Lekcija 1: Brojevni izrazi · 2019. 6. 6. · Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim...

Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19

1 www.skripteekof.com/matematika

Lekcija 1: Brojevni izrazi

Pregled lekcije

U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:

osnovni pojmovi o razlomcima – proširivanje, skraćivanje, upoređivanje;

zapis razlomka u okviru mešovitog broja i decimalnog broja;

operacije sa razlomcima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;

operacije sa decimalnim brojevima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;

prioritet računskih operacija – tzv. „ZEMDOS“.

Uvod

U okviru prve lekcije ponovićemo neka osnovna pravila za izračunavanje vrednosti

brojevnih izraza, od kojih ste većinu zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću

vam i linkove pojedinih video zapisa. Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma

primerenom nivou i uz visoki kvalitet izrade (www.rajak.rs).

1. Uvod u razlomke

Link: http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/peti-razred-osnovne-skole/razlomci-ponavljanje-gradiva-1-

584.html

Ono što je potrebno da obnovite za kolokvijum i ispit je sledeće:

1) Proširivanje razlomaka

Razlomak proširujemo tako što pomnožimo i brojilac i imenilac istim brojem.

Primer.

(množimo sa 2 i gore i dole)

2) Skraćivanje razlomaka

Razlomak skraćujemo tako što podelimo i brojilac i imenilac istim brojem.

Primer.

(delimo sa 2 i gore i dole)

3) Upoređivanje razlomaka

Funkcioniše suprotno od celih brojeva. Na primeru pozitivnih brojeva, 3 < 5, međutim 1/3

> 1/5. Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim -1/3 < -1/5.

Možete nacrtati ove vrednosti na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli suštinu.

http://www.rajak.rs/http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/peti-razred-osnovne-skole/razlomci-ponavljanje-gradiva-1-584.htmlhttp://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/peti-razred-osnovne-skole/razlomci-ponavljanje-gradiva-1-584.html

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi

www.skripteekof.com/matematika 2

4) Zapis u obliku mešovitog broja

Ukoliko razlomak sadrži više od „jednog celog“ (što znači da mu je brojilac veći od

imenioca. tj. „ono iznad crte“ je veće od „onoga ispod crte“), onda razlomak možemo

zapisati u obliku mešovitog broja.

Primer.

(jedan ceo je

i ostaje nam

)

(dva cela je

i ostaje nam

)

5) Zapis u obliku decimalnog broja

Razlomak možemo uvek zapisati u obliku decimalnog broja, tako što podelimo brojilac

(„ono iznad crte“) sa imeniocem („onim ispod crte“).

Primer.

2. Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Link: https://www.youtube.com/watch?v=pXtYb8kz2hI

Razlomke sabiramo i oduzimamo tako što ih svodimo na zajednički imenilac - drugim

rečima, cilj nam je da svim razlomcima koje sabiramo ili oduzimamo "broj ispod crte" bude

jednak.

Primer.

Izračunaj vrednost izraza

.

(proširićemo prvi razlomak sa 2)

(sad možemo da saberemo brojioce)

(možemo da skratimo rezultat sa 10)

(ovo je naš konačan rezultat)

https://www.youtube.com/watch?v=pXtYb8kz2hI



3. Množenje razlomaka

Link: https://www.youtube.com/watch?v=UlbLVvgF108

Razlomke množimo vrlo jednostavno - brojilac množimo sa brojiocem (ono iznad

razlomačke crte), a imenilac množimo sa imeniocem (ono ispod razlomačke crte). Naravno,

razlomke možemo da kratimo kako bismo olakšali postupak, ukoliko je to moguće.

Primer.


.

(množimo gore sa gore, dole sa dole)

(možemo da skratimo rezultat sa 2)


4. Deljenje razlomaka

Link: https://www.youtube.com/watch?v=NsyIDc_GsCM

Deljenje razlomaka svodi se na množenje razlomaka. Samo je potrebno da zamenimo

mesta brojioca i imenioca kod razlomka sa kojim delimo, tj. deliocem (tzv. recipročna

vrednost razlomka).

Primer.


.

(svedimo prvo ovo deljenje na množenje)

(sad primenjujemo množenje)

(možemo da skratimo sa 10)


BITNA NAPOMENA

Recipročna vrednost razlomka

je

. Samo smo zamenili mesta brojiocu i imeniocu.

https://www.youtube.com/watch?v=UlbLVvgF108https://www.youtube.com/watch?v=NsyIDc_GsCM



5. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva

Link: https://www.youtube.com/watch?v=1tmYbs0nF4U

Decimalne brojeve sabiramo i oduzimamo tako što ih potpišemo pa prosto

sabiramo/oduzimamo jedinice sa jedinicama, desetice sa deseticama, stotine sa stotinama,

kao i svaku decimalu sa odgovarajućom decimalom.

Primer.

Izračunaj vrednost izraza .

5, 6 5

3, 4 4

2, 2 1

Vrednost zadatog izraza je 2,21.

6. Množenje decimalnih brojeva

Link: https://www.youtube.com/watch?v=raghCQcRrRs

Množenje decimalnih brojeva svodi se na množenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da

pazite na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.

7. Deljenje decimalnih brojeva

Link: https://www.youtube.com/watch?v=aCme1ucBTIM

Deljenje decimalnih brojeva svodi se na deljenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da pazite

na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.

8. Prioritet računskih operacija

Link: https://www.youtube.com/watch?v=D3M0tNNJ3-4

Bitno je da zapamtite kakav je redosled izvođenja računskih operacija u matematici, a pri

tome vam može pomoći sledeća skraćenica: ZEMDOS.

1. Z = zagrade

2. E = eksponenti (stepenovanje, korenovanje)

3. M = množenje i D = deljenje (s leva na desno)

4. O = oduzimanje i S = sabiranje (s leva na desno)

https://www.youtube.com/watch?v=1tmYbs0nF4Uhttps://www.youtube.com/watch?v=raghCQcRrRshttps://www.youtube.com/watch?v=aCme1ucBTIMhttps://www.youtube.com/watch?v=D3M0tNNJ3-4



Primer.

Izračunaj vrednost izraza ( ) .

( ) (prvo zagrade)

(sad eksponenti)

(sad množenje i deljenje)

(sad oduzimanje i sabiranje)


Link za dodatnu vežbu

Link: https://www.youtube.com/watch?v=RUQFqRH64HU

Rešeni kolokvijumski zadaci

1. Izračunati vrednost sledećeg izraza:

(

)

Rešenje sa postupkom:

Pretvaramo sve u razlomke kako bismo olakšali postupak izračunavanja vrednosti izraza.

