย่��ในร�ปของ

เวกเตอร�ได*ด�งร�ปท( 2.4 ทางซึ่*าย่มื�อ เมื�อคูวามืย่าวของล�กศรแทนขนาดของเวกเตอร�มื(คู�าเท�าก�บ (โดย่ใช้*มืาตราสิ�วน )

ห�วล�กศรแสิดงท�ศทางของเวกเตอร�

ร�ปท( 2.4

ข้�อสั�งเกต$ เวกเตอร�สิามืารถึเล� อนออกจำากจำ2ดเร� มืต*นได* โดย่ขนาดและท�ศทางคูงท( การเข(ย่นเวกเตอร�ด�งร�ปท( 2.4 เป�นการไมื�สิะดวกเราสิามืารถึเข(ย่นใหมื�ได*เป�น ท�า

มื2มื ก�บแกน ในหน�งสิ�อเล�มืน(1จำะแทนเวกเตอร�ด*วย่

2.4 สั�วนื้ปร์ะกอบข้องเวกเตอร์�ต�วอย�างท�� 2.3 น�กศ%กษาคูนหน% งเด�นทางไปทางท�ศตะว�นออกเฉ(ย่งไปทางท�ศเหน�อได*ระย่ะทาง

ด�งร�ปท( 2.5 จำงหาระย่ะทางท( เขาเด�นทางได*ในท�ศเหน�อและท�ตะว�นออก

ว�ธี�ท!า เปล( ย่นจำากระบบพิ�ก�ดเช้�งข�1วเป�นระบบพิ�ก�ดฉากจำากร�ปท( 2.5 จำะได*

==

= ท�ศเหน�อ==

= ท�ศตะว�นออกสิ�วนของเวกเตอร� บนแกน และ เราเร(ย่กว�า

"สั�วนื้ปร์ะกอบ" ของเวกเตอร�

ร�ปท( 2.5

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

15

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

เวกเตอร์�หนื้%�งหนื้�วย คู�อเวกเตอร�ท( มื(ขนาด 1 หน�วย่ และมื(ท�ศทางตามืเวกเตอร�ท( พิ�จำารณา เช้�น ให* เป�นเวกเตอร�ท( มื(ขนาดเท�าก�บ และ เป�นเวกเตอร�หน% งหน�วย่ ท( มื(ท�ศเด(ย่วก�บเวกเตอร� ด�ง

ร�ปท( 2.6

=

หร�อเข(ย่นใหมื�ได*เป�น=

ร�ปท( 2.6

ด�งน�1นในระบบพิ�ก�ดแกนมื2มืฉาก เวกเตอร�หน% งหน�วย่แทนด*วย่ มื(ขนาด 1 หน�วย่ท�ศตามืแกน มื(ขนาด 1 หน�วย่ท�ศตามืแกน มื(ขนาด 1 หน�วย่ท�ศตามืแกน

โดย่เวกเตอร�ท�1งสิามืต�1งฉากซึ่% งก�นและก�น และเวกเตอร�ท�1งสิามืจำะเร(ย่งก�นในท�ศทวนเข-มืนาฬิ�กาจำากต�วอย่�างท( 2.3 คู�าตอบท( ได*สิามืารถึเข(ย่นใหมื�ได*เป�น

เป�นการเข(ย่นในร�ปแบบมืาตรฐานซึ่% งมื(คูวามืสิะดวกมืากเมื� อน�าไปใช้*ในการบวกและการคู�ณเวกเตอร�ร�ปแแบบท� ว ๆ ไปของเวกเตอร�เข(ย่นได*ด�งน(1 เมื� อ คู�อสิ�วนประกอบ

บนแกน ของ ; คู�อสิ�วนประกอบบนแกน ของ ; คู�อสิ�วนประกอบบนแกน ของ เป�นเวกเตอร�ใน 3 มื�ต�

สั�วนื้ปร์ะกอบข้องเวกเตอร์�ในื้ 3 ม�ต�

ถึ*า อย่��บนระบบพิ�ก�ดฉาก ; ;

โดย่ท( ท�ามื2มื ; ; ก�บแกน ;

และ ตามืล�าด�บ ด�งร�ปท( 2.7

สิ�วนประกอบของ บนระนาบ และ คู�อ

=

=

เพิราะว�า =

แต� =

=

=

ร�ปท( 2.7

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

16

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ท�ศทางของเวกเตอร� หาได*โดย่ใช้*โคูไซึ่น�บอกท�ศ (direction cosine) โดย่ท(

