Les PYRAMIDES

I Vocabulaire1) Utilisation du vocabulaire :

c) Complète les phrases suivantes avec les mots: parallèles - perpendiculaire(s) ou orthogonales.

� Les droites (BC) et (FG) sont…… parallèles …………………….

� Les droites (BC) et (AE) sont … orthogonales ………………………..

� Les droites (BC) et (BF) sont ……… perpendiculaires ……………….……

� Les droites (AB) et ( AE) sont ……… perpendiculaires car ABFE est un rectangle…………..

� Les droites (AB) et (AD) sont … perpendiculaire car ABCD est un rectangle…………...

� La droite (AB) est … perpendiculaire ………. au plan (ADI).

d) Que représente la longueur AB pour le prisme droit ?

……la longueur AB est la hauteur du prisme droit…………………………………………………………

2) Définitions :

Deux droites sont orthogonales lorsqu’ils existent une parallèle à l’une, perpendiculaire à l’autre.

Une droite (d) est perpendiculaire à un plan (P) signifie que (d) est orthogonale à toutes droites du plan (P).

3) Propriété :

Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est perpendiculaire au plan.

II Définitions et exemples1) La pyramide : vocabulaire

Le dessin ci-contre représente un prisme droit Seuls lesangles DAE et AEH sont droits dans le polygone ADIHE.

a) Que représentent les faces ADIHE et BCJGF pour ceprisme droit?

…ceux sont les bases…(elles sont superposables)…………

b) Quelle est la nature du quadrilatère DCJI ? Pourquoi ?

…DCJI est un rectangle car les faces latérales des prismesdroits sont des rectangles……………………………

……………………………………………………………

……………………………………………………………

A

B C

D J

I

HE

GF

Définition : Une pyramide est un solide dont :

- une face est un polygone appelé …base………

- toutes les autres faces sont des …triangles………

ayant un …sommet……… commun :

le …sommet….. de la pyramide

sommet

Arête latérale

Face latérale

Arête de base

Base polygonale

2) La hauteur de la pyramide :

Définition : La hauteur d'une pyramide est …la droite passant par le sommet de la pyramide et perpendiculaire

au plan de base….(Elle n'est pas obligatoirement située à l'intérieur de la pyramide)

Définition : le point d'intersection de la hauteur de la pyramide et du plan de base est appelé …le pied de la

hauteur ………. de la pyramide ( ici c'est le point H).

Remarque : le segment [FH] et la longueur FH sont aussi appelés la hauteur de la pyramide.

III Patron d'une pyramide1) Exercice type 1 :On considère une pyramide à base carrée et dont toutes lesfaces sont des triangles équilatéraux.On donne pour longueur :

la mesure d’un côté du carré : 5 cmDans ce type de pyramide où les arêtes latérales ont la mêmelongueur, on pourra remarquer que la hauteur issue dusommet passe par le centre du carré : on parle de pyramiderégulière à base carrée.

Trace le patron de cette pyramide.

2) Exercice type 2 :On considère une pyramide à base rectangulaire et dont toutesles faces sont des triangles isocèles.On donne pour longueurs :

Les mesures du rectangle sont 4 cm et 2 cmla mesure d’un de deux côtés égaux du triangle

isocèle : 6 cm

Trace le patron de cette pyramide.

3) Exercice type 3 :

On considère une pyramide à base triangulaire et dont unearête latérale est la hauteur de la pyramide.On donne pour longueurs : Les mesures du triangle de base sont 4 cm , 6 cm et 3 cm la hauteur : 5 cm

Trace le patron de cette pyramide.

F

U I

R T

H

T

RU

C

H

Demander qu’un brouillon soit tracé et codé avant le dessin et coller le dessin par la base

hauteur

Pied de la hauteur

hauteur

Pied de lahauteur

IV Volume de la pyramide1) Introduction :Tu vas construire trois pyramides en pliant trois patrons identiques à celui-ci :

Dispose ses trois pyramides de façons à obtenir un cube.

Calcule le volume de ce cube :

………Vcube= côté × côté × côté = a × a × a = a3 = 53 = 125 cm3 ………

Déduis-en le volume d’un de ses pyramides :

…�� = 1253

� 41,6666 cm3 ……………………………

On va maintenant regarder une seule de ses pyramides :

- soit h sa hauteur : que vaut � ? ……. � = 5 cm ….

- soit B l’aire de sa base : que vaut � ? …….. � = côté × côté = a² = 5² = 25

- que vaut � × � ? …… � × � = 25 × 5 = 125

- par combien faut-il diviser � × � pour obtenir son volume ? …..par 3 …..

On en conclut que le volume de cette pyramide se calcule en effectuant � = � × �

3

2) Propriété :

Une unité de longueur étant choisie, le volume � d'une pyramide dont � est l'aire de la base et � la hauteurest :

3) Exercice type 4 :La pyramide du Louvre est une pyramide régulièreà base carrée de côté 34 m et de hauteur 21 m.

Calcule le volume de cette pyramide

Aire de la base carrée :Côté × côté = 34 × 34

= 342

=1156

Longueur arête latérale :

1) longueur diagonale de la base carrée : pythagore : � 48 m

2) longueur arête : pythagore � 32 m

�����

���� × � =

� × ��

��

Volume de la pyramide :

V = 13

B × h

= 13

1156 × 21

= 8092le volume de la pyramide du Louvre est de 8092 m3