(

)

Potom, sređujemo izraz tako što skraćujemo razlomke gde to možemo da učinimo:

(

)

Sada možemo operaciju deljenja da zamenimo operacijom množenja, koristeći recipročne

vrednosti:

(

)

Primenjujemo množenje i vršimo ponovo skraćivanje razlomaka tamo gde je to moguće:

(

)

Sada primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka. Prvo saberimo prva dva razlomka.

Ako proširimo drugi razlomak sa 6, možemo ih lako sabrati:

(

)

https://www.youtube.com/watch?v=RUQFqRH64HU



(

)

Skratimo sad taj razlomak sa 5:

(

)

Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 16 je 48. Prvi razlomak množimo sa 8, dok drugi

množimo sa 3:

(

)


( )


S obzirom da nam je sve dato u decimalnim brojevima, nema potrebe da pretvaramo

decimalne brojeve u razlomke. Odmah vršimo operacije na decimalnim brojevima. Prvo

ćemo oduzeti 7 i 6,35:

Kako ćemo podeliti 0,65 i 6,5? Ovo deljenje se svodi na isto kao i deljenje 65 sa 650

(pomeramo zarez dva mesta udesno). Stoga, dalje pišemo sledeće:


(

)


Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u

razlomke:

BITNA NAPOMENA: DECIMALNI ZAPIS I RAZLOMCI

Kad god imate u brojevnom izrazu mešano decimalni zapis i razlomke, savetujemo da

sve pretvorite u razlomke, kako biste lakše skratili ono što se može skratiti i smanjili

mogućnost greške. Traži se tačna vrednost izraza, tako da ukoliko pretvorite sve u

decimalni zapis možete dovesti sebe u situaciju da morate da zaokružujete brojeve, a

to ovde nije dozvoljeno. Samo kada je sve dato u decimalnom zapisu, možete

raditi bez problema sa decimalnim brojevima do kraja zadatka.



(

)

Standardno, skratimo ono što se može skratiti:

(

)

Umesto deljenja, zapisujemo množenje, koristeći recipročne vrednosti:

(

)

(

)

(

)

Primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka, sa najmanjim zajedničkim sadržaocem 55.

Prvi razlomak množimo sa 11, drugi razlomak sa 1, a treći razlomak sa 5:

(

)


(

)



razlomke:

(

)

(

)

Zamenimo operaciju deljenja množenjem, koristeći recipročne vrednosti:

(

)

Primenimo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac je 4, tako da prvi

razlomak množimo sa 2, a drugi razlomak ostaje isti. Potom, da bismo dobili konačni

rezultat, primenićemo operaciju množenja razlomaka:



(

)


(

)



razlomke:

(

)

(

)

Primenjujemo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 2 jeste 6.

Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi razlomak množimo sa 3:

(

)

Konačno, primenjujući skraćivanje i operaciju množenja razlomaka dobijamo finalni

rezultat:






razlomke:

Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne

vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:

Primenimo operaciju oduzimanja razlomaka u brojiocu velikog razlomka. Najmanji

zajednički sadržalac je 3. Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi množimo sa 3:

Ovo možemo transformisati u dvojni razlomak, koji možemo lako rešiti:


(

)

BITNA NAPOMENA: KAKO SE REŠAVA DVOJNI RAZLOMAK?

Spoljašnji članovi se množe i daju brojilac, a unutrašnji se množe i daju imenilac.





razlomke:

(

)

Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne

vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:

(

)

(

)

Primenjujemo operaciju oduzimanja razlomaka i u donjem i u gornjem delu velikog

razlomka. U gornjem delu, dovoljno je da oduzmemo brojioce, jer su imenioci isti. U

donjem delu razlomka, najmanji zajednički sadržalac je 9, te prvi razlomak ostaje isti dok

drugi množimo sa 3:

Kao u prethodnom zadatku, rešavamo dvojni razlomak poznatim postupkom:



Kviz 1: Brojevni izrazi

Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni

rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.

Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno

rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,

kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.

Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika




. /


(

)


http://www.facebook.com/skripte.ekof.98http://www.skripteekof.com/matematika

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi


Lekcija 2: Polinomi

Pregled lekcije


osnovni pojmovi o polinomima – monom, polinom, koeficijent, stepen,

promenljiva, sabiranje i oduzimanje polinoma;

faktorizacija polinoma – osnovno pravilo, posebna pravila, faktorizacija punog

kvadratnog polinoma;

deljenje polinoma – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se sprovodi;

Bezuova teorema – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se primenjuje.

Uvod

U okviru prve lekcije ponovićemo osnovno gradivo iz polinoma, od kojih ste većinu

zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću vam i linkove pojedinih video zapisa.

Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma primerenom nivou i uz visoki kvalitet

izrade. (www.rajak.rs)

1. Uvod u polinome

Link: https://profesorka.wordpress.com/2013/04/06/polinomi/

Ovo je jedan mali uvod u polinome iz osnovne škole, za one koji baš žele da zađu u same

temelje i ako treba da ih popune. Preporučujem da svi pročitate ovaj tekst i pogledate i

ukoliko je potrebno uradite navedene primere iz teksta, kako bismo bili sigurni u osnovu

znanja iz oblasti polinoma. Ovaj tekst nije naš autorski, ali preporučujemo ga jer je

kvalitetan i sadrži sve potrebne informacije.

Najbitnije šta treba da znate je sledeće:

- šta je monom, šta je polinom;

- šta je stepen, šta je koeficijent, šta je promenljiva (primer 1 i 2 na linku);

- znate da sa lakoćom sabirate i oduzimate polinome sa jednom ili više promenljivih

(primer 7 na linku).

2. Faktorizacija polinoma

1) Osnovno pravilo

Faktorizacija polinoma je drugi naziv za ono što vam je verovatno već vrlo poznato –

rastavljanje polinoma na proste činioce. Napomena: činioci su elementi koje množimo (npr.

http://www.rajak.rs/https://profesorka.wordpress.com/2013/04/06/polinomi/



, ovde su 2 i 3 činioci a 6 je proizvod). Dakle, kada govorimo o činiocima govorimo o

operaciji množenja.