; ; เมื� อ

ด�งน�1นสิ�วนประกอบของ บนแกน ; และ เข(ย่นใหมื�ได*เป�น=

=

2.4 การ์บวกเวกเตอร์� เวกเตอร� สิามืารถึหาได*จำากสิ�วนประกอบของเวกเตอร�

เข*าด*วย่ก�นแสิดงด�งร�ปท( 2.8 เมื� อ

การบวกเวกเตอร�ท�าได*โดย่การน�าหางของเวกเตอร�ต�วท( สิอง ต�อเข*าก�บห�วของเวกเตอร�อ�นแรก สิ�วน ได*จำากการลากจำากหางของเวกเตอร�อ�นแรกไปย่�งห�วเวก

เตอร�ต�วท( สิอง

ร�ปท( 2.8 แสิดงการบวกเวกเตอร�

ต�วอย�างท�� 2.4 จำงหาระย่ะการกระจำ�ดท�1งหมืดของน�กศ%กษาคูนหน% งซึ่% งเด�นทางไปทางท�ศตะว�นออกเฉ(ย่งไปทางเหน�อได*ระย่ะทาง จำากน�1นเด�นทางไปทางท�ศตะว�นออก ด�งร�ปท( 2.9

ว�ธี�ท!า จำากต�วอย่�างท( 2.3 ระย่ะการกระจำ�ดคูร�1งแรกคู�อ=

ระย่ะการกระจำ�ดคูร�1งท( 2

=คู�าตอบท( ได*คู�อเวกเตอร� ซึ่% งเราเร(ย่กว�า ผลล�พิธี� ผลล�พิธ�ท( ได*น(1สิามืารถึหาได*ด�งน(1

ร�ปท( 2.9

ก. เข้�ยนื้ร์(ป โดย่การก�าหนดมืาตราสิ�วนแล*วน�ามืาเข(ย่นร�ปผลล�พิธ�ท( ได* หาได*โดย่การว�ดด�งร�ปท( 2.9

ข้. ว�ธี�คำ!านื้วณ โดย่การแย่กองคู�ประกอบของ และ ลงบนบนแกน และแกน จำากน�1นน�าองคู�ประกอบในแต�ละแกนมืารวมืก�น

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

17

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

องคู�ประกอบบนแกน ของเวกเตอร� หาได*จำากการน�าองคู�ประกอบบนแกน ของ และ มืาบวกก�น

=

==ในท�านองเด(ย่วก�นองคู�ประกอบบนแกน ของเวกเตอร� หาได*จำากการน�าองคู�ประกอบบนแกน

ของ และ มืาบวกก�น=

==

ร�ปท( 2.10

คำ. ใช้�เวกเตอร์�หนื้%�งหนื้�วยเมื� อ =

=

จำ�ดร�ปใหมื�=

=

จำากคู�าตอบท( ได*ในข*อ ข. และ ข*อ คู. เราสิามืารถึหาผลล�พิธ�ได*โดย่ใช้*พิ�ธากอร�สิ และอาศ�ย่ฟิ>งก�ช้� นทางตร(โกณมื�ต�จำากสิามืเหล( ย่มืมื2มืฉากด�งร�ปท( 2.11 จำากว�ธ(คู�านวณจำะสิ�งเกต2เห-นว�าเมื� อเข(ย่นอย่��ในร�ปของเวกเตอร�หน% งหน�วย่ท�าให*เราสิามืารถึหาผลล�พิธ�ได*สิะดวกย่� งข%1น

=

==

=

=

= ก�บแกน

ร�ปท( 2.11

นอกจำากน(1ปร�มืาณเวกเตอร�ได*แก� การกระจำ�ด คูวามืเร-ว คูวามืเร�ง แรง โมืเมืนต�มื ทอร�คู น�1าหน�กเป�นต*น

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

18

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ต�วอย�างท�� 2.5 รถึย่นต�คู�นหน% งว� งไปทางท�ศเหน�อด*วย่คูวามืเร-ว จำากน�1นเล(1ย่วไปทางท�ศตะว�นตกและว� งด*วย่คูวามืเร-ว ด�งร�ปท( 2.12 จำงหาการเปล( ย่นแปลงคูวามืเร-วของรถึย่นต�

ว�ธี�ท!า จำากร�ปท( 2.12 เมื� อน�ามืาเข(ย่นในร�ปของเวกเตอร�หน% งหน�วย่

=

=

ร�ปท( 2.12

แต�อ�ตราการเปล( ย่นแปลงคูวามืเร-วคู�อ=

=

น� นคู�อการลบเวกเตอร� เป�นการบวกเวกเตอร�ในท�ศตรงก�นข*ามืคู�อ เมื� อน�าร�ปมืาเข(ย่นใหมื�ได*ด�งร�ปท( 2.13 ด�งน� นอ�ตราเร-วเมื� อเข(ย่นอย่��ในร�ปของเวกเตอร�หน% งหน�วย่

=

=

ร�ปท( 2.13

เราสิามืารถึหาขนาดและท�ศทางของ ได*ด�งน(1

=

=

=

ร�ปท( 2.14

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

19

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

=

=

= ก�บแกน ด�งร�ปท( 2.14

2.5 เวกเตอร์�ต!าแหนื้�งเวกเตอร�ต�าแหน�ง คู�อเวกเตอร�ท(บอกต�าแหน�งของว�ตถึ2เมื� อเท(ย่บก�บจำ2ดใดจำ2ดหน% งด�งร�ปท(

2.15

ร�ปท( 2.15 แสิดงเวกเตอร�ต�าแหน�ง

จำากร�ปท( 2.15 เด-กผ�*หญ�ง นาย่พิราน ผ�*ช้าย่ และนกต�วท( บ�น สิ�งเกต2นกต�วท( เกาะอย่��บนต*นไมื*โดย่เท(ย่บก�บต�วเอง เช้�น เป�นเวกเตอร�บอกต�าแหน�งของผ�*ช้าย่เท(ย่บก�บนกต�วท( เกาะอย่��บนต*นไมื* หร�อ เป�นเวกเตอร�บอกต�าแหน�งของนกต�วท( บ�นเท(ย่บก�บนกต�วท( เกาะบนต*นไมื*

ต�าแหน�งของนกท( เกาะอย่��บนต*นบนไมื*จำะอย่��ท( ต�าแหน�งต�างก�นเมื� อผ�*สิ�งเกตต�างก�นด�งน�1น ด�งน�1นเพิ� อหล(กเล( ย่งป>ญหาด�งกล�าวการบอกเวกเตอร�ต�าแหน�ง จำ%งก�าหนดจำ2ดใดจำ2ดหน% งเป�นจำ2ดเปร(บย่เท(ย่บ ไมื�ว�าใคูรจำะเป�นผ�*สิ�งเกตก-ให*ใช้*จำ2ดเปร(ย่บเท(ย่บจำ2ดเด(ย่วก�น แสิดงด�งร�ปท( 2.16

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

20

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ร�ปท( 2.16 เวกเตอร�ต�าแหน�งของจำ2ด และจำ2ด

จำากร�ปท( 2.16 ให* และ เป�นเวกเตอร�ต�าแหน�งของจำ2ด (ผ�*ช้าย่) อย่��ท( ต�าแหน�ง และ (นกเกาะท( ต*นไมื*) อย่��ท( ต�าแหน�ง เมื� อเท(ย่บก�บจำ2ด (เด-กผ�*

หญ�ง) อย่��ท( ต�าแหน�ง จำะได*= ( มือง )

=

=

= ( มือง )

=

=

อาศ�ย่การบวกเวกเตอร�โดย่การเข(ย่นร�ปจำะได*=

= ( มือง )

= (ต�าแหน�งสิ2ดท*าย่ลบต�าแหน�งต�1งต*น)

ต�วอย�างท�� 2.6 จำากร�ปท( 2.17 เวกเตอร� มื(ขนาด 100 หน�วย่ โดย่แนวของเวกเตอร� ผ�านจำ2ด หน�วย่ เวกเตอร� มื(ขนาด 25 หน�วย่บนแกน และเวกเตอร� มื(ขนาด 50

หน�วย่บนแกน จำงหา

ว�ธี�ท!า คู�านวณโดย่ใช้* เวกเตอร์�หนื้%�งหนื้�วย (unite vector)