Rastavljanje polinoma na proste činioce radimo tako što izvučemo „zajednički element

ispred zagrade“, a u zagradu stavljamo sve ono što ostaje.

Primer.

Rastaviti na proste činioce izraz: .

(zajednički element je x)

( ) (ostatak ostavljamo u zagradi)

2) Posebna pravila

Postoje određena posebna pravila za faktorizaciju polinoma kako bi nam olakšala posao.

Pravila koja treba da zapamtite su:

- razlika kvadrata: ( )( )

- kvadrat razlike: ( )

- kvadrat zbira: ( )

Primeri.

- razlika kvadrata: ( ) ( ) ( )( )

- kvadrat razlike: ( ) ( )

- kvadrat zbira: ( ) ( )

3) Faktorizacija punog kvadratnog polinoma

U prevodu, kako rastaviti kvadratnu jednačinu na činioce? Ono što treba da znate je kako

izgleda kvadratna jednačina, kako se rešava, i šta su kod nje a, b i c. Mislim da ste ovo svi

dovoljno puta ponavljali u srednjoj, ali za svaki slučaj pročitajte o obliku kvadratne

jednačine (uvod članka) i kvadratnoj formuli (podnaslov):

https://sr.wikipedia.org/wiki/Квадратна_једначина

Nakon što ste pročitali i utvrdili ovo, ono što nam je bitno jeste kako sad faktorišemo

kvadratnu jednačinu? Nakon što smo rešili jednačinu pomoću kvadratne formule, vrlo

jednostavno to činimo prema sledećem obrascu:

( )( )

gde su i rešenja kvadratne jednačine.

Primer.

Rastaviti na proste činioce izraz: .

Rešavamo kvadratnu jednačinu .

https://sr.wikipedia.org/wiki/Квадратна_једначина



√

√

√

Dakle, samo zamenimo vrednosti i , kao i koeficijenta , u obrazac za rastavljanje

kvadratne jednačine na proste činioce:

( )( )

( ( ))( ( )) (– i – daje +)

( )( )

( )( )

BITNA NAPOMENA

Obavezno pazite na minuse kod rastavljanja na činioce! Ovo je jedna od vrlo čestih grešaka

studenata.

Korisni linkovi:

- vežba za rastavljanje kvadratne na činioce (samo pogledajte primere i uradite ih):

https://www.youtube.com/watch?v=G3NhpBUbqRE

- koristan video da generalno ponovite faktorizaciju polinoma:

https://www.youtube.com/watch?v=aNsSv4nt_8Y

3. Deljenje polinoma

Link: https://www.youtube.com/watch?v=SXzJV0FxCE8

Pre nego što krenemo na nešto zastrašujuće, hajde da vidimo kako se dele polinomi. Ovo

često ostane nejasno među mnogim učenicima, naročito u srednjim školama gde nije bio

toliki fokus na matematici, a i nije se toliko to vežbalo kao kvadratna jednačina da bi se

zapamtilo.

Ovako u rečima, ne znam kako bih vam objasnio a da vam bude jasno. Zaista je potreban

video za to, preporučujem da detaljno pogledajte i provežbate primere iz videa na linku

iznad.

Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite.

https://www.youtube.com/watch?v=G3NhpBUbqREhttps://www.youtube.com/watch?v=aNsSv4nt_8Yhttps://www.youtube.com/watch?v=SXzJV0FxCE8



4. Bezuova teorema (Bezuov stav)

Link: https://www.youtube.com/watch?v=_g3zSKnbLJ0

E sad to zastrašujuće. Šala naravno, nije ništa strašno, ali učenici i studenti čim čuju reč

„teorema“, padaju u nesvest. Nemojte i vi to činite, jer zaista nema potrebe!

Bezuova teorema je vrlo jednostavna. Služi nam da rastavimo na činioce polinom koji je

većeg stepena od 2, tj. kada ne možemo primeniti „izvlačenje ispred zagrade“ ili rešavanje

kvadratne jednačine. Prostim jezikom, Bezu(b) nam kaže:

„Videćeš kako da rastaviš taj komplikovani polinom kad naš sa čime treba da ga podeliš. A

kako to da nađeš? Sve x-eve u polinomu zameni nekim brojem koji će dati rezultat

polinoma NULA. Onda podeli taj polinom sa .

Rečima možda ipak ne tako prosto, ali u praksi logika je jasna:

1) Imate komplikovan polinom većeg stepena od 2. Odlučujete da ne odustanete već da

date sve od sebe da rastavite polinom na proste činioce.

2) Umesto nepoznatih promenljivih u tom polinomu, pokušajte da zamenite neki mali broj,

poput 1, -1, 2, -2 (najčešće su ovi brojevi u opticaju). Tu malo nagađate koji je broj koji vam

treba. Zamenivši taj broj u polinom, dobijate određeni rezultat.

3) Kada dobijete rezultat 0, to je broj koji vam treba.

4) Podelite polinom sa (x minus taj broj) i rešenje tog deljenja je praktično rastavljeni činilac

koji vam je potreban.

Teško je razumeti ovako bez primera, zato obavezno detaljno pređite bar video na linku

iznad.

Postoje i drugi i treći deo videa na istom jutjub kanalu, može vam i to značiti ukoliko

pogledate.

Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite.


1. Rastaviti sledeći polinom na proste činioce:


Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x:

( )

https://www.youtube.com/watch?v=_g3zSKnbLJ0



Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg

obrasca:

( )( )

Naša kvadratna jednačina izgleda ovako:

S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao . Dakle, . Potrebna su

nam i rešenja kvadratne jednačine i :

√

√

Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao:

( )( )

( )( )

Konačno, naše finalno rešenje je:

( )

( )( )

2. Faktorisati polinom:


Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x:

( )

Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg

obrasca:

( )( )


S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao . Dakle, . Potrebna su

nam i rešenja kvadratne jednačine i :



√

√ ( )


( )( )

( )( )

Konačno, naše finalno rešenje je:

( )

( )( )

3. Izračunati:

( ) ( )


( ) ( )

Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo

sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo desno od znaka jednakosti.

Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:

- množimo sa , čime dobijamo


Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:

Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.



Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,

sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.

Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do situacije da dobijeni rezultat

ispod crte jeste nižeg stepena od prvog elementa delioca, zbog čega ne možemo da

nastavimo deljenje.

U ovom zadatku ćemo proći i kroz ove korake detaljno:

Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo

sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo desno od znaka jednakosti.







sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod

crte.

Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim

elementom delioca. Znači, delimo sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo

desno od znaka jednakosti.







sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod

crte.

Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim

elementom delioca. Znači, delimo sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo

desno od znaka jednakosti.









sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.

Primećujemo da ne možemo dalje da nastavimo deljenje, jer ne možemo da podelimo 82 sa

x. Time, ostatak zadatog deljenja je 82, a ono što smo upisali sa desne strane jednakosti je rešenje našeg

deljenja. Dakle rezultat deljenja je , sa ostatkom 82.

4. Skratiti razlomak:


Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo i gornji i donji deo razlomka na

proste činioce, da bismo videli šta sve može da se skrati. Odvojeno ćemo ovo obaviti za

gornji i donji deo razlomka.

Gornji deo razlomka rastavićemo na činioce pomoću Bezuove teoreme, jer je u pitanju puna

funkcija sa stepenom iznad 2 (imamo i , i i slobodan član). Prvo, moramo da

vidimo koji „mali“ broj (najčešće 1, -1, 2, ili -2) se može zameniti u ovu jednačinu umesto x

pa da vrednost izraza bude 0. Probajmo da učinimo ovo za :

Odlično, sa uspeli smo da dobijemo rezultat nula! Znači, . Prema Bezuovoj

teoremi, naš polinom treba da delimo sa ( ) , tj. ( ).

Dalje, treba da izračunamo ( ) ( ). Znamo za sigurno da će

ostatak deljenja biti nula, jer smo našli pravi broj prema Bezuovoj teoremi. Rezultat deljenja

će nam koristiti kao osnovna informacija za rastavljanje polinoma na činioce.



( ) ( )

_______

____

Ukoliko posmatramo ovo deljenje s desna na levo, vidimo da možemo da zapišemo naš

deljenik ( ) kao:

( )( )

Time smo veliki polinom rastavili na činioce. Ono što je još potrebno da uradimo je da

proverimo da li možemo i kvadratnu jednačinu rastaviti na činioce.

Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca:

( )( )


Uz stoji dvojka, tako da . Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine i :

√

√ ( )


( )(

)

( )( )

Konačno, gornji deo razlomka potpuno rastavljen na čionice izgleda ovako:

( )( )( )



Ne zaboravimo da rastavimo na činioce i donji deo razlomka. Imamo , što možemo

rastaviti putem razlike kvadrata, tj. ( )( ). Štaviše, primenićemo

razliku kvadrata duplo. Prvo, imaćemo da su nam elementi i :

( )

( )( )

( ) ne možemo dalje da rastavimo, ali ( ) možemo, i to pomoću ponovne

primene razlike kvadrata, gde su nam sada elemeneti i :

( )( )( )

Dakle, ovako izgleda u potpunosti rastavljen donji deo razlomka:

( )( )( )

Konačno, naš početni razlomak u potpunosti rastavljen na činioce je:

( )( )( )

( )( )( )

Očigledno, možemo skratiti ( ) sa ( ), i ( ) sa ( ):

( )( )( )

( )( )( )

Finalni rezultat našeg zadatka je:



Kviz 2: Polinomi







1. Izračunati:

( ) ( )

2. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom:







Lekcija 3: Funkcije

Pregled lekcije


oblast definisanosti funkcije – šta predstavlja i kako ga izračunati;

preseci funkcije sa osama – šta predstavljaju i kako doći do tačaka koje ih

određuju;

eksplicitni i implicitni oblik funkcije – zašto je to bitno i kako dolazimo do njih;

skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija – kako ih predstaviti u koordinatnom

sistemu;

minimalna i maksimalna vrednost funkcije – u okviru čega ćemo ponoviti

izvode;

funkcija funkcije – kako računamo ovu neobičnu funkciju.

1. Oblast definisanosti (domen) funkcije

Verovatno već znate šta otprilike funkcija predstavlja. Funkcija nam jednostavno opisuje

način na koji neki „input“ pretvaramo u određeni „autput“. Matematički rečeno, funkcija

( ) nam opisuje način na koji promenljivu („input“) pretvaramo u određenu vrednost

(„autput“).

Primer.

Imamo funkciju ( )

. Ukoliko , onda će vrednost funkcije biti 1. Ukoliko

, onda će vrednost funkcije biti . Ukoliko je x = 3, onda će vrednost funkcije biti

itd.

Svaka funkcija ima svoj domen, tj. oblast definisanosti. Domen funkcije predstavlja sve

vrednosti x za koje je vrednost funkcije f(x) definisana u skupu realnih brojeva. Veoma

bitno je da znate tri osnovna slučaja kada postoji ograničenje na domen funkcije.

1) Kod razlomaka, imenilac mora biti različit od nule

Drugim rečima, kada vidite razlomak u okviru funkcije, sve ono što je „ispod razlomačke

crte“ ne sme biti jednako nuli.

Primer.

Imamo funkciju ( )

. Imenilac mora biti različit od nule, dakle:

Dakle, ova funkcija je definisana u skupu realnih brojeva, osim broja 1. Matematički:

* +

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije


2) Kod logaritama, ono što se logaritmuje mora biti > 0 i

osnova logaritma mora biti > 0 i različita od 1

Pokažimo ovo odmah na primeru.

Primer.

Imamo funkciju ( ) ( ). Pod logaritmom imamo , znači:

Takođe, bitno je da je osnova logaritma (u ovom slučaju 5) veća od nule i različita od 1.

Ukoliko bi se nepoznata x javila u osnovi logaritma, i ovaj uslov bi uticao na oblast

definisanosti funkcije.

Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće od -1. Matematički:

( )

3) Kod parnih korena, ono pod korenom mora biti ≥ 0

Pokažimo ovo odmah na primeru.

Primer.

Imamo funkciju ( ) √ . U pitanju je kvadratni koren što je parni koren, tako da

postoji ograničenje za domen funkcije. Pod korenom imamo , znači:

Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće ili jednako od -2. Matematički:

, )

BITNA NAPOMENA

Gore navedeno ograničenje važi samo za parne korene. Ukoliko imamo funkciju sa

neparnim korenom, ne postoji ograničenje za domen funkcije.

Primer.

Imamo funkciju ( ) √

. U pitanju je kubni koren što je neparni koren, tako da

ne postoji ograničenje za domen funkcije.