สิมืมืต�ให* อย่��ท( จำ2ด

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

21

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

= และ=

ร�ปท( 2.17

=

=

= = หน�วย่= หน�วย่

แต� = = หน�วย่

ด�งน�1น = =

หน�วย่=

=

=

คู�านวณโดย่ใช้*โคำไซนื้�บอกท�ศ (direction cosine)

=

=

= = หน�วย่= หน�วย่

เมื� อ =

=

แต� = = หน�วย่

= = หน�วย่

= = หน�วย่

จำากโจำทย่� = หน�วย่

ด�งน�1น = หน�วย่

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

22

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

=

=

=

2.6 การ์คำ(ณเวกเตอร์�การคู�ณเวกเตอร�มื( 2 ช้น�ดได*แก�

ก. ผลคู�ณท( ได*เป�นปร�มืาณสิเกลาร� เร(ย่กว�าผลคู�ณแบบดอท (dot product) หร�อผลคู�ณสิเกลาร� (scalar product)

ข. ผลคู�ณท( ได*เป�นปร�มืาณเวกเตอร� เร(ย่กว�าผลคู�ณแบบคูรอสิ (cross product) หร�อผลคู�ณเวกเตอร� (vector)

ให* =

=

ผลคำ(ณสัเกลาร์� : =

= (เพิราะว�า และ )

ร�ปท( 2.18

เมื� อ และ คู�อขนาดของเวกเตอร� และ คู�อมื2มืระหว�างเวกเตอร� และ เมื� อ

จำากร�ปท( 2.18 เงาของ บน คู�อ และ เงาของ บน คู�อ น� นคู�อผลคู�ณสิเกลาร�คู�อการคู�ณเวกเตอร�ก�บเงาของอ(กเวกเตอร�หน% ง

ผลคำ(ณเวกเตอร์� : =

=

เมื� อ คู�อเวกเตอร�ผลล�พิธ�ท�ศของเวกเตอร� หาได*โดย่ใช้*กฎีมื�อขวาเมื� อ แสิดงด�งร�ปท( 2.19 เพิ� อคูวามืสิะดวกในการคู�านวณเราสิามืารถึหาผลคู�ณแบบเวกเตอร�ได*โดย่ใช้*เมืตร�กซึ่�

=

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

23

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ร�ปท( 2.19

=

=

การพิ�จำาณาเคูร� องหมืาย่ผล คู�ณเวกเตอร�พิ�จำารณาโดย่การต�1งแกนแบ�งคูร% งท�1งสิองข*างให*เท�าก�นคู�าทางซึ่*าย่ เคูร� องหมืาย่ลบ คู�าทางขวาเคูร� องหมืาย่บวกตามืระบบแกน

หร�อการพิ�จำาณาเคูร� องหมืาย่ผลคู�ณเวกเตอร�ด�งร�ปท( 2.20 ท�ศทวนเข-มืเคูร� องหมืาย่บวก ท�ศตามืเข-มืเคูร� องหมืาย่ลบเมื� อ

; ; ; ; ;

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

24

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

ร�ปท( 2.20 ต�วอย�างท�� 2.6 พิ�จำารณาเวกเตอร� และ จำงหา

ก. ผลคู�ณสิเกลาร�ข. ผลคู�ณเวกเตอร�คู. มื2มืระหว�างเวกเตอร�ท�1งสิอง

ว�ธี�ท!าก. =

==

ข. =

= =

=

=

ผลคู�ณแบบเวกเตอร� มื(ขนาด หน�วย่ ท�ศตามืแกน

คู. =

=

=

=

=

สัร์$ประบบพิ�ก�ดฉาก มื(คูวามืสิ�าคู�ญ และใช้*ในการระบ2ต�าแหน�งเวกเตอร� แสิดงต�าแหน�งและท�ศทางสิ�วนประกอบเวกเตอร� : และ

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

25

Physics 1 - ฟิ�สิ�กสิ� 1

เวกเตอร�หน% งหน�วย่ : การบวกเวกเตอร� : เมื� อ และ ผลคู�ณสิเกลาร� :

ผลคู�ณเวกเตอร� : =

ผศ. เสิมืา สิอนประสิมื ภาคูว�ช้าฟิ�สิ�กสิ� คูณะว�ทย่าศาสิตร� มืหาว�ทย่าล�ย่ร�งสิ�ต

26