Dakle, ova funkcija je definisana na celom skupu realnih brojeva. Matematički:



2. Preseci funkcije sa osama

Funkcije najčešće seku i horizontalnu osu (x-osu) i vertikalnu osu (y-osu). Za vas je bitno

da znate kako da odredite koordinate tačaka gde funkcija seče ose.

1) Presek sa y-osom

Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je .

Primer.

Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost :

( )

( )

( )

Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:

( )

2) Presek sa x-osom

Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je .

Primer.

Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u


( )

(jer f(x) je isto što i y)

(jer zamenjujemo da je )

Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u

tački:

(

)

3. Eksplicitni i implicitni oblik funkcije

Bitno je da znamo da postoje dva različita oblika funkcije. Kada budemo skicirali grafike

linearnih funkcija, biće nam lakše da utvrdimo brojne značajne informacije o funkciji iz

eksplicitnog oblika funkcije. Stoga, hajmo da naučimo šta predstavljaju ovi jednostavni

koncepti:



1) Implicitni oblik funkcije

Implicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde su x i y na istoj strani jednakosti.

Ovaj oblik nam ne govori puno o funkciji, niti nam pomaže da skiciramo funkciju. On je

vrlo „implicitan“ – ne govori nam skoro ništa o karakteristikama naše funkcije.

Primer.

Imamo funkciju . Da li vam ovo uopšte liči na funkciju? Svakako nije oblik koji

smo navikli da viđamo, gde je sa leve strane ( ) tj. , a sa desne strane neki izraz sa

promenljivom .

2) Eksplicitni oblik funkcije

Eksplicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde na levoj strani jednakosti imamo

f(x) tj. y, a na desnoj strani jednakosti imamo neki izraz sa promenljivom x. Ovaj

oblik linearne funkcije je prilično „eksplicitan“, jer nam daje informacije o koeficijentu

pravca (nagibu) funkcije, direktno nam govori koji je presek funkcije sa y-osom, i time nam

puno pomaže u skiciranju grafika.

Primer.

Imamo funkciju . Rekli smo da je ovo implicitni oblik. Da bi nam život bio lakši

i da bismo rešili zadatak na kolokvijumu, hajmo da prebacimo ovu funkciju u eksplicitni

oblik.

(treba samo y da bude levo)

(x na prvo mesto da bi bilo lakše)

Sada možemo videti mnoge stvari iz naše funkcije, a to su:

a) pored x stoji -1, što je koeficijent pravca tj. nagib funkcije.

b) slobodan član u funkciji je +1, što predstavlja vrednost y gde funkcija seče y-osu tj.A(x,

y)

4. Skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija

Za kolokvijum i ispit vrlo je bitno da znamo da skiciramo funkcije. Sad ćemo naučiti kako

da skiciramo linearne i kvadratne funkcije.

1) Linearne funkcije

Linearne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 1. Prosto rečeno, u okviru

funkcije ne postoje x2, x3 itd.



Primeri linearnih funkcija.

( )

( )

( )

Kako skiciramo linearne funkcije? Primenimo znanje iz drugog dela ove lekcije, preseci

funkcije sa osama:

a) odredimo presek funkcije sa y-osom i x-osom

b) ucrtamo ove tačke u koordinatni sistem

c) spojimo ove tačke kako bismo dobili traženu linearnu funkciju

Primer.

Uzmimo primer sledeće funkcije: ( ) .

Faza a): Određujemo presek funkcije sa y-osom i x-osom.

Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u


( )

( )

( )

Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:

( )

Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost :

( )

(jer f(x) je isto što i y)


Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u

tački:

(

)

Faza b) : Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.



Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju.

2) Kvadratne funkcije

Kvadratne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 2. Prosto rečeno, u okviru

funkcije ne postoje x3, x4 itd.

Primeri kvadratnih funkcija.

( )

( )

( )

Kako skiciramo kvadratne funkcije? Potrebno je da prođemo sledeće korake:

a) odredimo koliko iznosi , tj. broj koji stoji uz x2 – ovo će nam reći da li se naša

kvadratna funkcija „smeje“ ili „plače“. Drugim rečima:

A(0,1)

B(-1/2,0)

𝒇(𝒙) 𝟐𝒙 𝟏



ako je a > 0, funkcija se „smeje“ :) ako je a < 0, funkcija „plače“ :(

Napomena: Ukoliko je a = 0, onda se kvadratna funkcija svodi zapravo na linearnu

funkciju.

b) rešimo kvadratnu jednačinu i time odredimo njena rešenja – ova rešenja će nam reći koji

su to preseci sa x-osom:

dva realna rešenja jedno realno rešenje kompleksna rešenja

imamo dva preseka sa x-osom imamo jedan presek sa x-osom nema preseka sa x

Primer.

Uzmimo primer funkcije ( ) . Hajmo da prođemo korake kako bismo došli

do njene skice.

Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz x2 stoji koeficijent 1. Dakle, a = 1.

S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija „smeje“.

Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu

√

√ ( )

√



Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa x-osom, i to -3 i 2.

Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju:

NAPOMENA

Ukoliko želite da budete još precizniji u skiciranju kvadratne funkcije, možete odrediti i

presek sa y-osom tako što ćete zameniti u funkciju da je x = 0, kao i ekstremnu vrednost.

5. Ekstremna vrednost funkcije

Za kolokvijum je vrlo bitno da znamo da odredimo minimalnu odnosno maksimalnu

vrednost funkcije. Ovo ćemo vrlo lako postići primenom izvoda. Izvodi su jedna vrlo

obimna tema u matematici, koje je potrebno dosta da vežbate. Ovde ću se zadržati na

onome što nam je neophodno za prvi kolokvijum, a kasnije ćemo dosta detaljnije

obrađivati ovu oblast.

Smatram da je za prvi kolokvijum nije najbitnije da naučite samu suštinu izvoda, već šablon

kako da nalazite minimalne i maksimalne vrednosti funkcije. Kasnije će već sve doći na

svoje. Da ne bismo komplikovali stvari, za kolokvijum je neophodno da naučite:

izvode elementarnih funkcija – drugim rečima, tablicu elementarnih izvoda i

kako to da primenjujete u zadacima;

izvode zbira, razlike, proizvoda i količnika

izvod pomoću smene

Ovo je vrlo elementarno gradivo iz izvoda koja je velika većina vas prešla u srednjoj školi.

Takođe, u čistoj pismenoj formi je malo komplikovano za objasniti, tako da ću vam ostaviti

da izvode naučite iz elektronskih izvora. Preporučujem:

https://youtu.be/LtYiN74Ik8k (ne morate učiti definisanje izvoda, priraštaj i

slično)

https://youtu.be/LtYiN74Ik8k



http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/cetvrti-razred-srednje-skole/funkcije-izvod-

funkcije-1-257.html

Nemojte nastavljati pre nego što naučite i dobro izvežbate ovo iznad! Kada ste sigurni da

ste to dobro savladali, spremni ste da naučite kako odrediti minimalnu odnosno

maksimalnu vrednost funkcije.

Koraci koje prelazimo kada određujemo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost

funkcije su sledeći:

a) određujemo prvi izvod funkcije

b) izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom – time dobijamo vrednost x gde postoji

ekstrem funkcije (minimum ili maksimum)

c) ubacujemo dobijenu vrednost x u početnu funkciju – time dobijamo maksimalnu

odnosno minimalnu vrednost funkcije y

Primer.

Uzmimo primer funkcije ( ) . Hajmo da prođemo korake kako bismo došli

do njene ekstremne vrednosti.

Faza a: Određujemo prvi izvod funkcije:

( )

( )

Faza b: Izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom:

( )

Faza c: Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije, dobijenu vrednost x zamenjujemo u

početnu funkciju (NE U PRVI IZVOD!):

( )

.

/ (

)

.

/

.

/

Ekstremna vrednost funkcije je -21/4. Tačka ekstrema je u tački E(-1/2, -21/4).

BITNA NAPOMENA

Na kolokvijumu često neće biti potrebno da odredite da li je ovo minimum ili maksimum

funkcije. Međutim, inače ponekad će to i biti potrebno, a to vrlo lako možete učiniti:

http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/cetvrti-razred-srednje-skole/funkcije-izvod-funkcije-1-257.htmlhttp://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/cetvrti-razred-srednje-skole/funkcije-izvod-funkcije-1-257.html



a) odrediti drugi izvod funkcije

b) ukoliko je pozitivan u pitanju je minimum; ukoliko je negativan u pitanju je maksimum

Primer.

Drugi izvod dobijamo kada radimo izvod prvog izvoda funkcije. Drugi izvod gore

pomenute funkcije ( ) je 2. S obzirom da je ovaj izvod pozitivan, u

pitanju je minimum funkcije.

6. Funkcija funkcije

Za kraj, pređimo ovaj vrlo kratki koncept u vezi funkcija. Suština je da argument funkcije

postaje cela druga funkcija. Drugim rečima, umesto promenljive u funkciji ( ), imamo

npr. funkciju ( ) – matematički zapisano: ( ( )). Izgleda malo rogobatno, ali sve će

biti jasnije kada pogledamo primer.

Primer.

Uzmimo da je ( ) , dok je ( ) . Zadatak može da nam traži sledeće

varijante:

a) Odredite ( ( )).

Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ):

( ( )) ( ) -zamenimo g(x)

( ) -zamenimo u f(x)

b) Odredite ( ( )).


( ( )) ( ) -zamenimo f(x)

( ) -zamenimo u g(x)


1. Koja je najmanja vrednost sledeće funkcije:

( )


Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To

činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:

( )

( )



Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za . Da bismo dobili ekstremnu vrednost

funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Konačno rešenje zadatka je . Funkcija ( ) dostiže minimum za , i ta

minimalna vrednost iznosi .

Proverimo da je ovo minimalna vrednost (minimum), a ne maksimalna vrednost

(maksimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo

pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju

je maksimum.

( )

( )

( )

Dobili smo pozitivnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima minimum, a

ne maksimum.

2. Funkcija ima najveću vrednost za x = ____ i ona iznosi y = _____.


Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To

činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:

( )

( )

Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za . Da bismo dobili ekstremnu vrednost

funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije:

( )

( )

( )



( )

Maksimalna vrednost funkcije je . Funkcija ( ) dostiže maksimum za , i ta

maksimalna vrednost iznosi .

Proverimo da je ovo maksimalna vrednost (maksimalna), a ne minimalna vrednost

(minimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo

pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju

je maksimum.

( )

( )

( )

Dobili smo negativnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima maksimum,

a ne minimum.

3. Neka je:

( )

( ) ( )

U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafike ovih funkcija.


Odvojeno ćemo skicirati grafik za funkciju ( ) i grafik za funkciju ( ) ( ).

Takođe, odvojeno ćemo tražiti i potrebne informacije za skiciranje ovih funkcija.

Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo jedna „obična“ linearna funkcija,

koju odmah možemo skicirati poznatim postupkom ranije prikazanim na str.27 u odeljku 4

ove lekcije. p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni sistem pOq (p je

horizontalna osa, a q je vertikalna osa).

Faza a): Određujemo presek funkcije sa q-osom i p-osom.

Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa q-osom, zamenjujemo u


( )

( )

( )

Dobili smo da je vrednost funkcije 12 kada je p = 0, tako da presek sa q-osom jeste u tački:

( )

Da bismo našli presek sa p-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost :

( )




Dobili smo da je vrednost funkcije 4 kada je q = 0, tako da presek sa p-osom jeste u tački:

( )

Faza b): Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.

Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju.

Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo malo neobična funkcija. Međutim,

kada zamenimo funkciju ( ) u nju i izrazimo sve preko , dobijamo kvadratnu funkciju

koju poznatim postupkom ranije prikazanim na str.28-30 u odeljku 4 ove lekcije možemo

A(0,12)

B(4,0)

A(0,12)

B(4,0)

𝒒𝟏(𝒑) 𝟏𝟐 𝟑𝒑



skicirati. Kao i kod prve funkcije, p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni

sistem pOq (p je horizontalna osa, a q je vertikalna osa):

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz p2 stoji koeficijent 3. Dakle, a = 3.

S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija „smeje“.

Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu

√

√

Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa p-osom, i to 2 i 4.

Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju:

NAPOMENA br.1: PRECIZNIJE SKICIRANJE GRAFIKA

Na kolokvijumu je dovoljno da ovako skicirate kvadratnu funkciju. Međutim, ukoliko vam

ostane vremena, ne bi bilo loše da odredite i ekstrem funkcije i presek sa y-osom (u ovom

slučaju q-osom), kako biste preciznije skicirali grafik. Ovo će vam svakako koristiti kasnije

za ispit.

NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P

Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi uslovi

postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda, a p na cenu. Nema ekonomskog

smisla da se dobije negativna količina i cena.

NAPOMENA br.1: PRECIZNIJE SKICIRANJE GRAFIKA

Na kolokvijumu je dovoljno da ovako skicirate kvadratnu funkciju. Međutim, ukoliko

vam ostane vremena, ne bi bilo loše da odredite i ekstrem funkcije i presek sa y-osom

(u ovom slučaju q-osom), kako biste preciznije skicirali grafik. Ovo će vam svakako

koristiti kasnije za ispit.

NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P

Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi

uslovi postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda (quantity), a p na cenu

(price). Nema ekonomskog smisla da se dobije negativna količina i cena.

NAPOMENA br.3: RAZLIČITI KOORDINATNI SISTEMI

U ovakvim zadacima često je dato kakav koordinatni sistem da crtate, u okviru zapisa

„Dekartov koordinatni sistem pOq“. Prvi element tretirate kao x-osu (ujedno i kao

nepoznatu x), a drugi element kao y-osu (ujedno kao nepoznatu y). U zadacima se

najčešće javljaju sistemi pOq, qOp, xOy i yOx.



4. Ako je ( )

, odrediti koliko iznosi ( ( ))



( ( )) (

)

Znamo kako se rešava dvojni razlomak, tako da ovo vrlo jednostavno rešavamo:

5. Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija:

a) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) √

d) ( ) √


a) Imenilac razlomka mora biti različit od nule. Znači:

Kada rešimo ovu kvadratnu jednačinu pomoću formule, rešenja koja ćemo dobiti za x su -3

i 2. Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

* +

b) Ono pod logaritmom mora biti veće od nule. Znači:

Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

( )

c) Kada imamo neparne korene, nema ograničenja za x. Dakle, oblast definisanosti funkcije

je:

d) Kada imamo parne korene, ono pored korenom mora biti veće ili jednako od nule.

Znači:

Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

, )



Kviz 3: Funkcije







1. Funkcija ima najmanju vrednost za x = ____ i ona iznosi y =

_____.

2. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qOp, skicirati grafike

funkcija:


funkcija:

4. Za datu funkciju ( )

u qOp sistemu skicirati grafik funkcije ( ) i

odrediti preseke sa obe ose.


funkcija:




Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi

(jednačine i nejednačine)

Pregled lekcije

U okviru ovel lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:

linearne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

kvadratne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

linearne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

kvadratne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo.

Uvod

Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste

ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta

dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako

se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina

studenata zaboravi da uradi.

Zlatno pravilo

Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu

domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da

zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili

nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu

rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na kolokvijumu i ispitu!

Mala pomoć

- Linearno znači da nigde ne možete da vidite x2, x3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

jedan.

- Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x3, x4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

dva, tj. x2.

- Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =).

- Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti).

Znakovi nejednakosti mogu biti:

< manje

> veće

≤ manje ili jednako

≥ veće ili jednako

≠ različito

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi


1. Linearne jednačine

Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.

Postupak za rešavanje je sledeći:

1) obavezno proveravamo koji je domen za x

2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

Primer.

Reši jednačinu – .

(prebacujemo x na levu stranu)

U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja

za domen i time

jeste rešenje ove jednačine.

Primer.

Reši jednačinu

.

(množimo sa )

U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.

spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da

jeste rešenje ove

jednačine.

2. Kvadratne jednačine

Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva.



2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule



Primer.

Reši jednačinu .

Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na

√

√ ( )

√


za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine.

3. Linearne nejednačine

Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.



2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

*) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi

primer)

3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele

BITNA NAPOMENA

Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu

nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće.

Primer.

Reši nejednačinu – .

(prebacujemo x na levu stranu)


za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste

.



Primer.

Reši nejednačinu

.

(prebacujemo 1 na levu stranu)

(sređujemo razlomak)

-

0 +

─ ─ +

─ + +

( ) + ─ +

Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim

negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.

je nula u . Ako je manji od , i će biti negativan. Ako je veći od nule, i

će biti pozitivan.

je nula u

. Ako je manji od

, će biti negativno. Ako je

veći od

, će biti pozitivno.

( ) predstavlja celu našu funkciju

. Minus i minus daju plus, minus i plus daju

minus, a plus i plus daju plus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća

od nule ukoliko je (

) ( )


Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje

je sledeće:

(

) ( )



BITNA NAPOMENA

- Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde

)

- Kod ≤ i ≥ se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona

pripadaju domenu

4. Kvadratne nejednačine

Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x

dva. Postupak za rešavanje je sledeći:


2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu

3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele

Primer.

Reši nejednačinu

.

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo

analizirali znak funkcije:

√

√( ) ( )

( )

√

√

Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac.

- -4 0 1 +

-x2-3x+4 ─ + + ─

x ─ ─ + +

f(x) + ─ + ─





je nula u . Ako je manji od , i će biti negativan. Ako je veći od nule, i

će biti pozitivan.

je nula u i . S obzirom da je , funkcija „plače“ (vidi

skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna.

f(x) predstavlja celu našu funkciju

. Minus i minus daju plus, plus i minus

daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija

veća ili jednaka od nule ukoliko je ( - , -



je sledeće:

( - ( -


1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:


Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( ) prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa ( ):

( )

-4 1 ─ ─

+ 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟒



Sada možemo da napravimo tabelu:

+

─ + +

─ ─ +

( ) + ─ +



je nula u

. Ako je manji od

, će biti negativno. Ako je

veći od


je nula u . Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći od





Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 0

1



je sledeće:

[

)



Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:

√

√( )



√

Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj

funkciji , tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5:

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika

vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je , -

U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.

Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno

rešenje je sledeće:

, -



Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( ) prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa ( ):

( )

3 5 ─

+

𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟏𝟓 +



Sada možemo da napravimo tabelu:

+

─ + +

─ ─ +

( ) + ─ +



je nula u Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći

od , će biti pozitivno.

je nula u . Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći

od , će biti pozitivno.




Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je ( - , )



je sledeće:

( - ( )




√

√( )

√





Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija veća od nule ukoliko je ( ) ( )




( ) ( )




√

√( )

√

1 5 ─

+

𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟓 +





Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija manja od nule ukoliko je ( )




( )

6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:


Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani

ostala samo nula:

Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi:

Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da , odnosno

. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je:

1 5 ─

+

𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟓 +



Kviz 4: Racionalni algebarski izrazi







1. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu:

2. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:







Lekcija 5: Apsolutna vrednost

Pregled lekcije


apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština;

skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću;

primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine.

Uvod

Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada

budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bih da vam skrenemo pažnju

jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine i

skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema tu

mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo veoma

bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim vrednostima.

1. Apsolutna vrednost broja

Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko

ignorišemo predznak minus ili plus.

Primer.

- Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano: | | .

- Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: | |

Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite.

| | 2

Šta znači ovaj matematički zapis?

- Apsolutna vrednost broja iznosi , ukoliko je veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je

, to znači da je veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost ).

- Apsolutna vrednost broja iznosi – , ukoliko je manje od nule (npr. ukoliko je

, to znači da je manje od nule, tako da je apsolutna vrednost – (– ) ).

BITNA NAPOMENA

Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti

način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku – raščlanjavamo ih na 2 dela.

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost


2. Skiciranje grafika

U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika

bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću?

Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i

normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno – izbacite sve negativne

vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru

kako bi bilo jasno na šta se misli.

Primer.

Skiciraj grafik funkcije | |.

Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije

Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije | |? Levo od

nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je

ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti

na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako:

𝒚 𝒙

𝒚 |𝒙|



3. Primena na jednačine i nejednačine

Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao

jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog

apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja:

1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak +

2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak –

Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno.

Primer.

Reši jednačinu | | .

Prvi slučaj: , izraz ima predznak +

Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:

Naše rešenje jeste veće ili jednako od

, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u

konačni skup rešenja.

Drugi slučaj: , izraz ima predznak –

( )


Naše rešenje jeste manje od -

, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup

rešenja.

Dakle, konačno rešenje ove jednačine je * +.

BITNA NAPOMENA

Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo

nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo

kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja

svih pojedinačnih slučajeva.

Primer možete pogledati na sledećem linku: https://youtu.be/TIoxTAYTOuo

https://youtu.be/TIoxTAYTOuo





| |




Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:

Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i

>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i

≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

[

)

Drugi slučaj: , izraz ima predznak

( )

Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je:


1



Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih

brojeva i prosto ceo uslov . Dakle rešenje za drugi slučaj je:

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

( ) [

)

(

)


| |




Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:



≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

, )

1

1




( )


Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da

vidimo na brojevnoj pravoj:



≥. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste:

[

)

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

[

) , )

[

)



3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:

| |




Naše rešenje nije veće ili jednako od , te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga

u konačni skup rešenja.



Naše rešenje nije manje od , te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni

skup rešenja.

Konačni skup rešenja je . Alternativni zapis praznog skupa je * +.

ŠTA DALJE?

DOSTUPNO SAMO U

FOTOKOPIRNICI

MINERVA

Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd

[email protected]

/fotokopirnicaminerva

/fotokokopirnicaminerva

fotokopirnicaminerva.weebly.com

mailto:[email protected]



Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi

(jednačine i nejednačine)

Pregled lekcije


➢ iracionalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;

➢ iracionalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.

Uvod

Iracionalni algebarski izrazi su zapravo one jednačine i nejednačine gde imamo koren, i

pod korenom neki izraz sa nepoznatom x. Ovde ćemo se baviti samo rešavanjem prostih

slučajeva iracionalnih jednačina i nejednačina.

Obavezno detaljno pređite ovu lekciju. Zadaci iz ove oblasti se gotovo uvek javljaju na

prvom kolokvijumu, a tematika se dosta slabo obradi i izvežba. Vrlo često ostane i nejasna,

zbog čega se lako gube poeni na kolokvijumu. Ne dozvolite ovo sebi, detaljno pređite i

dobro izvežbajte ovu relativno kratku lekciju!

1. Iracionalne jednačine

Iracionalne jednačine su one jednačine gde se nepoznata x javlja pod korenom. Opšti

princip kako ćemo rešavati ove jednačine je sledeći:

1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;

2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;

3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;

4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)

Primer.

Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 7 = 𝑥 + 1.

Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam

je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.

Drugi korak:

Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo

samo jednom:

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1 /2

𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi


Treći korak:

Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.

𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−1 ± √25

2

𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝒙𝟏 = −𝟑

𝒙𝟐 = 𝟐

Četvrti korak:

S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),

obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju jednačinu.

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1

√−3 + 7 = −3 + 1

2 = −2 𝒙 = −𝟑 nije rešenje

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1

√2 + 7 = 2 + 1

3 = 3 𝒙 = 𝟐 jeste rešenje

2. Iracionalne nejednačine

Sa iracionalnim nejednačinama stvari su nešto komplikovanije, iz razloga što ne možemo da

„prevarimo sistem“ proveravanjem dobijenih rešenja. Drugim rečima, ovde moramo da se

pozabavimo određenim uslovima. Srećom, nije ništa toliko strašno – potrebno je da

naučite samo ovo:

Slučaj 1: √𝑃(𝑥) < 𝑄(𝑥)

uslovi:

1) 𝑄(𝑥) ≥ 0

2) 𝑃(𝑥) < 𝑄2(𝑥)

3) 𝑃(𝑥) > 0

konačno rešenje =

presek ova 3 uslova

Slučaj 2: √𝑃(𝑥) > 𝑄(𝑥)

uslovi:

1) 𝑄(𝑥) ≥ 0

2) 𝑃(𝑥) > 𝑄2(𝑥)

3) 𝑄(𝑥) < 0

4) 𝑃(𝑥) ≥ 0

presek

presek

konačno

rešenje =

unija ova

dva

preseka



Primer za slučaj 1.

Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 6 < 𝑥 − 6.

Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kao presek sledeća tri uslova:

Prvi uslov:

𝑥 − 6 ≥ 0

𝒙 ≥ 𝟔

Drugi uslov:

𝑥 + 6 < (𝑥 − 6)2

𝑥 + 6 < 𝑥2 − 12𝑥 + 36

𝑥2 − 13𝑥 + 30 > 0

Rešenja kvadratne jednačine su 3 i 10. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz

pozitivan za:

𝒙 ∈ (−∞, 𝟑) ∪ (𝟏𝟎, +∞)

Treći uslov:

𝑥 + 6 > 0

𝒙 > −𝟔

Možete skicirati ova tri uslova na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli koji je presek

Lekcija 1: Brojevni izrazi · 2019. 6. 6. · Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim...

Documents

Transcript of Lekcija 1: Brojevni izrazi · 2019. 6. 6. · Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim...